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《经济数学Ⅰ》（《微积分（经济类）》）教学大纲一、教学大纲说明1. 课程的地位、作用和任务本课程是经济类、管理类学科的一门公共基础课。
2. 课程教学的目的和要求课程所要达到的目的与任务是为使学生学习后续的数学及专业课打下必备的坚实的数学基础。
3. 课程教学改革设想本课是面对经济系学生开设的。
本着“打好基础，够用为度”的原则，讲课内容力求生动流畅，不求深，不求全，只求实用。
重视在经济上的应用，并注意与专业接轨，服务专业的改革思想。
4. 课程与其他课程的联系通过这门课程要掌握微积分的必要基本概念、基本理论与基本方法，培养并提高学生应用微积分的基础知识解决经济实际问题的能力。
5. 教材与教学参考书《微积分》上册（吴赣昌编）中国人民大学出版社2006《微积分》经济应用数学基础（一）赵树塬主编《高等数学》同济大学高数出版社20046. 考试改革设想及成绩计算方法考试与平时成绩结合，考试测重基本知识掌握，对大纲中要求理解、掌握的部分，及在经济上的应用，考试成绩占60%与平时（作业、学习态度课堂发言，出缺习）占40％。
二、课程的教学内容、重点和难点（按章节填写）第一章：函数与极限重点：掌握函数极限的一般求法，掌握两个重要的极限并会用它求相应的函数的极限，掌握常用的经济方面的函数难点：函数在一点有极限的充要条件及其应用，函数的连续性第一节：函数定义域与函数值第二节：函数的类别与基本性质第三节：极限概念及运算法则第四节：无穷大量与无穷小量第五节：未定式极限第六节：两个重要极限第七节;函数的连续性第八节：几何与经济方面函数关系式第二章：导数与微分重点：导数概念及其几何、物理意义；导数运算法则，基本公式，复合函数求导难点：复合函数求导法及隐含数求导法第一节：导数的概念第二节：导数基本运算法则第三节：导数基本公式第四节：复合函数导数运算法则第五节：隐含数的导数第六节：高阶导数第七节：分段函数的导数第八节：微分第三章：导数的应用重点：应用洛必达法则求极限；极值的判别与求法；边际函数与弹性函数难点：经济方面函数的优化第一节：微分中值定理第二节：洛必达法则第四节：函数单调区间与极值第五节：函数的最值第七节：经济方面函数的边际与弹性第八节：几何与经济方面函数的优化第四章：不定积分重点：原函数、不定积分概念；换元法及分布积分法难点：第二换元法；初值问题第一节：不定积分的概念及基本运算法则第二节：不定积分基本公式第三节：凑微分第四节：不定积分第一换元法则第六节：不定积分第二换元法则第七节：不定积分分部积分法则第八节：初值问题第五章：定积分重点：定积分概念及其几何意义、定积分基本运算法则；牛顿－莱不尼兹公式；定积分换元法则及分布积分法则难点：变上限定积分概念与重要性质；广义积分第一节：定积分概念与基本运算法则第二节：变上限定积分第三节：牛顿－莱不尼兹公式第四节：定积分换元积分法则第五节：定积分分部积分法则第六节:分段函数的定积分第七节：广义积分第六章：二元微积分重点：二元函数一阶、二阶偏导数的求法；二元函数全微分、极值的求法；在平面直角坐标系下计算二重积分难点：二元复合函数求导法；把二重积分化为二次积分的方法第一节：二元函数的概念第二节:二元函数的一阶偏导数第三节：二元函数的二阶偏导数第四节：二元函数的全微分第五节：二元函数的极值第七节：二重积分的概念与基本运算法则第八节：二重积分的计算二、基本教学要求第一章：函数与极限1．掌握函数的概念及定义域、值域的求法；理解和掌握复合函数及分段函数定义及常用的经济函数2．熟练掌握基本函数的性质及其图形3．第三节：理解函数在一点有极限的充要条件，并运用4．掌握两个重要极限并能熟练应用5．了解函数在一点的概念第二章：导数与微分1．理解导数与微分的概念；了解导数的几何、物理意义及连续与可导的关系2．理解并掌握导数与微分运算法则和导数的基本公式；掌握初等函数的一、二阶导数的求法3．掌握复合函数求导法，了解隐含数求导法4．掌握函数的微分法第三章：导数的应用：了解罗尔定理与拉格朗日定理理解函数极值与最值的概念；掌握求函数极值、最值的方法及其在经济上的应用掌握用洛必达法则求未定式极限的方法理解函数的边际与弹性的概念，特别是掌握经济方面的边际需求与弹性需求求法及其经济意义第四章：不定积分理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分基本公式及运算法则掌握不定积分的换元法与分部积分发了解在经济上的应用来求初值问题第五章：定积分理解定积分的概念及几何意义理解变上限定积分是积分上限函数，掌握积分上限函数的性质及求导方法理解并掌握中顿——莱布尼茨公式。
定积分在经济中的应用一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：()()()ba Rb R a R x dx '-=⎰ （1） ()()()ba Cb C a C x dx '-=⎰ （2） ()()()ba Lb L a L x dx '-=⎰ （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）。
解 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元 300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰ 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。
例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。
解 由于2200()(0.08r t dt dt =+⎰⎰20.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为20()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例3 某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt'=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元。
高等数学在经济中的应用专业：制药工程姓名:XXX 指导老师：XXX摘要：高等数学在经济研究中起着基础性作用，只有学好高等数学才能更好的理解剖析经济现象掌握经济知识。
