人教A版选修1-1教案：3.1空间向量及其运算第4课时(含答案)

第 三 章 间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算知识点一 空间向量概念的应用给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有AC=11C A ; ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同； 与A 1C 1→与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→；④真命题．向量的相等满足递推规律；⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.答案 C知识点二 空间向量的运算化简：（ -）- ( -)解 方法一 （ -）-(-)=--+ =+++=（+）+（+）=+=0。

方法二 （-）-(-)=--+=（-）+（-）=+=0。

在四面体ABCD 中，M 为BC 的中点，Q 为△BCD 的重心，设AB=b AC=c AD=d ，试用b ，c ，d 表示向量BD ，、，BM ，DM 和。

解 如图所示=+=d -b, =+=c -b, =+=d -c,DM =21(DB +DC )=21(b -d+c -d)= 21(b+c -2d), AQ =AD +DQ =d+32DM ,=d+31( b+c -2d)=31(b+c+d).知识点三 证明共线问题已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点，且CF =32CB ,CG =32CD .求证：四边形EFGH 是梯形. 证明 ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点所以 AE =21AB ,AH =21AD , EH =AH -AE =21AD -21AB =21(AD -AB )=21BD=21（CD -CB ）=21{32CG -32CF } =43（CG CF ）=43FG ,∴四边形EFGH 是梯形. 知识点四 证明共面问题正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1和A 1D 1的中点. 证明：向量B A 1，C B 1，EF 是共面向量.证明 方法一 如图所示.EF =EB +1BA +F A 1=21B B 1 -B A 1+2111D A - =21（B 1 -A 1）。

§3.1.2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】：用向量解决立几问题OP OA x AB y AC=++推论：已知空间任意一点O和不共线的三点分别是空间四边形ABCD的边AB、的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、练习与测试：（基础题）1． 已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++； AD（2）1()2AB BD BC ++； AG （3）1()2AG AB AC -+．MG（中等题）2、在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 3．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则（ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ． -+-BCDMGA。

§3.1.3空间向量的数量积运算【学情分析】：本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念【教学目标】：（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。

【教学重点】：空间向量的数量积运算【教学难点】：空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用练习与测试：（基础题）1．已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。

求证OG⊥BC分析：要证OG⊥BC，只需证明0⋅=。

OG BC把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：11111()()()22224OG OM ON OA OB OC OA OB OC ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦B C O C OB =- （中等题）２． 已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60º （1）证明CC 1⊥BD（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？并证明 分析：取1,,CD CB CC 为运算的基向量，则BD CD CB =-。

注意向量间的方向对夹角的影响略证（2）设1(0)CDCC λλ=>，菱形边长为a ，则1CD CC λ= 221111232()()0AC C D CD CB CC CD CC a λλλ--⋅=-++⋅-=-=，解得1λ=当1λ=时，11()()0AC BD CD CB CC CD CB ⋅=-++⋅-=。

§3.2.3座標法中解方程組求向量的有關問題【學情分析】：教學對象是高二的學生，學生已經具備空間向量與立方體幾何的相關知識,前面已經學習了直線的方向向量和平面的法向量，並且對坐標法也有一定的認識，本節課是進一步通過座標法來解決立體幾何的一些問題。

我們可以將這些問題，轉化為空間向量的代數運算和方程組來解決。

【教學目標】：（1）知識與技能：能根據圖形的特點建立合適的空間坐標系並用座標表示點和向量；對某個向量能用解方程組的方法求其座標.（2）過程與方法：在解決問題中，通過數形結合與問題轉化的思想方法，加深對相關內容的理解。

（3）情感態度與價值觀：體會把立方體幾何幾何轉化為向量問題優勢，培養探索精神。

【教學重點】：解方程組求向量的的座標.【教學難點】：解方程組求向量的的座標..1，0）、D （0，0.511(0,2n AD ==的法向量2(,,),SCD n x y z =的法向量22,,n CD n SD ⊥⊥由得：0202y x y z -=-=22y x y z ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩2(1,2,1)n =任取1212126cos ,3||||n n n n n n <>==63即所求二面角得余弦值是？时，才能提起这块钢板动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运这块钢板在这些，且角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三，在它的顶点处分别受角形面的钢板的如图，一块均匀的正三.200500321kg F F F kg ===探究：不建立坐標系，如何解決這個問題？ ――求每個力向上的分力。

