全等三角形中辅助线的添加

全等三角形添加辅助线的方法要向一个全等三角形添加辅助线，只需在三角形内或外画直线，以切割或连接三角形的一些部分。

这些辅助线可以帮助我们更好地理解和分析三角形的特性和属性。

接下来，我将介绍几种常见的方法来添加辅助线。

1.三角形中线：连接每个顶点与对边中点的线段。

这条线段将三角形划分为两个全等的三角形。

它们的边长相等，角度相等。

2.三角形的角平分线：从每个顶点作出形成该顶点角的两个邻边的角平分线。

这些角平分线会相交于三角形内部的一点，该点是三角形内角平分线的交点。

3.三角形的高线：从每个顶点作出与对边垂直相交的线段。

这些线段的交点将构成三角形的三条高线，它们的长度相等，且垂直于对边。

4.三角形的中线：从每个顶点作出与对边平行的线段。

这些线段的交点将构成三角形的三条中线，它们的长度相等，且平行于对边。

5.三角形的中心：连接三角形的三个顶点与重心的线段。

重心是三角形内部所有高线的交点。

三角形的重心被定义为三边中点的连线的交点，其坐标为三个顶点的坐标之和的1/3这些辅助线有助于我们更好地理解和分析全等三角形的特性和属性。

它们可以帮助我们推导出一些重要的结论和公式，还可以用于证明和解决三角形的相关问题。

例如，通过添加辅助线可以证明全等三角形的性质：全等三角形的对应边长相等，对应角度相等，对应角内的三角形也全等。

此外，辅助线还可以帮助我们解决一些基于全等三角形的问题。

比如，如果两个三角形的一对对应边长和一对对应角度都相等，我们可以利用辅助线来证明它们是全等三角形。

因此，通过添加辅助线，我们可以更好地理解和分析全等三角形的性质和问题。

在解决相关问题时，辅助线可以作为重要的工具来简化问题和得出正确的答案。

三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。

全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。

下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。

一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。

它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。

我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。

倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。

如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。

我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。

可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。

在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。

看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。

五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。

三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。

几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。

话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。

实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。

得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。

对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。

高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。

最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。

达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。

我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。

构造全等三角形添加辅助线的方法构造全等三角形是初中数学中的一个重要内容，理解并掌握构造全等三角形的方法对同学们建立良好的几何直观和提高几何证明能力等方面有很大帮助。

添加辅助线是构造全等三角形的重要方法之一。

本文列举了10条关于构造全等三角形添加辅助线的方法，并详细描述了每一种方法的步骤和原理。

一、通过中位线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC和它的一条中位线AD；2、将角BAD和角ACD作为两个角，作一个新的三角形BAD，使它的对边和AC平行；3、证明三角形BAC和三角形BAD全等。

原理：两个平行线截一组平行于它们的直线形成的线段，具有相等的长度。

二、通过角平分线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE；2、将角EAB和角EAC作为两个角，分别连线得到三角形EAB和三角形EAC；3、证明三角形ABC和三角形EAB全等。

原理：在一个三角形中，一边上的角平分线将这条边分成两个相等的线段，同时将对角的两个角平分为两个相等的角。

三、通过三角形内角和不变构造全等三角形步骤：1、作出两个全等三角形ABC和DEF；2、在三角形ABC内部选取一个点M；3、以点M为中心，作一个半径等于EF的圆，在这个圆上分别找到两个点P、Q；4、连接点P、Q和点M，分别得到三角形AMP和BMQ；5、证明三角形AMP和三角形BMQ全等。

原理：三角形中角的和不变，即两个全等三角形中任意两个内角之和相等。

四、通过角平分线和垂线构造全等三角形步骤：1、作出一个三角形ABC，以角A为中心画一条角平分线AE，垂直于BC；2、在AE上选取一点G，将角GAB和角GAC作为两个角，分别连线得到三角形GAB和三角形GAC；3、以点B为中心，作一个半径等于CG的圆，在这个圆上分别找到两个点M、N；4、连接MN和点B，分别得到三角形MBC和NBC；5、证明三角形GAB和三角形MBC全等。

原理：在一个三角形中，角平分线和垂线的交点将底边分成相等的线段，在垂线上的任意一点到底边的两个端点距离相等。

教学过程构造全等三角形几种方法在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。

现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。

如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD（SAS）。

AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。

求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。

如图4。

∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，∴∠C＝∠EDC。

所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。

E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。

求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。

故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，∴△EFM≌△DFC（AAS）。

EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。

M是AC边的中点。

AD ⊥BM交BC于D，交BM于E。

求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。

如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

∵AB＝AC，∠BAM＝∠ACF＝90°，∴△ABM≌△CAF（ASA）。

全等三角形问题中常有的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，结构二个角之间的相等【三角形协助线做法】图中有角均分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称此后关系现。

角均分线平行线，等腰三角形来添。

角均分线加垂线，三线合一试一试看。

线段垂直均分线，常向两头把线连。

要证线段倍与半，延伸缩短可试验。

三角形中两中点，连结则成中位线。

三角形中有中线，延伸中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形3.角均分线在三种添协助线4.垂直均分线联络线段两头5.用“截长法”或“补短法” ：碰到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后组成等边三角形7.角度数为 30、60 度的作垂线法：碰到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是组成30-60-90 的特别直角三角形，而后计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：碰到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特别直角三角形，或40-60-80 的特别直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样能够获得在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边、角之间的相等条件。

常有协助线的作法有以下几种：最主要的是结构全等三角形，结构二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折”法结构全等三角形．2)碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转”法结构全等三角形．3)碰到角均分线在三种添协助线的方法，（1）能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理．（ 2）能够在角均分线上的一点作该角均分线的垂线与角的两边订交，形成一对全等三角形。

