2020初中数学竞赛辅导(初1)第12讲平行线问题

初中数学什么是平行线平行线是在同一平面上永远不相交的两条直线。

在初中数学中，我们通常使用以下两种定义来描述平行线：1. Euclid几何定义：根据欧几里得几何的定义，平行线是在同一平面上且不相交的两条直线。

这意味着它们没有共同的交点。

2. 向量定义：根据向量的定义，如果两条直线上的向量方向相同或相反，并且没有交点，那么这两条直线是平行的。

为了更好地理解平行线的概念，我们可以讨论一些与平行线相关的重要性质和定理：1. 平行线的性质：-平行线具有相同的斜率。

斜率是用来描述直线的倾斜程度的数值。

-平行线之间的距离是恒定的。

对于任意两条平行线，它们之间的距离在整个线段上是相等的。

-平行线的角度相等。

如果一条直线与一对平行线相交，那么对应的内角、外角和同位角之间的关系是相等的。

2. 平行线的定理：-线与平行线的交角定理：如果一条直线与两条平行线相交，那么所形成的内角、外角和同位角之间的关系是具有特定的等式。

-平行线的传递性：如果直线L1与直线L2平行，直线L2与直线L3平行，那么直线L1与直线L3也平行。

-平行线的副交角定理：如果两条直线被一对平行线割分，那么所形成的副交角是相等的。

在几何学和实际生活中，平行线有许多应用。

例如：-平行线的概念在城市规划中被广泛应用。

道路、铁路等基础设施通常会设计为平行线，以提供交通的高效性。

-平行线的性质也被用于解决各种几何问题，如计算角度、线段长度等。

-平行线的概念还在物理学中被用于描述光线的传播路径和电磁波的传播方向等。

总之，平行线是几何学中一个重要的概念，它在数学和实际应用中都有广泛的应用。

希望以上内容能够帮助你更好地理解平行线的概念和性质。

七年级上数学平行线知识点在七年级上，平行线是数学课程中的一个重要知识点。

平行线的定义、性质以及运用场景都是需要我们掌握的内容。

在本文中，我们将会详细了解平行线的知识点。

一、平行线的定义平行线是在同一个平面内，永远不相交的两条直线。

它们具有两个重要特征：1. 首先，平行线具有相同的斜率。

斜率是一条直线的倾斜程度，可以通过求直线上任意两点的坐标差值之比来得到。

如果两条直线的斜率相同，那么它们就是平行线。

2. 第二，平行线具有相同的距离。

两条平行线之间的距离是它们之间任意一对相邻点的垂直距离。

如果两条直线之间的距离相同，那么它们就是平行线。

二、平行线的性质1. 平行线永不相交。

在同一个平面内，两条平行线永远不会相交，它们之间的距离始终保持不变。

2. 平行线所切割出的角度相等。

如果有一条直线与两条平行线相交，那么所切割出的对顶角是相等的。

这个性质在解题中经常被运用。

3. 任意一条与平行线夹角的两个补角相等。

如果有两条平行线和一条直线相交，那么任意一条与平行线夹角的两个补角相等。

三、平行线的应用场景1. 建筑设计。

在建筑设计中，平行线常被用来确保墙体的垂直性和水平性。

另外，在地面铺设瓷砖时，也需要使用平行线以确保瓷砖的平整和美观。

2. 统计学。

在统计学中，平行线常被用来绘制直方图和相关图形。

通过使用平行线，我们可以更加清晰地展示统计数据的分布情况。

3. 几何问题求解。

在几何问题求解中，平行线是非常重要的工具。

通过使用平行线，我们可以求解各种几何问题，如求解三角形的内角和、平行四边形的面积等，是解题中必不可少的知识点。

四、总结在七年级上，平行线是一个非常重要的数学知识点。

通过了解平行线的定义、性质以及应用场景，我们可以更好地应用平行线去解决各种几何问题。

需要注意的是，理论概念的掌握只是开始，只有在实践中不断应用，才能真正地掌握平行线这一知识点。

第十二讲平行线问题平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线、直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质成为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何(罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何)，它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB交 a与 b 于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°．分析由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．证过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a ∥b，所以b∥l，所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补)．因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以又∠3=∠CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF说明做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立，即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．证过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所示)．因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠B n-1+∠A n=0．这时，连结A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，B n-1A n(当然，仍要保持 AA1∥BA n)．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．(2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2 如图1－25所示．若∠A1+∠A2+…+∠A n=∠B1+∠B2+…+∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．例3如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C “集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标．解过F到 FG∥CB，交 AB于G，则∠C=∠AFG(同位角相等)，∠2=∠BFG(内错角相等)．因为 AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．例4求证：三角形内角之和等于180°．分析平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决，下面方法是最简单的一种．证如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．显然∠1+∠BAC+∠2=平角，所以∠A+∠B+∠C=180°．说明事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．例5求证：四边形内角和等于360°．分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．证如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B 引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°，四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．例6如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC 为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．证过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．又∠1+∠2=180°，所以∠ABD+∠CBD=180°，即∠ABC=180°=平角．A，B，C三点共线．思考若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？例7如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．求证：∠3=∠B．分析如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．证因为∠1=∠2，所以AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．因为∠D=90°及EF⊥CD，所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．所以 BC∥EF(平行公理)，所以∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．练习十二EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？4．证明：五边形内角和等于540°．5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．。

