一道三角函数题的多种解法

三角函数例1：求)35cos()65sin()613cos()37sin()425(325cos625sinπππππππ-----+-++tg 的值解：213cos6sin6cos3sin43cos6sin-=⋅+--+=πππππππtg例2：已知tan(α-β)=1/2,tan β=-1/7且α、β∈（0，π）求2α-β的值。

分析：要求2α-β的值，只需要先求出角2α-β的某一个三角函数值，再结合2α-β的范围来确定该角的大小，但是由于条件中所给角α、β的范围较大，但α、β实际上仅仅是一个确定的角，所以解这类习题常常需要先根据已知条件把角的范围进一步缩小，最好能使2α-β恰好在所求的三角函数的某一单调区间内，否则若2α-β的范围过大往往会出现多解，从而把不满足条件的角也包含进去了。

解：tan α=tan[(α-β)+β]=31171217121=⋅+-，∴α∈（0，4π） tan β=-71 ∴β∈（,2ππ），∴2α-β∈（-π，0） tan2(α-β)=341141=-∴tan(α-β)=tan[2(α-β)+β]=713471341⋅+-=1 所以2α-β=-43π例3：已知tan2θ=-22，θ∈（24,ππ），求：)sin()sin(31sin cos 23322θθθππθ-⋅+--的值。

解：原式=43232cos sin cos +-θθθ∵tan2θ=-22,2θ∈(2π,π),令2θ终边上一点为的坐标P(x,y),设y=22,x=1,则r=3∴cos2θ=31-,sin θ=33sin , 3622cos 1==-θθ所以原式=)21(443633633-=+--例4：化简：)tan(tan tan tan )tan(βααβαβα+⋅--+解：∵tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)ββααβαβαβααβαβαβαβααβαβαtan )tan(tan tan tan )tan()tan(tan )tan tan 1)(tan()tan()tan(tan tan tan )tan(=+⋅⋅⋅+=+-+-+=+⋅--+∴说明：这里实际上是运用的两角和（差）的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+变形，把tan α+tan β用α+β的正切及tan α²tan β来表示，这类问题在三角求值问题中也常遇到，如求tan(15°-α)tan(75°-α)+tan(15°-α)²tan2α+tan(75°-α) ²tan2α的值等等。

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

教学实践新课程NEW CURRICULUM在三角函数的教学和练习中,师生常常会碰到一类这样的三角函数问题：问题1：（2013浙江镇海中学阶段性测试）已知3sin α+4cos α=5，求tan α。

问题2：（2014北京石景山5月）已知sin α+cos α=2√，α∈（0，π），求tan α。

师生通常是从三角方面的知识与方程方面的知识相结合出发进行求解，但有时对于像问题1、问题2师生可以将三角方面的知识与导数求极值的知识相结合来巧妙解答。

因为三角函数相关的知识学习是在必修内容中，而导数相关知识在选修内容中，在高中数学的教学过程中，很多学校老师往往是先进行必修内容的教学，再进行选修内容的教学。

选修内容的有些知识与前面必修内容知识联系密切。

比如，导数与函数会放在高三复习时连接起来，但是因为高考对三角函数的考查一般很少与导数联系起来，所以很多师生都会忽略导数与三角函数相结合起来解题。

有时对于像问题1、2这种类似的问题，将导数与三角函数结合起来能巧妙快速准确地解答题目。

作者先给出问题1目前常见的四种解法。

图1思路1图2思路2解法1：3sin α+4cos α=5，等式变形得3sin α=5-4cos α，两边平方得9sin 2α=25-40cos α+16cos 2α得到关于cos α的方程：25cos 2α-40cos α+16=0，（5cos α-4）2=0，求出：cos α=45，sin α=35，从而得到tan α=34解法2：等式两边平方得到：9sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=259sin 2α+24sin αcos α+16cos 2α=25（sin 2α+cos 2α）等式两边同时除以cos 2α得16tan 2α-24tan α+9=0，tan α=34图3思路3图4思路4解法3：设4sin α-3cos α=x ，两式平方相加得到x 2+25=（4sin α-3cos α）2+（3sin α+4cos α）2=25，x =0则tan α=34解法4：∵3sin α+4cos α=5sin （α+φ），其中cos φ=35，sin φ=45∴sin （α+φ）=1，则α+φ=2k π+π2（k ∈Z ）sin α=sin （2k π+π2-φ）=cos φ=35，cos α=cos （2k π+π2-φ）=sins φ=45，故tan α=34现在，重点介绍解法5：利用导数的有关知识来求解。