全等三角形添加辅助线的方法1.中线法：将两条边的中点相连并延长，然后证明其与其他一条边的边长和角度相等。

具体步骤如下：a.连接三角形两条边的中点，并延长至交于一点O。

b.证明∆ABC与∆ADB全等，其中∠CAB＝∠DAB（两对顶点角），且AB ＝AD各一边。

c.推导出AC＝BD（全等三角形的边）2.垂直平分线法：通过构造两条垂直平分线使其中两个角相等，从而推导出三角形全等。

具体步骤如下：a.根据题意连接一个角的两边，并找出该两边的垂直平分线。

b.证明∆ABC的两个∠BAC和∠BCA各自与∠ACD和∠ACB相等（垂直平分线构成等腰三角形），即∠BAC＝∠ACD，∠BCA＝∠ACB。

c.推导出∆ABC和∆ACD的三个角相等，从而两个三角形全等。

3.夹边法（重心法）：通过构造两个辅助三角形，使两个夹角相等，从而推导出三角形全等。

具体步骤如下：a.过三角形一边的顶点作该边对边的平行线，分别与另两边相交得到两个辅助三角形。

b.证明这两个辅助三角形的两个夹角分别与原三角形的两个对应夹角相等（平行线与三角形两边的交角），即∠BAC＝∠EAB，∠CBA＝∠DBA。

c.推导出∠ABC和∠EDB相等，从而两个三角形全等。

4.等腰三角形法：通过构造两个等腰三角形，使它们的顶点与原三角形的顶点相连，从而推导出三角形全等。

a.根据题意找到一个角的顶点为原三角形的顶点，并构造一个等腰三角形，顶点为该角的顶点。

b.构造另一个等腰三角形，顶点为原三角形的顶点，并使这两个等腰三角形的顶点分别与原三角形的顶点相连。

c.证明这两个等腰三角形的两个底边与原三角形的两个对应边相等，即AC=DE，BC=DF。

d.推导出∆ABC和∆DEF的三个角相等，从而两个三角形全等。

通过以上几种常见的方法，可以添加辅助线来证明三角形的全等关系。

在实际问题中，根据具体的几何信息和条件，选择合适的辅助线构造方法，可以简化证明过程，并加深对全等三角形的理解。

全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、基本图形的性质的掌握及熟练应用;二．知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述1作线段：连接……；2作平行线：过点……作……∥……；3作垂线作高：过点……作……⊥……,垂足为……；4作中线：取……中点……,连接……；5延长并截取线段：延长……使……等于……；6截取等长线段：在……上截取……,使……等于……；7作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；8作一个角等于已知角：作角……等于……;2、全等三角形中的基本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：（1）倍长中线或类中线法：若遇到三角形的中线或类中线与中点有关的线段,通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形;（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形;①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；②补短：将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证明延长部分等于另一条较短线段;（3）一线三等角问题“K”字图、弦图、三垂图：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边;（4）角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形;（5）角含半角、等腰三角形的绕顶点、绕斜边中点旋转重合法：用旋转构造三角形全等;（6）构造特殊三角形：主要是30°、60°、90°、等腰直角三角形用平移、对称和弦图也可以构造和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形;三、基本模型：1△ABC中AD是BC边中线方式1：延长AD到E,使DE=AD,连接BE方式2：间接倍长,作CF⊥AD于F,作BE⊥AD的延长线于E,连接BE方式3：延长MD到N,使DN=MD,连接CD2由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CD ED=AE-CD EC=AB-CD3角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现三线合一4①旋转：方法：延长其中一个补角的线段延长CD 到E ,使ED=BM ,连AE 或延长CB 到F ,使FB=DN ,连AF结论：①MN=BM+DN ②AB C CMN 2=∆ ③AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM ②翻折：思路:分别将△ABM 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折,但一定要证明 M 、P 、N 三点共线.∠B+∠D =0180且AB=AD5手拉手模型①△ABE 和△ACF 均为等边三角形结论：1△ABF ≌△AEC ；2∠B0E=∠BAE=60°“八字型”模型证明；3OA 平分∠EOF 拓展：条件：△ABC 和△CDE 均为等边三角形结论：1、AD=BE 2、∠ACB=∠AOB 3、△PCQ 为等边三角形 4、PQ ∥AE 5、AP=BQ 6、CO 平分∠AOE 7、OA=OB+OC 8、OE=OC+OD 7,8需构造等边三角形证明 ②△ABD 和△ACE 均为等腰直角三角形 结论：1、BE =CD 2BE ⊥CD ③ABEF 和ACHD 均为正方形 结论：1、BD ⊥CF 2、BD =CF变形一：ABEF 和ACHD 均为正方形,AS ⊥BC 交FD 于T , 求证：①T 为FD 的中点. ②.ADF ABC S S ∆∆= 方法一： 方法二：DCBA方法三：变形二：ABEF 和ACHD 均为正方形,M 为FD 的中点,求证：AN ⊥BC④当以AB 、AC 为边构造正多边形时,总有：∠1=∠2=n360180-. 四、典型例题：考点一：倍长中线或类中线法：核心母题 已知,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_________.练习：1、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF的大小.2、如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.3、如图,CE 、CB 分别是△ABC 与△ADC 的中线,且∠ACB=∠ABC,求证：CD=2CE;4、已知：如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,点F 在CD 上,∠FAE=∠BAE ．求证：AF=BC+FC ．5、如图,D 是AB 的中点,∠ACB=90°,求证：2CD=AB.6、已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证：BD=CE;7、已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求证：AF=EF;8、已知：如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠;9、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD∆第 1 题图ABFDEC和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变并说明理由．10、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA =BC ,DA =DE ,联结EC ,取EC 的中点M ,联结BM 和DM ．1如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是 ；2将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时,判断1中的结论是否仍然成立,并说明理由．变式1：已知：在Rt △ABC 中,AB=BC,在Rt △ADE中,AD=DE,连结EC,取EC 的中点M,连结DM 和BM ．1若点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与点B 不重合,如图①,探索BM 、DM 的关系并给予证明；2如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么1中的结论是否仍成立如果不成立,请举出反例；如果成立,请给予证明．都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°,点M 是CEDM 交BC 于点N ,可探究得出BD 与BM,请证明；如果不成立,说明理由. 变式3： 四边形ABCD 是正方形,BEF ∆是等腰直角三角形,90BEF ∠=︒,BE EF =,连接DF ,G 为DF 的中点,连接EG ,CG ,EC ;MEABC图②M D BACE图① A1如图24-1,若点E 在CB 边的延长线上,直接写出EG 与GC 的位置关系及ECGC的值； 2将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转至图24-2所示位置,请问1中所得的结论是否仍然成立若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；3将图24-1中的BEF ∆绕点B 顺时针旋转α090α︒<<︒,若1BE =,AB =,当E ,F ,D 三点共线时,求DF 的长及∠ABF 的度数;练习：1、① 如图a ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF 和BE.1线段AF 和BE 有怎样的大小关系请证明你的结论；2将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b,1中的结论还成立吗作出判断并说明理由；②、已知：如图,ABC ∆是等边三角形,120BDC ο∠=, 求证：AD BD CD =+.③、已知四边形ABCD 中,AB BC =,60ABC ο∠=°BD 上一点,且120APD ο∠=,求证：PA PD PC BD ++=DC图24-1图24-2CBCD备用图2、在△ABC 中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ;3、如图,在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,AD,CE 分别为ACB BAC ∠∠,的平分线,求证：AC=AE+CD4、如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外一点,且∠ABD=60°,∠ACD=60°求证：BD+DC=AB 5、已知：如图在△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点,∠ABD=60°,∠ADB=90°－21∠BDC,求证：AB=BD ＋DC;考点三：一线三等角问题“K ”字图核心母题 已知：如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC 边上一点,∠ADE=45°,AD=DE,求证：BD=EC. 练习：1、已知：如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,EF ⊥ED ．求证：AE 平分∠BAD ．2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE 和三角板ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连接BD,取BD 的中点M,连接ME,MC ．