江苏省黄桥中学2012-2013学年高二数学下学期期末调研测试试卷_理(解析版)苏教版

江苏高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.六个数5，7，7，8，10，11的方差是_______．2.已知复数（是虚数单位），则=_______．3.命题“”的否定是____________．4.某工厂生产三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量为的样本，样本中型产品有16件，则样本容量n为 .5.已知集合，，则________．6.如果执行下面的程序框图，那么输出的______．7.如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________.8.已知一个质点在腰长为4的等腰直角三角形内随机运动，则某时刻该质点距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_____9.口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，则摸出红球或蓝球的概率为___．10.观察下列等式：，，，，……猜想：_____（）.11.已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．12.已知正数满足,则的最小值为______．13.点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是14.已知奇函数是上的单调函数，若函数只有一个零点，则实数k的值是．二、解答题1.已知复数满足 (为虚数单位)，复数的虚部为2，且是实数.(1)求及；(2)求及.2.从参加数学竞赛的学生中抽出20名学生，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：（1）这一组的频率和频数分别为多少？（2）估计该次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）；（3）若从第一组和第三组的所有学生中随机抽取两人，求他们的成绩相差不超过10分的概率．3.设命题：；命题：函数的定义域为R.(1)若且是真命题，求实数的取值范围；(2)若或是真命题，且是假命题，求实数的取值范围．4.若二次函数满足，且.(1)求的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)解关于的不等式.5.在某次水下考古活动中,需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含3个方面:①下潜时,平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为 ;②在水底作业需5个单位时间,每个单位时间用氧量为0.4;③返回水面时,平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中,总用氧量为.(1)将表示为的函数;(2)试确定下潜速度,使总的用氧量最少.6.已知函数，，，其中，且.⑴当时，求函数的最大值；⑵求函数的单调区间；⑶设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.7.（矩阵与变换）若点在矩阵的变换下分别得到点.（Ⅰ）求矩阵；（Ⅱ）若曲线C在的作用下的新曲线为，求曲线C的方程．8.（坐标系与参数方程）求直线（）被曲线所截的弦长。

2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，包含填空题（第1题 - 第14题）、解答题（第15题 - 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4. 如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．数学Ⅰ试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”． 2． 抛物线y 2= 4x 的准线方程为 ▲ ． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ． 4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、 “既不充分也不必要”中选一个合适的填空) 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）． 6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7． 口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是 ▲ ．8． 已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1AC 1与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积为 ▲ ． 9． 某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 ▲ 种选法（用数字作答）． 10． 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：① 若α∥β，m ⊂β，n ⊂α，则m ∥n ；② 若α∥β，m ⊥β，n ∥α，则m ⊥n ； ③ 若α⊥β，m ⊥ α，n ⊥β，则m ⊥ n ； ④ 若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ∥n ． 上面命题中，所有真命题．．．的序号为 ▲ ．11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ． 14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求四面体BCEF 的体积．FEDCBA（第15题）已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币． （1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FED C B A D C B A （第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值；（2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．a <或a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题 15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ． 又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ． （条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111123232CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯． ……………14分G F EDCB A16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =，23=． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为88=． ……………12分解得13m =± ……………14分 17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． (2)设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分 又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以cos ,||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC ． ……………10分（3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．所求随机变量ξ的分布列为…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”， 则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a'=--，0 ˂ a ˂ 1，列表：分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a =⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分 将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2= 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ= ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0）， 代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2- 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2+ 4kx - 2 = 0． ………… 8分设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则1,2x =则 | x 1 - x 2．PQ． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分∵22144k k +=≥，在k………… 14分∴PQ 2= 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ∈． ………… 15分 由①，②得PQ的取值范围是． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线，∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴．∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分 又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PFPE BP=，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2= PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分 （2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠． 又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分∴AD FEDC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分B 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''，则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=． ∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =， 于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分 ∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． ∴M 10α = M 10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即cos()4πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分 （2）设椭圆C 上一点P的坐标为[)(),sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离d =2cos 2m πα⎛⎫-+ ⎪==．∴2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ …………………… 5分 ∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 6m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭[)0,2π上有且只有一个解．∴2m =+或2m =-+ …………………… 8分若2m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；若22m =-+，不合题意．综上，实数m的值为2+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分（2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11k x kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分 ()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ………… 2分 212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥． ∵2221a b c ++=，∴22214936a b c ++≥． …………………… 5分 （2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分 综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。

第9题图 0 1 2 6 7 8 8 0 2 8 0 2 28 79 8 7 6 2 0 1 0第8题图 江苏省黄桥中学2012届高三上学期期末模拟（二）数学试题一、填空题 1．已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ．2．已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ．3．若函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，则m 的取值范围是 ．4．已知关于x 的不等式250ax x a -<-的解集为M ，若5M ∉，则实数a 的取值范围是 ．5．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =-上，则sin 22cos2αα+= ． 6．数列{na }的前n 项和223(N*)n S n n n =-∈，则4a = ．7．若函数)(x f 的导函数为34)('2+-=x x x f ，则函数)1(-x f 的单调递减区间为 ．8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若1s 、2s 分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则1s 2s （请填“＜”，“＝”，“＞”）9．如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A B 、的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是 ．10．过直线x y =上的一点作圆2)4(22=-+y x 的两条切线21,l l ，当1l 与2l 关于x y =对称时，1l 与2l 的夹角为 ．11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n 维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设a ＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，b ＝(b1，b2，b3，b4，…，bn)，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为∑∑∑====ni i ni ini i i b aba 12121cos θ，已知n 维向量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于 ．B第16题图PF EA D12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_ ．13．等腰ABC Rt ∆中，斜边24=BC ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过B A ,两点，则该椭圆的离心率为 ．14．若实数c b a ,,满足111111,122222a b a b b c a c ++++=++=，则c 的最大值是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FA λλ==>．(1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面PAC ？并证明．18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA1O =θ (rad)，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x)的解析式；（2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．20．(本小题满分16分) 设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正 整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列． 数学Ⅱ（附加题）21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2A第23题图P BMC 的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值．23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：①{}ni a i 2,,2,1,1,1 =-∈；②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记nA 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nA ；（2）记nB 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nB ．参考答案一、填空题：1． {}1 9，； 2．； 3． 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 4． [1,25] ； 5． -2； 6． 11 ； 7． [2，4]； 8．〈； 9．92-； 10． 3π；11n n 4-．； 12． 37； 13．36- ； 14． 2-log23 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =,, ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6A CA B B Cx=+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分B 第16题图PFEAD当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (14)分所以，四边形ABCD 的面积为16． 16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，AD ，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且(0)PE BFED FA λλ==>．(1)判断EF 与平面PBC 的关系，并证明； （2）当λ为何值时，DF ⊥平面PAC ？并证明．16、（1）作//FG BC 交CD 于G ，连接EG ，则而,,BF CGPE BFFA GD ED FA λ===,//,PE CGPC EG ED GD ∴=∴又//,,FG BC BCPC C FG GE G ==∴平面PBC //平面EFG ．又EF ⊂平面PBC,∴EF //平面PBC ． (6)分（2）当1λ=时,DF ⊥平面PAC ． …………………………………………………………8分 证明如下：1λ=，则F 为AB 的中点，又AD,AF=12AB， ∴在FAD Rt ∆与ACD Rt ∆中,2tan ==∠AF AD AFD ，2tan ==∠AD CDCAD ,………11分.,AFD CAD AC DF ∴∠=∠∴⊥又PA ⊥平面ABCD,DF ⊂平面ABCD,PA DF ∴⊥,DF ∴⊥平面PAC ． ………………………………………………………………14分17．(本小题满分14分)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A1，A2，A3，B 均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y ． （1）设∠CA1O =θ (rad)，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长．17． （Ⅰ）解：在Rt △COA1中，θcos 21=CA ，θtan 2=CO ， ………2分θθtan 22cos 2331-+⋅=+=CB CA y =2cos )sin 3(2+-θθ（40πθ<<）……7分 （Ⅱ）θθθθθθ222/cos 1sin 32cos )sin )(sin 3(cos 2-=----=y ， 令0='y ，则31sin =θ ………………12分当31sin >θ时，0>'y ；31sin <θ时，0<'y ，∵θsin =y 在]4,0[π上是增函数 ∴当角θ满足31sin =θ时，y 最小，最小为224+；此时BC222-=m …16分18．(本小题满分16分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为32，离心率为23．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆顶点),0(b B ，斜率为k 的直线交椭圆于另一点D ，交x 轴于点E ，且|||,||,|DE BE BD 成等比数列，求2k 的值．19．(本小题满分16分)已知：三次函数c bx ax x x f +++=23)(，在),2(),1,(+∞--∞上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当4>x 时，.54)(2+->x x x f （1）求函数f (x)的解析式；（2）若函数)ln()1()2(3)()(m x m x x f x h ++--'=，求)(x h 的单调区间．解：（1）)(x f 在),2(),1,(+∞--∞上单增，（-1，2）上单减023)(2=++='∴b ax x x f 有两根－1，2 cx x x x f b a b a +--=∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-∴623)(623321322123…………4分令522554)()(232-+--=+--=c x x x x x x f x H)2)(13(253)(2-+=--='x x x x x H ),2(),31,()(+∞--∞在x H 单调增，)2,31(-单调减故110)31(0)4(-=∴⎪⎩⎪⎨⎧<-=c H H11623)(23---=∴x x x x f故.11623)(23---=x x x x f ………………………………………………6分（2）∵633)(2'--=x x x f)2)(ln()1(1)(≠->++-+=∴x m x m x m x x h 且m x x m x m x h +-=++-='∴111)(当m≤－2时，－m≥2，定义域：),(+∞-m0)(>'x h 恒成立，),()(+∞-m x h 在上单增；当12-≤<-m 时，12≥->m ，定义域：),2()2,(+∞- m0)(>'x h 恒成立，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增当m >－1时，－m <1，定义域：),2()2,(+∞- m 由0)(>'x h 得x >1，由0)(<'x h 得x <1． 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在)1,(m -上单减 所以当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当12-≤<-m 时，),2(),2,()(+∞-m x h 在上单增；当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m ，1）单减………16分20．(本小题满分16分) 设)(n f k 为关于n 的)(N k k ∈次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正 整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ．故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④ ③－④得12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤ 211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）． (14)分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列． 综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． (16)A PB MC 分数学Ⅱ21．设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩,, ,,所以12m n =⎧⎨=⎩,. …………………………10分22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=(a 是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a 的值． 解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．所以⊙O1的直角坐标方程为x2＋y2＝2x ． 即 (x －1)2＋y2＝1．(3分)由 ρ＝2asinθ，得ρ2＝2aρsinθ．所以⊙O2的直角坐标方程为x2＋y2＝2ay ， 即 x2＋(y －a)2＝a2．(6分)(2)⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为12＋a2＝5，解得a ＝±2． …………………………10分23．在四棱锥P – ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ．⑴求PA 的长；⑵求棱PC 与平面AMD 所成角的正弦值．解:以A 为坐标原点,AB,AD,AP 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)．因为M 是PC 中点,所以M 点的坐标为(12,12,a 2)，所以AM →= (12,12,a 2)，BD → = (–1,1,0)，BP →= ( – 1,0,a)．⑴因为AM →⊥平面PBD,所以AM →·BD → = AM →·BP →= 0．即– 12 + a22= 0,所以a = 1,即PA = 1． …………………………………4分 ⑵由AD → = (0,1,0),M → = (12,12,12),可求得平面AMD 的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又CP →= ( –1,–1,1)．所以cos<n, CP →> = n·CP →|n|·|CP →| = 22·3 = 63．所以,PC 与平面AMD 所成角的正弦值为63．……………………………10分24．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件：①{}n i a i 2,,2,1,1,1 =-∈； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记nA 为满足对“任意的1k n ≤≤，都有212=+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nA ；（2）记nB 为满足“存在1k n ≤≤，使得0212≠+-k k a a ”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求nB ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有0212=+-k k a a ，所以，2222nn n A =⨯⨯个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ，不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j jk k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， (6)分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0， 所以，12C 2n nn n nB --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+…………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n nn n n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． ……………………10分。

