高考数学复习3三角函数与平面向量

专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。

高中数学知识点总结高考数学知识点总结1一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节主要是考函数和导数，因为这是整个高中阶段中最核心的部分，这部分里还重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析。

二、平面向量和三角函数对于这部分知识重点考察三个方面：是划减与求值，第一，重点掌握公式和五组基本公式;第二，掌握三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质;第三，正弦定理和余弦定理来解三角形，这方面难度并不大。

高考数学知识点总结2三、数列数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

四、空间向量和立体几何在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

五、概率和统计概率和统计主要属于数学应用问题的范畴，需要掌握几个方面：……等可能的概率;……事件;独立事件和独立重复事件发生的概率。

高考数学知识点总结3六、解析几何这部分内容说起来容易做起来难，需要掌握几类问题，第一类直线和曲线的位置关系，要掌握它的通法;第二类动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题;第五类重点问题，这类题往往觉得有思路却没有一个清晰的答案，但需要要掌握比较好的算法，来提高做题的准确度。

七、压轴题同学们在最后的备考复习中，还应该把重点放在不等式计算的方法中，难度虽然很大，但是也切忌在试卷中留空白，平时多做些压轴题真题，争取能解题就解题，能思考就思考。

高考数学直线方程知识点：什么是直线方程从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行;有无穷多解时，两直线重合;只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角( 叫直线的倾斜角 )或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

专题三 第1讲1．函数f (x )＝cos(w x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f (x )的一个周期)内，函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f (x )是以2为周期的周期函数可知，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 2．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，图象关于原点对称，且最小正周期为π，A 项正确．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x ，是偶函数，B 项错误．y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，非奇非偶，C 项错误．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，非奇非偶，D 项错误．故选A. 3．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( A ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 解析 ∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只需把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象．故选A.4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( C )A.3π4 B ．π2C.π4D ．－π4解析 y ＝sin(2x ＋φ)――→左移π8sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ是偶函数，即π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )⇒φ＝k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，φ＝π4，故选C.5．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深的最大值为( C )A ．5 mB ．6 mC ．8 mD ．10 m解析 由题意可知，当sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k ＝2，∴k ＝5.因此，函数的最大值是8，故水深的最大值为8 m.6．将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( B )A.π12 B ．π6C.π3D ．5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋m ，由它关于y 轴对称可得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋m ＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，又m >0，∴m 的最小值为π6.7．已知函数f (x )＝A sin(w x ＋φ)(A ，w ，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( A )A ．f (2)＜f (－2)＜f (0)B ．f (0)＜f (2)＜f (－2)C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)解析 ∵ω>0，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.又A >0，∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－A ， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，得φ＋4π3＝2k π＋32π(k ∈Z )， 即φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．又∵φ>0，∴可取f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6，f (0)＝A sin π6. ∵π<4＋π6<3π2，∴f (2)<0.∵－7π6<－4＋π6<－π，且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫－7π6，－π上为减函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6<sin ⎝⎛⎭⎫－7π6＝sin π6，且sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6>sin(－π)＝0，从而有0<f (－2)<f (0)．故有f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.8．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( D )A.5π12 B ．π3C.π4D ．π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)] ＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x )－g (x )|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2. 不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2,1)是函数g (x )图象的一个最高点， 于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2 ∈Z )．∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪3π4－⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6，故选D. 9．已知函数f (x )＝2sin x ＋φ2cos x ＋φ2⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且对于任意的x ∈R ，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6，则( C ) A ．f (x )＝f (x ＋π) B ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 C ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π3－xD ．f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x解析 f (x )＝sin(x ＋φ)．由题意，可知f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π6对于任意的x ∈R 恒成立，即sin(x ＋φ)≤sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ.又因为|φ|<π2，所以π6＋φ＝π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π3＋x ＋π＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝f (x )．故选C. 10．已知函数f (x )＝3sin w x ＋cos w x (w ＞0)的图象与x 轴的交点的横坐标可构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．下列说法正确的是( D )A ．g (x )在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．g (x )的图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，易知g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象不关于直线x ＝－π4对称，所以A 项，B 项，C 项错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域为[－2,1]，故选D.11．函数f (x )＝2x －4sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的图象大致是( D )解析 因为函数f (x )是奇函数，所以排除A ，B 项，f ′(x )＝2－4cos x ，令f ′(x )＝2－4cos x ＝0，得x ＝±π3，故选D.12．函数f (x )＝A sin w x (A ＞0，w ＞0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为( A )A ．2＋ 2B ．32C ．6 2D ．－ 2解析 由题图可知，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f(3)＝2，f(4)＝0，f(5)＝－2，f(6)＝－2，f(7)＝－2，f(8)＝0，而2 018＝8×252＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2＋ 2.故选A.。