教案初一数学平行线知识点教学目标：1. 让学生理解平行线的定义及性质。

2. 培养学生运用平行线性质解决问题的能力。

3. 培养学生合作交流、动手操作的能力。

教学重点：1. 平行线的定义及性质。

2. 平行线的判定方法。

教学难点：1. 平行线性质的推导。

2. 平行线在实际生活中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 直尺、圆规等绘图工具。

3. 练习题。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾已学的直线、射线、线段等基本概念。

2. 提问：在同一平面内，不相交的两条直线有什么关系？二、新课讲解1. 讲解平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2. 讲解平行线的性质：a. 同位角相等。

b. 内错角相等。

c. 同旁内角互补。

3. 讲解平行线的判定方法：a. 同位角相等。

b. 内错角相等。

c. 同旁内角互补。

三、课堂练习1. 让学生完成教材上的练习题，巩固平行线的性质及判定方法。

2. 老师巡回指导，解答学生疑问。

四、动手操作1. 分组合作，每组学生用直尺、圆规等绘图工具绘制一组平行线。

2. 学生互相交流，讨论如何判定两条直线是否平行。

3. 老师挑选几组学生的作品进行展示，并给予评价和指导。

五、课堂小结2. 提问：如何在实际生活中应用平行线？六、课后作业1. 完成教材上的课后习题。

2. 观察生活中的平行线现象，并尝试用所学知识解释。

教学反思：本节课通过讲解、练习、动手操作等多种教学方法，使学生掌握了平行线的定义、性质及判定方法。

在动手操作环节，学生积极参与，合作交流，提高了动手能力和团队协作能力。

在课后作业环节，学生将所学知识应用于实际生活，提高了学以致用的能力。

总体来说，本节课教学效果良好，达到了预期目标。

在今后的教学中，可适当增加课堂互动，提高学生的学习兴趣。

教案小学五年级科学光与影子教学目标：1. 让学生理解光与影子的基本概念。

2. 培养学生观察、描述和解释光与影子现象的能力。

3. 培养学生进行科学实验和探究的兴趣。

初中奥数三：平行线问题1、如图，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，CA平分∠1，CB平分∠2，求证：∠C=90°2、如图所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2．考点：平行线的性质．分析：过B1点做B1E平行于AA1和BA2，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解答：证明：分析本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1．①猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1（从而也是BA2）的平行线，它将∠B1一分为二．过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2（如图所示）．因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2（内错角相等），所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠B1+∠A2=0．说明（1）从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．（即哪些向右凸出的角的和=向左凸的角的和）即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+-∠B n-1+∠A n=0．这时，连接A1，A n之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，，B n-1A n（当然，仍要保持AA1∥BA n）．推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况．（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．问题1如图所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？问题2如图所示．若∠A1+∠A2++∠A n=∠B1+∠B2++∠B n-1，问AA1与BA n是否平行？这两个问题请同学加以思考．点评：本题主要考查了平行线的性质，此题难度较大，要学会运用数形结合的解题思路．答题：yingzi老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题3、如图所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．考点：平行线的性质．专题：计算题．分析：利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，则有∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°．解答：解：过F到FG∥CB，交AB于G∴∠C=∠AFG（同位角相等）∴∠2=∠BFG（内错角相等）∵AE∥BD∴∠1=∠BFA（内错角相等）∴∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°．故答案为50°．点评：本题考查平行线的性质．运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线（平行线）的常用技巧．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．答题：py168老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题4、求证：三角形内角之和等于180°．考点：三角形内角和定理．专题：证明题．分析：因为平角为180°，若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决．解答：证明：如图所示，在△ABC中，过A引l∥BC，∵l∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2（内错角相等）．∵∠1+∠BAC+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．即三角形的内角和为180°．点评：此题主要考查平行线的性质的运用及三角形内角和定理的掌握．答题：ln_86老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题5、求证：四边形的内角和等于360度．考点：多边形内角与外角．专题：证明题．分析：要证明四边形的内角和问题，三角形的内角和已知是180度，这样就可以把四边形的问题转化为三角形的问题．转化的方法是作出四边形一条对角线，就转化为两个三角形．解答：证明：分析应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．如图所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长AB，CB到H，G．则有∠A=∠2（同位角相等），∠D=∠1（内错角相等），∠1=∠3（同位角相等）．∠C=∠4（同位角相等），又∠ABC（即∠B）=∠GBH（对顶角相等）．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°．说明（1）同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．（2）总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=（3-2）×180°，四边形内角和=360°=2×180°=（4-2）×180°．人们不禁会猜想：五边形内角和=（5-2）×180°=540°，n边形内角和=（n-2）×180°．这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．点评：化未知为已知是解决问题的基本思路．答题：zhjh老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题6、如图所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证：A，B，C三点在同一条直线上．考点：平行线的性质．专题：证明题．分析：A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处．解答：证明：∵AB∥l，CB∥l∴∠1=∠ABD，∠2=∠CBD（内错角相等）又∵∠1+∠2=180°∴∠ABD+∠CBD=180°∴∠ABC=180°=平角A，B，C三点共线．点评：本题利用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．答题：py168老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题7、如图：∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD，试说明∠3=∠B．考点：平行线的判定与性质．专题：证明题．分析：因为∠1=∠2，由内错角相等证明AD∥BC，又因为∠D=90°，EF⊥CD，则有AD∥EF，所以EF ∥BC，故可求证∠3=∠B．解答：解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，；∵∠D=90°，∴AD⊥CD，∵EF⊥CD，∴AD∥EF，∴EF∥BC，∴∠3=∠B．点评：本题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．答题：py168老师☆☆☆☆☆隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题8、如图所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．考点：平行线的性质．分析：根据平行线的性质及角平分线的性质可求出∠BEC，∠BED的度数，再根据EG⊥EF可得出要求的两角的度数．解答：解：由题意得：∠BEC=80°，∠BED=100°，∠BEF=12∠BEC=40°，∴∠BEG=90°-∠BEF=50°，∠DEG=∠BED-50°=50°．∴∠BEG和∠DEG都为50°．点评：本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行内错角相等，同旁内角互补．答题：caicl老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题9、如图所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC 和∠BDC的度数．考点：平行线的性质；三角形内角和定理．分析：由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠BDC的大小．解答：解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∴∠DCB=∠ACD=20°，又DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB=20°，在△BCD中，∵∠B=70°，∴∠BDC=90°．∴∠EDC和∠BDC的度数分别为20°、90°．点评：本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和定理．答题：yeyue老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题10、如图所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？考点：平行线的判定与性质．专题：推理填空题．分析：连接AC，易证∠AEC=90°，则∠AEF=30°，所以∠AEF=∠A，可得EF∥AB．解答：解：有与AB平行的直线．理由：连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠DCA=180°，∵∠BAE=30°，∠DCE=60°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∴∠AEC=90°，∵EF，EG三等分∠AEC，∴∠AEF=30°，∴∠AEF=∠A，∴EF∥AB．点评：本题考察平行线的判定，作辅助线是关键，难度中等．答题：lf2-9老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题11、证明：五边形内角和等于540°．考点：多边形内角与外角．专题：证明题．分析：因为过五边形的一个顶点可做2条对角线，即可以把五边形分成3个三角形．已知三角形的内角和是180°，那么3×180°=540°．所以五边形的内角和得以证明．解答：证明：如图，五边形ABCDE，连接AC，连接AD．形成三个三角形：△ABC，△ACD，△ADE．由于三角形内角和是180°，所以五边形ABCDE 的内角和等于180°×3=540°对于任意一个五边形都是如此．点评：本题考查了五边形内角和的证明．从具体的简单的问题入手常能找到解决问题的思路，本题通过将五边形分割为三角形的方法简单易行．答题：HJJ老师隐藏解析在线训练收藏试题试题纠错下载试题12、已知，如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．考点：平行线的性质；角平分线的定义．专题：证明题．分析：根据平行线的性质，以及等量代换就可以证出．解答：证明：∵CD平分∠ACB，即∠ACD=∠DCE，又∵AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠DCE=∠CDE；∵CD∥EF，∴∠CDE=∠DEF，∠DCE=∠FEB；∴∠DEF=∠FEB．即EF平分∠DEB．点评：本题主要运用了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．答题：zhjh老师。

