陕西中考数学25题型总结(无答案)

1．（本题满分12分）如图，O 的半径均为R ．（1）请在图①中画出弦AB CD ，，使图①为轴对称图形而不是．．中心对称图形；请在图②中画出弦AB CD ，，使图②仍为中心对称图形； （2）如图③，在O 中，(02)AB CD m m R ==<<，且AB 与CD 交于点E ，夹角为锐角α．求四边形ACBD 的面积（用含m α，的式子表示）； （3）若线段AB CD ，是O 的两条弦，且2AB CD R ==，你认为在以点A B C D，，，为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．解：（1）答案不唯一，如图①、②（2）过点A ，B 分别作CD 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵S △ACD =CD ·AM=CD ·AE ·sin α，S △BCD =CD ·BN=CD ·BE ·sin α， ∴S 四边形ACBD =S △ACD +S △BCD=CD ·AE ·sin α+CD ·BE ·sin αO O O A D E C B O （第25题图①） （第25题图②） （第25题图③） （第25题图④） α=CD·（AE+BE）sinα=CD·AB·sinα=m2·sinα；（3）存在．分两种情况说明如下：①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=R知S四边形ACBD=AB·CD·sinα=R2sinα，②当AB与CD不相交时，如图④．∵AB=CD=R，OC=OD=OA=OB=R，∴∠AOB=∠COD=90°，而S四边形ABCD=SRt△AOB+S Rt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC延长BO交⊙O于点E，连接EC，则∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，∴△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△OCE，∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE过点C作CH⊥BE，垂足为H，则S△BCE=BE·CH=R·CH，∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．即四边形ABCD 是边长为R 的正方形时，S 四边形ABCD =R 2+R 2=2R 2为最大值。

陕西省中考数学试题（含答案解析）（共五则范文）第一篇：陕西省中考数学试题（含答案解析）2020年陕西省中考数学试卷（共25题，满分120）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．﹣18的相反数是（）A．18 B．﹣18 C． D． 2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（）A．57° B．67° C．77° D．157° 3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（）A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃ 5．计算：（x2y）3＝（）A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．x6y3 D．x5y4 6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△A BC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．B．C．3 D．2 9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75° 10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．计算：（2）（2）＝． 12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是．13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）15．（5分）解不等式组：16．（5分）解分式方程：1．17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：（1）这20条鱼质量的中位数是，众数是．（2）求这20条鱼质量的平均数；（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B 处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN． 21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长． 24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l 上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．25．（12分）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y （m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．2020年陕西省中考数学试卷答案解析一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）1．﹣18的相反数是（）A．18 B．﹣18 C． D．【解答】解：﹣18的相反数是：18．故选：A．2．若∠A＝23°，则∠A余角的大小是（）A．57° B．67° C．77° D．157° 【解答】解：∵∠A＝23°，∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．故选：B． 3．2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为（）A．9.9087×105 B．9.9087×104 C．99.087×104 D．99.087×103 【解答】解：990870＝9.9087×105，故选：A． 4．如图，是A市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的日温差（最高气温与最低气温的差）是（）A．4℃ B．8℃ C．12℃ D．16℃ 【解答】解：从折线统计图中可以看出，这一天中最高气温8℃，最低气温是﹣4℃，这一天中最高气温与最低气温的差为12℃，故选：C．5．计算：（x2y）3＝（）A．﹣2x6y3 B．x6y3 C．x6y3 D．x5y4 【解答】解：（x2y）3．故选：C． 6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：由勾股定理得：AC，∵S△ABC＝3×33.5，∴，∴，∴BD，故选：D．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．6 【解答】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解得，∴A（﹣3，0），B（﹣1，2），∴△AOB的面积3×2＝3，故选：B．8．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A． B． C．3 D．2 【解答】解：∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EFBC＝4，∵EF∥AB，AB∥C G，E是边BC的中点，∴F 是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A．55° B．65° C．60° D．75° 【解答】解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC 的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODCBDC＝65°，故选：B．10．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m ＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x）2+m，∴该抛物线顶点坐标是（，m），∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m3），∵m＞1，∴m﹣1＞0，∴0，∵m31＜0，∴点（，m3）在第四象限；故选：D．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．计算：（2）（2）＝ 1 ．【解答】解：原式＝22﹣（）2 ＝4﹣3 ＝1．12．如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°．【解答】解：因为五边形ABCDE是正五边形，所以∠C108°，BC＝DC，所以∠BDC36°，所以∠BDM＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．13．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y（k≠0）的图象经过其中两点，则m的值为﹣1 ．