一次不定方程的解法

n元一次不定方程的一种解法
一次不定方程的求解
1、概念：一次不定方程是指一次方程中未知数的数量多于未知数的数量的一种方程。

它的系数可以是不同的数字或未知数。

2、求解思路：
（1）消去法：从方程的右边开始，将未知数的系数乘以一个系数，将
左边的式子也乘以相反的一个数，然后相加，使未知数消去。

（2）完全平方法：将右边的式子凑成完全平方的形式，方程会拆分成
两个等式，可以用上式中乘法法则来求解。

（3）互反法：将方程中的系数和未知数互反，使右边等于零，然后计
算出未知数的值。

（4）图解法：画出一次不定方程的图解，用图形找出未知数的解。

3、应用：一次不定方程的解法可以应用到科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等很多领域：
（1）科学计算：一次不定方程可以用于计算物理系统中未知量的关系，如求解动力学问题，电势场方程等。

（2）数学论文推理：一次不定方程可以用来推导一个式子、证明一个
定理，或是分析数理关系。

（3）建模与计算：一次不定方程的解可以用于建立数学模型，用于系
统分析和系统控制，它可以为科学研究找出一条最佳途径。

（4）最优化：一次不定方程可以用于调节机器学习算法，生物学算法中的路径规划，或者求出最优化解，解决计算机科学中的问题。

4、总结：一次不定方程的求解有消去法，完全平方法，互反法，图解法等，他们均可应用于科学计算、数学论文推理、建模与计算、最优化等领域，从而有助于将科学的研究都串联起来，使得学术研究得以进展等。

一次方程和一次不等式的解法一次方程和一次不等式是数学中最基础且常见的问题类型之一，其解法对于学习数学的基础知识和提高逻辑思维能力非常重要。

本文将对一次方程和一次不等式的解法进行详细介绍。

一、一次方程的解法一次方程是指其各项指数均为1的方程，也就是形如ax + b = 0的方程。

其中，a和b为已知常数，而x为未知数。

解一次方程的关键在于找出未知数的值，使得方程等式成立。

解一次方程的一种常见方法是移项法。

具体步骤如下：1. 首先将方程中包含x的项移至方程左边，常数项移到方程右边，得到ax = -b的形式。

2. 接下来，通过除以a的操作，将方程化简为x = -b/a的形式即可。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以利用移项法解得x = (7-3)/2 = 2。

如果方程的系数较复杂，可以借助合并同类项的方法进行化简，然后再使用移项法解方程。

此外，还有使用代入法、等式法等方法解一次方程的常见技巧。

代入法是指找出方程中一个已知数的值，然后将其代入方程求解未知数的方法。

等式法则是通过两个等式之间的关系，将一个方程的解代入另一个方程求解未知数。

二、一次不等式的解法一次不等式是指其各项指数均为1的不等式，也就是形如ax + b < c或ax + b > c的不等式。

同样地，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解一次不等式就是找出所有满足不等式条件的x的取值范围。

解一次不等式的方法常见有图像法和代数法两种。

1. 图像法：可以将一次不等式的解集表示在数轴上，通过观察图像得出解的范围。

例如，对于不等式3x + 5 < 8，我们可以将其转化为方程3x + 5 = 8，在数轴上标出该方程的解x = 1，然后观察不等式的方向为<，所以解集为(-∞, 1)区间上的所有实数。

2. 代数法：通过代数方法来解一次不等式，可以借助于一次方程的解法。

对于不等式3x + 5 < 8，我们可以先将其转化为3x + 5 - 8 < 0的形式，然后化简得到3x - 3 < 0。

连分数求解一次不定方程不定方程是数学中最常见的一类方程，它们的解法有多种，比如当被称为“一次不定方程”的方程的系数和未知数的关系是复杂的时候，就需要采用连分数求解。

连分数求解一次不定方程，首先需要对方程做同乘以全约，即把系数和未知数分开，如多项式两边取相同的除数，然后把方程转化为极限形式，就可以运用连分数求解了。

例如，若有一次不定方程：2x/7 - 6/5 + 3/7 = (x + 1)/2，将两边同时乘以7/2，得到2x - 3 + 15 = 7x + 7，将方程转化为极限形式：(2x - 3)/(7x + 7) = 15/7，可见，这是一个关于x的未知连分数，而这就是一次不定方程的求解过程。

接下来，就要进行连分数求解。

首先，要把连分数分解为若干份：(2x - 3)/(7x + 7) = ((2x - 3))/(7x + 7) + ((15/7 - (2x - 3)/(7x + 7))/(7x + 7)) = (2x - 3 + 15 - 2x +3)/(7x + 7) = (15 - x)/(7x + 7)，即((2x - 3))/(7x + 7) + ((15 - x)/(7x + 7))。