本文主要用数学分析、常微分方程、高等代数概率与数理统计等课程的相关知识来说明高等数学在经济中的应用。
关键词：高等数学；经济；应用Application of Advanced Mathematics in EconomyAbstract：Advanced mathematics is basis of economic research．0nly learning advanced mathematics，call we get a better understanding and analyzing economic phenomenon and master economic knowledge．This paper mainly illustrates the application of advanced mathematics in the economy by using the related knowledge of mathematical analysis,ordinary differential equation，higher algebra，probability and mathematical statistics course．Key words：advanced mathematics；economy；application0 引言数学在经济中扮演着越来越重要的角色，经济学的许多研究方法都依赖于数学思维，许多重要的结论也来源于数学的推导，而且提高经济学理论的科学性与分析水平的重要工具也是数学。
因此，研究数学方法与经济学的内在联系，研究数学在经济学中的地位和作用，研究数学方法怎样在经济学研究中发挥作用，无疑对于从事经济学研究来说具有重要意义。
“微积分”在经济中的一些应用举例◎李萍【摘要】【摘要】现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中.下面列举微积分在经济中的一些应用：(1)导数在边际和弹性理论中的应用；(2)导数在利润最大化问题中的应用；(3)积分在利润最大化问题中的应用；(4)微分方程在经济中的应用.【期刊名称】数学学习与研究：教研版【年(卷),期】2016(000)017【总页数】2【关键词】【关键词】微积分；经济；应用数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.一、导数在边际和弹性理论中的应用1.函数变化率——边际函数设函数y=f(x)可导，则导函数f′(x)称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′(x0)个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.例1 设某产品成本函数C=C(Q)(C为总成本，Q为产量)，其变化率C′=C′(Q)称为边际成本，C′(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R(Q)，则R′=R′(Q)称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L(Q)，则L′=L′(Q)称为销售量为Q单位时的边际利润.2.导数与弹性函数我们先来看一个例子：经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况,因此先引入下面定义：定义1[2] 设函数y=f(x)可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,称为函数f(x)从x到x+Δx两点间的弹性(或相对变化率).而极限称为函数f(x)在点x的弹性(或相对变化率),记为.注:函数f(x)在点x的弹性反映随x的变化f(x)变化幅度的大小,即f(x)对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上,f(x)表示f(x)在点x处,当x产生1%的改变时,函数f(x)近似地改变f(x)%,在应用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.定义2[2] 设需求函数Q=f(P),这里P表示产品的价格，于是,可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下:.注:一般地,需求函数是单调减少函数,需求量随价格的提高而减少(当ΔP>0时,ΔQ<0),故需求弹性一般是负值,它反映产品需求量对价格变动反映的强烈程度(灵敏度).用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即R=P·Q=P·Q(P),由=Q(p)(1+η)=Q(p)(1-|η|).知：(1)若|η|<1,需求变动的幅度小于价格变动的幅度.R′>0,R递增.即价格上涨,总收益增加;价格下跌,总收益减少.(2)若|η|>1,需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′<0,R递减.即价格上涨,总收益减少;价格下跌,总收益增加.(3)若|η|=1,需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0,R取得最大值.综上所述,总收益的变化受需求弹性的制约,随商品需求弹性的变化而变化.二、导数在利润最大化问题中的应用在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.解利润函数为L=R-C=4000Q-33Q2-(2Q3-3Q2+400Q+500)=-2Q3-30Q2+3600Q-500.对L求一阶导数，并令其等于零，即L′=-6Q2-60Q+3600=-6(Q+30)(Q-20)=0.得驻点为Q1=20,Q2=-30(舍去).对L求二阶导数，L″=-12Q-60，L″(20)=-12×20-60=-300<0，所以当Q=20时，利润有最大值，其值为L(20)=-2×(20)3-30×(20)2+3600×20-500=43500.故当产量为20时，利润最大为43500.三、积分在利润最大化问题中的应用例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′(x)=0.4x+2(元/单位)，求总成本函数C(x).