2精编八省联盟2021届高三湖北省新高考适应性测试卷(一)数学试题含答案

2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)=()A. ⌀B. MC. ND. R2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 233.关于x的方程x2+ax+b=0，有下列四个命题：甲：x=1是该方程的根；乙：x=3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁4.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2=π3，则m=()A. 1B. √2C. √3D. 25.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =0，若向量c⃗=√7a⃗+√2b⃗ ，则sin<a⃗，c⃗>=()A. √73B. √23C. √79D. √296.(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数是()A. 60B. 80C. 84D. 1207.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为()A. x+2y+1=0B. 3x+6y+4=0C. 2x+6y+3=0D. x+3y+2=08.已知a<5且ae5=5e a，b<4且be4=4e b，c<3且ce3=3e c，则()A. c<b<aB. b<c<aC. a<c<bD. a<b<c二、多项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=xln(1+x)，则()A. f(x)在(0,+∞)单调递增B. f(x)有两个零点C. 曲线y=f(x)在点(−12,f(−12))处切线的斜率为−1−ln2D. f(x)是偶函数10.设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是()A. 若|z2|=|z3|，则z2=±z3B. 若z1z2=z1z3，则z2=z3C. 若z2−=z3，则|z1z2|=|z1z3|D. 若z1z2=|z1|2，则z1=z211.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A. AE//CDB. CH//BEC. DG⊥BHD. BG⊥DE12.设函数f(x)=cos2x2+sinxcosx，则()A. f(x)=f(x+π)B. f(x)的最大值为12C. f(x)在(−π4,0)单调递增 D. f(x)在(0,π4)单调递减三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______ ．14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______ ，______ ．15.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)=______ ．16.对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn～N(0,2n)，为使误差εn在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545，至少要测量______ 次.(若X～N(μ,σ2)，则P(|X−μ|<2σ)=0.9545)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知各项都为正数的数列{a n}满足a n+2=2a n+1+3a n．(1)证明：数列{a n+a n+1}为等比数列；(2)若a1=12，a2=32，求{a n}的通项公式．18.在四边形ABCD中，AB//CD，AD=BD=CD=1．(1)若AB=3，求BC；2(2)若AB=2BC，求cos∠BDC．19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π，所以正四面体在各顶点的3=π，故其总曲率为4π．曲率为2π−3×π3(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数−棱数+面数=2，证明：这类多面体的总曲率是常数．21.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BF⊥AF时，|AF|=|BF|．(1)求C的离心率；(2)若B在第一象限，证明：∠BFA=2∠BAF．22.已知函数f(x)=e x−sinx−cosx，g(x)=e x+sinx+cosx．(1)证明：当x>−5π4时，f(x)≥0；(2)若g(x)≥2+ax，求a．答案和解析1.【答案】B【解析】解：如图所示易知M∪(∁R N)=M．故选：B．根据M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，画出韦恩图，结合图形可求出M∪(∁R N)．本题主要考查了集合的并集与补集，解题的关键是作出符合题意的韦恩图，同时考查了学生推理的能力．2.【答案】C【解析】解：三张卡片随机分给三位同学，共有A33=6种情况，恰有1位学生分到写有自己学号卡片，则有C31×1=3种情况，所以恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为36=12．故选：C．先求出三张卡片随机分给三位同学的基本事件数，再求出恰有1位学生分到写有自己学号卡片的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．本题考查了古典概型及其概率计算公式的应用，涉及了排列组合的应用，解题的关键是确定总基本事件数和要求的基本事件数．3.【答案】A【解析】解：若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，可得x1=3，x2=−1，符合题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，可得x1=1，x2=1，两根不异号，不合题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，可得x1=3，x2=1，两根不异号，不合题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，两根和不为2，不合题意．