过圆锥曲线准线上一点的切割线性质

33

PA IBFX

图方程组得 p =2,

PB I ~FB\3 Q所以 I BF I 二寺故 I 4B I =3 \ BF\ = y

心•皆\ cAAf I BB' I =2019年第6期中学数学研究

过圆锥曲线准线上一点的切割线性质

江西省赣州市第一中学(341000) 宁荣富足石=3 FB,Saoab =^-\ AB \,则 I M I 的值为

再由性质（2）知丨BF\：p = 1 :芒y = 1 :y,

到直线的距离"占普p.所以Saw =

-----Yi (c£ (a a/c212 + b4 - ct2) ,62 ( ct2 - a b + c £。佰F7)) = a^ + b\；Ct\ct, -62),可 a b + c t得7\、F、T2三点共线.连结PF交椭圆C于点D、E,过A、B分别作准线 I的垂线AA\BB',垂足为A\B'.因为帀== （j,得币2 .齐=

I pA 在APAF和APBF中，由正弦定理得I r A解：因为壶=3帀，所以手=2FB.根据性质（1）得％ =扌各=苫 =2匹.所以直线方

程为y二2^/2 （久-中），即2辽% ~ y ~近P二0.点。^-\ AB \ -d=咚\ API.又因为£。汕

笔者在研究过圆锥曲线准线上一点的切割线 时,发现它们具有一个统一性质，现将结论展示如

2 2命题1已知P是椭圆C：筈+告= l（a>6>a b0）准线Z上一点，Z对应的焦点为F,过点P作椭圆C 的两条切线和一条割线，切点为笃、笃，交点分别为 A、B,则有（1）PF丄7\笃；（2）爲丁2平分厶AFB.证明：如图I,设P（W，t），切点为&o,y。），则由

ac(aM +方 J+ 決)FcL - 曲』8十 + 胪 a2 b2 + c212 9 a2 b2 + c2i2 .币2 = % 2俨~b2),FT2 =a b + c t2a Jc¥ + 沪 a2 b2 + c2i2又因为場

由②、③、④得sin A PF A = sin A PFB,而 A PF A < 乙 PFB,故 A PF A = it -乙 PFB,也即 A PF A =乙EFB,「・乙片FA =乙7\FB,命题1成立.类比上述方法可证明双曲线的情形，即有下列 命题成立.命题2 如图2,已知P（土乞,t） （t H 土⑪）是c c(a2b2 + c2t2)y2 - 2b2c2ty - b6 =0①.Ay = 4a2b4(c2t2 + 64) >_ To t •巧 + 7?二 1, a 6 得「 %丄妙。［ / Y匚+沪=i

0,解方程①得y。沪氏 ± ab1 \/c212 + 64 弟 y a2b2 + c2t2 佰以ac(al)2 - t J Jr + 沪)a b2' + c212a b2' + c212I AFI I FA

sin乙PF4

舍• 34 •中学数学研究2019年第6期

双曲线C ：筈-占=1 (a > 0, " ¥a o rb >0)准线Z上一点，/对应的 •愀:f () ri- :焦点为F,过点P作双曲线C 的两条切线和一条割线，切点 为.笃,交点分别为则 有(1)PF 丄 丁］丁2；(2)7\丁2 平分 AAFB.命题3已知P是抛物线C：y2 =2px(p >0)准 线Z上一点，抛物线焦的点为F,过点P作抛物线C 的两条切线和一条割线，切点为笃、笃，交点分别为 则有(1)PF丄7\笃；(2)爲丁2平分厶AFB.证明：如图3,设P(-

号丿)，切点为(x0,y0),则由 rJo = 2Pxo,方程组 卩得[ty0 = p(%o _ 2)Jo - 2fy0 -p = o,解之得=t + y? + p2，所以爲(冷(t图3+ JF + ”2 ) + 斗,t + J? + p2 ) ,丁2 ( _

壮 + p2 ) + 彳,t - Vi2 + P ) , TxT2 =-

2 +p(t,p), ft2 = (—(t - V? +p ) ,t -

壮 + p2 ) = t _ 書 +b(t,p),即 T]、F、T2 三点

共线•又因为齐=(~P,t),^T\T2 - FP = _2冷 +p2(t,p).(_p,t)= 0,.-. PF 丄輕.pv . I PA I _ I 曲丨 _ I ATI I PA 丨 _ 乂凶为I PEI = I BBf I 二 \ BF\^ \ FA \ = 埸+⑤，在APAF和APBF中，由正弦定理_ sinZPFAz^ I PB I _ sin 乙 PFB⑦=sin^APF^,l FBI = sin乙APF°由⑤、⑥、⑦及乙PFA ＜乙PFB,得LPFA = 77 -厶 PFB,：・ A PF A =厶 EFB，即 AT.FA =厶 T、FB, 命题3成立.

一道解析几何难题的巧解与推广

湖北省宜都市一中

我校2019届高三年级参加的十一月调研考试 中解析几何试题是一道难度极高的试题，许多同学 由于方法不准或计算失误,导致第2问不能得分.现 给出一个较好解法,并对结论给出推广.题目 已知倾斜角为子的直线经过抛物线：T：y2 = 2p%(p >0)的焦点F,与抛物线「相交于A,B 两个点，且i abi = &(1)求抛物线r的方程； (2)过点P(12,8)的两条直线£仏分别交抛物线:T 于点C,D和E,F.线段CD和EF的中点分别为M, N.如果直线1,,12的倾斜角互余，求证：直线MN经 过一定点.证明：(1)易得抛物线r的方程为y = 4如下面将题2结论推广为：过点P(m,n)的两条直线£,仏分别交抛物线(443300) 艾昆仑

r：y2 = 2px(p >0)于点 C,D 和 E,F.线段 CD 和 EF 的中点分别为m,n.如果直线£仏的倾斜角互余， 求证：直线MN经过一定点.2 2 2证明：设C(器,匕),D(器』2)(夯,为),

F(欝,九)，则CD中点M(竺萨，週卑卫F中点

N(笔总,答乞)，直线CD方程为71y2 + 2px =

(h+y,)y,直线CD的斜率局=二^.因直线CD一 Ti + y2过定点P(m,n)，则兀力+2pm = (y2 +y2)n.同理直 线EF方程为y3y4 + 2pv = (y3 + y4)y,直线EF的斜 率他因直线EF过定点P(m,n),则九九 y3 +九+ 2pm = (y3 + y J

n.