如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.解因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0,x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C(0)=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为.设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，根据题意有R(x)=18x,所以总利润函数L(x)=R(x)-C(x)=18x-(0.2x2+2x+20)=-0.2x2+16x-20.由L′(x)=-0.4x+16=0，得x=40，而L″(40)=-0.4<0，所以每天生产40单位时才能获最大利润，最大利润为L(40)=300(元).四、微分方程在经济中的应用例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200(即当P=0时，Q=1200)，求需求量Q对价格P的函数关系.解根据弹性公式得，，化简得，两边积分得.Q=e-Pln3+C1=eln3-P+C1=eC1eln3-P=eC13-P=C3-P.其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.结语在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.【参考文献】[1]张柳霞，朱志辉，方小萍.数学建模思想在高等数学教学改革中的作用[J].中华女子学院学报，2011(3)：124-128.[2]曾令武,刘晓燕.经济应用数学简明教程[M].广州：华南理工大学出版社，2012:67-74.。
关于定积分在经济学中积累问题的应用作者：陈昆刘亚婷来源：《科教导刊》2013年第31期摘要定积分在经济学中有着广泛的应用，本文通过几个例子说明定积分在经济学的简单应用。
关键词定积分经济学积累问题中图分类号：F224 文献标识码：AAbout the Application of Definite IntegralAccumulated Problems in the EconomicsCHEN Kun， LIU Yating（Department of Mathematics， Xingyi Normal University for Nationalities， Xingyi，Guizhou 562400）Abstract Definite integral has been widely applied in economics， the paper through a few examples to talk about definite integrals' simple applications in economics.Key words definite integral； economics； long-standing and deep-seated prolems定积分是微积分学的重要组成部分，同时在经济学中有很多直接的应用，本文将运用定积分知识分析和解决某些经济学中的积累问题。
1 利用定积分求消费者剩余和生产者剩余经济学中定义消费者剩余是指消费者消费某种商品所获得的净收益，消费者在购买商品是有愿意付出的货币总额，还有一实际付出的货币总额，在一般情况下，消费者愿意付出的货币总额大于实际付出的货币总额，其间形成一个差额，这就是消费者剩余，用定积分的形式表示就是（）其中（）表示消费者为每一个单元商品所愿支付的最高边际价格，当价格为时，消费者共购买了单元的商品。
同样在经济学中定义企业从生产经营中得到的净收益为生产剩余，用定积分的形式表示就是：（）其中（）表示厂家的边际成本函数，当价格为时，消费者共购买了单元的商品。
计算机一级计算机基础及MS Office 应用（操作题）模拟试卷90(题后含答案及解析)题型有：1. 基本操作题 2. 上网题 3. 字处理题 4. 电子表格题 5. 演示文稿题基本操作题1．在考生文件夹下HUOW文件夹中创建名为DBP8．TXT的文件，并设置为只读属性。
正确答案：新建文件和设置文件属性①打开考生文件夹下HUOW文件夹；②选择【文件】|【新建】|【文本文档】命令，或单击鼠标右键，弹出快捷菜单，选择【新建】|【文本文档】命令，即可生成新的文件，此时文件(文件夹)的名字处呈现蓝色可编辑状态，编辑名称为题目指定的名称DBP8．TXT；③选中DBP8．TXT；④选择【文件】|【属性】命令，或单击鼠标右键，弹出快捷菜单，选择“属性”命令，即可打开“属性”对话框；⑤在“属性”对话框中勾选“只读”属性，单击“确定”按钮。
2．将考生文件夹下JPNEQ文件夹中的AEPH．BAK文件复制到考生文件夹下的MAXD文件夹中，文件名为MAHF．BAK。
正确答案：复制文件和文件命名①打开考生文件夹下JPNEQ文件夹，选中AEPH．BAK文件；②选择【编辑】|【复制】命令，或按快捷键Ctrl+C；③打开考生文件夹下MAXD文件夹；④选择【编辑】|【粘贴】命令，或按快捷键Ctrl+V；⑤选中复制来的文件；⑥按F2键，此时文件(文件夹)的名字处呈现蓝色可编辑状态，编辑名称为题目指定的名称MAHF．BAK。
3．为考生文件夹下MPEG文件夹中的DEV AL．EXE文件建立名为KDEV 的快捷方式，并存放在考生文件夹下。
正确答案：创建文件的快捷方式①打开考生文件夹下MPEG文件夹，选中要生成快捷方式的DEV AL．EXE文件；②选择【文件】|【创建快捷方式】命令，或单击鼠标右键，弹出快捷菜单，选择“创建快捷方式”命令，即可在同文件夹下生成一个快捷方式文件；③移动这个文件到考生文件夹下，并按F2键改名为KDEV。
4．将考生文件夹下ERPO文件夹中SGACYL．DAT文件移动到考生文件夹下，并改名为ADMICR．DAT。