试判断△EMC 的形状,并说明理由．3、如图,在ABC ∆中,BC AC ACB =︒=∠,90,直线MN 经过点C,且MN AD ⊥于点D,MN BE ⊥于点E;1当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证：DE=AD+BE ； 2当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证：DE=AD —BE ；3当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问：DE,AD,BE 有怎样的等量关系请写AB C DE O出等量关系,并加以证明;312l 3上,并求出所画等腰直角三角形ABC 的面积．小雨是这样思考的：要想解决这个问题,,2所示：在直线l 1任取一点A ,作AD ⊥l 2于点D ,作∠AE =AD ,过点E 作EB ⊥AE 交l 3于点B ,连接AB ,作∠BAC =902BC ,即可得到等腰直角三角形ABC ．请你回答：图2中等腰直角三角形ABC 的面积等于 ． 参考小雨同学的方法,解决下列问题：如图3,直线l 1∥l 2∥l 3, l 1与l 2之间的距离是2,l 2与l 3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC ,使三个顶点分别在直线l 1、l 2、l 3上,并直接写出所画等边三角形ABC 的面积保留画图痕迹．7、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P5,5处,两条直角边与坐标轴分别交于点A 和点B. （1）当点A 、点B 分别在x 轴、y 轴正半轴上运动时,试探究OA+0B 的值或取值范围；（2）点A 在x 轴正半轴上运动,点B 在y 轴负半轴上时,试探究OA-OB 的值或取值范围,直接写出结果;9、已知：在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．BNl 1l 2l 3图3 l 1l 2l 3图1 l 1l 2l 3图2l 1l 2l 3图310、1如图1,当A0,-2,C1,0,点B 在第四象限时,先写出点B 的坐标,并说明理由．11、2如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A0,a 在y 轴正半轴上运动,点Bm,n 在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,试判断a,m,n 之间的关系,请证明你的结论．考点四：角平分线、中垂线法 核心母题1、在ABC ∆中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB AC PB PC ->-．2、已知等腰直角三角形ABC,BC 是斜边．∠B 的角平分线交AC 于D,过C 作CE 与BD 垂直且交BD 延长线于E,求证：BD=2CE ．3、如图,△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D,F 为垂足,DE ⊥AB 于E,且AB ＞AC,求证：BE-AC=AE 练习1、如图所示,在ABC ∆中,AD 是BAC ∠的外角平分线,P 是AD 上异于点A 的任意一点,试比较PB PC +与AB AC +的大小,并说明理由．2、如图所示：∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F,过F 作DF ∥BC,交AB 于D,交AC 于E ．问：3、1写出图中的等腰三角形并说明理由．4、2若BD=8cm,DE=3cm,求CE 的长．3、在△ABC 中,,2AB AC AD =平分BAC ∠,E 是AD 中点,连结CE ,求证：2BD CE =4、如图,△ABC 中,∠ABC=2∠C,BE 平分∠ABC 交AC 于E 、AD ⊥BE 于D,求证：1AC-BE=AE ； 2AC=2BD ．5、如图,在△ABC 中,AB ＞AC,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F,交CA 的延长线于G ．6、求证：BF=CG ．变式一：如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证：AD 为BAC ∠的角平分线．变式二：已知：△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线,M 为BC 的中点,过点M 作MN ∥AD,交AC 于点N ,求证：AN+AB=NC.变式三：在△ABC 中,AD 是△ABC 的角平分线．1如图1,过C 作CE ∥AD 交BA 延长线于点E ,若F 为CE 的中点,连结AF ,求证：AF ⊥AD ；2如图2,M 为BC 的中点,过M 作MN ∥AD 交AC 于点N ,若AB =4, AC =7, 求NC6＝AC,∠A ＝100°,∠B 的平分线交AC 于D,7、于D,CD ＝点E ;8、如图1,在△ABC 中,∠ACB=2∠B,∠BAC 的平分线AO 交BC 于点D,点H 为AO 上一动点,过点H 作直线l ⊥AO 于H,分别交直线AB 、AC 、BC 于点N 、E 、M ．C EADBC图1图21当直线l 经过点C 时如图2,证明：BN=CD ；2当M 是BC 中点时,写出CE 和CD 之间的等量关系,并加以证明；3请直接写出BN 、CE 、CD 之间的等量关系．9、如图所示,在△ABC 中,∠ABC=3∠C,AD 是∠BAC 的平分线,BE ⊥AD 于F,求证：2BE=AC-AB变式：如图,已知在ABC ∆中,3ABC C ∠=∠,12∠=∠,BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=10、如图所示,在ABC ∆中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=．变式一：如图∠1=∠2,B 为AC 中点,CM ⊥FB 于M,AN ⊥FB 于N,求证：①EF=2BM ；②FB=21FM+FN变式二：如图,在△ODC 中,，090=∠D CE OE DCO EC ⊥∠的角平分线，且是,过点E 作..之间的关系，并证明与猜想：线段于点交OD EF F OC OC EF ⊥变式三：如图所示,在△ABC 中,AC ＞AB,M 为BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,若CF ⊥AD 且交AD 的延长线于F,求证：MF=21AC -AB;考点五：角含半角、等腰三角形的绕顶点旋转重合法核心母题 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,∠EAF=45°,求证：EF=BE+DF.变式一：如图,E 、F 分别是边长为 1的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点,若△ECF 的周长是2,求∠EAF 的度数变式二：如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,∠EAQ=45°,AH ⊥EF,求证：AH=AB.综合：在正方形ABCD 中,若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动,且满足MN=BM +DN ,求证：①.∠MAN= 45②.AB C CMN 2=∆③.AM 、AN 分别平分∠BMN 和∠DNM.练习1、如图,在四边形ABCD 中,AB=BC,∠A=∠C=90°,∠B=135°,K 、N 分别是AB 、BC 上的点,若△BKN 的周长是AB 的2倍,求∠KDN 的度数2、已知：正方形ABCD 中,∠MAN=45°,∠MAN 绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC 或它们的延长线于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时如图1,易证BM+DN=MN ．3、1当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时如图2,线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系写出猜想,并加以证明；4、2当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系请直接写出你的猜想．3、如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,,∠B+∠D=180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且2∠EAF=∠BAD,（1）求证：EF=BE+FD（2）如果E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,其他条件不变,结论是否仍然成立说明理由;5、如图所示,在五边形ABCDE 中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°求证：AD 平分∠CDE.6、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE 的面积．7、如图1．在四边形ABCD 中．AB=AD,∠B+∠D=180゜,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠BAD=2∠EAF ．8、1求证：EF=BE+DF ；9、2在1问中,若将△AEF 绕点A 逆时针旋转,当点E 、F 分别运动到BC 、CD 延长线上时,如图2所示,10、试探究EF 、BE 、DF 之间的数量关系．8、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,P 是△ABC 内一点,且PA=3,PC=2,PB=1．求∠BPC 的度数考点六：构造特殊三角形核心母题 如图,在△ABC 中,AD 交边BC 于点D,∠BAD=15°,∠ADC=4∠BAD,DC=2BD ．1求∠B 的度数；2求证：∠CAD=∠B ．练习1、在平面直角坐标系中,点A2,0、B0,4,以AB 为斜边作等腰直角△ABC,则点C 的坐标为2、如图,在正方形网格图中,求∠1＋∠2＋∠3的度数和;3、已知：平面直角坐标系中的三个点,A1,0、B2,1-、C0,3,求∠OCA+∠OCB 的度数.6、已知2AD =,4BD =,以AB 为一边作等边三角形ABC .使C 、D 两点落在直线AB 的两侧.1如图,当∠ADB=60°时,求AB 及CD 的长； 2当∠ADB 变化,且其它条件不变时,求CD 的 最大值,及相应∠ADB的大小.7、已知：PA =4PB =,以AB 为一边作正方形ABCD ,使P 、D 两点落在直线AB A DB C的两侧.1如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长；2当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.8、在四边形ABDE 中,C 是BD 边的中点．1如图1,若AC 平分BAE ∠,ACE ∠=90°, 则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为直接写出答案2如图2,AC 平分BAE ∠, EC 平分AED ∠,若120ACE ∠=︒,则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系写出结论并证明；3如图3,BD = 8,AB =2,DE =8,∠ACE=120°,则线段AE 长度的最大值是多少如果∠ACE=135°,此时线段AE 长度的最大值是多少EDC B A图3 EDC B A图2。