综上可知，甲为假命题．故选：A．分别设甲、乙、丙、丁为假命题，结合真命题中方程两根的情况判断．本题考查简单的合情推理，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意可得c=√m2+1−m2=1，b=m，又因为∠F1AF2=π3，可得∠F1AO=π6，可得tan∠F1AO=1m =√33，解得m=√3．故选：C．由题意利用椭圆的性质可求c=1，b=m，可求∠F1AO=π6，解三角形即可求解m的值．本题主要考查了椭圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(√7a⃗+√2b⃗ )=√7a⃗2+√2a⃗⋅b⃗ =√7，|c⃗|=√(√7a⃗+√2b⃗ )2=√7a⃗2+2b⃗ 2+2√14a⃗⋅b⃗ =√7+2=3，所以cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=√71×3=√73，所以sin<a⃗,c⃗>=√23．故选：B．由已知结合向量数量积的定义及向量数量积性质可求cos<a⃗,c⃗>，然后结合同角平方关系即可求解．本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数为C22+C32+⋯+ C92=C33+C32+⋯+C92=C103=120．故选：D．根据通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是C n r，表示出x2的系数，然后利用组合数的性质进行求解．本题主要考查了二项式定理的应用，以及二项式系数的求解，解题的关键是利用组合数公式C n m−1+C n m=C n+1m，属基础题．7.【答案】B【解析】解：把点A(2,2)代入抛物线方程可得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x，又直线AB，AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线，设切线方程为y−2=k(x−2)，因为圆心到切线的距离等于半径，则有1=√k2+1，解得k=±√3，则直线AB的方程为y−2=√3(x−2)，直线AC的方程为y−2=−√3(x−2)，联立直线AB和抛物线的方程可求得B(83−√3,√3−2)，同理可求得C(83+√3,−√3−2)，由直线的两点式方程可得，直线BC的方程为3x+6y+4=0．故选：B．利用点A在抛物线上求出抛物线的方程，再利用直线与圆相切求出两条切线的方程，联立方程组求出B，C，利用直线的方程即可求解．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了直线方程的求解、交点的求解，解题的关键是利用圆心到切线的距离等于半径求出切线的斜率．8.【答案】D【解析】解：根据题意，设f(x)=e xx，a<5且ae5=5e a，变形可得e aa =e55，即f(a)=f(5)，b<4且be4=4e b，变形可得e bb =e44，即f(b)=f(4)，c<3且ce3=3e c，变形可得e cc =e33，即f(c)=f(3)，f(x)=e xx ，其导数f′(x)=ex(x−1)x2，在区间(0,1)上，f′(x)<0，则f(x)为减函数，在区间(1,+∞)上，f′(x)>0，则f(x)为增函数，其草图如图：则有0<a<b<c<1，故选：D．根据题意，设f(x)=e xx，对三个式子变形可得f(a)=f(5)，f(b)=f(4)，f(c)=f(3)，求出f(x)的导数，分析其单调性，可得f(x)的大致图象，分析可得答案．本题考查函数的单调性的分析以及性质的应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于基础题．9.【答案】AC【解析】解：函数定义域(−1,+∞)，不关于原点对称，D 错误， 因为f′(x)=ln(x +1)+1(1+x)2，当x <0时，f′(x)>0恒成立，f(x)单调递增，A 正确， f″(x)=11+x+1(1+x)2=x+2(1+x)2，当x >−1时，f ″(x)>0，f′(x)单调递增且f′(0)=0，故当x ∈(−1,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 又f(0)=0，所以f(x)只有一个零点，B 正确，因为f′(−12)=ln 12−1=−1−ln2，C 正确． 故选：AC ．先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，导数的几何意义及函数性质分别检验各选项即可判断．本题综合考查了导数与单调性，导数的几何意义，导数与函数性质的综合应用，属于中档题．10.【答案】BC【解析】解：由复数的形式可知，选项A 错误； 当z 1z 2=z 1z 3时，有z 1z 2−z 1z 3=z 1(z 2−z 3)=0， 又z 1≠0，所以z 2=z 3，故选项B 正确； 当z 2−=z 3时，则z 2=z 3−，所以|z 1z 2|2−|z 1z 3|2=(z 1z 2)(z 1z 2−)−(z 1z 3)(z 1z 3−)=z 1z 2z 1−z 2−−z 1z 3z 1−z 3−=0，故选项C 正确；当z 1z 2=|z 1|2时，则z 1z 2=|z 1|2=z 1z 1−， 可得z 1z 2−z 1z 1−=z 1(z 2−z 1−)=0， 所以z 1−=z 2，故选项D 错误． 故选：BC ．利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．本题考查了复数的模，涉及了复数模的性质以及模的运算，解题的关键是熟练掌握模的运算性质并能够进行灵活的运用．11.【答案】BCD【解析】解：还原正方体直观图如图，可知AE与CD为异面直线，故选项A不正确；由EH−//BC，可得CH//BE，故选项B正确；正方形中易得DG⊥平面BCH，所以有DG⊥BH，故选项C正确；因为BG//AH，且DE⊥AH，所以BG⊥DE，故选项D正确．