13.4.1尺规作图

华东师大版八年级数学上册第 13 章13.4 尺规作图（三课时）导教案设计13.4尺规作图第 1课时1.作一条线段等于已知线段2.作一个角等于已知角·教课目标·1.知道什么是尺规作图；2.掌握尺规作图的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角；3.掌握画图的步骤并会灵巧应用 .·教课重难点·解析实质作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．·教课过程·一、导入新课直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟习的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆 .假如只用无刻度的直尺和圆规，你还可以画出吻合条件的线段、角吗?实质上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1:已知线段a，用直尺和圆规正确地画一条线段等于已知线段 a.请同学们谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：先画出一条射线，而后用圆规一射线的端点为圆心，以线段 a 的长为半径截取.问题 2:已知角∠ MPN，用直尺和圆规正确地画一个角等于已知角∠MPN.请同学们谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：(1) 画射线 OA.(2) 以角∠ MPN的极点 P 为圆心，以合适长为半径画弧，交∠MPN的两边于E、 F.(3)以点 O为圆心，以 PE长为半径画弧，交 OA于点 C.(4) 以点 C 为圆心，以EF 长为半径画弧，交前一条弧于点 D.(5) 经过点 D 作射线 OB.1 / 8∠ AOB就是所画的角 .( 如图 )观察、概括什么叫尺规作图？【我们把只好使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图.】特别注意 : 几何作图要保存作图印迹.例题讲解 :例 1已知：线段a、 b、 c.( 画出三条线段a、 b、 c)求作：△ ABC，使得三边为线段a、 b、 c.解析：以一条线段为三角形的一边，则这条线段的两个端点就是所求三角形的两个极点，作图的重点是找出三角形的第三个极点，第一作出一条线段，而后分别以这条线段的两个端点为圆心，以另两条线段长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个极点.作法：略例 2 如图 , 已线段 a、b 及∠α .求作 :△ ABC,使其有一个角是∠α ,且∠ α 的对边等于a,另一边等于 b.ab解析：依据已知条件，可先作一个∠ MBN 等于∠α，在∠ MBN 的一边上截取 BA=b，而后以 A 为圆心，以线段a 长为半径画弧即可 .作法：略课堂练习1.以下属于尺规作图的是 ( )A. 用量角器画出∠MBNB.已知∠ α ，作∠ MBN，使∠ MBN=2∠ αC. 画线段 AB=3cmD.用三角板作AB 的垂线答案: B2．作一个角等于已知角的依照是全等判断方法中的公义.答案：SSS3. 已知：两角分别为、，线段a，求作：△ ABC，使 AB=a，BAC，∠ ABC=．a答案 : 作法：（ 1）作线段AB= a（ 2）分别以A， B 点为极点，射线AB，BA 为一边，在AB 的同侧作DAB，2 / 8∠ EBA=，AD，BE交于C点，则△ ABC就是所求作的三角形．E DCA B三、本课小结1. 尺规作图是指用圆规和无刻度的直尺.2.基本作图：（ 1）用尺规作一条线段等于已知线段；（ 2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.3.作一个角等于已知角的依照是全等判断方法中的“边边边”公义.3 / 813.4 尺规作图第 2课时3.作已知角的均分线·教课目标·1.掌握尺规的基本作图：画角均分线；2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握正确的作图语言.·教课重难点·解析实质作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．·教课过程·一、导入新课我们知道三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的均分线．值得注意的是三角形的角均分线是一条线段，而一个已知角的均分线是一条射线，这两个看法是有差别的．在从前我们是这样作出三角形的角均分线的：用量角度量出三角形的角的大小，量角器零度线与这个角的一边重合，这个角一半所对应的线就是这个角的角均分线．此刻只有直尺和圆规，你能设计一个作角的均分线的操作方案吗？（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1:实验研究：已知∠ AOB，用直尺和圆规正确地画出已知∠AOB的均分线 .请各小组同学谈论、研究、交流、概括出详尽的作图方法.解析：谈论结果展现：作已知角的均分线的方法：已知：∠ AOB．求作：∠ AOB的均分线．作法：（ 1）以 O为圆心，合适长为半径作弧，分别交OA、 OB于 M、 N．