几种证明全等三角形添加辅助线的方法在几何证明中，证明两个三角形全等是常见的任务之一、为了证明两个三角形全等，可以利用几何性质和辅助线的方法。

以下是几种常见的证明全等三角形添加辅助线的方法。

方法一：辅助线连接两个三角形的顶点和中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和B的中点M，以及连接点D和E的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法二：辅助线连接两个三角形的顶点和底边中点。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过在两个三角形中选择一对对应的顶点，然后通过连接这对顶点和底边的中点来添加辅助线。

例如，可以连接点A和D的中点M，以及连接点B和E 的中点N。

通过连接辅助线MN，我们可以观察到三角形AMN和DMN是全等的，因为它们具有相等的边MN和相等的边角（由三角形ABC和DEF的边和角的性质可得）。

由于三角形AMN和DNM的对应边和对应角也相等，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法三：辅助线连接两个三角形的对应角的角平分线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形对应角的角平分线来添加辅助线。

通过连接辅助线，我们可以得到一些相似的三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到一些相等的边和角。

通过观察这些相等的边和角，我们可以得出结论，三角形ABC和DEF是全等的。

方法四：辅助线连接两个三角形的中垂线。

假设有两个三角形ABC和DEF，我们要证明它们全等。

我们可以通过连接每个三角形的边的中点，然后连接这些中点的垂线来添加辅助线。

添加辅助线证明三角形全等三角形全等是指两个三角形的三个对应边分别相等，三个对应角分别相等。

为了证明两个三角形全等，我们可以使用不同的方法，其中一种方法是添加辅助线。

假设我们需要证明的是两个三角形ABC和DEF全等。

首先，我们可以通过建立一些角的平分线来添加辅助线。

设角A和角D是需要证明的相等的角，我们可以在角A上建立角A的平分线，交BC的延长线于点G。

同理，在角D上建立D的平分线，交EF的延长线于点H。

这样，我们就得到了两个辅助线GH和EF，并且建立了两个新的三角形GBH和EDF。

接下来，我们可以利用已知条件和几何性质来逐步证明两个三角形全等。

1.根据平分线的性质，角A与角D的平分线AG和DH将分别把两个角分成两个相等的角。

即角BAG=角DAH(相等角的定义)和角GAB=角HAD(平分线的性质)。

2.由于辅助线GH是EF的延长线，所以角G和角H与角D均为同侧内角。

因此，通过角和辅助线的关系，我们可以得到角DAH=角GHF和角HAD=角GHE。

3.再次利用已知角和辅助线的关系，我们可以得到角GHF=角GBH和角GHE=角EDF。

4.综上所述，我们得到了两个相等的角：角BAG=角DAH，角GAB=角HAD，角GHF=角GBH，角GHE=角EDF。

接下来，我们需要证明两个三角形的对应边也相等。

5.由于AG和DH是角A和角D的平分线，所以线段AG与线段DH相等（平分线的性质）。

6.根据辅助线GH和EF的定义，我们可以得到线段GH=线段EF。

7.因为∠GHF=∠GBH，所以根据夹边定理，我们得到线段GF=线段GB。

8.同理，由于∠GHE=∠EDF，根据夹边定理，线段HE=线段DE。

综上所述，我们证明了三角形ABC和DEF的三个对应角相等，并且三个对应边也相等。

因此，三角形ABC和DEF是全等的。

总结起来，通过添加辅助线，我们可以根据已知条件和几何性质逐步证明两个三角形的全等。

这种方法可以帮助我们简化证明过程，并确保证明的准确性。

全等三角形的辅助线的常见添法一、前言全等三角形是初中数学中一个重要的概念，其性质和应用十分广泛。

在解决全等三角形相关问题时，辅助线的运用是非常常见的方法之一。

本文将介绍几种常见的全等三角形辅助线添法。

二、中线中线是连接三角形一个顶点和对边中点的线段。

在全等三角形的证明中，经常使用到中线。

1. 作平移假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作平移使得BC重合于EF，即可证明ABC和DEF完全重合。

2. 作垂线假设有两个全等三角形ABC和DEF，需要证明它们完全重合。

可以在BC上取一点M，在EF上作MN垂直于EF，并延长至交于P，则BP=FP，CP=EP，因此可以通过SAS（边-角-边）准则证明ABC和DEF完全重合。

三、高线高线是从一个顶点向对边所在直线作垂线所得到的线段。

在证明两个直角三角形相似时常用到高线。

1. 作垂心假设有两个直角三角形ABC和DEF，需要证明它们相似。

可以在ABC 中作垂心H，连接AH、BH、CH，并在DEF中作DH垂直于EF，延长至交于K，则AK=DK，因此可以通过AA（角-角）准则证明ABC 和DEF相似。

2. 作中线假设有两个三角形ABC和DEF，其中BC=EF，需要证明它们相似。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，连接MN，并作垂线PH 垂直于MN且交于O，则PO为MN的中线。

由于BM=FN，BO=EO（因为PH平分MN），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。

四、角平分线角平分线是从一个顶点出发将角分成两个相等的角所得到的线段。

在证明两个三角形相似时常用到角平分线。

1. 作等腰三角形假设有两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC=∠EDF且AC=DF，需要证明它们相似。

可以在BC上取一点M，在EF上取一点N，并连接AN、BM以及CN与AM的交点为P，则AP=PN（因为AP是∠BAC 的平分线），BP=PM（因为BP是∠ABM的平分线），因此可以通过SAS准则证明ABC和DEF相似。