２０２３年４月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一类三角函数问题的多种解法◉山东省淄博实验中学㊀李象林㊀许修花㊀崔㊀娟１例题呈现例１㊀设当x ＝θ时,函数f (x )＝s i n x －２c o s x 取得最大值,则c o s θ＝．解法１:利用辅助角公式a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b ２s i n (x ＋φ)(a b ʂ０),其中t a n φ＝b a ,可得㊀㊀f (x )＝s i n x －２c o s x＝５(５５s i n x －２５５c o s x )＝５s i n (x －φ),其中s i n φ＝２５５,c o s φ＝５５,f (x )的最大值为５,此时x ＝θ,于是s i n (θ－φ)＝１,因此θ－φ＝π２＋２k π,k ɪZ ．所以θ＝φ＋π２＋２k π,k ɪZ ．故c o s θ＝c o s (φ＋π２＋２k π)＝－s i n φ＝－２５５．解法２:向量法．图１令m ң＝(c o s x ,s i n x ),n ң＝(－２,１),于是f (x )＝m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向．而点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (－２,１)为平面内一定点．如图１,此时,A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,若当x ＝θ时,f (x )最大,由三角函数的定义可知,c o s θ＝－２(－２)２＋１２＝－２５５．解法３:导数法．当x ＝θ时,函数f (x )＝s i n x －２c o s x 取得最大值,最大值为５,所以,x ＝θ为f (x )＝s i n x －２c o s x(x ɪR )的极大值点,因此f ᶄ(θ)＝０,即㊀㊀㊀㊀㊀c o s θ＋２s i n θ＝０．①又因为㊀㊀㊀㊀㊀s i n θ－２c o s θ＝５,②所以,由①－②ˑ２,可得c o s θ＝－２５５．例２㊀若s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π),则t a n α＝(㊀㊀)．A．－１㊀㊀㊀B ．－２２㊀㊀㊀C ．２２㊀㊀㊀D．１解法１:利用辅助角公式,可得㊀㊀s i n α－c o s α＝２(２２s i n α－２２c o s α)＝２s i n (α－π４)．若s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π),则s i n (α－π４)＝１．由αɪ(０,π),可知α－π４ɪ(－π４,３π４)．于是α－π４＝π２,则α＝３π４．故t a n α＝－１．解法２:向量法．图２令m ң＝(c o s α,s i n α),n ң＝(－１,１),于是m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时,等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向．又因为点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (－１,１)为平面内一定点,如图２,所以A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,当s i n α－c o s α＝２,αɪ(０,π)时,由三角３８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀函数的定义知t a n α＝－１．解法３:导数法．f (x )＝s i n x －c o s x ,x ɪ(０,π)．若当x ＝α时,函数f (x )＝s i n x －c o s x 取得最大值２,此时αɪ(０,π),于是x ＝α为f (x )＝s i n x －c o s x ,x ɪ(０,π)的极大值点,因此f ᶄ(α)＝０,即c o s α＋s i n α＝０．因此,可得t a n α＝－１．