12011－2012学年高二期末测试数 学（理科）2012．7注意事项：1．数学Ⅰ共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置．3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米以上签字笔写在答题卡上指定的位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 5．考试结束后，上交答题卡． 市区均分：100.505分数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．命题“2,10x x x ∃∈--=R ”的否定是 ▲ ． 4. 8592．设i 是虚数单位，复数z =43i12i+-，则 | z | = ▲ ． 4.2353．空间直角坐标系中，点P （-1，2，2）到原点O 的距离为 ▲ ． 4.9544．7(2)x +展开式中含4x 项的系数为 ▲ （用数字作答）． 4.7015．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面向上的情况的种数为 ▲ （用数字作答）．26．函数sin y x =与y = x 的交点个数为 ▲ ． 2.7937．若双曲线2221613x y m-=的右焦点在抛物线22y mx =的准线上，则实数m 的值为 ▲ ．4.0308．某射手射击1次，击中目标的概率为23．已知此人连续射击4次，设每次射击是否击中目标相互间没有影响，则他“击中3次且恰有两次连中”的概率为 ▲ ． 3.6749．在平面内，设A ，B 为两个定点，且AB = 3，动点M 满足2MAMB=，则AM 的最大值为 ▲ ． 3.13810．如图，在四棱锥P - ABCD 中，已知底面ABCD 是矩形，AB = 2，AD = a ，PD ⊥平面ABCD ，若边AB 上存在点M ，使得PM ⊥CM ，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 2.59911．过定点(1，2)一定可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是▲ ． 1.95412．已知函数()21ln 22f x x ax x =+-存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2.56513．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点B ，C 是椭圆E 上的两个动点，若直线AB 与AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为 ▲ ．1.93514．把正整数排列成如图（1）三角形数阵，擦去偶数行中的所有奇数及奇数行中的所有偶数，得到如图（2）的三角形数阵．设图（2）中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列{a n }，若a k = 431，则k = ▲ ．PCBAMD3第14题图（1）第14题图（2）1245791012141617192123252628303234361234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435364二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，AB = AC = AA 1 = 3a ，BC = 2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE = CF = 2a ． （1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求三棱锥B 1 - ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ． 11.35816．（本小题满分14分）已知直线l ：2x + y + 4 = 0与圆C ：x 2 + y 2 + 2x - 4y + 1 = 0相交于A ，B 两点，求： （1）线段AB 的长；（2）以AB 为直径的圆M 的标准方程． 11.682 17．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别为A 1D 1和A 1B 1的中点．（1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值；（2）求平面B 1BDD 1与平面BFC 1所成的锐二面角的余弦值；（3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且EP ∥平面BFC 1，求EP 的最大值和最小值． 8.972A FCBDC B 111E1 1 1 A x18．（本小题满分16分）在1，2，3，……，9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数之和为18的概率；（3）设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2）．求随机变量X的分布列及其数学期望E(X)．8.59619．（本小题满分16分）如图所示，某企业拟建造一个体积为V的圆柱型的容器（不计厚度，长度单位：米）．已知圆柱两个底面部分每平方米建造费用为a千元，侧面部分每平方米建造费用为b千元．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，设圆柱的底面半径为r，高为h（h≥2r），该容器的总建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求出此函数的定义域；（2）求该容器总建造费用最小时r的值．7.80520．（本小题满分16分）椭圆E：2214xy+=的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B．（1）若Rt△F1F2C的顶点C在椭圆E上的第一象限内，求点C的坐标；（2）在定直线l：x=m（m> 2）上任取一点P（P不在x轴上），线段P A交椭圆于点Q，若∠PBQ始终为钝角，求实数m的取值范围．5.189r．56ABNMP数学 Ⅱ（附加题）注意事项：1．数学Ⅱ共2页，考试时间30分钟．2．答题前务必要将选做题的前面标记框涂黑，以表示选做该题，不涂作无效答题． 3．请在答题卷上答题，在本试卷上答题无效．4．请从以下4组题中选做2组题作答，如果多做，则按作答的前两组题评分．每小题10分，共40分．A 组（选修4－1：几何证明选讲）A 1．在以AB 为直径的半圆上有两点M ，N ，设弦AN 与BM 交于点P ．求证：2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=．A 2．在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 于点N ．若AC =12AB ， 求证：BN = 2AM ．B 组（选修4－2：矩阵与变换）B 1．已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形''''A BCD ，其中(1,1)A ，(1,1)B -， (1,1)C --，'(3,3)A -，'(1,1)B ，'(1,1)D --．（1）求出矩阵M ；（2）确定点D 及点'C 的坐标． 9.2697B 2．给定矩阵M =21331233⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，N = 2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦及向量e 1 = 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，e 2 = 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． (1)证明M 和N 互为逆矩阵；(2)证明e 1和e 2都是M 的特征向量． 8.136C 组（选修4－4：坐标系与参数方程）C 1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为πcos()13ρθ-=，设曲线C 与x 轴及y 轴的交点分别为M ，N ． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ， N 的极坐标； （2）设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 7.043C 2．过点P （-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线1,()1x t tt y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数相交于A ，B 两点．求线段AB 的长．6.259D 组（选修4－5：不等式选讲）D 1．求函数()f x = 4.D 2．设x ，y ，z 为正数，证明：()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥． 4.82011－2012学年高二期末测试数学(理科)参考答案 2012．7数学Ⅰ部分一、填空题：1．2,10x x x ∀∈--≠R 23．3 4．280 5．11 6．1 7．- 4 8．16819．6 10．(0，1] 11．83(3)(2,)- 12．（-∞，1） 13．（1，0） 14．226 二、解答题： 15．（1）证明：∵AB = AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ． …………… 1分在直三棱柱ABC - A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． …………… 2分∵BC B 1B = B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1．…………… 3分 ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ． …………… 4分在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F = CD = a ，B 1C 1 = CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌ Rt △FC 1B 1．∴∠CFD = ∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． …………………… 5分 ∵AD FD = D ，∴B 1F ⊥平面AFD ． …………… 6分 （2）∵B 1F ⊥平面AFD ，∴1113B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△=11132AD DF B F ⨯⨯⨯⨯ ……………… 10分 （3）连EF ，EC ，设EC AF M =，连DM ，2AE CF a ==，∴四边形AEFC 为矩形，M ∴为EC 中点． D 为BC 中点，//MD BE ∴． ……………… 12分 MD ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，//BE ∴平面ADF ． ……………… 14分A FCBDC B 11 1 E 1 1 1 AM916．解：（方法一）（1）圆C 即：(x + 1)2 + (y -2)2 = 4，圆心C 的坐标为（-1，2），半径为2， 圆心C 到直线l的距离为d =3分∴AB =． …………………… 7分 （2）设过圆心C 且与l 垂直的直线为m ，则m ：12(1)2y x -=+，即1522y x =+． …………………… 9分联立直线l 与m 的方程，得所求圆心坐标为M 136(,)55-． …………… 11分 ∵圆M， ………………… 12分 ∴以AB 为直径的圆M 的标准方程为221364()()555x y ++-=． ………… 14分（方法二）（1）联立直线l 与圆C 的方程，消去y ，得5x 2 + 26x + 33 = 0． …………………… 3分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴AB =12|x x -=． ………………… 7分 （2）设M （a ，b ），则a =121325x x +=-． ………………… 9分 代入直线l 的方程，得b =65．∴M 136(,)55-． ………………… 11分 ∵圆M， ………………… 12分 ∴以AB 为直径的圆M 的标准方程为221364()()555x y ++-=． ………… 14分17．解：（1）A （2，0，0），E （1，0，2），B （2，2，0），F （2，1，2）．∴(1,0,2)AE =-，(0,1,2)BF =-． …………………… 2分则4cos ,5||||5AE BF AE BF AE BF ⋅<>===⋅．10∴异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值为45． …………………… 4分 （2）平面B 1BDD 1的一个法向量(1,1,0)=-m ，…………………… 5分设平面BFC 1的法向量为(,,)x y z =n ， 120,(,,)(2,0,2)220.BF y z BC x y z x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩n n ∴,2.x z y z =⎧⎨=⎩ 取1z =得平面BFC 1的一个法向量(1,2,1)=n ． ………………… 7分cos ,||||⋅<>===⋅m n m n m n ． ………………… 8分∴平面B 1BDD 1与平面BFC 1．…………… 9分 （3）设P （x ，y ，0）（0≤x ≤2，0≤y ≤2）， …………… 10分则(1,,2)EP x y =--．由0EP ⋅=n ，得(1)220x y -+-=，即x + 2y - 3 = 0． …………… 11分∵0≤x ≤2，∴0≤3 - 2y ≤2．则1322y ≤≤． …………… 12分∵||(EP x===，∴当45y =时，EP当32y =时，EP ． …………… 14分18．解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件A ，∵偶数有2，4，6，8，奇数有1，3，5，7，9，∴12213045454539()C C C C C C P A C ++= …………………… 2分 3742=． …………………… 4分 （2）记“这3个数之和为18”为事件B ，考虑三个数由小到大排列后的最小数，它只有可能为1，2，3，4，5之一，三个数从小到大排列只有可能为189，279，369，378，459，468，567七种情况之一，∴397()P B C = …………………… 6分112=． …………………… 8分 （3）随机变量X 的取值只能为0，1，2之一，11当X = 0时，共有35种情形，P （X = 0）=3935512C =； 当X = 1时，共有42种情形，P （X = 1）= 394212C =；当X = 2时，共有7种情形，P （X = 2）= 397112C =．则…………………… 14分∴X 的数学期望为5112()012122123E X =⨯+⨯+⨯=． ……………………16 分 19．解：（1）设圆柱的高为h ，∵2πV r h =． ……………… 2分∴2222π2π2πbVya rb rh a r r=⋅+⋅=+． ……………… 5分 ∵h ≥2r > 0，∴22πVrr ≥> 0．即0 <r ……………… 7分（2）224πbVy a r r '=-． 令0y '=，得r =．……………… 9分 令0y '<( r > 0 )，得0r <<0y '>，得r >． ……… 11分∴当0r <<y 关于r 是减函数； 当r > ，y 关于r 是增函数． ……………………… 13分 若b ≤2a ，当r =米时，容器建造费用最小； ………… 14分12若b > 2a ，则y 在(0，]上单调减，所以r 米时，容器建造费用最小． ………………………… 15分总之，2,2.b a r b a =>≤ ………………………… 16分20．解：（1）椭圆E 中，a 2 = 4，b 2 = 1，c 2 = 3，F 1（0），F 20），A （-2，0），B （2，0），设C （x ，y ）．① 若∠F 2F 1C = 90°，则点C 不在第一象限内，与条件矛盾，不成立． ……… 1分 ② 若∠F 1F 2C = 90°，将xE 的方程，得y = ±12． ∵点C 在第一象限内，∴C12）． ………………… 3分 ③ 若∠F 1CF 2 = 90°，∴OC = OF 2x 2 + y 2 = 3． ………………… 5分 又2214x y +=，∴x 2 =83，y 2 =13． ∵点C 在第一象限内，x > 0，y > 0，∴x，y =． 即C）． ………………… 7分 （2）设00(,)Q x y ，则直线AQ 方程为：00(2)2y y x x =++．∴00(2)(,)2y m P m x ++． ……………………………… 9分00(2,)BQ x y ∴=-，00(2)(2,)2y m BP m x +=-+．∵y 0≠0时，又PBQ ∠为钝角，∴0BP BQ ⋅<．∴2000(2)(2)(2)02y m x m x +--+<+． ……………………………… 12分 ∵-2 < x 0 < 2，∴2200(4)(2)(2)0x m y m --++<． ∵220014x y =-，∴2(4)(103)0x m --<．∴103m >． ……………………… 16分13A BNMPE数学 Ⅱ（附加题）部分A 1．证明：作PE AB ⊥于E ，AB 为直径，90ANB AMB ∴∠=∠=． ……………… 3分 ,,,P E B N ∴四点共圆，,,,P E A M 四点共圆．……………… 5分∴AE AB AP AN ⋅=⋅，①∴BE AB BP BM ⋅=⋅．② ……………… 7 分① + ②，得()AB AE BE AP AN BP BM +=⋅+⋅．……… 9分 即2AP AN BP BM AB ⋅+⋅=． ………………………… 10分A 2．证明：如图，在△ABC 中，∵CM 是∠ACM 的平分线，∴AC AMBC BM=． ………………… 3分 ∵12AC AB =， ∴2AB AMBC BM=．① ………………… 5分 又∵BA 与BC 是圆O 的两条割线，∴BM BA BN BC ⋅=⋅，即BA BNBC BM=．② ……………… 7分 由①，②可知，2AM BNBM BM=． ……………… 9分 ∴BN = 2AM ． ……………… 10分 B 1．解：（1）设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则1311,1311a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …………………… 3分 ∴3,3,1,1.a b c d a b c d +=⎧⎪+=-⎪⎨-+=⎪⎪-+=⎩ 解得1,2,2,1a b c d ===-=-，1221M ⎡⎤∴=⎢⎥--⎣⎦．……… 5分 （2）由12132113--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得'(3,3)C -． …………………… 7分14设D （x ，y ），由121211x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得21,2 1.x y x y +=-⎧⎨--=-⎩ ………………… 9分 解得x = 1，y = -1，∴(1,1)D - ． ………………… 10分 B 2．解：（1）∵MN =2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦21⎡⎢⎣ 12⎤⎥⎦=10⎡⎢⎣01⎤⎥⎦， …………………… 2分 NM =21⎡⎢⎣12⎤⎥⎦2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦=10⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦， ∴M 和N 互为逆矩阵． ……………………… 5分 （2）∵ 2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1313⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=1311⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………………… 7分 2313⎡⎢⎢⎢-⎢⎣ 1323⎤-⎥⎥⎥⎥⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ……………………… 9分∴e 1和e 2是M 的特征向量． ……………………… 10分C 1．解：（1）由cos()13πρθ-=，得1cos sin 12ρθθ=，∴曲线C的直角坐标方程为112x y +=，即2x +=．……………… 3分当0θ=时，2ρ=，∴M 的极坐标为（2，0）；当2πθ=时，ρ=，∴N的极坐标为)2π． ……………… 5分（2）M 的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为， ∴P的直角坐标为． ………………… 7分 则P的极坐标为π)6． ………………… 9分 ∴直线OP 的极坐标方程为,(,)6πθρ=∈-∞+∞． ………………… 10分15C 2．解：直线的参数方程为3,1,2x y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(s 为参数)，曲线1,1,x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)化为224x y -=． ………………… 3分将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=． ………………… 5分 设A ，B 对应的参数分别为12s s ，，则1,2s == ………………… 7分∴AB 12s s =- ………………… 9分 =． ………………… 10分 D 1．解：()f x =+1 ………………… 3分 由柯西不等式，得()f x=． ………………… 5分1= ………………… 7分 解得76x =． ………………… 9分 ∴()f x． ………………… 10分 D 2．∵2220x y xy +>≥，∴()()()3322x y x y x xy y xy x y +=+-++≥． ………………… 3分 同理()33y z yz y z ++≥，()33z x zx z x ++≥， ………………… 5分 三式相加即可得()()()()3332x y z xy x y yz y z zx z x +++++++≥． ……………… 7分16∵()()()()()()222xy x y yz y z zx z x x y z y x z z x y +++++=+++++，…………… 9分 ∴()()()()3332222x y z x y z y x z z x y +++++++≥ ． ……………… 10分。

