2018届高考数学文科二轮复习(全国通用)：阶段滚动练1(对应1～3练)+Word版含解析【KS5U+高考】

阶段滚动练1(对应1～3练)(建议时间：60分钟)一、选择题1.已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B 等于( )A.[0，2]B.{0，1，2}C.(－1，2)D.{－1，0，1}答案 B解析 ∵集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，∴A ∩B ＝{0，1，2}，故选B.2.(2017·山东)设集合M ＝{x ||x －1|<1}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N 等于( )A.(－1，1)B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2) 答案 C解析 ∵M ＝{x |0<x <2}，N ＝{x |x <2}，∴M ∩N ＝{x |0＜x ＜2}∩{x |x ＜2}＝{x |0＜x ＜2}.故选C.3.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1＋3i 2z ＝1－i 3，则||z 等于( )A.12B.22C.24D.216答案 C解析 由题意得，z ＝1－i 3()1＋3i 2＝1＋i －2＋23i ⇒||z ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i －2＋23i ＝24，故选C. 4.“1x＞1”是“e x －1＜1”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 1x＞1⇔x ∈(0，1)，e x －1＜1⇔x ＜1， 所以为充分不必要条件，故选A.5.(2017·梅州一检)已知命题p ：∀x ∈R ，2x ＋12x ＞2，命题q ：∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，则下列命题中为真命题的是( ) A.(綈p )∧(綈q ) B.(綈p )∧q C.p ∧(綈q ) D.p ∧q答案 A解析 因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以(綈p )∧(綈q )为真命题，故选A.6.已知z i i －1＝i ＋1，则复数z 在复平面上所对应的点位于( ) A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案 B解析 由z i i －1＝i ＋1，则z ＝(i ＋1)(i －1)i ＝－2i ＝2i ， 所以复数z 在复平面上所对应的点位于虚轴上.7.如果复数2－a i 1＋i(a ∈R )为纯虚数，则a 等于( ) A.－2B.0C.1D.2 答案 D解析 2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2－a －(2＋a )i 2， 由于复数为纯虚数，故2－a ＝0，a ＝2.8.对任意的实数x ，若[x ]表示不超过x 的最大整数，则“－1＜x －y ＜1”是“[x ]＝[y ]”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 取x ＝0.5，y ＝1.2，－1＜x －y ＜1，但不满足“[x ]＝[y ]”，故“－1＜x －y ＜1”不能。

3.与立体几何有关的压轴小题1.(2017届山西大学附属中学模块诊断)如图为某几何体的三视图，则其体积为( )A.2π3＋4B.2π＋43C.π3＋4D.π＋43答案 D解析 由三视图可知，该几何体是一个半圆柱(所在圆柱为圆柱OO 1)与四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面ABCD 为圆柱的轴截面，顶点P 在半圆柱所在圆柱的底面圆上(如图所示)，且P 在AB 上的射影为底面的圆心O .由三视图数据可得，半圆柱所在圆柱的底面半径r ＝1，高h ＝2，故其体积V 1＝12πr 2h ＝12π×12×2＝π； 四棱锥的底面ABCD 为边长为2的正方形，PO ⊥底面ABCD ，且PO ＝r ＝1.故其体积V 2＝13S 正方形ABCD ×PO ＝13×22×1＝43. 故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝π＋43. 2.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是AB ，AD ，AA 1的中点，又P ，Q 分别在线段A 1B 1，A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x ，0＜x ＜1，设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，则下列结论中不成立的是( )A.l ∥平面ABCDB.l ⊥ACC.平面MEF 与平面MPQ 垂直D.当x 变化时，l 是定直线答案 C解析 连接BD ，A 1D ，A 1B ，AC 1，显然平面MEF ∥平面A 1DB ，设A 1B ∩MP ＝H ，A 1D ∩QM ＝G ，连接HG ，则l ∥HG ，又HG ∥平面ABCD ，所以l ∥平面ABCD ，AC ⊥BD .又HG ∥l ∥BD ，故AC ⊥l ，当P ，Q 分别与B 1，D 1重合时，平面MEF ⊥平面MPQ ， 又0＜x ＜1，故平面MEF 与平面MPQ 不垂直.无论x 怎么变化，l 是过M 点与EF 平行的定直线.3.(2017届重庆八中调研)用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( ) A.33π8 B.33π7 C.32π8 D.32π7答案 C解析 设圆柱的高为x ，则圆铁皮内接矩形的一边长为x ，那么另一边长为y ＝2R 2－⎝⎛⎭⎫x 22，所以圆柱的体积为V (x )＝πy 2x ＝π×4⎣⎡⎦⎤R 2－⎝⎛⎭⎫x 22x ＝π(－x 3＋4R 2x )(0＜x ＜2R )，则V ′(x )＝π(－3x 2＋4R 2)，令V ′(x )＞0，得0＜x ＜233R ；令V ′(x )＜0，得233R ＜x ＜2R ，即V (x )在⎝⎛⎭⎫0，233R。

2018年高考数学文科二轮专题闯关导练：押题模拟（一）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. (导学号：05856337)若集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{－1,1,2,3}，则A∩B＝( )A. {－1,1}B. {1,2}C. {1,3}D. {－1,3}【答案】D【解析】A＝, B＝{－1,1,2,3}∴A∩B＝{－1,3}故选：D2. (导学号：05856338)已知i是虚数单位，z＝，则复数z的实部为( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】z＝＝.∴复数z的实部为－故选：A3. (导学号：05856339)函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，若f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，则( )A. f(1)＝1，g(2)＝－2B. f(1)＝－2，g(2)＝1C. f(1)＝1，g(2)＝2D. f(1)＝2，g(2)＝1【答案】C【解析】∵函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，∴－f(1) －g(2)＝－3，－f(1)+g(2)＝1，∴f(1)＝1，g(2)＝2故选：C4. (导学号：05856340)如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E，G是线段AC上的点，F，H是线段BD 上的点，且AE＝CG＝EG，BF＝FH＝DH，连接EF，FG，GH，EH，现往正方形ABCD中投掷1200个点，则可以估计，落在阴影区域内点的个数为( )A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】设AC＝BD＝6，则正方形ABCD的面积为6×6＝36，而菱形EFGH的面积为×6××6＝6，故落在阴影区域内点的个数为1200×＝200.故选：B5. (导学号：05856341)将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)图象的一个对称中心为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】f(x)＝sin＝sin.且f()＝sin.故选：B6. (导学号：05856342)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，若点N(4,1)，P为抛物线C上的点，则|NP|＋|PF|的最小值为( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】记点P到抛物线C的准线l的距离为d，点N到抛物线C的准线l的距离为d′，故|NP|＋|PF|＝|NP|＋d≥d′＝6，故|NP|＋|PF|的最小值为6.故选：D7. (导学号：05856343)已知实数x，y满足,则z＝log2(x＋y)的最大值为( )A. log229－2B. log214C. 4D. 5【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，要想z＝log2(x＋y)取得最大值，只需z′＝x＋y取得最大值即可；观察可知，当直线z′＝x＋y 过点B(9,7)时，z′有最大值16，故z＝log2(x＋y)的最大值为4.故选：C8. (导学号：05856344)《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下. 若输出的S的值为365，则判断框中可以填( )A. i>4?B. i>5?C. i>6?D. i>7?【答案】D【解析】运行该程序，第一次，S＝290，i＝2，第二次，S＝302.5，i＝3，…，第七次，S＝365，i＝8，此时，要输出S的值，故判断框中可以填“i>7”．故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. (导学号：05856345)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝a7－a1，则{a n}的公比q为( )A. －1B. 2C. －1或2D. －2或3【答案】C【解析】当q=1时，显然不成立当q时，,解得：q=－1或210. (导学号：05856346)将一个正方体切去两个三棱锥，得到一个几何体，若该几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. 6＋B. 3＋C. 6＋2D. 3＋【答案】D【解析】在正方体中截去了三棱锥与三棱锥∴其表面积为：3＋故选：D点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11. (导学号：05856347)已知双曲线E： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为，过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A，B两点，在双曲线E上取一点C(与A，B不重合)，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线E的两条渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程(λ>0)，c2＝16λ＋9λ＝25λ，∴F(5，0)．将x＝5代入方程(λ>0)得y＝±，则2×＝，解得λ＝1，故双曲线的方程为.设点A(x1，y1)，则根据对称性可知B(－x1，－y1)，点C(x0，y0)，k1＝，k2＝，∴k1k2＝，且，，两式相减可得，＝.故选:C12. (导学号：05856348)已知函数f(x)＝e x sin x(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是( )A. B. C. [0,1) D. [1，e)【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)≥0⇒0≤x≤，f′(x)<0⇒<x<π，f(0)＝f(π)＝0，f＝，由题意，利用图象得0≤m<.故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. (导学号：05856349)已知tan θ＝5，则＝________.【答案】3【解析】∵tan θ＝5∴故答案为：314. (导学号：05856350)已知向量a，b的夹角为，|a|＝3，|a－2b|＝，则|b|＝________.【答案】2【解析】∵向量，的夹角为，＝3，＝∴即，解得：或（舍）故答案为：215. (导学号：05856351)若三棱锥P－ABC的体积为，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．【答案】12π【解析】∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝2，AC＝2，，又三棱锥P－ABC的体积为，∴PA=2∴画出几何图形，可以构造补充图形为正方体，棱长为2，2，2．∵对角线长．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .16. (导学号：05856352)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝5，a6＝11，若数列{}是等差数列，则a n＝________.【答案】2n-1【解析】设＝kn＋b，则∴∴S n＝n2，a n＝2n－1.故答案为：2n-1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17. (导学号：05856353)(12分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a2＋ab－2b2＝0.(Ⅰ)若B＝，求sin C的值；(Ⅱ)若sin A＋3sin C＝3sin B，求sin C的值．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由3a2＋ab－2b2＝0，3a＝2b，即3sin A＝2sin B，又B＝，从而求出sin C的值；(2)设a＝2t，b＝3t，又sin A＋3sin C＝3sin B，从而可得c＝t，利用余弦定理先求cos C，进而得到sin C的值．试题解析：(Ⅰ)因为3a2＋ab－2b2＝0，故(3a－2b)(a＋b)＝0，故3a2＋ab－2b2＝0，故3sin A＝2sin B，故sin A＝，因为3a＝2b，故a<b，故A为锐角，故sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.(Ⅱ)由(Ⅰ)可设，a＝2t，b＝3t，因为sin A＋3sin C＝3sin B，故a＋3c＝3b，故c＝t，故cos C＝＝，故sin C＝＝.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. (导学号：05856354)如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点．(Ⅰ)求证：AP⊥平面GCD；(Ⅱ)求证：平面ADG∥平面FBC；(Ⅲ)若AP∥平面BDE，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析（3）2【解析】试题分析：(1)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，又CD⊥平面GAD，所以CD⊥AP，从而AP⊥平面GCD.；(2)∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，又CD∩GD＝D，∴CD⊥平面FBC，结合（1）可证明结果；(3)连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，从而M是PC中点，过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点.试题解析：(Ⅰ)证明：因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD＝D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.(Ⅱ)证明：∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，∵BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG∥平面FBC.(Ⅲ)解：连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，∵O是AC中点，∴M是PC中点过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点，∴＝2.19. (导学号：05856355)近年来，随着双十一、双十二等网络活动的风靡，各大网商都想出了一系列的降价方案，以此来提高自己的产品利润. 已知在2016年双十一某网商的活动中，某店家采取了两种优惠方案以供选择：方案一：购物满400元以上的，超出400元的部分只需支出超出部分的x%；方案二：购物满400元以上的，可以参加电子抽奖活动，即从1,2,3,4,5,6这6张卡牌中任取2张，将得到的数字相加，所得结果与享受优惠如下：(Ⅰ)若某顾客消费了800元，且选择方案二，求该顾客只需支付640元的概率；(Ⅱ)若某顾客购物金额为500元，她选择了方案二后，得到的数字之和为6，此时她发现使用方案一、二最后支付的金额相同，求x的值．【答案】(1)(2)50........................试题解析：依题意，所有的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6).(Ⅰ)若该顾客花了640元，说明所取数字之和在[8,9]之间，故满足条件的为(3,5)，(3,6)，(4,5)，(2,6)，所求概率为.(Ⅱ)依题意，该顾客需要支付450元，故400＋x%×100＝450，解得x＝50.20. (导学号：05856356)已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝x＋b截得椭圆C的弦长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线，交椭圆C于点A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值时m的值．【答案】(1)(2) |AB|最大为，m＝±1.试题解析：(Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2，由得∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝，当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y＝k(x－m)，由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由＝1得k2m2＝k2＋1，∴|AB|＝＝≤＝，当且仅当|m|＝1时取“＝”，∴|AB|<，∴当AB⊥x轴时，|AB|最大为，m＝±1.21. (导学号：05856357)已知函数f(x)＝x ln x－x.(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值. (2)【解析】试题分析：(1) x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，讨论f′(x)的符号，求出f(x)的单调区间，从而求出函数的极值；（2）∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立通过变量分离转化为a≤在(0，＋∞)上恒成立问题即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值.(Ⅱ)∀x>0，f(x)＋ax2≤0，a≤－，令g(x)＝－，g′(x)＝－－＝，当0<x<e2时，g′(x)<0，当x>e2时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，e2]上是减函数，在[e2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e2)＝－＝－，∴a≤－，∴a的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22. (导学号：05856358)[选修4－4：坐标系与参数方程]平面直角坐标系xOy中，射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(Ⅰ)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；(Ⅱ)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)，把曲线C1的参数方程化为普通方程；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，进而表示|MN|的值即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)；因为曲线C1：故曲线C1：＋＝1.(Ⅱ)曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4，故x2＋y2－4y＝0，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，故|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.23. (导学号：05856359)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.(Ⅰ)解不等式：f(x)>15；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的大小．【答案】(1) (－∞，－4)∪(2，＋∞) (2)【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值m，得到4a＋25b＝10，利用均值不等式求出＋的最小值．试题解析：(Ⅰ)依题意，2|x－2|＋3|x＋3|>15；当x<－3时，原式化为2(2－x)－3(x＋3)>15，解得x<－4；当－3≤x≤2时，原式化为2(2－x)＋3(x＋3)>15，解得x>2，故不等式无解；当x>2时，原式化为2(x－2)＋3(x＋3)>15，解得x>2；综上所述，不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，故＋＝ (4a＋25b)＝≥，当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝.。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）{}2340A x x x =∈--≤Z {}0ln 2B x x =<<A B = A ．B ．C ．D ．{}1,2,3,4{}3,4{}2,3,4{}1,0,1,2,3,4-【答案】C【解析】，{}{}{}2340141,0,1,2,3,4A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=-Z Z ，所以．{}{}20ln 21e B x x x x =<<=<<{}2,3,4A B = 2．设复数（是虚数单位），则的值为（）1z=i z z+A ．B ．C．D ．21【答案】B【解析】，．2z z +=2z z +=3．“为假”是“为假”的（ ）条件．p q ∧p q ∨A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“为假”得出，中至少一个为假．当，为一假一真时，为真，故不充分；p q ∧p q p q p q ∨当“为假”时，，同时为假，所以为假，所以是必要的，所以选B ．p q ∨p q p q ∧4．已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）x y 222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩3x z y =-+A ．B ．C ．D ．143-2-434【答案】C【解析】作出的可行域为三角形（包括边界），把改写为，当且仅当动直线3x z y =-+3xy z =+过点时，取得最大值为．3x y z =+()2,2z 435．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．n n A ．2B ．3C ．26D ．27【答案】C【解析】设顶层有灯盏，底层共有盏，由已知得，则，1a 9a ()91991132691262a a a a a =⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以选C ．6．如图是一个算法流程图，若输入的值是13，输出的值是46，则的值可以是（ ）n S a A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】依次运行流程图，结果如下：，；，；，；，，此时退出循环，所以的值可13S =12n =25S =11n =36S =10n =46S =9n =a 以取10．故选C ．7．设双曲线的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近线的距离为1，则双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>线的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．2BC ．D ．4【答案】B【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方程为，所以．因2222:1x yC a b -=y x =±a b =为顶点到一条渐近线的距离为1，所以，双曲线的方程为，所1=a b ==C 22122x y -=以双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为．b =8．已知数据，，，，的平均值为2，方差为1，则数据，，，相对于原数据（ ）1x 2x 10x 21x 2x 10x A ．一样稳定B ．变得比较稳定C ．变得比较不稳定D ．稳定性不可以判断【答案】C【解析】因为数据，，，，的平均值为2，所以数据，，，的平均值也为2，因为数据，1x 2x 10x 21x 2x 10x 1x ，，，的方差为1，所以，所以，所以数据，2x 10x 2()()102211222111i i x =⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦∑()10212=11i i x =-∑1x ，，的方差为，因为，所以数据，，，相对于原数据变得比较不2x 10x ()102112=1.110ii x =-∑ 1.11>1x 2x 10x 稳定．9．设表示正整数的所有因数中最大的奇数与最小的奇数的等差中项，数列的前n 项和为，那n a n {}n a n S 么（ ）21n S -=A ．B ．C ．D ．122n n +--11222433n n --+⋅-2nn -22nn +-【答案】B【解析】由已知得，当为偶数时，，当为奇数时，．n 2n n a a =n 12n na +=因为，12342121n n S a a a a a --=+++++ 所以1112342121n n S a a a a a ++--=+++++ ()()111352462122+n n a a a a a a a a ++--=++++++++ ()1123211113151212222n n a a a a +-⎛⎫++++-=+++++++++ ⎪⎝⎭ ，()()123211232n na a a a -=+++++++++ ()211222n nnS -+=+()211242n nn S -=++即，()121211242n n nn S S +--=++所以．()()()1112211112121111224242422422233n n n n n n n S S --------=+++++++=+⋅- 10．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若线段中点的横坐标为3，2y mx =()0m >P Q PQ ，则（ ）54PQ m =m =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】因为，所以焦点到准线的距离，设，的横坐标分别是，，则2y mx =2mp =P Q 1x 2x ，，因为，所以，即，解得．1232x x +=126x x +=54PQ m =125+4x x p m +=5624m m +=8m =11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，1，，则此三棱锥外接球的12表面积为（）A ．B ．C ．D ．174π214π4π5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点，即为三1111ABCD A B C D -棱锥,且长方体的长、宽、高分别为2，1，，11A CB D -1111ABCD A B C D-12所以此三棱锥的外接球即为长方体的外接球，半径，所以1111ABCD A B C D -R ==三棱锥外接球的表面积为．2221444S R π=π=π=12．已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则下列一定P sin ln y x x =+OP O k 成立的为（ ）A ．B ．C ．D ．1k <-0k <1k <1k ≥【答案】C【解析】任意取为一正实数，一方面，另一方面容易证成立，所以x sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤，因为与中两个等号成立条件不一样，所以sin ln y x x x =+≤sin ln ln 1y x x x =+≤+ln 1x x +≤恒成立，所以，所以排除D ；当时，，所以，所以sin ln y x x x =+<1k <2x π≤<πsin ln 0y x x =+>0k >排除A ，B ．所以选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

