圆的动点问题--经典模拟题及答案

2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式202022解答题9(1)①圆上的点到圆心的距离都相等（即为半径），全等三角形的判定（SAS）②全等三角形的对应角相等，三角形内外角关系(2)切线性质，扇形面积计算(1)①求证三角形全等②写出三个角间的数量关系，并证明(2)指出线段与半圆的位置关系，求扇形面积20222510(1)弧长公式，锐角三角函数，平行线的性质(2)点圆最值，直线与圆的位置关系，勾股定理(3)分类讨论思想，勾股定理，锐角三角函数(1)求角度数及x的值(2)求x最小值，指出直线与圆的位置关系(3)求x的值例(2022河北预测卷)如图，点A是⊙O外一点，连接AO交⊙O于点B，点P从点B出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，过点P且垂直于AO的射线PM也随之运动，PM交AO于点C，交⊙O于点Q.连接AQ，OP，AP.例题图(1)求证：AP＝AQ；(2)若AO＝2PO＝6.最大时，求AQ的值；①当S△APO②当AP与⊙O相切时，求点P运动路径的长．练习(2022河北定心卷)如图，∠AOC＝90°，OA＝OC＝3，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别过点A，C，作⊙O的切线AB，CB，两切线交于点B，点M是线段OA上一点(不与点A，O重合)，连接CM并延长交⊙O于点D，OE平分∠AOD交DC于点E.练习题图(1)求证：四边形OABC为正方形；(2)连接AC，若OD∥AC，求∠ODC的度数；(3)随着点M位置的改变，直接写出点E所经过的路径l的取值范围．练习(2022河北定制卷)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，动点M 从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，同时动点N从点C出发，以3cm/s的速度沿CA向点A运动，当一点停止运动时，另一点也随即停止运动．以AM为直径作⊙O，连接MN，设运动时间为t(s)(t>0).练习题图(1)试用含t的代数式表示出AM及AN的长度，并直接写出t的取值范围；(2)当t为何值时，MN与⊙O相切？(3)若线段MN与⊙O有两个交点，求t的取值范围．答案典例精讲例(1)证明：∵PQ⊥AO于点C，OB为⊙O的半径，∴PC＝QC，∠ACP＝∠ACQ＝90°，在△ACP和△ACQ中，A＝A∠A＝∠AA＝A，∴△ACP≌△ACQ(SAS),∴AP＝AQ；(2)解：①如解图①，∵S△APO＝12×AO·PC，且AO＝6，＝3PC，∴当PC最大时，S△APO最大，∴S△APO最大，∴当点C与点O重合时，PC最大，即S△APO∵AO＝2PO＝6，∴PO＝3，在Rt△AOP中，AP＝B2＋B2＝62＋32＝35，由(1)得AP＝AQ，∴AQ＝35；解图①②当AP与⊙O相切时，则AP⊥PO，即∠APO＝90°，当点P在AO上方时，如解图②，∵AO＝2PO＝6，∠APO＝90°，∴PO＝3，∴cos∠AOP＝B B＝12，∴∠AOP＝60°，∴点P运动路径的长为60H3180＝π；解图②解图③例题图当点P在AO下方时，如解图③，根据圆的轴对称性可得点P运动路径的长为300H3180＝5π.综上所述，点P的运动路径长为π或5π.课堂练兵练习(1)证明：∵BA，BC是⊙O的切线，∴∠BAO＝∠BCO＝90°.又∵∠AOC＝90°，∴四边形OABC为矩形.∵OA＝OC，∴四边形OABC为正方形；(2)解：如解图，连接AC，∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.又∵OD∥AC，∴∠DOC＝180°－∠OCA＝135°.∵OD＝OC，∴∠ODC＝180°－135°2＝22.5°；解图(3)在⊙O中，已知∠AOD=2∠DCA，∵OE平分∠AOD，∴∠EOA=∠DCA∴A、C、O、E四点共圆∵∠AOC＝90°，∴AC为直径如解图，连接AC ，取AC 的中点Q ，AQ 为半径∴点E 在以AC 的中点Q 为圆心，AQ 为半径的圆弧OA 上运动．连接QO ，∵OA ＝OC ＝3，Q 为AC 的中点，∴∠OQA ＝90°，AC ＝32，∴QA ＝322，∴OA ︵的长为90×π×322180＝32π4.∴点E 所经过的路径l 的取值范围为0＜l ＜32π4.例题解图课后小练练习解：(1)由题意得，AM ＝2t ，CN ＝3t ，在Rt △ABC 中，AC ＝B 2＋A 2＝62＋82＝10，∴AN ＝AC －CN ＝10－3t ，∵AB ＝6cm ，动点M 速度为2cm /s ，∴动点M 的最长运动时间为62＝3s ，∵AC ＝10cm ，动点N 的速度为3cm /s ，∴动点N 的最长运动时间为103s ，∴t 的取值范围为0＜t ≤3；(2)若MN 与⊙O 相切，则AB ⊥MN ，即∠AMN ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠AMN ＝∠ABC ，∵∠MAN ＝∠BAC ，∴△AMN ∽△ABC ，A B ＝A A ，即26＝10－310，解得t ＝3019，∴当t ＝3019时，MN 与⊙O 相切；(3)由(2)得，当t＞3019时，直线MN与⊙O有两个交点，如解图，当点N恰好在⊙O上时，线段MN与⊙O的两个交点恰好为M，N，∵AM为⊙O的直径，∴∠ANM＝90°＝∠B，∵∠MAN＝∠CAB，∴△AMN∽△ACB，A A＝A B，即210＝10－36，解得t＝5021，∴若线段MN与⊙O有两个交点，则t的取值范围为3019<t≤5021.解图。

