第七节 正弦定理与余弦定理命题导航 课程标准(2017年版)命题预测借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理. 1.考向预测:主要考查通过边角互化考查正弦定理、余弦定理的应用,结合三角恒等变换考查化简与求值.2.学科素养:主要考查数学运算核心素养.1.正弦定理和余弦定理 定理正弦定理 余弦定理内容 ①asinA =bsinB =csinC=2R(R 是△ABC 外接圆半径) a 2=b 2+c 2-2bccos A;b 2=② a 2+c 2-2accos B ; c 2=③ a 2+b 2-2abcos C变形 形式 (1)a=2Rsin A, b=④ 2Rsin B , c=⑤ 2Rsin C ; (2)sin A=a2R,sin B=⑥b2R,sin C=⑦ c 2R;(3)a∶b∶c=⑧ sin A∶sin B∶sin C ;(4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin Acos A=⑨b 2+c 2-a 22bc ; cos B=⑩ a 2+c 2-b 22ac ;cos C=a 2+b 2-c 22ab应用 类型(1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角2.在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况 A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数一解两解一解一解上表中,若A 为锐角,则当a<bsin A 时无解;若A 为钝角或直角,则当a≤b 时无解. 3.三角形的面积设△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,其面积为S. (1)S=12ah(h 为BC 边上的高). (2)S=12absin C= 12acsin B =12bcsin A.【常用结论】1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π; 变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理:在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B. 4.其他常用面积公式:(1)S=12底×高;S=12×C×r(C 为周长,r 为内切圆半径); (2)菱形面积S=12×D×d(D,d 为两条对角线的长). 5.三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.6.在△ABC中,由A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.( )(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,三角形ABC为钝角三角形.( )(5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( )答案(1)✕(2)√(3)✕(4)✕(5)√2.在△ABC中,若a=2,c=4,B=60°,则b等于( )A.2√3B.12C.2√7D.28答案 A3.已知△ABC中,A=π6,B=π4,a=1,则b等于( )A.2B.1C.√3D.√2答案 D4.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是( )A.有一解B.有两解C.无解D.有解但解的个数不确定答案 C5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为. 答案等腰三角形或直角三角形6.在△ABC中,若A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC的面积等于.答案 2√3利用正弦、余弦定理解三角形典例1 (1)(2019课标全国Ⅱ文,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= .(2)(2019课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B- sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.①求A;②若√2a+b=2c,求sin C. 答案 (1)34π解析 (1)在△ABC 中,由已知及正弦定理得sin Bsin A+sin Acos B=0, ∵sin A≠0,∴sin B+cos B=0, 即tan B=-1,又B∈(0,π),∴B=34π.(2)①由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =12.因为0°<A<180°,所以A=60°.②由①知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, 即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22. 由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)·cos 60°-cos(C+60°)·sin 60°=√6+√24.方法技巧应用正弦、余弦定理解题的技巧(1)求边:利用公式a=bsinAsinB ,b=asinBsinA ,c=asinCsinA 或其他相应变形公式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=asinB b,sin B=bsinA a,sin C=csinA a或其他相应变形公式求解.(3)已知两边及其夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化.如出现a 2+b 2-c 2=λab 形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.1-1 (2018贵州贵阳模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边a,b,c 成公差为2的等差数列,C=120°.(1)求边长a;(2)求AB 边上的高CD 的长. 解析 (1)由题意得b=a+2,c=a+4, 由cos C=a 2+b 2-c 22ab,得cos 120°=a 2+(a+2)2-(a+4)22a (a+2)=-12,即a 2-a-6=0,∴a=3或a=-2(舍去), ∴a=3.(2)解法一:由(1)知a=3,则b=5,c=7,由三角形的面积公式得12absin∠ACB=12c×CD,∴CD=absin∠ACB c =3×5×√327=15√314,即AB 边上的高CD=15√314. 解法二:由(1)知a=3,则b=5,c=7,由正弦定理得3sinA =7sin∠ACB =7sin120°,则sin A=3√314, 在Rt△ACD 中,CD=ACsin A=5×3√314=15√314, 即AB 边上的高CD=15√314.