全等三角形中辅助线的添法(三大模型)【模型一：倍长中线模型】1.(23-24八年级上·江苏·期末)如图，在△ABC 中．AD 是BC 边上的中线，交BC 于点D．(1)如下图，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ．求证：△ACD ≌△EBD．(2)如下图，若∠BAC =90°，试探究AD 与BC 有何数量关系，并说明理由．(3)如下图，若CE 是边AB 上的中线，且CE 交AD 于点O ．请你猜想线段AO 与OD 之间的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用SAS 可得△ACD ≌△EBD ；(2)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，先根据△ACD ≌△EBD 证得∠C =∠CBE ，AC =BE ，进而得到AC ∥EB ，AD =12AE ；再证得△ABC ≌△BAE SAS 利用全等三角形全等的性质即可；(3)延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，证得△MOB ≌△NBO ASA 可得MB =NO ，进而得到AO =2OD ，本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【解题过程】(1)证明：在△ACD 和△EBD 中，DA =DE∠ADC =∠EDBDC =DB∴△ACD ≌△EBD SAS ；(2)解：AD =12BC ，理由如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，如图由(1)得△ACD ≌△EBD ，∴∠C =∠CBE ，AC =BE∴AC ∥EB ，AD =12AE ∴∠BAC +∠ABE =180°，∵∠BAC =90°，∴∠ABE =90°，∴∠BAC =∠ABE在△ABC 和△BAE 中AC =BE∠BAC =∠ABEAB =AB∴△ABC ≌△BAE SAS ∴BC =AE ，∴AD =12BC ；(3)AO =2OD ，理由如下：延长OE 到点M ，使EM =OE ，连接AM ．延长OD 到点N ，使DN =OD ，连接BM ，BN ，BO ，如图，由(1)得△AOE ≌△BME ，△ODC ≌△NDB ，∴∠AOE =∠BME ，∠OCD =∠NBD ，AO =BM ，∴AO ∥BM ，OC ∥NB ，∴∠MBO =∠BON ，∠MOB =∠NBO在△MOB 和△NBO 中，∠MBO =∠BONOB =OB ∠MOB =∠NBO，∴△MOB ≌△NBO ASA ∴MB =NO ，∴AO =2OD ．2.(23-24八年级上·广西北海·期末)八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =9，AC =5，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD ，请根据小红的方法思考作答：(1)由已知和作图能得到△ADC ≌△EDB 的理由是；A.SSS B.SAS C.AASD.HL(2)求得AD的取值范围是；A.5<AD<9B.5≤AD≤9C.2<AD<7D.2≤AD≤7(3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图2，在△ABC中，点E在BC上，且DE=DC，过E作EF∥AB，且EF=AC．求证：AD平分∠BAC．【思路点拨】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键．(1)根据三角形全等的判定定理去选择即可；(2)根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可；(3)由“SAS”可证△EFD≌△CMD，可得EF=DM，∠EFD=∠M，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证∠M=∠BAD=∠CAM，可得AD平分∠BAC．【解题过程】(1)解：延长AD到点E，使DE=AD，∵BD=CD，在△ADC和△EDB中，CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故选：B．(2)解：∵△ADC≌△EDB，∴AC=EB，∵AB=9，AC=5，AB-BE<AE<AB+BE，∴4<2AD<14，∴2<AD<7，故选：C；(3)证明：如图，延长AD至M，使DM=DF，连接CM，∵DE=DC，∠EDF=∠CDM，DF=DM，∴△EFD≌△CMD(SAS)，∴EF=DM，∠EFD=∠M，∴EF∥CM，∵EF∥AB，∴CM∥AB，∴∠BAD=∠M，∵EF=AC，∴EF=DM=AC，∴∠CAM=∠M，∴∠BAD=∠CAM，∴AD平分∠BAC．3.(23-24八年级上·安徽安庆·期末)(1)如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，AD为BC边上的中线，求AD的取值范围；(2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．【思路点拨】(1)由已知得出AB-BE<AE<AB+BE，即6-4<AE<6+4，AD为AE的一半，即可得出答案；(2)延长FD至点M，使DM=DF，连接BM，EM，可得△BMD≌△CFD，得出BM=CF，由线段垂直平分线的性质得出EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM>EM即可得出结论；(3)延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF=FG，也可证得△ABE≌△GCE，从而可得AB= CG，即可得到结论．【解题过程】解：(1)如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDE，∴△ACD≌△EBD SAS，∴BE=AC=4，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴6-4<AE<6+4，，∴2<AE<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5；(2)BE+CF>EF，理由如下：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示．同(1)得：△BMD≌△CFD SAS，∴BM=CF，∵DE⊥DF，DM=DF，∴EM=EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM，∴BE+CF>EF；(3)AF +CF =AB ，理由如下：如图③，延长AE ，DF 交于点G ，∵AB ∥CD ，∴∠BAG =∠G ，在△ABE 和△GCE 中，CE =BE ，∠BAG =∠G ，∠AEB =∠GEC，∴△ABE ≌△GEC AAS ，∴CG =AB ，∵AE 是∠BAF 的平分线，∴∠BAG =∠GAF ，∴∠FAG =∠G ，∴AF =GF ，∵FG +CF =CG ，∴AF +CF =AB ．4.(23-24八年级上·江苏南通·期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB =6,AC =4，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE．请根据小明的思路继续思考：(1)由已知和作图能证得△ADC ≌△EDB ，得到BE =AC ，在△ABE 中求得2AD 的取值范围，从而求得AD 的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系；(2)如图2，AD 是△ABC 的中线，AB =AE ,AC =AF ,∠BAE +∠CAF =180°，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在△ABC 中，D ,E 是BC 的三等分点．求证：AB +AC >AD +AE ．【思路点拨】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．(1)延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接BE ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM =AC ，在△ABM 中，根据AB -BM <AM <AB +BM ，即可；(2)延长AD 到M ，使得DM =AD ，连接BM ，由(1)的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM =2AD ，由AM =EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系；(3)，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ,然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【解题过程】(1)解：如图1所示，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△MDB和△ADC中，BD=CD∠BDM=∠CDA DM=AD，∴△MDB≌△ADC(SAS)，∴BM=AC=4，在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM，∴6-4<AM<6+4，即2<AM<10，∴1<AD<5，故答案为：1<AD<5．(2)EF=2AD，理由：如图2，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，由(1)知，△BDM≌△CDA(SAS)，∴BM=AC，∠M=∠MAC∵AC=AF，∴BM=AF，∵∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°，又∵∠BAE+∠CAF=180°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAF=∠MBA，又∵AB=EA，∴△ABM≌△EAF(SAS)，∴AM=EF，∵AD=DM，∴AM=2AD，∵AM=EF，∴EF=2AD．(3)证明：如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH,BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH=CH∠BHA=∠CHQ AH=OH，∴△ABH≌△QCH(SAS),同理可得:△ADH≌△QEH,∴AB=CQ,AD=EQ，此时,延长AE交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK,AC+CK>AK，∴AC+CQ>AK+QK，∵AK+QK=AE+EK+QK>QE,EK+QK>QE，∴AK+QK>AE+QE，∴AC +CQ >AK +QK >AE +QE ，∵AB =CQ ,AD =EQ ，∴AB +AC >AD +AE ．5.(23-24七年级下·广东佛山·期中)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，△ABC 中，AB =8，AC =6，求BC 边上的中线AD 的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE =AD请根据小明的方法思考：(1)求得AD 的取值范围是；【问题解决】请利用上述方法(倍长中线)解决下列三个问题如图，已知∠BAC +∠CDE =180°，AB =AC ，DC =DE ，P 为BE 的中点．(2)如图1，若A ，C ，D 共线，求证：AP 平分∠BAC ；(3)如图2，若A ，C ，D 不共线，求证：AP ⊥DP ；(4)如图3，若点C 在BE 上，记锐角∠BAC =x ，且AB =AC =CD =DE ，则∠PDC 的度数是(用含x 的代数式表示)．【思路点拨】(1)根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；(2)延长DP 交AB 延长线于点F ，证△APF ≌△APD 即可；(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD ，证△APF ≌△APD 即可；(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，证△ACM ≌△DCP ，用含x 的代数式表示出∠PDC 即可．