初中数学什么是平行线平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的两条直线。

在数学中，平行线是一项重要的概念，对于几何学、代数学和物理学等领域都有广泛的应用。

下面我将为你详细介绍平行线的定义、性质和应用。

一、平行线的定义平行线可以用以下方式来定义：在同一个平面上，如果两条直线永远不会相交，那么它们被称为平行线。

二、平行线的性质平行线具有以下性质：1. 永不相交：平行线在同一个平面上永远不会相交。

即使它们延长到无穷远，它们也不会相交。

2. 等距性质：平行线之间的距离是恒定的。

无论在哪个位置上测量，两条平行线之间的距离始终保持不变。

3. 平行线的斜率：对于两条平行线，它们的斜率是相等的或者不存在。

如果两条直线的斜率相等或者其中一条直线的斜率不存在（垂直于x轴），那么它们就是平行线。

4. 平行线的特殊角：平行线之间的特殊角包括对应角、同位角和内错角。

对应角相等、同位角相等、内错角互补。

三、平行线的应用平行线的概念在几何学、代数学和物理学等领域有广泛的应用。

1. 几何学中，平行线的概念用于解决直线与平面、平面与平面之间的相交问题。

例如，当我们计算两条平行线之间的距离时，我们可以使用平行线的等距性质。

2. 代数学中，平行线的概念与线性方程组和斜率密切相关。

当我们解决线性方程组时，我们可以利用平行线的斜率性质来判断方程组的解的情况。

3. 物理学中，平行线的概念用于描述光线的传播、电磁场的分布等。

例如，在光学中，我们使用平行线的性质来解释光的折射和反射现象。

总结：平行线是在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

它们具有不相交、等距、斜率相等或不存在等重要性质。

平行线的概念在几何学、代数学和物理学等领域有广泛的应用。

希望这份介绍对你理解平行线的概念和性质有所帮助！。

初一数学比赛系列讲座 (12)订交线、平行线一、知识重点：1． 平面上两条不重合的直线，地点关系只有两种：订交和平行。

2． 两条不一样的直线，若它们只有一个公共点，就说它们订交。

即，两条直线订交有且只有一个交点。

3． 垂直是订交的特别状况。

相关两直线垂直，有两个重要的结论：（ 1） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 2） 直线外一点与直线上全部点的连线中，垂线段最短。

4． 在同一平面内，不订交的两条直线称为平行线。

平行线中要理解平行公义，能娴熟地找出“三线八角”图形中 的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”相关的平行线的判断定理和性质定理。

5． 利用平行公义及其推论证明或求解。

二、例题精讲例 1．如图 (1)，直线 a 与 b 平行，∠ 1＝ (3x+70) ° , ∠2=(5x+22) ° ,求∠ 3 的度数。

解：∵a ∥b ，l∴ ∠3＝∠ 4（两直线平行，内错角相等）3 a∵∠1+∠ 3＝∠ 2+ ∠ 4＝ 180° ( 平角的定义 ) 4∴∠1＝∠ 2 (等式性质 )b2则 3x+70 ＝ 5x+22 解得 x=24 即∠ 1＝ 142° ∴∠3＝ 180°- ∠ 1＝ 38°图(1)评注：成立角度之间的关系，即成立方程（组），是几何计算常用的方法。

例 2．已知：如图 (2) ， AB ∥ EF ∥ CD ，EG 均分∠ BEF ，∠ B+∠ B- ∠ D=24 °，求∠ GEF 的度数。

解：∵ AB ∥ EF ∥ CD∴∠ B=∠ BEF ，∠ DEF= ∠ D （两直线平行，内错角相等） ∵∠ B+∠ BED+ ∠ D =192 °（已知） 即∠ B+∠ BEF+∠ DEF+ ∠ D=192 °∴ 2（∠ B+ ∠D ） =192°（等量代换）则∠ B+∠ D=96 °（等式性质）∵∠ B- ∠ D=24 °（已知） ∴∠ B=60 °（等式性质）即∠ BEF=60 °（等量代换） ∵ EG 均分∠ BEF （已知）∴∠ GEF= 1∠ BEF=30 °（角均分线定义）∠ BED+ ∠D =192 °，ABGEFCD图 (2)2例 3．如图（ 3），已知 AB ∥ CD ，且∠ B=40 °，∠ D=70 °，求∠ DEB 的度数。

初中数学平行线知识点一个人的知识面是一个圆圈，知识储备越多，圆圈越大，接触到的面积便越广阔，便能掌握和窥视更多的机会。

下面小编给大家分享一些初中数学平行线知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!初中数学平行线知识1相交线1、两条直线相交，有且只有一个交点。

(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。

)两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。

邻补角互补。

要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。

对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。

对顶角相等。

注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。

反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要注意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。

例如：判断对错：因为∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。

( )相等的两个角互为对顶角。

( )2、垂直是两直线相交的特殊情况。

注意：两直线垂直，是互相垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。

垂足：两条互相垂直的直线的交点叫垂足。

垂直时，一定要用直角符号表示出来。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)3、点到直线的距离。