《医用高等数学》主要知识点概要第1章 函数与极限§1.1 函数基本初等函数的图像和性质（教材第5页） §1.2 极限 1、 极限的定义：1) 两种基本形式lim ()x f x A →∞=和0lim ()x x f x A →=2) 左极限和右极限的概念 3) 极限的四则运算【重点】[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x ±=± lim ()lim ()kf x k f x =()lim ()im()lim ()f x f xg x g x = []lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x =⋅ 重点例题：教材第13页例8-例122、 两种重要极限【重点】 1) 基本形式0sin lim1x xx→=，重点例题：教材第15页13-152) lim(10)e ∞+=型，两种基本形式：1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭和()10lim 1x x x e →+=重点例题：教材第16页，例16-173、 无穷大与无穷小量【重点】 1) 无穷大与无穷小的定义 2) 无穷小的基本性质①有限个无穷大的乘积或代数和也是无穷大 ②非零常数与无穷大乘积也是无穷大③常数或有界函数与无穷大的代数和也是无穷大 3) 无穷小的基本性质①有限个无穷小的代数和或乘积也是无穷小 ②有界函数或常数与无穷小的乘积是无穷小③在求0x →的极限时，一些等价无穷小可以直接互相替换，但须注意替换时只能替换乘除因子中的无穷小，不能替换加减因子中的无穷小。
主要的代换有：~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1xx x x x x x e +- 以及：211cos ~2x x - 重要例题：教材17页，例18-19，教材第20页，练习1-2,第2题第（1）、（5）-（7）§1.3 函数的连续性 1、 函数连续的定义2、 判定函数在0x 连续的方法： 1) []000lim lim ()()0x x y f x x f x ∆→∆→∆=+∆-=2)0lim ()()x x f x f x →=基本初等函数以及由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合构成的初等函数在其定义域内均是连续的。
学号：0907410028本科毕业论文（设计）( 2013届)指数函数的多项式展开及其应用院系数学系专业数学与应用数学姓名许月指导教师齐继兵职称讲师等级摘要指数函数是基本的初等函数，它的性质及其多项式逼近形式应用非常广泛.本文将主要围绕指数函数的多项式展开式进行研究，首先论述了指数函数的泰勒展开式的概念，给出了泰勒公式的一种证明，利用MATLAB做出了指数函数与其不同多项式逼近函数的图像，并进行了误差分析和比较.简要介绍了自然指数函数展开式的两种多重分割法的概念及性质.接着又讨论了指数函数的泰勒展开式在求解非线性发展方程，求解极限，近似估值以及在不等式证明当中的应用.这些应用反映了利用指数函数展开式及相关性质在解决一些问题中的技巧和方法，有助于进一步深入理解指数函数及其多项式展开在解决实际问题中的重要作用.关键词：指数函数初等函数多项式泰勒展开装订线ABSTRACTExponential function is the basic elementary function, it has a very wide range of propertiesand its application form of polynomial approximation. This paper will mainly focus on theexponential polynomial expansion is studies, firstly discusses the concept of Taylor expansion ofexponential function, one can prove the Taylor formula, using MATLAB to make the exponentialfunction with different images of the polynomial approximation function, and the error analysisand comparison. Nature of exponential function expansion is briefly introduced the concept oftwo multiple segmentation and nature, and then discussed the Taylor expansion of exponentialfunction in solving nonlinear evolution equations, the solving limit, approximate valuation aswell as the application in the middle of the inequality proof. These applications reflects the useof exponential function expansion and related properties in the methods and skills in solvingsome problems, will help to further understand exponential and polynomial expansion’simportant role in solving practical problems[10].Key words:exponential function elementary function polynomial Taylor expansion装订线目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1引言 (1)2指数函数的多项式展开 (1)2.1函数多项式展开的概念 (1)2.2泰勒展开式的证明 (1)2.3指数函数多项式逼近图 (2)2.4自然指数函数展开式的多重分割法 (6)3指数函数多项式展开的应用 (8)3.1应用指数函数展开法求解非线性发展方程 (8)3.2利用指数函数展开法求极限 (11)3.3利用指数函数展开式进行近似计算 (12)3.4利用泰勒公式证明不等式 (13)4结束语 (14)参考文献 (14)1 引言指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用.多项式理论在代数中也占有十分重要的地位，且在数学的各门学科中都有着广泛的运用.