阶段滚动练7(对应1～16练)(建议时间：100分钟)一 、选择题1.(2017·大连测试)已知集合A ＝{2，3，4}，B ＝{x |2x ＜16}，则A ∩B 等于( ) A.∅ B.{2} C.{2，3，4} D.{2，3} 答案 D解析 因为A ＝{2，3，4}，B ＝{x |x ＜4}，故A ∩B ＝{2，3}，故选D. 2.若a ＋i ＝(1＋2i)·t i(i 为虚数单位，a ，t ∈R )，则t ＋a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 A解析 因为a ＋i ＝－2t ＋t i ，所以a ＝－2，t ＝1，则a ＋t ＝－1，故选A. 3.命题“∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ＜12”的否定是( ) A.∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12 B.∀x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12 C.∃x 0＞1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12 D.∃x 0≤1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12 答案 C解析 因为“∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ＜12”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知，其否定是特称(存在性)命题，即“∃x 0＞1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12”，故选C. 4.(2017·江西鹰潭一中月考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，则向量2a ＋3b 在向量2a ＋b 方向上的投影为( ) A.8313 B.61313 C.566 D.191313解析 |2a ＋3b |2＝4a 2＋12a ·b ＋9b 2＝61，|2a ＋3b |＝61. 又|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝13， 所以|2a ＋b |＝13，则cos 〈2a ＋3b ，2a ＋b 〉＝(2a ＋3b )(2a ＋b )|2a ＋3b ||2a ＋b |＝1961·13，所以向量2a ＋3b 在向量2a ＋b 方向上的投影为|2a ＋3b |cos 〈2a ＋3b ，2a ＋b 〉＝61×1961·13＝191313.5.已知函数f (x )＝sin x －x ，则不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )＜0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 B.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ C.(3，＋∞) D.(－∞，3)答案 D解析 因为f ′(x )＝cos x －1≤0，所以函数f (x )＝sin x －x 是单调递减函数； 又f (－x )＝－sin x ＋x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数， 所以原不等式可化为f (x ＋2)＜f (2x －1)，则由函数的单调性可知，x ＋2＞2x －1⇒x ＜3，故选D. 6.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A.3＋2＋62B.2＋3＋62C.6＋2＋32D.3＋22解析 由题意可知，几何体是四棱锥，如图所示，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角三角形，其中三角形PBC 的高为PB ＝PD 2＋BD 2＝3， 故侧面积为S ＝S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD＝12×1×2＋12×2×3＋12×1×2＋12×1×1＝3＋2＋62.7.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.8.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若函数y ＝f (x )e x 在x ＝－1处取得极值，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 由y ＝f (x )e x ＝e x (ax 2＋bx ＋c )，得y ′＝f ′(x )e x ＋e x f (x )＝e x [ax 2＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]， 由于a －(b ＋2a )＋b ＋c ＝0，所以c ＝a ， 所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D 不成立，故选D.9.(2017·河北武邑中学调研)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 答案 A解析 设等差数列的公差为d ，首项为a 1，所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.10.已知等腰梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且经过C ，D 两点，则该双曲线的离心率等于( ) A. 2 B.3 C. 5 D.3＋1答案 D 解析 如图，因为AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，所以DB ＝23， 则由双曲线的定义可得2a ＝23－2，2c ＝4， 即a ＝3－1，c ＝2，故双曲线的离心率是e ＝c a ＝23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，故选D.11.圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是( ) A.6 B.4 C.5 D.1 答案 B解析 圆x 2＋y 2＝1的圆心是(0，0)，半径是1，那么圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离是d ＝||－2532＋42＝5，则圆上的点到直线的最小距离d 1＝5－1＝4，B 项正确. 12.若对∀x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2，则函数g (x )＝2xx 2＋1＋f (x )的最大值与最小值的和为( )A.4B.6C.9D.12 答案 A解析 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )－2，令x ＝y ＝0，得f (0)＝2，故f (x )＋f (－x )＝4，故函数f (x )的图象关于(0，2)对称，故函数y ＝f (x )－2是奇函数，又y ＝2x x 2＋1是奇函数，所以函数g (x )－2＝2xx 2＋1＋f (x )－2为奇函数，故函数g (x )－2的最大值和最小值的和为0，故函数g (x )的最大值和最小值的和为4，故选A. 二、填空题13.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________.答案 0解析 画出可行域为阴影部分.z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， ∴z min ＝－3×1＋3＝0.14.(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.15.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°，则|OA |＝________. 答案21解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过F ，倾斜角为60°， ∴直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1， 代入抛物线方程，化简可得y 2－433y －4＝0，∴y ＝23或y ＝－233，∵A 在x 轴上方，故y ＝23， 则A (3，23)，则|OA |＝21.16.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5解析 利润等于收入减成本，所以y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x ·x －32x －t －3＝16x －t 2－3 ＝16x ＋x －12(x －3)－3＝16(x －3)＋1x －3＋48－2.5，因为x ＝3－2t ＋1＜3，所以原式x －3＜0，可化简为y ＝－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ＋45.5，而16(3－x )＋13－x ≥216(3－x )×13－x＝8，那么－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ＋45.5≤－8＋45.5＝37.5，等号成立的条件是16(3－x )＝13－x⇒x ＝114，所以该公司的最大利润是37.5. 三、解答题17.(2017·南昌二模)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x . (1)求函数f (x )的递增区间；(2)△ABC 的角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2，BD ＝2，求cos C .解 (1)f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)f (A )＝32⇒sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， 得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0＜A ＜π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B⇒sin B ＝24，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝6－148. 18. 如图所示，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1，∠BAF ＝60°. (1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求三棱锥M －DAF 的体积V 1与多面体CD －AFEB 的体积V 2的比值.(1)证明 ∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF . 又AB 为圆O 的直径， ∴AF ⊥BF ， 又BF ∩CB ＝B ， ∴AF ⊥平面CBF .(2)解 设DF 的中点为H ，连接MH ，AH ，OF ，则MH 綊12CD ，又∵OA 綊12CD ，∴MH 綊OA ，∴四边形OAHM 为平行四边形，∴OM ∥AH ，又∵OM ⊄平面DAF ，AH ⊂平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF .显然，四边形ABEF 为等腰梯形，∠BAF ＝60°， 因此△OAF 为边长是1的正三角形.三棱锥M－DAF的体积V1＝V O－DAF＝V D－OAF＝13×DA×S△OAF＝13×1×34＝312，计算得梯形ABEF两底间的距离为3 2，∴V C－BEF＝13S△BEF×CB＝13×12×1×32×1＝312.V F－ABCD＝13S矩形ABCD×32＝13×2×1×32＝33.∴V2＝V C－BEF＋V F－ABCD＝53 12.∴V1∶V2＝1∶5.19.已知函数f(x)＝e x(x2－2x＋a)(其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设曲线y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围.解(1)f′(x)＝e x(x2－2x＋a)＋e x(2x－2)＝e x(x2＋a－2)，当a≥2时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)的递增区间是R；当a＜2时，f′(x)≥0⇔x2≥2－a⇔x≤－2－a或x≥2－a，函数f(x)的递增区间是(－∞，－2－a)，(2－a，＋∞)，递减区间是(－2－a，2－a).(2)f(a)＝e a(a2－a)，f′(a)＝e a(a2＋a－2)，所以直线l的方程为y－e a(a2－a)＝e a(a2＋a－2)(x－a)，令x＝0得，截距b＝e a(－a3＋a)，记g(a)＝e a(－a3＋a)，g′(a)＝e a(－a3－3a2＋a＋1)，记h(a)＝－a3－3a2＋a＋1h′(a)＝－3a2－6a＋1＜0(因为1≤a≤3)，所以h(a)递减，所以h (a )≤h (1)＝－2＜0，所以g ′(a )＜0，即g (a )在区间[1，3]上单调递减，所以g (3)≤g (a )≤g (1)，即截距的取值范围是[－24e 3，0].20.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2，0)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 的直线与椭圆交于M ，N 两点(M ，N 不与A ，B 重合)，若S △P AM ＝6S △PBN ，求直线MN 的方程.解 (1)当k ＝12时，BF 1⊥x 轴， 得到B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM 12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝61⇒|PM ||PN |＝3， 所以PM →＝－3PN →.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－3x 2.①当MN 斜率不存在时，MN 的方程为x ＝0，|PM ||PN |＝3＋13－1＝2＋3或|PM ||PN |＝3－13＋1＝2－3(不符合条件，舍去)， ②当MN 斜率存在时，由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1， 得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0. 由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3，将x 1＝－3x 2代入可得⎩⎨⎧－2x 2＝8k 4k 2＋3，3x 22＝84k 2＋3， 即3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 4k 2＋32＝84k 2＋3，所以k 2＝32⇒k ＝±62. 所以直线MN 的方程为y ＝62x －1或y ＝－62x －1.。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