第8题图淮安市2012－2013学年度高二年级学业质量调查测试数 学 试 卷（理） 2013.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一．填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z 满足2(13)(1)iz i i =-+-，其中i 是虚数单位，则z = ▲ ． 2．若命题p 是：“存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根”，则命题“非p ”是“___ _ _▲ ”．3.若二项展开式()99221091x a x a x a a x ++++=- ，其中9210,,,,a a a a 是展开式系数，则|0129a a a a ++++的值为 ▲ .4.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101M ,则矩阵M 的逆矩阵1M -= ▲ ． 5．若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1=x ，则实数m 的值是___▲__ ． 6．31021(2)2xx-的展开式中常数项是 ▲ ． 7．将三名成人和三名儿童排成一排，则任何两名儿童都不相邻的不同排法总数为 ▲ ．8．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，将该正方体沿对角面11BB D D 切成两块（如图），再将这两块重新拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是___▲_ _．9．某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，则三个这样第10题图的灯泡使用1000小时后，至多只坏一个的概率是___▲_ _.10.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ▲ ．11．已知函数32()3f x x mx x =--，3x =是()f x 的极值点，则()f x 在[]1,m 的最大值与最小值的和是 ▲ ．12．已知l b a ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，有下列四个命题： ① 若b a ==γββα ,，且b a //，则γα//；、② 若b a ,相交，且都在βα,外，βαβα//,//,//,//b b a a ，则βα//； ③ 若b a b a ⊥⊂=⊥,,,ββαβα ，则α⊥b ； ④ 若b l a l b a ⊥⊥⊂⊂,,,αα，则α⊥l . 其中正确命题的序号是 ▲ ．13．现从甲、乙、丙、丁、戊5名大学生中选出4名参加雅安地震志愿者服务活动，分别从事心理辅导、医疗服务、清理垃圾、照顾老人这四项工作，若甲不能从事心理辅导工作，则不同安排方案的种数是 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，'()()0(0)xf x f x x ->>，则不等式()0f x >的解集是___▲___．二．解答题:本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案写在答．题卡相应位置．．．．．．上． 15．已知矩阵33A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（1）求矩阵A ；（2）求出直线10x y +-=在矩阵A 对应的变换作用下所得曲线的方程．16．在各项均为正数的数列{a n }中，数列的前n 项和为n S 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． (1)求123,,a a a 的值，并根据规律猜想出数列{}n a 的通项公式； (2)请用数学归纳法证明你的猜想．17．某中学经过选拔的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有不优秀和优秀两个等次，若考核为不优秀，则授予0分加分资格；若考核优秀，授予20分加分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得加分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．18．如图，平面ABDE ⊥平面ABC ，ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD AB ⊥,122BD AE ==,点O M CE AB 、分别为、的中点． （1）求证：OD ∥平面ABC ；（2）求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值．ACO DE19．已知椭圆()012222>>=+b a b y a x 长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：223,223-+．（1）求椭圆的方程；（2）若点P 椭圆上第一象限，21,F F 分别为椭圆的左右焦点，若满足120PF PF ⋅=，求点P 到椭圆右准线的距离；（3）过点()0,1Q 作直线l (与x 轴不垂直）与椭圆交于N M ,两点，与y 轴交于点R ，若,RM MQ RN NQ λμ==，求证：μλ+为定值．20．已知函数2)ln (0)f x ax x x x a =+->（. (1)已知直线1y x =+与()()g x f x '=相切，求a 的值；(2)若函数满足(1)2f =,且在定义域内2()2f x bx x >+恒成立,求实数b 的取值范围； (3)若函数()f x 在定义域上是单调函数,求实数a 的取值范围．。

石家庄市2012～2013学年度第二学期期末考试试卷高二数学（理科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5.ABDAC 6-10.CABCC 11-12. DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．16314．29- 15． 72 16.20116042三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）当0=a 时，x e x x f ⋅=2)(，x e x x x f ⋅+=')2()(2，………………2分e f 3)1(='，所以，当0=a 时，曲线)(x f y =在点1(，))1(f 处的切线的斜率为e 3………………4分（II ）当1=a 时，xe x x xf )1()(2--=，x x x e x x e x x e x x f )2)(1()1()12()(2+-=--+-='………………6分所以当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x-∞(，)2-2-2(-，)111(，)∞+)(x f '+ 0 — 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗……………8分所以，)(x f 的极大值为25)2(e f =-，极小值为e f -=)1(………………10分 18．解：(Ⅰ)因为按性别比例分层抽样， 所以抽取男生38152515=⨯+位，抽取女生58152525=⨯+位所以男、女生分别抽取抽取3位和5位才符合抽样要求………………5分（Ⅱ）因为99.01.238.31727)()())((81812281≈⨯≈----=∑∑∑===i j jii i iy yx xy y x xr ，……………6分所以物理成绩y 与数学成绩x 之间有较强的线性相关关系，……………8分根据所给的数据，可以计算得出72.01014727)())((ˆ81281≈≈---=∑∑==i ii i ix xy y x xb，……………10分 56.287772.084ˆˆ=⨯-=-=x b y a，……………11分 所以y 与x 的回归直线方程为ˆ0.7228.56yx =+.………………12分 19．解：（I ）设事件C 表示“这3人中恰有2人是低碳族” ……………1分384.02.08.0)(223=⨯⨯=C C P ………………4分答：甲、乙、丙这3人中恰有2人是低碳族的概率是384.0 ……………5分（II ）设A 小区有x 人，两周后非低碳族的概率32.0)2.01(5.02=-⨯⨯=xx P ， 故低碳族的概率是68.032.01=-=P ……………8分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是68.0，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，故X ～25(B ，)68.0，……………10分 所以，1768.025)(=⨯=X E ………………12分 20．解：（I ）当1=n 时，1112a S a -==，∴11=a 当2=n 时，222122a S a a -⨯==+，∴232=a 当3=n 时， 3332132a S a a a -⨯==++，∴473=a 当4=n 时，44432142a S a a a a -⨯==+++，∴8154=a 由此猜想1212--=n n n a (∈n N *)．………………5分（II ）证明：（i ）当n ＝1时，左边＝a 1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．……6分（ii ）假设1(≥=k k n 且∈k N *)时，结论成立，即1212--=k k k a ，……………8分那么1+=k n 时，111122)1(2++++-+=+--+=-=k k k k k k k a a a k a k S S a ，∴k k a a +=+221，∴kk k k k k a a 2122212222111-=-+=+=+-+， ∴1+=k n 时，结论成立，……………11分由（i ）（ii ）可知，猜想1212--=n n n a 成立．………………12分21．（Ⅰ）解：因为22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++333.820302525)5101520(502≈⨯⨯⨯⨯-⨯=，……2分又8.3337.879>,……………4分所以，我们有99.5%的把握认为患心肺疾病是与性别有关系的． ………………6分 （Ⅱ）解：ξ的所有可能取值：0，1，2，3 ……………7分37310357(0)12024C P C ξ====；12373106321(1)12040C C P C ξ⋅====； 2137310217(2)12040C C P C ξ⋅====；333101(3)120C P C ξ===； ……………9分 分布列如下：ξ0 1 2 3P724 2140 740 1120……………10分则721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，ξ的数学期望为9()10E ξ=………………12分22．解：（I ）xax x ax x f 1212)(2-=-='，……………1分由于0(∈x ，)∞+，所以当0≤a 时，0)(<'x f ，∴)(x f 在0(，)∞+上是减函数……………3分当0>a 时，xax ax a x f )21)(21(2)(-+='当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：x0(，)21aa21a21(，)∞+)(x f ' — 0+ )(x f↘极小值↗则)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数；……………5分综上所述，当0≤a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)∞+当0>a 时，)(x f 的单调递减区间是0(，)22a a ，单调递增区间是aa22(，)∞+…………6分 （II ）当221e a >时，e aa<22， 由（I ）知)(x f 在0(，)21a上是减函数，在a21(，)∞+上是增函数，所以，)(1x f 的最小值是211()ln(2)222a f a a =+，则)(2x f 的最小值为1ln(2)a +………8分 又因为xa x a x g 1212)(=⋅='，在0(，]e 上0)(>'x g ，所以)(x g 在0(，]e 上单调递增， 所以)(2x g 在0(，]e 上的最大值是()4ln(2)g e a =--，……………10分故由题设知2(1ln(2))(4ln(2))71.2a a a e +---<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得2212e a e <<，故a 的取值范围是221(e，)2e ………………12分 附加题：（以下是选修系列四三选一的内容,各校可根据本校的情况，酌情选择此题） 【几何证明选讲】解：（I ）连接DE ，根据题意在△ADE和△ACB 中， AD ×AB =mn =AE ×AC ，即ABAEAC AD =，又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE =∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．………………5分（Ⅱ）若m =6，n =8，方程0162=+-mn x x 的两根为12,421==x x ，故AD =4，AB =12. 取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于90=∠A ，故GH ∥AB ， HF ∥AC . HF =AG =7，DF =4 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为65………………10分 【坐标系与参数方程】解：（I ）由1l 的参数方程可知：1123y m k x -==- ，2:344l x y += ，234k ∴=- 直线12l l 与垂直，121k k ∴=- 4m ∴= ………………5分（II ）曲线C 的直角坐标方程为22194x y += ，将直线1l 的参数方程为2314x t y t=+⎧⎨=+⎩代入得： 2180120110t t +-= ，由参数t 的几何意义得：12552536MA MB t t ==………10分 【不等式选讲】 解：（I ）由a x f ≤)(得2121ax a +≤≤-，因为解集为}10|{≤≤x x ， 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-121021a a，解得1=a ………………5分（II ）由函数mx x m x f x f x g +++-=+++=|12||12|1)1()(1)(的定义域为R 知，对任意实数x 有0|12||12|≠+++-m x x 恒成立由于2|2121||12||12|=++-≥++-x x x x ，所以2->m 即m 的取值范围是2(-，)∞+………………10分。