判断三角形的形状典例2 (1)(2019湖南师大附中月考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若bcosC ccosB =1+cos2C 1+cos2B,则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(2)(2018重庆六校联考)在△ABC 中,cos 2B 2=a+c2c (a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 答案 (1)D (2)B解析 (1)由已知1+cos2C 1+cos2B =2cos 2C 2cos 2B =cos 2C cos 2B =bcosCccosB ,解得cosCcosB =0或cosC cosB =bc ,即C=90°或cosC cosB =bc .由正弦定理,得b c =sinBsinC ,∴cosC cosB =sinB sinC ,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,∵B,C 均为△ABC 的内角,∴2C=2B 或2C+2B=180°,∴B=C 或B+C=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.(2)因为cos 2B 2=a+c2c ,所以2cos 2B2-1=a+c c-1,所以cos B=ac ,所以a 2+c 2-b 22ac=a c ,所以c 2=a 2+b 2,所以△ABC 为直角三角形,但无法判断是不是等腰三角形,故选B.方法技巧判断三角形形状的两种常用途径▶提醒 判断三角形形状的3个注意点:(1)“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系;(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的 关系;(3)还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 2-1 在△ABC 中,cos A2=√1+cosB2,则△ABC 一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定答案 A 由已知得cos 2A 2=1+cosB 2,∴2cos 2A2-1=cos B,∴cos A=cos B,又0<A<π,0<B<π,∴A=B,∴△ABC 一定为等腰三角形.2-2 设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B 因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin 2A,所以sin(B+C)=sin 2A.又sin(B+C)=sin A 且sin A≠0,所以sin A=1,所以A=π2,所以△ABC 为直角三角形,故选B.正弦定理、余弦定理的综合应用典例3 (2019课标全国Ⅲ理,18,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asinA+C 2=bsin A.(1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 解析 (1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C 2=sin Bsin A.因为sin A≠0,所以sinA+C 2=sin B.由A+B+C=180°,得sin A+C 2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2.因为cos B 2≠0,所以sin B 2=12,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°,由(1)知A+C=120°, 所以30°<C<90°,故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32. 因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32). 典例4 (2018河北承德质检)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a.(1)求sin C 的值;(2)若a=7,求△ABC 的面积.解析 (1)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a,所以sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)解法一:因为a=7,所以c=37×7=3<a . 又A=60°,所以C<60°.由(1)知sin C=3√314, 所以cos C=√1-sin 2C =√1-(3√314)2=1314.由A+B+C=180°,可得B=180°-A-C,所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=sin 60°×1314+cos 60°×3√314=4√37. 所以△ABC 的面积S=12acsin B=12×7×3×4√37=6√3. 解法二:因为a=7,所以c=37×7=3, 由余弦定理得72=b 2+32-2b×3×12, 解得b=8或b=-5(舍去).所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3. 方法技巧1.与三角形面积有关的问题2.三角形与三角函数交汇问题3-1 (2019重庆模拟)在如图所示的平面直角坐标系中,角α(0<α<π2),角β(-π2<β<0)的终边分别交单位圆于A,B 两点,若B 点的纵坐标为-513,且满足S △AOB =√34,则sin α2·(√3cos α2-sin α2)+12的值为( )A.-513B.-1213 C.513D.1213答案 D 因为sin β=-513>-12(-π2<β<0),所以-π6<β<0.又0<α<π2,S △AOB =12OA·OBsin∠AOB=12sin∠AOB=√34,所以易求得∠AOB=π3,所以∠AOB=α-β=π3,即α=β+π3,则sin α2·(√3cos α2-sin α2)+12=√3sin α2cos α2-sin 2α2+12=√32sin α+12cos α=sin (α+π6)=sin (β+π3+π6)=cos β=1213. 3-2 (2019课标全国Ⅱ理,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为 .答案 6√3解析 由b 2=a 2+c 2-2accos B 及已知得62=(2c)2+c 2-2×2c×c×12, ∴c=2√3(c=-2√3舍去).∴a=2c=4√3,∴△ABC 的面积S=12acsin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.数学运算是在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等. 1.(多选)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若c=4,∠B=60°,则边b 的值可能是( ) A.2B.3C.4D.5答案 CD 在△ABC 中,c=4,∠B=60°, 由bsinB =csinC ,可得b=csinB sinC =4×√32sinC =2√3sinC ,由题意可知π6<C<π2,所以sin C∈(12,1),即有2√3<b<4√3,故选CD.2.