（ 2）分别以M、 N 为圆心，大于1MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．2（ 3）作射线OC，射线 OC即为所求．问题 2: 在上边作法的第二步中，去掉“大于1AOB的MN的长”这个条件行吗？所作的两弧交点必定在∠24 / 8内部吗？解析：去掉“大于1MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，因此就找不到角的均分线．若分别2以 M、N 为圆心，大于1MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB?的内部，也可能在∠AOB的外面，2而我们要找的是∠AOB内部的交点，?不然两弧交点与极点连线获得的射线就不是∠AOB的均分线了．观察、概括作一个角的角均分线的理论依照是什么？【作一个角的角均分线的理论依照是全等判断方法中的“边边边”公义. 】特别注意 : 角的均分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，?因此第二步中的两个限制缺一不行．例题讲解 :例已知∠α与∠β，求作一个角，使它等于(∠α +∠ β)的一半 .解析：要完成这个作图，先作出等于(∠α +∠ β)的角，再作均分线即可.已知：求作：作法：课堂练习把一个角分红两部分，使这两部分的度数之比为1： 3.解析：本题可在原角内作一个角等于原角的1，故将原角均分后再次均分即得. 4答案 : 已知：如图，已知∠AOB.求作：射线OC,使∠ AOC:∠ COB=1:3作法：（ 1）作∠ AOB的均分线OP；（ 2）作∠ AOP的均分线 OC；射线 OC,将∠ AOB分红 1:3 的两部分 .ACPOB三、本课小结1.三角形的角分线是一条线段，角的均分线是一条射线；2.基本作图：用尺规作一个角的角均分线；3.作一个角的角均分线的理论依照是全等判断方法中的“边边边”公义；4.解决尺规作图问题，先作出吻合条件的图形草图，再确立详尽的作图方法.5 / 813.4 尺规作图第 3课时4.经过一已知点作已知直线的垂线5.作已知线段的垂直均分线·教课目标·1.掌握尺规的基本作图：画线段的垂直均分线，画直线的垂线；2.进一步学习解尺规作图题，会写已知、求作和作法，以及掌握正确的作图语言.·教课重难点·过已知直线外一点作这条直线的垂线．·教课过程·一、导入新课我们知道三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的均分线．现在只有直尺和圆规，你能用尺规作图作出三条高线、中线吗？（板书课题）二、推动新课新知研究问题 1: 一个已知点与一条已知直线的地点关系有两种：①②解析：点和直线有两种地点关系，①点在直线上；②点在直线外.问题 2: 作平角∠AOB的均分线OC，(1)平角∠AOB的均分线OC与直线AB有何地点关系？(2)此刻你能用尺规“经过已知直线上一点作这条直线垂线”吗？解析： (1) 平角∠ AOB的均分线OC与直线 AB 垂直； (2)“经过已知直线上一点作这条直线垂线”实质上就是以这点为极点的平角的角均分线.问题 3: 等腰三角形的三线合一，高线就是顶角的均分线，利用这个性质你能用尺规“经过已知直线外一点作这条直线垂线”吗？解析：如图以 A 为圆心，作能与直线 a 订交于 C、D两点的弧，则△ACD为等腰三角形，由“等腰三角形底边上的高就是顶角的均分线”可知，只要作出∠CAD的均分线 .问题 3: 对已知线段AB的垂直均分线上的随意两点C、D，总有CA=CB，DA=DB，由此，你能发现作垂直均分线的方法吗？谈谈你的作法 .6 / 8C CABA B D D解析： (1) 分别以点A、 B 为圆心，以大于AB的一半为半径画弧，两弧交于点 C 和 D.(2)作直线 CD.直线 CD就是所要求作的线段 AB 的垂直均分线 .观察、概括①“经过已知直线上一点作这条直线垂线”的实质是什么？②“经过已知直线外一点作这条直线垂线”的依据是什么？【①的实质就是作平角的角均分线并反向延伸；②的依据是“等腰三角形底边上的高就是顶角的均分线”. 】如何证明直线CD就是线段AB 的垂直均分线？【只要证明△ACD≌△ BCD，则∠ CAD=∠ BCD，由等腰三角形的三线合一即可说明. 】特别注意 : 作线段的垂直均分线时，一定以大于已知线段的一半为半径画弧，负责两弧无交点．例题讲解 :例 1利用直尺和圆规作一个等于45°的角．（保存作图印迹，并写出作法）解析：要完成这个作图，先作出向来角，再作均分线即可.已知：求作：作法：例 2 已知底边及底边上的高作等腰三角形.（保存作图印迹，并写出作法）解析：要完成这个作图，先作出底边，再作底边的垂直均分线，取高，最后完成三角形 .已知：求作：作法：课堂练习1.过直线l外一点 A，作 l的垂线，以下作法中正确的选项是()A．过 A作 AB⊥ l于 B，则线段 AB即为所求B．过 A作 l的垂线，垂足是 B，则射线 AB即为所求C．过 A作l 的垂线，垂足是B，则直线 AB即为所求D．以上作法都不正确答案:C2. 已知等腰三角形P，使 PA=PB. （保存作图印迹，ABC， AB=AC，∠ A≠ 90 ,在 AC 所在的直线上求作一点不写作法）答案 : 以以下图：A7 / 8PB C华东师大版八年级数学上册第 13 章13.4 尺规作图（三课时）导教案设计三、本课小结1.三角形的高线、中线都可以用尺规作图作出；2.基本作图：过已知点作直线的垂线、作线段的垂直均分线.8 / 8。

