江苏省镇江市丹徒镇高中数学2.2.2向量的减法学案(无答案)苏教版必修4

2.2.2 向量的减法1．理解向量减法的意义及减法法则．(重点) 2．掌握向量减法的几何意义．(难点) 3．能熟练地进行向量的加、减运算．(易混点)[基础·初探]教材整理 向量的减法阅读教材P 66～P 67的全部内容，完成下列问题． 1．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b .图2­2­10判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)OP →－OQ →＝PQ →.( )(2)若－b 与a 同向，则a －b 与a 同向．( ) (3)向量的减法不满足结合律．( )(4)AB →＝OB →－OA →.( ) 【解析】 (1)×.OP →－OQ →＝QP →；(2)√.－b 与a 同向，则a －b ＝－b ＋a 与a 同向． (3)×.如(a －b )＋c ＝a ＋(c －b )． (4)√.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)NQ →－PQ →－NM →－MP →；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →). 【导学号：06460045】 【精彩点拨】 充分利用向量减法的运算律求解． 【自主解答】 (1)原式＝NQ →＋QP →－(NM →＋MP →) ＝NP →－NP →＝0.(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →) ＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD → ＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.运用向量减法法则运算的常用方法：可以通过相反向量，把向量减法的运算转化为加法运算.运用向量减法的三角形法则，此时要注意两个向量要有共同的起点. 引入点O ，逆用向量减法的三角形法则，将各向量起点统一.[再练一题]1．化简：AC →－BD →＋CD →－AB →＝________. 【解析】 原式＝(AC →－AB →)＋DB →＋CD →＝BC →＋CB → ＝0. 【答案】 0如图2­2­11所示，已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：图2­2­11(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →； (3)BF →－BD →.【精彩点拨】 寻找图中已知向量和所表示向量之间的关系，然后利用向量的加(减)法解决．【自主解答】 (1)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →， ∵OD →＝d ，OB →＝b ， ∴AD →－AB →＝d －b .(2)∵AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)， OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，∴AB →＋CF →＝b ＋f －a －c . (3)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →， ∵OF →＝f ，OD →＝d ， ∴BF →－BD →＝f －d .用几个基本向量表示某个些向量的技巧：首先，观察待表示向量的位置；其次，寻找或作相应的平行四边形和三角形； 再次，运用法则找关系； 最后，化简结果.[再练一题]2．如图2­2­12，解答下列各题：图2­2­12(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用d ，c 表示EC →.【解】 由题意知，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，EA →＝e ，则 (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝e ＋a ＋b . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .[探究共研型]探究1 若【提示】 ①当a 与b 同向且|a |≥|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ；OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；②当a 与b 同向且|a |≤|b |时，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ；③若a 与b 反向，在给定的直线l 上作出差向量a －b ：OA →＝a ，OB →＝b ，则B A →＝a －b .探究2 结合探究1的图示及向量的减法法则，探究|a －b |与a ，b 之间的大小关系？ 【提示】 当a 与b 不共线时，有：||a |－|b ||＜|a －b |＜|a |＋|b |； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：|a －b |＝|a |－|b |； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：|a －b |＝|b |－|a |.已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.【精彩点拨】 |a ＋b |＝|a －b |→判断a 与b 的位置关系→求|a －b |的值．【自主解答】 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作▱ABCD .则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ， 所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为矩形． 故AD ⊥AB . 在Rt △DAB 中， |AB →|＝6，|AD →|＝8， 由勾股定理得 |DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10， 所以|a －b |＝10.1．以平行四边形ABCD 的两邻边AB ，AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．正确理解向量加(减)法的几何意义，恰当构造几何图形，是求解此类问题的关键．[再练一题]3．已知向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，|a ＋b |＝3，求|a －b |. 【解】 在▱ABCD 中，使AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝1，所以ABCD 为菱形，且AC ⊥BD ，交点为O ，∴AO ＝32，AB ＝1，OB ＝AB 2－AO 2＝12，∴BD ＝2BO ＝1，即|a －b |＝1.[构建·体系]1．化简AB →－AC →＋BC →等于________． 【解析】 AB →－AC →＋BC →＝CB →＋BC → ＝0. 【答案】 02．若a ，b 为相反向量，且|a |＝1，|b |＝1，则|a ＋b |＝________，|a －b |＝________. 【解析】 若a ，b 为相反向量，则a ＋b ＝0，∴|a ＋b |＝0. 又a ＝－b ，∴|a |＝|－b |＝1. ∵a 与－b 共线，∴|a －b |＝2. 【答案】 0 23．在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是________.【导学号：06460046】①AB →－DC →＝0； ②AD →－BA →＝AC →； ③AB →－AD →＝BD →；【解析】 ∵ABCD 是平行四边形， ∴AB →＝DC →，∴AB →－DC →＝0，故①正确；又AD →＝BC →，∴AD →－BA →＝BC →－BA →＝AC →， 故②正确；又AB →－AD →＝DB →≠BD →，故③错误．【答案】 ①②4．如图2­2­13，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝________.图2­2­13【解析】 由三角形法则可知 DC →＝AC →－AD → ＝(AB →＋BC →)－AD → ＝a ＋c －b . 【答案】 a ＋c －b5．如图2­2­14所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .图2­2­14(1)用a ，b 表示AC →，DB →；(2)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 【解】 (1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知，a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 若a ＋b 与a －b 所在直线垂直，则AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为菱形，即应满足|a |＝|b |. (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形，∴a⊥b ， ∴当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(4)不可能，∵▱ABCD 的两条对角线不可能平行，∴a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，也就是不可能为相等向量．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十六) 向量的减法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →的结论正确的是________． ①AB →；②BA →；③CD →；④DC →. 【解析】 ∵AC →－AD →＝DC →， 又ABCD 为平行四边形， ∴DC →＝AB →. ∴①④正确． 【答案】 ①④2．已知两向量a 和b ，如果a 的方向与b 的方向垂直，那么|a ＋b |________|a －b |.(填写“＝”“≤”或“≥”)【解析】 以a ，b 为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知 |a ＋b |＝|a －b |.【答案】 ＝3．化简下列向量式，结果为0的个数是________．①RS →－RT →＋ST →；②BD →＋DC →＋AB →－AC →；③AB →－AC →－CB →；④AB →＋BC →－AC →.【导学号：06460047】【解析】 ①RS →－RT →＋ST →＝0. ②BD →＋DC →＋AB →－AC →＝BC →＋CB →＝0. ③AB →－(AC →＋CB →)＝0. ④AB →＋BC →－AC →＝0. 【答案】 44．如图2­2­15所示，在正方形ABCD 中，已知AB →＝a ，BC →＝b ，OD →＝c ，则图中能表示a －b ＋c 的向量是________．图2­2­15【解析】 由已知得a －b ＝AB →－AD →＝DB →，c ＝OD →，∴a －b ＋c ＝DB →＋OD →＝OB →. 【答案】 OB →5．(2016·南通高一检测)如图2­2­16，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，若用a ，b 表示向量BC →，则BC →＝________.图2­2­16【解析】 BC →＝OC →－OB →＝AO →－OB →＝－OA →－OB → ＝－a －b . 【答案】 －a －b6．已知|a |＝7，|b |＝2，若a∥b ，则|a －b |＝________.【解析】 ∵a∥b ，当a 与b 同向时，|a －b |＝|7－2|＝5，当a 与b 反向时，|a －b |＝|7＋2|＝9.【答案】 5或97．下列四个式子，不能化简为AD →的序号是________．①(AB →＋CD →)－CB →；②(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)；③OC →－OA →＋CD →；④MB →＋AD →－BM →.【解析】 ①原式＝AB →＋(CD →－CB →)＝AB →＋BD →＝AD →；②原式＝AD →＋BC →－(BM →＋MC →)＝AD →＋BC →－BC →＝AD →；③原式＝AC →＋CD →＝AD →；④原式＝MB →＋AD →＋MB →≠AD →，∴只有④不能化为AD →.【答案】 ④8．(2016·南京高一检测)如图2­2­17，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列各式不．正确的是________．图2­2­17①AD →＋BE →＋CF →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝0；③AD →＋CE →－CF →＝0；④BD →－BE →－FC →＝0.【解析】 ①AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋CF →＝－BD →＋BE →＋CF →＝DE →＋CF →＝DE →＋ED →＝0；②BD →－CE →＋DF →＝(BD →＋DF →)－CE →＝BF →－CE →≠0；③AD →＋CE →－CF →＝AD →＋(CE →－CF →)＝AD →＋FE →≠0；④BD →－BE →－FC →＝(BD →－BE →)－FC →＝ED →－FC →＝ED →＋CF →≠0.【答案】 ②③④二、解答题9．如图2­2­18，已知向量a 和向量b ，用三角形法则作a －b ＋a .图2­2­18【解】 作法：作向量OA →＝a ，向量OB →＝b ，则向量BA →＝a －b .如图所示：作向量AC →＝a ，则BC →＝a －b ＋a .10．已知△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，满足|a |＝|b |＝|a －b |＝2，求|a ＋b |与△OAB 的面积．【解】由已知得|OA →|＝|OB →|，以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则可知其为菱形，如图，有OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b ，由于|a |＝|b |＝|a －b |，即OA ＝OB ＝BA ，∴△OAB 为正三角形，|a ＋b |＝|OC →|＝2×3＝23，∴S △OAB ＝12×2×3＝ 3. [能力提升]1．如图2­2­19，在平行四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示OD →，则OD →＝________.图2­2­19【解析】 因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，所以BC →＝OC →－OB →＝c －b ，又AD →＝BC →，所以OD →＝OA→＋AD →＝a ＋c －b .【答案】 a ＋c －b2．(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.【解析】 如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 、F 分别为CD 、BC 的中点，∴AC →＝AD →＋AB →＝(AE →－DE →)＋(AF →－BF →)＝(AE →＋AF →)－12(DC →＋BC →)＝(AE →＋AF →)－12AC →， ∴AC →＝23(AE →＋AF →)，∴λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43. 【答案】 433．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．【解析】 如图所示，|AB →－BC →|＝|AB →＋BC ′→|＝|AC ′→|，又|AB →|＝1，|BC ′→|＝1，∠ABC ′＝120°，∴在△ABC ′中，|AC ′→|＝2|AB →|cos 30°＝ 3.【答案】 34．已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |.求|a ＋b ||a －b |.【解】 设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴BA ＝OA ＝OB ，∴△OAB 为正三角形．设其边长为1，则|a －b |＝|BA →|＝1，|a ＋b |＝2×32＝3， ∴|a ＋b ||a －b |＝31＝ 3.。