開拓學生思維。

三、訓練與提高 1，課本P113第11題。

答案：3/8.學生進行提高訓練應用. 四、小結1． 根據圖形特點建立合適的空間直角坐標系，用座標表示點和向量，通過向量解決問題。

2． 個別點和向量的座標先假設，再列方程組來求出。

反思歸納五、作業 課本P112 ，第 6 題 和P113第10題。

§3.1.1空間向量及加減其運算【學情分析】：向量是一種重要的數學工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應用，而且在物理學、工程科學等方面也有著廣泛的應用。

在人教A版必修四中，讀者已經認知了平面向量，現在，學習空間向量時要注意與平面向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用。

【教學目標】：（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法（2）過程與方法：通過高一學習的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法（3）情感態度與價值觀：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習，運用向量的概念和運算解決問題，培養學生的開拓創新能力。

【教學重點】：空間向量的概念和加減運算【教學難點】：空間向量的應用babD BAOC（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四邊形法則，同樣對於空間任意兩個向量b a ,都看作同一平面內的向量，它們的加法、減法當然都可以按照平面上的向量的加法和減法來進行，不需要補充任何新的知識，具體做法如下：如圖，可以從空間任意一點O 出發作b OB a OA ==,，並且從A 出發作b AC =，則BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空間三個以上的非零向量能否平移至一個明面上？ 探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？ （3） 思考《選2-1》課本P85探究題歸納：向量加（減）法滿足交換律和結合律。

空間三個或更多的向量相加，不能同時將這些向量都用同一個平面上的有限線段來表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來表示，得到它們的和。

比如：三個向量的和ADCD BC AB =++,一般地,空間中多個依次用首尾相接的有向線段相加的結果等於起點和終點相連的有向線段。

我們常常把向量的這種性質ADCD BC AB =++簡稱為“封口向量”。

四．練習鞏固1．課本P86練習1-32．如圖，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中點，化簡下列各式，並在圖中標出化簡得到的向量： （1）1BA CB +;鞏固知識，注意區別加減法的不同處.（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．小結1．空間向量的概念：2．空間向量的加減運算反思歸納六．作業 課本P97習題3.1，A 組 第1題（1）、（2）練習與測試：（基礎題）1．舉出一些實例，表示三個不在同一平面的向量。

§3.2.3坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。

我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。

【教学目标】：（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。

（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。

【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.【教学难点】：解方程组求向量的的坐标..【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．单位向量，平面的法向量（1）单位向量－－模为1的向量。

（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。

2．坐标法。

为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形问题）二、例题例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.D1C1D'B1A1CDA B分析：（1）建立空间坐标系；（2）用坐标表示向量（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。