垂线段：过线外一点，作已知线的垂线，这点到垂足之间的线段叫垂线段。

垂线与垂线段：垂线是一条直线，而垂线段是一条线段，是垂线的一部分。

垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

(或说直角三角形中，斜边大于直角边。

)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这点到直线的距离。

注：距离指的是垂线段的长度，而不是这条垂线段的本身。

所以，如果在判断时，若没有“长度”两字，则是错误的。

4、同位角、内错角、同旁内角三线六面八角：平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同旁内角。

2020-2021学年浙江七年级数学下第一章《平行线》竞赛题一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.平面上的三条直线最多可将平面分成的部分为()A. 3B. 6C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】本题考查直线的相交情况，要注意分情况讨论，要细心，查找时要不重不漏．在平面上任意画三条直线，有四种可能：①三条直线平行；②三条直线相交于一点；③两直线平行被第三条直线所截；④两直线相交，又被第三条直线所截．故可得出答案．【解答】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能：1.三直线平行，将平面分成4部分；2.三条直线相交同一点，将平面分成6部分；3.两直线平行被第三直线所截，将平面分成6部分；4.两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，将平面分成7部分；故任意三条直线最多把平面分成7个部分．故选C．2.如图所示，与∠α构成同位角的角的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查的是同位角有关知识，利用同位角的定义进行解答即可．【解答】解：与∠α构成同位角的是∠FAE，∠FAC，∠ACD．故选C．3.如图，∠1和∠2是同位角的图形是()A. B. C. D.【答案】A【解析】解：A.∠1与∠2是同位角；B.∠1与∠2不是同位角；C.∠1与∠2不是同位角；D.∠1与∠2不是同位角．故选：A．根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可．此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．4.如图，直线AB，AF被BC所截，则∠2的同位角是()A. ∠1B. ∠2C. ∠3D. ∠4【答案】D【解析】解：如果直线AB，AF被BC所截，那么∠2的同位角是∠4，故选：D．根据同位角的定义逐个判断即可．本题考查了同位角、内错角、同旁内角等定义，能熟记同位角的定义是解此题的关键．5.在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是()A. 如图1，展开后测得∠1=∠2B. 如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4C. 如图3，测得∠1=∠2D. 在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【答案】C【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是关键，属于中档题．根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．【解答】解：A、当∠1=∠2时，a//b；B、由∠1=∠2且∠3=∠4，可得∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∴a//b；C、∠1=∠2不能判定a，b互相平行；D、由∠1+∠2=180°可知a//b；故选：C．6.如图所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠7=180°.其中能判定a//b的是()A. ①②③④B. ①③④C. ①③D. ②④【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，解答本题关键是熟练掌握平行线判定的三个定理．根据平行线的判定定理，结合所给条件进行判断即可．【解答】解：①∠1=∠2能判断a//b(同位角相等，两直线平行)；②∠3=∠6不能判断a//b；③∠4+∠7=180°能判断a//b(同旁内角互补，两直线平行)；④∠5+∠7=180°不能能判断a//b．综上可得①③可判断a//b．故选：C．7.某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是()A. 第一次向左拐40°，第二次向右拐40°B. 第一次向左拐50°，第二次向右拐130°C. 第一次向左拐70°，第二次向右拐110°D. 第一次向左拐70°，第二次向左拐110°【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．作出图形，根据邻补角的定义求出∠1，根据题意求出∠2，再根据同位角相等，两直线平行，得出答案，【解答】解：A、第一次向左拐40°，第二次向右拐40°，行驶方向相同，故本选项错误；B、第一次向左拐50°，第二次向右拐130°，行驶路线相交，故本选项错误；C、第一次向左拐70°，第二次向右拐110°，行驶路线相交，故本选项错误；D、如图，第一次向左拐70°，∠1=180°−70°=110°，第二次向左拐110°，∠2=110°，所以，∠1=∠2，所以，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反．故选：D．8.如图AB//CD，E是AB上一点，EF⊥EG.则下列结论错误的是()A. ∠α+∠β+∠G=90°B. ∠α+∠β=∠FC. ∠α<∠βD. ∠α+∠γ=∠G+∠F【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．延长GF交AB于H，根据平行线的性质得到∠β=∠EHF，根据三角形的外角的性质得到∠EFG=∠α+∠β，根据垂直的定义得到∠α+∠β+∠G=90°；∠γ+∠α=∠G+∠EFG；即可得到结论．【解答】解：延长GF交AB于H，∵AB//CD，∴∠β=∠EHF，∴∠EFG=∠α+∠β，∵EF⊥EG，∴∠α+∠β+∠G=90°；∠γ+∠α=∠G+∠EFG；故选C．9.如图1的长方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是()A. 105°B. 120°C. 130°D. 145°【答案】A【解析】【分析】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE=180°−3∠BFE.解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．由矩形的性质可知AD//BC，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数；【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD//BC，∴∠BFE=∠DEF=25°，由翻折的性质可知：图2中，∠EFC=180°−∠BFE=155°，∠BFC=∠EFC−∠BFE=130°，图3中，∠CFE=∠BFC−∠BFE=105°．故选A．10.如图，已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90∘.下列结论正确的有() ①AB//CD; ②∠ABE+∠CDF=180∘; ③AC//BD;④若∠ACD=2∠E,则A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是掌握平行线的判定和性质.证明∠BAC+∠ACD=180°，得出AB//CD，可得①正确；由AB//CD，得出∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，可得②正确；由于∠E不一定等于∠ACE，因此AC不一定平行于BD，得出③错误；根据已知条件结合平行线的性质和角平分线定义，可以得出④正确．