已知sin α+3cos α=-√10,则tan 2α= ,tan (α+π4)= . 答案34;2解析 ∵(sin α+3cos α)2=sin 2α+6sin α·cos α+9cos 2α=10(sin 2α+cos 2α), ∴9sin 2α-6sin αcos α+cos 2α=0,则(3tan α-1)2=0,即tan α=13,∴tan 2α=2tanα1-tan α=34, tan (α+π4)=13+11-13=2.3.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知∠CAB=π3,a=7,b=5,点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则c= ;|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 8;2√613解析 如图,由∠CAB=π3,a=7,b=5,及a 2=b 2+c 2-2bccos∠CAB,得72=52+c 2-2×5×c×12,解得c=8或c=-3(舍去). ∵点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23a=143. ∴cos B=a 2+c 2-b 22ac =49+64-252×7×8=1114.∵在△ABD 中,AD 2=BD 2+c 2-2BD·c·cos B=(143)2+64-2×143×8×1114=2449,∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√613. 4.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知sin A+sin B=54sin C,且△ABC 的周长为9,若△ABC 的面积为3sin C,则c= ,cos C= . 答案 4;-14解析 由已知可得a+b=5c4,又△ABC 的周长为9,所以c+5c4=9,解得c=4.因为△ABC 的面积等于3sin C,所以12absin C=3sin C,整理得ab=6. 由{a +b =5,ab =6,解得{a =2,b =3或{a =3,b =2,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=-14.A 组 基础题组1.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b=( ) A.√2 B.√3 C.2 D.3答案 D2.(多选)在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°答案 BC 选项B 满足csin 60°<b<c,选项C 满足bsin 45°<a<b,所以B,C 有两解, 对于选项A,可求B=180°-A-C=65°,所以三角形有一解, 对于选项D,由sin B=b ·sinAa,且b<a,可得B 为锐角,所以三角形只有一解.故选BC.3.(2019课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c =( ) A.6B.5C.4D.3答案 A4.(2019广东七校联考)在锐角△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若sin A=2√23,a=2,S △ABC =√2,则b 的值为( )A.√3B.3√22C.2√2D.2√3答案 A5.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A·(sin C -cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 B 在△ABC 中,sin B=sin(A+C),则sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,∴cos Asin C+sin Asin C=0,∵sin C≠0,∴cos A+sin A=0,即tan A=-1,即A=34π. 由a sinA =c sinC 得√22=√2sinC ,∴sin C=12,又0<C<π4,∴C=π6,故选B.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=√3,则S△ABC= .答案√32解析∵角A,B,C依次成等差数列,∴B=60°,结合余弦定理得3=1+c2-2c×cos 60°,解得c=2,∴S△ABC=12acsin B=√32.7.(2018山东菏泽二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B-c-b2=0,a2=72bc,b>c,则bc= .答案 2解析由acos B-c-b2=0及正弦定理可得sin Acos B-sin C-sinB2=0.因为sin C=sin(A+B)=sinAcos B+cos Asin B,所以-sinB2-cos Asin B=0,又因为sin B≠0,所以cos A=-12,因为0<A<π,所以A=2π3.由已知及余弦定理得a2=72bc=b2+c2+bc,即2b2-5bc+2c2=0,又b>c,所以bc=2.8.(2019潍坊模拟)如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=√2,BC=√3,AB⊥AD,AC⊥CD,AD=3AC,则AC= .答案 3解析设AC=x,则AD=3x,在Rt△ACD中,CD=√AD2-AC2=2√2x,所以sin∠CAD=CDAD=2√23,在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=22√2x,由于∠BAC+∠CAD=π2,所以cos∠BAC=sin∠CAD,即22√2x =2√23,整理得3x 2-8x-3=0,解得x=3(x=-13舍去),即AC=3.9.在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2,求BC.解析 (1)在△ABD 中,由正弦定理得BDsin∠A =ABsin∠ADB . 结合题设知,5sin45°=2sin∠ADB , 所以sin∠ADB=√25. 由题意知,∠ADB<90°, 所以cos∠ADB=√1-225=√235. (2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25. 所以BC=5.B 组 提升题组1.(2019吉林四平质检)在△ABC 中,已知a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,且∠A=60°,若S △ABC =3√32,2sin B=3sin C,则△ABC 的周长等于( ) A.5+√7 B.12 C.10+√7D.5+2√7答案 A 在△ABC 中,∠A=60°且2sin B=3sin C,故由正弦定理可得2b=3c,再由S △ABC =3√32=12bc·sin A,可得bc=6,∴b=3,c=2.由余弦定理可得a 2=32+22-2×3×2×12=7,∴a=√7,故△ABC 的周长为a+b+c=5+√7,故选A.2.(2019枣庄二模)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则A=( ) A.π6B.