3．1 空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算内容标准学科素养1.理解空间向量的概念．2.掌握空间向量的加法、减法运算.利用直观抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第51页[基础认识]知识点一空间向量的概念预习教材P84－85，思考并完成以下问题如图，一块均匀的正三角形的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|＝200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？图中的三个力F1，F2，F3是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量．因此，解决这个问题需要空间向量的知识．事实上，不同在一个平面内的向量随处可见．例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA→，OB→，OC→就是不同在一个平面内的向量(如图)．知识梳理(1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记为AB→，其模记为|a|或|AB→|.(3)特殊向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量预习教材P 85－86，思考并完成以下问题 平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？提示：加法有三角形法则和平行四边形法则，减法有三角形法则．空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内，成为同一平面内的两个向量． 已知空间向量a ，b ，我们可以把它们移到同一个平面α内，以任意点O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b .那么a ＋b 和a －b 如图所示．知识梳理 (1)空间向量的加法、减法类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)空间向量加法的运算律空间向量的加法运算满足交换律及结合律： ①交换律：a ＋b ＝b ＋a ；②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．[自我检测]1．下列命题正确的是( )A ．若向量a 与b 的方向相反，则称向量a 与b 为相反向量B ．零向量没有方向C ．若a 是单位向量，则|a |＝1D ．若向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则不一定有m ＝p 答案：C2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于( ) A ．a ＋b －c B ．c －a －b C ．c ＋a －bD ．c ＋a ＋b答案：B授课提示：对应学生用书第52页探究一 空间向量及相关概念的理解[例1] 给出下列命题：①在同一条直线上的单位向量都相等；②只有零向量的模等于0；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD 1→与BC 1→是相等向量；④在空间四边形ABCD 中，AB →与CD →是相反向量；⑤在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量一共有4个．其中正确命题的序号为________．[解析] ①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量； ③正确，AD 1→与BC 1→的模相等，方向相同；④错误，空间四边形ABCD 中，AB →与CD →的模不一定相等，方向也不一定相反；⑤错误，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，与AA 1→的模一定相等的向量是A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，一共有5个．[答案] ②③方法技巧 解决空间向量相关概念的问题时，注意以下几点： (1)向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可； (2)单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；(3)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；(4)由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．跟踪探究 1.下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D ．若|a |>|b |，|b |>|c |，则a >c解析：对于A ，由|a |＝|b |可得a 与b 的长度相同，但方向不确定；对于B ，a 与b 是相反向量，则它们的模相等，故B 正确；对于C ，两向量相等，若它们的起点相同，则它们的终点一定相同，故C 错；对于D ，向量不能比较大小，故D 错．答案：B探究二 空间向量的加法与减法运算[教材P 86练习3]在图中，用AB →，AD →，AA ′→表示A ′C →，BD ′→及DB ′→.解析：A ′C →＝A ′A →＋AC →＝A ′A →＋AB →＋AD →＝AB →＋AD →－AA ′→； BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋BC →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→； DB ′→＝DB →＋BB ′→＝DA →＋DC →＋AA ′→＝－AD →＋AB →＋AA ′→. [例2] 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1→的是( )①A 1D 1→－A 1A →－AB →； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→； ③AD →－AB →－DD 1→； ④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[解析] ①A 1D 1→－A 1A →－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②BC →＋BB 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③AD →－AB →－DD 1→＝BD →－DD 1→＝BD →－BB 1→＝B 1D →≠BD 1→；④B 1D 1→－A 1A →＋DD 1→＝BD →＋AA 1→＋DD 1→＝BD 1→＋AA 1→≠BD 1→，故选A. [答案] A方法技巧 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 跟踪探究 2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是________(填序号)．①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.解析：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以所给四个式子的运算结果都是AC 1→.答案：①②③④授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]空间向量的加法、减法运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.[素养培优]1．对空间向量的有关概念理解不清致误 下列说法中，错误的个数为( )(1)若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同． (2)若向量AB →，CD →满足|AB →|＝|CD →|，AB →与CD →同向，则AB →>CD →.(3)若两个非零向量AB →，CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →，CD →互为相反向量． (4)AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1 B ．2 C ．3D ．4易错分析 向量相等，则向量的方向相同，模相等，但表示它们的有向线段的起点未必相同，终点也未必相同．故(1)(4)错误．反过来，方向相同，模相等的向量是相等向量，只能用“＝”连接，故(2)错误． 自我纠正 (1)错误，两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关．(2)错误，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．(3)正确，由AB →＋CD →＝0，得AB →＝－CD →，所以AB →，CD →互为相反向量．(4)错误，由AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合． 故一共有3个错误命题，正确答案为C. 答案：C2．对向量减法的三角形法则理解记忆不清致误在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，化简DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →.易错分析 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝AB →＋CB →＋B 1B →＝DC →＋DA →＋B 1B →＝DB →＋D 1D →＝D 1B →.自我纠正 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋A 1B 1→－A 1B →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD →＋DD 1→＝BD 1→.。

§3.1.3空间向量的数量积运算【学情分析】：本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念【教学目标】：（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。