2.2.1向量的加法（教学设计）一、学习目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义。

2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和，培养数形结合解决问题的能力。

3、通过向量的运算和熟悉的数学运算进行类比，使学生掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算，渗透类比的数学方法。

二、学习重点、难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量。

难点：理解向量加法的定义和几何意义。

三、教法、学法教法：本着“以教师为主导，以学生为主体，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合我校学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法．通过创设问题情境，使学生对向量加法有了一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，力求把传授知识与培养能力融为一体。

采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提高教学质量。

四、学习过程 （一）知识储备 1、向量的有关概念（1）零向量的方向是___________，规定_________________。

（2）相等向量应满足__________________________________。

相反向量应满足___________________________________。

（3）共线向量是指____________________________________。

2、平行四边形对边____________________________________。

（二）自主先学 1、向量加法的定义已知向量a 和b ,在平面内任取一点o ，作,OA a AB b ==,则向量OB 叫做a 与b 的_____,记作_________,即a b OA AB OB +=+=. 如下图，分别作出a 与b 的和(1) （2） (3) （4）向量的加法：求两个向量____的运算叫做向量的加法。

§2.2.2 向量减法运算及其几何意义编者：刘凯【学习目标、细解考纲】1、在理解向量加法的基础上，掌握向量减法的运算及几何意义。

2、理解向量减法的几何意义，灵活进行向量的减法运算。

进行向量的减法运算【知识梳理、双基再现】1、相反向量：规定与v a __________________________的向量，叫做r a 的相反向量，记作_____________，向量ra 与a -r互为相反向量，于是___________________________。

任一向量与其相反向量的和是___________，即+-=-+v v v v ()_______________,()______________.a a a a2、向量的减法我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v v a b 是互为相反的向量，那么v a =______________，v b =_________________，+v v a b =________________________。

