第六章随机信号分析简介本章总课时理论4课时。
本章主要内容本章介绍测试技术中随机信号分析方法，主要内容包括随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析。
本章基本要求熟练掌握描述随机信号的主要数字特征参数，掌握时域与频域分析的基本方法，了解时域与频域分析的应用。
本章重点及难点本章重点为随机信号的幅值域分析、相关分析、功率谱分析的基本原理，难点为各部分相关的理论分析。
本章教学方法1. 以课堂理论教学为主。
2. 在理论教学过程中，可利用多媒体对已有应用实例进行演示性教学，使学生对随机信号信号时域与频域分析的应用具有一定的感性认识，激发学生掌握相关基本原理与应用的兴趣。
3. 教学中要求学生在掌握基本原理的基础上，对幅值域分析、相关分析、功率谱分析进行比较，以促进对随机信号信号时域与频域分析方法的理论与应用有比较清楚的认识。
4. 充分利用课外辅导及练习加深对所学理论知识的认识。
实验本章未安排实验课。
课外学习指导及作业1. 名词解释随机信号的均值、方差、均方值、均方根值、相关函数、功率谱密度函数。
2. 简述题(1) 描述随机信号的主要数字特征参数有哪些？其物理意义是什么？各自描述了随机信号的什么特性？(2) 相关分析是在什么范围内分析随机信号的方法？相关系统与相关函数各自描述了随机信号的什么特征？(3) 相关分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。
(4) 功率谱分析是在什么范围内分析随机信号的方法？(5) 功率谱分析在工程上有什么样的应用？试举例说明。
(6) 实际信号的谱分析中为什么自功率谱比幅值谱应用更为广泛？(7) 自相关函数、互相关函数、自谱、互谱各自保留了原信号的哪些特征？这对实际应用有什么影响？3. 计算题(1) 试求三角波与方波的概率密度函数p1(x)与p2(x)。
(2) 设随机信号x(t)的自功率谱密度函数为S x(f)，将其输入到频率响应函数为H(f)=1/(1+j2πfτ)的系统中，试求该系统的输出信号y(t)的自功率谱密度函数S y(f)，以及输入输出函数的互功率谱密度函数S xy(f)。
4. 设计分析题试设计一个利用相关分析测量物体运动速度的系统，并说明其工作原理。
随机信号在工程技术的各个领域中，存在着大量的随机信号。
随机信号无法用数学表达式直接描述，也不能准确预测其未来的瞬时值，但是其值的变动服从统计规律，可以用概率论和数理统计的方法来描述。
对随机现象按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作x i(t)。
样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。
随机现象可能产生的全部样本函数的集合(总体)称为随机过程。
分类随机信号可分为平稳的和非平稳的。
如果随机信号的特征参数不随时间变化，则称为平稳的，否则为非平稳的。
一个平稳随机信号，若一次长时间测量的时间平均值等于它的统计平均值(或称集合平均值)，则称这样的随机信号是各态历经的。
通常把工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。
描述方法 对随机信号可进行以下三个方面的统计数学描述。
(1) 幅值域描述 均值、均方值、方差和概率密度函数。
(2) 时域描述 自相关函数和互相关函数。
(3) 频域描述 自功率谱密度函数和互功率谱密度函数。
§1 幅值域分析一. 随机信号的均值、均方值、方差1. 均值μx 均值描述信号的常值分量。
设x (t )为样本函数，T 为观测时间，则各态历经信号的均值为μx =⎰∞→T 0T )d (T 1lim t t x (6.1.1) 实际测试中，所得到的均值是对某个样本函数在足够长时间内的积分平均，称为均值估计，该估计值随所采用的样本记录的不同而有所差异，故它也是一个随机量。
计算公式为⎰=T 0)d (T1t t x ˆx μ (6.1.2) 2. 均方值ψ2x信号的均方值描述信号的强度，即平均功率，即=2x ψ⎰∞→T 02T )d (T 1limt t x (6.1.3) 其估计值表达式为=2x ˆψ⎰T 02)d (T 1t t x (6.1.4) 3. 信号的方差σ2x方差反映了随机信号的波动程度。
方差是随机信号x (t )偏离均值μx 的均方值，其计算值、估计值分别为2x σ=⎰∞→T 02x T d ]-)([T 1lim t t x μ，2x ˆσ=⎰T 02x d ]-)([T 1t t x μ (6.1.5) 4. 信号的均方根ψx信号的均方根是均方值的平方根，即ψx =⎰∞→T 02T )d (T 1lim t t x ，x ˆψ=⎰T 02)d (T 1t t x (6.1.6) 5. 信号的标准偏差σx方差的正平方根称标准偏差σx ，是随机数据分析的重要参数，即x σ=⎰∞→T 02x T d ]-)([T 1lim t t x μ，x ˆσ=⎰T 02x d ]-)([T 1t t x μ (6.1.7) 6. 各特征参数之间的关系均值、均方值和方差的相互关系是σ2x =ψ2x -μ2x (6.1.8)二. 概率密度函数P(x )随机信号沿幅值域分布的统计规律可用概率密度函数P(x )来描述。
图6.1.1所示的信号x (t )落在某指定区间(x , x +Δx )内的时间为T x ，即T x =Δt 1+Δt 2+…+Δt n =∑∞→ni i t Δ，当样本函数的记录时间T →∞时，其幅值落在(x , x +Δx )区间内的概率为p [x <x (t )≤x +Δx ]=TT lim T x ∞→ (6.1.9) 令幅值区间间隔Δx →0，定义概率密度函数P(x )为P(x )=xx x t x x p Δ]Δ)([lim Δx +≤<∞→(6.1.10)图6.1.1 信号概率密度函数的计算概率密度函数表示随机信号的幅值落在指定区间内的概率，不同的随机信号的概率密度函数图形不同，可借此来辨别信号的性质。