华师大版数学八年级上册13.4《尺规作图》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册13.4《尺规作图》这一节的内容是在学生已经掌握了直线、圆、三角形等基本几何图形的基础上进行讲解的。

本节课主要让学生了解尺规作图的基本方法和步骤，通过实例让学生学会使用尺规作图解决一些简单的问题。

教材从实际问题出发，引导学生用尺规作图的方法去解决问题，培养了学生的动手操作能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了基本的几何图形和一些基本的作图方法。

但是，对于尺规作图这一概念，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习让学生理解和掌握。

此外，学生在这一阶段的学习中，可能对数学的学习兴趣有所下降，因此，在教学过程中，需要注重激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解尺规作图的基本方法和步骤，能运用尺规作图解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过实例讲解和动手操作，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，提高学生对数学的认识和理解。

四. 说教学重难点1.教学重点：尺规作图的基本方法和步骤。

2.教学难点：如何引导学生运用尺规作图解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用实例讲解法、问题驱动法、动手操作法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、尺规等。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用尺规作图解决问题，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解尺规作图的基本方法和步骤，通过实例让学生理解和掌握。

3.动手操作：让学生分组进行尺规作图的练习，教师巡回指导。

4.问题解决：让学生运用尺规作图解决一些实际问题，培养学生的解决问题的能力。

5.总结与拓展：总结本节课所学内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。

可以设计如下板书：1.基本方法：–确定作图工具–解决实际问题八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂参与度、作业完成情况、考试成绩等方面进行。