【解答】解：∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∴∠1=12∠BAC，∠2=12∠ACD，∴∠1+∠2=12(∠BAC+∠ACD)，∵∠1+∠2=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB//CD，故①正确；∵AB//CD，∴∠ABE=∠CDB，∠CDF=∠ABD，∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABE+∠CDF=180°，故②正确；∵∠2不一定等于∠E，∴∠E不一定等于∠ACE，因此AC不一定平行于BD，故③错误；∵∠ACD=2∠E，∠ACD=2∠ACE，∴∠E=∠ACE，∴AC//EF，∴∠F=∠CAF，∵∠CAB=2∠CAF，∴∠CAB=2∠F，故④正确．因此正确的有3个．故选C．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为______个．【答案】0，1，3，4，5，6【解析】解：(1)当四条直线平行时，无交点；(2)当三条平行，另一条与这三条不平行时，有3个交点；(3)当两两直线平行时，有4个交点；(4)当有两条直线平行，而另两条不平行且交点不在平行线上时，有5个交点；(5)当四条直线同交于一点时，只有一个交点；(6)当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；(7)当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案，本题对学生要求较高．12.如图所示，与∠A是同旁内角的角共有______个．【答案】4【解析】解：与∠A是同旁内角的有：∠ABC、∠ADC、∠ADE，∠AED共4个．故答案为：4．同旁内角：两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．本题主要考查了同旁内角的定义．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．13.探究题：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对；(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对；(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有________对，内错角有________对，同旁内角有________对．(用含n的式子表示)【答案】(1)4，2，2(2)12，6，6(3)2n(n−1)，n(n−1)，n(n−1)【解析】【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．【解答】解：(1)如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．(2)如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．(3)根据以上探究的结果，n(n为大于1的整数)条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n(n−1)对，内错角有n(n−1)对，同旁内角有n(n−1)对，故答案为(1)4，2，2；(2)12，6，6；(3)2n(n−1)，n(n−1)，n(n−1)．14.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动(旋转角不超过180度)，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD=15°时，BC//DE.则∠BAD(0°<∠BAD<180°)其它所有可能符合条件的度数为_____．【答案】45°，60°，105°，135°【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行进行判定即可．【解答】解：如下图：当∠BAD=45°时，∠DAC=45°+90°=135°，则∠D+∠DAC=180°，所以DE//AC；当∠BAD=∠B=60°时，BC//AD；当∠BAD=105°时，∠BAE=105°−45°=60°=∠B，所以AE//BC；当∠BAD=135°时，∠BAE=135°−45°=90°=∠E，所以DE//AB．故答案为45°，60°，105°，135°．15.如图，直线AB//CD//EF，如果∠A+∠ADF=218°，那么∠F=______．【答案】38°【解析】解：延长CD至点H，∵AB//CD，∴∠A+∠ADH=180°．∵∠A+∠ADF=218°，∴∠HDF=218°−180°=38°．∵CD//EF，∴∠F=∠HDF=38°．故答案为：38°．延长CD至点H，由平行线的性质得出∠A+∠ADH=180°，故可得出∠HDF的度数，再由CD//EF即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．16.18.如图，下列推理是否正确，请写出你认为是正确推理的编号______ ．①因为AB//DC，所以∠ABC+∠C=180∘②因为∠1=∠2，所以AD//BC③因为AD//BC，所以∠3=∠4④因为∠A+∠ADC=180∘，所以AB//DC．【答案】①②④【解析】【分析】此题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解本题的关键，在图形中找到同位角、内错角、同旁内角结合平行线的性质和判定直接判断即可．【解答】解：①∵AB//DC，∴∠ABC+∠C=180°，此结论正确；②∵∠1=∠2，∴AD//BC，此结论正确；③∵AD//BC，∴∠1=∠2，而∠3≠∠4，此结论错误，④∵∠A+∠ADC=180°，∴AB//DC，此结论正确．故答案为①②④．17.把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55∘，则∠1=_______，∠2=_______．【答案】70°110°【解析】【分析】本题考查了平行线的性质、折叠与对称、矩形的性质的知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算即可求出∠1，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可求出∠2．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD//BC，∴∠3=∠EFG=55°，由翻折的性质得，∠3=∠MEF，∴∠1=180°−55°×2=70°，∵AD//BC，∴∠2=180°−∠1=180°−70°=110°．故答案为70°；110°．18.如图，在一块长为20m、宽为12m的长方形草地上，有两条宽都为1m的纵横相交的小路，这块草地的绿地面积为___________m2【答案】209【解析】【分析】此题考查了平移的应用，观察图形特征可以利用平移的思想将不规则图形转化为规则图形，通过平移得到一个边长为19米和11米的长方形，计算长方形面积即可．【解答】解：由平移的性质可知道路两旁的草地面积为长(20−1)m，宽(12−1)m的长方形面积，(20−1)×(12−1)=209(m2)，∴这块草地的绿地面积为209m2，故答案为209．三、解答题（本大题共6小题，共46.0分）19.根据图形填空：(1)若直线ED、BC被直线AB所截，则∠1和______是同位角；(2)若直线ED、BC被直线AF所截，则∠3和______是内错角；(3)∠1和∠3是直线AB、AF被直线______所截构成的内错角．(4)∠2和∠4是直线AB、______被直线BC所截构成的______角．【答案】∠2∠4ED AF同位【解析】解：(1)如图：若ED，BC被AB所截，则∠1与∠2是同位角，(2)若ED，BC被AF所截，则∠3与∠4是内错角，(3)∠1与∠3是AB和AF被ED所截构成的内错角，(4)∠2与∠4是AB和AF被BC所截构成的同位角．故答案是：(1)∠2.(2)∠4.(3)ED.(4)AF；同位．(1)、(4)根据同位角的定义填空；(2)、(3)根据内错角的定义填空．本题主要考查内错角、同位角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．20.请将下列证明过程补充完整：如图，在△ABC中，DE//BC，GF//AB，∠ABC=∠DEH，求证：GF//EH．证明：∵DE//BC(已知)∴∠DEB=∠EBH(______)∵∠ABC=∠DEH(已知)∴∠ABC−∠EBH=∠DEH−∠DEB即∠ABE=∠BEH∴______//______(______)∵GF//AB(已知)∴GF//EH(______)【答案】两直线平行，内错角相等AB EH内错角相等，两直线平行两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行【解析】证明：∵DE//BC(已知)∴∠DEB=∠EBH(两直线平行，内错角相等)∵∠ABC=∠DEH(已知)∴∠ABC−∠EBH=∠DEH−∠DEB即∠ABE=∠BEH∴AB//EH(内错角相等，两直线平行)∵GF//AB(已知)∴GF//EH(两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行)故答案为：两直线平行，内错角相等；AB，EH，内错角相等，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行线的性质得到∠DEB=∠EBH，再根据∠ABC=∠DEH，即可得出∠ABE=∠BEH，进而判定AB//EH，再根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，即可得出结论．