高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)(1)
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- 1 - 绝密★启用前 试卷类型：B
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含解析）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 若集合1,1，2,1,0，则（ ）
A．0,1 B．0 C．1 D．1,1
【答案】C
【解析】
试题分析：1，故选C．
考点：集合的交集运算．
2. 已知i是虚数单位，则复数21i（ ）
A．2 B．2 C．2i D．2i
【答案】D
考点：复数的乘法运算．
3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A．2sinyxx B．2cosyxx C．122xxy
D．sin2yxx
【答案】A
【解析】
试题分析：函数2sinfxxx的定义域为R，关于原点对称，因为11sin1f，1sin1fx，所以函数2sinfxxx既不是奇函数，也不是偶函数；函数2cosfxxx的定义域为R，关于原点对称，因为22coscosfxxxxxfx，所以函数2cosfxxx是偶函数；函数122xxfx的定义域为R，关于原点对称，因为
- 2 - 112222xxxxfxfx，所以函数122xxfx是偶函数；函数sin2fxxx的定义域为R，关于原点对称，因为sin2sin2fxxxxxfx，所以函数sin2fxxx是奇函数．故选A．
考点：函数的奇偶性．
4. 若变量x，y满足约束条件2204xyxyx，则23zxy的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．2
【答案】C
考点：线性规划．
5. 设C的内角，，C的对边分别为a，b，c．若2a，23c，3cos2，
- 3 - 且bc，则b（ ）
A．3 B．2 C．22 D．3
【答案】B
【解析】
试题分析：由余弦定理得：2222cosabcbc，所以22232232232bb，即2680bb，解得：2b或4b，因为bc，所以2b，故选B．
考点：余弦定理．
6. 若直线1l和2l是异面直线，1l在平面内，2l在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．l至少与1l，2l中的一条相交 B．l与1l，2l都相交
C．l至多与1l，2l中的一条相交 D．l与1l，2l都不相交
【答案】A
考点：空间点、线、面的位置关系．
7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是,ab，,ac，,ad，,ae，,bc，,bd，,be，,cd，,ce，,de，恰有一件次品，有6种，分别是,ac，,ad，,ae，,bc，,bd，,be，设事件“恰有一件次品”，则60.610，故选B．
- 4 - 考点：古典概型．
8.已知椭圆222125xym（0m）的左焦点为1F4,0，则m（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得：222549m，因为0m，所以3m，故选C．
考点：椭圆的简单几何性质．
9. 在平面直角坐标系xy中，已知四边形CD是平行四边形，1,2，D2,1，则DC（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
试题分析：因为四边形CD是平行四边形，所以CD1,22,13,1，所以DC23115，故选D．
考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．
10. 若集合,,,04,04,04,,,pqrspsqsrspqrs且，
F,,,04,04,,,tuvwtuvwtuvw且，用card表示集合中的元素个数，则
cardcardF（ ）
A．50 B．100 C．150
D．200
【答案】D
- 5 -
考点：推理与证明．
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11~13题）
11. 不等式2340xx的解集为 ．（用区间表示）
【答案】4,1
【解析】
试题分析：由2340xx得：41x，所以不等式2340xx的解集为4,1，所以答案应填：4,1．
考点：一元二次不等式．
12. 已知样本数据1x，2x，，nx的均值5x，则样本数据121x，221x，，21nx的均值为 ．
【答案】11
考点：均值的性质．
13. 若三个正数a，b，c成等比数列，其中526a，526c，则b ．
【答案】1
【解析】
- 6 - 试题分析：因为三个正数a，b，c成等比数列，所以25265261bac，因为0b，所以1b，所以答案应填：1．
考点：等比中项．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）
14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C的极坐标方程为cossin2，曲线2C的参数方程为222xtyt（t为参数），则1C与2C交点的直角坐标为 ．
【答案】2,4
【解析】
试题分析：曲线1C的直角坐标方程为2xy，曲线2C的普通方程为28yx，由228xyyx得：24xy，所以1C与2C交点的直角坐标为2,4，所以答案应填：2,4．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
15. （几何证明选讲选做题）如图1，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为C，过作直线C的垂线，垂足为D．若4，C23，则D ．
【答案】3
- 7 - 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
16、（本小题满分12分）已知tan2．
1求tan4的值；
2求2sin2sinsincoscos21的值．
【答案】（1）3；（2）1．
考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.
17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图2．
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1求直方图中x的值；
2求月平均用电量的众数和中位数；
3在月平均用电量为220,240，240,260，260,280，280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220,240的用户中应抽取多少户？
【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．
【解析】
试题解析：（1）由0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x得：0.0075x，所以直方图中x的值是0.0075
考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.
18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC所在的平面与长方形CD所在的平面垂直，
- 9 - DC4，6，C3．
1证明：C//平面D；
2证明：CD；
3求点C到平面D的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．
【解析】
试题解析：（1）因为四边形CD是长方形，所以C//D，因为C平面D，D平面D，所以C//平面D
（2）因为四边形CD是长方形，所以CCD，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，C平面CD，所以C平面DC，因为D平面DC，所以CD
（3）取CD的中点，连结和，因为DC，所以CD，在RtD中，22DD
22437，因为平面DC平面CD，平面DC平面CDCD，平面DC，所以平面CD，由（2）知：C平面DC，由（1）知：C//D，所以D平面DC，因为D平面DC，所以DD，设点C到平面D的距离为h，因为CDCDVV三棱锥三棱锥，所以DCD1133ShS，即