【教学重点】：空间向量的数量积运算【教学难点】：空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用【教学过程设计】：练习与测试：（基础题）1． 已知空间四边形OABC 中，∠AOB=∠BOC=∠AOC ，且OA=OB=OC ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，G 是MN 的中点。

求证OG ⊥BC 分析：要证OG ⊥BC ，只需证明0OG BC ⋅=。

把OG 、BC 用基向量OA 、OB 、OC 表示略解：11111()()()22224OG OM ON OA OB OC OA OB OC ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦B C O C O B=- （中等题）２． 已知平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60º （1）证明CC 1⊥BD 明（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？并证分析：取1,,CD CB CC 为运算的基向量，则BD CD CB =-。

注意向量间的方向对夹角的影响 略证（2）设1(0)CDCC λλ=>，菱形边长为a ，则1CD CC λ=221111232()()0AC C D CD CB CC CD CC a λλλ--⋅=-++⋅-=-=，解得1λ=当1λ=时，11()()0AC BD CD CB CC CD CB ⋅=-++⋅-=。

§3.1.4空间向量的正交分解及坐标表示【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能力。

【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点】：空间向量的分解由此定理，2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++ ∴ 111633OG OA OB OC =++四．练习巩固1、如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM解：OC OB OA OD ++=/OC OB OA OM 313131++=课本P94练习1、2、3五．拓展与提高1．设A 、B 、C 、D 是空间任意四个点，令u ＝AD BC +，v ＝AB CD +，w ＝AC BD +，则u 、v 、w 三个向量A ．互不相等B ．至多有两个相等C ．至少有两个相等D ．有且只有两个相等2．若a 、b 、c 是空间的一个基底，下列各组 ①l a 、m b 、n c (lmn ≠0)； ②a +2b 、2b +3c 、3a －9c ； ③a +2b 、b +2c 、c +2a ； ④a +3b 、3b +2c 、－2a +4c 中，仍能构成空间基底的是充分认识基底的特征，即线性无关的三个向量就可以构成空间的一个基底。

1.1 空间向量及其运算本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节课主要学习空间向量及其运算。

平面向量是重要的数学概念，它是链接代数与几何的桥梁。

将平面向量拓展到空间，进一步提升了向量的应用。

本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。

2.教学难点：掌握空间向量的运算及其应用多媒体概念和表示开始。

二、探究新知知识点一 空间向量的概念思考1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB ―→，其模记为__________. 方向；大小；长度；模；长度；|a |或|AB ―→| (2)几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0单位向量______的向量叫单位向量相反向量与向量a 长度_____而方向_____的向量，称为a 的相反向量，记为－a相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且由回顾知识出发，提出问题，让学生感受到平面向量与空间向量的联系。