初二动点题经典例题篇一：标题：初二动点题经典例题正文:在初中数学中，动点问题是一个较为重要的知识点。

特别是在初二阶段，同学们需要掌握动点问题的基本概念、解题方法和技巧。

今天，我们将分享一些初二动点题的经典例题，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握动点问题的解题方法。

例题 1: 已知圆心为 O、半径为 2 的圆与 x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，CD⊥AB，问 CD 长度是否等于圆心角 AOB 的平分线弧长？解析：本题是一道圆与轴的交点问题。

根据圆的性质可知，圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 长度等于半径 2 的一半，即 CD=1。

此外，圆心角 AOB 的平分线弧长即为半径 2，因此 CD 长度等于圆心角 AOB 的平分线弧长。

拓展：在本题中，如果我们将 CD 的长度设为 x，则可以列出方程:x2 = 4(12 - x2)。

通过解方程，我们可以得到 x = 1，即 CD 的长度等于 1。

此外，在本题中，我们还利用了圆的性质，即圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 是线段 AB 的一半。

这种利用圆的性质求解动点问题的方法，在初中数学中是非常常见的。

例题 2: 已知点 P(x,y) 是圆 C:x2 + y2 = 4 圆上任意一点，圆 C 与 x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，点 C 在 x 轴正半轴上，点 D 在 y 轴正半轴上，CD⊥AB，问 CD 长度是否等于圆 C 的半径？解析：本题是一道圆与轴的交点问题。

根据圆的性质可知，圆 C 的圆心 O 是线段 AB 的中点，因此 CD 长度等于半径 2 的一半，即 CD=1/2。

此外，圆 C 与x 轴正半轴交于 A，与 y 轴负半轴交于 B，因此 CD 的长度等于圆 C 所对的圆心角 AOB 的平分线弧长。

拓展：在本题中，如果我们将 CD 的长度设为 x，则可以列出方程:x2 = 4(12 - x2)。

1.如图，A、B是半圆O的两点，MN是直径，OB⊥MN.若AB=4，OB=5，P是MN上的一动点，则PA+PB的最小值为_____.
5，C为⊙O内一动点，且∠ACB=90°，则△ABC 2.图，⊙O的半径为5，弦AB的长为2
的周长的最大值为____.
3.如图，在半圆O中，点C是半圆弧AB的中点，点D是弧BC上离B点较近的一个三等分点，点P是直径AB上一点，若AB=10，则PC+PD的最小值为____.
4.图如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
5.如图，P为⊙O内一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O 交于B、C两点.若⊙O的半径长为3，OP=3，则弦BC的最大值为( )
3
A.23
B.3
C.6
D.2
6.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_____.
8.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B=____.
9.如图，已知⊙O的半径为5，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，AB=8，则tan∠CB D的=_____.
10.如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=35°，则∠B+∠E=_____.。