13.4 尺规作图1. 作一条线段等于已知线段2. 作一个角等于已知角·教学目标·1. 知道什么是尺规作图；2. 掌握尺规作图的基本作图：画一条线段等于已知线段，画一个角等于已知角；3. 掌握画图的步骤并会灵活应用.·教学重难点·分析实际作图问题，运用尺规的基本作图，写出作图的主要画法．·教学过程·一、导入新课直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以画线，用量角器可以画角，用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段，画一个48°的角，画一个半径为3cm的圆.如果只用无刻度的直尺和圆规，你还能画出符合条件的线段、角吗?实际上，只用无刻度的直尺和圆规作图，在数学上叫做尺规作图.（板书课题）二、推进新课新知探究问题1:已知线段a，用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.分析：先画出一条射线，然后用圆规一射线的端点为圆心，以线段a的长为半径截取.问题2:已知角∠MPN，用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.分析：作法：(1)画射线OA.(2)以角∠MPN的顶点P为圆心，以适当长为半径画弧，交∠MPN的两边于E、F.(3)以点O为圆心，以PE长为半径画弧，交OA于点C.(4)以点C为圆心，以EF长为半径画弧，交前一条弧于点D.(5)经过点D作射线OB.∠AOB就是所画的角.(如图)观察、概括什么叫尺规作图？【我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图.】特别注意: 几何作图要保留作图痕迹.例题讲解:例1 已知：线段a 、b 、c.(画出三条线段a 、b 、c)求作：△ABC ，使得三边为线段a 、b 、c.分析：以一条线段为三角形的一边，则这条线段的两个端点就是所求三角形的两个顶点，作图的关键是找出三角形的第三个顶点，首先作出一条线段，然后分别以这条线段的两个端点为圆心，以另两条线段长为半径画弧，两弧的交点即为三角形的第三个顶点.作法：略例2如图,已线段a 、b 及∠α.求作:△ABC,使其有一个角是∠α,且∠α的对边等于a ,另一边等于b.分析：根据已知条件，可先作一个∠MBN 等于∠α，在∠MBN 的一边上截取BA=b ，然后以A 为圆心，以线段a 长为半径画弧即可.作法：略课堂练习1. 下列属于尺规作图的是( )A.用量角器画出∠MBNB.已知∠α，作∠MBN ，使∠MBN=2∠αC.画线段AB=3cmD.用三角板作AB 的垂线答案: B2．作一个角等于已知角的依据是全等判定方法中的 公理.答案： SSS3. 已知：两角分别为α∠、β∠，线段a ，求作：△ABC ，使AB=a ，BAC α∠=∠，∠ABC=β∠．答案:作法：（1）作线段AB= a（2）分别以A ，B 点为顶点，射线AB ，BA 为一边，在AB 的同侧作DAB α∠=∠， ∠EBA=β∠，AD ，BE 交于C 点，则△ABC 就是所求作的三角形．三、本课小结1.尺规作图是指用圆规和无刻度的直尺.α a b βαa A BC D E2. 基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.3.作一个角等于已知角的依据是全等判定方法中的“边边边”公理.。

三角形编家谱
三角形接到上级通知，要交一份家谱．回到家后，他把全家老小喊到一块，说：“为了管好咱们这一大家子，不给村里添麻烦，今天我们重新梳理门户，编制一个家谱．我觉得这可以有两种分法，一种是按角分类，你们可以分为兄弟三家：老大是钝角三角形，即有一个角是钝角；老二是直角三角形，即有一个角是直角；老小是锐角三角形，三个角都是锐角．另一种是按边分类．”
三角形刚画完，等边三角形就嚷开了：“老头子偏心眼，钝角三角形、直角三角形、锐角三角形平起平坐，三分天下，我为什么要比等腰三角形晚一辈，是不是别人都送礼了？”
“糊涂！这辈份是能随便改的吗？有两条腰相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的才叫等边三角形，你比等腰三角形多了一个条件，你是一个特殊的等腰三角形．”老头子气得吹胡子瞪眼．
“其实也没什么奇怪的，按角分的话，等边三角形三个角都是60°，只能算是锐角三角形．我就不同了，三种都可能是．”等腰三角形说完之后摇身一变．
三角形最后强调：“稳定性是我们三角形家族的最大特点，今后，我们一定要保持团结稳定的大好局面．”。

第13章 全等三角形
13. 4 尺规作图 4．经过一已知点作已知直线的垂线 5．作已知线段的垂直平分线
第13章 全等三角形
4.经过一已知点作已知直线的垂线 5.作已知线段的垂直平分线
知识目标 目标突破 总结反思
13.4 尺规作图知识来自标1．经过复习等腰三角形的“三线合一”、讨论、画图，理解、掌 握基本作图“经过一已知点作已知直线的垂线”． 2．通过自学阅读、探索、讨论，会作已知线段的垂直平分线， 理解其依据．
例 3 教材补充例题 如图 13－4－12 所示，已知线段 AB 和线 段 CD，求作一点 P，使点 P 既在线段 AB 的垂直平分线上，又在线 段 CD 的垂直平分线上．
图 13－4－12
13.4 尺规作图
解：(1)作线段 AB 的垂直平分线 EF； (2)作线段 CD 的垂直平分线 MN，MN 交 EF 于点 P. 则点 P 就是所求作的点，如图．
图 13－4－11
13.4 尺规作图
解：过点 A 作直线 BC 的垂线，垂线段就是边 BC 上的高，如图中的线段 AF 就 是所求作的高．
【归纳总结】作三角形的高是作垂线的简单运用．由于钝角三角形
有两条高在三角形的外部，所以作图时要注意延长三角形的边，保
留作图痕迹．
13.4 尺规作图
目标二 会作已知线段的垂直平分线
13.4 尺规作图
3．在理解五种基本作图的基础上，能解决尺规作图的综合问题．
通过对特殊的同底数幂的除法算式的计算，在观察、思考计算结
果中探究、归纳出同底数幂的除法法则，并会直接运用该法则进
行计算．
13.4 尺规作图
目标突破
目标一 会经过已知点作已知直线的垂线
例 1 教材补充例题 如图 13－4－10 所示， 过点 P 作∠A 两边 的垂线．

