高中数学专题学习：函数图象的变换

第5讲 函数图象的变换一、知识梳理1．水平平移：函数)(a x f y +=的图像可以把函数)(x f y =的图像沿x 轴方向向左（a ＞0）或向右（a ＜0）平移a 个单位即可得到．称之为函数图象的左、右平移变换．2．竖直平移：函数a x f y +=)(的图像可以把函数)(x f y =的图像沿y 轴方向向上（a ＞0）或向下（a ＜0）平移a 个单位即可得到．称之为函数图象的上、下平移变换．3．要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象y 轴右侧的部分对称到y 轴左侧去，而y 轴左侧的原来图象消失．称之为关于y 轴的右到左对称变换．4．要作函数)(x f y =的图象，只需将函数)(x f y =的图象x 轴下方的部分对折到x 轴上方即可．叫做关于x 轴的下部折上变换．5．要作)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以y 轴为对折线，把ｙ轴右侧的部分折到y 轴左侧去．同时，将y 轴左侧的部分折到y 轴右侧去．叫做关于y 轴的翻转变换．6．要作函数)(x f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象以x 轴为对折线， 把x 轴上方的图形折到x 轴下方去，同时又把x 轴下方的图象折到x 轴上方去 即可．叫做关于x 轴的翻转变换．7．要作函数)(ax f y =（a ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短（a ＞1）或伸长（0＜a ＜1）到原来的a1倍（纵坐标不变）即可（若a ＜0，还得同时进行关于y 轴的翻转变换．这种变换叫做函数图象的横向伸缩变换．8．要作函数)(x Af y =（Ａ＞0）的图象，只需将函数)(x f y =图象上所有点的纵坐标伸长（Ａ＞1）或缩短（0＜Ａ＜1）到原来的Ａ倍（横坐标不变）即可．这种变换叫做函数图象的纵向伸缩变换（若Ａ＜0，还要再进行关于x 轴的翻转变换）． 9．要作函数)(x a f y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线x ＝2a的翻转变换即可． 实质上，这种变换是函数图象左右平移变换与关于y 轴翻转变换的复合，即先把)(x f y =图象发生左右平移得到函数)(a x f y +=的图象，再关于y 轴翻转便得到)(x a f y -=的图象． 10．要作函数)(x f h y -=的图象，只需将函数)(x f y =的图象发生关于直线y ＝2h的翻转变换即可． 实质上，这种变换是函数图象的关于x 轴的翻转变换与上下平移变换的复合，即先把函数)(x f y =的图象发生关于x 轴的翻转变换得到)(x f y -=的图象，再把)(x f y -=的图象向上（h ＞0）或向下（h ＜0）平移｜h ｜个单位便得到函数)(x f h y -=的图象．综合第9、第10变换，要作函数)(x a f h y --=的图象，只需做出函数)(x f y =图象的关于点（2a ，2h）的中心对称图形即可． 二、方法归纳1．作图象：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法．作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（即单调性、奇偶性、周期性、有界性及变化趋势（渐进性质）；④描点连线，画出函数的图象．用图象变换法作函数图象，①要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换；②是确定实施怎样的变换． 2．识图象：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面的观察，获取有关函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面的信息．3．关注函数图像的变换对函数的性质的影响．三、典型例题精讲【例1】函数)10(1||log )(<<+=a x x f a 的图象大致为（ ）【错解分析】错解一：由||log x a ≥0，得1||log +x a ≥1，即)(x f ≥1，故选B ．错误原因在于误将||log x a 等同于|log |x a ，做出误判||log x a ≥0． 错解二：没注意10<<a ，而默认为1>a ，故选Ｃ．解析：考虑10<<a ，当0>x 时，1log )(+=x x f a 为减函数，淘汰B 、Ｃ． 当1=x 时，1)(=x f ，故选A ．又例：函数xy 3log 3=的图象大致是（ ）解析： 由x 3log ≥0，得xy 3log 3=≥1，故选A ．【例2】函数2()1log f x x =+与1()2x g x -+=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）解析：由函数x x f 2log 1)(+=的图象是由x y 2log =的图象向上平移1个单位得到，可知B 、C 、D 满足；又函数11)21(2)(-+-==x x x g ，其图象为xy )21(=的图象向右平移1个单位得到，可知A 、C 满足．故选C ．【技巧提示】本题中的错误答案均为对函数进行错误变换而得，因此只要变换正确，就能做出正确的选择．本题亦可用特殊值法得到正确的选项．由1)1(=f ，可知B 、C 、D 满足；又2)0(=g ，可知A 、C 满足．故选C ．又例：若函数)(x f 的反函数为)(1x f-，则函数)1(-x f 与)1(1--x f的图象可能是（ ）解析：因为函数)(x f 的反函数为)(1x f-的图象关于直线x y =对称，函数)1(-x f 与)1(1--x f的图象是函数)(x f 的反函数为)(1x f -的图象向右平移1个单位得到，故选A ．再例：函数)32(-x f 的图象，可由函数)32(+x f 的图象经过下述哪个变换得到（ ） A ．向左平移6个单位 B ．向右平移6个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位解析：将函数)32(+x f 中的x 用3-x 代之，即可得到函数)32(-x f ，所以将函数)32(+x f 的图象向右平移3个单位即可得到函数)32(-x f 的图象，故选D ．【例3】函数xy 3=的图象与函数2)31(-=x y 的图象关于（ ）A ．点（－1，0）对称B ．直线x ＝1对称C ．点（1，0）对称D ．直线x ＝－1对称解析：若记xx f y 3)(==，则)2(3)31(22x f x x -==--，由于)(x f y =与)2(x f y -=的图象关于直线x ＝1对称，∴ 选B ．【技巧提示】若)(x f 自身满足)2()(x a f x f -=，则)(x f y =的图象关于直线x ＝a 对称；若)(x f 自身满足)2()(x a f x f --=，则)(x f y =的图象关于点（a ，0）对称． 