本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．21.已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，求证：DE//AC．【答案】证明：∵AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∴AD//EF.∴∠1=∠3.∵∠1=∠2，∴∠2=∠3．∴DE//AC．【解析】先由垂直于同一条直线的两条直线平行，得出∠1=∠3，再用∠1=∠2代换，最后用内错角相等得出结论；此题是平行线的判定，主要考查了平行线的性质和判定，用判断垂直于同一条直线的两直线平行，解本题的关键是判断出AD//EF．22.探究题已知：如图1，AB//CD，CD//EF．求证：∠B+∠BDF+∠F=360°．老师要求学生在完成这道教材上的题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？(1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小额用到的平行线性质可能是______．(2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB、EF，然后在平行线间画了一点D，连接BD，DF后，用鼠标拖动点D，分别得到了图①②③，小颖发现图②正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图①和③中的∠B、∠BDF与∠F之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系．请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题：①猜想图①中∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系并加以证明：②补全图③，真接写出∠B、∠BDF与∠F之间的数量关系：______．(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图2所示，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=______．【答案】两直线平行同旁内角互补∠F=∠D+∠B120°【解析】(1)证明：如图1中，∵AB//EF，CD//EF，∴CD//EF，∴∠B+∠CDB=180°，∠F+∠CDF=180°(两直线平行同旁内角互补)，∴∠B+∠CDB+∠CDF+∠F=360°，∴∠B+∠BDF+∠F=360°，故答案为：两直线平行同旁内角互补．(2)解：①结论：∠BDF=∠B+∠F．理由：如图①中，作DK//AB．∵AB//DK，AB//EF，∴DK//EF，∴∠B=∠BDK，∠F=∠FDK，∴∠BDF=∠BDK+∠FDK=∠B+∠F．②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B.(答案不唯一)．理由：∵AB//EF，∴∠1=∠F，∵∠1+∠DOB=180°，∠B+∠D+∠DOB=180°∴∠1=∠B+∠D∴∠F=∠D+∠B．故答案为∠F=∠D+∠F．(3)解：如图2中，∵BA⊥AE，∴∠BAE=90°，∵∠ABC+∠BAE+∠BCD=360°，∠BCD=150°，∴∠ABC=360°−240°=120°，故答案为120°．(1)利用平行线的性质证明即可．(2)①结论：∠BDF=∠B+∠F.如图①中，作DK//AB.利用平行线的性质证明即可．②如图③中，结论：∠F=∠D+∠B.(答案不唯一).利用平行线的性质和三角形内角和证明即可．(3)利用图1中的结论，计算即可．本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．23.已知：直线AC//BD，P是直线BD上不与点B重合的一点，连接AP，∠ABD=120°．(1)如图1，当点P在射线BD上时，若∠BAM=12∠BAP，∠NAC=12∠PAC，则∠MAN=________；(2)如图2，当点P在射线BE上时，若∠BAM=13∠BAP，∠NAC=13∠PAC，求∠MAN的度数；(3)若P是直线BD上不与点B重合的一点，当∠ABD=α，∠BAM=1n∠BAP，∠NAC=1n∠PAC时，请直接用含有α，n的代数式表示∠MAN的度数．【答案】解：(1)30°；(2)∵AC//BD，∠ABD=120°，∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−120°=60°∵∠BAM=13∠BAP,∠NAC=13∠PAC，∴∠PAM=23∠PAB,∠PAN=23∠PAC，∴∠MAN=∠PAN−∠PAM=23∠PAC−23∠PAB，即∠MAN=23(∠PAC−∠PAB)=23∠BAC=23×60°=40°．(3)∵AC//BD，∠ABD=α，∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−α．∵∠BAM=1n ∠BAP，∠NAC=1n∠PAC，∴∠PAM=n−1n ∠BAP，∠PAN=n−1n∠PAC．根据点P的位置可分为两种情况：①当点P在点B右侧时，同(1)可知∠MAN=∠PAM+∠PAN=n−1n ∠BAP+n−1n∠PAC=n−1 n (∠BAP+∠PAC)=n−1n∠BAC=n−1n(180∘−α)；②当点P在点B左侧时，同(2)可知∠MAN=∠PAN−∠PAM=n−1n ∠PAC−n−1n∠BAP=n−1 n (∠PAC−∠BAP)=n−1n∠BAC=n−1n(180∘−α)．综上所述，∠MAN=n−1n(180∘−α)．【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握等分线的定义．根据平行线的性质可求∠CAB=60°；(1)根据角平分线的定义可求∠MAN；(2)根据三等分线的定义可求∠MAN；(3)根据n等分线的定义分两种情况可求∠MAN．【解答】解：(1)∵AC//BD，∠ABD=120°，∴∠BAC=180°−∠ABD=180°−120°=60°；∵∠BAM=∠PAM=12∠BAP，∠NAC=∠NAP=12∠PAC，∴∠MAN=∠PAM+∠NAP=12∠BAP+12∠PAC=30°，故答案为30°；(2)见答案．(3)见答案．24.如图，已知AM//BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点(与A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.(要有推理过程，不需要写出每一步的理由)(1)求∠CBD的度数；(2)试说明：∠APB=2∠ADB；(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．【答案】解：(1)∵AM//BN，∴∠A+∠ABN=180°，又∵∠A=60°，∴∠ABN=120°，∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP=12∠ABP，∠PBD=12∠PBN，∴∠CBD=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN=60°．(2)∵AM//BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵∠PBD=∠DBN，∴∠APB=2∠DBN，∴∠APB=2∠ADB．(3)∵AM//BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD，∴∠DBN=∠ABC，又∵∠CBD=60°，∠ABN=120°，∴∠ABC=30°．【解析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)利用平行线的性质，先求出∠ABN=120°，然后证明∠CBD=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN即可解决问题．(2)利用平行线的性质即可解决问题．(3)只要证明∠DBN=∠ABC即可解决问题．。