对于每一份，分母相同，可把它们的分子相加，得到15 - x + 2x - 3 = 12，即x = 3，于是得到解为x = 3。

可知，将一次不定方程转化为极限形式，运用连分数求解，可以得到解的可能性。

连分数求解一次不定方程的过程，也可以用同样的方法求解多项式方程组，它也是线性代数中最重要的技术之一。

它可以使复杂，长程运算更加便捷，而且可以简化多项式方程组的处理过程，只要把每一个方程分别乘以同约因子，然后把它们转化为最简形式，就可以将其转化为一个有着相同分母的式子，把它们的分子相加，就可以得出多项式方程组的解了。

作为数学中的一种基本技术，连分数求解一次不定方程在线性代数，统计学等领域中都得到了广泛的应用，更形函数的求解等技术的研究也离不开这一技术。

第十六讲 一次不定方程一、知识要点1、不定方程：未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或方程组）。

2、二元一次不定方程的一般形式：ax+by=c 。

3、二元一次不定方程ax+by=c 有整数解的判定：定理1：若二元一次不定方程ax+by=c 中，a 和b 的最大公约数不能整除c ，则方程没有整数解。

例如，方程2x+4y=5没有整数解。

（想一想为什么？）定理2：如果正整数a,b 互质，则方程ax+by=1有整数解，同时方程ax+by=c 有整数解。

例如，3x+5y=7，3与5互质，x=-1,y=2是这个方程的一组整数解。

定理3：如果a,b 互质，且方程ax+by=c 有一组整数解x 0,y 0，则此方程式的所有整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=）t at y y bt x x 为整数(00 或 ⎩⎨⎧+=-=）t at y y bt x x 为整数(00 例如，3x+5y=7的所有整数解可表示为⎩⎨⎧+=--=）t t y t x 为整数(3251 4、一次不定方程的整数解的求法：观察法；辗转相除法。

二、例题示范例1、判断下列不定方程（组）哪些有整数解，哪些没有整数解。

(1) 4x+6y=7 (2) 4x+8y=10(3) ⎩⎨⎧=-=+12536z y y x (4) ⎩⎨⎧=-=+121036z y y x例2、求方程3x+5y=1的整数解。