3、向量减法的几何意义：已知va ，vb ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v ,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量，如果向量v a 的终点，到v b 的终点作向量那么得向量是__________________【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ）A ．-=u u u v u u v u u u v AC AB BC B ．-=u u v u u v u u v AD BD ABC ．-=u u v u u u v u u u v BD AC BC D ．-=u u v u u v u u u v BD CD BC2、下列各式中结果为u v O 的有（ ）①++u u v u u u v u u v AB BC CA ②+++u u v u u v u u v u u v OA OC BO CO③-+-u u v u u u v u u v u u v AB AC BD CD ④+-+u u u v u u v u u u v u u v MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③3、下列四式中可以化简为u u vAB 的是（ ）①+u u u v u u v AC CB ②-u u u v u u v AC CB ③+u u v u u v OA OB ④-u u v u u v OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④4、在下面各式中，不能化简为u u vAD 的是（ ） A ．++u u vu u v u u u v ()AB CD BC B ．+++u u v u u v u u u v u u v ()()AD MB BC CM C ．+-u u v u u v u u u v MB AD BM D ．-+u u v u u v u u vOC OA CD 【基础训练、锋芒初显】5、在△ABC 中，向量u u u v BC 可表示为（ ）①-u u v u u u v AB AC ②-u u u v u u v AC AB ③+u u v u u u v BA AC ④-u u v u u vBA CAA ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④ 6、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===u u vv u u v v u u v v ,,OA a OB b OC c 则u u v EF =（ ）A ．a b +r rB ．b a -r rC ．-v v c bD ．-v vb c 7、当C 是线段AB 的中点，则AC BC +u u u r u u u r =（ ）A ．AB u u u r B ．BA uu u rC ．AC u u u rD ．O u r8、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-u u u r u u u r u u u r 等于（ ）A ．BA uu u rB ．BD u u u rC ．AC u u u rD ．AB u u u r【举一反三、能力拓展】9、化简：AB DA BD BC CA ++--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =_______________。

a baA ba -bBaA bab2019-2020学年高中数学 2.2向量的减法导学案苏教版必修4【学习目标】1.通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握向量减法与加法的逆运算关系，能准确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律；3.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程；4.对学生渗透化归、类比和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力。

【学习重点】向量减法的概念和向量减法的作图法. 【自主学习】】向量的减法是向量加法的逆运算。

【思考】：从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么？ 【合作探究】1.向量减法的定义：2.向量减法的法则根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a -b 的作图方法 【思考】：已知a ,b ，怎样求作a -b ？（1）三角形在平面内任取一点O ，作=−→−OA a ，=−→−OB b ，则−→−BA ．即a -b 可以表示为从b （减向量）的终点，指向a （被减向量）的终点的向量．(强调：a ，b 同起点时，a -b 是连结a ，b 的终点，并指向“被减向量a ”的向量．)（2）平行四边形法：在平面内任取一点O ，作=−→−OA a ，-=−→−OB b ，则由向量加法的平行四边形法则可得=−→−BA【课堂展示】例1a ，b 不共线，求作向量a -ba b【思考】：你能画图说明a -b =a +（-b ）吗？例2．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点， 若=−→−AB a ，=−→−DA b ,=−→−OC c ，试证明：b +c -a =−→−OA例3. 化简下列各式： ①()AB BC BD AD -+- ②AB DA BD BC CA ++-- ③()()AB CD AC BD ---例4．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知,AB a AD b ==，试用a 、b表示BC 和MN .NMDCBA【新知回顾】1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的； 2．会作两向量的差向量； 3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。

2．2.2 向量的减法整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．推进新课新知探究向量的减法运算及其几何意义．数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a )＝a .任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.所以，如果a 、b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a －b 的作图方法.如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .进一步，如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a －b 是表示从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练1．如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，则BA →＝a －b ，DC →＝c －d .2．在ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋BC →＝0解析：A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中AB →－AD →＝BD →错误，D 中AD →＋BC →＝AD →＋DA →＝0正确．答案：C例2课本本节例2.变式训练1．如图4，ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b .2．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．a －b －c解析：如图5，点O 到ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，图5结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .答案：B3．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b .图6由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直)③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a |＝|b |)④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.思路2例1判断题．(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同．(2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点．(4)|a ＋b|≥|a －b |.解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则得：AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →互为相反向量，所以有上述结论．(3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋CA →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |； 当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |.综上所述，只有(2)正确．例2若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)解析：BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；(2)当AB →，AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13；(3)当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上，可知3≤|BC →|≤13.答案：C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解．知能训练课本本节练习．课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论． 作业已知O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：作直径BD ，连结DA ，DC ，有OB →＝－OD →，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD 为平行四边形，∴有AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.∴结论成立．设计感想1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a 的终点，如果指向b 的终点则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．备课资料一、向量减法法则的理解向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：例1化简：AB →－AC →＋BD →－CD →.解：原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.例2化简：OA →＋OC →＋BO →＋CO →.解：原式＝(OA →＋BO →)＋(OC →＋CO →)＝(OA →－OB →)＋0＝BA →.二、备用习题1．下列等式中，正确的个数是( )①a ＋b ＝b ＋a ②a －b ＝b －a ③0－a ＝－a ④－(－a )＝a ⑤a ＋(－a )＝0A ．5B ．4C ．3D ．2图72．如图7，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF →－DB →等于( )A.FD →B.FC →C.FE →D.BE →3．下列式子中不能化简为AD →的是( )A ．(AB →＋CD →)＋BC →B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)C.MB →＋AD →－BM →D.OC →－OA →＋CD →4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内一点，若OA →＋OB →＋OC →＝0，则O 是△A BC 的()A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心参考答案：1．C 2.D 3.C 4.A。

a ba O A ba -bBaOAbaba b第3课时 向量的减法【学习目标】1.通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义；2.掌握向量减法与加法的逆运算关系，能准确作出两个向量的差向量，并且能掌握差向量的起点和终点的规律；3.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程；4.对学生渗透化归、类比和数形结合的思想，继续培养学生识图和作图的能力，及运用图形解题的能力。