故选：BCD．把展开图恢复成正方体，判断其直线平面的位置关系，充分利用平行，垂直问题求解．本题考查了折叠问题，恢复到正方体，运用几何体中的性质，判断位置关系，属于中档题，但是难度不大．12.【答案】AD【解析】解：对于A：函数f(x)=cos2x2+sinxcosx =2×cos2x−0sin2x−(−4)，所以满足f(x)=f(x+π)，故A正确；对于B：f(x)的几何意义为单位圆上动点(sin2x,cos2x)与点(−4,0)连线的斜率的2倍，相切时，最大值为√15，故B错误；对于C：当x∈(−π4,0)时，动点在第二象限从左向右运动，斜率先增大后减小，故C错误；对于D：当x∈(π4,0)时，动点在第一象限从左向右运动，斜率逐渐减小，故D正确；如图所示：故选：AD．直接利用三角函数的关系式的变换和函数的性质及三角函数与斜率的关系的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的性质，关系式和斜率的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.【答案】61π【解析】解：如图所示：由题意可知，圆台的下底面为球的大圆，所以O为球心，∵BM=4，OB=5，∴OM=3，即圆台的高为3，所以其体积V=13πℎ(R2+r2+Rr)=13π×3×(52+42+5×4)=61π，故答案为：61π．由题意可知圆台的下底面为球的大圆，利用勾股定理求出圆台的高，再由圆台的体积公式即可求出结果．本题主要考查了圆台的结构特征，考查了圆台的体积公式，考查了学生的计算能力，是基础题．14.【答案】13−3【解析】解：设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则tan(α+π4)=2，解得tanα=13，所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为13，−3．故答案为：13；−3．设正方形一条边所在的直线倾斜角为α，则由正方形一条对角线所在直线的斜率为2，结合倾斜角与斜率的关系求出tanα，利用正方形的性质即可得到答案．本题考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用、互相垂直的直线斜率关系的应用，解题的关键是求出其中一条边的斜率．15.【答案】sinπx【解析】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是y =sinx ， 又最小正周期为2，故函数可为f(x)=sinπx ． 故答案为：f(x)=sinπx ．先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．16.【答案】32【解析】解：根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn 在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545， 则(μ−2σ,μ+2σ)⊂(−0.5,0.5)且μ=σ，σ=√2n ，所以0.5≥2√2n，解得，n ≥32，即n 的最小值32． 故答案为：32．根据正态曲线的对称性知，要使得误差εn 在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545，问题转化为(μ−2σ,μ+2σ)⊂(−0.5,0.5)且μ=σ，σ=√2n ，可求．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．17.【答案】证明：(1)各项都为正数的数列{a n }满足a n+2=2a n+1+3a n ，得，a n+1+a n+2=3(a n+1+a n )，所以数列{a n +a n+1}是公比为3的等比数列； (2)因为a 1=12，a 2=32， 所以a 1+a 2=2，由(1)知数列{a n +a n+1}是首项为2，公比为3的等比数列， 所以a n +a n+1=2×3n−1，于是a n+1−12×3n =−a n +12×3n−1，a 2−32=0， 所以a n −3n−12=0，即a n =3n−12，a 1=12也符合．故a n =3n−12．【解析】(1)根据等比数列的定义，结合已知变形得，a n+1+a n+2=3(a n+1+a n)，可证明；(2)结合(1)可得a n+a n+1=2×3n−1，变形得a n+1−12×3n=−a n+12×3n−1，从而可求．本题主要考查了等比数列的定义在等比数列的判断中的应用，还考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，属于中档题．18.【答案】解：(1)在四边形ABCD中，AD=BD=CD=1.若AB=32，所以：cos∠ADB=AB 2+BD2−AD22⋅AB⋅BD=(32)2+12−122×32×1=34，由于AB//CD，所以∠BDC=∠ABD，即cos∠BDC=cos∠ABD=34，所以BC2=BD2+CD2−2⋅BD⋅CD⋅cos∠BDC=12+12−2×1×1×34=12，所以BC=√22．(2)设BC=x，则AB=2BC=2x，由余弦定理得：cos∠ADB=AB2+BD2−AD22⋅AB⋅BD =(2x)2+12−122×2x×1=x，cos∠BDC=CD2+BD2−BC22⋅CD⋅BD =12+12−x22×1×1=2−x22，故2−x22=x，解得x=√3−1或−√3−1(负值舍去)．所以cos∠BDC=√3−1．【解析】(1)直接利用余弦定理的应用求出结果；(2)利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设部件1，2，3需要调整分别为事件A，B，C，由题意可知P(A)=0.1，P(B)=0.2，P(C)=0.3，各部件的状态相互独立，所以部件1，2都不需要调整的概率P(A−⋅B−)=P(A−)⋅P(B−)=0.9×0.8=0.72，故部件1，2中至少有1个需要调整的概率为1−P(A −⋅B −)=0.28． (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，P(X =0)=P(A −⋅B −⋅C −)=P(A −)⋅P(B −)⋅P(C −)=0.9×0.8×0.7=0.504， P(X =1)=P(A ⋅B −⋅C −)+P(A −⋅B ⋅C −)+P(A −⋅B −⋅C)=0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398，P(X =3)=P(A ⋅B ⋅C)=0.1×0.2×0.3=0.006， P(X =2)=1−P(X =0)−P(X =1)−P(X =3)=0.092， 所以X 的分布列为E(X)=0×0.504+1×0.39+2×0.092+3×0.006=0.6．