解答题滚动练3
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b＞c，3c－2b sin C＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，c＝1，求a和△ABC的面积.
2.某高职院校进行自主招生文化素质考试，考试内容为语文、数学、英语三科，总分为200分.现从上线的考生中随机抽取20人，将其成绩用茎叶图记录如下：
(1)计算上线考生中抽取的男生成绩的方差s2；(结果精确到小数点后一位)
(2)从上述茎叶图180分以上的考生中任选2人作为考生代表出席座谈会，求所选考生恰为一男一女的概率.
3.(2017·巴蜀中学模拟)如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF 为矩形，M，N分别是EF，BC的中点，AB＝2AF，∠CBA＝60°.
(1)求证：DM⊥平面MNA；
(2)若三棱锥A－DMN的体积为
3
3，求MN的长.
4.已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝9，M在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上，圆M过原点且与C的准线相切.
(1)求C的方程；
(2)点Q()
0，－t(t＞0)，点P(与Q不重合)在直线l：y＝－t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B.求证：∠AQO＝∠BQO(其中O为坐标原点).。

阶段滚动练2(对应1～5练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}.又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}， 故选B.2.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由“x ≥2且y ≥2”可得“x 2＋y 2≥4”，但“x 2＋y 2≥4”不一定能够得到“x ≥2且y ≥2”，比如“x ＝1，y ＝3”，故选A.3.若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) A.||a >||b B.1a －b >1a C.1a >1b D.a 2>b 2 答案 B解析 两个负数中，最小的其绝对值最大，所以选项A 正确； 函数f (x )＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为a ＜b ＜0，所以f (a )＞f (b )，即1a ＞1b，所以选项C 正确；两个负数，越小的其平方越大，所以选项D 正确；因此选B.4.设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( ) A.32 B.22 C.52 D.72答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去). 5.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( ) A.14 B.12 C.1 D.2 答案 C解析 由平面几何知识，得|AC →|＝2，∠BAC ＝60°， 则AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1，故选C.6.复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为( )A.－1B.1C.－75D.75答案 B解析 ∵i (－6＋i )|3－4i|＝－15－65i ，∴－15－⎝⎛⎭⎫－65＝1， 即复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为1.7.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则1(1＋i )x ＋y －3i 的虚部为( ) A.－325i B.－325 C.325i D.325答案 D解析 ∵(x －2)i －y ＝－1＋i ， ∴x ＝3，y ＝1， ∴1(1＋i )x ＋y －3i ＝1(1＋i )4－3i ＝1[](1＋i )22－3i ＝1－4－3i ＝－4－3i (4＋3i )(4－3i )＝－425＋325i ，故选D.8.非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ∥b B.a ＋b ＝0 C.a ||a ＝b||b D.a ＝b答案 B解析 非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的充要条件为a ，b 反向，由选项，得非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是a ＋b ＝0，故选B.9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( ) A.－1B.－2C.1D.2答案 A解析 由题意，得BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBD →，即2a ＋p b ＝2t a －t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝2，p ＝－t ，解得p ＝－1，故选A. 10.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 由题意得lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )， 即ab ＝a ＋b ⇒1a ＋1b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，故选B. 11.已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－2，－1] B.[－2，1] C.[1，2] D.[－1，2]答案 D解析 由题意画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线0＝x －y 过点A (0，1)时，z 有最小值－1；平移直线0＝x －y 过点B (2，0)时，z 有最大值2，所以z ＝x －y 的取值范围是[－1，2].12.设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积.若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A.8 B.9 C.16 D.18 答案 D解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°可得|AB →|·|AC →|＝4， 所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝1，所以x ＋y ＝12，则1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1＋4x y ＋y x ＋4≥2⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝18， 当且仅当4x y ＝yx 时等号成立，故选D.二、填空题13.已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＜x ＜π2，B ＝{x |1＋tan x ＞0}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2 解析 由于tan x ＞－1，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2. 14.(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 方法一 由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12. 由0≤x ≤1，得0≤⎝⎛⎭⎫x －122≤14， 即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1. 方法二 x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy . 因为1＝x ＋y ≥2xy ， 所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.方法三 依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.15.(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.16.在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________.(填“重心”“垂心”“内心”“外心”) 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线. 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心. 三、解答题17.若当a ∈[1，3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1，3]时f (a )＞0恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2＞0，f (3)＝3x 2＋x －2＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，得x ＞2或x ＜－1.∴实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.已知集合A ＝{}x ∈R | 0＜ax ＋1≤5且a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪－12＜x ≤2.(1)若A ＝B ，求实数a 的值；(2)若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ， ∴⎩⎨⎧－1a ＝－12，4a ＝2⇒a ＝2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，显然A ≠B ， 故A ＝B 时，a ＝2.(2)p 是q 的充分不必要条件⇒A B ， 0＜ax ＋1≤5⇒－1＜ax ≤4，当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ，则 ⎩⎨⎧－1a ＞－12，4a ≤2或⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ＜2，解得a ＞2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，则 ⎩⎨⎧4a ＞－12－1a ≤2⇒a ＜－8.综上，实数a 的取值范围是a >2或a ＜－8.19.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值.解 设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，①故z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，平移直线y ＝－73x ，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，所以当x ＝60，y ＝100时， 得点M 的坐标为(60，100).z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即当x ＝1810时，上述不等式中等号成立.故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元.。

阶段滚动练9(对应1～19练)(建议时间：100分钟)一、选择题1.已知集合A ＝{x ∈R |f (x )＝log 2(x －2)}，B ＝{y ∈R |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩B 等于( ) A.(0，2) B.(0，2] C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) 答案 D解析 ∵A ＝(2，＋∞)，B ＝R ， ∴A ∩B ＝(2，＋∞)，故选D.2.已知复数z 满足z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 的虚部为( ) A.－1 B.1 C.－i D.i 答案 A解析 由题意可得z ＝1－i ，所以虚部为－1，故选A.3.(2017·辽宁实验中学模拟)设命题p ：实数x ，y 满足x 2＋y 2＜4，命题q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 命题p 表示的是下图的圆，命题q 表示的是下图的三角形区域ABC ，所以是既不充分也不必要条件. 故选D.4.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象中，最小正周期为π，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )，则g (x )的解析式为( ) A.g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B.g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 C.g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D.g (x )＝sin 2x答案 D解析 由最小正周期为π，得ω＝2，将f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度， 得g (x )＝sin 2x ，故选D.5.某程序框图如图所示，若输入的n ＝10，则输出的结果为( )A.110 B.89 C.910 D.1011答案 C解析 初始值：S ＝0，k ＝1，k ＜10，k ＝2，S ＝0＋1－12，k ＝3， S ＝0＋1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13， …，k ＝9， S ＝0＋1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫18－19， k ＝10， S ＝0＋1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫18－19＋⎝⎛⎭⎫19－110＝910. 6.(2017·汕头三模)某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如下统计数据表，根据数据表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝2.4，a ^＝y －b ^x ，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为( )A.17B.18C.19D.20 答案 C解析 由题意得x ＝4，y ＝7，b ^＝2.4，∴a ^＝y －b ^x ＝7－2.4×4＝－2.6，∴当x ＝9时，y ^＝b ^x ＋a ^＝2.4×9－2.6＝19.7.已知实数x ，y 满足x 2－xy ＋y 2＝1，则x ＋y 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 原式可化为(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝1时成立.故选B.8.已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边长度分别为a ，b ，c ，已知点O 为该三角形的外接圆圆心，点D ，E ，F 分别为边BC ，AC ，AB 的中点，则OD ∶OE ∶OF 等于( ) A.a ∶b ∶cB.1a ∶1b ∶1cC.sin A ∶sin B ∶sin CD.cos A ∶cos B ∶cos C答案 D 解析 如图：在△BOC 中，OD ＝12a tan ∠BOD ＝12a tan A ，同理OE ＝12b tan B ，OF ＝12c tan C，所以OD ∶OE ∶OF ＝12a tan A ∶12b tan B ∶12c tan C，由正弦定理，可得OD ∶OE ∶OF ＝cos A ∶cos B ∶cos C ，故选D.9.(2017·阜阳质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7－S 5＝24，a 3＝5，则S 7等于( ) A.25 B.49 C.15 D.40 答案 B解析 由题意得S 7－5a 3＝24⇒S 7＝24＋5a 3＝49，故选B.10.某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅.”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误D.非以上错误解析 因为大前提的形式“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A. 3B.2C. 5D. 6 答案 C解析 双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，由对称性，取切线方程为bx －ay ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧bx －ay ＝0，y ＝x 2＋1， 得x 2－ba x ＋1＝0，所以Δ＝b 2a 2－4＝0，即b 2a 2＝4＝c 2－a 2a 2＝e 2－1， 所以e ＝ 5.故选C.12.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，3x －y －3≤0，x ＋y －1≥0所表示的平面区域为D ，若对任意(x 0，y 0)∈D ，不等式x 0－2y 0＋c ≤0恒成立，则c 的取值范围是( ) A.(－∞，4] B.(－∞，2] C.[－1，4]D.(－∞，－1]解析 根据平面区域D ，易知当(x 0，y 0)＝(1，0)时，(x 0－2y 0＋c )max ＝1＋c ， 由题设得1＋c ≤0，所以c ≤－1，故选D. 二、填空题13.已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx ＋2中，a ，b 为参数，已知曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y ＝6x －1，则f (－1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，f ′(1)＝3a ＋2＋b ＝6，f (1)＝a ＋3＋b ＝5， 解得a ＝b ＝1，f (－1)＝－a ＋3－b ＝1.14.(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________. 答案9π2解析 设正方体棱长为a ，则6a 2＝18， ∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3， ∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝9π2.15.(2017·娄底模拟)已知|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的取值范围是________. 答案 [0，5]解析 易知|a ＋b |＝5， 由(a －c )·(b －c )＝0得c 2＝(a ＋b )c ＝|a ＋b |·|c |cos 〈a ＋b ，c 〉＝5|c |cos 〈a ＋b ，c 〉，所以|c |＝0或|c |＝5cos 〈a ＋b ，c 〉， 由此可得|c |的取值范围是[0，5].16.(2017·襄阳四中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]，min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞)，若关于x 的方程f (x ＋k )＝f (x )(k ＞0)有且只有3个不同的实根，则k 的取值范围是________. 答案 (2，4)解析 作出函数y ＝f (x )的图象，由图象可知，y ＝f (x )的图象向左平移多于2个单位长度且少于4个单位长度时，与原图象有3个交点，即关于x 的方程f (x ＋k )＝f (x )(k ＞0)有且只有3个不同的实根，即k 的取值范围是(2，4).三、解答题17.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A －B )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫C 2－π4. (1)求sin A cos B 的值； (2)若a b ＝233，求B .解 (1)sin(A －B )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫C －π2＝1－sin C ＝1－sin(A ＋B )， 故2sin A cos B ＝1， ∴sin A cos B ＝12.(2)由正弦定理得sin A sin B ＝a b ＝233，由(1)知sin A cos B ＝233sin B cos B ＝33sin 2B ＝12，∴sin 2B ＝32， ∴2B ＝π3或2π3，∴B ＝π6或π3.18.(2017·合肥一中月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，设E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设异面直线BP 与CD 所成角为45°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积. (1)证明 连接BD 交AC 于点F ，点F 为BD 中点，连接EF ，又E 为PD 的中点， ∴PB ∥EF ，∵EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， ∴PB ∥平面AEC . (2)解 ∵AB ∥CD ，∴异面直线BP 与CD 所成角的平面角为∠ABP ＝45°， ∴AB ＝AP ＝1，∴V E －ACD ＝12V P －ACD ＝12×13×12×1×3×1＝312.19.(2017·北京东城区二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长为23，右焦点为F (1，0)，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点A ，B 的一点. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AM 与直线x ＝2交于点N ，线段BN 的中点为E ，证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.(1)解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝1，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 “点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分∠MFB ”. 设直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)， 则N (2，4k )，E (2，2k ).设点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8k 2＋63＋4k 2，y 0＝12k3＋4k 2.①当MF ⊥x 轴时，x 0＝1，此时k ＝±12.所以M ⎝⎛⎭⎫1，±32，N (2，±2)，E (2，±1). 此时，点E 在∠BFM 的角平分线所在的直线y ＝x －1或y ＝－x ＋1上，即EF 平分∠MFB . ②当k ≠±12时，直线MF 的斜率为k MF ＝y 0x 0－1＝4k1－4k 2， 所以直线MF 的方程为4kx ＋(4k 2－1)y －4k ＝0， 所以点E 到直线MF 的距离d ＝|8k ＋2k (4k 2－1)－4k |16k 2＋(4k 2－1)2＝|4k ＋2k (4k 2－1)|(4k 2＋1)2＝|2k (4k 2＋1)||4k 2＋1|＝|2k |＝|BE |. 即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上.20.已知函数f (x )＝a ln x x ，g (x )＝b (x ＋1)，其中a ≠0，b ≠0.(1)若a ＝b ，讨论F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间；(2)已知函数f (x )的曲线与函数g (x )的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，证明：x 1＋x 2a ·g (x 1＋x 2)＞2.(1)解 由已知得，F (x )＝f (x )－g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x x －x －1， ∴F ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1－ln x x 2－1＝ax 2(1－x 2－ln x )， 当0＜x ＜1时， ∵1－x 2＞0，－ln x ＞0， ∴1－x 2－ln x ＞0； 当x ＞1时，∵1－x 2＜0，－ln x ＜0， ∴1－x 2－ln x ＜0.故若a ＞0，F (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 故若a ＜0，F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. (2)证明 不妨设x 1＞x 2，依题意a ln x 1x 1＝b (x 1＋1)， ∴a ln x 1＝b (x 21＋x 1)，① 同理a ln x 2＝b (x 22＋x 2).② 由①－②得，a ln x 1x 2＝b (x 21＋x 1－x 22－x 2)＝b (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)， ∴b a (x 1＋x 2＋1)＝ln x 1x 2x 1－x 2， ∴x 1＋x 2a g (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)b a (x 1＋x 2＋1)＝x 1＋x 2x 1－x 2·ln x 1x 2， 故只需证x 1＋x 2x 1－x 2·ln x 1x 2＞2， ∴取t ＝x 1x 2＞1，即只需证明t ＋1t －1·ln t ＞2，对任意t ＞1恒成立. 即只需证p (t )＝ln t －2t －1t ＋1＞0，对任意t ＞1恒成立. ∵p ′(t )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0， ∴p (t )在区间(1，＋∞)上单调递增，∴p (t )＞p (1)＝0，对任意t ＞1恒成立.故原命题得证.。