【解题过程】(1)∵AD 为BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△EDB 中，BD =CD∠ADC =∠EDBAD =ED∴△ADC ≌△EDB SAS ，∴BE =AC =6，∵AB =8，∴8-6<AE <8+6，即2<AE <14，∵DE =AD ，∴AD =12AE ，∴1<AD <7，故答案为：1<AD <7(2)如下图，DP 交AB 延长线于点F∠BAC +∠CDE =180°，∴AF ∥DE (同旁内角互补，两直线平行)，∴∠PFB =∠PDE ，∠PBF =∠PED ，∵P 为BE 的中点∴BP =PE ，∴△BPF ≌△EPD AAS ，∴BF =DE =DC ，PD =PF ，又∵AB =AC ，∴AB +BF =AC +DC ，即AF =AD ，在△APF 和△APD 中PF =PDAP =APAF =AD∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠P AF =∠P AD (全等三角形的对应角相等)，即AP 平分∠BAC(3)延长DP 至点F ，使得PF =PD ，连接BF 、AF 、AD由(1)同理易知△DPE ≌△FBP (SAS )，∴BF =DE =CD ，∠E =∠FBP ，∵∠BAC +∠CDE =180°，且∠BAC +∠CAD +∠ADC +∠CDE +∠E =360°，∠CAD +∠C +∠ADC =180°，∴∠ABF =∠ACD ，AB =AC ，∴△ABF ≌△ACD (SAS )，∴AF =AD ，∴△APF ≌△APD (SSS )，∴∠APD =∠APF =180°÷2=90°，∴AP ⊥DP(4)过点C 作CM ⊥BC 交AP 于点M ，由(3)可得∠APD =90°，∠BAC =x ，∠BAC+∠CDE =180°，AB =AC =CD =DE ，∴∠ACB =180°-x 2=90°-x 2，∴∠DCE =90°-∠CDE 2=90°-180°-x 2=x 2，∴∠ACB和∠DCE 互余，∠ACD =∠MCP =∠APD =90°，∴∠ACM =∠DCP =x 2，∠CAM =∠CDP ∴△ACM ≌△DCP (ASA )，∴MC =PC ，∴∠BP A =45°，又∵∠ACB =90°-x 2，∴∠PDC =∠P AC =∠ACB -∠APB =45°-x 2，故答案为：45°-x 2【模型二：旋转模型(截长补短)】6.(23-24八年级上·湖北武汉·期末)如图，在五边形ABCDE 中，∠B =∠E =90°，∠CAD =12∠BAE ，AB =AE ，且CD =3，AE =4，则五边形ABCDE 的面积为()A.6 B.8 C.10 D.12【思路点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，首先证明点D ，E ，F 三点共线，证明△ACD ≌△AFD (SAS )，得到CD =DF =3，S △ACD =S △AFD ，再将所求面积转化为2S △AFD 进行计算即可．【解题过程】解：如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AEF ，∵AB =AE ，∠B =∠E =90°，则AF =AC ，∠B =∠AED =∠AEF =90°，∴∠DEF =180°，即点D ，E ，F 三点共线，∵∠CAD =12∠BAE ，∠BAC +∠DAE =∠DAE +∠EAF =∠CAD ，即∠FAD =∠CAD ，在△ACD 和△AFD 中，AC =AF∠CAD =∠FAD AD =AD，∴△ACD ≌△AFD (SAS )∴CD =DF ，S △ACD =S △AFD∵CD =3，∴DF =3，五边形ABCDE 的面积为：S 四边形ACDE +S △ABC =S 四边形ACDE +S △AEF=S △ACD +S △AFD =2S △AFD ，=2×12×DF ×AE ，=2×12×3×4=12．故选：D ．7.(23-24八年级上·上海·期中)如图所示，已知AC 平分∠BAD ，∠B +∠D =180°，CE ⊥AB 于点E ，判断AB 、AD 与BE 之间有怎样的等量关系，并证明．【思路点拨】在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．证明△BCE ≌△ECF (SAS )，得到∠B =∠BFC ，又证明△AFC ≌△ADC ，得到AF =AD ，最后结论可证了．【解题过程】证明：在AB 上截取EF ，使EF =BE ，联结CF ．∵CE ⊥AB∴∠BEC =∠FEC =90°在△BCE 和△ECF{BE =EF∠BEC =∠FECCE =CE∴△BCE ≌△ECF (SAS )∴∠B =∠BFC∵∠B +∠D =180°又∵∠BFC +∠AFC =180°∴∠D =∠AFC∵AC 平分∠BAD∴∠FAC =∠DAC在△AFC 和△ADC 中{∠AFC =∠D∠FAC =∠DACAC =AC∴△AFC≌△ADC(AAS)∴AF=AD∵AB=AF+BE+EF∴AB=AD+2BE8.(23-24八年级上·山东临沂·期中)【基本模型】(1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【模型运用】(2)如图2，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形．(1)结论：EF=BE+DF．将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，然后求出∠EAF =∠EAF=45°，利用“边角边”证明△AEF和△AEF 全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=EF ，从而得解；(2)结论：EF=BE-DF，证明方法同法(1)．【解题过程】解：(1)结论：EF=BE+DF．理由：如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△ABF ，则：∠F AB=∠DAF,∠ABF =∠D=90°，AF=AF ，BF =DF，∴∠ABF +∠ABC=180°，即：F ,B,E三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∴∠BAF +∠BAE=45°，∴∠EAF =∠EAF=45°，在△AEF 和△AEF 中，AF =AF∠EAF =∠EAF AE =AE，∴△AEF ≌△EAF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE +BF ，∴EF =BE +DF ．(2)结论：EF =BE -DF ．理由：如图2，将△ADF 绕点A 顺时针旋转，使AD 与AB 重合，得到△ABF ，则：BF =DF ,AF =AF ，同法(1)可得：△AEF ≌△AEF (SAS )，∴EF =EF ，又EF =BE -BF =BE -DF ，∴EF =BE -DF ．9.(23-24八年级上·湖北武汉·周测)(1)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD，∠B +∠D =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ．求证：EF =BE +FD ；(2)如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD ．(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【思路点拨】(1)延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．先证明△ABM ≌△ADF ，得到AF =AM ，∠2=∠3，再证明△AME ≌△AFE ，得到EF =ME ，进行线段代换，问题得证；(2)在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．先证明△ABG ≌△ADF ，得到AG =AF ，再证明△AEG ≌△AEF ，得到EG =EF ，进行线段代换即可证明EF =BE -FD ．【解题过程】解：(1)证明：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ．∵∠ABC +∠D =180°，∠1+∠ABC =180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 与△ADF 中，AB =AD∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF (SAS )．∴AF =AM ，∠2=∠3．∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=12∠BAD =∠EAF ．∴∠3+∠4=∠EAF ，即∠MAE =∠EAF ．在△AME 与△AFE 中，AM =AF∠MAE =∠EAF AE =AE，∴△AME ≌△AFE (SAS )．∴EF =ME ，即EF =BE +BM ，∴EF =BE +DF ；(2)结论EF =BE +FD 不成立，应当是EF =BE -FD ．证明：如图，在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵在△ABG 与△ADF 中，AB =AD∠ABG =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )，∴∠BAG =∠DAF ，AG =AF ，∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAE =∠EAF ．在△AGE 与△AFE 中，AG =AF∠GAE =∠EAF AE =AE，∴△AEG ≌△AEF ，∴EG =EF ，∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ．10.(23-24八年级上·贵州黔东南·期末)【初步探索】(1)如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠ADC =90°，∠BAD =120°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中BE 、EF、FD 之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明：△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=∠180°，∠BAD=120°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，(1)中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足EF=BE+FD，请判断∠EAF与∠DAB的数量关系．并证明你的结论．【思路点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．(1)根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF，据此得出结论；(2)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，可得出EF=GF=DG+DF=BE+DF；(3)在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先根据SAS判定△ADG≌△ABE，再根据SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．【解题过程】解：(1)BE+FD=EF．理由如下：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ADC=90°，∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，又∵∠B=90°，∴∠B=∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，即∠GAF=60°，∴∠GAF=∠EAF；在△AEF与△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：BE+FD=EF；(2)(1)中的结论仍成立，理由如下：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵∠BAD=120°120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠DAG+∠DAF=60°，∴∠GAF=∠EAF=60°，又∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；(3)∠EAF=180°-12∠DAB．证明：如图3，延长DC到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE，在△ABE与△ADG中，AB=AD∠B=∠ADG BE=DG，∴△ADG≌△ABE(SAS)，∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，∵EF=BE+FD，∴EF=DG+FD，∴EF=GF，在△AEF与△AGF中，AE=AG EF=GF AF=AF，∴△AEF≌△AGF(SSS)，∴∠FAE=∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°，∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-12∠DAB．【模型三：“K子”型(一线三垂直)】11.(23-24八年级上·广东江门·阶段练习)已知，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m过点A，且BD⊥m于D，CE⊥m于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现DE=BD+CE．