【解析】(1)由相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可； (2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出事件发生的概率，即可求得分布列及数学期望．本题主要考查了相互独立事件概率的计算，以及离散型随机变量的分布列及方差，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中四个侧面是三角形，一个底面是四边形，所以四棱锥的总曲率为5×2π−4π−2π=4π； (2)设多面体的顶点数为V ，棱数为E ，面数为F ， 每个面分别记为n i (i ∈[1,F])边形，则所有面角和为∑(F i=1n i −2)π=π∑n i Fi=1−2πF =π⋅2E −2πF =2π(E −F)，则多面体的总曲率为2πV −2π(E −F)=4π， 故这类多面体的总曲率是常数．【解析】(1)利用多面体的总曲率的公式即可求解； (2)利用多面体的总曲率的概念即可证明．本题考查了总曲率的概念的应用，考查了学生的推理转化能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当|AF|=|BF|且BF ⊥AF 时，有c +a =b 2a=c 2−a 2a，所以a =c −a ，则e =ca =2；(2)由(1)可知，双曲线C：x2a2−y23a2=1，可设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)，A(−a,0)，F(2a,0)，①当|BF|=|AF|且BF⊥AF时，∠BFA=2∠BAF=90°；②当BF与AF不垂直时，设∠BAF=α，则tanα=√3atanθ−0asecθ+a =√3tanθsecθ+1=√3sinθ1+cosθ，tan2α=2tanα2=2⋅√3sinθ1+cosθ1−(√3sinθ1+cosθ)2=2√3sinθ(1+cosθ) 2(2cosθ−1)(1+cosθ)=√3sinθ2cosθ−1，而tan∠BFA=−√3atanθasecθ−2a =√3sinθ2cosθ−1=tan2α，又0<∠BFA，∠BAF<π，所以∠BFA=2α=2∠BAF．综上可得，∠BFA=2∠BAF．【解析】(1)利用已知条件可得，c+a=b2a =c2−a2a，化简得到a和c的关系，即可得到答案；(2)设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)，然后分两种情况进行证明，①当BF⊥AF时，∠BFA=2∠BAF=90°；②当BF与AF不垂直时，设∠BAF=α，然后利用同角三角函数关系以及二倍角公式进行化简变形，即可证明．本题考查了双曲线的综合应用，涉及了双曲线上动点的设法、同角三角函数的应用、二倍角公式的应用，解题的关键是设B(asecθ,√3atanθ)(0<θ<π2)．22.【答案】解：(1)证明：f(x)=e x−sinx−cosx=e x−√2sin(x+π4)，f′(x)=e x−cosx+sinx=e x+√2sin(x−π4)，f″(x)=g(x)=e x+sinx+cosx=e x+√2sin(x+π4)，考虑到f(0)=0，f′(0)=0，所以①当x∈(−5π4,−π4)时，√2sin(x+π4)<0，此时f(x)>0，②当x∈[−π4,0]时，f″(x)>0，所以f′(x)单调递增，所以f′(x)≤f′(0)=0，所以函数f(x)单调递减，f(x)≥f(0)=0，③当x∈[0,3π4]时，f″(x)>0，所以f′(x)单调递增，所以f′(x)>f′(0)=0，所以函数f(x)单调递增，f(x)≥f(0)=0，当x∈[3π4,+∞)时，f(x)=e x−√2sin(x+π4)≥e1−√2>0，综上所述，当x>−5π4时，f(x)≥0．(2)构造函数F(x)=g(x)−2−ax=e x+sinx+cosx−2−ax，考虑到f(0)=0，F(0)=2−a，F′(x)=e x+cosx−sinx−a，F″(x)=e x−sinx−cosx=f(x)，由(1)可知：F″(x)=f(x)在x>−5π4时恒成立，所以F′(x)=e x+cosx−sinx−a在(−5π4,+∞)上单调递增，①若a=2，则F′(x)在(−5π4,0)为负，(0,+∞)为正，F(x)在(−5π4,0)单调递减，(0,+∞)递增，所以F(x)≥0，而当x≤−5π4时，F(x)=e x+sinx+cosx−2−2x≥e x+sinx+cosx−2+5π2≥5π2−2−√2>0，故a=2满足题意．②若a<2，F′(0)=2−a>0，因为F′(x)≥e x−√2−a，所以F′(ln(√2+a))≥e x−√2−a≥0，由零点存在定理，必存在x0∈(0,ln(√2+a))，使得F′(x0)=0，此时满足x∈(0,x0)时，F′(x)<0，F(x)单调递减，所以F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去，③若a<2，F′(0)=2−a>0，因为当x<0时，F′(x)≤e x+√2−a<e x+√2−a，所以当√2<a<2时，F′(ln(a−√2))<0，此时必存在x0∈(ln(a−√2),0)使得F′(x0)=0，此时满足x∈(x0,0)时，F′(x)>0，F(x)单调递增，所以F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去，而当a≤√2时，当F′(x)>e x−cosx−sinx−2，所以在x∈(x0,0)时，F′(x)>0成立，F(x)单调递增，F(x)<F(0)=0，矛盾，舍去．综上所述，a=2．【解析】(1)根据题意可得f(x)=e x−√2sin(x+π4)，求导得f′(x)=e x+√2sin(x−π4)，二次求导得f″(x)=g(x)=e x+√2sin(x+π4)，考虑到f(0)=0，f′(0)=0，分三类①当x∈(−5π4,−π4)，②当x∈[−π4,0]时，③当x∈[0,3π4]时，证明f(x)≥0即可．(2)构造函数F(x)=g(x)−2−ax=e x+sinx+cosx−2−ax，由(1)可知：F″(x)=f(x)在x>−5π4时恒成立，问题转化为F′(x)=e x+cosx−sinx−a在(−5π4,+∞)上单调递增时，a的值．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于难题．。