2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学（理科） 2013．6数学Ⅰ试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1． 命题“,x ∀∈R sin 1x ≤”的否定是“ ▲ ”．2． 抛物线y 2 = 4x 的准线方程为 ▲ ．解：∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=-1．故答案为x=-1． 3． 设复数22i(1i)z +=+（i 为虚数单位），则z 的虚部是 ▲ ．4． “1x <”是 “2log 0x <”的 ▲ 条件．(在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)解：由log 2x ＜0，解得0＜x ＜1，所以“x ＜1”是“log 2x ＜0”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分． 5． 61()2x x-的二项展开式中的常数项是 ▲ （用数字作答）．6． 若定义在R 上的函数()f x 的导函数为()24f x x '=-，则函数(1)f x -的单调递减区间是 ▲ ．7．口袋中有形状、大小都相同的2只白球和1只黑球，先摸出1只球，记下颜色后放回口袋，然后再摸出1只球，则“两次摸出的球颜色不相同”的概率是▲．8．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的对角线AC1的长为6，且AC1与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积为▲．9．某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有▲种选法（用数字作答）．10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；④若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n．上面命题中，所有真命题．．．的序号为▲ ．11． 过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，若AB =2a，则双曲线22221x y a b-=的离心率为 ▲ ．12． 已知圆221:()(1)1C x a y a -+--=和圆2222:(1)2C x y a -+=有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13． 定义函数(),(),(),()K f x f x K f x K f x K >⎧=⎨⎩≤（K 为给定常数），已知函数225()3ln 2f x x x x =-，若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()K f x K =，则实数K 的取值范围为 ▲ ．14． 在下图中，从第2行起，除首末两个位置外，每个位置上的数都等于它肩上的两个数的和，最初几行是：则第 ▲ 行中有三个连续位置上的数之比是3︰4︰5．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD = DE = 2AB = 2，且F 是CD 的中点．第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 … …FEDCBA（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求四面体BCEF的体积．已知点M 到双曲线221169x y -=的左、右焦点的距离之比为2︰3． （1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹上有且仅有三个点到直线y = x + m 的距离为4，求实数m 的值．17．（本小题满分14分）如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB = 4，AD = 2，A 1A = 2，点F 是棱BC 的中点，点E 在棱C 1D 1上，且D 1E = λ EC 1（λ为实数）． （1）求二面角D 1 - AC - D 的余弦值；（2）当λ =13时，求直线EF 与平面D 1AC 所成角的正弦值的大小；（3）求证：直线EF 与直线EA 不可能垂直．18．（本小题满分16分）有两枚均匀的硬币和一枚不均匀的硬币，其中不均匀的硬币抛掷后出现正面的概率为23．小华先抛掷这三枚硬币，然后小红再抛掷这三枚硬币．（1）求小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率； （2）若用ξ表示小华抛得正面的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）求小华和小红抛得正面个数相同（包括0个）的概率．1111FEDC BA D CB A（第17题）已知函数3211()(1)323a f x x a x x =-++-． （1）若函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程为90x y b -+=，求实数a ，b 的值； （2）若0a ≤，求()f x 的单调减区间；（3）对一切实数a ∈(0,1)，求f (x )的极小值的最大值．20．（本小题满分16分）如图，点A （- a ，0），B （23，43）是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的两点，直线AB 与y 轴交于点C （0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点C 任意作一条直线PQ 与椭圆相交于P ，Q ，求PQ 的取值范围．2012～2013学年苏州市高二期末调研测试数学Ⅰ（理科）参考答案 2013．6（第20题）yxO QP CB A一、填空题1．x ∃∈R ，sin 1x > 2．x = -1 3．-1 4．必要不充分 5． 52-6．（-∞，3） 7．498．2 9．310 10．②③11．52 12．24a <-或24a > 13．233[e ,)2+∞ 14．62二、解答题15．证明：（1）取EC 中点G ，连BG ，GF ．∵F 是CD 的中点，∴FG ∥DE ，且FG =12DE ．又∵AB ∥DE ，且AB =12DE ．∴四边形ABGF 为平行四边形．……… 3分∴AF ∥BG ．又BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ． （条件每少一个扣1分，最多扣2分）∴AF ∥平面BCE ． …………5分（2）∵AB ⊥ 平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥ AF ．∵AB ∥DE ，∴AF ⊥ DE ． ………… 6分又∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥ CD ． ………… 7分 ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥ DE ，BG ⊥ CD ． ………… 8分 ∵CD ∩ DE = D ，∴BG ⊥平面CDE ． ………… 9分（直接用AF ∥BG ，AF ⊥平面CDE ，而得到BG ⊥平面CDE ．扣1分） ∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE ； ……………11分（3）四面体BCEF 的体积13CFE V S BG ∆=⋅1111312332323CF DE AF =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⋅=． ……………14分16．解：（1）双曲线221169x y -=的左、右焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ．………1分 设点(,)M x y ，则1223MF MF =， 即2222(5)23(5)x y x y++=-+． ……………3分 化简得点M 的轨迹方程为2226250x y x +++=． ……………7分 （2）点M 的轨迹方程即为22(13)144x y ++=，它表示以(13,0)-为圆心，12为半径的圆． ……………9分 因为圆上有且仅有三点到直线y = x + m 的距离为4， 所以圆心到直线y = x + m 的距离为8，即|13|811m -+=+． ……………12分解得 1382m =±． ……………14分G FEDC BA17．解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系D xyz -．则(2,0,0),(0,4,0),A C 1(0,0,2),D1(2,0,2)D A =-，1(0,4,2)D C =-． ………… 2分 设平面1D AC 的法向量为(,,)x y z =n ， 则110,0D A D C ⋅=⋅=n n ．即,2x z z y ==．令1y =，则2x z ==．∴平面1D AC 的一个法向量(2,1,2)=n ．…… 4分又平面DAC 的一个法向量为(0,0,1)=m ．故22cos ,||133⋅〈〉===⋅⨯m n m n m |n |， 即二面角1D AC D --的余弦值为23． ……… 6分（2）当λ =13时，E （0，1，2），F （1，4，0），(1,3,2)EF =-．所以114cos ,42||||143EF EF EF ⋅〈〉===⋅⨯n n n ． ……………9分 因为 cos ,0EF 〈〉>n ，所以,EF 〈〉n 为锐角， 从而直线EF 与平面1D AC 所成角的正弦值的大小为1442． ……………10分 （3）假设EF EA ⊥，则0EF EA ⋅=．∵4(0,,2),(1,4,0)1E F λλ+，∴4(2,,2)1EA λλ=--+，4(1,4,2)1EF λλ=--+． ……………12分∴442(4)4011λλλλ--+=++．化简得23230λλ-+=．该方程无解，所以假设不成立，即直线EF 不可能与直线EA 不可能垂直．……14分18．解：（1）设A 表示事件“小华抛得一个正面两个反面”，B 表示事件“小红抛得两个正面一个反面”，则P （A ）=1111121()22232233⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………2分P （B ）=1121115()222322312⨯⨯⨯+⨯⨯=， …………4分则小华抛得一个正面两个反面且小红抛得两个正面一个反面的概率为P （AB ）= P （A ）P （B ）=15531236⨯=． …………6分（2）由题意ξ的取值为0，1，2，3，且1111(0)22312P ξ==⨯⨯=；1(1)3P ξ==；5(2)12P ξ==；1121(3)2236P ξ==⨯⨯=．x （第17题） A EB CDFA 1B 1C 1D 1yz所求随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P112 13 512 16…………10分数学期望11515()01231231263E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 （3）设C 表示事件“小华和小红抛得正面个数相同”， 则所求概率为2222()(0)(1)(2)(3)P C P P P P ξξξξ==+=+=+=2222115123()()()()12312672=+++=．所以“小华和小红抛得正面个数相同”的概率为2372． ………… 16分19．解：（1）2()(1)1()f x ax a x a '=-++∈R ， ………… 1分由(2)9f '=，得a = 5． ………… 2分∴3251()333f x x x x =-+-．则(2)3f =．则（2，3）在直线90x y b -+=上．∴b = -15． ………… 4分（2）① 若0a =，221111()(1)2326f x x x x =-+-=--+，∴()f x 的单调减区间为（1，+∞）． ………… 6分 ② 若0a <，则21()(1)1()(1),,f x ax a x a x x x a'=-++=--∈R令()0f x '<，得1()(1)0x x a -->．∴1x a<，或x ˃ 1． ………… 9分∴()f x 的单调减区间为1(,)a -∞，（1，+∞）． ………… 10分（3）1()(1)()f x a x x a '=--，0 ˃ a ˃ 1，列表：x（-∞，1） 1（1，1a ） 1a（1a，+∞） ()f x '+ 0 - 0 +()f x ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗………… 12分∴f (x ) 的极小值为32111111()(1)323a f a a a a a=⋅-++-22111111131()6236224a a a =-⋅+⋅-=--+． ………… 14分当23a =时，函数f (x ) 的极小值f (1a )取得最大值为124． ………… 16分20．解：（1）由B （23，43），C （0，1），得直线BC 方程为112y x =+．………… 2分 令y = 0，得x = -2，∴a = 2． ………… 3分 将B （23，43）代入椭圆方程，得24169914b +=．∴b 2 = 2．椭圆方程为22142x y +=． ………… 5分 （2）① 当PQ 与x 轴垂直时，PQ = 22； ………… 6分② 当PQ 与x 轴不垂直时，不妨设直线PQ ：y = kx + 1（k ≥0），代入椭圆方程x 2 + 2y 2 - 4 = 0，得x 2 + 2(kx + 1)2 - 4 = 0．即 (2k 2 + 1) x 2 + 4kx - 2 = 0． ………… 8分 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 21,2228221k k x k -±+=+．则 | x 1 - x 2 | = 2228221k k ++．PQ = 222282121k k k ++⋅+． ………… 10分 2242222242428(1)(41)45188(1)(21)441441k k k k k PQ k k k k k ++++==⋅=⋅++++++=2218(1)144k k ⋅+++． ………… 12分 ∵2222114244k k k k+⋅=≥，在k =22时取等号， ………… 14分 ∴PQ 2 = 2218(1)144k k⋅+++∈（8，9]．则PQ ∈(22,3]． ………… 15分 由①，②得PQ 的取值范围是[22,3]． ………… 16分数学Ⅱ（理科附加题）参考答案A 1 证明：如图，连结BP ，∵AB = AC ，AD 是BC 边的中线， ∴AD 是此等腰三角形的一条对称轴． ∴ABP ACP ∠=∠． ………… 2分 ∵BF ∥AC ，∠F = ∠ACP ．∴∠F = ∠ABP ． ………… 5分 又BPF EPB ∠=∠，∴BPF ∆∽EPB ∆． ………… 8分所以BP PF PE BP =，即2BP PE PF =⋅． ∵BP = CP ，∴CP 2 = PE ·PF ． ……… 10分A 2 证明：（1）连结ED ．∵AF 为切线，∴∠FAB = ∠ACB ．………… 2分 ∵BD AC ⊥，CE AB ⊥， ∴90AEF BDC ∠=∠=．∴F DBC ∠=∠． ………… 5分 （2）∵BD AC ⊥，CE AB ⊥，∴,,,D E B C 四点共圆．则DEC DBC ∠=∠． 又F DBC ∠=∠，∴DEC F ∠=∠．则DE ∥AF ． ……………8分 ∴AD FE DC EC =，即AD EC DC FE ⋅=⋅． ……… 10分DBCAFECD B APEFB 1 解：由题设得010*********MN -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 设直线210x y -+=上任意一点(,)x y 在矩阵MN 对应的变换作用下变为(,)x y ''， 则 1001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 5分 即x x y y '⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦，∴,.x x y y '=⎧⎨'=-⎩………… 8分∵点(,)x y 在直线210x y -+=上，∴2()10x y ''--+=，即210x y ''++=．∴曲线F 的方程为210x y ++=． ………… 10分B 2 解：（1）由题意得1112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ………… 2分 即122a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，∴12,2.a b +=⎧⎨=⎩则1,2a b ==． ………… 5分（2）由（1）得矩阵M 1102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 矩阵M 的特征多项式为()()11()1202f λλλλλ--==---， 矩阵M 的另一个特征值是1．代入二元一次方程组()()10020x y x y λλ--=⎧⎪⎨⋅+-=⎪⎩，解得0y =，于是M 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ………… 8分∴α =11210⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．∴M 10α = M10101011111026222110101024⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⋅= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭．………… 10分C 1解：圆C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=． ………… 2分 圆心(1,0)C ，直线l 的直角坐标方程为40x y --=． ………… 5分所以过点C 与直线l 垂直的直线的方程为10x y +-=． ………… 8分化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ+-=，即2cos()42πρθ-=．………… 10分C 2 解：（1）直线l 的普通方程0x y m --=，椭圆C 的普通方程为2213x y +=； …………………… 2分（2）设椭圆C 上一点P 的坐标为[)()(3cos ,sin )0,2αααπ∈，∵m ˃ 2，∴点P 到直线l 的距离2cos 3cos sin 622m m d πααα⎛⎫+- ⎪--⎝⎭==2cos 622m πα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==． ∴2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． …………………… 5分∵椭圆C 上有且只有1个点到直线l 的距离为2，∴关于α的方程2cos 226m πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[)0,2π上有且只有一个解．∴222m =+或222m =-+． …………………… 8分 若222m =+，满足2m >，此时116πα=，点P 的坐标是31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若2222m =-+<，不合题意．综上，实数m 的值为222+，该点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．……………10分D 1证明：（1）当2n =时，因为0x ≠，()2211212x x x x +=++>+，即n = 2时不等式成立； ……… 2分 （2）假设n = k （2,*k k ∈N ≥）时不等式成立，即有()11kx kx +>+，则当1n k =+时，()()()()()111111k kx x x x kx ++=++>++ ……… 5分()2111x kx kx k x =+++>++． ……… 8分即当1n k =+时，不等式也成立．综合（1）（2）可知，原不等式成立． ……… 10分D 2（1）证明：由柯西不等式得()()222222222222149123a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅++=++⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦………… 2分212336a b c ab c ⎛⎫⋅+⋅+⋅= ⎪⎝⎭≥．∵2221a b c ++=，∴22214936a b c++≥． …………………… 5分（2）解：由（1）得236m m +-≤．当m ≥2时，m + m - 2≤36，∴m ≤19；当02m <<时，m + 2 - m ≤36，恒成立；当m ≤0时，- m + 2 - m ≤36，∴m ≥-17． …………………… 8分 综上，实数m 的取值范围是[-17，19]． …………………… 10分。