解答题滚动练41.(2017届四川省绵阳中学模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足(2b －a )·cos C ＝c ·cos A . (1)求角C 的大小；(2)设y ＝－43sin 2A2＋2sin(C －B )，求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ABC 的形状.解 (1)∵(2b －a )·cos C ＝c ·cos A ，由正弦定理可得(2sin B －sin A )·cos C ＝sin C ·cos A ， 化为2sin B ·cos C ＝sin(C ＋A )＝sin B ， ∵sin B ≠0，∴cos C ＝12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)y ＝－43sin 2A2＋2sin(C －B )＝－23(1－cos A )＋2sin ⎝⎛⎭⎫A －π3＝sin A ＋3cos A －23＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－23， ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴⎝⎛⎭⎫A ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π， ∴当A ＋π3＝π2，即A ＝π6时，y 有大值2－23，此时B ＝π2，因此△ABC 为直角三角形.2.(2017·辽宁葫芦岛二模)已知数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(3n －2)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝4－320＝1.当n ≥2时，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，①a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，②由①－②，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝12n －1(2n ＋2－n －2)＝n 2n －1，a n ＝12n －1，当n ＝1时，a 1也适合上式， ∴a n ＝12n －1(n ∈N *).(2)b n ＝(3n －2)12n －1，S n ＝120＋421＋722＋…＋(3n －5)12n －2＋(3n －2)12n －1，①12S n ＝121＋422＋723＋…＋(3n －5)12n －1＋(3n －2)12n ，②由①－②，得12S n ＝120＋3⎝⎛⎭⎫121＋122＋123＋…＋12n －1－(3n －2)12n ＝1＋32⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(3n －2)12n ，解得S n ＝8－3n ＋42n －1.3.(2017·辽宁重点中学协作体联考)某网络营销部门为了统计某市网友“双11”在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表(如图)：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3∶2. (1)试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图；(2)营销部门为进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定5人，若需从这5人中随机选取2人进行问卷调查，则恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率是多少？ 解 (1)根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧3＋x ＋9＋15＋18＋y ＝60，18＋y 3＋x ＋9＋15＝23， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝6，∴p ＝0.15，q ＝0.10.补全频率分布直方图如图所示.(2)用分层抽样的方法，从中选取5人，则其中“网购达人”有5×25＝2(人)，“非网购达人”有5×35＝3(人)，设“网购达人”的编号为1，2，“非网购达人”的编号为3，4，5，则基本事件空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，其中基本事件的个数为10，事件A ＝“恰好选取1名‘网购达人’和1名‘非网购达人’”＝{(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，其中基本事件的个数为6，则P (A )＝610＝35，即恰好选取1名“网购达人”和1名“非网购达人”的概率为35.4.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －12x 2－ax (a ∈R ，e 是自然对数的底数)在(0，f (0))处的切线与x 轴平行.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)设g (x )＝(e x ＋m －2)x －12x 2＋n .若∀x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求2m ＋n 的最大值.解 (1)f ′(x )＝(x ＋2)e x －x －a ，由已知得f ′(0)＝2－a ＝0，得a ＝2， 则f ′(x )＝(x ＋2)(e x －1)，令f ′(x )＞0，解得x ＞0或x ＜－2，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞). (2)不等式f (x )≥g (x )可化为e x ≥mx ＋n ，记h (x )＝e x －mx －n ，则h ′(x )＝e x －m ，当m≤0时，h′(x)＞0恒成立，则h(x)在R上单调递增，没有最小值，故不成立；当m＞0时，令h′(x)＝0，解得x＝ln m，当x∈(－∞，ln m)时，h′(x)＜0；当x∈(ln m，＋∞)时，h′(x)＞0.当x＝ln m时，函数h(x)取得最小值h(ln m)＝e ln m－m ln m－n＝m－m ln m－n≥0，即m－m ln m≥n，则3m－m ln m≥2m＋n，令F(m)＝3m－m ln m(m＞0)，则F′(m)＝2－ln m，令F′(m)＝0，则m＝e2，当m∈(0，e2)时，F′(m)＞0，当m∈(e2，＋∞)时，F′(m)＜0，故当m＝e2时，F(m)取得最大值F(e2)＝e2，所以e2≥2m＋n，即2m＋n的最大值为e2.。

阶段滚动练8(对应1～18练)(建议时间：100分钟)一、选择题1.(2017·安徽池州联考)已知集合A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＜－45，则A ∩B 等于( )A.{x |x ≤－1}B.{x |x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－54D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54≤x ＜－1答案 A解析 A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，A ∩B ＝{x |x ≤－1}， 故选A.2.已知i 是虚数单位，z ＝2－i 2＋i －i 2 017，且z 的共轭复数为z ，则z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 A解析 z ＝2－i 2＋i －i ＝(2－i )25－i ＝35－95i ⇒z ＝35＋95i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限.3.(2017·成都二诊)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则|a －2b |等于( )A.1B.3C.2D.32答案 A解析 根据条件a ·b ＝1×12×12＝14，∴(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝1－4×14＋4×14＝1，∴|a －2b |＝1，故选A.4.已知命题p ：“关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，若綈p 为真命题的充分不必要条件为a ＞3m ＋1，则实数m 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]答案 B解析 命题p ：a ≤4，綈p 为a ＞4，又綈p 为真命题的充分不必要条件为a ＞3m ＋1，故3m ＋1＞4⇒m ＞1.5.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋6≥0，3x －y －2≤0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为( )A.0B.－1C.－3D.－5 答案 D解析 作出可行域：所以当过B 时目标函数取得最小值－4－1＝－5.6.如果执行如图的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则( )A.A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 答案 C解析 不妨令N ＝3，a 1<a 2<a 3， 则有k ＝1，x ＝a 1，A ＝a 1，B ＝a 1； k ＝2，x ＝a 2，A ＝a 2； k ＝3，x ＝a 3，A ＝a 3， 故输出A ＝a 3，B ＝a 1，故选C.7.数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n 等于( ) A.10n －2B.10n －1C.1210n -D.122n -答案 D解析 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)， 所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1log 2a n ＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列， 所以log 2a n ＝log 2a 1·2n －1⇒a n ＝122n -.8.某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1(如图(2))，其中O 1A 1＝3，O 1C 1＝1，则该几何体的侧面积及体积为( )A.24，24 2B.32，8 2C.48，24 2D.64，64 2答案 C解析 由三视图可知，该几何体为一个四棱柱：因为它的俯视图的直观图是矩形，所以它的俯视图直观图面积为3，所以它的俯视图面积为62，它的俯视图是边长为3的菱形，棱柱高为4，所以侧面积为3×4×4＝48，体积为62×4＝24 2.9.已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －4cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π，且f (θ)＝12，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2等于( )A.－52B.－92C.－112D.－132答案 B解析 由题意可知， f (x )＝32sin 2ωx －2cos 2ωx －2，由最小正周期为π，可得ω＝1，又f (θ)＝12代入可得，52sin(2θ＋φ)＝52⎝⎛⎭⎫tan φ＝－43， sin(2θ＋φ)＝1，则f ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝－52sin(2θ＋φ)－2＝－92. 10.若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为( ) A.43 B.53 C.54 D.74 答案 C解析 若圆x 2＋y 2－3x －4y －5＝0关于直线ax －by ＝0对称，则圆心⎝⎛⎭⎫32，2在直线ax －by ＝0上，所以32a －2b ＝0，即b a ＝34，所以双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝54，故选C.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ＋5，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，eB.⎣⎡⎭⎫12，eC.⎝⎛⎦⎤12，e eD.⎝⎛⎭⎫12，ee 答案 D解析 作出函数图象如图所示.又直线f (x )＝kx －12恒过点B (0，－0.5)，当直线经过点A 时恰好有三个交点，此时斜率k ＝0.5，当直线与ln x 相切时为第二个临界位置， 设切点为(x 0，ln x 0)，故切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，过(0，－0.5)得x 0＝e ⇒k ＝ee，故选D. 12.设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数f (x )＝log 2(4x ＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫14，＋∞B.(0，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫0，14 答案 D解析 ∵函数f (x )＝log 2(4x ＋t )是定义域上的单调增函数， 由题意得，若函数为“优美函数”， 则f (x )＝x 至少有两个不相等的实数根， 即log 2(4x ＋t )＝x ， 整理得4x ＋t ＝2x ，∴(2x )2－2x ＋t ＝0有两个不相等的实根， ∵2x ＞0，令λ＝2x (λ＞0)，∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14，即t ∈⎝⎛⎭⎫0，14，故选D. 二、填空题13.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝________. 答案 －32解析 由正弦定理根据边化角可得，2sin A sin B ＝3sin B ⇒sin A ＝32⇒A ＝π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝－32. 14.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________. 答案 [－52，1]解析 方法一 因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52). 因为A (－12，0)，B (0，6)，所以P A →＝(－12－x ，－50－x 2)或P A →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x ，6＋50－x 2).因为P A →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20， 即2x ＋5≤50－x 2.当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立.当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，得x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1.故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1].方法二 设P (x ，y )，则P A →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y ). ∵P A →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0，得F 点的横坐标为1， 又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].15.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )＋3m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 分别作出函数y ＝f (x )和y ＝－3m 的图象(略)可知，当0＜－3m ＜1时有三个交点， 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2且S n ＋2－3S n ＋1＋2S n ＋a n ＝0(n ∈N *)，记T n＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n (n ∈N *)，若(n ＋6)λ≥T n 对n ∈N *恒成立，则λ的最小值为________. 答案 16解析 S n ＋2－3S n ＋1＋2S n ＋a n ＝S n ＋2－S n ＋1－2(S n ＋1－S n )＋a n ＝a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，即 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }为首项为1，公差为2－1＝1的等差数列， a n ＝1＋(n －1)×1＝n ， S n ＝n (n ＋1)2，1S n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，T n ＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2nn ＋1， 由(n ＋6)λ≥T n 得λ≥2n (n ＋1)(n ＋6)＝2n ＋6n＋7， ∵当n ＝2或n ＝3时，2n ＋6n ＋7有最大值16，∴λ≥16，即λ的最小值为16.三、解答题17.(2017·衡水中学押题卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cos C ＝(2b －3c )cos A . (1)求角A 的大小；(2)已知等差数列{a n }的公差不为零，若a 1sin A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列，求⎩⎨⎧⎭⎬⎫4a n a n ＋1的前n 项和S n .解 (1)由正弦定理可得3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而可得3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A .又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32， 又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)设{a n }的公差为d ，因为a 1sin A ＝1，且a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以a 1＝1sin A＝2，且a 24＝a 2·a 8， 所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，且d ≠0，解得d ＝2， 所以a n ＝2n ，所以4a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ADC ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值. (1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ADC .∵DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ADC .(2)解 ∵DC ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC .在Rt △ABE 中，AB ＝2，EB ＝ 3.在Rt △ABC 中，∵AC ＝x ，BC ＝4－x 2(0<x <2)，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·4－x 2， ∴V (x )＝V E －ABC ＝36x ·4－x 2(0<x <2). ∵x 2(4－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 2＋4－x 222＝4，当且仅当x 2＝4－x 2， 即x ＝2时，取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 19.已知函数f (x )＝(bx －1)e x ＋a (a ，b ∈R ). (1)如果曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，求a ，b 的值；(2)若a ＜1，b ＝2，关于x 的不等式f (x )＜ax 的整数解有且只有一个，求a 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝b e x ＋(bx －1)e x ＝(bx ＋b －1)e x .因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝0，f ′(0)＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，b －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (2)当b ＝2时，f (x )＝(2x －1)e x ＋a (a ＜1)，关于x 的不等式f (x )＜ax 的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(2x －1)e x ＋a －ax ＜0的整数解有且只有一个.构造函数F (x )＝(2x －1)e x ＋a －ax ，x ∈R ，所以F ′(x )＝e x (2x ＋1)－a .①当x ≥0时，因为e x ≥1，2x ＋1≥1，所以e x (2x ＋1)≥1，又a ＜1，所以F ′(x )＞0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增.因为F (0)＝－1＋a ＜0，F (1)＝e ＞0，所以在[0，＋∞)上存在唯一的整数x 0＝0使得F (x 0)＜0，即f (x 0)＜ax 0.②当x ＜0时，为满足题意，函数F (x )在(－∞，0)内不存在整数使F (x )＜0，即F (x )在(－∞，－1]上不存在整数使F (x )＜0.因为x ≤－1，所以e x (2x ＋1)＜0.当0≤a ＜1时，函数F ′(x )＜0，所以F (x )在(－∞，－1)上为减函数，所以F (－1)≥0，即32e≤a ＜1； 当a ＜0时，F (－1)＝－3e＋2a ＜0，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫32e ，1. 20.F 为抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点，直线x ＝4与抛物线C 交于点Q ，与x 轴交于点P ，且|QF |＝54|PQ |. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于点M ，过点M 作抛物线C 的切线，切点为D (异于原点)，求证：2k DF ＝k DA ＋k DB .(1)解 设Q (4，m )，代入x 2＝2py ，得m ＝8p ，由抛物线定义得p 2＋m ＝54m ，因此p 2＋8p ＝54·8p，解得p ＝2(舍去p ＝－2)，即抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)证明 设l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，代入x 2＝4y 化简得x 2－4kx －4＝0⇒x 1＋x 2＝4k ，令y ＝0，得M ⎝⎛⎭⎫－1k ，0. ∵y ＝14x 2， ∴y ′＝12x ，设D ⎝⎛⎭⎫t ，t 24， 则12t ＝t 24－0t －⎝⎛⎭⎫－1k ⇒t ＝－2k ，D ⎝⎛⎭⎫－2k ，1k 2， 2k DF ＝21k 2－1－2k－0＝k －1k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k DA ＋k DB ＝x 214－t 24x 1－t ＋x 224－t 24x 2－t＝x 1＋t 4＋x 2＋t 4＝4k ＋2t 4＝k －1k ， 因此2k DF ＝k DA ＋k DB .。