三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝x 2＋y 2>0，那么sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________． 答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α.(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限[问题2] cos 9π4＋tan ⎝⎭⎫－7π6＋sin 21π的值为___________________________． 答案22－333．三角函数的图象与性质 (1)五点法作图；(2)对称轴：y ＝sin x ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ；y ＝cos x ，x ＝k π，k ∈Z ；对称中心：y ＝sin x ，(k π，0)，k ∈Z ；y ＝cos x ，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ；y ＝tan x ，⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z . (3)单调区间：y ＝sin x 的增区间：⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π (k ∈Z )， 减区间：⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π (k ∈Z )；y ＝cos x 的增区间：[]－π＋2k π，2k π (k ∈Z )， 减区间：[2k π，π＋2k π] (k ∈Z )；y ＝tan x 的增区间：⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π (k ∈Z )． (4)周期性与奇偶性：y ＝sin x 的最小正周期为2π，为奇函数；y ＝cos x 的最小正周期为2π，为偶函数；y ＝tan x 的最小正周期为π，为奇函数．易错警示：求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，容易出现以下错误： (1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反； (2)忘掉写＋2k π，或＋k π等，忘掉写k ∈Z ；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为⎣⎡⎦⎤0，π2. [问题3] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的递减区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β――→令α＝βsin 2α＝2sin αcos α.cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β――→令α＝βcos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]．α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，α＝⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4. [问题4] 已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状．[问题5] 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则B ＝________. 答案 45°6．向量的平行与垂直设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. a ⊥b (a ≠0)⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同．[问题6] 下列四个命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |；④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题是________． 答案 ④ 7．向量的数量积 |a |2＝a 2＝a·a ，a·b ＝|a||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2， cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，a 在b 上的投影＝|a |cos 〈a ，b 〉＝a·b |b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a 、b 不同向； 〈a ，b 〉为直角⇔a·b ＝0且a 、b ≠0； 〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a 、b 不反向．易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零．[问题7] 已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 上的投影为________． 答案1258．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，消去律不成立；(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等，(a ·b )c 与c 平行，而a (b ·c )与a 平行．[问题8] 下列各命题：①若a ·b ＝0，则a 、b 中至少有一个为0；②若a ≠0，a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；③对任意向量a 、b 、c ，有(a ·b )c ≠a (b ·c )；④对任一向量a ，有a 2＝|a |2.其中正确命题是________． 答案 ④9．几个向量常用结论：①P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心；②P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心； ③向量λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|) (λ≠0)所在直线过△ABC 的内心；④|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心．易错点1 图象变换方向或变换量把握不准致误例1 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22(cos 3x －sin 3x )的图象向______平移______个单位(写出其中的一种特例即可)． 错解 右 π4或右 π12找准失分点 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12. 题目要求是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－3x ＋π4→y ＝sin(－3x )． 右移π4平移方向和平移量都错了；右移π12平移方向错了．正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12， 要由y ＝sin ⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫x －π12得到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位．答案 左π12易错点2 忽视隐含条件的挖掘致误例2 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β.错解 由0<α<π2，0<β<π2，得0<α＋β<π，则cos(α＋β)＝±1114.由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝437.故cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝7198或12.找准失分点 由0<α＋β<π，且sin(α＋β)＝5314<32，∴0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π，又cos α＝17<12，∴π3<α<π2，即α＋β∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，∴cos(α＋β)＝－1114. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17<cos π3＝12，∴π3<α<π2，又0<β<π2， ∴π3<α＋β<π，又sin(α＋β)＝5314<32， ∴2π3<α＋β<π. ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，sin α＝1－cos 2α＝437. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12.易错点3 忽视向量共线致误例3 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是__________．错解 ∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1.因θ为锐角，有cos θ>0， ∴2λ＋15·λ2＋1>0⇒2λ＋1>0，得λ>－12，λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 找准失分点 θ为锐角，故0<cos θ<1，错解中没有排除cos θ＝1即共线且同向的情况． 正解 由θ为锐角，有0<cos θ<1. 又∵cos θ＝a·b|a|·|b |＝2λ＋15·λ2＋1，∴0<2λ＋15·λ2＋1≠1，∴⎩⎨⎧2λ＋1>0，2λ＋1≠5·λ2＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠2.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ|λ>－12且λ≠21．(2014·大纲全国)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.2．(2014·大纲全国)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .3．已知sin θ＋cos θ＝43 (0<θ<π4)，则sin θ－cos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13答案 B解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2 ＝－1－sin 2θ＝－23. 4．已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]答案 A解析 ∵a ·b ＝0，且a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又∵|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∵|a |＝|b |＝1且a ·b ＝0，∴|a ＋b |＝2， ∴c 2＋1＝22|c |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． 又－1≤cos θ≤1，∴0<c 2＋1≤22|c |， ∴c 2－22|c |＋1≤0， ∴2－1≤|c |≤2＋1.5.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)等于( ) A ．－12B ．－1C ．－32D ．－ 3答案 B解析 由题图可知，函数的最大值为2，因此A ＝2. 又因为函数经过点⎝⎛⎭⎫π3，2，则2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝2， 即2×π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝－π6＋2k π，k ∈Z .f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝－1. 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.32 B.22 C.12 D ．－12答案 C解析 ∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab ，又∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2ab ≤2c 2. ∴cos C ≥12.∴cos C 的最小值为12.7．(2014·山东)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．答案 16解析 已知A ＝π6，由题意得|AB →||AC →|cos π6＝tan π6，|AB →||AC →|＝23，所以△ABC 的面积S ＝12|AB →||AC →|sin π6＝12×23×12＝16. 8．(2014·江苏)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________． 答案 π6解析 由题意，得sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝cos π3， 因为0≤φ<π，所以φ＝π6.9．已知函数f (x )＝A sin(ω＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其部分图象如图所示．若横坐标分别为－1,1,5的三点M ，N ，P 都在函数f (x )的图象上，记∠MNP ＝θ，则cos 2θ的值是________． 答案 －725解析 由图可知，A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝8， 所以T ＝2πω＝8，即ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<φ＋π4<3π4，即φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝sin π4(x ＋1)．因为f (－1)＝0，f (1)＝1，f (5)＝－1， 所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)．所以NM →＝(－2，－1)，NP →＝(4，－2)，NM →·NP →＝－6，|NM →|＝5，|NP →|＝25， 则cos ∠MNP ＝NM →·NP →|NM →|·|NP →|＝－35，即cos θ＝－35.于是cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725. 10．(2014·天津)已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3)． 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.。