【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，点A（﹣2，1）在第二象限，∴点C（﹣6，m）一定在第三象限，∵B（3，2）在第一象限，反比例函数y （k≠0）的图象经过其中两点，∴反比例函数y（k≠0）的图象经过B （3，2），C（﹣6，m），∴3×2＝﹣6m，∴m＝﹣1，故答案为：﹣1．14．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD 上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为 2 ．【解答】解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF平分菱形面积，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在Rt△EFH中，根据勾股定理，得EF2．故答案为：2．三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程）15．（5分）解不等式组：【解答】解：，由①得：x＞2，由②得：x＜3，则不等式组的解集为2＜x＜3． 16．（5分）解分式方程：1．【解答】解：方程1，去分母得：x2﹣4x+4﹣3x＝x2﹣2x，解得：x，经检验x是分式方程的解．17．（5分）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）【解答】解：如图，点P即为所求．18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE． 19．（7分）王大伯承包了一个鱼塘，投放了2000条某种鱼苗，经过一段时间的精心喂养，存活率大致达到了90%．他近期想出售鱼塘里的这种鱼．为了估计鱼塘里这种鱼的总质量，王大伯随机捕捞了20条鱼，分别称得其质量后放回鱼塘．现将这20条鱼的质量作为样本，统计结果如图所示：（1）这20条鱼质量的中位数是 1.45kg，众数是1.5kg ．（2）求这20条鱼质量的平均数；（3）经了解，近期市场上这种鱼的售价为每千克18元，请利用这个样本的平均数．估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入多少元？【解答】解：（1）∵这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数，且第10、11个数据分别为1.4、1.5，∴这20条鱼质量的中位数是1.45（kg），众数是1.5kg，故答案为：1.45kg，1.5kg．（2）1.45（kg），∴这20条鱼质量的平均数为1.45kg；（3）18×1.45×2000×90%＝46980（元），答：估计王大伯近期售完鱼塘里的这种鱼可收入46980元． 20．（7分）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN．他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M 的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等．已知A，B，C 三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝31m，BC＝18m，试求商业大厦的高MN．【解答】解：如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，∴∠CEF＝∠BFE＝90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，∴四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，∴CE＝BF，ME＝AC，∠1＝∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF＝EM＝31+18＝49，由矩形性质可知：EF＝CB＝18，∴MN＝NF+EM﹣EF＝49+49﹣18＝80（m）．答：商业大厦的高MN为80m．21．（7分）某农科所为定点帮扶村免费提供一种优质瓜苗及大棚栽培技术．这种瓜苗早期在农科所的温室中生长，长到大约20cm时，移至该村的大棚内，沿插杆继续向上生长．研究表明，60天内，这种瓜苗生长的高度y（cm）与生长时间x（天）之间的关系大致如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当这种瓜苗长到大约80cm时，开始开花结果，试求这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约多少天，开始开花结果？【解答】解：（1）当0≤x≤15时，设y＝kx（k≠0），则：20＝15k，解得k，∴y；当15＜x≤60时，设y＝k′x+b（k≠0），则：，解得，∴y，∴；（2）当y＝80时，80，解得x＝33，33﹣15＝18（天），∴这种瓜苗移至大棚后．继续生长大约18天，开始开花结果． 22．（7分）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率；（2）画树状图得：∵共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，∴两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【解答】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠A DB，∴AD8，∴OA＝OC＝4，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝4，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF，∴EFAF ＝12，∴CE＝CF+EF＝12+4．24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．（1）求该抛物线的表达式；（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l 上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．【解答】解：（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x ﹣3；（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x ＝0，则y＝﹣3，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），故OA＝OC＝3，∵∠PDE＝∠AOC＝90°，∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，设点P （m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P （﹣4，5），此时点E坐标同上，综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．25．（12分）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是CF、DE、DF ．问题探究（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是上一点，且2，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C 在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，重足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m 时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，∴四边形CEDF是矩形，∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形，∴CE＝CF＝DE＝DF，故答案为：CF、DE、DF；（2）连接OP，如图2所示：∵AB是半圆O的直径，2，∴∠APB＝90°，∠AOP180°＝60°，∴∠ABP＝30°，同（1）得：四边形PECF是正方形，∴PF＝CF，在Rt△APB中，PB＝AB•cos∠ABP＝8×cos30°＝84，在Rt△CFB中，BFCF，∵PB＝PF+BF，∴PB＝CF+BF，即：4CFCF，解得：CF＝6﹣2；（3）①∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵CA＝CB，∴∠ADC＝∠BDC，同（1）得：四边形DEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P逆时针旋转90°，得到△A′PF，PA′＝PA，如图3所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△PAE+S△PBF＝S△PA′BPA′•PBx（70﹣x），在Rt△ACB中，AC＝BCAB70＝35，∴S△ACBAC2（35）2＝1225，∴y ＝S△PA′B+S△ACBx（70﹣x）+1225x2+35x+1225；②当AP＝30时，A′P＝30，PB＝AB﹣AP＝70﹣30＝40，在Rt△A′PB中，由勾股定理得：A′B50，∵S△A′PBA′B•PFPB•A′P，∴50×PF40×30，解得：PF＝24，∴S四边形PEDF＝PF2＝242＝576（m2），∴当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积为576m2．第二篇：2019年陕西省中考数学试题（含解析）2019年中考数学真题（陕西省）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.计算：（）A.1B.0C.3D.2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）3.如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB,若∠1=52°，则∠2的度数为（）A.52°B.54°C.64°D.69°4.若正比例函数的图象经过点O（a-1,4）,则a的值为（）A.-1B.0C.1D.25.下列计算正确的是（）A.B.C.D.6.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。