关于多项式的定义，在1981年12月第一版统编六年制重点中学高中数学课本《代数》第一册中说“一个多项式的元和系数都在实数集上取值时，这个多项式就叫做实数集R 上的多项式”，这个说法前一句讲的是多项式函数，而后一句却有问题，1983年11月第一版统编6年制重点中学高中数学课本《代数》第三册把这段话删去了，改为“以x 为元的一元n 次多项式的一般形式可以写成1110n n n n a x a x a x a --++++这里n 是确定的自然数，0n a ≠”[1].2 指数函数的多项式展开多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容.泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆.2.1 函数多项式展开的概念定义[2] 指数函数的多项式展开即泰勒展开，对于一般的函数()f x ，假设它在一点0x 存在直到n 阶的导数，且多项式()n T x 由这些导数构成，即()()()()()()()()()'''200000001!2!!n nn f x f x f x T x f x x x x x x x n =+-+-++-该式称为函数()f x 在该点处的泰勒公式. 指数函数在点0x 处的泰勒展开式为()()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnxn f x f x a f x f x f x x x x x x x T x o x x n ==+-+-++-+=+-这里()()0no x x -称为佩亚诺型余项.2.2 泰勒展开式的证明泰勒公式的证明方法有许多种，本文利用最基本的方法给出泰勒公式的证明.定理[2] 若函数()x f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()()nn x x o x T x f 0-+=，即()()()()()()()()()()()'''2000000002!!n nnf x f x f x f x f x x x x x x x o x x n =+-+-++-+- 装 订 线证明:不妨设()()()n n R x f x T x =-，()()0nn Q x x x =- 则只要证明()()0lim 0n x x nR x Q x →= 又知()()()()()'''00000n n n n n R x R x R x R x =====且()()()()()1'''00000n n n n n Q x Q x Q x Q x -=====，()()0!n nQ x n =因为()()0n f x 存在，所以在点0x 的某邻域()0U x 内f 存在1n -阶导函数()()1n f x -.于是，当().0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次，得到()()()()()()()()()()()()()()()()()0000111'000'10lim lim lim lim 12n n n n n n n n x x x x x x x x n nnR x R x R x f x f x f x x x Q x Q x n n x x Q x ----→→→→---====--()()()()()()0110001lim 0!n n n x x f x f x f x n x x --→⎡⎤-=-=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2.3 指数函数多项式逼近图2.3.1 指数函数x y e =的多项式逼近根据2.1可以写出指数函数x y e =的泰勒展开式为2312!3!!n x x x yxn ，现在我们利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数xy e =与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时得到的不同的指数函数多项式逼近函数的图像.这里为了更加清晰明了的做出误差比较与分析，则会做出三张图片，分别为指数函数x y e =与3n时得到的多项式逼近函数2312!3!x x y x =+++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与4n时得到的多项式逼近函数23412!3!4!x x x y x =++++在同一坐标系下的函数图像比较、指数函数xy e =与5n时得到的逼近函数234512!3!4!5!x x x x y x =+++++在同一坐标系下的函数图像比较，最后将根据图象分析指数函数与其逼近函数之间的关系并做出误差分析，得出结论[3].【例1】利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数xy e =、2312!3!x x y x =+++、23412!3!4!x x x y x =++++、234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像并做比较.解：a 、xy e =与2312!3!x x y x =+++图像的比较b 、xy e =与23412!3!4!x x x y x =++++图像的比较x ye23412!3!4!x x x y x =++++x ye2312!3!x x y x =+++c 、xy e =与234512!3!4!5!x x x x y x =+++++的图像比较根据上述例题我们可以看出原指数函数x y e =与其不同程度的多项式逼近函数均有着某种程度的逼近，且当n 的取值不同时原指数函数与其多项式逼近函数的逼近程度也不同.对比图像我们可以看出在指数函数的泰勒展开式中随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数的图像越接近误差越小. 2.3.2 指数函数x y e -=的多项式逼近同样根据 2.1的多项式展开概念，可得出指数函数x y e -=的泰勒展开式为23112!3!!n nx x x yxn .依旧利用数学作图工具MATLAB 做出指数函数x y e -=与其泰勒展开式中n 分别取3、4、5时的多项式逼近函数的函数图.