【学习重点】向量减法的概念和向量减法的作图法. 【自主学习】】向量的减法是向量加法的逆运算。

【思考】：从向量a 的终点指向向量b 的终点的向量是什么？ 【合作探究】1.向量减法的定义：2.向量减法的法则根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a -b 的作图方法 【思考】：已知a ,b ，怎样求作a -b ？（1，在平面内任取一点O ，作=−→−OA a ，=−→−OB b ，则=−→−BA ．即a -b 可以表示为从b （减向量）的终点，指向a （被减向量）的终点的向量．(强调：a ，b 同起点时，a -b 是连结a ，b 的终点，并指向“被减向量a ”的向量．)（2）平行四边形法：在平面内任取一点O ，作=−→−OA a ，-=−→−OB b ，则由向量加法的平行四边形法则可得=−→−BA【课堂展示】例1．如图（1），已知向量a ，b 不共线，求作向量a -b【思考】：你能画图说明a -b =a +（-b ）吗？例2．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若=−→−AB a ，=−→−DA b ,=−→−OC c ，试证明：b +c -a =−→−OA例3. 化简下列各式： ①()AB BC BD AD -+-②AB DA BD BC CA ++-- ③()()AB CD AC BD ---例4．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知,AB a AD b ==，试用a 、b表示BC 和MN .NMDCBA【新知回顾】1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础上的；2．会作两向量的差向量；3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。

2019-2020学年高中数学2.2.2 向量的减法导学案苏教版必修4【课堂检测】 课题:2.2.2向量的减法检测案1、在平行四边形ABCD 中，b AD a AB ==,，用a ,b 表示DB AC ,。

2、若OM OE OD =+，下列结论正确的是______________________。

（1）OD OE OM =- （2）OE DO OM =+（3）OM EO OD =+ （4）MO EO DO =+3、若非零向量a 和b 互为相反向量，则错误的是（ ）A 、b a //B 、b a ≠C 、||||b a ≠D 、a b -=4、ABC ∆中，D 是BC 的中点，设d AD a BD b AC c AB ====,,,，则=-a d ；=+a d 。

5、已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，则下列等式成立的是______________。

（1）||||CB CA CB CA +=- （2）||||BC BA AC AB -=-（3）||||AB CB BA CA -=- （4）222||||||CA BA AC AB CB CA -+-=+6、已知：四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，且OC AO =，OD BO =。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

【课后巩固】1、若b OB a OA ==,，则AB 为（ ）A 、b a +B 、b a -C 、a b -D 、b a --2、下列各式不能化简为AD 的是（ ）A 、BC CD AB ++)(B 、)()(CM BC MB AD +++ C 、BM AD MB -+ D 、CD OC OA ++-3、已知b OB a OA ==,，且12||,5||==b a ，︒=∠90AOB ，则=-||b a 。

4、已知b OB a OA ==,，且4||||==b a ，︒=∠60AOB ，则=-||b a 。

2．2．2 向量的减法一、课题：向量的减法二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；3．能用向量运算解决一些具体问题。

三、教学重、难点：向量减法的定义。

四、教学过程：（一）复习：1．向量的加法法则。

2．数的运算：减法是加法的逆运算。

（二）新课讲解：1．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -。

说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

（2）性质：()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

表示()a b a b -=+-．3．向量减法的法则： 已知如图有a ，b ，求作a b -． （1）三角形法则：在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA a b =-．说明：a b -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a ，b 有共同起点）．（2）平行四边形：在平面内任取一点O ，作OA a = ，BO b =-，则BA BO OA a b =+=-．思考：若//a b ，怎样作出a b -？4．例题分析：例1 试证：对任意向量a ，b 都有||||||||||||a b a b a b -≤+≤+．证明：（1）当a ，b 中有零向量时，显然成立。

（2）当a ，b 均不为零向量时：①a ，b ，即//a b 时，当a ，b 同向时，||||||||||||a b a b a b -<+=+；当，b 异向时，||||||||||||a b a b a b -=+<+．②a ，b 不共线时，在ABC ∆中，||||||AB BC -<||AC <||||AB BC +， 则有||||||||||||a b a b a b -<+<+．∴||||||||||||a b a b a b -≤+≤+其中：当a ，b 同向时，||||||a b a b +=+， 当a ，b 同向时，||||||||a b a b -=+． 例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。

2.2.2向量的减法【教学目标】理解向量减法的含义；能用三角形法则求出两向量的差；体会类比方法和转化思想．【教学重点】三角形法则和平行四边形法则求出两向量的差．【教学难点】向量减法的含义；求两向量的差．【教学过程】一、引入：1．向量的加法定义、法则和运算律；2．相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a -．规定（1）零向量的相反向量是零向量；（2）()a a --=；()()0a a a a +-=-+=．3．实数的减法：（1）实数a ,x ,b ，已知a +x =b ，则x = ，x 叫做 ；（2） 是加法的 运算．4．抽象概括出向量减法的定义：若 ，则向量 叫做 ，记作 ； 叫做向量的减法．5．-= ，这表明：减去一个向量等于 ．6．如何用三角形法则和平行四边形法则从“相反向量”的角度，求作：-？二、新授内容：例1．已知a 、b 不共线，求作：b a -．b小结：当向量、起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是-．（差向量的箭头指向被减向量）【变式拓展】你能画图说明-=)(b a -+吗？例2．如图，O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，若=−→−AB a ，=−→−DA b ,=−→−OC c ，试证明：b +c -a =−→−OA ．【变式拓展】（1）如图，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ， 则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．（2）如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.例3．化简：)()(BD AC CD AB ---．【变式拓展】AB CD BD AC -+-三、课堂反馈：1．如图，已知向量a ，b ，求作向量a -b ．2．在平行四边形ABCD 中，==,，用a ,b 表示,．3．若OM OE OD =+，判断下列结论正确的是____________．（1）OM =-； （2）OM =+；（3）OM =+； （4）=+．4．若非零向量和互为相反向量，则错误的是（ ）A 、//；B 、≠；C 、||||≠；D 、-=．5．已知：四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，且OC AO =，OD BO =． 求证：四边形ABCD 是平行四边形．a ab b四、课后作业：1．若OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝ ．2．下列各式中，不能．．化简成AD 的是 ． ①()AB CD BC ++； ②()()AD MB BC CM +++；③AD MB BM +-； ④ OA OC CD -++．3．（1）化简：+=AB CB BD AD +- ．（2）化简：（=-+-+-+)() ．4．ABC ∆中，D 是BC 的中点，设====,,,，则：=- ；=+ ．5．对于非零向量AB ，BC ，AC ，下列各等式中一定不成立的是 ．①AB BC AC +=； ②AB AC BC -=； ③||||||AB BC AC +=； ④||||||AB AC BC -=．6．已知ABC ∆中，︒=∠90C ，BC AC =，则下列等式中成立的是 ．（1）||||+=-； （2）||||-=-；（3）||||AB CB BA CA -=-； （4）222||||||CA BA AC AB CB CA -+-=+7．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有________．①|AC →|＝|BD →| ②AB →＝0或AD →＝0 ③ABCD 是矩形 ④ABCD 是菱形8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________．9．（1）在ABC ∆中，若||||||AB AC AB AC ==-，则BAC ∠= ．（2）在正六边形ABCDEF 中，==,，则= ．10．已知==,，且4||||==，︒=∠60AOB ，则=-|| ________11．化简下列各式：（1）CO OC OB OA --+-；（2）)()(-++．12．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度．（1）a ＋b ＋c ； （2）a －b ＋c ．。