八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：高考范围.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()()312ai i b i +-=-（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a bi +=（ ）B.4D.52.已知集合{}254|0A x x x =-+≤，{}|21,B x x k k ==+∈Z ，则AB =（ ）A.{}2,4B.{}1,3C.{}2,3D.{}1,2,3,43.现把5名扶贫干部分到3个村庄，每个村庄至少分一人，其中甲、乙二人必需分在一起，则不同的分配方案共有（ ） A.24种B.30种C.36种D.48种4.已知平面上三个不同的点M ，F ，P ，若2MF MP MP ⋅=，则（ ） A.PM PF ⊥B.PM MF ⊥C.0PM PF ⋅<D.0PM PF ⋅>5.如果3个正整数按照自身顺序或者经过调整顺序可以组成一个等比数列，则称这3个数为一组“等比数”（如：()1,2,4与()4,2,1视为一组“等比数”）.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数构成一组“等比数”的概率为（ ） A.142B.128C.121D.5846.直线:10l mx y m +--=被圆22:4240C x y x y +-+-=所截得的弦的长度的最小值为（ ）A.4B.5C.6D.37.将函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是22cos y x =，若()sin y x ωϕ=+图象与y a =图象在[)0,x π∈上有两个不同交点()1,x a ，()2,x a ，则12x x +的值为（ ）A.3π或π B.43π或π C.3π或43π或πD.3π或43π8.“a b <”是“31311log log 33a ba b +<-”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.下列说法正确的是（ ）A.函数()2lg 1f x x ax =+-（）一定有最小值B.函数tan 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π C.已知函数()221f x x x =-++，则函数()fx 的单调递增区间是(),1-∞-和()0,1D.在同一坐标系中函数2x y =与2xy -=的图象关于y 轴对称10.下列结论正确的有（ ） A.若随机变量()2~1,N ξσ，()40.77P ξ≤=，则()20.23P ξ≤-=B.若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3119D X -=C.已知回归直线方程为10.8y bx =+，且4x =，50y =，则9.8b =D.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为22 11.设0a b <<，1a b +=，则下列结论正确的是（ ） A.102b a <-<B.22a ab <+C.ab 最大值为14D.22112a b <+< 12.已知曲线:1C x x y y -=，则下列结论正确的是（ ） A.曲线C 的渐近线为y x =B.曲线C 与x 轴的交点为()1,0，()1,0-C.()11,A x y ，()22,B x y 是曲线C 上任意两点，若12x x <，则12y y <D.若(),P s t 是曲线C上任意一点，则s t -≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，若PA =，2AC =，BC =P ABC -外接球的表面积为______.14.二项式()52x y +的展开式中，所有项均可写成(),,a b kx y k a b ∈∈R N 的形式，则当ab 取最大值时，a b x y 的项的系数k 的值为______.（用数字作答）15.在我国东南沿海地区，几乎每年夏秋两季都会或多或少的受到台风的侵袭.所谓的台风，是指一种热带气旋，在气象学上，按世界气象组织定义指气旋中心持续风力在12级到13级（风速在32.7m/s 至41.4m/s ）的热带气旋称为台风.因为台风风力大，并且还会带来暴雨，往往会给经过地区带来较大损失.在某海滨城市A 附近海面有一台风正以20km/h 的速度向西北方向移动，据监测台风中心B 在该城市正东40km 处，台风半径为30km ，台风侵袭的范围为距台风中心30km 圆形区域，则城市A 受该台风侵袭的持续时间为______小时.16.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为a ，当[]1,500a ∈时，则符合条件的所有a 的和为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=. （1）求角A 的大小；（2）若a =4c =，求ABC △的面积. 18.（本小题满分12分） 在①点(),n n S 在函数()12x y p p +=+∈R 的图象上；②2112n n n na a a a ++=-；③()12n n a S t t =+∈R 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答.在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，12a =，______，其中n *∈N .