2012～2013学年度第二学期高二年级调研测试数学试题（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．）1．若集合{}{}{}0,,2,3,3A m B A B ===I ，则实数=m ▲． 答案：32．已知“凡是9的倍数的自然数都是3的倍数”和“自然数n 是9的倍数”，根据三段论推理规则，我们可以得到的结论是 ▲ ． 答案：n 是3的倍数.3．函数0y =的定义域为 ▲ ．答案：{}2,x 4x x >-≠且4．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，假设命题的结论不成立的正确叙述是“ ▲ ”． 答案：假设x ≠-1且x ≠1.5．已知复数22(815)(918)i z m m m m =-++-+为纯虚数，则实数m 的值为 ▲ ． 答案： 5.6．已知函数3(0)()(0)xx f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则1()4f f ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦= ▲ ．答案： -12.7．已知集合{}3(,)1,,,(,)2,,4y A x y x R y R B x y y ax x R y R x ⎧-⎫==∈∈==+∈∈⎨⎬-⎩⎭，若A B ⋂=∅，则实数a 的值为 ▲ ． 答案：148.已知方程3log 5x x =-的解所在区间为(,1)()k k k N *+ ∈，则k = ▲ ． 答案： 3.9.对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记36的“分裂”中最小的数为a ，而26的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝ ▲ ． 答案：4210.在矩形ABCD 中，5AB =，2BC =，现截去一个角PCQ ∆，使P Q 、分别落在边BC CD 、上，且PCQ ∆的周长为8，设PC x =，CQ y =,则用x 表示y 的表达式为y = ▲ ．答案：y=8328x x --(0<x ≤2). 11．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01m n <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④函数()()21f x x x x =⋅+--有2个零点． 其中正确命题的序号．．为 ▲ ． 答案：③④A BCDPQ12.当(34)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 答案：m ≤-5.13．设1a >,若函数2()log ()a f x ax x =-在区间1,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，则a 的取值范围是▲ ． 答案： a>2.14．设不等式2(1)0x px p p +--≥对任意正整数x 都成立，则实数p 的取值范围是 ▲ ．答案：≤p ≤二、解答题：本大题共6小题，共90分.（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15. （本小题满分14分）设全集是实数集R ,22{|2730},{|0}A x x x B x x a =-+≤=+<,（1） 当4a =-时,求A B ； （2） 若()R A B B =r ð,求负数a 的取值范围.解：（1）1{|3}2A x x =≤≤ ………………………………………………4分 当4a =-时,{|22}B x x =-<< …………………………………………………4分{|23}A B x x =-<≤ ………………………………………………… 8分(2） 1{|}2R A x x =<或x>3r ð ………………………………………10分∵0a <,∴{|B x x =<, …………………… 12分当()R A B B =r ð时,有R B A ⊆r ð，要使R B A ⊆r ð,12≤成立, 解得104a -≤<………………14分 16．（本题满分14分）已知复数22(4sin )2(cos 1)z a i θθ=-++，其中a +∈R，),0(πθ∈，i 为虚数单位，且z 是方程2220x x ++=的一个根．（1）求θ与a 的值；（2）若w x yi =+（,x y 为实数），求满足1zw z i-≤+的点(,)x y 表示的图形的面积． 解：（1）由方程x 2+2x+2=0得x=-1±i ………………………………………2分 2(cos 1)0θ+≥∴z=-1+I ……………………………………………………………………4分又z=(a 2-42sin θ)+2(cos θ+1)i∴22a -4sin 1 2(cos 1)1θθ⎧=-⎨+=⎩ …………………………………………………………………… 6分 a ∈（0，+∞），),0(πθ∈∴θ=23π， …………………………………………………………………… 8分（2）1125z i z i i --==+-+ …………………………………………………… 10分∴1w -≤(1,0)为圆心，5为半径的圆，………………………… 12分∴面积为22(55ππ= ………………………… 14分 17．（本题满分14分）已知定义域为R 的函数2()2x x bf x a-=+是奇函数．(1)求,a b 的值；(2) 利用定义判断函数()y f x =的单调性；(3)若对任意[0,1]t ∈,不等式22(2)()0f t kt f k t ++->恒成立，求实数k 的取值范围．解： （1）1101(0)011111(1)(1)221bb a f a a b f f a a -⎧-=⎧⎪===⎧⎪⎪+∴+⎨⎨⎨=⎩⎪⎪-=-=⎩⎪++⎩得（需验证）………………4分 （其它解法酌情给分）12122(22)(21)(21)x x x x -=++（2）由（Ⅰ）知121221(),21x xf x x x R x x -=∀∈<+、，且 121212121221212(22)()()2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++则 12121212,22220,210,210x x x x x x x x <∴<∴-<+>+>1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<∴<()y f x R ∴=在上为增函数………………9分（求导数方法酌情给分） （3）22(2)()0f t kt f k t ++->22(2)()f t kt f k t ∴+>--22()()()f x f k t f t k ∴--=-是奇函数22(2)()f t kt f t k ∴+>-()f x 为增函数2222(1)t kt t k k t t ∴∴+>-∴+>-…………10分 [][]220.111,211t t t t k k t t ∈∴+∈∴>-∴<++恒成立-222(1)1(1)11111220111111t t t t t t t t t t t -+-==+=-+=++-≥=++++++……12分 当且仅当0t =时等号成立。

2012-2013学年度下学期期末考试高二数学（理）试题【新课标】时量：110分钟 满分：150分一、选择题（本题8个小题,共40分）1.“2320x x -+=”是“1x =” 的（ ）条件. A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要2.已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝是 （ ）. A ．,sin 1x R x ∃∈≥ B ．,sin 1x R x ∀∈≥ C ．,sin 1x R x ∃∈> D ．,sin 1x R x ∀∈>3．若函数32()21f x x x =+-，则'(1)f -=（ ）。

A ．7- B ．1- C ．1 D ．7 4．已知向量)5,3,2(-=与),,4(y x b =平行,则x,y 的值为（ ） A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和105.已知曲线C 的方程为210x x y ++-=，则下列各点中在曲线C 上的点是（ ） A ．(0,1) B ．(-1,3) C ．(1,1) D ．(-1,2)6、已知P 在椭圆2213x y +=上，1F ,2F 是椭圆的焦点，则12||||PF PF +=（ ）A ．6B ．3CD ． 7、双曲线22149x y -=的渐近线方程是 （ ）A ．32y x =±B ．23y x =± C.94y x =± D ．49y x =± 8． 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2 二、填空题：（本题共有7小题，共35分） 9．已知(3,2,5),(1,5,1),a b =-=-则2a b -= .10．函数y xInx =在1x =处的切线方程为 . 11．异面直线m 与n 上的单位向量分别为a ，b , 且12a b ∙=, 则两异面直线m 与n 所成角的大小为________.12．抛物线的标准方程为24y x =，则它的准线方程为 。

１2012--2013学年第二学期期中考试高二年级数学(理科)试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 1-i 的虚部为（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．i - 2．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3. 若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ）A s i nα B cos α C sin cos αα+ D 2s i n α4．函数53y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞5.复数ii+1对应的点落在 （ ）A ．第一象限 （B ）第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个7.曲江区决定从去年招考的12名大学生村官中挑选3个人担任村长助理，则甲、丙至少有1人入选，乙没有入选的不同选法的种数为 ( )（Ａ）220 (Ｂ) 165 (Ｃ)84 (Ｄ).818. 用反证法证明命题：若整系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ）.A 、假设,,a b c 都是偶数B 、假设,,a b c 都不是偶数C 、假设,,a b c 中至多有一个偶数D 、假设,,a b c 中至多有两个偶数二．填空题9.编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有____种．10. 由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为11. 设平面α内两个向量的坐标分别为（1，0，0）、（0，-1，0），则平面α的一个单位法向量是12．若a ，b ∈{ 0，1，2，3，4，5，6}则复数a bi +中不同的虚数有 个. 13. 函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m -n 为14.已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 有3个相异实根，现给出下列四个命题：①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根； ②()0f x =和0)(='x f 有一个相同的实根；③03)(=-x f 的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 的任一实根.其中正确命题的序号是三．解答题(共六个答题，满分为80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（本题满分12分）设复数z ，满足z 292z iz i ∙+=+，求复数z ．16．（本题满分12分）已知函数 )0(ln 6)(>=x x x f 和 )(x g = a x 2 + 8x （a 为常数）的图象在 x = 3 处有平行切线. （1）求 a 的值；２（2）求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值．17. （本题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N ． （1）计算1a ，2a ，3a ，4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．18.（本题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，,,E F H分别是线段,,PA PD AB 的中点． （Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．19. （本题满分14分）如图所示，设点P 在曲线2x y =上，从原点向A （2，4）移动，如果直线OP ，曲线2x y =及直线x=2所围成的面积分别记为1S 2S 。