图 24.4.1
作一条线段等于已知线段 如图24.4.2，我们可以先画射线AB，然后 用圆规量出线段MN的长，再在射线AB上 截取AC＝MN，线段AC就是所要画的线段。
图 24.4.2
保留作图痕迹。
1.已知线段AB和CD，如下图，求作 一线段，使它的长度等于AB＋2CD.
1、作射线OM
O
2、在射线OM上截取OE=AB，顺次截取 EF=CD，FG=CD。则线段OG即为所求线 段。
E
F
GM
2、作一个角等于已知角
已知： ∠AOB。 求作： ∠A`O`B`,使∠A`O`B`= ∠AOB。
B
O A
B D
B` D`
O
A C
O`
C`
A`
1、作射线O`A`。 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于 点C，
交OB于D。 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于点C`。 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。 5、过点D`作射线O`B`。 ∠A`O`B`就是所求的角。
B D
B` D`
O
A
C
O`
C`
A`
证明：连接DC,D’C’ ,由作法可知
△C`O`D`≌△COD(SSS), ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相
等)，
即∠A`O`B`=∠AOB。
独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。
2、已知： ∠AOB。 利用尺规作： ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=2∠AOB.
学习目标
1、熟练掌握尺规作图的方法及一般步骤 2、通过作图题，培养作图能力、语言表达能 力、逻辑思维和推理能力 3、通过作图练习，培养良好的书写习惯，提 高作图技巧。

13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
活动2
教材导学
理解尺规作图 完成下列填空，想一想直尺和圆规有什么用途？ 无数条直线，需要的工具是 (1)已知点 A，经过点 A 可以画____ ____ 直尺； (2)已知不同的两点 A， B， 经过点 A， B 可以画____ 一 条直线， 具体画法是用 ____的边缘靠紧 A，B 两点画线； 直尺 (3)已知线段 A，要求不用刻度尺画一条线段 AB，使 AB＝ A.其画法是先用直尺 ____画射线 AC， 再用圆规 ____在射线 AC 上截取 AB ＝A. 你知道只用直尺和圆规还可以画出哪些图形？ ◆ 知识链接——[新知梳理]知识点一
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
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知识点二
尺规作图的步骤及作图语言的规范
1．尺规作图的步骤 (1)已知：当作图题是用文字语言叙述的，要根据文字语言用数学语言 写出题目中的条件； (2)求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； (3)作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程．当不要求写作法时 ，要保留作图痕迹．对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的 图形大致相同，然后借助草图寻找作法． 2．作图语言的规范叙述 用直尺作图时的规范语言主要有：(1)过点×作直线××，作线段×× ，以点×为端点作射线××；(2)连结××，以点×为端点作线段××，延 长线段××到点×；延长线段××到点×，使××＝××. 用圆规作图时的规范语言主要有：(1)以点×为圆心，××为半径作圆；(2) 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×；(3)在××上截取一点×， 使××＝××.
探究问题二
作一个角等于已知角
例 2 如图 13－4－4 所示，已知线段 A 和∠α，∠β ， 求作△ABC，使 AB＝A，∠A＝∠α，∠B＝∠β.