2021年中考数学复习《二次函数》压轴题必做题型25道（难度较大）（无答案）1.如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？2. 如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)求顶点D的坐标与对称轴l；4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(6,6),(6,0),抛物线y=-(x-m)2+n的顶点P在折线OA—AB上运动.(1)当点P在线段OA上运动时,抛物线y=-(x-m)2+n与y轴交点坐标为(0,c).用含m的代数式表示n.(2)当抛物线y=-(x-m)2+n经过点B时,求抛物线所对应的函数解析式.y A 45︒O B 2x5. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，求实数k 的取值范围．6. 如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.7. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2),水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的解析式是y=-x2+4x+(x>0),求圆形水池的半径至少为多少米时,才能使喷出的水流不至于落在池外.8. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.9. 已知某款熊猫纪念品成本为30元/件,当售价为45元/件时,每天销售250件,售价每上涨1元,销量下降10件.(1)求每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数解析式.(2)若每天该熊猫纪念品的销量不低于240件的情况下,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?(3)小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后这款纪念品每天剩余的利润不低于3 600元,试确定该熊猫纪念品销售单价的范围.10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝12x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小？若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；11. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-1.(1)b= ;(用含a的代数式表示)(2)当a=-1时,若关于x的方程ax2+bx+c=0在-4<x<1的范围内有解,求c的取值范围;(3)若抛物线过点(-1,-1),当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,求a的值.12. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．13. 如图 12-1，抛物线y=ax2＋bx＋3 交x 轴于点A（-1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 12-2，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．求四边形ACFD 的面积；14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点．当以PQ为直角边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；15. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．16. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；＝2？若存在，求出点G的坐标，若不(2)在抛物线上是否存在一点G，使得S△ACG存在，请说明理由；17. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(-3,0).(1)填空:b= ,c= .(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的点N的坐标.18. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；(2)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM ＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；19. 已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式.(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.20. 平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上．以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由；以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．22. 如图，抛物线215322y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点 P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，求DQB △面积S 和m 的函数关系式，并求出DQB △面积的最大值；（3）当DQB △面积最大时，在x 轴上找一点E ，使55QE EB +的值最小，求E 的坐标和最小值．23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A、B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.25.如图1,抛物线y=-35[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

中考数学24题：二次函数第四节最值问题、典型例题y 1 3 2.1. (2009省威海市)如图，在直角坐标系中,点A, B, C 的坐标分别为(1,0), (3 0) (0 3),过A B, C 三点的抛物线的对称轴为直线 l, D 为对称轴l 上一动点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 求当AD CD 最小时点D 的坐标； (3) 以点A 为圆心，以AD 为半径作Q A .① 证明：当AD CD 最小时，直线BD 与0 A 相切. ② 写出直线BD 与0 A 相切时， D 点的另一个坐标：.解：(1)设抛物线的解析式为 y a(x 1)(x 3).将(0,3)代入上式，得a(0 1)(0 3) .抛物线的解析式为(x 1)(x 3).l 于点l 对称, (2)连接BC ,交直线 :点B 与点A 关于直线AD BD .AD CD BD CD BC.由“两点之间，线段最短”的原理可知： 此时AD CD 最小，点D 的位置即为所求. 设直线BC 的解析式为 y kx由直线BC 过点(3,0),(0,3),3k b, b.k解这个万程组，得b 1, 3.直线BC 的解析式为3.由(1)知：对称轴l 为x2 ( 1)点D 的坐标为（1, 2）.说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可，答案正确给2分.（3）①连接AD .设直线l与x轴的交点记为点E .由（1）知：当AD CD最小时，点D的坐标为（1, 2）.DE AE BE 2.DAB DBA 45°.ADB 90°.AD ± BD .BD与O A相切.②（1, 2） .2. （2009 广西贺州市）如图，抛物线y1 2-x x 2的顶点为A,与y轴父于点B.4（1）求点A、点B的坐标.（2）若点P是x轴上任意一点，求证: PA（3）当PA PB最大时，求点P的坐标.解：(1)抛物线y l x2x 2与y轴的交于点4令x= 0 得y= 2.••B (0, 2)1 2 1 2-y x2x 2 (x 2)2 34 4A (— 2, 3)(2) 当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA PB AB.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时, 在点P、A、B构成的三角形中，PA PB AB.综合上述：PA PB < AB（3）作直线AB交x轴于点P,由（2）可知：当PA—PB最大时，点P是所求的点作AH ±OP 于H.. • BO ± OP,. .