2012-2013学年江苏省盐城市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∃x∈R，sinx＞1．考点：命题的否定．专题：综合题．分析：直接把语句进行否定即可，注意否定时∀对应∃，≤对应＞．解答：解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是：∃x∈R，sinx＞1．故答案为：∃x∈R，sinx＞1．点评：本题考查了命题的否定，注意一些否定符号和词语的对应．2．（5分）已知复数z满足z=i（2﹣i）（其中i为虚数单位），则|z|=．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：先由复数的乘法运算对z进行化简，再代入公式求出复数的模．解答：解：由题意得z=i（2﹣i）=2i﹣i2=1+2i，则|z|==，故答案为：．点评：本题考查了复数的乘法运算，以及复数模的公式，属于基础题．3．（5分）某校对全校1000名男女学生进行课外阅读情况调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生抽了80人，则该校的男生数为600．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出样本中的男生数目，然后利用样本容量和全校学生的人数比确定该校的男生数．解答：解：在样本中，由于女生抽了80人，所以男生为120，所以男生在样本中的比例为，所以该校的男生数为人．故答案为：600．点评：本题的考点是分层抽样的应用．4．（5分）已知向量，，若，则λ=0或2．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据两个向量垂直的性质可得=2λ+0﹣λ2=0，与哦刺球的λ的值．解答：解：已知向量，，若，则=2λ+0﹣λ2=0，解得λ=0，或λ=2，故答案为0或2．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（5分）有6件产品，其中有2件次品，从中任选2件，恰有1件次品的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：所有的选法有种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•种，由此求得恰有1件次品的概率．解答：解：所有的选法有=15种，而从中任选2件，恰有1件次品的选法有•=8种，故从中任选2件，恰有1件次品的概率为，故答案为．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．6．（5分）甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：品种第1年第2年第3年第4年甲9.8 9.9 10.2 10.1乙9.7 10 10 10.3其中产量比较稳定的水稻品种是甲．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先做出两个品种的平均产量，结果平均数相同，再分别求出两个品种的产量的方差，得到甲的方差小于乙的方差，得到结论．解答：解：甲的平均数是=10乙的平均数是=10，两个品种的平均数相同，甲的方差是乙的方差是=0.045∴甲的方差小于乙的方差，即甲的产量比较稳定．故答案为：甲点评：本题考查方差和平均数，对于两组数据通常考查这两组数据的平均数和方差，以观察两组数据的性质特点．7．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于a，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由已知中双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，通过渐近线、离心率等几何元素，沟通a，b，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．解答：解：∵焦点到渐近线的距离等于半实轴长，∴∴b=a，∴e=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质，双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a，b，c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程．8．（5分）（2013•黄埔区一模）执行如图的程序框图，若p=15，则输出的n=5．考点：程序框图．专题：计算题．分析：由已知可得循环变量n的初值为1，循环结束时S≥p，循环步长为1，由此模拟循环执行过程，即可得到答案．解答：解：当n=1时，S=2，n=2；当n=2时，S=6，n=3；当n=3时，S=14，n=4；当n=4时，S=30，n=5；故最后输出的n值为5故答案为：5点评：本题考查的知识点是程序框图，处理本类问题最常用的办法是模拟程序的运行，其中分析循环过程中各变量在循环中的值是关键．9．（5分）（2008•江苏二模）观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++…+＞，1+++…+＞2，1+++…+＞，…，由此猜测第n个不等式为1+++…+＞（n∈N*）．考点：归纳推理．专题：规律型；探究型．分析：根据所给的五个式子，看出不等式的左边是一系列数字的倒数的和，观察最后一项的特点，3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，和右边数字的特点，得到第n格不等式的形式．解答：解：∵3=22﹣1，7=23﹣1，15=24﹣1，∴可猜测：1+++…+＞（n∈N*）．故答案为：1+++…+＞点评：本题考查归纳推理，是由某类事物的部分对象所具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，它的特点是有个别到一般的推理，本题是一个不完全归纳．10．（5分）若，则a0+a2+a4+a6+a8的值为128．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在所给的等式中，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8；再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），从而求得a0+a2+a4+a6+a8 的值．解答：解：∵，令x=1可得28=a0+a1+a2+a3+…+a8．再令x=﹣1可得0=a0﹣a1+a2﹣a3+…+a8．两式相加可得28=2（a0+a2+a4+a6+a8），∴a0+a2+a4+a6+a8 =27=128，故答案为128．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．11．（5分）某停车场内有序号为1，2，3，4，5的五个车位顺次排成一排，现在A，B，C，D四辆车需要停放，若A，B两车停放的位置必须相邻，则停放方式种数为48．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：第一步：先把AB两车看成一个整体进行停放，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理求得所有的停放车的方法．解答：解：第一步：把AB两车看成一个整体，有2种方法，再选取序号为12、或23、或34、或45的停车位，放上、AB两车，方法共有2×4=8种．第二步：从剩余的3个车位中选出2个车位，停放C、D两个车，方法共有=6种．再根据分步计数原理，所有的停放车的方法共有8×6=48种，故答案为48．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，则实数a的取值范围是（e2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析： f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R等价于ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，由此能求出实数a的范围．解答：解：∵f（x）=ln（ae x﹣x﹣3）的定义域为R，∴ae x﹣x﹣3＞0的解集是R，即a＞恒成立．设g（x）=，则g'（x）=，当x＜﹣2时g'（x）＞0，当x＞﹣2时g'（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣2）是增函数，在（﹣2，+∞）上是减函数，故当x=﹣2时，g（x）取得最大值g（﹣2）=e2，∴a＞e2．故答案为：（e2，+∞）．点评：本题考查对数函数的定义域，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知Rt△ABC的三个顶点都在抛物线y2=2px（p＞0）上，且斜边AB∥y轴，则斜边上的高等于2p．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由斜边AB∥y轴及抛物线的对称性可知△ABC为等腰直角三角形，高CD为AB一半，求出点A 坐标即可．解答：解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，所以斜边上的高CD是AB的一半，假设斜边是x=a，则有A（，），代入y2=2px得a=4p，所以CD==2p，故答案为：2p．点评：本题的考点是抛物线的应用，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．14．（5分）已知曲线C：f（x）=x+（a＞0），直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．则△OMN与△ABP的面积之比为8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，从而求出△OMN与△ABP的面积之比．解答：解：由题意设点P（x0，x0+），则B（0，x0+），又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1，故方程为y﹣（x0+）=﹣（x﹣x0）和方程y=x联立可得x=y=x0+，故点A（x0+，x0+），故△ABP的面积S=|x0||x0+﹣（x0+）|=|x0|||=a，解得a=2，又因为f（x）=x+，所以f′（x）=1﹣，故切线率为k=1﹣，故切线的方程为y﹣（x0+）=（1﹣）（x﹣x0），令x=0，可得y=，故点N（0，），联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），故△OMN的面积为•|||2x0|=2a，则△OMN与△ABP的面积之比为8．故答案为：8．点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．二、解答题：本大题共8小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；（2）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，得到与的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF所成角的余弦值；（2）利用线面垂直的性质求出平面ABCD与平面AEF的一个法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．解答：解：（1）建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），∴，．∴，故直线EC与AF所成角的余弦值为．（2）平面ABCD的一个法向量为．设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，∴．由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦值的方法是解题的关键．16．（14分）由于生产条件的影响，生产某种产品正品的概率为，次品的概率分别为．已知生产1件正品获得的利润为6万元，而生产1件次品则亏损2万元．（1）求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）设2件产品的利润和（单位：万元）为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），由此可求生产3件产品恰有2件正品的概率；（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）设X为生产3件产品中正品的个数，则X服从二项分布（3，），所以P（X=2）==；…（6分）（2）ξ的取值有12、4、﹣4，则P（X=12）=，P（X=4）=，P（X=﹣4）=，ξ的分布列为ξ12 4 ﹣4PE（ξ）=12×+4×﹣4×=10（万元）．…（14分）点评：本题考查概率知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确求概率是关键．17．（14分）已知，n∈N*．（1）若g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x），求g（x）中含x2项的系数；（2）若p n是f n（x）展开式中所有无理项的系数和，数列{a n}是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）．考点：数学归纳法；二项式定理的应用．专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）确定函数g（x），利用二项式定理可得g（x）中含x2项的系数；（2）确定p n的表达式，根据数学归纳法的步骤，先证n=1时成立，再设n=k时成立，利用归纳假设证明n=k+时成立即可．解答：（1）解：g（x）=f4（x）+2f5（x）+3f6（x）=+2+3，∴g（x）中含x2项的系数为=1+10+45=56．（3分）（2）证明：由题意，p n=2n﹣1．（5分）①当n=1时，p1（a1+1）=a1+1，成立；②假设当n=k时，p k（a1a2…a k+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a k）成立，当n=k+1时，（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k﹣1（a1a2…a k+1）（1+a k+1）=2k﹣1（a1a2…a k a k+1+a1a2…a k+a k+1+1）．（*）∵a k＞1，a1a2…a k（a k+1﹣1）≥a k+1﹣1，即a1a2…a k a k+1+1≥a1a2…a k+a k+1，代入（*）式得（1+a1）（1+a2）…（1+a k）（1+a k+1）≤2k（a1a2…a k a k+1+1）成立．综合①②可知，p n（a1a2…a n+1）≥（1+a1）（1+a2）…（1+a n）对任意n∈N*成立．（10分）点评：本题考查二项式定理，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．18．（16分）为改善行人过马路难的问题，市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD（AB=60米，AD=104米）内修建一座过街天桥，天桥的高GM与HN均为米，，AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，设MN与AB所成的角为α（α∈[0，]），天桥的总造价（由AE，EG，GH，HF，FC五段构成，GM与HN忽略不计）为W万元．（1）试用α表示GH的长；（2）求W关于α的函数关系式；（3）求W的最小值及相应的角α．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：导数的综合应用．分析：（1）先确定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的长；（2）利用AE，EG，HF，FC的造价均为每米1万元，GH的造价为每米2万元，即可求出W关于α的函数关系式；（3）求导函数，确定函数的单调性，即可求出W的最小值及相应的角α．解答：解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）（2）==．…（11分）（3）设（其中，则．令f'（α）=0得1﹣2sinα=0，即，得．列表αf'（α）+ 0 ﹣f（α）单调递增极大值单调递减所以当时有，此时有．答：排管的最小费用为万元，相应的角．…（16分）点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线l与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点H，满足，试证明点H恒在一定直线上．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），由点M，N在椭圆上可得，．设，则，可得（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y），即可证明6x+9y为定值．解答：解：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）设过P（3，3）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则，．设，则，∴（3﹣x1，3﹣y1）=﹣λ（x2﹣3，y2﹣3），（x﹣x1，y﹣y1）=λ（x2﹣x，y2﹣y）整理得，，∴从而，由于，，∴我们知道与的系数之比为2：3，与的系数之比为2：3．∴，所以点H恒在直线2x+3y﹣2=0上．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量运算、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．20．已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，解出即可；（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），由PF2⊥F2Q，可得，利用斜率计算公式可得k PQ•k OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．解答：解：：（1）由题意可得，解得，c=1，所以椭圆E：．（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y0），Q（x1，y1），因为PF2⊥F2Q，所以，所以﹣y1y0=2（x1﹣1）又因为且代入化简得．即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．（3）由（2）知，，，∴．∴直线PQ的方程为，即，联立得，∵，．∴化简得：，又△=0，解得x=x1，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．21．（16分）设函数f（x）=alnx，．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得成立，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）原不等式等价于，整理得，设右边对应的函数为m（x），求得它的导数m'（x）=，然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）不等式等价于，整理得，设，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．…（12分）①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得考察式子，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得，又因为，所以．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．22．设函数f（x）=alnx，g（x）=x2．（1）记h（x）=f（x）﹣g（x），若a=4，求h（x）的单调递增区间；（2）记g'（x）为g（x）的导函数，若不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）在x∈[1，e]上有解，求实数a的取值范围；（3）若a=1，对任意的x1＞x2＞0，不等式m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立．求m（m∈Z，m≤1）的值．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）当a=4时，可得，利用导数公式算出，再解关于x的不等式并结合函数h（x）的定义域，即可得到函数h（x）的单调递增区间；（2）通过移项合并同类项，化简不等式f（x）+2g'（x）≤（a+3）x﹣g（x）得，再进行变量分离得，由此设并讨论其单调性得到，结合原不等式有解即可算出实数a的取值范围；（3）当a=1时原不等式恒成立，即mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）恒成立，因此设，结合题意当x∈（0，+∞）时t（x）为增函数，得t′（x）≥0恒成立，解出恒成立．再研究不等式右边对应函数h（x）的单调性得到h（x）max=1，从而得到m≥1，结合已知条件可得m=1．解答：解：（1）当a=4时，可得f（x）=4lnx，此时，由得﹣2＜x＜2，结合x＞0，可得0＜x＜2．所以h（x）的单调递增区间为（0，2）．…（4分）（2）不等式f（x）+2g′（x）≤（a+3）x﹣g（x），即为，化简得：，由x∈[1，e]知x﹣lnx＞0，因而，设，由=，∵当x∈（1，e）时x﹣1＞0，，∴y′＞0在x∈[1，e]时成立．由不等式有解，可得知，即实数a的取值范围是[﹣，+∞）…（10分）（3）当a=1，f（x）=lnx．由m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，得mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f （x2）恒成立，设．由题意知x1＞x2＞0，故当x∈（0，+∞）时函数t（x）单调递增，∴t′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴函数h（x）在x=1时取得极大值，并且这个极大值就是函数h（x）的最大值．由此可得h（x）max=h（1）=1，故m≥1，结合已知条件m∈Z，m≤1，可得m=1．…（16分）点评：本题给出含有分式和对数符号的函数，求函数的单调区间并讨论关于x的不等式解集非空的问题，着重考查了导数的公式和运算法则、利用导数研究函数的单调性和导数在最大最小值问题中的应用等知识，属于中档题．。