2.2.2向量的减法【课前预习】 一． 回顾复习1．规定与a __________________________的向量，叫做a 的相反向量，记作_____________，向量a 与a -互为相反向量，于是___________________________。

2．任一向量与其相反向量的和为 ，+-=-+=()()______a a a a 。

二．新知感受预习课本P66相关内容，填要点,并找出不理解的地方先在课本上作出记号. 1．向量的减法是向量的加法的 运算。

2．若+=b x a ，则向量x 叫做a 与b 的 ，记为 ，求两个向量 的运算，叫做向量的减法。

3．向量减法的几何意义：已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作==,OA a OB b ，则__________=-a b ，即-a b 可以表示为从向量________的终点指向向量_______的终点的向量。

4．减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即-a b =________________________。

说明：(1)如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，以被减向量的终点为终点的向量。

(2)一个向量比如BA ，等于它的终点相对于点O 的位置向量OA ，减去它的起点相对于点O 的位置向量OB ，或简化为“终点向量减去起点向量”,即BA OA OB =-。

（3）向量减法的实质是向量加法的逆运算。

利用相反向量的定义，AB BA =-就可以把减法化为加法。

如DB AB DB BA DA -=+=。

【概念运用】1． 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =，AD b =，用a ，b 表示向量AC 、DB 。

2．化简下列各式：（1）OB OC -= ________；（2）BD CD -=________________。

3. 若OM OE OD =+，则下列结论：①OD OE OM =-；②OE DO OM =+；③OM EO OD =+；④MO ED DO =+。

平面向量复习课（2)【教学目标】突出知识间的内在联系，提高综合运用向量知识解决问题的能力．【教学重点】理解向量概念和运用向量解决一些简单的综合问题．【教学难点】运用向量知识的解决综合应用．【教学过程】一、引入：1．设向量(,2)a k =,(1,1)b =-，若a ∥b ，则实数k 的值为 ． 2．设单位向量1e ，2e 的夹角为0120，a =12e +2e ，b =-2e ,则a b ⋅= ．3．已知(3,0)A ,(2,1)B ，(1,4)C ,则AC BC ⋅的值为 ．4．设向量(2,)a k =-,(2,3)b k =-，若a ⊥b ，则实数k 的值为 ．5．已知)3,1(,)3,1(2=-=-c b a ，且4,3==⋅|b |c a ，则b 与c 的夹角为 ．二、新授内容:例1。

设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，求错误!·错误!【变式拓展】（1）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足错误!＝2错误!,则错误!·（错误!＋错误!)＝(2)如图,平面四边形ABCD 中，若AC ＝5,BD ＝2，则(错误!＋错误!）·(错误!＋错误!）＝ ．（3）如图所示，半圆的直径AB ＝2,O 为圆心,C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则（错误!＋错误!）·错误!的最小值是________．例2．已知：,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(3,1)a =-． （1）若2,//c a c a =且，求c 的坐标；（2）若127a b +与a b -垂直，且b 与a 的夹角为1200，求||b ．【变式拓展】设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R ．（1）若a 与b 起点相同,t 为何值时a ，t b ，错误!（a ＋b )三向量的终点在一直线上？（2）若|a ｜＝｜b |且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，｜a －t b |的值最小？A BC D （第(2)题图）例3。

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高中数学 2。

2.2 向量的减法互动课堂学案苏教版必修4疏导引导1.向量减法的定义(1）向量的减法实际上是加法的逆运算，已知向量a、b，（如右图）作OA=a，OB=b，则b+AB=a,向量BA叫做向量a与b的差，记作a—b，即BA=a—b=OA-OB.疑难疏引①如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量。

②一个向量等于它的终点，相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量OB,或简记为“终点向量减起点向量"，这里的点O是任意的一点.（2）相反向量的定义与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量,记作—a.关于相反向量的结论有：①0的相反向量仍为0；②a+（—a)=(—a)+a=0;③-（—a）=a;④一个向量与它的相反向量是共线向量;⑤|a｜=|-a｜.(3）利用相反向量定义向量的减法在向量减法的定义中，b+=a。

在上式中两边同时加上(-b),则=a+（—b）.即说明一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。

a+（—b）通常省略加号.就是a—b。

其实向量的差也就是向量的和。

2。

两个向量差的几何作法(1)两个向量的差也可由平行四边形法则和三角形法则求得。

用平行四边形法则时，两个已知向量也是共同的起点，和向量是始点与它们重合的那条对角线，而差向量是另外一条对角线，方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的始点重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，可以简记为“连终点，方向指向被减”.（2)可以将两向量的差转化为求被减向量与减向量相反向量的和来求，即a-b=a+（—b)，再用向量求和的三角形法则或平行四边形法则来求.3。