△BOPs^ AHP.AH HPBO OP由(1)可知：AH= 3、OH=2、OB=2,. .OP=4,故P (4, 0)3. (2007省市)已知等腰三角形 ABC 的两个顶点分别是 A(0,1), B(0,3)，第三个顶点C 在CA 是 BCO 的角平分线.直线BC 与x 轴关于直线AC 对称.点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上，则符合条件的点P 就是直线BC 与抛物线1 2 …… y - x 1的父点. 3:点P 在直线BC : y J3x 3上，x 轴的正半轴上，关于2 .y 轴对称的抛物线y ax bxc 经过A, D(3, 2) , P 三点，且点P 关于直线 AC 的对称点在x 轴上.(1) 求直线BC 的解析式；2(2) 求抛物线y ax bx c 的解析式及点P 的坐标;(3)点M 是y 轴上一动点，求 PM CM 的取值围.解：(1) : A(01) , B(0,3),AB 2 ,v △ ABC 是等腰三角形，且点 C 在x 轴的正半轴上,OC J AC 2 OA 2 73.C(屁).AC AB 2,设直线BC 的解析式为y kx 3, J3k 3 0,直线BC 的解析式为y 扼x 3 .(2):抛物线y ax 2 bx c 关于y 轴对称，b 0.又抛物线yax 2 bx c 经过 A(0,1), D(3, 2)两点.c 1, 9a c解得2.3, 1.抛物线的解析式是y在 Rt △ AOC 中，OA 1, AC 2，易得 ACO 30：：.在 RtA BOC 中，OB 3, OC扼，易得 BCO 60： .x故设点P 的坐标是（X, J3x 3）. 又点P (x,J 3x 3）在抛物线y3x 21上，、、331 2』… —x 1 .解得x , 3,3, x 22焰.故所求的点 P 的坐标是日（右,0）, P 2(2.3, 3).（3）要求 PM CM 的取值围，可先求 PMCM 的最小值I ） 当点P 的坐标是（也0）时，点P 与点C 重合，故PM CM 2CM .显然CM 的最小值就是点 C 到y 轴的距离为 J 3 , :点M 是y 轴上的动点，PM CM 无最大值，PM CM > 2龙.II ） 当点P 的坐标是（2J 3, 3）时，由点C 关于y 轴的对称点C （龙,0）,故只要求PM MC 的最小值，显然线段 PC 最短.易求得PC 6. PM CM 的最小值是6. 同理PM CM 综上所述，当点没有最大值， PM P 的坐标是（焰,0）时，CM 的取值围是PM CM > 6.PM CM > 2焰,当点P 的坐标是 (2 足 3)时，PM CM > 6.二、自我检测1. （2007自治区市）如图，一元二次方程 2 x 2x 3 0的二根x 〔，x 2 （为 乂2）是抛物线2y ax bx c 与x 轴的两个交点B, C 的横坐标，且此抛物线过点 A （3,6）.（1） 求此二次函数的解析式.（2） 设此抛物线的顶点为 P ,对称轴与线段 AC 相交于点Q,求点P 和点Q 的坐标.（3） 在x 轴上有一动点M ,当MQ MA 取得最小值时，求 M 点的坐标.碍 X i 3, X 2 1.••抛物线与x 轴的两个交点坐标为： C( 3,0), B(1,0) 设抛物线的解析式为 y a(x 3)(x 1) ••- A(3,6)在抛物线上 1 6 a(3 3) (3 1) a -2..•抛物线解析式为：y ^x 2 x -2 2(2)由 y lx 2 x - - (x 1)2 2 2 2 2二抛物线顶点P 的坐标为：(1, 2),对称轴方程为：x 1 设直线AC 的方程为：y kx b . • A(3,6) C( 3,0)在该直线上2x 2x 3与x 轴交A, B 两点(A 点在B 点左侧)，直线l 与抛物线交于 A, C 两点，其中C 点的横坐标为2.(1) 求A, B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；(2) P 是线段AC 上的一个动点，过 P 点作y 轴的平行线交抛 物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；(3) 点G 抛物线上的动点， 在x 轴上是否存在点 F ,使A, C, F, G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求 出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由.. .A (-1 , 0) B (3, 0);3k b 6融/曰 解得 3k b 0b 3二直线AC 的方程为:k 1将x 1代入y x 3得y 2•.•Q 点坐标为(1,2)(3) 作A 关于x 轴的对称点A (3, 6),连接AQ; AQ 与x 轴交于点M 即为所求的点设直线 AQ 方程为y kx b3k b 6 …b 0解得k b 2 k 2 直线 A C : y 2x2. (2007省义乌市)如图，抛物线y解：(1)令y=0,解得x 1 1或x 2 3令x 0,贝U y 0M 点坐标为(0,0)将C 点的横坐标x=2代入y x 2 2x 3得y=-3, ...C (2, -3) 直线AC 的函数解析式是y=-x-1(2)设P 点的横坐标为x (-1叔V2)(注：x 的围不写不扣分) 则P, E 的坐标分别为：P (x, -x-1),,2E ( (x, x 2x 3). P 点在 E 点的上方，PE=( x 1) (x 2 2x 3) x 2 x 219 •••当x —时，PE 的最大值=一24(3)存在 4 个这样的点 F,分别是 F 1(1,0), F 2( 3,0), F 3(4, J7), F 4(4, J 7)3. (2009省市)已知：抛物线y 2ax bx c a 0的对称轴为x1,与x 轴交于A B两点，与y 轴交于点C,其中A(1)求这条抛物线的函数表达式.3,0 、C 0, 2 .(2) 已知在对称轴上存在一点 P,使得△ PBC 的周长最小.请求出点 P 的坐标.(3) 若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE // PC 交x 轴 于点E.连接PD 、PE .设CD 的长为m , △ PDE 的面积为S .求S 与m 之间的函数关 系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由............. …，，2 2 4此抛物线的解析式为 y —x — x 23 3(2)连结 AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以 △ PBC 周长最小，就是使PC PB 最小.B 点关于对称轴的对称点是 A 点，AC 与对称轴x 1的交点即为所求的 点P .解(1)由题意得_b_2a9a 1 3b c 0c22a —3解得b43c 2设直线AC 的表达式为y kx b3k b b 2 0, k —3 b 2解得 …八…，，， 2 ..•此直线的表达式为 y — x 2. 3 , ........ - 4 把x 1代入碍y - 3 4 •■- P 点的坐标为 1,- 3 (3) S 存在最大值 理由：DE // PC,即 DE // AC. △OED^A OAC. OD OE 协 2 m OE ••-——一，即------------ ------ . OC OA 23 3 3 OE 3 —m, AE 3, OE -m2 2方法一： 连结OP 1 -3 2 3 —m 24 3 122 m1 1 23 3 —m23 2 -m4 3 m 23 4 0当m 1时，S 最大3 4 3 2 3 4S S 四边形PDOE S A OED S A POE S A POD OED方法 2 m1 c C 1 3 32 m1 3 4 1 m 132 - -m— —m — — 2 222 23 23 233 2 3-m-m —m 1 —42 44S SA OACS/\OED SA AEPSA PCD43••当m 1时，S 最大—44. （2010省）如图，在平面直角坐标系中，直线y x 3与x轴、y 轴分别交于点B 、C ;抛物线y x bx c经过B 、C 两点，并与x轴交于另一点A .（1）求该抛物线所对应的函数关系式; （2）设P（x，y ）是（1）所得抛物线上的一个动点，过点 P 作直线l x 轴于点M,交直线BC 于点N解得 b=2, c=32时，线段PN 的长度的最大值为4 .① 若点P 在第一象限.试问：线段 PN 的长度是否存在最大值 及此时x 的值；若不存在，请说明理由； ② 求以BC 为底边的等腰△ BPC 的面积.解：（1）由于直线y x 3经过B 、C 两点, 令y=0得x=3；令 . .B (3, 0), C (0, x=0, 3)得y=3 •••点B 、C 在抛物线bxc上，于是得9 3b+c=0c=3所求函数关系式为2x（2）①I •点P （x ,y ）在抛物线 且PN±x 轴， 2x 2x设点P 的坐标为（x2x 3)同理可设点N 的坐标为（ x,3)又点P 在第一象限, . .PN=PM-NM2x 3)-(3)= x 23x =?若存在，求出它的最大值②解法一：由题意知，点P 在线段BC 的垂直平分线上， 又由⑴知，OB=OC.••BC 的垂直平分线同时也是Z BOC 的平分线, 设点P 的坐标为（a,a ）2又点P 在抛物线y X 2x 3上，于是有aa 2a 3 a a 3 0解法二：由题意知，点 P 在线段BC 的垂直平分线上, 又由①知，OB=OC•••BC 的中垂线同时也是/ BOC 的平分线，1.131 .13a1, a 2解得 22.,•点P 的坐标为：解得 --点 1 ..13ai ，a 22P 的坐标为： 13 1 13 若点P 的坐标为或113 2 113 1 13 ， 2 21 .13 ，2MP OM第一象限，在 Rt △ OMP 和Rt △ BOC 中,1 132, OB=OC=3S BPC S 四边形 BOCP S BOC=2S BOP SBOC 1 1=2 — BO PM-—BO CO 2 2 11 13 9 =2 — 3 -------------------- —2 2 2 _3 13 6 2 若点P 的坐标为 113 1 132 ， 2则 SBPCS BOP S COPS BOC,此时点P 在第三象限，.