π3C.5π6D.2π3答案 B 由已知及正弦定理得(a+b)(a-b)=c(c-b),即b 2+c 2-a 2=bc.所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3.3.(2019河南郑州质量预测)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2ccos B=2a+b. (1)求C;(2)若△ABC 的面积S=√32c,求ab 的最小值. 解析 (1)由2ccos B=2a+b 及余弦定理,得2c·a 2+c 2-b 22ac=2a+b,化简得a 2+c 2-b 2=2a 2+ab,即a 2+b 2-c 2=-ab, ∴cos C=a 2+b 2-c 22ab=-ab 2ab =-12.又0<C<π,∴C=2π3.(2)∵S=12absin C=√32c,∴c=12ab. 又c 2=a 2+b 2-2abcos C=a 2+b 2+ab, ∴a 2b 24=a 2+b 2+ab≥3ab,即ab≥12,当且仅当a=b 时,取等号.故ab 的最小值为12.4.(2019天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C. (1)求cos B 的值; (2)求sin (2B +π6)的值.解析 (1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB =csinC ,得bsin C=csin B.由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asin C, 即3b=4a.因为b+c=2a, 所以b=43a,c=23a. 由余弦定理可得 cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+49a 2-169a22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=2B =√154, 从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158, cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin (2B +π6)=sin 2Bcos π6+cos 2B·sin π6=-√158×√32-78×12=-3√5+716. 素养拓展5.某小区打算对如图所示的直角三角形ABC 区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形DEF,在其内建造文化景观.已知AB=20 m,AC=10 m,则△DEF 区域的面积(单位:m 2)的最小值为( )A.25√3B.75√314 C.100√37D.75√37答案 D 由△ABC 是直角三角形,AB=20 m,AC=10 m,可得∠B=30°,CB=10√3 m,因为△DEF 是等边三角形,设∠CED=θ,DE=x,则∠BFE=30°+θ,CE=xcos θ, 在△BFE 中,由正弦定理可得xsin30°=10√3-xcosθsin (30°+θ), 化简得x=√3√3sinθ+2cosθ=√3√7sin (θ+α),其中tan α=2√33,所以x≥√3√7.所以△DEF 的面积S=12x 2×sin 60°≥75√37. 6.(多选)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( ) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC 是钝角三角形C.△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC 的外接圆半径为8√77答案 ACD 由(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0, 解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A 正确; 易知,c 为最大边,又cos C=a 2+b 2-c 22ab=16t 2+25t 2-36t 22·4t ·5t=18>0,即C 为锐角,所以△ABC 为锐角三角形, 故B 错误; cos A=b 2+c 2-a 22bc=25t 2+36t 2-16t 22·5t ·6t=34,cos 2A=2cos 2A-1=2×916-1=18=cos C,又2A,C∈(0,π), 所以2A=C,故C 正确; 由c=6,可得2R=csinC =√1-64=√7, 所以△ABC 的外接圆半径为8√77,故D 正确.故选ACD.7.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,A=60°,且△ABC 外接圆半径为√3,则a= ,若b+c=3√3,则△ABC 的面积为 . 答案 3;3√32解析∵A=60°,且△ABC外接圆半径R为√3,∴由正弦定理asinA=2R,可得a=2Rsin A=2×√3×sin 60°=3.∵b+c=3√3,∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得9=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=27-3bc,解得bc=6,∴S△ABC =12bcsin A=12×6×√32=3√32.8.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2cos2A+√3sin 2A=2,b=1,S△ABC =√32,则A= ,b+csinB+sinC= .答案π3;2解析由2cos2A+√3sin 2A=2,可得cos 2A+√3sin 2A=1,∴sin(2A+π6)=12,∵0<A<π,∴2A+π6∈(π6,13π6),∴2A+π6=5π6,∴A=π3.∵b=1,S△ABC =√32=12bcsin A=12×1×c×√32,∴c=2,∴由余弦定理可得a=√b2+c2-2bccosA=√3,∴b+csinB+sinC =asinA =√3√32=2.9.已知锐角三角形ABC 的三个内角A,B,C 满足sin Bsin C=(sin 2B+sin 2C-sin 2A)tan A. (1)求A;(2)若△ABC 的外接圆的圆心是O,半径是1,求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围. 解析 (1)由已知及正弦定理,得b 2+c 2-a 22bc·sinA cosA =12,即sin A=12. ∵A 是锐角, ∴A=π6.(2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =cos∠AOB+cos∠AOC -2 =cos 2∠ACB+cos 2∠ABC -2 =cos (5π3-2∠ABC)+cos 2∠ABC -2 =√3cos (2∠ABC +π6)-2.∵△ABC 是锐角三角形,∴∠ABC<π2, 由(1)知,∠BAC=π6,∴∠ABC+∠BAC>π2, ∴π3<∠ABC<π2, ∴2π3<2∠ABC<π,∴5π6<2∠ABC+π6<7π6,∴-1≤cos (2∠ABC +π6)<-√32,故OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )的取值范围是[-2-√3,-72).。