2018年高考数学文科二轮专题闯关导练：押题模拟（一）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{－1,1,2,3}，则A∩B＝( )A. {－1,1}B. {1,2}C. {1,3}D. {－1,3}【答案】D【解析】【详解】A＝, B＝{－1,1,2,3}∴A∩B＝{－1,3}故选：D2.已知i是虚数单位，z＝，则复数z的实部为( )A. －B.C. －D.【答案】A【解析】z＝＝.∴复数z的实部为－故选：A3.函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，若f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，则( )A. f(1)＝1，g(2)＝－2B. f(1)＝－2，g(2)＝1C. f(1)＝1，g(2)＝2D. f(1)＝2，g(2)＝1【答案】C【解析】∵函数f(x)，g(x)都是定义域为R的奇函数，f(－1)＋g(－2)＝－3，f(－1)－g(－2)＝1，∴－f(1) －g(2)＝－3，－f(1)+g(2)＝1，∴f(1)＝1，g(2)＝2故选：C4.如图，正方形ABCD中，AC，BD交于点O，E，G是线段AC上的点，F，H是线段BD上的点，且AE＝CG＝EG，BF＝FH＝DH，连接EF，FG，GH，EH，现往正方形ABCD中投掷1200个点，则可以估计，落在阴影区域内点的个数为( )A. 100B. 200C. 300D. 400【答案】B【解析】设AC＝BD＝6，则正方形ABCD的面积为6×6＝36，而菱形EFGH的面积为×6××6＝6，故落在阴影区域内点的个数为1200×＝200.故选：B5.将函数y＝sin的图象向右平移个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)图象的一个对称中心为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】f(x)＝sin＝sin.且f()＝sin.故选：B6.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，若点N(4,1)，P为抛物线C上的点，则|NP|＋|PF|的最小值为( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】记点P到抛物线C的准线l的距离为d，点N到抛物线C的准线l的距离为d′，故|NP|＋|PF|＝|NP|＋d≥d′＝6，故|NP|＋|PF|的最小值为6.故选：D7.已知实数x，y满足,则z＝log2(x＋y)的最大值为( )A. log229－2B. log214C. 4D. 5【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，要想z＝log2(x＋y)取得最大值，只需z′＝x＋y取得最大值即可；观察可知，当直线z′＝x＋y过点B(9,7)时，z′有最大值16，故z＝log2(x＋y)的最大值为4.故选：C8.《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下. 若输出的S的值为365，则判断框中可以填( )A. i>4?B. i>5?C. i>6?D. i>7?【答案】D【解析】运行该程序，第一次，S＝290，i＝2，第二次，S＝302.5，i＝3，…，第七次，S＝365，i＝8，此时，要输出S的值，故判断框中可以填“i>7”．故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝a7－a1，则{a n}的公比q为( )A. －1B. 2C. －1或2D. －2或3【答案】C【解析】当q=1时，显然不成立当q时，,解得：q=－1或210.将一个正方体切去两个三棱锥，得到一个几何体，若该几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. 6＋B. 3＋C. 6＋2D. 3＋【答案】D【解析】在正方体中截去了三棱锥与三棱锥∴其表面积为：3＋故选：D点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.11.已知双曲线E： (a＞0，b＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为，过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A，B两点，在双曲线E上取一点C(与A，B不重合)，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线E的两条渐近线方程为3x±4y＝0，可设双曲线的方程(λ>0)，c2＝16λ＋9λ＝25λ，∴F(5，0)．将x＝5代入方程(λ>0)得y＝±，则2×＝，解得λ＝1，故双曲线的方程为.设点A(x1，y1)，则根据对称性可知B(－x1，－y1)，点C(x0，y0)，k1＝，k2＝，∴k1k2＝，且，，两式相减可得，＝.故选:C12.已知函数f(x)＝e x sin x(0≤x≤π)，若函数y＝f(x)－m有两个零点，则实数m的取值范围是( )A. B. C. [0,1) D. [1，e)【答案】A【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)≥0⇒0≤x≤，f′(x)<0⇒<x<π，f(0)＝f(π)＝0，f＝，由题意，利用图象得0≤m<.故选：A点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知tan θ＝5，则＝________.【答案】3【解析】∵tan θ＝5∴故答案为：314.已知向量a，b的夹角为，|a|＝3，|a－2b|＝，则|b|＝________.【答案】2【解析】∵向量，的夹角为，＝3，＝∴即，解得：或（舍）故答案为：215.若三棱锥P－ABC的体积为，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，AC＝2，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为________．【答案】12π【解析】∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且AB＝2，AC＝2，，又三棱锥P－ABC的体积为，∴PA=2∴画出几何图形，可以构造补充图形为正方体，棱长为2，2，2．∵对角线长．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为，三棱锥P－ABC的外接球的表面积为12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝5，a6＝11，若数列{}是等差数列，则a n＝________.【答案】2n-1【解析】设＝kn＋b，则∴∴S n＝n2，a n＝2n－1.故答案为：2n-1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a2＋ab－2b2＝0.(Ⅰ)若B＝，求sin C的值；(Ⅱ)若sin A＋3sin C＝3sin B，求sin C的值．【答案】(1)(2)【解析】试题分析：(1)由3a2＋ab－2b2＝0，3a＝2b，即3sin A＝2sin B，又B＝，从而求出sin C的值；(2)设a＝2t，b ＝3t，又sin A＋3sin C＝3sin B，从而可得c＝t，利用余弦定理先求cos C，进而得到sin C的值．试题解析：(Ⅰ)因为3a2＋ab－2b2＝0，故(3a－2b)(a＋b)＝0，故3a2＋ab－2b2＝0，故3sin A＝2sin B，故sin A＝，因为3a＝2b，故a<b，故A为锐角，故sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.(Ⅱ)由(Ⅰ)可设，a＝2t，b＝3t，因为sin A＋3sin C＝3sin B，故a＋3c＝3b，故c＝t，故cos C＝＝，故sin C＝＝.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，BF⊥平面ABCD，∠GDC＝90°，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点．(Ⅰ)求证：AP⊥平面GCD；(Ⅱ)求证：平面ADG∥平面FBC；(Ⅲ)若AP∥平面BDE，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析（3）2【解析】试题分析：(1)因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，又CD⊥平面GAD，所以CD⊥AP，从而AP⊥平面GCD.；(2)∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，又CD∩GD＝D，∴CD⊥平面FBC，结合（1）可证明结果；(3)连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，从而M是PC中点，过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点.试题解析：(Ⅰ)证明：因为△GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故AP⊥GD，因为AD⊥CD，GD⊥CD，且AD∩GD＝D，AD，GD⊂平面GAD，故CD⊥平面GAD，又AP⊂平面GAD，故CD⊥AP，又CD∩GD＝D，CD，GD⊂平面GCD，故AP⊥平面GCD.(Ⅱ)证明：∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥CD，∵BC⊥CD，BF∩BC＝B，BF，BC⊂平面FBC，∴CD⊥平面FBC，由(Ⅰ)知CD⊥平面GAD，∴平面ADG∥平面FBC.(Ⅲ)解：连接PC交DE于点M，连接AC交BD于点O，连接OM，∵AP∥平面BDE，AP∥OM，∵O是AC中点，∴M是PC中点过P作PN∥DE，交CG于点N，则N是GE中点，E是CN中点，∴＝2.19.近年来，随着双十一、双十二等网络活动的风靡，各大网商都想出了一系列的降价方案，以此来提高自己的产品利润. 已知在2016年双十一某网商的活动中，某店家采取了两种优惠方案以供选择：方案一：购物满400元以上的，超出400元的部分只需支出超出部分的x%；方案二：购物满400元以上的，可以参加电子抽奖活动，即从1,2,3,4,5,6这6张卡牌中任取2张，将得到的数字相加，所得结果与享受优惠如下：(Ⅰ)若某顾客消费了800元，且选择方案二，求该顾客只需支付640元的概率；(Ⅱ)若某顾客购物金额为500元，她选择了方案二后，得到的数字之和为6，此时她发现使用方案一、二最后支付的金额相同，求x的值．【答案】(1)(2)50【解析】试题分析：(1)该顾客花了640元，说明所取数字之和在[8,9]之间，故满足条件的为(3,5)，(3,6)，(4,5)，(2,6)，总的事件个数为15，从而得到所求概率；(2)依题意，该顾客需要支付450元，故400＋x%×100＝450，解得x＝50. 试题解析：依题意，所有的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6).(Ⅰ)若该顾客花了640元，说明所取数字之和在[8,9]之间，故满足条件的为(3,5)，(3,6)，(4,5)，(2,6)，所求概率为.(Ⅱ)依题意，该顾客需要支付450元，故400＋x%×100＝450，解得x＝50.20.已知椭圆C： (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，直线y＝x＋b截得椭圆C的弦长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线，交椭圆C于点A，B，求|AB|的最大值，并求取得最大值时m的值．【答案】(1)(2) |AB|最大为，m＝±1.【解析】试题分析：(1)利用条件布列关于a,b方程组，即可得到椭圆C的方程；(2)讨论直线的斜率，进而联立方程，(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，表示弦长，进而得到|AB|的最大值.试题解析：(Ⅰ)由e＝＝，a2＝b2＋c2得a2＝2c2，b2＝c2，由得∵＝b＝，∴b＝1，∴a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(Ⅱ)当AB与x轴垂直时，＋y2＝1，|y|＝，|AB|＝，当AB与x轴不垂直时，设AB方程为y＝k(x－m)，由得(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，由＝1得k2m2＝k2＋1，∴|AB|＝＝≤＝，当且仅当|m|＝1时取“＝”，∴|AB|<，∴当AB⊥x轴时，|AB|最大为，m＝±1.21.已知函数f(x)＝x ln x－x.(Ⅰ)求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值. (2)【解析】试题分析：(1)x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，讨论f′(x)的符号，求出f(x)的单调区间，从而求出函数的极值；（2）∀x>0，f(x)＋ax2≤0成立通过变量分离转化为a≤在(0，＋∞)上恒成立问题即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，x∈(0，＋∞)，f′(x)＝ln x，令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴当x＝1时，函数f(x)有极小值，极小值为f(1)＝－1，无极大值.(Ⅱ)∀x>0，f(x)＋ax2≤0，a≤－，令g(x)＝－，g′(x)＝－－＝，当0<x<e2时，g′(x)<0，当x>e2时，g′(x)>0，∴g(x)在(0，e2]上是减函数，在[e2，＋∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e2)＝－＝－，∴a≤－，∴a的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22.[选修4－4：坐标系与参数方程]平面直角坐标系xOy中，射线l：y＝x(x≥0)，曲线C1的参数方程为 (α为参数)，曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4；以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 曲线C3的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(Ⅰ)写出射线l的极坐标方程以及曲线C1的普通方程；(Ⅱ)已知射线l与C2交于O，M，与C3交于O，N，求|MN|的值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)，把曲线C1的参数方程化为普通方程；（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，进而表示|MN|的值即可.试题解析：(Ⅰ)依题意，因为射线l：y＝x(x≥0)，故射线l：θ＝ (ρ≥0)；因为曲线C1：故曲线C1：＋＝1.(Ⅱ)曲线C2的方程为x2＋(y－2)2＝4，故x2＋y2－4y＝0，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，设点M，N对应的极径分别为ρ1，ρ2，故|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.23.[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.(Ⅰ)解不等式：f(x)>15；(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的大小．【答案】(1) (－∞，－4)∪(2，＋∞) (2)【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最小值m，得到4a＋25b＝10，利用均值不等式求出＋的最小值．试题解析：(Ⅰ)依题意，2|x－2|＋3|x＋3|>15；当x<－3时，原式化为2(2－x)－3(x＋3)>15，解得x<－4；当－3≤x≤2时，原式化为2(2－x)＋3(x＋3)>15，解得x>2，故不等式无解；当x>2时，原式化为2(x－2)＋3(x＋3)>15，解得x>2；综上所述，不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，故＋＝ (4a＋25b)＝≥，当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝.。