宿 1 c 93、i3 3 9 3,13--------- 2 — ---------------------- --------- 2 2 2 2设点P 的坐标为 a,a又点P 在抛物线y2x 2x 3上，于是有a22a 2a 3 • a a 3 01 13 1 .132若点P 的坐标为1 13MP OM ----------------- 21 .13 1 ■ 13,■ 21 13 1 .有 ~2, 2~,OB=OC=3s BPCS 梯形 COMP S BMP S BOC1OC 2MP -1MO BM2PM1-BO CO 21 3113 1 .. 13 1 31 . 131 13 1 c c _____ _332 2 2222 21 1 13 3 113 1 3.13 9 22 2 22当点P 在第一象限时，△ BPC 面积其它解法有:S BPCS 四边形 BOCP S BOC1 - 1-PN OM+上 PN MB 2 21 一 一 一、1PN (OM+MB ) 21 - -PN OB 2,此时点P 在第一象限，在 Rt △ OMP 和Rt △ BOC 中,= 3 3 13 9 =3 13 62若点P 的坐标为113 1 ■13 , 2 2此时点P 在第三象限,（与解法一相同）OP113也,BC=3^1-OP BC 2 1 1 、、13 2 2 3 13 621 -OB OC2 ■.-■23 2 — 2S PNC S PNBBPC。

《第25题几何压轴题归类》考点：类型一：线段最值问题（从定点入手，利用轴对称思想解决）考点二：利用隐形圆探究满足特殊角的点问题（常见的题目有：求一个固定的角，求最大角，求二倍角等）类型三：等分面积问题（难点是不规则图形的面积等分，有时会牵涉到既等分周长又等分面积）类型四：面积最值问题（利用二次函数思想解决较常见，也有利用极值思想解决的，还有利用圆的知识求解，面积最大周长最小也会考）类型一：线段最值问题1.如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，若点P 在AC 上移动，则PB 的最小值是_____.2.如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=10，cos ∠CBA=54,点D 为线段AB 上一点，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ，则线段EF 的最小值为____.3.如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边中点，E 是AB 上一动点，则EC+ED 的最小值为_____.4.如图，在矩形ABCD中， AB=6，BC=8，连接AC，点M是AC上一动点，点N是BC上的一动点，则BN+MN 的最小值为________.5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC，且BE⊥CD于E，P是BE上一动点．若BC=6，CE=2DE，则|PC-PA|的最大值是______．6.如图①，已知：△OAB中，OB=3，将△OAB绕点O逆时针旋转90°得△OA´B´，连接BB´，则BB´=_______.问题探究：4的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD.P为△ABC 如图②，已知△ABC为边长为3内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，P的对应点为Q，连接DQ、BP.（1）求证△DCQ≌△BCP；（2）求PA+PB+PC的最小值.实际应用如图③，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB=500米，AD=800米，顶点A、D为两个出口，现在想在货运场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B、C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA、PD、PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M、P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？7.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：①作点A关于直线l的对称点A′．②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）②请直接写出△PDE周长的最小值______．（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值______．类型二：利用隐形圆探究满足特殊角的点问题例1.问题探究（1）如图①，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=90°的一个点P，保留作图痕迹；（2）如图②，在边长为3的正方形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°的所有的点P，保留作图痕迹并简要说明作法；问题解决如图③，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD内（含边）画出使∠BPC=60°，且使△BPC的面积最大的所有点P，并求出△BPC的面积的最大值及此时AP的长，保留作图痕迹.练习1.问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，如果BC边上存在一点P，使△APD为直角三角形，那么请画出满足条件的一个直角三角形，并求出此时AP的长；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AD=10，AB=7,CD=1，点P在边BC 上，且∠APD=90°，求BP的长.问题解决（3）如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别是某单位的门房及两个仓库，其中OA=100m，AB=200m，OC=300m，单位负责人想选一点P安装监控装置，用来监控AB，使△APB的面积最大，且∠APB=2∠ACB，是否存在满足条件的点P？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.例3. 问题探究（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，填空：①∠AEB的度数为_____；②线段AD、BE之间的数量关系是______．（2）问题解决如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=900，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=2．若点P满足PD=1，且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离．例4.问题探究：（1）如图①，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB，并说明理由（2）如图②，AB 是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<∠ACB，画出∠APB，并说明理由问题解决（3）如图③，已知足球门宽AB约为52米，一球员从距B点52米的C点（点A、B、C 均在球场的底线上），沿与AC成45°的CD方向带球.试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由.练习问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB=90°的一个点P ，并说明理由；（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P ，并说明理由； 问题解决（3）如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB=4，BC=3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ′D 钢板，且∠APB=∠CP ′D=60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ′，并求出△APB 的面积。