同理为了更加清晰的比较不同指数函数与它们各自的多项式逼近函数的逼近趋势是否一致，仍旧作出三张图片，分别为指数函数x y e -=与3n 时的多项式逼近函数231112!3!y x x x =-+-在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与4n时的多项式逼近函数23411112!3!4!y x x x x =-+-+在同一坐标系下的函数图像、指数函数x y e -=与5n 时的多项式逼近函数2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-在同一坐标系下的函数图像，做出图像并分析图像，得出结论[3]. 234512!3!4!5!x x x x y x =+++++x ye【例2】 利用MATLAB 在同一坐标系中做出函数x y e -=、231112!3!y x x x =-+- 23411112!3!4!y x x x x =-+-+、2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像并做比较. 解：a 、x y e -=与231112!3!y x x x =-+-的图像比较b 、x y e -=与23411112!3!4!y x x x x =-+-+的图像比较c 、x y e -=与2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-的图像比较xy e -=xy e -=23411112!3!4!y x x x x =-+-+231112!3!y x x x =-+-由例题的三张图片，三个不同程度的同一指数函数的泰勒展开式的函数图像分别与原指数函数的图像比较我们可以看出原指数函数与其多项式逼近函数也有着某种程度的逼近，而且同样的随着在泰勒展开式中n 取值的不同逼近程度也不同，随着n 取值的增大，原指数函数与其逼近函数图像越接近，即误差越小.由2.3.1与2.3.2中的两个例题我们可以看出原指数函数与其不同程度的多项式逼近函数有着某种程度的逼近，且随着泰勒展开式中n 取值的增大，原函数与其对应的多项式逼近函数图像越接近，即两个函数在同一点下的函数值越接近，误差越小.再两个例题进行比较可以看出上述得出的结论并不只针对某一个指数函数，它对于任何指数函数均成立，可以普遍的应用于指数函数与其多项式逼近函数的误差分析中[4].2.4 自然指数函数展开式的多重分割法2.4.1 自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数定义1 [5]形如()()()211!2!!m m nm x x x S x m m nm =+++++()()()()121121!121!1!m m nm x x x x S x m m nm +++=++++++++()()()()()()11121311!21!31!11!n m m m m m x x x x S x m m m n m +----=+++++---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义双曲线 定义1'[5] 广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 的等价条件为()()()()()()1211,,,m m m dS x dS x dS x S x S x S x dx dxdx-=== xy e -=2345111112!3!4!5!y x x x x x =-+-+-以及()()()()12301,0000m S S S S =====广义双曲函数的性质1、2m >时，广义双曲函数组()()()12,,,m S x S x S x 构成的m 阶循环行列式()()()()()()()()()()12112311m m m m S x S x S x S x S x S x D x S x S x S x -==2、2m >时，广义双曲函数的和较恒等式()()()()()()()11122m m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()221123m S x y S x S y S x S y S x S y +=+++()()()()()()()1121m m m m S x y S x S y S x S y S x S y -+=+++2.4.2 自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数定义2[6] 形如()()()()2111!2!!m mnmnx x x T x m m nm =-+-+-+()()()()()1212111!1!21!1!m m nm nx x x x T x m mnm +++=-+-+-++++()()()()()()()111213111!21!31!11!n m m m m nm x x x x T x m m m n m +----=-+-+-+---+-⎡⎤⎣⎦其中,3x R m ∈≥均为广义三角函数. 定义'2[6] 广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 满足下列常微分方程组()()()()()()1211,,,m m m dT x dT x dT x T x T x T x dt dtdt-=== 以及初值条件()()()()12301,0000m T T T T =====广义三角函数的性质1、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 构成的m 阶反循环行列式()()()()()()()()()1221311---1m m m T x T x T x T x T x T x T x T x T x -=2、2m >时，广义三角函数组()()()12,,,m T x T x T x 的和角恒等式()()()()()()()()()1112132m m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y -+=----()()()()()()()()()2211233m m T x y T x T y T x T y T x T Y T x T y +=+--- ()()()()()()()()()33122134m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y +=++--()()()()()()()()()112231m m m m m T x y T x T y T x T y T x T y T x T y --+=++++3 指数函数多项式展开的应用3.1 应用指数函数展开法求解非线性发展方程在大学课本中我们学习了非线性方程，即因变量与自变量之间的关系不是线性的方程，同样也学习了数学的重要分支之一的微分方程，我们将含自变量、未知数和未知数微商（或偏微商）的方程称为常（或偏）微分方程.