12平行线的判定及性质知识目标目标一熟练掌握平行线三个判定方法，学会证明题的步骤书写格式目标二熟练掌握平行线三个性质，理解区分平行线的判定和性质目标三灵活运用平行线的判定和性质解平行线的综合题模块一平行线的判定知识导航根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行．这就需要更简单易行的判定方法来判定两条直线平行．判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．4321C DBA如上图：若已知∠1＝∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1＝∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1＋∠4＝180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．例1（1）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）．A．两直线平行，同位角相等；B．内错角相等，两直线平行；C．同旁内角互补，两直线平行；D．同位角相等，两直线平行．（2）如图，点E在AC的延长线上，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠DCE；④∠D＝∠DCE；⑤∠A＋∠ABD＝180°；⑥∠A＋∠ACD＝180°⑦AB＝CD．能说明AC∥BD的条件有__________________．练（1）如图，下列说法正确的有__________________．① 由∠1＝∠2，得AB∥CD；② 由∠5＝∠6，∠3＝∠4，得AB∥CD；③ 由∠1＋∠3＝∠2＋∠4，得AE∥CH；④ 由∠SAF＝∠SCG，得AF∥CG．（2）如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）．A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠2＋∠4＝180°742136FEBGHDA CS例2如图，已知∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，求证：AB ∥EF ．4321ABC D EF HGN M证明：∵∠1＝∠2，（ ）∴AB ∥______．（_______________，__________________） ∵∠3＋∠4＝180°，（）∴CD ∥_______，（_______________，__________________） ∵AB ∥_______，CD ∥_______，（）∴AB ______EF ．（_______________ __________________）练如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∠CAE ＝∠DBF ，求证：AE ∥BF ．证明：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，（ ）∴∠CAB ＝90°，∠______＝90°，（ ）∴∠CAB ＝∠______，（ ）∵∠CAE ＝∠DBF ，（） ∴∠BAE ＝∠______，（）∴_____∥_____．（_______________，__________________）例3（1）如图，∠1＝∠2，∠CNF＝∠BME，证明：AB∥CD，MP∥NQ．（2）如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，AC⊥BC．求证：AC∥DE，AB∥CD．21FCG DEA B（3）如图，∠B＝102°，∠DEF＝70°，求证：AB∥CD．AC DFEB（4）如图，∠A＋∠B＝180°，∠EFC＝∠DCG，求证：AD∥EF．练如图，FE⊥CD于点E，∠FEH＝64°，∠HGB＝26°，求证：AB∥CD．FA G BEHC D模块二平行线的性质知识导航利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如图已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的关系．这就是平行线的性质．性质1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两直线平行，同旁内角互补例4（1）如图，已知AB∥CD，∠1＝70°，∠2＝40°，求∠3的度数．321A BCFEMGDN（2）如图，已知AB∥CD，∠1＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，求∠2的度数．（3）如图，已知BC∥AD，CA平分∠BCD，∠1＝35°，求∠D的度数．321DCBA练如图，已知AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC＝32°，求∠CAB的度数．总结归纳平行线的判定是已知同位角、内错角、或同旁内角的数量关系，来判定两直线平行．平行线的性质是已知两直线平行，从而得到同位角、内错角、同旁内角的数量关系．“同位角相等，两直线平行”和“两直线平行，同位角相等”这两个依据，前后顺序不同，含义也不一样，一个是判定平行，一个是得到角相等，二者不要弄混．模块三平行线的判定与性质综合知识导航一般，题目会综合考查平行线的判定和性质，例如，可以先由题目中某些角相等或互补的条件，得到两条线相互平行（判定）；再由此平行线推出其它的同位角、内错角相等或同旁内角互补（性质），从而得到新的角度关系．熟练掌握、灵活运用平行线的判定和性质，是解平行线导角以及证明类题型的关键．例5（2013外校七上期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠1＋∠FEA＝180°．求证：∠CDG＝∠B．练如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．21ECBAGDFH例6（2013开珞路七上期末）如图，点E在直线BC上，直线AE交CD于F，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AD∥BE．练（2013二中七上期末）如图，已知∠1与∠2互补，∠3＝∠B，求证：∠AFE＝∠ACB．例7如图，AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ． （1）若∠ABC ＝40°，∠CDE ＝30°，求∠BFD ； （2）求∠C 和∠F 的关系．BCAEF D练如图，AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，若∠ABC ＝140°，∠CD 3＝130°，分别求出∠C 和∠F 的度数．第12讲平行线的判定及性质1.下列说法错误的有__________________．①不相交的两条直线是平行线．② 两条直线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．③ 三条直线a、b、c，若a∥b，b∥c，则a∥c；同理：若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．④ 已知∠α的两边与∠β的两边平行，若∠α＝48°，则∠β＝48°．⑤ 若AB∥CD，CD∥EF，则AB∥EF．理由是等量代换．⑥ 有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．⑦ 同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．2.如右图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°，则∠CDO＝_______．3.如图，已知AB∥CD，CM平分∠BCD，∠B＝74°，CM⊥CN，则∠NCE的度数是_________．4.如图，∠1＝∠A，∠2与∠B互余，DE⊥BC于点F，求证AB∥CD．21FCG DEA B[课后作业]5.如图，CD是∠ACB的角平分线，DE∥AC交BC于点E，EF∥CD交AB于点F．求证：EF平分∠BED．54321ADCB EF6.如图，BD平分∠ABC，F在AB上，G在AC上，FC与BD相交于点H，∠GFH＋∠BHC＝180°，求证：∠1＝∠2．7.（2014洪山区七下期中）如图，点E在AB上，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC延长线上，CE平分∠ACB，交BD于O，且∠F＝∠G，∠EOD＋∠OBF＝180°，DG和CE 平行吗？请说明理由．8.（2013硚口区七下期中）如图，MG是∠BME的平分线，NH是∠CNF的平分线，且∠BME＝∠CNF．求证①AB∥CD；②MG∥NH．挑战压轴题（2013江岸区七上期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）如图1．若∠AOC＝30°．求∠DOE的度数；（2）在图1中，若∠AOC＝a，直接写出∠DOE的度数（用含a的代数式表示）；（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由．②在∠AOC的内部有一条射线OF，满足：∠AOC－4∠AOF＝2∠BOE＋∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．。