阶段滚动练5(对应1～12练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.已知集合P ＝{x |log 2x ＜－1}，Q ＝{x ||x |＜1}，则P ∩Q 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(0，1) D.⎝⎛⎭⎫－1，12 答案 A解析 由题意得，P ＝{x |log 2x ＜－1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|0＜x ＜12，Q ＝{x ||x |＜1}＝{x |－1＜x ＜1}，所以P ∩Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，故选A.2.复数2＋i 1－2i 的共轭复数的虚部是( )A.－35B.35 C.1 D.－1答案 D解析 由题意得2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i 5＝i ，所以其共轭复数的虚部为－1.3.已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x 的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧綈q ；④綈p ∨綈q . 则其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C解析 因为Δ＝(－2a )2－4×(－1)＝4a 2＋4＞0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋4x 的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧綈q ，綈p ∨綈q 是真命题，故选C.4.已知点A (2，m )，B (1，2)，C (3，1)，若AB →·CB →＝|AC →|，则实数m 等于( ) A.1 B.53 C.2 D.73答案 D解析 AC →＝(1，1－m )，CB →＝(－2，1)，AB →＝(－1，2－m )，由于AB →·CB →＝|AC →|，可得4－m ＝2－2m ＋m 2，解得m ＝73，故选D.5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧5·⎝⎛⎭⎫122x ，－1≤x ＜1，1＋4x 2，x ≥1，设m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，则m ·f (2m )的最小值为( )A.4B.2C. 2D.2 2 答案 D解析 由于m ＞n ≥－1，且f (m )＝f (n )，所以可得1≤m ＜4，从而m ·f (2m )＝m ⎝⎛⎭⎫1＋2m 2＝m ＋2m ≥22，当且仅当m ＝2时取等号，故选D. 6.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )答案 B解析 由题意得，f (x )＝⎝⎛⎭⎫21＋e x －1cos x ＝1－e x1＋e x ·cos x ，所以f (－x )＝1－e －x 1＋e －x ·cos(－x )＝e x －11＋e x·cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x ＝1，则f (1)＝⎝⎛⎭⎫21＋e 1－1cos 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 1＋e cos 1＜0，故选B.7.已知锐角△ABC 的三边长a ， b ， c 成等差数列，且a 2＋b 2＋c 2＝21，则实数b 的取值范围为( ) A.(6，7] B.(0，7] C.⎝⎛⎦⎤2425，7 D.(6，7]答案 C解析 设公差为d ，则有a ＝b －d ，c ＝b ＋d ， 代入a 2＋b 2＋c 2＝21化简可得3b 2＋2d 2＝21， 当d ＝0时，b 有最大值为7，三角形为锐角三角形， 由余弦定理可知，(b －d )2＋b 2－(b ＋d )22b (b －d )>0，解得 b >4d ，∴3b 2＋2⎝⎛⎭⎫b 42>21，解得 b >2425，则实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤2425，7. 8.等比数列{a n }的前n 项和S n ＝12·3n +1＋c (c 为常数)，若λa n ≤3＋S 2n 恒成立，则实数λ的最大值是( )A.3B.4C.5D.6 答案 C解析 由题意可知，c ＝－32且a n ＝3n ，可得λ≤3＋12·32n +1－323n， 化简为λ≤32⎝⎛⎭⎫3n ＋13n ， 由于基本不等式等号不成立，所以由对勾函数可知， 当n ＝1时， λmax ＝5.故选C.9.记min{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最小值，若x ，y 为任意正实数，则M ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2x ，1y ，y ＋1x 的最大值是( )A.1＋ 2B.2C.2＋ 2D. 3 答案 D解析 设a ＝2x ，b ＝1y ，c ＝y ＋1x ＝1b ＋2a ，不妨设a ≤b ，则1a ≥1b，有2a ＋1b －a ≥2b ＋1b －b ＝3b －b ＝3－b 2b ， 又1b ＋2a －a ≤1a ＋2a －a ＝3a －a ＝3－a 2a ， 则3－b 2b ≤c －a ≤3－a 2a，当a ≥3时，c ≤a ，此时c 最小；当0＜a ＜3时，c －a ≥0，此时a 最小，则M ≤ 3.故选D.10.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移π8个单位长度后关于y 轴对称，则满足此条件的φ值为( ) A.π4 B.3π8 C.3π4 D.5π8 答案 C解析 平移后有y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π4，它关于y 轴对称，则φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋3π4，k ∈Z ，由于0＜φ＜π，所以φ＝3π4.11.在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A.－2 018B.－2 016C.－2 019D.－2 017答案 A解析 由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.故选A.12.设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A.[－1，2] B.(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 答案 D解析 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1， 因为e x ＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0，1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2，2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23，故选D.二、填空题13.(2017·全国Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________. 答案 1解析 f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1. 14.设m ＞1，变量x ，y 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值为2，则m＝________. 答案 1＋ 2解析 因为m ＞1，由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1作出可行域，如图所示，直线y ＝mx 与直线x ＋y＝1交于⎝⎛⎭⎫1m ＋1，mm ＋1，目标函数z ＝x ＋my 对应的直线与直线y ＝mx 垂直，且在⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1处取得最大值，由题意可知1＋m 2m ＋1＝2，且m ＞1，解得m ＝1＋ 2.15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c sin B ＋b sin C ＝2a ，b ＝2，则△ABC的面积是________. 答案 1解析 ∵c sin B ＋bsin C ＝2a ，可得sin C sin B ＋sin B sin C ＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B sin B sin C＝2sin A ，∴sin 2C ＋sin 2B ＝2(sin B cos C ＋cos B sin C )sin B sin C ＝2sin 2B sin C cos C ＋2sin 2C sin B cos B ， ∴sin 2C (1－2sin B cos B )＋sin 2B (1－2sin C cos C )＝0， ∴sin 2C (sin B －cos B )2＋sin 2B (sin C －cos C )2＝0， ∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，可得B ＝C ＝45°， 又∵b ＝2，∴S △ABC ＝12×(2)2＝1.16.(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数.又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e－x＝－⎝⎛⎭⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数. 由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1) ＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12. 三、解答题17.已知f (x )＝(log m x )2＋2log m x －3(m ＞0，且m ≠1). (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0；(2)若f (x )＜0在[2，4]上恒成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)当m ＝2时，解不等式f (x )＜0，得 (log 2x )2＋2log 2x －3＜0， 即－3＜log 2x ＜1，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18＜x ＜2.(2)由f (x )＜0在[2，4]上恒成立，得－3＜log m x ＜1在[2，4]上恒成立，①当m ＞1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 2，log m4＜1，得m ＞4，②当0＜m ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧－3＜log m 4，log m 2＜1得0＜m ＜134，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，134∪(4，＋∞).18.(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0.于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3) ＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32， 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.19.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足：a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，设{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n ·2n 的前n 项和为T n ，求证：T n ＜3.(1)解 根据题意，在等差数列{a n }中，设公差为d ，a 4＝2a 2，且a 1，4，a 4成等比数列，a 1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝2(a 1＋d )，a 1·(a 1＋3d )＝16，解得a 1＝2，d ＝2， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)证明 由(1)知，a 1＝d ＝2， 则S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n ，∴S n n ·2n ＝n ＋12n . ∴T n ＝221＋322＋423＋…＋n ＋12n ，(*) 12T n ＝222＋323＋…＋n 2n ＋n ＋12n ＋1，(**)两式相减得12T n ＝221＋122＋123＋…＋12n －n ＋12n ＋1，∴T n ＝2＋121＋122＋…＋12n －1－n ＋12n ＝2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－n ＋12n ＝3－12n －1－n ＋12n ＜3.∴T n ＜3.20.设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a ). (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2， 依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即当x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max ＝－22， 当且仅当x ＝2x ，即当x ＝－2时等号成立.所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22).。

一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B阶段滚动检测(一)2.命题“∂x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为( ) A ．“∂x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0” B ．“∂x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≤0” C ．“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0” D ．“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若全集U ＝{x |x 2≤4}，则集合A ＝{x ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |0<x ≤2} C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤2}5．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t x ，x <2，log t(x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( ) A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x .这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1)10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．③④D ．①④11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－1，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)． 其中是“定义域上的M 函数”的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．若不等式x －1x>0成立的充分不必要条件是x >a ，则实数a 的取值范围是____________．15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________． 三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}． (1)若a ＝12，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]．(1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∂x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M . (1)求集合M ；(2)设关于x 的不等式(x －a )(x ＋a －2)<0(a ∈R )的解集为N ，若“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐地普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁的服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．根据调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x(元)(60≤x≤300，x∈N*)，用y(元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入＝日出租电动汽车的总收入－日管理费用)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．C [根据定义可知原命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”．]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．B [由题意知，U ＝{x |－2≤x ≤2}，A ＝{x |－2≤x ≤0}，则∁U A ＝{x |0<x ≤2}．] 5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．] 6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .] 7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.] 9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1. ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝－x －1＝f (x )， 即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]． ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的函数． 若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]， ∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3； 若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0； 若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.]12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12， f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22，当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”； 对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12， f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2，因为x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．] 13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3. 14．{a |a ≥1}解析 由不等式x －1x >0，得(x ＋1)(x －1)x>0，即－1<x <0或x >1，由充分不必要条件的含义可知，{x |x >a }为不等式解集的真子集，则a ≥1.故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 15.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (12log 4)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)．16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0， 解得m ≥1或m ≤－6. 又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1. 故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝{x |0<x <1}． (2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1， ∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12.综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2.19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2.(2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]．当t ＝－32，即log 3x ＝－32，即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2， 即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}．(2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N . 当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意； 当a >1时，a >2－a ， 此时集合N ＝{x |2－a <x <a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧2－a <－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ， 此时集合N ＝{x |a <x <2－a }， 则⎩⎪⎨⎪⎧a <－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}．21．解 (1)当60≤x ≤90时， y ＝750x －1 725，当90<x ≤300时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，－3x 2＋1 020x －1 725，90<x ≤300. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，∵y 在[60,90]上单调递增， ∴当x ＝90时，y max ＝65 775(元)．对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90<x ≤300，x ∈N *， 当x ＝170时，y max ＝84 975(元)． ∵84 975>65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多． 22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1； 当x <－1时，f (x )＝1恒成立． ∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}． (2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13.∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}．(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a<0， 取x 0＝21－a，此时x 0<a ，∴g (x 0)＝g ⎝⎛⎭⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0，即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a ，使得g (x 0)<0，∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立． ②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1， ∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34， g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝⎛⎭⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0， 得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1.综上，a ∈[－3,1]．。