（1）求{}n a 的通项公式； （2）令()()111nn n n a b a a +=++下，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本小题满分12分）产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A ，B 两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A ，B 生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如右的统计图.（1）有多大的把握认为一级品与生产线有关？（2）生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率.①分别估计A ，B 生产线生产一件产品的平均利润； ②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由.附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.②临界值表：20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，22BC AB ==，60ABC ∠=︒，2SE ED =，F 为SC 的中点.（1）求证：BF ∥平面ACE ；（2）当SA 长为何值时，二面角S AC E --的大小为45°. 21.（本小题满分12分）已知点E 到直线:2l y =-的距离与点E 到点()0,1F 的距离之差为1.设点E 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若()00,P x y 为直线l 上任意一点，过点P 作曲线C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，求点F 到直线MN 的最大距离. 22.（本小题满分12分） 已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （1）若0a =，讨论函数()f x 的单调性； （2）求函数()f x 的极值点.八省联盟·湖北新高考适应性测试卷（一）·高三数学参考答案、提示及评分细则1.C ()()312ai i b i +-=-，即()332a a i b i ++-=-，根据复数相等的充要条件，得3a b +=且32a -=-，解得1a =，4b =，所以a bi +===故选C.2.B 易知{}14|A x x =<≤，又B 为全体奇数集，所以{}1,3AB =.故选B.3.C 把甲、乙二人当作一人看待，相当于把4人分到三个村庄，分组方法数为24C ，分配方法数为33A ，根据分步乘法计数原理，共有234336C A =种分配方案.故选C.4.A 因为MF MP PF =+，所以()22MF MP MP PF MP MP PF MP MP ⋅=+⋅=+⋅=，所以0PF MP ⋅=，所以PM PF ⊥.故选A.5.C 从9个数中任取3个不同的数，有3984C =种情况；其中，构成一组等比数的有()1,2,4，()1,3,9，()2,4,8，()4,6,9共4种情况，故这3个数构成一组等比数的概率418421P ==.故选C. 6.A l 的方程可化为()110m x y -+-=，所以l 过定点()1,1A ，圆C 的方程化为标准方程为()()22219x y -++=，显然点()1,1在圆内，当l 与AC 垂直时被圆C 截得的弦的长度最小.因为AC ==4=.故选A.7.D 反向思考：22cos cos 21sin 212y x x x π⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数解析式是sin 211sin 2626y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又0ω>，02πϕ<<，所以2ω=，6πϕ=.根据图象可知，两交点关于6x π=或23x π=对称，∴123x x π+=或1243x x π+=.故选D.8.B 由31311log log 33a b a b +<-，得3311log log 33a b a b -<-，所以3311log log 33a ba b -<-，令()31log 3x f x x =-，则()()f a f b <，因为函数()f x 为()0,+∞上的单调递增函数，所以0a b <<；反之则不然.故选B.9.CD 对于A ，当0a =时，()()2lg 1f x x =-，此时()210,x -∈+∞，()()2lg 1f x x =-值域为R ，故A 错误；对于B ，该函数最小正周期为4π，故B 错误； 对于C ，()22221,0||2||121,0x x x f x x x x x x ⎧-++≥=-++=⎨--+<⎩，所以由二次函数的图象可知，函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞-和()0,1，故C 正确；对于D ，在同一坐标系中，函数2x y =与2xy -=的图象关于y 轴对称，命题正确.故选CD.10.AC 对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确； 对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确； 对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b =，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时23137x x+=+，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=，故D 不正确.故选AC.11.BD 由0a b <<，1a b +=，则1012a b <<<<. 对A ，由于102a -<-<，112b <<，所以01b a <-<，所以A 错误； 对B ，2211222b b a ab a b <⇒<⇒<<+，所以B 正确； 对C ，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取“=”），由于a b <，所以“=”不可取，所以C 错误； 对D ，因为()222122a b a b ++>=，又2a a <，2221b b a b a b <⇒+<+=，所以D 正确.