（1）观察法； （2）辗转相除法。

练习：求4x+5y=7的整数解。

例3、求方程37x+107y=25的整数解。

例4、求方程7x+4y=100的所有正整数解。

例5、如果三个既约真分数32,4a ,5b 的分子都加上b ，这时得到的三个分数的和为6，求这三个既约真分数的积。

例7、百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？提示：列不定方程组，化为不定方程解之。

例8、设七位数42762xy 为99的倍数，则x,y 的值是 。

一次不定方程的解法我们现在就这个问题，先给出一个定理．定理 如果,a b 是互质的正整数，c 是整数，且方程ax by c += ①有一组整数解00,x y 则此方程的一切整数解可以表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩其中0,1,2,3,t =±±±…证 因为00,x y 是方程①的整数解，当然满足00ax by c += ②因此0000()()a x bt b y at ax by c -++=+=．这表明0x x bt =-，0y y at =+也是方程①的解． 设,x y ''是方程①的任一整数解，则有ax by c ''+= ③③-②得 00()()a x x b y y ''-=-- ④由于(,)1a b =，所以0a y y '-，即0y y at '=+，其中t 是整数．将0y y at '=+代入④，即得0x x bt '=-．因此,x y ''可以表示成0x x bt =-，0y y at =+的形式，所以0x x bt =-，0y y at =+表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解.例1 求11157x y +=的整数解．解法1 将方程变形得71511y x -=因为x 是整数，所以715y -应是11的倍数．由观察得002,1x y ==-是这个方程的一组整数解，所以方程的解为215111x t y t=-⎧⎨=-+⎩ t 为整数解法2 先考察11151x y +=，通过观察易得11(4)1531⨯-+⨯=，所以11(47)15(37)7⨯-⨯+⨯⨯=，可取0028,21x y =-=，从而28152111x ty t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数 可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．例2 求方程62290x y +=的非负整数解． 解 因为(6,22)2=，所以方程两边同除以2得31145x y += ①由观察知，114,1x y ==-是方程3111x y += ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为0045418045(1)45x y =⨯=⎧⎨=⨯-=-⎩ 由定理，可得方程①的一切整数解为18011453x ty t=-⎧⎨=-+⎩ 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有1801104530t t -≥⎧⎨-+≥⎩③ 由于t 是整数，由③得1516t ≤≤，所以只有15,16t t ==两种可能．当15,15,0t x y ===；当16,4,3t x y ===．所以原方程的非负整数解是150x y =⎧⎨=⎩ ，43x y =⎧⎨=⎩ 例3 求方程719213x y +=的所有正整数解．分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 解 用方程719213x y += ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得213193530277y yx y --==-+② 因为,x y 是整数，故357yu -=也是整数，于是573y u +=．化简得到573y u += ③令325uv -=（整数），由此得 253u v += ④由观察知11u v =-⎧⎨=⎩是方程④的一组解．将11u v =-⎧⎨=⎩代入③得2y =，再将2y =代入②得25x =．于是方程①有一组解00252x y =⎧⎨=⎩，所以它的一切解为251927x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为整数由于要求方程的正整数解，所以25190270t t ->⎧⎨+>⎩解不等式，得t 只能取0,1．因此得原方程的正整数解为252x y =⎧⎨=⎩ ，69x y =⎧⎨=⎩ 当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 例4 求方程3710725x y +=的整数解．解1072373337133433841=⨯+=⨯+=⨯+ 为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得13384=-⨯37484=--⨯ 3794=-⨯ 379(3733)=-⨯- 933837=⨯-⨯9(107237)837=⨯-⨯-⨯ 91072637=⨯-⨯ 37(26)1079=⨯-+⨯由此可知1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组整数解．于是025(26)650x =⨯-=-，0259225y =⨯=是方程3710725x y +=的一组整数解． 所以原方程的一切整数解为65010722537x t y t=--⎧⎨=+⎩ t 为整数例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x 枚7分，y 枚5分恰好支付142分，于是75142x y += ①所以142722222828555x x x y x x ---==-+=--由于7142x ≤，所以20x ≤，并且由上式知52(1)x -．因为(5,2)1=，所以51x -，从而1,6,11,16x =，所以①的非负整数解为127x y =⎧⎨=⎩ ，620x y =⎧⎨=⎩ ，1113x y =⎧⎨=⎩ ，166x y =⎧⎨=⎩所以，共有4种不同的支付方式．说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 例6 求方程92451000x y z +-=的整数解．解 设9243x y t +=，即38x y t +=，于是351000t z -=．于是原方程可化为38351000x y tt z +=⎧⎨-=⎩ ① 用前面的方法可以求得①的解为383x t y t u =-⎧⎨=-+⎩（u 是整数） ② ②的解为2000510003t vz v=+⎧⎨=+⎩ （v 是整数） ③ 消去t ，得600081520003510003x u v y u v z v =-+⎧⎪=-+-⎨⎪=+⎩（,u v 都是整数） 大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买,,x y z 只，由题意列方程组 ①②化简得159300x y z ++= ③ ③-②得148200x y +=即74100x y +=，解741x y +=得12x y =-⎧⎨=⎩于是74100x y +=的一个特解为⎧⎪⎨⎪⎩1531003x y z ++=100x y z ++=00100200x y =-⎧⎨=⎩ 由定理知74100x y +=的所有整数解为10042007x t y t =-+⎧⎨=-⎩t 为整数由题意知，0,,100x y z <<，所以0100410002007100t t <-+<⎧⎨<-<⎩t 为整数解得42528724142877t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩∴ 425287t <<由于t 是整数，故t 只能取26,27,28，而且,,x y z 还应满足100x y z ++=．即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。

不定方程求解方法一、不定方程是啥。

1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。

比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。

这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。

1.2 这种方程在数学里可是很常见的。

它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。

这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。

二、求解不定方程的一些常用方法。

2.1 枚举法。

这就像一个一个去试。

比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。

当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。

就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。

就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。

2.2 利用数的性质。

比如说奇偶性。

如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。

这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。

再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。

这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。

2.3 换元法。

就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。

这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。

这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。

三、实际应用中的不定方程求解。

3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。

比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。

不定方程三种解法不定方程是指方程中含有一个或多个未知量，并且在给定范围内存在多个整数解的方程。

解决不定方程的问题在数学中具有重要意义，因为它们可以应用于各种实际问题，如商业、工程和密码学等领域。

在这篇文章中，我们将讨论三种解决不定方程的常见方法。

## 1. 穷举法穷举法是最简单的解决不定方程的方法之一。

它的原理是通过穷举所有可能的解来找到符合方程要求的整数解。

首先，我们需要确定未知数的取值范围。

然后，使用循环结构，从最小值开始逐个尝试，直到找到满足方程条件的解或超出最大值。

例如，考虑求解方程x + y = 8，其中x和y是整数。

我们可以通过以下伪代码来实现穷举法：```for x in range(1, 9):for y in range(1, 9):if x + y == 8:print("x =", x, "y =", y)```通过这个方法，我们可以得到方程的所有整数解：(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)和(8, 0)。