问题探究：定义：如图①，在四边形ABCD 中，∠C =90°，连接BD ，若边BC 与CD 所在直线有任意一条与△ABD 的外接圆的直径重合，我们则称：四边形ABCD 为该圆的内接“垂径四边形”.（1）请你在图①中画出“垂径四边形”ABCD 所对应的外接圆；（2）如图②，在直径为4的⊙O 中，BE ⊥CF ，且BE 、CF 均为⊙O 的直径，点A 为弧BC 上任意一点，请先判定四边形ABOC 是否为“垂径四边形”，并求出其最大面积；图① 图② 图③第2题图问题解决（3）张大爷有一块形状为“垂径四边形”的耕地ABCD ，如图③所示，其中∠A =150°，∠C =90°，AB ＜AD ，CD =m ，现如今，张大爷想将耕地进行改造，使得∠A 度数不变，且BC 与CD 长度不变，若使耕地ABCD 的面积最大，请你给出解决方案，并求出改造后的土地最大面积为多少？解：（1）如解图①所示，作AB 、AD 的垂直平分线，交于点O ，根据“垂径四边形”的定义，可知延长DC 必过点O ，以OD 为半径，点O 为圆心作圆，即为“垂径四边形”ABCD 所对应的外接圆；图① 图② 图③第2题解图（2）是垂径四边形；理由：根据“垂径四边形”的定义可知，连接BC ，由于BO 、CO 所在直线有任意一条与⊙O 的直径重合，故四边形ABOC 为垂径四边形.∵BC 一定，当点A 为BC 的中点时，在△ABC 中，BC 边上的高最大，∴S △ABC 面积最大.又∵S 四边形ABOC =S △BCO +S △ABC =S △ABO +S △ACO ，根据上述分析以及圆的性质可知△ABO ≌△ACO ，过点A 作AD ⊥BO 于点D ，由于圆O 直径为4，故BO =2，AD =OA ·sin ∠AOB =2×22=2.∴S 四边形ABOC （最大）=2S △ABO =2×21BO ·AD =2×21×2×2=22；（3）∵四边形ABCD 为“垂径四边形”，采用（1）中方法可作出“垂径四边形”ABCD 的外接圆O ，即：OD 、OB 为外接圆O 的半径.要使改造后的耕地ABCD 面积最大，由于BC 、CD 不变，且∠A 的度数不变，故根据垂径四边形的定义可知点A 为弧BD 上的中点时，满足题意.如解图③所示，设弧BD 的中点为点'A ，即O 'A 平分∠BOD ，由于∠'A =150°， ∴∠A 面对的圆心角度数为300°，故∠BOD =60°，因此△BOD 为等边三角形又∵BC ⊥OD 与点C ，CD =m ，∴根据等边三角形的相关性质可知：OC =CD =m ，OD =OB =O 'A =2m ，∠'A OE ='A OD =30°，BC =OB ·cos30°=3m ，过点'A 作'A E ⊥OB 于点E ，则'A E =O 'A ·sin ∠'A OE =2m ×21=m ， ∴S △'A BO =21BO ·AE =21×2m ·m =m 2，S △BOC =21BC ·CO =21×3m ·m =23m 2. 而△'A BO 与△'A DO 面积相等，故S 四边形'A BOD =2 S △'A BO =2m 2，∵S 四边形'A BCD =S 四边形'A BOD -S △BOC ，∴S 四边形'A BCD （最大）=2m 2-23m 2=234 m 2.。

几何探究型问题(针对第25题)“阿氏圆”问题【问题背景】“PA＋k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA＋PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r＝k·OB，连接PA，PB，则当PA＋k·PB的值最小时，点P的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC，使OC＝k·r，则可证明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．故求PA＋k·PB的最小值可以转化为PA＋PC的最小值，其中A，C为定点，P为动点，当点P，A，C共线时，PA＋PC的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O (一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OPOB＝k ；第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OPOB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P . 例题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ，∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小， 即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长．在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37.2.问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值． 【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值， ∴线段AC 的最小值为5－2＝3. 问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC 的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12.∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12，∴OA OP ＝OPOF，且∠AOP ＝∠POF ， ∴△OAP ∽△OPF . ②求BP ＋2AP 的最小值．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12，∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长． ∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12， ∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13. 问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计) 解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )， ∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值． ∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°. ∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)，∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)， ∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元． 作业练习类型三 “阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ， ∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225， ∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AEMA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ， ∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －12PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG . ∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ， ∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝23， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为37.。

几何探究型问题(针对第25题)“阿氏圆”问题【问题背景】“PA＋k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA＋PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r＝k·OB，连接PA，PB，则当PA＋k·PB的值最小时，点P的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC，使OC＝k·r，则可证明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．故求PA＋k·PB的最小值可以转化为PA＋PC的最小值，其中A，C为定点，P为动点，当点P，A，C共线时，PA＋PC的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O (一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OPOB＝k ；第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OPOB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P . 例题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋12BP 的最小值．解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ， ∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ，∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小， 即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长．在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37.2.问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值． 