2023年中考数学高频考点训练——圆-动点问题一、综合题1．如图，四边形OBCD 中的三个顶点在⊙O 上，A 是优弧BD 上的一个动点（不与点B 、D 重合）．（1）当圆心O 在BAD ∠内部，∠ABO ＋∠ADO=70°时，求∠BOD 的度数；（2）当点A 在优弧BD 上运动，四边形OBCD 为平行四边形时，探究ABO ∠与ADO ∠的数量关系．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABO 的顶点A ，B ，O 均落在格点上，OB 为⊙O 的半径．（1）AOB ∠的大小等于（度）；（2）将ABO 绕点O 顺时针旋转，得A B O '' ，点A ，B 旋转后的对应点为A '，B '．连接AB '，设线段AB '的中点为M ，连接A M '．当A M '取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出点B '，并简要说明点B '的位置是如何找到的（不要求证明）．3．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的切线，切点为C ，过B 作BE CD ⊥，垂足为点E ，直线BE 交O 于点F.（1）判断ABC ∠与EBC ∠的数量关系，并说明理由.（2）若点C 在直径AB 上方半圆弧上运动，O 的半径为4，则①当CB 的长为时，以B 、O 、E 、C 为顶点的四边形是正方形；②当BE 的长为时，以B 、O 、F 、C 为顶点的四边形是菱形.4．先阅读材料，再解答问题：已知点00(:)P x y 和直线y kx b =+，则点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式d =计算．例如：求点(2,1)P -到直线23y x =+的距离．解：由直线23y x =+可知：2,3k b ==．所以点(2,1)P -到直线23y x =+的距离为255d ==．求：（1）求点P （2，-1）到直线y=x+1的距离．（2）已知直线21y x =+与25y x =-平行，求这两条平行线之间的距离；（3）如图已知直线443y x =--分别交,x y 轴于,A B 两点，☉C 是以(2,2)C 为圆心，2为半径的圆，P 为☉C 上的动点，试求PAB ∆面积的最大值．5．如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°.（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在 BND 上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F.①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长.6．一块含有30︒角的三角板ABC 如图所示，其中90C ∠=︒，30A ∠=︒，3BC cm =.将此三角板在平面内绕顶点A 旋转一周.（1）画出边BC 旋转一周所形成的图形；（2）求出该图形的面积.7．如图，在ABE 中，BE AE >，延长BE 到点D ，使DE BE =，延长AE 到点C ，使CE AE =．以点E 为圆心，分别以BE 、AE 为半径作大小两个半圆，连结CD ．（1）求证：AB CD =；（2）设小半圆与BD 相交于点M ，24BE AE ==．①当ABE S 取得最大值时，求其最大值以及CD 的长；②当AB 恰好与小半圆相切时，求弧AM 的长．8．如图，A 是半径为12cm 的O 上的定点，动点P 从A 出发，以2πcm /s 的速度沿圆周逆时针运动，当点P 回到A 地立即停止运动．（1）如果90POA ∠= ，求点P 运动的时间；（2）如果点B 是OA 延长线上的一点，AB OA =，那么当点P 运动的时间为2s 时，判断直线BP 与O 的位置关系，并说明理由．9．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”。