2012-2013学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科）试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2013．06注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．函数()cos2f x x =的最小正周期是 ▲ ． 2．复数2ii-的虚部是 ▲ ． 3．直三棱柱111ABC A B C -中，若c CC b CB a CA ===1,,， 则1A B = ▲ ． 4．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的 ▲ 条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 5．幂函数()()f x x R αα=∈过点(，则()4f = ▲ ．6．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有▲ （用数字作答）． 7．如果复数z 满足2z i -=，那么1+z 的最大值是 ▲ ． 8．函数()ln xf x x=的单调递增区间是 ▲ ． 9．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ．，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是4min 的概率 ▲ ． 10．若2013220130122013(12)(),x a a x a x a x x R -=++++∈则20131222013222a a a +++= ▲ ． 11．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的四等分点，则tan EAF ∠= ▲ ．C(第11题)12．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤ 在R 上的部分图象如图所示，则()f x = ▲ ．13．已知函数y =f (x )(x ∈(0，2))的图象是如图所示的圆C 的一段圆弧．现给出如下命题：①(1)0f '=；②()0f x '≥；③()f x '为减函数；④若()()0f a f b ''+=，则a +b =2． 其中所有正确命题的序号为 ▲ ．14．有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分） 已知A 是锐角，31sin ,tan()52A AB =-=-．求cos 2tan A B 及的值．16．（本小题满分14分）已知函数1()21xf x m =++，R m ∈． （1）若12m =-，求证：函数()f x 是R 上的奇函数； （2）若函数()f x 在区间(1,2)没有零点，求实数m 的取值范围．17．（本小题满分14分）(第13题)已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．18．（本小题满分16分）设函数221)(xx x f -=的定义域为E ，值域为F ． （1）若{1,2}E =，判断实数122lg 2lg 2lg5lg516λ-=++-与集合F 的关系；（2）若{}1,2,E a =，30,4F ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值． （3）若11[,]E m n= ，[23,23]F m n =--，求n m ,的值．19．（本小题满分16分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=． (1) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (2)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 2cos 21A C B +-=,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断ABC ∆的形状．20．（本小题满分16分）已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且 （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值； （3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2exe a x xf x ->-成立．2012-2013学年度第二学期高二期末调研测试数 学 （理科）试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟） 2013．0621、已知n xx )1(3+的展开式中第3项与第2项系数的比是4，（1）求n 的值；（2）展开式里所有x 的有理项22、一个盒子里装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4；另一个盒子也装有3张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x ；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y ，记随机变量η＝x ＋y ， （1）求事件y x ≤发生的概率（2）求η的分布列和数学期望．23、已知数列{}n a 满足11a =，且11429n n n n a a a a ++-+=(*n N ∈)．⑴求234,,a a a 的值，并猜想{}n a 的通项公式； ⑵用数学归纳法证明你的猜想．24、已知边长为6的正方体1111ABCD A BC D -，,E F 为ADCD 、上靠近D 的三等分点，H 为1BB 上靠近B 的三等分点，G 是EF 的中点． （1）求1A H 与平面EFH 所成角的正弦值； （2）设点P 在线段GH 上，且GPGHλ=，试确定 λ的值，使得二面角111A B C P --的余弦值为1010．2013年6月高二期末调研测试 理 科 数 学 试 题 参 考 答 案 数学Ⅰ试题参考答案与评分标准一、填空题：FEG1B 1A CDAB1C 1D PH．1．π 2．253．－+－ 4．充分不必要 5．2 6．96 7．2+ 8．(]0,e （写成开区间算对）9．827 10．1- 11．4312．4sin()66x ππ+ 13．①③④ 14．(1)2n n - 二、解答题： 15．7cos 225A =………………………………………7分 tan 2B = ………………………………………14分16．解： （1 ）定义域为R 关于原点对称．因为11111121()()0222221212121x x x x x f x f x -+-=-+-=-+-=++++，所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数（2）0)21(2ln 2)(2<+-='x x x f ()f x ∴是实数集R 上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）又函数()f x 的图象不间断，在区间(1,2)恰有一个零点，有(1)(2)0f f <即0)51)(31(<++m m 解之得5131-<<-m ，故函数()f x 在区间(1,2)没有零点时，实数m 的取值范围是51-≥m 或31-≤m ………………………………………14分17． 解：（1）已知命题：“∃x ∈{x |–1< x <1}，使等式x 2–x –m = 0成立”是真命题，得f(x )= x 2–x –m = 0在（-1，1）有解，由对称轴x =12，则140(1)110m f m ∆=+≥⎧⎨-=+->⎩，得m ∈1,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． ……………7分 （2）不等式()(2)0x a x a -+-<①当a>2-a,即a>1时解集N 为（2-a,a ），若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N,a 的取值范围29,1424a a a ≥⎧⎪∴>⎨-<-⎪⎩．②当2-a > a,即a<1时解集N 为（a ,2-a ），若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N,a 的取值范围221,144a a a -≥⎧⎪∴<-⎨<-⎪⎩． 19a (,)(,)44∈-∞-⋃+∞综上． ………14分18．解:（1）∵221)(x x x f -=，∴当1x =时，()0f x =；当2x =时，3()4f x =304F ,⎧⎫∴=⎨⎬⎩⎭．∵1223lg 2lg 2lg5lg5164λ-=++-=，∴F λ∈．………5分（2）令()0f a =，即2210a a -=，1a =±，取1a =-；令3()4f a =，即22134a a -=，2a =±，取2a =-，故12a =--或．………………………………………………………………9分（3）∵221)(xx x f -=是偶函数，且32()0f x x '=>，则函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数．∵0x ≠，∴由题意可知：110m n <<或110m n <<．若110m n<<，则有1()231()23f n m f mn ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即22123123m n n m ⎧-=-⎨-=-⎩，整理得23100m m ++=，此时方程组无解；若110m n <<，则有1()231()23f m m f nn⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即22123123m m n n ⎧-=-⎨-=-⎩，∴,m n 为方程2310x x -+= ，的两个根．∵110m n <<，∴0m n >>，∴m =，n =16分 19． 解： (1)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①c o s ()c o s c o s s i n s iαβαβαβ-=+② ①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-③…令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-．………………8分 （2）由cos2cos2cos21A C B +-=得：2cos 2cos 21cos 22sin A B C C -=-=．由（1）中结论得：()()22sin sin -=2sin A B A B C -+．所以()sin sin sin()B A C A B -==+，即：2sin cos 0A B =，又,,A B C 为ABC ∆的三个内角，故90B ︒=，所以ABC ∆是直角三角形．……………………………16分20． 解：（1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x x x'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; 当k是偶数时，则2()2a f x x x'=-=．所以当x∈(时，()0f x '<，当x ∈),(+∞a 时，()0f x '>． 故当k 是偶数时，f (x )在(上是减函数，在)+∞上是增函数．…………4分（2）若2014=k ，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N ．记()()222ln 2g x f x ax x ax x ax =-=-- 222()22()a g x x a x ax a x x '=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x ． 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数；当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =． 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =…………10分另解:()2f x ax =即22ln 2x a x ax -=有唯一解,所以:22ln x a x x =+,令()2ln x p x x x=+,则()()()22ln 1ln x x x p x x x +-'=+,设()2ln 1+h x x x =-，显然()h x 是增函数且()10h =，所以当01x <<时()0p x '<，当1x >时()0p x '>，于是1x =时()p x 有唯一的最小值，所以()211a p ==，综上：12a =． （3）当2013=k 时， 问题等价于证明2ln ((0,))x x x x x e e>-∈+∞ 由导数可求()ln ((0,))x x x x ϕ=∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e =时取到，设2()((0,))x x m x x e e =-∈+∞，则1'()x x m x e-=，易得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x = 时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立．故命题成立．…………16分数学Ⅱ试题参考答案与评分标准21、解：（1）由题设，得124nn C C =， ………………………………3分 即n n n 42)1(=-，解得n ＝9，n ＝0（舍去）．…………………………4分 （2）通项652793991)1()(rr r r rr xC xx C T --+==（)9,1,0 =r根据题意：Z r∈-6527，解得=r 3或9 …………………………8分 ∴展开式里所有x 的有理项为310241,84xT x T == …………………………10分22、解析：（1）98=p ……3分（2）依题意，可分别取5η=、6、7、8、9取，则有 ． 91)9(,92)8(,93)7(,92)6(,91331)5(=========⨯==ηηηηηp p p p p η∴的分布列为 ……8分=ηE 7 ……10分23、解：（1）由92411=+-++n n n n a a a a 得4124291--=--=+n n n n a a a a ，求得372=a ，5133=a ，7194=a ， 猜想1256--=n n a n ……5分(2) 证明：①当1=n 时，猜想成立． ②设当k n =时)(+∈N k 时，猜想成立，即1256--=k k a k ， 则当1+=k n 时，有1)1(25)1(6121641256124121-+-+=++=----=--=+k k k k k k a a k k ,所以当1+=k n 时猜想也成立综合①②，猜想对任何+∈N n 都成立． ……10分 24、解：如图建系：可得(2,0,6)E ,(0,2,6)F ,(6,6,4)H ,1(6,0,0)A ． （1）设(1,,)n x y =，(2,2,0)EF =-,(4,6,2)EH =-则2204620x x y -+=⎧⎨+-=⎩⇒(1,1,5)n =；1(0,6,4)A H =，设1A H 与平面EFH 所成角为θ，θsin=111cos ,27n A H n A H n A H⋅=== 则1A H 与平面EFH 所成角的正弦值为939．………………………… （5分） （2）由题知(1,1,6)G ,1(0,6,0)C ,(5,5,2)GH =-,设(5,5,2)GP GH λλλλ==-⇒(51,51,26)P λλλ++-+，已知面111C B A 的法向量为)6,0,0(1=D 设面11B PC 的法向量为),,(r q p =)0,0,6(),62,55,15(111=+--+=D C PC λλλ⎩⎨⎧=⋅+⋅+=⋅+-+⋅-+⋅+∴00060)62()55()15(r q p r q p λλλ令55-=λr ，则62,0-==λq p∴面11B PC 的法向量为)55,62,0(--=λλ二面角111A B C P --的余弦值为1010 1010)62()55(6)55(6,cos 221=-+-⋅-=〈∴λλλn D 解得139=λ …………………………（10分）。