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：BD与DE、CE的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在哪几种不同的数量关系？(直接写出，不必证明)【思路点拨】(1)利用条件证明△ABD≌△CAE，再结合线段的和差可得出结论；(2)根据图，可得BD、DE、CE存在3种不同的数量关系；【解题过程】(1)证明：如图2，∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠BDA=∠CEA=90°，∴∠ABD+∠DAB=90°．∵∠BAC=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°，∴∠ABD=∠CAE．在△ABD和△CAE中，∠BDA=∠CBA ∠ABD=∠CAB AB=CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD=CE，BD=AE∵DE=AE-AD，(2)直线m 在绕点A 旋转一周的过程中，BD 、DE 、CE 存在3种不同的数量关系：DE =BD +CE ，DE =BD -CE ，DE =CE -BD．如图1时，DE =BD +CE ，如图2时，DE =BD -CE ，如图3时，DE =CE -BD ，(证明同理)12.(23-24八年级上·贵州铜仁·阶段练习)(1)如图1，已知△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ,E ．求证：DE =BD +CE ．(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ,D ,A ,E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．请写出DE ,BD ,CE 三条线段的数量关系，并说明理由．【思路点拨】(1)利用已知得出∠CAE =∠ABD ，进而利用AAS 得出则△ABD ≌△CAE ，即可得出DE =BD +CE ；(2)根据∠BDA =∠AEC =∠BAC ，得出∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，根据AAS 证出△ADB ≌△CEA ，从而得出AE =BD ，AD =CE ，即可证出DE =BD +CE ；【解题过程】(1)DE =BD +CE ．理由如下：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠AEC =90°又∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD在△ABD 和△CAE 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA =90°AB =AC，∴△ABD ≌△CAE (AAS )∴BD =AE ，AD =CE ，∵DE =AD +AE ，(2)DE =BD +CE ，理由如下：∵∠BDA =∠AEC =∠BAC ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE ，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，∠ABD =∠CAE∠ADB =∠CEA AB =AC，∴△ADB ≌△CEA (AAS )，∴AE =BD ，AD =CE ，∴BD +CE =AE +AD =DE ．13.(23-24八年级上·山西大同·阶段练习)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．(1)如图1．已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．(2)组员小明对图2进行了探究，若∠BAC =90°，AB =AC ，直线l 经过点A ．BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D 、E ．他发现线段DE 、BD 、CE 之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段DE 、BD 、CE 之间的数量关系，(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG (正方形的4条边都相等，4个角都是直角)，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，若BH =3，CH =7，求AI 的长．【思路点拨】(1)根据BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∠BAC =90°，可得∠CAE =∠ABD ，利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE +AD 即可得到DE =BD +CE ；(2)同(1)利用AAS 可证明△ADB ≌△CEA ，根据DE =AE -AD 即可得到DE =BD -CE ；(3)过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ，可构造两组一线三直角全等模型，即：△ABH ≌△EAM ，△AHC ≌△GNA ，从而可以得到EM =GN ，MN =4，再根据△EMI ≌△CNI 可得MI =NI =2，即可确定AI 的长度；【解题过程】(1)证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；(2)∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠CEA AB=AC，∴△ADB≌△CEA AAS∴BD=AE，AD=CE，∴DE=AE-AD=BD-CE；(3)如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，∴∠EMI=∠GNI=90°∵∠BAH+∠EAM=90°，∠BAH+∠ABH=90°，∴∠EAM=∠ABH在△ABH和△EAM中，∠AHB=∠EMA ∠ABH=∠EAM AB=AE，∴△ABH≌△EAM(AAS)∴BH=AM=3，AH=EM，同理可得：△AHC≌△GNA∴CH=AN=7，AH=GN，即：EM=GN，MN=AN-AM=7-3=4，在△EMI和△CNI中，∠EMI=∠CNI∠EIM=∠CINEM=CN，∴△EMI≌△CNI(AAS)，∴MI=NI=12MN=2，∴AI=AM+MI=3+2=5．14.(23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC=，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；(2)如图2，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；(3)如图3，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，S1+S2= 10．求出S1的值．【思路点拨】(1)由△ABC≌△DAE即可求解；(2)作DM⊥AF,EN⊥AF，利用“K字模型”的结论可得△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN，故可推出DM =EN，再证△DMG≌△ENG即可；(3)作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，利用“K字模型”的结论可得△ADM≌△DCP,△DFN≌△EDP，进一步可证△AMQ≌△FNQ，即可求解．【解题过程】(1)解：∵△ABC≌△DAE∴AC=DE故答案为：DE；(2)证明：作DM⊥AF,EN⊥AF由“K字模型”可得：△ABF≌△DAM,△ACF≌△EAN∴AF=DM,AF=EN∴DM=EN∵∠DMG=∠ENG=90°,∠DGM=∠BGN∴△DMG≌△ENG∴GM=GN即：点G是DE的中点(3)解：作PQ⊥CE,AM⊥PQ,FN⊥PQ，如图：21∵四边形ABCD 和四边形DEGF 均为正方形∴∠ADC =∠EDF =90°,AD =CD ,DE =DF由“K 字模型”可得：△ADM ≌△DCP ,△DFN ≌△EDP∴S △ADM =S △DCP ,S △DFN =S △EDPAM =DP ,FN =DP∵∠AMQ =∠FNQ =90°,∠AQM =∠FQN∴△AMQ ≌△FNQ∴S △AMQ =S △FNQ∴S △ADQ +S △FNQ +S △DFN =S △ADQ +S △AMQ +S △DFN =S △ADM +S △DFN =S △DCP +S △EDP即：S 1=S 2∵S 1+S 2=10∴S 1=515.(23-24七年级下·广东深圳·期末)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板(在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =CB ；△DEF 中，∠DEF =90°，∠EDF =30°)，并提出了相应的问题．【发现】(1)如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM ⊥DF ，垂足为点M ，过点C 作CN ⊥DF ，垂足为点N ，①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论；∵∠ABC =90°，∴∠ABM +∠CBN =90°，∵AM ⊥DF ，CN ⊥DF ，∴∠AMB =90°，∠CNB =90°，∴∠ABM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠CBN ，∵∠BAM=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°AB=BC，；②AM=2，CN=7，则MN=；【类比】(2)如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由；【拓展】(3)如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE= 5，BE=1，连接CE，则△ACE的面积为．【思路点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．(1)①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案；②由①中△ABM≌△BCN(AAS)，利用两个三角形全等的性质，得到AM=BN=2，BM=CN=7，即可得到MN=MB+BN=CN+AM=9；(2)根据两个三角形全等的判定定理，得到△ABE≌△BCP，利用两个三角形全等的性质，得到AE=BP，BE=CP，由图中BE=BP+PE，即可得到三者的数量关系；(3)延长FE，过点C作CP⊥FE于P，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到△ABE≌△BCP，从而PC=BE=1，PB=AE=5，则可求得PE，延长AE，过点C作CF⊥AE于F，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得CF=PE=4，代入面积公式得S△ACE，即可得到答案．【解题过程】解：(1)①∵∠ABC=90°，∴∠ABM+∠CBN=90°，∵AM⊥DF，CN⊥DF，∴∠AMB=90°，∠CNB=90°，∴∠ABM+∠BAM=90°，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM=∠CBN，∠AMB=∠CNB=90°，AB=BC，∴△ABM≌△BCN(AAS)；故答案为：△ABM≌△BCN(AAS)②由①知△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM=BN,BM=CN，∵AM=2，CN=7，∴MN=MB+BN=CN+AM=9；故答案为：9；(2)结论：PE=PC-AE．理由如下：∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵CP⊥BE，∴∠CPB=90°，∴∠BCP+∠CBP=90°∴∠ABE=∠BCP，2223∵∠AEB =90°，∴∠AEB =∠CPB =90°，∵AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴AE =BP ，BE =CP∵BE =BP +PE ，∴PE =BE -BP =PC -AE ；(3)延长FE ，过点C 作CP ⊥FE 于P ，如图所示：∵∠ABE +∠EBC =90°，∠ABE +∠BAE =90°，∴∠EBC =∠BAE ，∵∠AEB =∠CPB =90°，AB =BC ，∴△ABE ≌△BCP ，∴PC =BE =1，PB =AE =5，∴PE =PB -BE =5-1=4，延长AE ，过点C 作CF ⊥AE 于F ，如图所示：∵AF ⊥PE ，CP ⊥PE ，∴AF ∥CP ，∵AF ⊥PE ，CF ⊥AF ，∴PE ∥CF ，由平行线间的平行线段相等可得CF =PE =4，S △ACE =12×AE ×CF =12×5×4=10．故答案为：10．。