即空间向量是平面向量向空间的拓展，处理空间向量问题要转化为平面向量解决。

_____的有向线段表示同一向量或相等向量零向量；模为1；相等；相反；相同；相等；同向；等长 知识点二 空间向量的加减运算及运算律思考2. 下面给出了两个空间向量a 、b ，作出b ＋a ，b －a .答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB ―→＝b ，则OC ―→＝OA ―→＋OB ―→＝a ＋b ，AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a .(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.OB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝a ＋b CA ―→＝OA ―→－OC ―→＝a －bOB ―→＝OA ―→＋AB ―→＝OA ―→＋OC ―→＝a ＋b (2)空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a思考4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.答案 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.平行或重合；a ＝λb ；方向向量；OP →＝OA →＋t a ；AB →定义 平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p 与不共线向量a ，b 共面的充要条件是存在______的有序实数对(x ，y )使__________ 点P 位于平 面ABC 内 的充要条件存在有序实数对(x ，y )，使AP ―→＝___________对空间任一点O ，有OP ―→＝OA ―→＋__________惟一；p ＝x a ＋y b ；xAB ―→＋yAC ―→；xAB ―→＋yAC ―→做一做1.如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.(1)AA ―→′－CB ―→； (2)AA ′―→＋AB ―→＋B ′C ―→′.解（1） AA ′―→－CB ―→＝AA ′―→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→.（2） AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→.向量AD ′→、AC ′→如图所示.例1.已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．＝k ，＝k ，＝k ，＝k ．求证：四点E ，F ，G ，H 共面【分析】（1）可画出图形，根据便可得到，从而得出EF ∥AB ，同理HG ∥DC ，且有EF ＝HG ，这便可判断四边形EFGH 为平行四边形，从而得出四点E ，F ，G ，H 共面；解：（1）证明：如图， ∵；∴；EF ∥AB ，且EF ＝|k |AB ；同理HG ∥DC ，且HG ＝|k |DC ，AB ＝DC ； ∴EF ∥HG ，且EF ＝HG ； ∴四边形EFGH 为平行四边形； ∴四点E ，F ，G ，H 共面； 知识点五 空间向量数量积的概念思考 如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量OA ―→与BC ―→的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.解 ∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→， ∴OA ―→·BC ―→＝OA ―→·AC ―→－OA ―→·AB ―→＝|OA ―→||AC ―→|cos 〈OA ―→，AC ―→〉－|OA ―→||AB ―→|cos 〈OA ―→，AB ―→〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.a·a；a·b|a||b|；a·b＝0；|a|·|b|；－|a|·|b|；|a|2例2．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，（1）求AC′的长；（如图所示）（2）求与的夹角的余弦值．【分析】（1）可得＝＝，由数量积的运算可得，开方可得；（2）由（1）可知，又可求和，代入夹角公式可得．解：（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的长等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）•（）＝＝＝又＝＝＝＝5故与的夹角的余弦值＝＝例3．已知：m，n是平面α内的两条相交直线，直线l与α的交点为B，且l⊥m，l⊥n．求证：l⊥α解：设直线m的方向向量为，直线n的方向向量为，直线l的方向向量为，∵m，n是平面α内的两条相交直线∴与是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使＝λ+μ又∵l⊥m，l⊥n，∴＝0，＝0∴•＝＝λ+μ＝0∴∴直线l垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：l⊥α三、达标检测答案－8解析 BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝e 1－4e 2，AB ―→＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB ―→＝λBD ―→， ∴12＝－4k.∴k ＝－8. 6.已知a 、b 是异面直线，且a ⊥b ，e 1、e 2分别为取自直线a 、b 上的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为___.答案 6解析 由a ⊥b ，得a ·b ＝0，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0，∴2k －12＝0，∴k ＝6.7.BB 1⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱ABB 1A 1、▱BB 1C 1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线BA 1与AC 所成的角.解 如图所示.∵BA ―→1＝BA ―→＋BB ―→1，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，∴BA ―→1·AC ―→＝(BA ―→＋BB ―→1)·(AB ―→＋BC ―→)＝BA ―→·AB ―→＋BA ―→·BC ―→＋BB ―→1·AB ―→ ＋BB ―→1·BC ―→.教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理。

§3.1.5空间向量运算的坐标表示【学情分析】：平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。

现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。

【教学目标】：（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。

【教学重点】：空间向量的坐标运算【教学难点】：空间向量的坐标运算3)b ，则1(a b a b -=-1(,a a a λλλ=（2）若(A 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的2||||b a b a =⋅+．模长公式：若12(,,a a a a =212a a a a =⋅=++,b a b a λ⇔==⋅⇔⊥b a b a 2(AB ==21()(x x y =-+练习与测试：（基础题）1．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°2．已知(1,0,2),(6,21,2),a b λλμ=+=- //,a b λμ若则与的值分别为（ ）A ．21,51 B ．5，2 C ．21,51-- D ．-5，-2（中等题）3.已知)3,1,3(A ，(1,0,5)B ，求： （1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件 解：（1）设M 是线段AB 的中点，则)23,3,2()(21=+=． ∴AB 的中点坐标是)23,3,2(，)3,4,2(-=29)3(4)2(||222=-++-=．（2）∵ 点(,,)P x y z 到,A B 两点的距离相等，则222222)0()5()1()3()1()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x , 化简得：07684=++-z y x ,所以，到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件是07684=++-z y x ． 点评：到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 构成的集合就是线段AB 的中垂面，若将点P 的坐标,,x y z 满足的条件07684=++-z y x 的系数构成一个向量)6,8,4(-=，发现与)3,4,2(-=共线。