高中数学 2.2.2向量的减法课时作业 苏教版必修4课时目标1．理解向量减法的法则及其几何意义.2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差．向量的减法(1)定义：若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记为a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝________.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为__________，被减向量的终点为__________的向量．例如：OA →－OB →＝__________.一、填空题1．若OA →＝a ，OB →＝b ，则AB →＝________.2．若a 与b 反向，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________.3．化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________． 4.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.5．如图所示，已知O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a，b ，c ，则OD →＝____________(用a ，b ，c 表示)．6．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝2，则|BC →＋DC →|＝________.7．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则a －b ＋c －d ＝________.8．若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是________．9．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为________．10．已知非零向量a ，b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，则 |a ＋b |＝________.二、解答题 11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →. 12.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量并分别求出其长度(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c .能力提升13．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，先用a ，b 表示向量AC →和DB →，并回答：当a ，b 分别满足什么条件时，四边形ABCD 为矩形、菱形、正方形？14.如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )． 2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以向量AB →＝a 、AD →＝b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．2．2.2 向量的减法知识梳理 BA → 始点 终点 BA → 作业设计 1．b －a 2．2 3．0 4.CA →5．a －b ＋c解析 OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC → ＝OA →＋OC →－OB →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 6．2 3 解析如右图，设菱形对角线交点为O ， ∵BC →＋DC →＝AD →＋DC →＝AC →， 又∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形， ∴OB ＝1，在Rt △AOB 中， |AO →|＝|AB →|2－|OB →|2＝3， ∴|AC →|＝2 3. 7．0解析 a －b ＋c －d ＝OA →－OB →＋OC →－OD →＝BA →＋DC →＝0. 8．[3,13]解析 ∵|BC →|＝|AC →－AB →|且 ||AC →|－|AB →||≤|AC →－AB →|≤|A C →|＋|AB →|.∴3≤|AC →－AB →|≤13.∴3≤|BC →|≤13. 9. 3 解析如图所示，延长CB 到点D ，使BD ＝1，连结AD ，则AB →－BC →＝AB →＋CB →＝AB →＋BD →＝AD →. 在△ABD 中，AB ＝BD ＝1，∠ABD ＝120°，易求AD ＝3， ∴|AB →－BC →|＝ 3. 10．4解析 如图所示．设O A →＝a ，O B →＝b ，则|B A →|＝|a －b |. 以OA 与OB 为邻边作平行四边形OACB ，则|O C →|＝|a ＋b |.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42. 故|O A →|2＋|O B →|2＝|B A →|2，所以△OAB 是∠AOB 为90°的直角三角形， 从而OA ⊥OB ，所以▱OACB 是矩形，根据矩形的对角线相等有|O C →|＝|B A →|＝4， 即|a ＋b |＝4.11．证明 方法一 ∵b ＋c ＝DA →＋OC →＝OC →＋CB →＝OB →， OA →＋a ＝OA →＋AB →＝OB →，∴b ＋c ＝OA →＋a ，即b ＋c －a ＝OA →.方法二 ∵c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OD →， OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b ，∴c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →.12．解 (1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →，又AC →＝c ，∴延长AC 到E ， 使|CE →|＝|AC →|.则a ＋b ＋c ＝AE →， 且|AE →|＝2 2.∴|a ＋b ＋c |＝2 2.(2)作BF →＝AC →，连结CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －BC →＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2. ∴|a －b ＋c |＝2.13．解 由向量加法的平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ， DB →＝AB →－AD →＝a －b .则有：当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD 为矩形；当a ，b 满足|a |＝|b |时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD 为菱形； 当a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |且|a |＝|b |时，四边形ABCD 为正方形．14．证明 作直径BD ，连结DA 、DC ，则OB →＝－OD →， DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形． ∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →. 故OH →＝OA →＋OB →＋OC →.。