本文将呈现的非线性发展方程，即为费线性且依赖与时间的方程，一般为微分方程.给定非线性方程(),,,,,0t x xx tx F u u u u u =，（1） 为了求（1）行波解，令()(),u x t ϕθ=，kx vt θ=+， （2） 这里,k v 是非零的待定参数，（2）式带入方程（1）进行化简得到()ϕθ对应的常微分方程 ()''2''',,,,,0G u vu ku k u kvu =. （3）根据指数函数法，假设方程有如下解的形式:()qi p q ii pp q r r s j r s jj sa e a e a eb eb eb e θθθθθθφθ-=----=-++==++∑∑ （4）这里,i j a b 是待定常数,,,p q s r 均为待定正常数.通过平衡方程式（3）最高导数项与最高非线性项找出r 和p 的关系.同理通过平衡方程式最低导数项和最低非线性项找出q 和s 的关系，进一步找出方程的新解[3]，利用此方法可以求解BBM 方程[7].BBM 方程有如下的基本形式：60txxxxtu u uu u （5）利用变换,,u x tkx vt使方程（1）式变为：''2'''60kv kk v. （6）利用假设条件求出：7'''182r prc e c e ， （7）262'333844r pr prrc e c e c e c e ， （8）其中1,2,3,4k c k ，平衡子式得：762rprpr p . （9）同理7'''586s q s c e c e， （10）262'773888s q s q ssc ec e c e c e， （11）通过平衡子式762s qs q s q .情形1 取1,1rps q，从而方程（4）式变为：101101a ea a eb eb b e， （12）将（12）式代入方程（6）中，利用Maple 计算得到：330ii iCC e ， （13） 这里4101Cb e b b e，令0,33,iC i iR ，进而可得2220101115,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk20001111,,,,4b vv b b b b b b代入（12）式，可得2220011120011524664b v kk vb k vk vbk v k veekbkkb e b b eb . （14）(i) 令20114b b b 截得012b b ，从而得到两个孤立波解：22,363cosh 1k k vkvkkx vt. （15）(ii) 令1kK i ，2v K i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：21212124,511263cos 1K K K K K K K K x K t. （16）当111011000111,0,0,,,,a b a a baa v vb b b b b从而有161a b 为常数解. 情形2 取2r p ，2s q，为方便起见令110b b，从而方程（4）变为222101222202a e a e a a e a eb e b b e. （17）将（17）式代入方程（6）式中利用Maple 计算，有 770i i iCC e ， （18） 这里422202Cb eb b e ，令0,77,iC i iR ，从而得到22220202224420,,,2466b v kk vbk v k vb kv k va aa kbkk2000222112,,,,0,04b vv b b bb b a ab ，代入（17）式，可得222220022272220022420466244bk k vb k kvb k kvee kkkbb e b b eb （19）(iii) 令20224b b b 解得022b b 从而得到两个孤立波解：28,946cosh 1k k vkv kkx vt. （20）(iv) 令1kK i ，2vK i ，这里1K ，2K 为待定常数，i 为虚数，从而得到两个周期解：212121210,111126cos 1K K K K K K K K x K t. （21）利用指数函数展开法求解非线性发展方程式在Maple 软件运算功能的帮助下，运用指数函数法成功得到了非线性方程的精确解，其中包括孤立波解与周期解.从而可以看出使用指数函数法求解非线性方程除了过程简单外，结果也比较准确.该方法具有普遍性，此方法还可以求解更加复杂类型的非线性发展方程.3.2 利用指数函数展开法求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用罗比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用罗比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展开成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限[8].【例3】 求极限2242412!4!limx x x x e x -→-+-.分析：该题为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将22x e-用其多项式展开式代替,则可化简被求方程式. 解：由222242()21()22!x x x eo x --=-++得 ()22224242422111242422!x x x x x x x e o x -⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-=-+-+-+ 于是()()222242424442444000211112422!824limlim lim 8x x x x x x x x x x xo x o x e xx x -→→→⎛⎫- ⎪⎝⎭-+-+-++-+-===由题目我们可以看出，它其实也可以用罗比达法则，但是使用罗比达法则我们必须求导4次，为了简化解题过程，本题选择了泰勒展开法，而带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.