故选BD. 12.ACD 由1x x y y -=，知曲线C 由()2210,0x y x y -=≥≥，()2210,0x y x y +=><，()2210,0y x x y -=<<三部分组成（两边为双曲线的一部分，中间为圆的一部分，如图所示），两边部分为双曲线，其渐近线为y x =，故A 正确；曲线C 与x 轴的交点为()1,0，故B 错误；由图可知C 正确；由图可知点P 到y x =的距离1d ≤1≤，所以s t -≤D 正确.故选ACD.13.12π 设球的半径为R ，由题意知2R ==，所以球的表面积为12π.14.40或80 由题意知，5a b +=，且,a b ∈N ，则0a =，5b =或1a =，4b =或2a =，3b =或3a =，2b =或4a =，1b =或5a =，0b =.只有当2a =，3b =或3a =，2b =时，ab 取得最大值，故此时含23x y 的项的系数是335280C =或含32x y 的项的系数是225240C =.15.1 设台风中心B 的东北方向上存在点P 到城市A 的距离为30km ，在ABP △中，设PB x =，则2222cos 45PA PB AB PB AB =+-⋅︒，即2223040240cos 45x x =+-⨯︒，化简得27000x -+=，其两根1x ，2x满足12x x +=，12700x x =，所以1220x x -==，即20km CD =，所以时间120CDt ==（小时），即城市A 受台风侵袭的持续时间为1小时.16.8184 由题设3253a m n =+=+，,*m n ∈N ，则351m n =+.当5m k =，n 不存在；当51m k =+，n 不存在；当52m k =+，31n k =+，满足题意；当53m k =+，n 不存在；当54m k =+，n 不存在；故[]1581,500a k =+∈，所以74921515k -≤<，k ∈Z ，所以0,1,2,,32k =⋅⋅⋅，共33个数.且这些数组成以8为首项，15为公差的等差数列，所以这33个数的和为33323381581842⨯⨯+⨯=.17.解：（1）由题意可得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， ∴()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=. ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，∵()0,A π∈，∴3A π=. （2）由正弦定理得4sin sin 2c A C a ===， 又20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4C π=，所以sin sin()sin sin cos cos sin 3434344B A C ππππππ⎛⎫=+=+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 4622ABC S ac B ==⨯=+△. 18.解：（1）选择①：由题意知，12n n S p +=+， 当2n ≥时，12n n n n a S S -=-=.因为12a =，所以1n =时也满足上式，所以()2nn a n *=∈N .选择②：由2112n n n na a a a ++=-，得221120n n n n a a a a ++--=，所以()()1120n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +=， 又12a =，所以{}n a 成以2为首项，2为公比的等比数列，所以()2nn a n *=∈N .选择③：()12n n a S t t =+∈R ， 当2n ≥时，1112n n a S t --=+，与()12n n a S t t =+∈R 相减得112n n n a a a --=，所以()122n n a a n -=≥因为12a =，所以{}n a 成以2为首项，2为公比的等比数列，所以()*2nn a n =∈N .（2）由（1）知()*2nn a n =∈N ，所以()()1121121212121n n n n n n b ++==-++++， 所以223341111111112121212121212121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭223341111111112121212121212121n n +=-+-+-++-++++++++ 111321n +=-+. 19.解：（1）根据已知数据可建立列联表如下：()()()()()()22220020653580 5.643 5.02455145100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为一级品与生产线有关.（2）A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15，35，15. 记A 生产线生产一件产品的利润为X ，则X 的取值为100，50，－20，其分布列为B 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为20，5，4.记B 生产线生产一件产品的利润为Y ，则Y 的取值为100，50，－20， 其分布列为①()()100502046555E X =⨯+⨯+-⨯=；()()1005020502054E Y =⨯+⨯+-⨯=.故A ，B 生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元. ②()()()()22213110046504620461464555D X =-⨯+-⨯+--⨯=； ()()()()222721100505050205021002054D Y =-⨯+-⨯+--⨯=.因为()()D X D Y <，所以A 生产线的利润更为稳定.20.（1）证明：取SE 的中点G ，连接FG .连接BD 交AC 于点N ，连接FD 交CE 于点M ，连接MN . 