解答题滚动练解答题滚动练11.(2017·太原三模)已知m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 3，cos x 3，n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，cos x 3·f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若a ， b ， c 分别是△ABC 的内角A ， B ， C 所对的边，且a ＝2，(2a －b )cos C ＝c cos B ，f (A )＝32，求c . 解 (1)∵f (x )＝m ·n ＝3sin x 3cos x 3＋cos 2x 3＝32sin 2x 3＋12⎝⎛⎭⎫cos 2x 3＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π6＋12， ∴f (x )的最小正周期为3π，令－π2＋2k π≤2x 3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 则－π＋3k π≤x ≤π2＋3k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π＋3k π，π2＋3k π(k ∈Z ). (2)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin A ，∵0＜A ＜π，∴sin A ＞0，∴ cos C ＝12， ∵0＜C ＜π，∴ C ＝π3， ∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＋12＝32，∴sin ⎝⎛⎭⎫2A 3＋π6＝1，∴2A 3＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴A ＝π2＋3k π，k ∈Z ，又0＜A ＜π， ∴A ＝π2， ∴c ＝a sin C ＝2sin π3＝ 3.2.已知数列{a n }是首项a 1＝13，公比q ＝13的等比数列.设b n ＝213log n a －1(n ∈N *). (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝a n ＋b 2n ，求数列{c n }的前n 项和T n .(1)证明 由已知得a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n . b n ＝2131log ()3n－1＝2n －1，b 1＝1，则b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－1－2n ＋1＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)解 由(1)知，b 2n ＝4n －1，则数列{b 2n }是以3为首项，4为公差的等差数列.c n ＝a n ＋b 2n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋4n －1，则T n ＝13＋19＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＋3＋7＋…＋(4n －1)， 即T n ＝13·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＋(3＋4n －1)·n 2，即T n ＝2n 2＋n ＋12－12·⎝⎛⎭⎫13n (n ∈N *). 3.如图(1)，五边形ABCDE 中， ED ＝EA ，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，∠EDC ＝150°.如图(2)，将△EAD 沿AD 折到△P AD 的位置，得到四棱锥P －ABCD .点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面PCD ；(2)若直线PC 与AB 所成角的正切值为12，设AB ＝1，求四棱锥P －ABCD 的体积. (1)证明 取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，则MN ∥CD ，MN ＝12CD ， 又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，所以MN ∥AB ，且MN ＝AB ， 则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN ∥BM .又BM ⊥平面PCD ，∴AN ⊥平面PCD ，又AN ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面PCD .(2)解 取AD 的中点O ，连接PO ，∵AN ⊥平面PCD ，∴AN ⊥PD ，AN ⊥CD .由ED ＝EA ，即PD ＝P A 及N 为PD 的中点，可得△P AD 为等边三角形，∴∠PDA ＝60°.又∠EDC ＝150°，∴∠CDA ＝90°，∴CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，CD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD .∵PO ⊥AD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，∴PO ⊥平面ABCD .∴PO 是四棱锥P －ABCD 的高.∵AB ∥CD ，∴∠PCD 为直线PC 与AB 所成的角，由(1)可得∠PDC ＝90°，∴tan ∠PCD ＝PD CD ＝12， ∴CD ＝2PD ，由AB ＝1，可知CD ＝2，P A ＝AD ＝AB ＝1，则V 四棱锥P －ABCD ＝13PO ·S 直角梯形ABCD ＝34. 4.已知函数f (x )＝e x －mx 2－2x .(1)若m ＝0，讨论f (x )的单调性；(2)若m ＜e 2－1，证明：当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＞e 2－1. (1)解 当m ＝0时，f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.易知f (x )在(－∞，ln 2)上单调递减，f (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增.(2)证明 f ′(x )＝e x －2mx －2，(f ′(x ))′＝e x －2m ＞e x －2·e －22＝e x －(e －2).当x ∈[0，＋∞)时，e x ≥1＞e －2，故(f ′(x ))′＞0，故f ′(x )单调递增.又f ′(0)＝1－2＝－1＜0，f ′(1)＝e －2m －2＞e －2·⎝⎛⎭⎫e 2－1－2＝0， 故存在唯一的x 0∈(0，1)，使得f ′(x 0)＝0，即0e x －2mx 0－2＝0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0，故f (x )单调递减，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )单调递增.故f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －mx 20－2x 0.因为x ＝x 0是方程0e x －2mx 0－2＝0的根，故m ＝0e x －22x 0. 故f (x )min ＝0e x －0e x －22x 0x 20－2x 0＝0e x －12x 00e x －x 0. 令g (x )＝e x －12x e x －x ，x ∈(0，1)，则g ′(x )＝12e x －12x e x －1，(g ′(x ))′＝－12x e x ＜0. 故g ′(x )在(0，1)上单调递减，故g ′(x )＜g ′(0)＝－12＜0， 故g (x )在(0，1)上单调递减，∴g (x )＞g (1)＝e 2－1，故f (x )＞e 2－1.。

阶段滚动练7(对应1～16练)(建议时间：100分钟)一 、选择题1.(2017·大连测试)已知集合A ＝{2，3，4}，B ＝{x |2x ＜16}，则A ∩B 等于( ) A.∅ B.{2} C.{2，3，4} D.{2，3} 答案 D解析 因为A ＝{2，3，4}，B ＝{x |x ＜4}，故A ∩B ＝{2，3}，故选D. 2.若a ＋i ＝(1＋2i)·t i(i 为虚数单位，a ，t ∈R )，则t ＋a 等于( ) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案 A解析 因为a ＋i ＝－2t ＋t i ，所以a ＝－2，t ＝1，则a ＋t ＝－1，故选A. 3.命题“∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ＜12”的否定是( ) A.∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12B.∀x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x ≥12C.∃x 0＞1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12D.∃x 0≤1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12答案 C解析 因为“∀x ＞1，⎝⎛⎭⎫12x ＜12”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知，其否定是特称(存在性)命题，即“∃x 0＞1，012x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥12”，故选C.4.(2017·江西鹰潭一中月考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，则向量2a ＋3b 在向量2a ＋b 方向上的投影为( ) A.8313 B.61313 C.566 D.191313 答案 D解析 |2a ＋3b |2＝4a 2＋12a ·b ＋9b 2＝61，|2a ＋3b |＝61. 又|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝13， 所以|2a ＋b |＝13， 则cos 〈2a ＋3b ，2a ＋b 〉＝(2a ＋3b )(2a ＋b )|2a ＋3b ||2a ＋b |＝1961·13，所以向量2a ＋3b 在向量2a ＋b 方向上的投影为 |2a ＋3b |cos 〈2a ＋3b ，2a ＋b 〉＝61×1961·13＝191313.5.已知函数f (x )＝sin x －x ，则不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )＜0的解集是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 B.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ C.(3，＋∞) D.(－∞，3)答案 D解析 因为f ′(x )＝cos x －1≤0，所以函数f (x )＝sin x －x 是单调递减函数； 又f (－x )＝－sin x ＋x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数， 所以原不等式可化为f (x ＋2)＜f (2x －1)，则由函数的单调性可知，x ＋2＞2x －1⇒x ＜3，故选D. 6.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为( )A.3＋2＋62B.2＋3＋62C.6＋2＋32D.3＋22答案 A解析 由题意可知，几何体是四棱锥，如图所示，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1，四个侧面都是直角三角形，其中三角形PBC 的高为PB ＝PD 2＋BD 2＝3， 故侧面积为S ＝S △P AB ＋S △PBC ＋S △PCD ＋S △P AD＝12×1×2＋12×2×3＋12×1×2＋12×1×1＝3＋2＋62.7.给出下列关于互不相同的直线l ，m ，n 和平面α，β，γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0答案 C解析 ①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l ，m ；②中l 与m 也可能异面；③中⎩⎪⎨⎪⎧l ∥γ，l ⊂α，α∩γ＝n⇒l ∥n ，同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确.8.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若函数y ＝f (x )e x 在x ＝－1处取得极值，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析 由y ＝f (x )e x ＝e x (ax 2＋bx ＋c )，得y ′＝f ′(x )e x ＋e x f (x )＝e x [ax 2＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]， 由于a －(b ＋2a )＋b ＋c ＝0，所以c ＝a ， 所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋a ，由此得函数相应方程的两根之积为1，对照四个选项发现，D 不成立，故选D.9.(2017·河北武邑中学调研)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 答案 A解析 设等差数列的公差为d ，首项为a 1，所以a 3＝a 1＋2d ，a 4＝a 1＋3d . 因为a 1，a 3，a 4成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d . 所以S 3－S 2S 5－S 3＝a 1＋2d 2a 1＋7d＝2，故选A.10.已知等腰梯形ABCD 中AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，双曲线以A ，B 为焦点，且经过C ，D 两点，则该双曲线的离心率等于( ) A. 2 B.3 C. 5 D.3＋1 答案 D解析 如图，因为AB ＝2CD ＝4，∠BAD ＝60°，所以DB ＝23， 则由双曲线的定义可得2a ＝23－2，2c ＝4， 即a ＝3－1，c ＝2，故双曲线的离心率是e ＝c a ＝23－1＝2(3＋1)2＝3＋1，故选D.11.圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值是( ) A.6 B.4 C.5 D.1 答案 B解析 圆x 2＋y 2＝1的圆心是(0，0)，半径是1， 那么圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离是d ＝||－2532＋42＝5，则圆上的点到直线的最小距离d 1＝5－1＝4，B 项正确. 12.若对∀x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2，则函数g (x )＝2xx 2＋1＋f (x )的最大值与最小值的和为( )A.4B.6C.9D.12 答案 A解析 在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－2中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )－2，令x ＝y ＝0，得f (0)＝2，故f (x )＋f (－x )＝4，故函数f (x )的图象关于(0，2)对称，故函数y ＝f (x )－2是奇函数，又y ＝2x x 2＋1是奇函数，所以函数g (x )－2＝2xx 2＋1＋f (x )－2为奇函数，故函数g (x )－2的最大值和最小值的和为0，故函数g (x )的最大值和最小值的和为4，故选A. 二、填空题13.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2≥0，x ＋y －4≤0，x －3y ＋3≤0，则z ＝－3x ＋y 的最小值为________.答案 0解析 画出可行域为阴影部分.z ＝－3x ＋y ，即y ＝3x ＋z 过交点A 时，z 最小.由⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， ∴z min ＝－3×1＋3＝0.14.(2017·江苏)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 答案 32解析 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.15.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°，则|OA |＝________. 答案21解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)， ∵直线l 过F ，倾斜角为60°， ∴直线l 的方程为y ＝3(x －1)， 即x ＝33y ＋1， 代入抛物线方程，化简可得y 2－433y －4＝0，∴y ＝23或y ＝－233，∵A 在x 轴上方，故y ＝23， 则A (3，23)，则|OA |＝21.16.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5解析 利润等于收入减成本，所以y ＝⎝⎛⎭⎫48＋t 2x ·x －32x －t －3＝16x －t 2－3 ＝16x ＋x －12(x －3)－3＝16(x －3)＋1x －3＋48－2.5，因为x ＝3－2t ＋1＜3，所以原式x －3＜0，可化简为y ＝－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ＋45.5，而16(3－x )＋13－x ≥216(3－x )×13－x＝8，那么－⎣⎡⎦⎤16(3－x )＋13－x ＋45.5≤－8＋45.5＝37.5， 等号成立的条件是16(3－x )＝13－x⇒x ＝114，所以该公司的最大利润是37.5. 三、解答题17.(2017·南昌二模)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x . (1)求函数f (x )的递增区间；(2)△ABC 的角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，角A 的平分线交BC 于D ，f (A )＝32，AD ＝2，BD ＝2，求cos C .解 (1)f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，所以递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)f (A )＝32⇒sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， 得到2A －π6＝2k π＋π2⇒A ＝k π＋π3，k ∈Z ，由0＜A ＜π得到A ＝π3，所以∠BAD ＝π6，由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin B ⇒sin B ＝24，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝6－148.18. 如图所示，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且AB ＝2，AD ＝EF ＝1，∠BAF ＝60°. (1)求证：AF ⊥平面CBF ；(2)设FC 的中点为M ，求三棱锥M －DAF 的体积V 1与多面体CD －AFEB 的体积V 2的比值.(1)证明 ∵矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，且CB ⊥AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，又AF ⊂平面ABEF ，∴CB ⊥AF . 又AB 为圆O 的直径， ∴AF ⊥BF ， 又BF ∩CB ＝B ， ∴AF ⊥平面CBF .(2)解 设DF 的中点为H ，连接MH ，AH ，OF ，则MH 綊12CD ，又∵OA 綊12CD ，∴MH 綊OA ，∴四边形OAHM 为平行四边形，∴OM ∥AH ，又∵OM ⊄平面DAF ，AH ⊂平面DAF ， ∴OM ∥平面DAF .显然，四边形ABEF 为等腰梯形，∠BAF ＝60°， 因此△OAF 为边长是1的正三角形.三棱锥M －DAF 的体积V 1＝V O －DAF ＝V D －OAF ＝13×DA ×S △OAF ＝13×1×34＝312，计算得梯形ABEF 两底间的距离为32， ∴V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312.V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×32＝13×2×1×32＝33.∴V 2＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312. ∴V 1∶V 2＝1∶5.19.已知函数f (x )＝e x (x 2－2x ＋a )(其中a ∈R ，a 为常数，e 为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设曲线y ＝f (x )在(a ，f (a ))处的切线为l ，当a ∈[1，3]时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.解 (1)f ′(x )＝e x (x 2－2x ＋a )＋e x (2x －2)＝e x (x 2＋a －2)， 当a ≥2时，f ′(x )≥0恒成立，函数f (x )的递增区间是R ； 当a ＜2时，f ′(x )≥0⇔x 2≥2－a ⇔x ≤－2－a 或x ≥2－a ，函数f (x )的递增区间是(－∞，－2－a )，(2－a ，＋∞)，递减区间是(－2－a ，2－a ). (2)f (a )＝e a (a 2－a )，f ′(a )＝e a (a 2＋a －2)，所以直线l 的方程为y －e a (a 2－a )＝e a (a 2＋a －2)(x －a )， 令x ＝0得，截距b ＝e a (－a 3＋a )，记g (a )＝e a (－a 3＋a )，g ′(a )＝e a (－a 3－3a 2＋a ＋1)， 记h (a )＝－a 3－3a 2＋a ＋1h ′(a )＝－3a 2－6a ＋1＜0(因为1≤a ≤3)， 所以h (a )递减，所以h (a )≤h (1)＝－2＜0，所以g ′(a )＜0，即g (a )在区间[1，3]上单调递减， 所以g (3)≤g (a )≤g (1)， 即截距的取值范围是[－24e 3，0].20.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2，0)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 的直线与椭圆交于M ，N 两点(M ，N 不与A ，B 重合)，若S △P AM ＝6S △PBN ，求直线MN 的方程.解 (1)当k ＝12时，BF 1⊥x 轴，得到B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝61⇒|PM ||PN |＝3，所以PM →＝－3PN →.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－3x 2. ①当MN 斜率不存在时，MN 的方程为x ＝0，|PM ||PN |＝3＋13－1＝2＋3或|PM ||PN |＝3－13＋1＝2－3(不符合条件，舍去)， ②当MN 斜率存在时，由(1)可知P (0，－1)， 设MN 方程为y ＝kx －1， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3，将x 1＝－3x 2代入可得⎩⎨⎧－2x 2＝8k4k 2＋3，3x 22＝84k 2＋3，即3⎝⎛⎭⎪⎫－4k 4k 2＋32＝84k 2＋3，所以k 2＝32⇒k ＝±62.所以直线MN 的方程为y ＝62x －1或y ＝－62x －1.。