上海高考数学必修三知识点上海高考中，数学必修三是考生们必须要掌握的一个重要知识点。

本文将围绕这一知识点展开讲解，帮助考生们更好地理解和掌握相关的数学知识。

下面将分为几个方面进行具体介绍。

一、平面向量平面向量是必修三中的一个重要概念，它在数学中有着广泛的应用。

平面向量包括向量的定义、向量的加减、数量积和向量积等。

在解题过程中，要善于将实际问题转化为向量的运算，运用向量的性质和定理进行分析和求解，这对于解决几何问题和物理问题都具有非常重要的意义。

二、三角函数三角函数是数学中的基础知识，而在必修三中，对于三角函数的学习更加深入和系统。

包括正弦、余弦、正切等三角函数的概念、基本性质和图像特征等。

在解题过程中，要熟练掌握三角函数的计算公式和一些基本的三角恒等式，灵活运用三角函数的知识解决实际问题，提高解题效率。

三、导数与微分导数与微分是必修三中的又一个重要知识点。

导数的概念、性质和计算方法都需要考生掌握。

在解题过程中，要灵活运用导数的定义、性质和运算法则进行求解，特别要注意导数在几何和物理问题中的应用，如切线、法线、极值等。

另外，对于微分的概念和方法也要进行深入的学习和理解，能够熟练地运用微分求解各类相关问题。

四、概率与统计概率与统计是必修三中的最后一个知识点。

概率与统计是数学中的实用学科，它与现实生活中的数据处理和决策密切相关。

在概率与统计的学习中，要理解和掌握一些基本概念、计算方法和统计图表的解读与分析。

在解题过程中，要善于使用概率和统计的方法对实际问题进行分析和解决，培养良好的数据处理能力和统计思维。

总结：上海高考数学必修三的知识点涵盖了平面向量、三角函数、导数与微分以及概率与统计，这些知识点在解题过程中起着非常重要的作用。

通过对这些知识点的深入学习和理解，考生们将能够更好地应对高考数学试题，并取得优秀的成绩。

希望本文的介绍能够对考生们在备考过程中有所帮助，祝愿大家在高考中取得好成绩！。

2012届高考数学复习3-三角函数、平面向量一、选择题1.下列不等式正确的是 （ ） A.sin 40sin 1030oo< B.1316tan tan 45ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. sin 89tan 46o o> D. sinco s()54ππ<-2．在四边形ABCD 中，BC AB ∙=0，且DC AB =，则四边形ABCD 是 （ ）A ．等腰梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形3．若非零向量a b 与的夹角为3π，且(32)a b a -⊥ ，则6a b b - 与的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．3π D ．2π4．已知向量)1,1(=a ，则与a 共线的单位向量b 为（ ）A ．)22,22(-- B ．)22,22(- C ．)22,22(- D ． )1,1(--5. 在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，M 是斜边BC 的中点，则向量AM →在向量BC →方向上的投影是A ．1B ．－1 C.355D ．－3556. 函数f(x)＝－(cosx)|lg|x||的部分图象是7. 将函数()2co s()36x f x π=+的图像向左平移4π个单位，再向下平移个单位，得到函数()g x 的图像，则()g x 的解析式为 A. ()2co s()134x g x π=-+ B. ()2co s()134x g x π=+- C. ()2co s()1312x g x π=-+ D. ()2co s()1312xg x π=+-8．在ABC ∆中，若)sin(sin B A C -<, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形9. 已知ABC∆，D 是BC 边上的一点，4||,2||,==⎭⎫ ⎝⎛+=AC AB AD λ，若记,A B a A C b == ，则用b a,表示B D 所得的结果为 （ ）A ．b a 2121-B ．b a 3131-C ．b a 3131+- D ．b a 3121+二、填空题 10．函数2()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 。