2.如图7，梯形中，，，,，，点为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图形为，连接，设，的面积为，的面积为．（1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等)（2）试用表示，并写出的取值范围；（相似）（3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有：在中，有在中，又解得：（2）如图2，交于点，与关于对称，则有：，又又与关于对称，（3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点.的圆心落在的中点，设为则有，过点作，连接，得则又解得：（舍去）①②③3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等）（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似）【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明，（2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解，（3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t．【解答】：证明：（1）如图，连接PM，PN，∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF，∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图，由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，同理可证△PMF≌△PNE，∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t，∴b+a=1+t+1﹣t=2，∴b=2﹣a，（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t，由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网]∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，解得，t=，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=，（Ⅱ）如图4，当t＞2时，∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，∴F′（1﹣t，0）∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，由（1）得△PMF≌△PNE∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，当△OEQ∽△MFP时，∴=，=，解得，t=2±，所以当t=，t=，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似．【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角形相结合找出线段关系．3.木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；（圆心距+勾股）方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；（相似+设半径）方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．（分类讨论）①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．【考点】：圆的综合题【分析】：（1）观察图易知，截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3，2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．【点评】：本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质讨论等内容，题目虽看似新颖不易找到思路，但仔细观察每一小问都是常规的基础考点，所以总体来说是一道质量很高的题目，值得认真练习．4.如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l1，l2重合，AB=4cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）（1）如图①，连接OA、AC，则∠OAC的度数为105°；（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO1的长）；（相似）（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d （cm），当d＜2时，求t的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）．（相似+切线）（数形结合+分类讨论）【考点】：圆的综合题．【分析】：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；（2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出t的值，进而得出OO1=3t得出答案即可；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，分别求出即可．【解答】：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，∴∠OAD=45°，∵AB=4cm，AD=4cm，∴CD=4cm，AD=4cm，∴tan∠DAC===，∴∠DAC=60°，[来源:学科网ZXXK]∴∠OAC的度数为：∠OAD+∠DAC=105°，故答案为：105；（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E，连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1，在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4，∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°，在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°，∴A1E==，∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，∴t﹣2=，∴t=+2，∴OO1=3t=2+6；（3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1，如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置，设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2，∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2，由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°，∴∠O2A2F=60°，在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=，∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+，∴4t1+﹣3t1=2，∴t1=2﹣，②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2，记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等，∴+2﹣（2﹣）=t2﹣（+2），解得：t2=2+2，综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣＜t＜2+2．【点评】：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结合t的值是解题关键．5.如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y 轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．（1）若直线AB与有两个交点F、G．①求∠CFE的度数；②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；（垂径定理+直线方程）（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（相切+圆周角）【考点】：圆的综合题【分析】：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，【解答】：解：（1）连接CD，EA，∵DE是直径，∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，∴OM所在的直线函数式为：y=x，∴交点M（b，b）∴OM2=（b）2+（b）2，∵OF=4，∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，∵FM=FG，∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），∵直线AB与有两个交点F、G．∴4≤b＜5，（3）如图，当b=5时，直线与圆相切，∵DE是直径，[来源:学科网]∴∠DCE=90°，∵CO⊥DE，且DO=EO，∴∠ODC=OEC=45°，∴∠CFE=∠ODC=45°，∴存在点P，使∠CPE=45°，连接OP，∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y=x，又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，∴P（，）．【点评】：本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．6.如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．（1）试说明四边形EFCG是矩形；（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；②求点G移动路线的长．【考点】：圆的综合题；垂线段最短；直角三角形斜边上的中线；矩形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】：（1）只要证到三个内角等于90°即可．。

动点问题（4）------与圆有关的动点直线与圆相切1.如图,⊙O 的半径为1,圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动,当⊙O 移动到与AC 边相切时,OA 的长是 .2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP ，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切？3如图，ABC ∆中，090C ∠=，4AC =，3BC =.半径为1的圆的圆心P 以1个单位/s 的速度由点A 沿AC 方向在AC 上移动，设移动时间为t （单位：s ）. （1）当t 为何值时，⊙P 与AB 相切；（2）作PD AC ⊥交AB 于点D ，如果⊙P 和线段BC 交于点E ，证明：当165t s=时，四边形PDBE 为平行四边形.4.（2012河北中考25）如图14，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO∠=45，CD AB ∥，90CDA = ∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.（1） 求点C 的坐标；（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；（3） 以点P 为圆心，PC 为半径的P ⊙随点P 的运动而变化，当P ⊙与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t 的值．5.如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的⊿ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 30°，BC=12cm。

半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC 上。

设运动时间为t (s)，当t=0s时，半圆O在⊿ABC的左侧，OC=8cm。

（1）当t为何值时，⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？(2)当⊿ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与⊿ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积。

与圆有关得动点问题1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）．（1）求∠APC与∠ACD得度数；（2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60º，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M经过得弧长(结果保留π)．3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作得一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长；（2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围．4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值．5、如图1，正方形ABCD得边长为2，点M就是BC得中点，P就是线段MC上得一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O得切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x得函数解析式，并写出自变量x得取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问就是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x与y得值；如果不存在，请说明理由．6、如图，⊙O得半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M就是直线CD上异于点C、O、D得一个动点，AM所在得直线交于⊙O于点N，点P就是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O得关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）得结论就是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分得面积．答案：1、解：（1）连接AC，如图所示：∵AB=4，∴OA=OB=OC=12AB=2。