【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值， ∴线段AC 的最小值为5－2＝3. 问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC 的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12.∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12，∴OA OP ＝OPOF，且∠AOP ＝∠POF ， ∴△OAP ∽△OPF . ②求BP ＋2AP 的最小值．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12，∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长． ∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12， ∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13. 问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计) 解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )， ∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值． ∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°. ∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)，∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)， ∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元． 作业练习类型三 “阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，P A ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ， 在△BAD 和△CAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ， ∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ， ∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225， ∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AEMA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ， ∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ， ∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求． 在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16， ∴EC ＝162＋182＝2145， ∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －12PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG . ∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ， ∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ， ∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝23， ∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ， ∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4， ∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为37.。

2021 年陕西中考数学压轴题 24 题二次函数与几何图形综合题【第一讲】二次函数与图形面积问题基础技能1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（-2，0）、B（2，0）、C（-1，3），求△A BC 的面积.2、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（-1，1）、B（2，-1）、C（3，2），求△ABC 的面积.13、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x轴、y 轴上，且A（4，0）、B（3，2）、C（0，3），求四边形OABC 的面积.4、如图，抛物线y =-x2 +bx +c 与x 轴交于点 A、B（1，0）两点，与 y轴交于点 C，且对称轴为直线 x=-1，连接 AC、BC，点 P 是抛物线上一点（不与C 重合），若S ABP=S ABC，求点P 的坐标.25、如图，已知抛物线y =x2 - 2x - 3 与x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 是第四象限内抛物线上一动点，连接 AP、BP、AB，△ABP的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.3针对演练1、抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），点D（x，y）为抛物线上第一象限内一动点.（1）求抛物线的表达式；（2）当△BCD 面积为 3 时，求点 D 的坐标.2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L 经过（6，0）、（-2，0）、（0，-6）三点.（1）求抛物线 L 关于原点 O 对称的抛物线 L1 的函数表达式；（2）设抛物线L1 与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点 C，该抛物线上是否存在点 P，使得△PCA的面积为 12？若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.43、已知抛物线y=ax2+bx+3与x 轴交于点A（-1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C.（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，连接 AP 交 BC 与点 D，连接 AC、CP，设△CDP 面积为 S ，△ACD 的面积为 S ，求S1 的最大值.1 2S24、在平面直角坐标系中，抛物线y =mx2 + 2mx +n 经过点 A（-4，0）和点 B（0，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点 B，求平移后抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，试问：在平移后的抛物线上是否存在一点 P，使△OA′P的面积与四边形AA′B′B的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.5。

陕西省2020年中考25题几何探究---“阿氏圆”问题（包含答案）几何探究型问题(针对第25题)“阿氏圆”问题【问题背景】“PA＋k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点，更是一个难点．当k 的值为1时，即可转化为“PA＋PB”之和最短问题，就可用我们常见的“将军饮马”问题模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理．当k取任意不为1的正数时，此类问题的处理通常以动点P的运动轨迹不同来分类，一般分为两类研究，即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动．其中点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题．【模型分析】如图1，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P 为⊙O上一动点，已知r＝k·OB，连接PA，PB，则当PA＋k·PB的值最小时，点P的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC，使OC＝k·r，则可证明△BPO与△PCO相似，即k·PB＝PC．故求PA＋k·PB的最小值可以转化为PA＋PC的最小值，其中A，C为定点，P为动点，当点P，A，C共线时，PA＋PC的值最小，如图3.“阿氏圆”模型解题策略：第一步：连接动点与圆心O (一般将含有k 的线段两端点分别与圆心O 相连)，即连接OB ，OP ；第二步：计算线段OP 与OB 及OP 与OA 的线段比，找到线段比为k 的情况，如例子中的OPOB＝k ；第三步：在OB 上取点C ，使得OC OP ＝OPOB ；第四步：连接AC ，与⊙O 的交点即为点P . 例题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP ＋1 2BP 的最小值．