第三章空间向量与立体几何课题：3.1.1空间向量及其运算（一）第课时总序第个教案课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日教学目标：教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．批注教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学用具：多媒体，三角板，直尺教学方法：讨论法．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa ＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： AB OA OB +==a +b ，OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b +c )；（课件验证）⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： 011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n Λ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB +；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 86 练习Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 86～P 89，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？教学后记：。

§3.2.1直线的方向向量与平面的法向量【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.【教学目标】：（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。

（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.【教学重点】：平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.【教学过程设计】：⇔//=bbaaλ∴932sin 110535BAD ∠=-=， ∴||||sin 86ABCDS AB AD BAD =⋅∠=Y u u u r u u u r．五、小结1． 点、直线、平面的位置的向量表示。

2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。

反思归纳六、作业A ，预习课本105～110的例题。

B ，书面作业:1，2，练习与测试：（基础题）1，与两点和所成向量同方向的单位向量是 。

解：向量，它的模则所求单位向量为 。

2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。

解：设 点坐标为，由题设有；由可得。

则，于是所求坐标为。

3，设直线l ，m 的方向向量分别为)1,0,3(),3,2,1(-==b a ，判断l ，m 的位置关系。

解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。

的一个单位法向量。

求平面已知点ABC C B A ),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3(.),0,1,1(),1,0,1(,的大小。

所成的锐二面角的度数求这两个平面的法向量分别是若两个平面--==v u βα4，设平面βα,的法向量分别为)12,6,2(),6,3,1(-=--=v u ，判断平面βα,的位置关系。

§3.1.3空間向量的數量積運算【學情分析】：本小節首先把平面向量數量積運算推廣到空間向量數量積運算學生已有了空間的線、面平行和麵、面平行概念，這種推廣對學生學習已無困難但仍要一步步地進行，學生要時刻牢記，現在研究的範圍已由平面擴大到空間一個向量已是空間的一個平移，要讓學生在空間上一步步地驗證向量的數量積運算這樣做，一方面復習了平面向量、學習了空間向量，另一方面可加深學生的空間觀念【教學目標】：（1）知識與技能：掌握掌握空間向量的夾角的概念，空間向量數量積的定義和運算律（2）過程與方法：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習和使用，掌握立體幾何中的三垂線定理及其逆定理的證明（3）情感態度與價值觀：進一步學習向量法在證明立體幾何中的應用，培養學生的開拓創新能力和舉一反三的能力。

【教學重點】：空間向量的數量積運算【教學難點】：空間向量的數量積運算在解決立體幾何中的應用D'C'B'ABDCA'2、如圖，在平行六面體ABCD-A ’B ’C ’D ’中，AB=4，AD=3，AA ’=5，∠BAD=090，∠BAA ’=∠DAA ’=060，求A ’C 的長。

鞏固3、如圖，線段AB ，BD 在平 面α內，BD ⊥AB ，線段AC ⊥α，且AB=a ，BD=b ，AC=c ，求C ，D 間的距離。

五．小結 （1）夾角、空間向量數量積、運算律（2）三垂線定理及其逆定理（3）夾角、距離的求法回顧方法六．作業 課本P97，習題3.1 A 組，第3題、第4題、第5題練習與測試：（基礎題）1． 已知空間四邊形OABC 中，∠AOB=∠BOC=∠AOC ，且OA=OB=OC ，M 、N 分別是OA 、BC 的中點，G 是MN 的中點。

求證OG ⊥BC 分析：要證OG ⊥BC ，只需證明0OG BC ⋅=。

把OG 、BC 用基向量OA 、OB 、OC 表示略解：11111()()()22224OG OM ON OA OB OC OA OB OC ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦BC OC OB =- （中等題）２． 已知平行六面體ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠C 1CB=∠C 1CD=∠BCD=60º （1）證明CC 1⊥BD（2）當1CDCC 的值為多少時，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？並證明 分析：取1,,CD CB CC 為運算的基向量，則BD CD CB =-。