然而，穷举法在大规模的问题上效率较低，因为它需要遍历所有可能的解，而不是有针对性地解决问题。

## 2. 辗转相除法辗转相除法，也称为欧几里德算法，用于求解关于两个未知数的不定方程。

这种方法的关键思想是利用两个整数的最大公约数来解决方程。

例如，考虑求解方程ax + by = c，其中a、b和c是已知整数，x和y是未知数。

我们可以使用辗转相除法来求解。

首先，我们需要计算a和b的最大公约数。

然后，检查c是否可以被最大公约数整除。

如果是，则方程有解，否则方程无解。

如果方程有解，我们可以使用扩展欧几里德算法来找到x和y的值。

扩展欧几里德算法可以通过递归方式计算出未知数的值。

辗转相除法是一种较为高效的方法，因为它只需要计算最大公约数和进行有限次的递归运算。

## 3. 数论方法数论方法是解决特定类型不定方程的一种方法。

初一数学不定式方程的解法精华一次不定方程的整数解⑴设整系数方程0=++c by ax （a ＞0，b ≠0） ①中（a,b ）＝1，则它必有整数解⑵设①中，（a,b ）＝d ＞1，则当d c ，时，方程①中无整数解；当d ｜c 时，，方程①有整数解⑶设x ＝x0,y ＝y0,是①的一组整数解（称为一个特解），则它的一切整数解（称为通解）可以表示为⎩⎨⎧-=+=kb y y kb x x 00（k 为任意整数） ②求不定方程3x ＋7y ＋16z ＝40的整数解分析：这是一个三元一次不定方程，把其中一个未知数暂时看做常数，这样就把原方程化为二元一次不定方程了。

解法1、把z 看做常数，则3x ＋7y ＝40－16z利用观察法（或连分数法）易知：x ＝－2，y ＝1是方程3x ＋7y ＝1的一个特解于是⎩⎨⎧-=+-=z y z x 16403280是方程3x ＋7y ＝40－16z 的一个特解，于是⎪⎩⎪⎨⎧=--=++-=z z tz y t z x 3164073280（z,t 取一切整数）是原方程3x ＋7y ＋16z ＝40的通解解法2、将原方程变形为315213316740z y z y z y x --+--=--=令t z y =--31 则y ＝1－z －3t ，于是x ＝11－3z ＋7t ，从而，原方程的通解是 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=z z tz y t z x 317311（z,t 取一切整数）例2、（百鸡问题）鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母、鸡雏各几何？分析：本题是我国古代数学家张丘建《算经》中的名题，基本解法是消元，化为二元一次不定方程求解解：用x,y,z 分别表示鸡翁，鸡母，鸡雏的数目，依题意得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++　②①100100335z y x z y x3×①－②得 7x ＋4y ＝100＝7×20－4×10也即7（x －20）＋4（y ＋10）＝07（x －20）＋4（y ＋10）＝0∴x0＝20 y0＝－10，从而得⎩⎨⎧--=-=+=+=k k y y k k x x 7107420400∵x,y 均为非负，故有⎩⎨⎧≥≥+07100420k k －－10从而知－5≤k≤－7由此可得整数k与非负整数x,y,z的取值如下：。

简明初中数学复习不定方程的求解技巧不定方程的求解技巧不定方程是指含有未知数的方程，其解不限于整数或有理数。

在初中数学中，我们学习了一些基本的不定方程求解技巧，本文将对这些技巧进行简要复习。

一、一元一次不定方程的求解一元一次不定方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，x为未知数。

我们可以借助基本的代数运算来求解这类方程。

1. 将方程变形，消去系数a。

首先，将方程两边同时减去b，得到ax = -b。

2. 消去未知数系数a。

通过两边同时除以a，我们可以得到x = -b/a。

因此，一元一次不定方程的解为x = -b/a。

二、一元二次不定方程的求解一元二次不定方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，x为未知数。

我们可以应用一些方法来解决这类方程。

1. 因式分解法。

当方程存在两个不同的解时，我们可以尝试将其因式分解为两个一次式相乘的形式。

例如，若方程为x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x - 3)(x - 2) = 0。

然后，我们可以得到两个不同的解x = 3和x = 2。

2. 完全平方式。

当方程可以表示为一个完全平方时，我们可以直接利用完全平方式求解。

例如，若方程为x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其表示为(x + 3)^2 = 0。

然后，我们可以得到唯一解x = -3。

3. 二次方程求根公式。

对于一般的一元二次不定方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用二次方程求根公式来求解。

公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

我们通过计算判别式D = b^2 - 4ac的值来确定方程的解的性质：a) 当D > 0时，方程有两个不同的实数解。

b) 当D = 0时，方程有一个重根（重复解）。

c) 当D < 0时，方程没有实数解，但可能有复数解。

三、常见的应用问题不定方程的求解技巧在数学中有着广泛的应用，在实际问题中也有许多应用。