常见典型信号的概率密度函数曲线如图6.1.2所示。
a)正弦信号(初始相角为随机量) b)在编信号与随机信号的叠加c)窄带随机信号d)宽带随机信号图6.1.2 4种不同信号的概率密度函数以上4种对随机信号幅值的统计描述，显示了信号本身的一些特征，但作为对信号的一种整体描述是不充分和不精细的。
例如，图6.1.3中的两个信号，其波形和周期都大不相同，但它们的描述参数μx、ψ2x、σ2x和P(x)都相等。
为此，还需要对信号作进一步分析，如相关分析。
图6.1.3 2种不同信号的特性比较本节小结：描述各态历经随机信号的主要特征参数有μ、ψ2x、σ2x和xP(x)。
均值μx描述信号的常值分量，信号的均方值ψ2x描述信号的强度，即平均功率，方差σ2x反映了随机信号的波动程度，概率密度函数P(x)描述了随机信号沿幅值域分布的统计规律。
这四种对随机信号幅值的统计描述，显示了信号本身的一些特征，但作为对信号的一种整体描述是不充分和不精细的。
§2 相关分析一. 相关的基本概念1. 进行相关分析的原因在信号分析中，有时需要对两个信号的相互关系进行研究。
如上节已经谈到，参数μx、ψ2x、σ2x和P(x) 是4种对随机信号幅值的统计描述，显示了信号本身的一些特征，但作为对信号的一种整体描述是不充分和不精细的。
为此，还需要对信号作进一步分析，如相关分析。
2. 相关的概念通常，两个变量之间若存在着一一对应的确定关系，则称两者之间存在着函数关系。
当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。
图6.2.1表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。
图6.2.1(a)中个人的身高x与其体重y之间虽无确定关系，但从统计结果和总体变化趋势看，大体上具有某种程度的线性关系(身高高则体重重)，因此说它们之间存在着相关关系。
图6.2.1(b)中个人的身高x与其爱好y之间各点分布很分散，可以说变量x和变量y之间是毫不相关的。
(a)相关(b)不相关图6.2.1 2个随机变量的相关性二. 相关系数ρxy1. 概念变量x 和y 之间的相关程度常用相关系数ρxy 来表示，设E 为数学期望、μ为随机变量的均值、σ为随机变量的标准差，则ρxy =E[(x -μx )(y -μy )]/σx σy (6.2.1)2. 意义理论分析可知，-1≤ρxy ≤1。
当数据点分布愈接近于一条直线时，|ρxy |愈接近1，x 和y 的线性相关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈有意义。
ρxy 的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增加或减小。
当ρxy 接近于0，则认为x 和y 两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非线性的相关关系，甚至函数关系。
三. 信号的自相关函数R x (τ)1. 概念依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号x (t )，设τ为时差(时延，单位为s ，-∞<τ<+∞)，则其自相关函数R x (τ)定义为R x (τ)=E[x (t )x (t +τ)]=⎰-∞→+T TT )d ()(2T 1lim t t x t x τ (6.2.2) x R ˆ(τ)=⎰-+T T)d ()(2T 1t t x t x τ (6.2.3) 2. 自相关函数的测试自相关函数R x (τ)的测试过程如图6.2.2所示。
图6.2.2 自相关函数的测试3. 自相关系数由于x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和标准差，因此其自相关系数为ρx=[R x(τ)-μ2x]/σ2x(6.2.4)4. 自相关函数的性质自相关函数有下列性质(1) 当τ=0时，R x(τ)就是信号的均方值ψ2x，且为R x(τ)的最大值。
即R x(0)=ψ2x=min R x(τ)。
(2) R x(τ)与ρx两者之间成线性关系。
若随机过程的均值μx=0，则ρx=R x(τ)/σ2x。
若x(t)为完全随机信号，当τ→∞时，x(t)和x(t+τ)之间不存在相似性，则ρx→0，R x(τ)→μ2x，即τ很大时，R x(τ)趋于常数不再呈波动状态。
(3) R x(τ)为偶函数，即R x(τ)=R x(-τ)。
(4) 频率保持特性周期为T的周期信号的自相关函数必呈同周期性，即R x(τ)=R x(τ+T)，且保留了原周期信号的幅值信息，丢失了相位信息。
(5) μ2x-σ2x≤R x(τ)≤μ2x+σ2x例6.2.1求正弦信号x(t)=xsin(ωt+φ)的自相关函数，其中初始相角φ为一随机变量。
解该函数是一个均值为零的各态历经随机信号，其各参数的平均值均可用一个周期内的平均值表示。
其周期T0=2π/ω，则自相关函数为R x (τ)=⎰+∞→T 0T )d ()(T 1lim t t x t x τ=⎰0T 020T 1x sin(ωt +φ)sin[ω(t +τ)+φ]d t =220x cosωτ 可见，正弦信号的自相关函数是一个同频的余弦信号，其幅值与原信号幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。