因为F 为SC 的中点，G 是SE 的中点， 所以FG CE ∥.又2E SE D =，所以E 为GD 的中点，所以M 为FD 的中点， 易得N 为BD 的中点，所以BF MN ∥.因为MN ⊂平面AEC ，BF ⊄平面AEC ，所以BF ∥平面ACE . （2）解：因为22BC AB ==，60ABC ∠=︒，由余弦定理得22212cos604122132AC BC AB BC AB ︒=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AB =所以AB AC ⊥.分别以AB ，AC ，AS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设()0SA t t =>，则()0,0,0A ，()0,0,S t ，()C ，()D -，所以()0,AC =，()()1121,3333t AE AD DE AD DS t ⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AC m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02033t x y z =⎨-++=⎪⎩，令2z =得x t =，所以(),0,2m t =. 因为平面SAC 的法向量为()1,0,0n =所以2cos ,||||m n t m n m n t ⋅〈〉== 由于二面角S AC E --大小为45°，所以2|cos ,|2m n 〈〉=，即22142t t =+，解得2t =或2t =-（舍）. 故当2SA =时，二面角S AC E --的大小为45°.21.解：（1）依题意，点E 到直线:1l y '=-的距离等于点E 到点()0,1F 的距离，则点E 的轨迹是以F 为焦点以直线l '为准线的抛物线.设其方程为()220x py p =>.由题意，12p =，解得2p =. 所以曲线C 的方程是24x y =（2）设切点分别为()11,M x y ，()22,N x y .设过曲线C 上点()11,M x y 的切线方程为()11y y k x x -=-，代入24x y =，整理得()211440x kx kx y -+-=，()()2114440k kx y ∆=-⨯-=-，又因为2114x y =，所以12x k =. 从而过曲线C 上点()11,M x y 的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-又切线过点()00,P x y ，所以得2110024x x y x =-，即10012x y x y =-. 同理可得过点()22,N x y 的切线为22224x x y x =-， 又切线过点()00,P x y ，所以得2220024x x y x =-，即20022x y x y =-. 即点()11,M x y ，()22,N x y 均满足002x y x y =-，即()002x x y y =+. 故直线MN 的方程为()002x x y y =+. 又()00,P x y 为直线:2l y =-上任意一点，故()022x x y =-对任意0x 成立，所以令0x =，得2y =.从而直线MN 恒过定点()0,2.又曲线C 的焦点F 的坐标为()0,1，所以点F 到直线MN 的最大距离为1.22.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞.若0a =，则()21ln 2f x x x =-，()()()21211222x x f x x x x -+'=-=. 令()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<， 故函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增. （2）由于()1||ln 2f x x x a x =+-，()0,x ∈+∞. （i ）当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得104a x -+=>，204a x --=<（舍去）， 所以当()10,x x ∈时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增，所以()f x 的极小值点为4a -+.（ii ）当0a <时，()221ln ,021ln ,2x ax x x a f x x ax x x a ⎧---<<-⎪⎪=⎨⎪+-≥-⎪⎩①当0x a <<-时，()21421222x ax f x x a x x---'=---=. 令()0f x '=，得24210x ax ---=，记2416a ∆=-，若0∆≤，即20a -≤<时，()0f x '≤，所以()f x 在()0,a -上单调递减；()f x 在()0,a -上无极值点；若0∆>，即2a <-时，则由()0f x '=得3x =，4x =.a <=-，所以340x x a <<<-，所以当()30,x x ∈时，()0f x '<；当()34,x x x ∈时，()0f x '>；当()4,x x a ∈-时，()0f x '<， 所以()f x 在()30,x 上单调递减，在()34,x x 上单调递增；在()4,x a -上单调递减.所以()f x 在()0,a -上的极小值点为4a --，极大值点为4a -+. ②当x a ≥-时，()24212x ax f x x+-'=，令()0f x '=，得14a x -=，24a x a -=<-（舍去）.a ≤-，即2a ≤-则当[),x a ∈-+∞时，()0f x '≥，所以()f x 在(),a -+∞上单调递增；()f x 在(),a -+∞上无极值点；a >-，即02a -<<，则当()1,x a x ∈-时，()0f x '<；当()1,x x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在()1,a x -上单调递减，在()1,x +∞上单调递增.所以()f x 在(),a -+∞. 综上所述，当2a <-时，()f x的极小值点为x =和x a =-，极大值点为x =；当22a -≤≤-时，()f x 的极小值点为x a =-；当a >()f x 的极小值点为x =.。