NO.28 尺规作图（一）【学习目标】1.掌握“作线段等于已知线段”、“作一个角等于已知角”、“作已知角的平分线”作图的方法及一般步骤，并能熟练掌握基本作图语言。

2.通过动手操作、合作探究，培养作图能力、语言表达能力、逻辑思维和推理能力。

3.激情投入，全力以赴，激发学习兴趣。

重点：掌握作线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知角的平分线的作法。

难点：尺规作图的理论依据【预习案】学法指导1、认真阅读课本85－87页的内容，熟练掌握三种基本作图。

2、独立完成“自主探究”的内容。

探究案探究点一：自主探究1、我们把只能使用＿＿＿＿和＿＿＿＿两种工具去作图的方法称为尺规作图。

2、我们把用直尺和圆规作线段、角、已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线。

这5种作图称为，几何作图问题一般都是由若干个基本作图组合而成的。

3、尺规作图可以不写作法，但必须保留。

探究点二：作图综合探究例1.作一条线段等于已知线段。

已知：线段a，求作一条线段MN,使MN=a.作法：（1）（2）（3）例2. 作一个角等于已知角已知：∠AOB ，求作一个角等于∠AOB.作法：（1）作 O1P1；（2）以O为圆心，以为半径画弧，交，交；（3）以为圆心，以作弧，交；（4）以为圆心，以半径作弧，交；（5）经过作。

则即为所求的角。

想一想：为什么这样作出的两个角相等？试给予证明.a例3. 作已知角的角平分线 已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线.作法：（1）以O 为圆心，以适当长为半径画弧， 交OA 于C 点，交OB 于D 点；（2）分别以C 、D 两点圆心，以大于21CD 长为半径画弧，两弧相交于P 点；（3）过O 、P 作射线OP ，即为所求作的角平分线.拓展：已知△ABC ，求作一个△DEF ，使∠A ＝∠D ，DE ＝AB,DF ＝AC.训练案1. 用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（ ） A 、作一个角等于已知角 B 、作已知直线的垂线 C 、作一条线段等于已知线段 D 、作角的平分线2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（ ） A SSS B ASAC AASD SAS3.已知线段MN,画一条线段AC= MN 的步骤是: 第一步: _____________, 第二步:__________________,AC就是所要画的线段.4.任意画出两条线段AB 和CD ，再作一条线段，使它等于AB ＋2CD.5.任意画出两个角∠1和∠2，使∠1＞∠2，再作一个角，使它等于∠1－∠2.OBAACB。

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_O__B_于点 D； (3)以_O_′_为圆心，以_O_C__长为半径画弧交__O′A′ _于点 C′； (4)以_C__′ _为圆心，以_C_D__的长为半径画弧，交_前__一条 _弧
于点 D′； (5)过点_D_′__作射线 O′B′. ∠A′O′B′就是所求作的角，如图②所示．

C，则△ABC 就是所求作的三角形，如图 行维权，按照传播下载次数进行十倍的索取赔偿！
和 13
－4－5 所示．
2019/9/17线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
[归纳总结] 注意：(1)求作两角和或差时，一定要注明“外 部”或“内部”；
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_直__尺_； (2)已知不同的两点 A，B，经过点 A，B 可以画__一__条直线，
具体画法是用直__尺__的边缘靠紧 A，B 两点画线； (3)已知线段 A，要求不用刻度尺画一条线段 AB，使 AB＝
A.其画法是先用直__尺__画射线 AC，再用圆__规__在射线 AC 上截取 AB ＝A.

(2)在射线上用圆规截取相应的线段，求和时顺次截取叠 加，求差时从线段中截取；
(3)指明所作的线段是哪一段，并用字母表示． 注意：画射线用直尺，截取线段用圆规，作图时要正确
使用作图工具，尽量减小误差，用铅笔作图，保留作图痕迹．
2019/9/17
9
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
2019/9/17
图 13－4－2
7
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
重难互动探究