两个函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线x ＝a 对称； 两个函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点（a ，0）对称． 又例：设函数)(x f y =的图象关于点（1，23）对称，且存在反函数)(1x f -，若0)3(=f ，则)3(1-f等于（ ）A ．－1B ．1C ．－2D ．2 解析：方法一：因为函数)(x f y =的图象关于点（1，23）对称， 所以)(x f 满足)2(3)(x f x f --=．令3)(=x f ，得0)2(=-x f ，又0)3(=f ，∴x ＝－1． 故选A ．方法二：∵0)3(=f ，即函数过点（3，0）， 又函数)(x f 图象关于点（1，23）对称， ∴函数)(x f 也过点（－1，3），即3)1(=-f ． ∴1)3(1-=-f，故选A ．【例4】设22)(x x f -=，若0<<b a ，且)()(b f a f =，则ab 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(0,4]D ．(0解析：保留函数22x y -=在x 轴上方的图象，将其在x 轴下方的图像翻折到x 轴上方区即可得到函数22)(x x f -=的图象．通过观察图像，可知)(x f 在区间]2,(--∞上是减函数，在区间]0,2[-上是增函数，由0<<b a ，且)()(b f a f =．可知02<<-<b a ，所以2)(2-=a a f ，22)(b b f -=， 从而2222b a -=-，即422=+b a ，又ab ab b a b a 242)(222-=-+=-＞0，所以20<<ab ．故选A ．【技巧提示】本题考查函数图象的翻折变换，体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数22x y -=的图象和性质，进而得到22)(x x f -=的图像和性质．由0<<b a ，且)()(b f a f =，得到422=+b a 才使得问题变得容易．又例：直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点，则a 的取值范围是 ． 解析：因为函数a x x y +-=2是偶函数， 所以曲线a x x y +-=2关于y 轴对称．当x ≥0时，a x x y +-=2＝41)21(2-+-a x ，其图象如右． 由直线1=y 与曲线有四个交点，得⎪⎩⎪⎨⎧<->1411a a ，解得451<<a ． 故a 的取值范围是)45,1(．再例：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=解析 因为定义在R 上的奇函数，满足)()4(x f x f -=-，所以)()4(x f x f =-，函数图象关于直线2x =对称，且(0)0f =，再由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数， 又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示，那么方程m x f =)( (m ＞0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-．【例5】定义在R 函数)(x f ＝mx xm +-2)2(的图象如下图所示，则m 的取值范围是（ ）A ．（－∞，－1）B ．(－1，2)C ．(0，2)D ．(1，2) 解析：方法一 排除法，若m ≤0， 则函数mx xm x f +-=2)2()(的定义域不为R ，与图象信息定义域为R 不符，故排除掉A 、B ． 取m ＝1，)(x f ＝12+x x，此函数当x ＝±1时，)(x f 取得极值，与所给图形不符，排除C ．选D ． 方法二 显然)(x f 为奇函数，又)1(f ＞0，)1(-f ＜0， 即mm +-12＜0，解得－1＜m ＜2． 又)(x f 取得最大值时，x ＝m ＞1， ∴ m ＞1，∴ 1＜m ＜2．故选D ．【技巧提示】根据已给图形确定解析式，需要全面扑捉图象信息．m 对奇偶性影响不大，但对定义域、极-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8yx f(x)=m (m>0)值点影响明显．又例：当参数21,λλ=λ时，连续函数xx y λ+=1)0(≥x 的图像分别对应曲线1C 和2C ，则（ ） A ．210λ<λ< B ．120λ<λ< C ．021<λ<λ D ．012<λ<λ 解析：由条件中的函数是分式无理型函数， 先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数0,021>λ>λ，即排除C ，D 项，又取1x =，知对应函数值1111λ+=y ，2211λ+=y ，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项．【例6】定义区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -,已知函数|log |)(21x x f =的定义域为],[b a ,值域为]2,0[,则区间],[b a 的长度的最大值与最小值的差为 .【错解分析】函数|log |)(21x x f =的图象如图．令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x ． ∴2)4()41(==f f ，又0)1(=f ，∴],[b a 长度的最大值为314=-；最小值为43411=-． 故所求最大值与最小值的差为49433=-． 解析：函数|log |)(21x x f =的图象如上图．令2|log |)(21==x x f ，得41=x 或4=x ． ∴],[b a 长度的最大值为415414=-；最小值为43411=-． 故所求最大值与最小值的差为343415=-． 【技巧提示】准确作出函数的图象，正确理解区间长度的意义是解决此类问题的关键．又例:已知函数)12(log )(-+=b x f x a )1,0(≠>a a 的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C ．101ba -<<<- D ．1101ab --<<<解析：由图易得1>a ，∴101<<-a取特殊点0=x ，0log )0(1<=<-b f a ． 即1log log 1log 1a a ab a<<=-， ∴101<<<-b a ．故选A ．【例7】若不等式2)2(92-+≤-x k x 的解集为区间[]b a ,，且b －a ＝2，则k = ．分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出219x y -=，2)2(2-+=x k y 的图像，根据图像确定k 的值。