2．2.2 向量的减法1.了解向量减法的实际背景．2.理解向量减法的几何意义．3.掌握向量减法运算法则．1．向量减法的定义向量的减法是向量加法的逆运算．若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a －b ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．2．向量a －b 的作图方法根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，可得向量a －b 的作图方法．由b ＋(a －b )＝a ，知：当向量a ，b 起点相同时，从b 的终点指向a 的终点的向量就是a －b ，这是向量减法的几何意义．作两个向量的差向量时，首先考虑两个向量有相同的起点，其次是考虑从减向量的终点指向被减向量的终点．上述是向量减法的三角形法则．3．向量加减法的关系 (1)a －b ＝a ＋(－b )； (2)a ＋b ＝a －(－b )．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的差向量不可能与这两个向量共线．( ) (2)向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( ) (3)相反向量是共线向量．( )解析：(1)错误．当两个向量共线时，其差向量就与这两个向量中的一向量共线，如果是零向量时与这两向量共线，所以该说法错误．(2)正确．因为两个向量的差仍然是一个向量，所以向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．(3)正确．根据相反向量的定义知，该说法正确． 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( ) A ．AB →－DC →＝0B ．AD →－BA →＝AC →C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝0答案：C3．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的序号是________． ①a ∥b ②a ≠b ③|a |≠|b | ④b ＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |. 答案：③已知向量作差向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c . 【解】 法一：如图①在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连结OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连结CB ，则CB →＝a ＋b －c .法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，连结OB ，则OB →＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连结OC ，则OC →＝a ＋b －c .平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减”．1.如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a －b －c .解：在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝BA →，再作向量BC →＝c ，则向量CA →＝a －b －c .向量的减法运算化简下列各式： (1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →)； (2)AB →－AD →－DC →.【解】 (1)法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →) ＝AO →＋OB →＝AB →.法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋(MB →＋BO →)＋OM → ＝AB →＋MO →＋OM → ＝AB →＋0＝AB →.(2)法一：原式＝DB →－DC →＝CB →. 法二：原式＝AB →－(AD →＋DC →) ＝AB →－AC →＝CB →.(1)(2)向量加减法化简的两种形式：①首尾相接且相加；②起点相同且相减．做题时，注意观察是否有这两种形式的向量出现．同时注意向量加法、减法法则的逆向运用．2.在四边形ABCD 中，AB →－DC →－CB →＝________．解析：AB →－DC →－CB →＝AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. 答案：AD →用已知向量表示其他向量如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.【解】 因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .本例中的条件“点B 是该平行四边形外一点”若换为“点B 是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：如图，因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.3.如图，O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________．解析：因为BA →＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， 所以OD →－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， 所以OD →＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c1．相反向量的意义(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法．(2)为向量的“移项”提供依据．利用(－a )＋a ＝0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．例如，由a ＋b ＝c ＋d 可得a －c ＝d －b .2．对相反向量的三点说明 (1)a 与－a 互为相反向量．(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．(3)相反向量与相反数是两个不同的概念，相反数是两个数符号相反，绝对值相等；相反向量是方向相反，模长相等的两个向量．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，则b ＋c －a ＝________．【解析】 法一：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →，所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →，所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →. 法二：因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB →＝DC →，所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →. 因为DA →＝b ，所以AD →＝－DA →＝－b ， 所以OD →＝OA →＋AD →＝OA →－b . 所以c －a ＝OA →－b ，即b ＋c －a ＝OA →. 【答案】 OA →(1)在解答本题的过程中，若只进行了法一中b ＋c 的运算，而忽视了－a ，则会错解成OB →；若只进行了法二中c －a 的运算，而忽视了b ，则会错解成OD →.(2)解答以几何图形为背景的向量加减法运算问题，要注意平面几何知识的应用；在理解几何意义的同时，要注意向量加法与减法的转换关系．1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD →－AC →等于( ) A ．CB → B ．BC → C ．CD →D ．DC →解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC →＝CD →.2．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ， AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝________．解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 答案： a －b ＋c3．如图，在△ABC 中，若D 是边BC 的中点，E 是边AB 上一点，则BE →－DC →＋ED →＝________．解析：BE →－DC →＋ED →＝BE →＋CD →＋ED →＝BE →＋ED →＋CD →＝BD →＋CD →，因为BD →＋CD →＝0，所以BE →－DC →＋ED →＝0.答案：0[学生用书P104(单独成册)])[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A ．EF →＝OF →＋OE →B ．EF →＝OF →－OE →C ．EF →＝－OF →＋OE →D ．EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A ．①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0；③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①AB →＝BC →；②|AB →|＝|BC →|；③|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|；④|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ．由菱形的图形，可知向量AB →与BC →的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|AB →－CD →|＝|AB →＋DC →|＝2|AB →|，|AD →＋BC →|＝2|BC →|，且|AB →|＝|BC →|，所以|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →|，即③正确；因为|AD →＋CD →|＝|BC →＋CD →|＝|BD →|，|CD →－CB →|＝|CD →＋BC →|＝|BD →|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C ．5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________．解析：BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案：CA →6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________．解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|AB →－CB →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →|＝|AC →＋CD →|＝|AD →|＝2.答案：27．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →， 若|m |＝|n |，则△ABC 必为________三角形．解析：如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |，所以|AC →|＝|DB →|.所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 答案：直角8．如图，已知a ，b ，求作a －b .解：9.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →；(2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .[B 能力提升]1．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④2．已知|AB →|＝6，|CD →|＝9，则|AB →－CD →|的取值范围是________． 解析：因为||AB →|－|CD →||≤|AB →－CD →|≤|AB →|＋|CD →|， 且|CD →|＝9，|AB →|＝6， 所以3≤|AB →－CD →|≤15.当CD →与AB →同向时，|AB →－CD →|＝3； 当CD →与AB →反向时，|AB →－CD →|＝15. 所以|AB →－CD →|的取值范围为[3，15]． 答案：[3，15]3．已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c .解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ， 所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|，则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →， 且|DF →|＝2， 所以|a －b ＋c |＝2.4．(选做题)三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试判断△ABC 的形状．解：由题意得|a |＝|b |＝|c |，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c ＝0.所以a ＋c ＝－b .如图，作平行四边形APCD 为菱形． PD →＝a ＋c ＝－b ， 所以∠APC ＝120°，同理：∠APB ＝∠BPC ＝120°， 又因为|a |＝|b |＝|c |， 所以△ABC 为等边三角形．。

平面向量复习课（1）【教学目标】通过本章的小结与复习，对本章知识进行一次梳理，突出知识间的内在联系．【教学重点】平面向量的基本运算，向量的数量积． 【教学难点】综合运用向量知识解决问题的能力． 【教学过程】 一、知识连线:1．回忆向量的基本概念：零向量；单位向量；平行向量；共线向量；相等向量；相反向量． 2．向量的加法：三角形法则,使用的前提是两向量_____________;平行四边形法则,使用的前提是两向量_____________3．向量的减法：三角形法则：a ，b 同起点时,a -b 是连结a ,b 的终点，并指向__________________的向量．4．实数与向量的积：记作a λ．（1）||||||a a λλ=；（2）当__________时,a λ的方向与a 的方向相同;当_______时，a λ的方向与a 的方向相反;当________________ 时，0a λ= 5．实数与向量的积的运算律：（1)()()a a λμλμ=（结合律）； （2）()a a a λμλμ+=+（第一分配律)； (3）a b a b λλλ+（+）=（第二分配律）． 6．平面向量基本定理：如果1e ,2e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ,2λ，使a = ．我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ；这个定理也叫共面．．向量定理。