２总结提升对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２:(１)由于y ＝a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２(aa ２＋b２s i n x ＋ba ２＋b２c o s x )＝a ２＋b ２s i n (x ＋φ),其中s i n φ＝ba ２＋b ２,c o s φ＝a a ２＋b２,因此,当a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b ２时,s i n (x ＋φ)＝１,于是x ＋φ＝π２＋２k π,k ɪZ ,x ＝－φ＋π２＋２k π,此时s i n x ＝s i n (－φ＋π２＋２k π)＝c o s φ,c o s x ＝c o s (－φ＋π２＋２k π)＝s i n φ．(２)令m ң＝(c o s x ,s i n x ),n ң＝(b ,a ),于是f (x )＝m ң n ң＝|m ң||n ң|c o s ‹m ң,n ң›ɤ|m ң||n ң|,当且仅当c o s ‹m ң,n ң›＝１时等号成立,此时向量m ң,n ң共线且同向,而点A (c o s x ,s i n x )为单位圆x ２＋y ２＝１上一点,B (b ,a )为平面内一定点．如图１,此时,A 为射线O B 与单位圆x ２＋y ２＝１的交点．因此,若当x ＝θ时,f (x )最大,由三角函数的定义可知,c o s θ＝ba ２＋b ２,s i n θ＝aa ２＋b２．(３)对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝a ２＋b２,即函数f (x )＝a s i n x ＋b c o s x 在x ＝θ处达到了最大值,由于x ɪR ,因此x ＝θ是f (x )＝a s i n x ＋b c o s x 的极大值点,故f ᶄ(θ)＝０,再结合a s i n θ＋b c o s θ＝a ２＋b ２,即可解出s i n θ,c o s θ．如果题目求t a n θ,由fᶄ(θ)＝０即可快速求出,非常方便．同理,对于方程a s i n x ＋b c o s x ＝－a ２＋b２也可用上述三种方法来解决．３练习巩固为了让学生灵活掌握上述几种方法,可以提供以下练习．(１)(２０２０ 北京卷)若函数f (x )＝s i n (x ＋φ)＋c o s x 的最大值为２,则常数φ的一个取值为．(２)(２００８ 浙江卷理)若c o s α＋２s i n α＝－５,则t a n α＝(㊀㊀)．A．１２㊀㊀㊀B ．２㊀㊀㊀C ．－１２㊀㊀㊀D．－２(３)(２００７年全国高中数学联赛河南预赛题)若７s i n α＋２４c o s α＝２５,求t a n α的值．４练习的提示及参考答案(１)根据两角和的正弦公式,可得f x ()＝c o s φs i n x ＋(s i n φ＋１)c o s x ．由于s i n x ,c o s x 的系数为参数,f (x )的最大值是确定的值２,因此可以采取辅助角快速解决:由f (x )＝c o s ２φ＋(s i n φ＋１)２s i n (x ＋θ),可得c o s ２φ＋(s i n φ＋１)２＝２．所以,解得s i n φ＝１,故可取φ＝π２．故答案为:π２(２k π＋π２,k ɪZ 均可)．(２)由于１２＋２２＝５,因此c o s α＋２s i n α＝－５可以看作函数f (x )＝c o s x ＋２s i n x 在x ＝α处达到了最小值－５,故可以用导数法快速解决:f ᶄ(x )＝－s i n x ＋２c o s x ,fᶄ(α)＝－s i n α＋２c o s α＝０,因此t a n α＝２．故选:B ．(３)由于７２＋２４２＝２５,因此７s i n α＋２４c o s α＝２５可以看作函数f (x )＝７s i n x ＋２４c o s x 在x ＝α处达到了最大值２５,故可以用向量法或导数法快速解决．不妨采取向量法:令m ң＝(c o s α,s i n α),n ң＝(２４,７),则y ＝m ңn ң＝m ң|n ң|c o s ‹m ң,n ң›＝２５c o s ‹m ң,n ң›＝２５,于是c o s ‹m ң,n ң›＝１,此时m ң,n ң共线同向,故t a n α＝７２４．Z４８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