解：如答图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，连接AD ，PD ．∵CD CP ＝CP BC ＝12，∠PCD ＝∠BCD ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋PD ，∴要使AP ＋12BP 最小，则AP ＋PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP ＋PD 最小，即AP ＋12BP 的最小值为AD 的长．在Rt △ACD 中，∵CD ＝1，AC ＝6，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝37，∴AP ＋12BP 的最小值为37.2.问题提出(1)如图1，已知线段AB 和BC ，AB ＝2，BC ＝5，则线段AC 的最小值为______.解题思路当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值．【解答】∵当点A 在线段BC 上时，线段AC 有最小值，∴线段AC 的最小值为5－2＝3. 问题探究(2)如图2，已知在扇形COD 中，∠COD ＝90°，DO ＝CO ＝6，A 是OC 的中点，延长OC 到点F ，使CF ＝OC ，P 是CD ︵上的动点，点B 是OD 上的一点，BD ＝1.①求证：△OAP ∽△OPF . 【解答】∵A 是OC 的中点，DO ＝CO ＝6＝OP ，∴OA OP ＝12.∵CF ＝OC ，∴OF ＝2OC ＝2OP ，∴OP OF ＝12，∴OA OP ＝OPOF，且∠AOP ＝∠POF ，∴△OAP ∽△OPF . ②求BP ＋2AP 的最小值．【解答】∵△OAP ∽△OPF ，∴AP PF ＝OP OF ＝12，∴PF ＝2AP .∵BP ＋2AP ＝BP ＋PF ，∴当F ，P ，B 三点共线时，BP ＋2AP 有最小值，最小值为BF 的长．∵DO ＝CO ＝6，BD ＝1，∴BO ＝5，OF ＝12，∴BF ＝OB 2＋OF 2＝13. 问题解决(3)如图3，有一个形状为四边形ABCD 的人工湖，BC ＝9千米，CD ＝4千米，∠BCD ＝150°，现计划在湖中选取一处建造一座假山P ，且BP ＝3千米，为方便游客观光，从C ，D 分别建小桥PD ，PC ．已知建桥PD 每千米的造价是3万元，建桥PC 每千米的造价是1万元，建桥PD 和PC 的总造价是否存在最小值？若存在，请确定点P 的位置，并求出总造价的最小值，若不存在，请说明理由．(桥的宽度忽略不计) 解题思路以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．以点B 为圆心，3为半径作圆交AB 于点E ，交BC 于点F ，点P 为EF ︵上一点，连接BP ，PC ，PD ，在BC 上截取BM ＝1，连接MD ，PM ，过点D 作DG ⊥CB ，可证△BPM ∽△BCP ，可得PC ＝3PM ，当点P 在线段MD上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值，由勾股定理可求MD 的值，即可求出建桥PD 和PC 的总造价的最小值．∵建桥PD 和PC 的总造价为3PD ＋PC ＝3PD ＋3PM ＝3(PD ＋PM )，∴当点P 在线段MD 上时，建桥PD 和PC 的总造价有最小值．∵∠BCD ＝150°，∴∠DCG ＝30°. ∵DG ⊥BC ，∴DG ＝12DC ＝23(千米)，CG ＝3DG ＝6(千米)，∴MG ＝BC ＋CG －BM ＝9＋6－1＝14(千米)，∴MD ＝DG 2＋MG 2＝413(千米)，∴建桥PD 和PC 的总造价的最小值为3×413＝1213万元．作业练习类型三“阿氏圆”问题7．(2018·西工大附中三模) 问题提出(1)如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边的中线，请用尺规作图作出AB 边的中线CE ，并证明BD ＝CE ；问题探究(2)如图2，已知点P 是边长为6的正方形ABCD 内部一动点，PA ＝3，求PC ＋12PD 的最小值；问题解决(3)如图3，在矩形ABCD 中，AB ＝18，BC ＝25，点M 是矩形内部一动点，MA ＝15，当MC ＋35MD 最小时，画出点M 的位置，并求出MC ＋35MD 的最小值．解：(1)如答图1，线段EC 即为所求．证明：∵AB ＝AC ，AE ＝EB ，AD ＝CD ，∴AE ＝AD ，在△BAD 和△CAE 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，答图1∴△BAD ≌△CAE (SAS)，∴BD ＝CE . (2)如答图2，在AD 上截取AE ，使得AE ＝32.∵P A 2＝9，AE ·AD ＝32×6＝9，∴P A 2＝AE ·AD ，∴P A AD ＝AEP A.∵∠P AE ＝∠DAP ，∴△P AE ∽△DAP ，∴PE DP ＝P A DA ＝12，∴PE ＝12PD ，∴PC ＋12PD ＝PC ＋PE .∵PC ＋PE ≥EC ，∴PC ＋12PD 的最小值即为EC 的长，在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝6，DE ＝92，∴EC ＝62＋(92)2＝152，∴PC ＋12PD 的最小值为152.答图(3)如答图3，在AD 上截取AE ，使得AE ＝9. ∵MA 2＝225，AE ·AD ＝9×25＝225，∴MA 2＝AE ·AD ，∴MA AD ＝AE MA.∵∠MAE ＝∠DAM ，∴△MAE ∽△DAM ，∴EM MD ＝MA DA ＝1525＝35，∴ME ＝35MD ，∴MC ＋35MD ＝MC ＋ME .∵MC ＋ME ≥EC ，∴MC ＋35MD 的最小值即为EC 的长．如答图3，以点A 为圆心，AM 长为半径画弧，交EC 于点M ′，点M ′即为所求．在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝18，DE ＝16，∴EC ＝162＋182＝2145，∴MC ＋35MD 的最小值为2145.8．(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，求PD ＋12PC 的最小值和PD －1 2PC 的最大值；(2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，⊙B 的半径为6，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋23PC 的最小值为，PD －23PC 的最大值为(3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，⊙B 的半径为2，P 是⊙B 上的一个动点，那么PD ＋12PC 的最小值为，PD －12PC 的最大值为解：(1)如答图1，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG . ∵PB BG ＝CBPB＝2，∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝PD ＋PG .∵PD ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG ＝42＋32＝5.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴如答图2，当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为5.答图(2)106，106.【解法提示】如答图3，在BC 上取一点G ，使BG ＝4，连接PG ，PB ，DG . ∵PB BG ＝64＝32，CB PB ＝96＝32，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝23，∴PG ＝23PC ，∴PD ＋23PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋23PC 的值最小，最小值为DG ＝52＋92＝106.∵PD －23PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12PC 的值最大，最大值为106.答图(3)37，37.【解法提示】如答图4，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，连接PB ，PG ，DG ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于点F .∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG ＝CB BP. ∵∠PBG ＝∠CBP ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG CP ＝BG BP ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD ＋12PC ＝DP ＋PG .∵DP ＋PG ≥DG ，∴当D ，P ，G 三点共线时，PD ＋12PC 的值最小，最小值为DG 的长．在Rt △CDF 中，∵∠DCF ＝60°，CD ＝4，∴DF ＝CD ·sin60°＝23，CF ＝2，∴在Rt △GDF 中，DG ＝(23)2＋52＝37. ∴PD ＋12PC 的最小值为37.∵PD －12PC ＝PD －PG ≤DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －1 2PC 的值最大，最大值为37.。