第一章_三角形证明

第一章 三角形的证明

1、 等腰三角形

一、主要知识点

1、 进一步巩固全等的判定和性质。

2、 等腰三角形的性质：（1）底角相等；（2）三线合一；拓展（学生可以自己证明）（3）两底角的平分线相等；（4）两腰上的中线相等；（5）两腰上的高相等；„„

3、 等边三角形的性质（1）边 ；（2）角 ；（3）对称性；对称轴。

4、 等腰三角形的判定：(1)定义；（2）等角对等边；

等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形；（2）有一个角等于60°的等腰三角形；

5、

6、 反证法证明命题的一般步骤：（1）假设；（2）推理，得出与已知、定理、基本事实或定理相矛盾的结论；（3）否定假设；（4）肯定原命题。

7、 含30°的直角三角形，30°所对的直角边等于斜边的一半。

二、基本知识技能巩固与应用

1、 如图1.1，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：BC=DE

2、 如图1.2，AB=AC，点D、E在BC上，且AD=AE，求证：∠BAD=∠CAE.

3、 如图1.3，D、E分别是等边△ABC的边AB、BC上的点，且AD=BE，求证：△AEC≌△CDB

4、 如图1,5，△ABC中，AB=AC，E是CA延长线上的点，EG⊥BC于G，交AB于F，求证：△AEF是等腰三角形。

5、 求证，一个三角形中至少有一个内角不小于60°。

6、 如图1.6，△ABC中，D是AB上的点， AD=DB=CD，∠B=30°。

求证：（1）△ACD是等边三角形。；（2）∠ACB=90°（没有∠B=30°的条件，∠ACB=90°的结论是否成立？）

7、 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，

那么这条直角边所对的角等于30°。

8、 如图1.7，在△ABC中，∠A: ∠Ｂ: ∠ACB=1: 2: 3，求证：AB=4BD

9、 如图1.8，已知等边△ABC，BD ⊥AC于D，延长BC到E，使CE=CD=1，连接DE,求：DE长

A

B C D

E 1.1图 1 2

A

B C D E 1.2图

三、深度拓展

1、如图1，△ABC中，AB=AC, D在BC上，且BD=AD，DC=爱吃，则：∠Ｂ= 度

2、如图2，△ABC中，BC=8，BP,CP分别是∠ABP，∠ACP的平分线，PD∥AB，PE∥AC.则△PDE的周长等于 。

3、如图3，宾馆楼梯AB铺设地毯，其中AB=4米，∠A=30°，∠C=90°，若楼梯AB的宽为1.5米，每平方米地毯价格5元，求铺设AB段地毯至少需要 元钱。

4、如图4，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CE⊥BD交BD延长线于E，∠1=∠2。

求证：BD=2CE

5、如图5，渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，小岛周围4.8海里范围是水产养殖场，渔船沿北偏东30°航行10海里到达B处，在B处测得小岛C在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东方向航行，问：这艘渔船是否有进入水产养殖场的危险？

6、如图6，E是BC的中点，A在DE上，∠BAE=∠CDE.求证：AB=CD

7、（1）如图7.1，在△ABC中，∠ＢAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，CE⊥m于E，BD⊥m于D。证明：DE=BD+CE.

(2)如图7.2，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB=AC,D,A,E在直线m上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,请问：DE=BD+CE.是否成立？说明理由。

（3）拓展与应用；如图7.3，D,E是直线DAE上的两个动点，（D,A,E三点互不重合），点F在∠BAC的平分线上，，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD,CE；若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由。

8、 如图8，Rt△ABC中，AB=BC, ∠ABC=90°，BO⊥AC于O，点P,D分别在AO,BC上，PB=PD,,DE⊥AC于点E。求证：△BPO≌△PDE。

9、 如图9，在钢架上焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=„„P13P14=P14A;求∠A等于多少度。

10、 如图10，在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2.求证：

AB=AC+CD

第一章 三角形证明 （2）直角三角形

一、基本知识点

1、直角三角形性质：（1）两锐角互余；（2）勾股定理；（3）含30°的直角三角形性质；（4）斜边上中线性质

2、直角三角形判断：（1）根据角判定；(2）根据边判定；（3）根据中线与边。

3、勾股数：三个、正整数、两边平方和等于另一边的平方。

4、命题、 逆命题；定理、逆定理；命题种类；命题的一般形式；

5、“HL”定理；直角三角形判定。

二、基本练习

1、△ABC中，∠A=∠B－∠C,那么△ABC的形状为 。

2、△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，那么△ABC的形状为 。

3、△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，那么△ABC的形状为 。

4、直角三角形ABC中,有两边分别为6cm,8cm。那么另外一边等于 。

5、△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB=4,则AC= ，BC= 。

6、下列命题写成逆命题后，两者是互为逆定理的是（ ）

A、全等三角形对应角相等；B、两直线平行内错角相等；

C、对顶角相等； D、若a=b，则 。

三、提高拓展训练

7、园艺公司对一个直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为6m和8m，现在要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为边的直角三角形，求扩建后的等腰三角形花圃的周长。

8、如图1.2.1，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC的上的一点，且90.41EFABCEC求证：

9、如图1.2.2，AD为△ABC的边BC上的高，E为AC上点，BE交AD于点F，且BF=AC,FD=CD.求证：BEAC。

10、如图1.2.3，南北方向MN为我国的领海线，MN以西式我国的领海，以东为公海。某日上午9点50分，我国反走私艇A发现正东有一走私船C以13海里的速度偷偷的向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的反走私艇B密切注意，反走私艇A和走私船C的距离为13海里，A、B两艇的距离为5海里，反走私艇B测得距离C12海里，若走私船C的速度不变，最早会在什么时间进入我领海？

11、如图1.2.4，折叠矩形ABCD，使点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10。求：EC长。

12、如图1.2.5圆形玻璃容器高19cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆形容器的上底1.5cm的B点处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，求：蜘蛛到达苍蝇的最短距离。 baA D F 1.2.2图 A

B C D E

C

B

A E M

N 北

1.2.3图 东

A

B C D

E

F 1.2.4图

A B

13、△ABC中，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，求线段CD的长度。

14、如图1.2.6，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3.点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），过D作DE垂直BC交AB点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的F处，当△AEF为直角三角形时，求BD的长。

15、如图1.2.7，在Rt△ABC中，AB=CB,∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD,连接AE,DE,DC.

（1）求证：△ABE≌△CBD

（2）若∠ACE=30°，求∠BDC的度数。

16、如图1.2.8，矩形CDEF表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、B、C、D四点在同一直线上）求楼高CF。

17、试判断以n2 - 1,2n,n2 + 1（n>1）为边长的三角形是否为直角三角形。

18、如图1.2.9，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC，AC上任意一点，证明：

AD2+BE2=AB2+DE2

19、如图1.2.10已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线的点D重合，求DE长。

20、如图1.2.11，△ABC中，∠ABC=45°,ABCD于D，BE平分∠ABC，且ACBE于E，与CD交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于G。

求证：(1)AC=BF

(2)BFCE21 B A

C F

E

D

1.2.6图

A

B C

D E

1.2.7图

E F 1.2.9图 C

A B D E

A

B

D C

1.2.10图

A

B C E D

H G F

1.2.11图 ，，451,22ABCBCAB