例1.已知，求（1）；（2）的值。

解：（1）；（2）。

点评：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

例2.求函数的值域。

解：设，则原函数可化为，因为，所以当时，，当时，，所以，函数的值域为。

例3.已知函数。

（1）求的最小正周期、的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。

解：（1）所以的最小正周期，因为，所以，当，即时，最大值为；（2）证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，因为，，所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

例4.已知函数y＝cos2x＋sinx·cosx＋1（x∈R），（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y＝sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y＝cos2x＋sinx·cosx＋1＝（2cos2x－1）＋＋（2sinx·cosx）＋1＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋＝sin（2x＋）＋所以y取最大值时，只需2x＋＝＋2kπ，（k∈Z），即x＝＋kπ，（k∈Z）。

所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x＝＋kπ，k∈Z}（2）将函数y＝sinx依次进行如下变换：（i）把函数y＝sinx的图像向左平移，得到函数y＝sin（x＋）的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y＝sin（2x＋）的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x＋）＋的图像。

综上得到y＝cos2x＋sinxcosx＋1的图像。

点评：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。

这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx，cosx的齐次式，降幂后最终化成y＝sin（ωx＋）＋k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。

数学解决三角函数问题的六种方法在数学学习中，三角函数是一项基础而重要的内容。

解决三角函数问题，需要掌握不同的解题方法和技巧。

本文将介绍六种常用的数学解决三角函数问题的方法，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。

方法一：利用定义和基本公式三角函数的定义和基本公式对于解决问题非常重要。

例如，正弦函数的定义是一个直角三角形的斜边与对边之比，可以表示为sinθ = a/c。

利用这个定义和基本公式，我们可以求解一些基本的三角函数值，如sin(30°) = 1/2。

方法二：利用三角函数图像特征三角函数的图像特征可以帮助我们更好地理解和应用它们。

例如，正弦函数的图像是一条连续的波形，取值范围在[-1, 1]之间。

利用这个特征，我们可以根据给定的角度，通过观察三角函数图像来确定函数值。

方法三：利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，即sin(θ + 2π) = sinθ，cos(θ + 2π) =cosθ。

利用这个周期性质，我们可以将任意角度转换成特定区间范围内的角度，从而简化计算。

方法四：利用三角函数的恒等变换三角函数的恒等变换是一种将一个三角函数表示为其他三角函数的等价形式。

例如，sin(θ) = cos(π/2 - θ)。

利用这种恒等变换，我们可以将复杂的三角函数问题转化为简单的形式，从而更便于求解。

方法五：利用特殊角的三角函数值特殊角（如0°、30°、45°、60°、90°等）具有特殊的三角函数值，这些值是我们在计算过程中常常用到的。

例如，sin(0°) = 0，cos(90°) = 0，tan(45°) = 1等。

熟记这些特殊角的三角函数值，可以大大简化计算过程。

方法六：利用三角函数的性质和定理三角函数具有一系列的性质和定理，如和差化积公式、倍角公式、半角公式等。

利用这些性质和定理，我们可以根据已知条件，推导出新的关系式，从而求解三角函数问题。

三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值为（ ）.A ． 2B . 0C . 41- D . 6 [分析]本题可通过公式x x 22cos 1sin -=将函数表达式化为2cos 3cos 2+-=x x y ，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t ，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t 当t=1时,即cosx=1时，0min =y ,选B.例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππ 二 、引入辅助角法例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。

解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。

三角函数的最值问题分类例析三角函数式的最值问题是函数最值的重要组成部分，也是历屉高考的热点之一。

三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次议程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。

因此，三角函数的最值问题的求解，往往要综合应用多方面的知识。

三角函数的最值问题的类型很好，其常见类型有以下几种： 一、y=asinx+b （或y=acosx+b ）型 处理方法：利用()1cos 1sin ≤≤x x 或，即可求解，此时必须注意字母a 的符号对最值的影响。

例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值. 剖析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论.解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3； 当a =0时，不合题意；当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3. 当a =4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=－34）； 当a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）（tan ϕ=34）. ∴b sin x +a cos x 的最大值为5.例2．例3已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[5,1]-，求常数a 、b 的值. 解：∵()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π .∵20π≤≤x ，∴32323πππ≤-≤-x ，∴1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx .当0a >时，()3b f x a b ≤≤+.∴⎩⎨⎧-==+.513b b a ，解得⎩⎨⎧-==.52b a ，当0a <时，3()a b f x b +≤≤.∴⎩⎨⎧=-=+.153b b a ，解得⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a感悟：分类讨论是重要的数学思想方法，本例若不对常数a 进行讨论，将会出错。

三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。

（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos 2θ +sin 2 θ=tanx · cotx=tan45 °等。

（ 2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项： sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α =（α + β）－β，β =－等。

2 2（ 3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（ 4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（ 5）引入协助角。

asin θ +bcos θ = a 2 b 2 sin(θ + )，这里协助角 所在象限由 a 、b 的符号确立，角的值由 tan = b确立。

a（ 6）全能代换法。

巧用全能公式可将三角函数化成 tan的有理式。

22、证明三角等式的思路和方法。

（ 1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（ 2）证明方法：综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。

3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。

4、解答三角高考题的策略。

（ 1）发现差别：察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析”。

（ 2）找寻联系：运用有关公式，找出差别之间的内在联系。

（ 3）合理转变：选择适合的公式，促进差别的转变。

二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。

2、三角变换的一般思想与常用方法。

注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如1() ( ) 22 ．也要注意题目中所给的各角之间的关系。