尺规作图
尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。 尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆 规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同 的平面几何作图题。
尺规作图的著名问题
尺规作图不能问题就是不可能用尺规作图完成的作图问题。其使它的体积是已知立方体的体积的两 倍； ■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。 ■三等分角：作一个角，将其分为三个相等的部分。 以上三个问题在2400年前的古希腊已提出这些问题，但在欧几 里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。直至1837 年，法国数学家万芝尔才首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作 图不能问题。而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数 后，“化圆为方”也被证明为尺规作图不能问题。
还有另外两个著名问题： ■作正多边形 只使用直尺和圆规，作正五边形。 只使用直尺和圆规，作正六边形。 只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使 许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的.只使用直 尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不 足以把一个角分成三等份的。 问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出 了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的 非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题。 ■四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是 拿破仑· 波拿巴出的，向全法国数学家的挑战。
作法：
1.给一圆O，作两垂直的直径AB、CD. 2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE. 3.作∠CEB的平分线EF. 4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P. 5.作∠GEH=45°,交CD于Q. 6.以CQ为直径作圆,交OB于K. 7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M. 8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R. 9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.

2018年秋八年级数学上册第13章全等三角形13.4 尺规作图1 作一条线段等于已知线段2 作一个角等于已知角作业（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第13章全等三角形13.4 尺规作图1 作一条线段等于已知线段2 作一个角等于已知角作业（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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［13。

4 1.作一条线段等于已知线段 2.作一个角等于已知角］一、选择题1．已知线段AB和CD，用尺规作线段EF，使EF＝AB＋CD，第一步作射线EP,第二步（）A．在射线EP上依次截取两条线段，分别等于AB和CDB．用刻度尺量出AB和CD的长，再在EP上截取C．在射线EP上截取两条线段，分别等于AB和CDD．延长AB到点D，使BD＝AB2．2017·随州如图K－31－1，用尺规作图作∠AOC＝∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA，OB于点E，F，那么第二步的作图痕迹②的作法是（）A．以点F为圆心,OE长为半径画弧B．以点F为圆心，EF长为半径画弧C．以点E为圆心，OE长为半径画弧D．以点E为圆心，EF长为半径画弧图K－31－13．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图K－31－2，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（）图K－31－2A．S.S。

S. B．S。

A.S.C．A.S.A。

D．A.A.S。

图 13－4－5
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
[归纳总结] 注意：(1)求作两角和或差时，一定要注明“外 部”或“内部”；
(2)求作三角形，一般情况下先作线段再作角，并结合全等 三角形的判定方法作图；
(3)本题实质是已知两角及其夹边作三角形．由“角边角” 定理，在此条件下所作的三角形是唯一的．一般情况下先作线 段，再作两个角，必须指明在线段的同侧，否则不会相交．基 本作图的“作法”不必再详说，如作线段 AB 的步骤，作∠BAM ＝∠α 的步骤，但必须保留作图痕迹．
13.2.5 边边边
[归纳总结] 证明三角形全等的步骤： 第一步：从已知出发，探究要证明的相等的线段或角分别 在哪两个全等三角形中； 第二步：分解图形——将所证全等三角形从“复合”图形 中分离出来； 第三步：“移植”条件——将已知条件转移到图形中，再 根据已知条件及隐含条件寻求恰当的证明方法．
可以确定△ABC 与△A′B′C′的关系是
全等
．
你能用一句话概括出三角形全等的这种判定方法吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
13.2.5 边边边
新知梳理
► 知识点一 “S.S.S.”基本事实及运用 基本事实：三__边__分别相等的两个三角形全等．简记为 S.S.S.(或边边边)．
13.2.5 边边边
13.4.1 作一条线段等于已知线段 13.4.2 作一个角等于已知角
► 知识点二 尺规作图的步骤及作图语言的规范
1．尺规作图的步骤 (1)已知：当作图题是用文字语言叙述的，要根据文字语言用数学语言 写出题目中的条件； (2)求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； (3)作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程．当不要求写作法时 ，要保留作图痕迹．对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的 图形大致相同，然后借助草图寻找作法． 2．作图语言的规范叙述 用直尺作图时的规范语言主要有：(1)过点×作直线××，作线段×× ，以点×为端点作射线××；(2)连结××，以点×为端点作线段××，延 长线段××到点×；延长线段××到点×，使××＝××. 用圆规作图时的规范语言主要有：(1)以点×为圆心，××为半径作圆；(2) 以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×；(3)在××上截取一点×， 使××＝××.