某某省某某市2012-2013学年高二下学期期末考试文科数学试卷一、填空题1．函数()cos 2f x x =的最小正周期是 ． 210y ++=的倾斜角是．3．复数2ii -的虚部是 ．4．ABC ∆中，“6A π=”是“1sin 2A =”的条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）． 5．幂函数()()f x xR αα=∈过点(，则()4f =．6．)2lg 2lg 2lg 5lg 51++--=．7．如果复数z 满足2z i -=，那么1+z 的最大值是．8．函数()ln xf x x =的单调递增区间是．9．圆()()22:112C x y -++=，过点()2,3的直线l 与圆相交于,A B 两点，90ACB ∠=,则直线l 的方程是．10．已知:q 不等式240x mx -+≥对x R ∈恒成立，若q ⌝为假，则实数m 的X 围是． 11．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边BC 上的四等分点，则tan EAF ∠=．C12．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则()f x =．13．已知函数y=f(x)(x∈(0，2))的图象是如图所示的圆C 的一段圆弧．现给出如下命题：①(1)0f '=；②()0f x '≥；③()f x '为减函数；④若()()0f a f b ''+=，则a+b=2． 其中所有正确命题的序号为．14．有n 个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为． 二、解答题15．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}|||1B x x a =-<,U R =． （1）当3a =时，求A B ；（2）若U A C B ⊆，某某数a 的取值X 围．16．已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求cos()αβ-的值； （2）求sin β的值．17．已知函数1()21xf x m =++，R m ∈． （1）若12m =-，求证：函数()f x 是R 上的奇函数； O 11 5 -1 4xy（2）若函数()f x 在区间(1,2)上没有零点，某某数m 的取值X 围．18．已知ABC ∆中，M 是BC 的中点，7=AM ，设内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且cos 3cos 23A aC b c=-． （1）求角A 的大小； （2）若角,6B π=求ABC ∆的面积； （3）求ABC ∆面积的最大值．19．在矩形ABCD 中，以DA 所在直线为x 轴，以DA 中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．已知点B 的坐标为(3,2)，E 、F 为AD 的两个三等分点，AC 和BF 交于点G ，BEG ∆的外接圆为⊙H ．（1）求证：EG BF ⊥； （2）求⊙H 的方程；（3）设点(0,)P b ，过点P 作直线与⊙H 交于M ，N 两点，若点M 恰好是线段PN 的中点，某某数b 的取值X 围．20．已知函数),0,(ln )1(2)(2>∈∈--=*a R a N k x a x x f k 且（1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若2014=k 时，关于x 的方程ax x f 2)(=有唯一解，求a 的值；（3）当2013=k 时，证明: 对一切),0(+∞∈x ，都有)21(2)(2ex e a x x f x ->-成立．参考答案一、填空题1．π解：函数()cos 2f x x =的最小正周期是2||T πω==π。

江苏省黄桥中学高二理科数学综合试卷五2015/6一、填空题1、如图所示，在复平面内，点A 对应的复数为z ，则z 2的模为 ．2、若命题“R x ∈∃，有02≤--m mx x ”是假命题，则实数m 的取值范围是 ．3、已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 条件．4、下列命题：①ABC ∆的三边分别为,,a b c 则该三角形是等边三角形的充要条件为bc ac ab c b a ++=++222；②数列{}n a 的前n 项和为n S ，则Bn An S n +=2是数列{}n a 为等差数列的必要不充分条件；③在ABC ∆中，A B =是sin sin A B =的充分必要条件；④已知111222,,,,,a b c a b c 都是不等于零的实数，关于x 的不等式01121>++c x b x a 和02222>++c x b x a 的解集分别为P ，Q ，则212121c c b b a a ==是Q P =的充分必要条件，其中正确的命题是 ． 5、设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m ＝ ．6、甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 ．(用数字作答)．7、某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”“舞者轮滑俱乐部”“篮球之家”“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．8、(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是 ．9、设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝ ． 10、节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列：若进这种鲜花500束，则期望利润是 ．11、观察下列等式：222345+=，222221*********++=+，222222221222324252627+++=++222222222363738394041424344++++=+++由此得到第()*n n N ∈个等式为 . 12 其中n m ≤，13、已知()22201221nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+（其中n 为给定的正整数），则对任意整数k（02k n ≤≤），12121k kk k n n a a C C ++++恒为定值是 . 14、我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a ，b ，c 为直角三角形的三边，其中c 为斜边，则a 2＋b 2＝c 2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O －ABC 中，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝90°，S 为顶点O 所对面的面积，S 1，S 2，S 3分别为侧面△OAB ，△OAC ，△OBC 的面积，则S ，S 1，S 2，S 3满足的关系式为________．①S 2＝S 21＋S 22＋S 23；②S 2＝1S 21＋1S 22＋1S 23；③S ＝S 1＋S 2＋S 3；④S ＝1S 1＋1S 2＋1S3. 二、解答题15、（1）已知1,1<>b a ，求证：ab b a +>+1；（2）已知+∈R x x x n ,,,21 ，且121=n x x x ，用数学归纳法证明：12)(2)1)n n x x x +++≥．16、设等差数列{}n a 的首项为1，公差d （*d ∈N ），m 为数列{}n a 中的项．（1）若d =3，试判断(mx +的展开式中是否含有常数项？并说明理由；（2）证明：存在无穷多个d ，使得对每一个m，(mx 的展开式中均不含常数项．17、电子蛙跳游戏是: 青蛙第一步从如图所示的正方体1111D C B A ABCD -顶点A 起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）求跳三步跳到1C 的概率P ；（2）青蛙跳五步，用X 表示跳到过1C 的次数，求随机变量X 的概率分布及数学期望)(X E ．1A18、已知数列}{n a 的通项公式为n n a 3=，*N n ∈．集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{*N ∈+==m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n P 。

江苏灌云高级中学高二第一学期第三次质量调研 数 学试 卷（理科）2013/1/5注意事项：1、本试卷由填空题和解答题两部分组成，满分200分，考试时间150分钟.2、所有试题的答案均填写在答题纸上，答在试卷上无效. 一、填空题（每小题5分，共80分）1、命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ▲2、在等比数列{}n a 中，13,2a q ==，则6S = ▲3、在△ABC 中，若2,1,45a b B ==∠=︒，则此三角形有 ▲ 个解；4、“x ab =”是“a x b ，，成等比数列”的 ▲ 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”和“既不充分也不必要”之一)．5、一元二次不等式210ax bx +->的解集为1{|1}3x x <<，则a b += ▲6、以双曲线2213x y -=的右焦点为焦点的抛物线标准方程为 ▲ 7、一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是23v t t =-+（v 单位：/m s ；时间单位：s ），则质点在2t s =时的瞬时加速度为 ▲ 2/m s8、在△ABC中，若1,b c ==23C π∠=，则△ABC 的面积是 ▲ 9、设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值 ▲10、等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ▲11、函数22ln y x x =-的最小值是 ▲12、在△ABC 中，若22,sin sin sin a b c A B C =+=，则△ABC 的形状是 ▲ 13、已知正数x 、y 满足1x y +=,则14x y+的最小值是 ▲ 14、若数列{}n a 满足()1122n n a a a n n +==+∈N *,,则数列{}n a 的通项公式n a = ▲ 15、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ▲ 16、已知命题21:[1,2],02xp x e x a ∀∈--≥是真命题，且命题2:,2860q x R x ax a ∃∈+--≤ 是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲二、解答题 17、（本小题满分14分）在△ABC 中，45,5B AC C ∠=︒==（1）求AB 的长； （2）若D 是AB 的中点，求中线CD 的长. 18、（本小题满分14分） 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列（1）求等比数列{}n a 的公比q ； （2）若1a －3a ＝3，求n S已知双曲线C 与椭圆2255x y +=有共同的焦点，且一条渐近线方程为y = （1）求双曲线C 的方程；（2）设双曲线C 的焦点分别为12F F 、，过焦点1F 作实轴的垂线与双曲线C 相交于A B 、 两点，求△2ABF 的面积.20、（本小题满分15分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在点M （1，f （1））处的切线方程为310x y -+=，且在23x =处有极值. （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）求函数)(x f y =的极大值与极小值. 21、（本小题满分15分） 已知集合1{|3}x A x x+=≥，{|(1)(1)0,0}B x x m x m m =-+--≤> （1）若12m =，求A B ； （2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 22、（本小题满分16分） 设函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =+-+> （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）求()f x 在(0,2]上的最大值.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为12，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．（1）求椭圆C 的方程； （2）若→AM ＝→MP ，求BM BP ；（3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．24．（本小题满分16分） 设函数()()2303x f x x x +=>，数列{}n a 满足()*1111,,2n n a a f n N n a -⎛⎫==∈≥ ⎪⎝⎭且． ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设()11223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实数t 的取值范围；⑶是否存在以1a 为首项，公比为()*05,q q q N <<∈的数列{}k n a ，*k N ∈，使得数列{}kn a 中每一项都是数列{}n a 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{}kn 的通项公式；若不存在，说明理由．(第23题)江苏灌云高级中学高二第一学期第三次质量调研参考答案与评分标准(理科)1、2,10x R x ∃∈+≤2、1893、04、既不充分也不必要5、16、28y x =7、3 8、7 10、15 11、11ln 22- 12、等边三角形 13、914、22n n -+ 15、(4,2)--17、解：（1）由题意得sin C =，所以2AB = ……… 6分 （2）由2222cos AC AB BC AB BC B =+-得BC = 10分 由2222cos 45CD BD BC BD BC =+-︒得CD =……… 14分 18、解：（Ⅰ）依题意有：)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ，故022=+q q 又0≠q ，从而21－=q ……… 7分（Ⅱ）由已知可得321211=--）（a a 故41=a ……… 10分 从而））（（）（））（（n nn 211382112114--=----=S ……… 14分 19、解：（1）设双曲线为22221x y a b-=，则渐近线为b y x a =±224baa b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩221,3a b ∴== ∴ 双曲线为2213y x -= ……… 7分 （2）2126,412ABF AB F F S==∴= ……… 14分20、解：(1)由题意得 (1,4)M ，'2()32f x x ax b =++''(1)14(1)323244()0333f a b c f a b f a b ⎧⎪=+++=⎪=++=⎨⎪⎪=++=⎩ 2,4,5a b c ∴==-= 32()245f x x x x ∴=+-+……8分（2）'2()344f x x x =+- 令'()0f x =得223x =-或 列表如下（略）()f x 的极大值为13，极小值为9527……15分 21、解：1(0,]2A = [1,1](0)B m m m =-+> ……4分 （1）1(0,]2AB =……8分（2）010112m m m ⎧⎪>⎪-≤⎨⎪⎪+≥⎩ 01m ∴<≤ ……15分22、解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，2'(21)2()ax a x f x x-++=当1a =时，由'()0f x >得201x x ><<或，由'()0f x <得12x << 所以增区间为(0,1),(2,)+∞，减区间为(1,2) …………6分 （2）由'()0f x =得12x x a==或 ①当12a ≥时，即102a <≤时，()f x 在(0,2]上单调递增，max ()(2)2ln 222f x f a ==-- …………10分②当102a <<时，即12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1(,2]a上单调递减， max111()()2ln 2f x f a a a==-- …………14分综上所述得max12ln 222,02()1112ln 2,2a a f x a a a ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-->⎪⎩…… ……16分23．（本小题满分16分）解：（1）由⎩⎨⎧c a ＝12，a 2c＝4．解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．所以b 2＝3．所以椭圆方程为x 24＋y23＝1．…………4分（2）因为→AM ＝→MP ，所以x M ＝1，代入椭圆得y M ＝32，即M (1，±32)，所以直线AM 为：y ＝12(x ＋2)，得P (4，±3)，所以→BM ＝(－1，±32)，→BP ＝(2，±3)． ……………8分所以→BM ·→BP ＝52………………10分（3）因为MN 垂直于x 轴，由椭圆对称性可设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)．直线AM 的方程为：y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以y p ＝6y 1x 1＋2， 直线BN 的方程为：y ＝－y 1x 1－2(x －2)，所以y p ＝－2y 1x 1－2， …………12分 所以6y 1x 1＋2＝－2y 1x 1－2．因为y 1≠0，所以6x 1＋2＝－2x 1－2．解得x 1＝1． 所以点M 的坐标为(1，±32)． …………16分24、（本小题满分16分）解：⑴因为()*111112312,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----⨯+⎛⎫===+∈≥ ⎪⎝⎭⨯且， 所以123n n a a --=．………2分 因为11a =，所以213n n a +=．………4分⑵①当2,*n m m N =∈时，()212122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+⋅⋅⋅+-()()()21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+⋅⋅⋅+-()24243m a a a =-+++()22241812329m a a m m m +=-⨯⨯=-+()21269n n =-+．…………………6分②当21,*n m m N =-∈时，()212122211m n m m m m T T T a a --+==--()()22118121616399m m m m =-++++()()221184326799m m n n =++=++． ………………8分 所以()()22126,912679n n n n T n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪++⎪⎩为偶数，，为奇数要使2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，只要使()22126,(9n n tn n -+≥为偶数)恒成立．只要使162,9t n n ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭对为偶数恒成立，故实数t 的取值范围为59⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，．…10分⑶由213n n a +=，知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数．①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}k n a ，*k N ∈，此时{}k n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1a 为首项，公比为偶数的数列{}k n a ．……………12分 ②当1q =时，显然不存在这样的数列{}k n a ．当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{}k n a ，*k N ∈．则11n a =，11n =，12133k k k n n a -+==，312k k n -=．所以满足条件的数列{}k n 的通项公式为312k k n -=．…………………16分。