完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。

下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。

一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。

具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。

要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。

具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。

由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。

显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。

在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。

另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

要证明CD=AD+BC。

因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。

全等三角形添加辅助线的方法全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决几何问题中，我们经常需要证明或利用全等三角形的性质。

为了更方便地使用全等三角形，我们可以使用辅助线来帮助我们找到全等三角形。

接下来，我将详细介绍几种添加辅助线的方法。

1.中点连线法：在一个三角形中，我们可以通过连接两个边的中点来构造一个平行边。

如果两个三角形的对应边都是平行的，并且两个三角形的第三边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过画出中点连线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过连接边AB和AC的中点D和E来构造一个平行四边形DCBE。

然后，我们可以继续连接BE和CD，并连接AD和CE，这样就构成了两个全等三角形ADE和CDE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

2.高度法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作其高来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的高是指从顶点到对边的垂直线段。

如果两个三角形的高相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的高，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作高AD和高BE来构造两个全等的三角形ABD和ACE。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

3.角平分线法：对于一个三角形ABC，我们可以通过作角平分线来构造两个全等的三角形。

三角形ABC的角平分线是指从角的顶点到对边的线段，将角分为两个相等的角。

如果两个三角形的相应角相等，并且它们的底边相等，那么这两个三角形是全等的。

因此，通过作两个三角形的角平分线，我们可以找到两个全等的三角形。

例如，在一个三角形ABC中，我们可以通过作角平分线AD和角平分线BE来构造两个全等的三角形ADC和BEC。

通过使用这种方法，我们可以更方便地证明或利用全等三角形的性质。

4.相似三角形法：对于两个相似的三角形ABC和DEF，如果它们的对应边比例相等，那么它们是全等的。

全等三角形六种常用辅助线的添加方法和技巧下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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全等三角形中的辅助线的作法在《全等三角形》的解题中，在解决一些复杂的全等三角形问题中往往需要构造辅助线，本文将对添加辅助线的一些常用方法进行介绍，通常有连线构全等、截长补短法、倍长中线法、角平分线构全等等四种常见辅助线。

一、连线构全等例1：已知，如图，AD =BC ，AC =BD ，求证：D C ∠=∠分析：此题是一道易错的全等三角形证明题，很多学生会错误地认为需要证明的是ADO ∆和BCO ∆，但条件明显是不能证明的，所以本题的正确解法是连结AB （或者CD ）构造ADB ∆和BCA ∆全等，再得到D C ∠=∠证明：连结AB在ADB ∆和BCA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧===BA AB BD AC BC ADADB ∆∴≌BCA ∆ （SSS ）D C ∠=∠∴练习1：如图，CD AB =，DC BC =，求证：D B ∠=∠.练习2：如图，CD AB //，CD AB =，求证：BC AD =练习3：如图，AB=AC ，BD=CD ，M 、N 分别是BD 、CD 的中点，求证：ANC AMB ∠=∠二、截长补短法截长补短法：在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：已知在ABC ∆，B C ∠=∠2，21∠=∠，求证：CD AC AB +=分析：本题证明的是线段的和差问题，可考虑利用截长或补短法。

方法一（截长法）：如图1，在AB 上截取AE=AC ，连结BE ，易证ADE ∆≌ADC ∆，从而得DC DE =，AED C ∠=∠，AC AE =又因为B C ∠=∠2所以得B AED ∠=∠2，又因为BDE B AED ∠+∠=∠所以得BDE B ∠=∠可得DE BE =从而得CD AC AB +=方法二（补短法）：如图2，延长AC 到点E ，使得AE=AB ，易证ADE ∆≌ADB ∆，从而得AE AB =，E B ∠=∠又因为B ACB ∠=∠2所以得E ACB ∠=∠2，又因为E CDE ACB ∠+∠=∠所以得E CDE ∠=∠可得CE CD =从而得CD AC AB +=练习1：如图所示，已知BC AD //，AE 平分DAB ∠，BE 平分ABC ∠，线段CD 经过点E 交AD 于点D ，交BC 于点C ，求证：AB BC AD =+图1图2练习2：如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点，若AC 平分BAE ∠，︒=∠90ACE ，猜想线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系，并证明。