不等式证明1

高一数学必修一第二章第二课基本不等式

摘要：

一、基本不等式的概念与性质

1.基本不等式的定义

2.基本不等式的性质

二、基本不等式的证明方法

1.作差法

2.替换法

3.柯西-施瓦茨不等式

三、基本不等式的应用

1.求最值问题

2.证明其他不等式

四、练习与解答

1.例题解析

2.巩固练习

正文：

一、基本不等式的概念与性质

在高中数学必修一第二章第二课中，我们学习了一个非常基础且重要的不等式——基本不等式。基本不等式是指对于任意的实数a和b，都有a^2 +

b^2 >= 2ab。这个不等式在很多数学问题中都有广泛的应用，因此我们需要熟练掌握它的性质和证明方法。 二、基本不等式的证明方法

1.作差法

作差法是证明基本不等式最常用的方法。具体操作如下：

我们将a^2 + b^2 - 2ab分解因式，得到(a - b)^2。因为一个数的平方一定大于等于0，所以(a - b)^2 >= 0，即a^2 + b^2 >= 2ab。

2.替换法

替换法是将基本不等式中的a和b替换成其他表达式，从而简化证明过程。常用的替换方法有柯西-施瓦茨替换和排序替换。

3.柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是基本不等式的一个推广，它是指对于任意的实数a1,

a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，都有(a1^2 + a2^2 + ...+ an^2)(b1^2 + b2^2

+ ...+ bn^2) >= (a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)^2。这个不等式在求解某些问题时，可以提供更强的工具。

三、基本不等式的应用

1.求最值问题

基本不等式可以用来求解一些最值问题，如求函数的最值、求解不等式的最值等。

2.证明其他不等式

基本不等式是许多其他不等式的基础，如柯西不等式、排序不等式等。通过基本不等式，我们可以证明这些不等式，从而进一步解决实际问题。

四、练习与解答

1.例题解析 我们来看一道例题：已知a + b = 2，求a^2 + b^2的最小值。

4、基本不等式的证明（1）

目标：探索并了解基本不等式(,0)2ababab的证明过程，并能应用基本不等式证明其他不等式。

过程：

一、问题情境

把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为b。那么如何合理的表示物体的质量呢？

把两次称得的物体的质量“平均”一下，以2abA表示物体的质量。这样的做法合理吗？

设天平的两臂长分别为12,ll，物体实际质量为M，据力学原理有1221,lMlalMlb，有2,MabMab，即物体的实际质量是ab

,0ab时，2ab叫,ab的算术平均数，ab叫,ab的几何平均数

2ab和ab之间具有怎样的大小关系？

二、建构

一般，判断两数的大小可采用“比较法”：

2()022ababab

2abab（当且仅当ab时取等号）

说明：当0a或0b时，以上不等式仍成立。

从而有 2abab(0,0)ab（称之“基本不等式”）当且仅当ab时取等号。

基本不等式2abab的几何解释：

如图,,2abOCCDOCCDab

三、运用

例1 设,ab为正数，证明：1(1)2(2)2baaaba

注意：基本不等式的变形应用 22,2abababab ABCOD例2 证明：

22(1)2abab 此不等式以后可直接使用

1(2)1(1)1xxx

4(3)4(0)aaa

222(4)21aa

225(5)24aa

例3 已知,0,1abab，求证：12322ab

四、小结

五、作业 反馈32 书P91 习题1，2，3

四甲中学高一数学一体化讲义 编制：史玉蕾 审核：潘玮 复核：李淑 总编号：45

3.4.1基本不等式(1)

一、学习目标

1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式证明一些简单的不等式；

2.通过小组活动培养学生观察、联想的能力，并能体会出证明不等式的基本思想方法.

二、教学重点、难点：基本不等式的证明.

三、课前自学

问题1： 把一物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使之平衡，称得物体质量为a；后来发现天平制造的不精确，左右两臂长不相等（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。后来有人想到做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时，称得物体质量为b，请思考：那么如何合理地表示物体的质量呢？

简单的做法是，把两次称得物体的质量 “平均”一下,以2baA表示物体的质量.这样做合理吗？

问题2： 思考如何证明基本不等式 2baab.

问题3： 你能否根据下图给出基本不等式的几何解释？

四、问题探究

例1 设a ,b为正数，证明下列不等式成立：

（1）求证：2baab； （2）求证：21aa.

四甲中学高一数学一体化讲义 编制：史玉蕾 审核：潘玮 复核：李淑 总编号：45

变式： (1)已知 m>0，求证：24624mm；

(2)求证：)3(734aaa.

例2.(1)求证：2)2(222babaab.

(2) 若Rba,，求证:cabcabcba222

(3)已知：cba,,均为正数，求证：cbacabbacabc

五、反馈小结

1已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

四甲中学高一数学一体化讲义 编制：史玉蕾 审核：潘玮 复核：李淑 总编号：45

2课本99练习 1,2,3,6.7

课后作业：

1

高中数学必修二公式汇总与整理

一、不等式的性质

1．两个实数a与b之间的大小关系

2．不等式的性质

3．绝对值不等式的性质

(1)如果a＞0，那么

(2)|a?b|＝|a|?|b|．

(3)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|．

(4)|a1＋a2＋……＋an|≤|a1|＋|a2|＋……＋|an|．

二、不等式的证明

1．不等式证明的依据

(2)不等式的性质(略)

(3)重要不等式：①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)

②a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)

2．不等式的证明方法

(1)比较法：要证明a＞b(a＜b)，只要证明a－b＞0(a－b＜0)，这种证明不等

式的方法叫做比较法．

用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．

(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出

所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．

(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到

所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫

做分析法．

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．

三、解不等式

1．解不等式问题的分类

(1)解一元一次不等式．

(2)解一元二次不等式．

(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式； 2

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．

(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

(3)注意代数式中未知数的取值范围．

3．不等式的同解性

(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)

(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0