【例4】 求极限01sin 2lim sin cos x x xe x xx x x .分析：此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , x e 分别用泰勒展开式代替,则可化简被求方程式.解：()()()2331sin 1122!3!2xx x x xe x x x o x x x o x ---=++++---+()336x o x =+()()()323323sin cos 162!3x x x x x x x o x x o x o x ⎛⎫-=-+--+=+ ⎪⎝⎭于是3333()1sin 162lim sin cos 2()3xx x xo x x x x x x x o x e →0+---==-+ 本题的极限式为分式，也可利用罗比达法则，但那样将会使解题过程复杂化，解题的过程中也很容易出错.为了简化求极限过程本题选择了泰勒展开法，将cos x ，sin x ，x e 分别泰勒展开为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，且保持分子与分母同阶，这样只需简单的几步就求出了极限值.3.3 利用指数函数展开式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用)(x f 麦克劳林展开得到函数的近似计算式为'''2(0)(0)()(0)(0)2!!n n f f f x f f x x x n ≈++++，其误差是余项()n R x .必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果[8].【例5】 求21x e dx -⎰的近似值,精确到510-.分析：因为2x e -的原函数不存在（即不能用初等函数表达）,现用泰勒展开式的方法求21x edx -⎰的近似值.解：将2x e-进行泰勒展开得24221(1)2!!nx nx x ex n -=-+++-+，逐项积分得242111112000001(1)2!n x nx x e dx dx x dx dx dx n -=-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰！111111(1)32!52n 1n n =-+⋅-+-⋅++！11111111310422161329936075600=-+-+-+-+ 上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项()n R x 的估计式知71||0.00001575600R ≤< 所以2111111110.7468363104221613299360x e dx -≈-+-+-+≈⎰ 对与类似的定积分求近似值，由于被积函数的原函数不存在无法完成积分过程，则求不出积分值，此时利用泰勒展开法将被积函数化成多项式函数，将其多项式逼近函数带入积分得出原函数的近似值，这样既简化了求解过程又得出的结果. 【例6】 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值，并估计误差. 分析：为求e 得近似值先求x f xe 得10次泰勒展开式，求e 得近似值即求1f 得近似值，利用f x 的麦克劳林展开得到f x 的近似计算式，然后取1x 求出1f 的近似值，即e 的近似值.解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯ 求解e 为底的指数函数或三角函数在某点的近似值时，利用泰勒展开法求出其原函数的近似式进而求出其在改点出的近似值，该方法简捷明了具有一定的普遍性，可广泛运用与其它的解题过程中.3.4 利用泰勒公式证明不等式关于不等式的证明，我们已经学习了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法，但对于一些特殊的不等式证明可能使用上述证明方法并不能很好的运用，此时不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替，往往能够使证明过程更加方便简捷[9]. 【例7】当0x ≥时，证明2311126x e x x x ≥+++. 证明：取()2311126x f x e x x x =----，00x =，则()()()()''''''00,00,00,1x f f f f x e ====-带入泰勒公式，其中3n =，得()310003!x e f x x θ-=+++，其中01θ<<故当0x ≥时，2311126x e x x x ≥+++4 结束语通过大学对数学分析的学习，我们了解了指数函数的多项式展开即泰勒展开，并且我们可以了解到泰勒展开对多种函数均成立，且可应用于多种解题过程中.而本文则主要围绕指数函数的多项式展开及其应用，即应用指数函数展开法求解非线性发展方程、利用指数函数展开法求极限、利用指数函数展开式进行近似计算、利用指数函数证明不等式.并简要介绍了自然指数函数展开式的多重分割法——广义双曲函数、自然指数函数展开式的多重分割法——广义三角函数的概念及性质.这肯定不会是指数函数的多项式展开的全部应用，它肯定还有其他方面的应用，这还有待于我们进一步探索研究.经过几个月的学习和工作，我终于完成了本篇论文.从开始拿到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目.虽然我的论文作品并不够成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一个文字都是我仔细推敲后得到的.这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是非常需要用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了.所以希望这次的经历能够在以后的学习中激励我继续进步.最后，我要特别感谢齐老师，是他在我毕业的最后关头给了我们巨大的帮助与鼓励，使我能够顺利完成毕业设计，在此表示衷心的感激.参考文献[1] 曾德备．关于多项式的定义[J]．玉溪师专学报, 1988,02:9-17. 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