阶段滚动练10(对应1～20练)(建议时间：100分钟)一、选择题1.已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A.{－1，0，1，2} B.{－2，－1，0，1} C.{0，1} D.{－1，0} 答案 A解析 因为A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又因为集合B 为整数集，所以集合A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选A.2.(2017·天津耀华中学模拟)曲线f (x )＝－33x 3＋2在x ＝1处的切线的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3 答案 D解析 对函数求导，得f ′(x )＝－3x 2， 则k ＝f ′(1)＝－3，则倾斜角为2π3.3.命题p ：|x |＜1，命题q ：x 2＋x －6＜0，则綈p 是綈q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B解析 p 真：－1＜x ＜1，q 真：－3＜x ＜2， 所以綈p ：A ＝{x |x ≥1或x ≤－1}， 綈q ：B ＝{x |x ≥2或x ≤－3}，因为B A ，所以綈p 是綈q 成立的必要不充分条件.4.(2017·哈尔滨三中二模)在区间[－2，2]中随机取一个实数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交”发生的概率为( ) A.12 B.14 C.16 D.18 答案 B解析 由题意可知圆心(3，0)到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k |1＋k 2＜1， 解得－24＜k ＜24， 根据几何概型得P ＝2222＝14，故选B.5.若a ＝ln 12，b ＝⎝⎛⎭⎫130.8，c ＝132，则( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c 答案 A解析 由题意可得， a ＝ln 12＜0，0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.8＜1，c ＝132＞1， 则a ＜b ＜c .6.(2017·衡水中学押题卷)已知双曲线C 1：x 22－y 2＝1与双曲线C 2：x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A.它们的焦距相等 B.它们的焦点在同一个圆上 C.它们的渐近线方程相同 D.它们的离心率相等答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1.则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，且为圆与坐标轴的交点.渐近线方程都为y ＝±22x ，由于实轴长度不同，故离心率e ＝ca 不同.故本题答案选D.7.(2017·衡水中学押题卷)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A.1 009B.－1 009C.－1 007D.1 008 答案 B解析 由程序框图，得S ＝0，n ＝1；S ＝1，n ＝2；S ＝1－2，n ＝3；S ＝1－2＋3，n ＝4， 由S 规律知输出S ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2 015－2 016＋2 017－2 018＝－1 009. 8.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.π6＋13B.π12＋1C.π12＋13D.π4＋13 答案 C解析 几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1.三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1.则几何体的体积V ＝13×14×π×12×1＋13×12×1×2×1＝π12＋13.9.已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0等于( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12 答案 C解析 f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称， ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )，又x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 10.有2个男生和2个女生一起乘车去抗日战争纪念馆参加志愿者服务，他们依次上车，则第二个上车的是女生的概率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14 答案 B解析 设两男两女分别为a 1，a 2，b 1，b 2，则基本事件分别是(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1，a 2)，(b 1，a 1)，(b 1，b 2)，(b 2，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，b 1)，基本事件总数n ＝12，其中第二个上车的是女生的基本事件共有m ＝6，所以概率P ＝12，故选B.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫74，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎭⎫0，74 D.⎝⎛⎭⎫74，2 答案 D解析 由f (x )可得f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|2－x |，x ≥0，x 2，x ＜0，所以y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |＋x 2，x ＜0，4－|x |－|2－x |，0≤x ≤2，2－|2－x |＋(x －2)2，x ＞2，即y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2.y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即f (x )＋f (2－x )－b ＝0有4个零点等价于函数y ＝f (x )＋f (2－x )图象与直线y ＝b 的图象有4个交点.因为y ＝f (x )＋f (2－x )的最小值为74，结合函数图象如图所示：分析可得74＜b ＜2.故D 正确.12.焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA ||MF |取得最大值时，直线MA 的方程为( ) A.y ＝x ＋2或y ＝－x －2 B.y ＝x ＋2 C.y ＝2x ＋2或y ＝－2x ＋2 D.y ＝－2x ＋2答案 A解析 过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，则|MA ||MF |＝|MA ||MP |＝1cos ∠AMP ＝1cos ∠MAF， 则当|MA ||MF |取得最大值时，∠MAF 必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为y ＝k (x ＋2)与y 2＝8x 联立，消去x 得ky 2－8y ＋16k ＝0，所以Δ＝64－64k 2＝0，得k ＝±1. 则直线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x －2. 故选A. 二、填空题13.执行如图所示的程序框图，则输出b 的结果是________.答案 2解析 阅读程序框图可得，该程序框图的功能为计算 b ＝0＋lg 21＋lg 32＋lg 43＋…＋lg 10099的值.lg ⎝⎛⎭⎫21×32×43×…×10099＝lg 100＝2. 14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝2B ，则c b ＋2ba 的取值范围是_____.答案 (2，4)解析 由正弦定理可知，c b ＋2b a ＝sin C sin B ＋2sin Bsin A＝sin (A ＋B )sin B ＋2sin B sin A ＝sin A cos B sin B ＋cos A ＋2sin Bsin A，又A ＝2B ，则sin A cos B sin B ＝sin 2B cos B sin B ＝2sin B cos 2B sin B ＝2cos 2B ，2sin B sin A ＝2sin B sin 2B ＝1cos B， 从而c b ＋2b a ＝4cos 2B －1＋1cos B ，由A ＝2B ，知A ＋B ＝3B ＜π， 所以0＜B ＜π3，则12＜cos B ＜1，换元可令t ＝cos B ， 则⎝⎛⎭⎫c b ＋2b a min ＞2121(4+1)t t |t=-＝2，⎝⎛⎭⎫c b ＋2b a max ＜⎪⎪⎝⎛⎭⎫4t 2＋1t －1t ＝1＝4.15.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________cm 3.答案 15解析 由三视图可知，该几何体可以看成一个棱长为3，2，3的长方体的一半和一个棱长为1，2，3的长方体组成.∴V ＝12×3×2×3＋1×2×3＝15.16.已知函数f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 答案 4解析 对原函数求导知，f ′(x )＝(2x －2)sin(x －1)＋(x 2－2x )cos(x －1)＋1， 当x ＝1时，f ′(x )＝0；(f ′(x ))′＝2sin(x －1)＋2(2x －2)cos(x －1)－(x 2－2x )·sin(x －1)，当x ＝1时，(f ′(x ))′＝0，所以x ＝1不是函数f (x )的极值点，即函数f (x )在[－1，3]上单调，函数f (x )在[－1，3]的最值在端点处取得， 因为f (－1)＝3sin(－2)，f (3)＝3sin 2＋4， 故M ＋m ＝f (－1)＋f (3)＝4. 三、解答题17.已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足1a n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n ＋1b n 2n ＋1，求数列{b n }的通项公式.解 (1)设此等比数列为a 1，a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，…，其中a 1≠0，q ≠0. 由题意知，a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝28， ① a 1q ＋a 1q 3＝2(a 1q 2＋2).②②×7－①得6a 1q 3－15a 1q 2＋6a 1q ＝0， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.∵等比数列{a n }单调递增， ∴a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n . (2)由(1)可知，1a n ＝12n (n ∈N *)，由12n ＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n +1b n 2n ＋1(n ∈N *)， 得12n －1＝b 12＋1－b 222＋1＋b 323＋1－…＋(－1)n b n －12n －1＋1(n ≥2)， 故12n －12n －1＝(－1)n +1b n 2n ＋1，即b n ＝(－1)n ⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ≥2)， 当n ＝1时，1a 1＝b 12＋1，b 1＝32，∴b n＝⎩⎨⎧32，n ＝1，(－1)n⎝⎛⎭⎫12n＋1，n ≥2.18.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元.根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品.现以x (单位：吨，100≤x ≤150)表示下一个销售季度的市场需求量， T (单位：万元)表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润.(1)根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小；(2)根据频率分布直方图估计利润T 不少于57万元的概率.解 (1)估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为x ＝105×0.1＋115×0.2＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.15＝126.5(吨)由频率分布直方图易知，由于x ∈[100，120)时，对应的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3＜0.5， 而x ∈[100，130)时，对应的频率为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6＞0.5， 因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)， 于是估计中位数应为120＋(0.5－0.1－0.2)÷0.03≈126.7(吨). (2)当x ∈[100，130)时，T ＝0.5x －0.3(130－x )＝0.8x －39； 当x ∈[130，150]时，T ＝0.5×130＝65，所以，T ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.8x －39，100≤x ＜130，65，130≤x ≤150.根据频率分布直方图及(1)知，当x ∈[100，130)时，由T ＝0.8x －39≥57，得120≤x ＜130， 当x ∈[130，150]时，T ＝65≥57，所以，利润T 不少于57万元，当且仅当120≤x ≤150，于是由频率分布直方图可知，市场需求量x ∈[120，150]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7.19.如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后，点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积.(1)证明 因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ABCD 是矩形，CD ⊥AD ，PD 与CD 交于点D ，所以AD ⊥平面PCD .又CF ⊂平面PCD ，所以AD ⊥CF ，即MD ⊥CF .又MF ⊥CF ，MD ∩MF ＝M ，所以CF ⊥平面MDF .(2)解 因为PD ⊥DC ，PC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°，所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ，在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12. 如图，过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin 60°＝12×32＝34，所以DE ＝FG ＝34，故ME ＝PE ＝3－34＝334， 所以MD ＝ME 2－DE 2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62.S △CDE ＝12DE ·DC ＝12×34×1＝38. 故V M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝13×62×38＝216. 20.(2017·天津耀华中学模拟)已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →，BD →同向.若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率.解 (1)由抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F (0，1)， 所以a 2－b 2＝1，又由C 1与C 2的公共弦长为26，得公共点坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b2＝1， 解得a 2＝9，b 2＝8，得C 2：y 29＋x 28＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 由AC →＝BD →，得x 1－x 2＝x 3－x 4，所以(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4. ① 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. ②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 29＋x 28＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0，x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2， ③ 将②③代入①，解得k ＝±64.。