中考数学复习技巧如何运用平行线性质解决几何题数学是中考中一个非常重要的科目，其中几何题占据着很大的分量。

在几何题中，平行线性质是解题的关键技巧之一。

本文将介绍一些运用平行线性质解决几何题的复习技巧。

一、平行线的定义和性质在讲解如何应用平行线性质之前，我们首先需要明确平行线的定义和性质。

平行线指的是在同一个平面上永远不会相交的两条直线。

根据平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 平行线上的任意两点与另一平行线上的任意两点之间的连线都是平行线。

2. 平行线分割的两组对顶角相等。

3. 平行线分割的同位角相等。

4. 平行线分割的内错角相等。

5. 平行线与一条截线的交角等于对顶角。

二、平行线性质在几何题中的应用1. 利用平行线分割线段当一条直线与两条平行线相交时，根据平行线性质，我们可以利用截线与平行线分割线段的性质来解决问题。

例如，若一条直线与两条平行线分别相交于AB和CD两点，我们可以知道线段AD与线段BC 相等。

2. 利用平行线的对应角性质在找到两条平行线之后，我们可以利用其对应角相等的性质来解决几何题。

例如，若一条直线与两条平行线相交，我们可以得出由直线与平行线分割的对应角相等。

3. 利用平行线的同位角性质同位角性质是指当一条直线与两条平行线相交时，所产生的同位角相等。

在解决几何题时，我们可以利用同位角性质来找到所需的角度大小。

例如，若一条直线与两条平行线相交，我们可以知道同一边内错角之和为180度。

4. 利用平行线的交角性质当一条直线与两条平行线相交时，所产生的交角与对顶角相等。

在解决几何题时，我们可以利用交角性质来推导解答。

例如，若一条直线与两条平行线相交，我们可以得到交角等于对顶角的结论。

三、练习和巩固为了更好地掌握平行线性质的应用，我们需要进行大量的练习和巩固。

可以通过解答中考真题、习题册以及模拟试卷来提高对平行线性质的理解和运用能力。

同时，我们也可以参考一些专门的辅导资料和教材，系统地学习和训练。

全国初中数学竞赛辅导第12讲平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更专门的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它能够分解为一些全等的三角形，同时包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．由平行四边形的定义决定了它有以下几个差不多性质：(1)平行四边形对角相等；(2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分．除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：(1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．例1 如图2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素专门多，可从全等三角形下手．证因为ABCD是平行四边形，因此AD BC，AB CD，∠B=∠D．又AE⊥BC，CF⊥AD，因此AECF是矩形，从而AE=CF．因此Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，因此△BEM≌△DFN(SAS)，ME=NF．①又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，因此△MAF≌△NCE(SAS)，因此 MF=NF．②由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．如此，将AE “转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，因此GA=GH，从而△ABG≌△HBG(AAS)，因此 AB=HB．①在△ABE及△HBE中，∠ABE=∠CBE，BE=BE，因此△ABE≌△HBE(SAS)，因此 AE=EH，∠BEA=∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，因此∠AEG=∠BGH(内错角相等)．②又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，因此∠AGB=∠GEH．从而EH∥AC(内错角相等，两直线平行)．由已知EF∥HC，因此EHCF是平行四边形，因此FC=EH=AE．说明本题添加辅助线GH⊥BC的方法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发觉△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．如此，证明EHCF是平行四边形确实是顺理成章的了．人们在学习中，通过刻苦钻研，形成有用的体会，这对我们探究新的问题是十分有益的．例3 如图2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求证：∠EMC=3∠BEM．分析由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．从而，应该有∠B=2∠BEM，那个论断在△BEM内专门难发觉，因此，应设法通过添加辅助线的方法，将这两个角转移到新的位置加以解决．利用平行四边形及M为BC中点的条件，延长EM与DC延长线交于F，如此∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此，只要证明∠MCF=2∠F即可．不难发觉，△EDF为直角三角形(∠EDF=90°)及M为斜边中点，我们的证明可从那个地点展开．证延长EM交DC的延长线于F，连接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，因此△MCF≌△MBE(AAS)，因此M是EF的中点．由于AB∥CD及DE⊥AB，因此，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM为斜边的中线，由直角三角形斜边中线的性质知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，因此∠MDC=∠CMD，则∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．从而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．例4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．分析只要证明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，因此，在添加辅助线时，应设法产生一个与∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．为此，延长DC交AF于H，并设AF与BC交于G，我们不难证明∠FCH=∠CAD．证延长DC交AF于H，明显∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE ⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因为矩形对角线相等，因此△DCB≌△CDA，从而∠DBC=∠CAD，因此，∠FCH=∠CAD．①又AG平分∠BAD=90°，因此△ABG是等腰直角三角形，从而易证△HCG也是等腰直角三角形，因此∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，因此∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，因此∠CFH=45°-∠FCH．②由①，②∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，因此在三角形CAF中，有CA=CF．例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)．求证：分析作∠BAF的平分线，将角分为∠1与∠2相等的两部分，设法证明∠DAE=∠1或∠2．证如图作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，因此FA=FH．设正方形边长为a，在Rt△ADF中，从而因此 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，从而Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，例6 如图2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G．求证：△GHD是等腰三角形．分析准确地画图可启发我们证明∠GDH=∠GHD．证因为DE BC，因此四边形BCED为平行四边形，因此∠1=∠4．又BD=FD，因此因此 BC=GC=CD．因此，△DCG为等腰三角形，且顶角∠DCG=45°，因此又因此∠HDG=∠GHD，从而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．练习十二1．如图2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求证：四边形ABCD是平行四边形．2．如图2-39所示．在平行四边形ABCD中，△ABE和△BCF差不多上等边三角形．求证：△DEF是等边三角形．3．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：BE=CF．4．如图2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA．求证：BE⊥DE．5．如图2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分。

中考数学平行线知识点复习中考数学平行线知识点复习1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。

2、平行线的判定：(1)同位角相等，两直线平行。

(2)内错角相等，两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

3、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

4、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角_________________.5、如果一个角的两边分别垂直于另一个角的`两边，那么这两个角_________________.1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

2.对顶角：一个角的两边分别是另一个叫的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

5.同位角、内错角、同旁内角：同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

6.命题：判断一件事情的语句叫命题。

7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。

8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。

9.定理与性质对顶角的性质：对顶角相等。

10垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。