没有刻度的直尺画，圆可用圆规画，于是规定：只 准许使用没有刻度的直尺和圆规。
在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.
其中,直尺是没有刻度的; 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图. 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的.
下面学习几种基本作图
1、作一条线段等于已知线段
利用直尺和圆规可以作出很多几何图形， 你想知道我们是如何用圆规和直尺作一条线段 等于已知线段的吗？
l
C
A
E
B
应用五：作三角形
例4.已知三角形的三边求作三角形
已知:线段a,b,c
a b c
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
A
作法
(1)作线段BC＝a,

(2)以C为圆心, b为半径画弧
(3)以B为圆心, C为半径画弧
两弧相交于点A
B
C
M (4)连接AB,AC
则△ABC为所求作的三角形
例5.已知:线段a，c，∠α 求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
O’
C’
AA’’
∠A’O’B’就是所求的角.
作一个角等于已知角的根据是什么？
B D
B` D`
O
A
C
O`
C`
A`
证明：连接DC,D`C`,由作法可知 △C`O`D`≌△COD(SSS), ∴∠C`O`D`=∠COD(全等三角形的对应角相等)， 即∠A`O`B`=∠AOB。
3、作已知角的平分线
已知： ∠MAN 求作：射线AD，使 ∠ MAD= ∠ NAD
.D
∟
线段AD就是△ABC 边BC上的高
例3.如图，画△ABC 边BC上的高、中线和∠A的平分线.

××＝××；或延长××交××于点×；
2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧
，两弧相交于点×、× 。
尺规作图题的一般步骤
1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用 数学语言写出题目中的条件；
图24.4.10
②.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
①.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l 的垂线．
图 24.4 .9
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的长为半径画弧 ，交直线l于点A、B； (2)以A为圆心,以大于CB长为半径在直线一侧画弧;
• 3、作射线OC。
• 4、OC就是所求的射线。
4、画已知线段的垂直平分线 定义: 于一条线段并且 这条线段的 直线，叫做线段的垂直平分线（或叫 中垂线）。
• 已知：线段AB， • 求作：作直线CD交AB于O，使
CD⊥AB,AO=BO.
图 24.4.7
步骤：
• 1、以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径 画弧；
如图，已知∠AOB及M、N两点，求
作：点P，使点P到∠AOB的两边距
离相等，且到M、N的两点也距离相
等。
A
M N
O
B
生活离不开数学
A、B是两个村庄，要从灌溉总 渠引两条水渠便于灌溉，请你 选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
已知:线段a，c，∠α 求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的 条件；

AB，使AB=2(a-b).
分析：先利用线段之差作出a b,然后再作a b的2倍.
作法：(1)作射线AM;
(2)在射线AM上截取线段AC=a；
(3)在线段AC上截取CD=b，贝U AD=a-b;
(4)在射线DM上截取DB,使DB=AD.则线段AB=2(a-b).
本环节借助于
【思维提升】、本环节 主要是复习前两个基 本作图，以例题的形 式加深印象，教师注 意规范学生的作图•
与同伴交流.
［教师活动］示范作图，强调几个注意点，①第二步时的 作弧半径；②标志各交点的字母•共同完成证明.
应用 迁移，
巩固
提高
拓展举例
分组作图，一个班分成三个组，一组画一个锐角三角形， 一组画一个钝角三角形， 一组画一个直角三角形， 画出你 所画三角形的三条角平分线，作完图之后与同伴交流，你 有什么发现？
［小结］用SSS'判定方法可得到厶COD◎△CO',［再根 据全等三角形的性质可得/AOB=ZA O B .
例2如图13—4-,已知/a, Z3,
图13—4—
求作/AOB，使/AOB=Z a+Z 3.分析：如图13—4-,先作一个角等于已知角Za,再在
这个角的外面接着作Z 3.
［答案］
作法：⑴作/AOC=Z a；
(2)在ZAOC的外面，以OC为一边作ZCOB=Z3,贝ZAOB=Z a+ Z 3.
归纳整理：作角的和、差时，要注意是在前一个角的外面 作，还是在内部作.
解：⑴如图13-4—,以B为顶点，向北偏西作60°角， 这角一边与AC交于点C,则点C为礁石所在地.
［探究并交流］角平分线的作法
阅读课本P87试一试，先按照课本上的作图方法作图，并