7．平面向量的坐标表示：我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a ，由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ．我们把),(y x 叫做向量a 的(直角）坐标,记作：a ),(y x =．8．向量的坐标运算性质：已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则()1212,a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；已知(,)a x y =和实数λ,则),(y x a λλλ=．已知向量−→−AB ，且点11(,)A x y ,22(,)B x y ,则−→−AB 2121(,)x x y y =--． 【结论】(1）一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去．．起点的坐标； （2)两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等．9．数量积的运算律：(1）交换律：a b b a ⋅=⋅； （2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅; （3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 10．向量数量积的运算要注意以下几个方面:①若a0，且a b ⋅=0，不能推出b =0； ②a b ⋅=b ·ca =c ；③（a b ⋅)·c a ·（bc )（向量数量积不满足结合律）④=2a ｜a｜a ； ⑤22b a =b a =．11．平面向量中两种方法的对比:设向量),(11y x a =，),(22y x b = ．两种方法有关向量内容向量法坐标法b∥a （a ≠0）存在实数λ，使b=________b a⊥（夹角为090）a b ⋅=___________两个非零向量a 和b的数量积，记作a b ⋅ a b ⋅=___________（其中θ为a 与b 的夹角）求向量a 的模|a ||a |=_________若(,)a x y =，则：|a |=_________求向量a 与b 的夹角θ，(0180θ≤≤）=θcos ____________ =θcos __________________二、新授内容：例1．已知向量(1,2)a =-，(3,4)b =-．(1）求||a b -的值； (2)求向量a b +与a b -夹角的余弦值．【变式拓展】已知非零向量a ，b 满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，求a 与b 的夹角．例2．如图，已知四边形ABCD 是等腰梯形，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，M 、N 是线段EF 上的两个点，且EM ＝MN ＝NF ，下底是上底的2倍,若错误!＝a ，错误!＝b .（1)试用a ,b 表示错误!； （2）证明：A 、M 、C 三点共线．【变式拓展】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1,0）、(3，－1)、(1，2)，错误!＝错误!错误!，错误!＝错误!错误!.求证:错误!∥错误!.例3．已知向量a =（3，－1)，b = (21，23）． （1）求证:a ⊥b ；（2）是否存在不为0的实数k 和t ，使x =a +(t 2－3）b ,y = －k a +t b ，且x ⊥y ?如果存在，试确定k 与t 的关系，如果不存在，请说明理由．四、课后作业： 姓名：___________ 成绩:_____________ 1．已知向量a =(5,10)，b =(3,4)--，则：（1)2a +b = ，a －2b = ，|a ｜= ,a ·b = ，cos θ= ; (2)c =(5,0)，且c =pa +qb ,则p = ，q = ；（3)（－2a +b ）⊥（a +k b ）,则k = ；(－2a +b ）∥（a +k b ），则k = ； （4)与a 的垂直的单位向量坐标为 ；与a 的平行的模为2的向量坐标为 ． 2．已知||5a =,(3,2)b =，a b ⊥，则a 的坐标 ．3．四边形ABCD 为菱形，且(,1),(3,5),(7,3),(,1)A a B C D b -，则实数,a b 的值分别为 、 ． 4．已知1e ，2e 是两个不共线的向量，a =12e -22e ，b =1ke +2e ，若a //b ，则k = ． 5．a =2p －3q ，b =4p －2q ，c =3p +q ，用a ,b 表示c 为 ． 6．设3OA a b =+,2OB a b =-，OC a mb =+,若a ，b 是不共线的两个向量， 且A ，B ，C 三点共线,则实数m 的值为 ．7．设向量a ，b 满足2(2,4)a b +=-，3(8,16)a b -=-，则a b ⋅= ．8．已知｜a ｜＝1,｜b |＝错误!,(1）若a 与b 的夹角为错误!，求|a ＋b ｜； (2）若a －b 与a 垂直,求a 与b 的夹角．9．(1）已知x =a -b ，y =2a +b ，且｜a ｜=｜b |=1，a ⊥b ，求x 与y 的夹角的余弦值；(2）已知a =（m -2，m +3），b =（2m +1，m -2）(m ∈R ),且a 与b 的夹角为钝角，求实数m 的取值范围．10．已知A (－1，0),B （0,2），C (－3，1），5=⋅AD AB ，102=AD ．(1）求D 点坐标； (2）若D 点在第二象限,用AB ,AD 表示AC ; （3）AE ＝（m,2)，若3AB ＋AC 与AE 垂直,求AE 坐标．。

2.2.2向量的减法学习目标1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算．知识点一相反向量思考实数a 的相反数为－a ，向量a 与－a 的关系应叫做什么？梳理(1)定义：如果两个向量长度__________，而方向________，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a ＋(－a )＝0. ②若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，a ＋b ＝0. ③零向量的相反向量仍是________． 知识点二向量的减法思考根据向量的加法，如何求作a －b ?梳理(1)向量减法的定义若____________，则向量x 叫做a 与b 的差，记为________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．(2)向量的减法法则以O 为起点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即当向量a ，b 起点相同时，从________的终点指向________的终点的向量就是a －b .类型一向量减法的几何作图例1如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c .引申探究若本例条件不变，则a －b －c 如何作？反思与感悟求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连结两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合时，再作出差向量．跟踪训练1如图所示，已知向量a ，b ，c ，d ，求作向量a －b ，c －d .类型二向量减法法则的应用 例2化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．反思与感悟向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． 跟踪训练2化简：(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)； (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)．类型三向量减法几何意义的应用例3已知|AB →|＝6，|AD →|＝9，求|AB →－AD →|的取值范围．反思与感悟(1)如图所示，平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .(2)在公式||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相反且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a ＋b |；当a 与b 方向相同时，|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)在公式||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |中，当a 与b 方向相同，且|a |≥|b |时，|a |－|b |＝|a －b |；当a 与b 方向相反时，|a －b |＝|a |＋|b |.跟踪训练3在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，且AC →＝a ＋b ，|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状一定是________．1．如图所示，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则用a ，b 表示向量AC →和BD →分别是______．2．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于________．3．若向量a 与b 满足|a |＝5，|b |＝12，则|a ＋b |的最小值为_____，|a －b |的最大值为_____． 4．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB →－CB →＋CD →|＝________. 5．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，则|a －b |＝________.1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连结两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a ＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．答案精析问题导学 知识点一 思考相反向量．梳理(1)相等相反(2)③零向量 知识点二思考先作出－b ，再按三角形或平行四边形法则作出a ＋(－b )． 梳理(1)b ＋x ＝aa －b (2)ba 题型探究例1解如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，则CB →＝a ＋b －c .引申探究解如图，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .再作CA →＝c ，则BC →＝a －b －c .跟踪训练1解如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d .则a －b ＝BA →，c －d ＝DC →.例2解(1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0.(2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0. 跟踪训练2解(1)(BA →－BC →)－(ED →－EC →)＝CA →－CD →＝DA →. (2)(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋(DO →＋OB →) ＝AC →＋BA →－DC →＋DB →＝BC →－DC →＋DB →＝BC →＋CD →＋DB → ＝BC →＋CB →＝0.例3解∵||AB →|－|AD →||≤|AB →－AD →|≤|AB →|＋|AD →|，且|AD →|＝9，|AB →|＝6，∴3≤|AB →－AD →|≤15. 当AD →与AB →同向时，|AB →－AD →|＝3； 当AD →与AB →反向时，|AB →－AD →|＝15. ∴|AB →－AD →|的取值范围为[3,15]． 跟踪训练3矩形 当堂训练 1．a ＋b 和b －a 2.OQ →3.7174.25.10。