线面垂直习题精选

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.专业知识编辑整理. 线面垂直的证明中的找线技巧

 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图1，在正方体1111ABCDABCD中，M为1CC 的中点，AC交BD于点O，求证：1AO平面MBD．

证明：连结MO，1AM，∵DB⊥1AA，DB⊥AC，1AAACA，

∴DB⊥平面11AACC，而1AO平面11AACC ∴DB⊥1AO．

设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa．

在Rt△11ACM中，22194AMa．∵22211AOMOAM，∴1AOOM． ∵OM∩DB=O，∴ 1AO⊥平面MBD．

评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

 利用面面垂直寻求线面垂直

2 如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．

证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．

因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，

AD平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵BC平面PBC，∴AD⊥BC．

∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC．

∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

（另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）．

评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明．

3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，，于EFG，，．求证：AESB，AGSD．

证明：∵SA平面ABCD，

∴SABC．∵ABBC，∴BC平面SAB．又∵AE平面SAB，∴BCAE．∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．∴AESB．同理可证AGSD．

评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．

∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴CDAB．

又CDBE，BEABB，

∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，

∴ AH平面BCD．

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.专业知识编辑整理. 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论．

5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．

证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴ACBC．

∵PA平面ABC，BC平面ABC，

∴PABC．∴BC平面APC．

∵BC平面PBC，

∴平面APC⊥平面PBC．

∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，

∴AE⊥平面PBC．

∵AE平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系．

6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

A

D

B O

C

证明：过A作AO⊥平面BCD于O

ABCDCDBO， 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 于是BDCOBDAC

7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1

A1 B1

D C

A B

证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

BDACACBCACBCD11111同理可证平面

8. 如图，PA平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MNAB

P

N

D C

A B M

. 证：取PD中点E，则ENDC//12 .WORD完美格式.

.专业知识编辑整理. P

E N

D C

A B M

ENAM//

AEMN//

又平面平面平面CDADPAACCDPADAEPAD CDAECDABAEMNMNAB////

9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：

弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：

∵FG∥BC，AD⊥BC

∴A'E⊥FG

∴A'E⊥BC

设A'E=a，则ED=2a

由余弦定理得：

A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°

=3a2

∴ED2=A'D2+A'E2

∴A'D⊥A'E

∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA平面ABC, ABC = 90, ANSB于N, AMSC于M。求证: ①ANBC; ②SC平面ANM

分析:

①要证ANBC, 转证, BC平面SAB。

②要证SC平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SCAM, SCAN。要证SCAN, 转证AN平面SBC, 就可以了。

证明:

①∵SA平面ABC

∴SABC

又∵BCAB, 且ABSA = A

∴BC平面SAB

∵AN平面SAB

∴ANBC

②∵ANBC, ANSB, 且SBBC = B

∴AN平面SBC

∵SCC平面SBC

∴ANSC

又∵AMSC, 且AMAN = A

∴SC平面ANM 11已知如图，P平面ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面PBC

分析：要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC中点D，证明AD垂直平PBC即可

证明：取BC中点D 连结AD、PD ∵PA=PB；∠APB=60° ∴ΔPAB为正三角形

同理ΔPAC为正三角形 设PA=a 在RTΔBPC中，PB=PC=a

BC=2a ∴PD=22a 在ΔABC中 AD=22BDAB

ABCDFEGA'

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.专业知识编辑整理. =22a∵AD2+PD2=222222aa =a2=AP2∴ΔAPD为直角三角形即AD⊥DP又∵AD⊥BC

∴AD⊥平面PBC

∴平面ABC⊥平面PBC

13 以AB为直径的圆在平面内，PA于A，C在圆上，连PB、PC过A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，试判断图中还有几组线面垂直。

ABCPEF

解：

PCAFBCAFPACAFPACBCBCACABBCPABCPA面面为直径PBPBAEPBAFPBCAF面面AEF

［例1］ 如图9—39，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

【证明】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，

则AO⊥BC，SO⊥BC，

∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=22a，

AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．

【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法．

［例2］如图9—40，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．

图9—40

（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小．

（1）【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

（2）【解】∵SA⊥平面ABC，∴平面SAB⊥平面ABC，又平面SAB⊥平面SBC，∴∠SBA为二面角S—BC—A的平面角，