23.2.4几何图形中的中点问题

学员编号：年级：初三课时数： 3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T-同步讲解C-专题T-能力提升星级★★★★★★★★教学目标1.掌握三角形的内角和定理；2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4.学习分析问题、解决问题的能力。

授课时间教学内容——几何问题之中点题型5.掌握三角形的内角和定理；6.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；7.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；8.学习分析问题、解决问题的能力。

知识结构一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5.有中点时常构造垂直平分线；6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7.倍长中线。

二.与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 。

三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。

一、基础回顾1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点C 是线段AB 的中点，则： ① 从线段来看：12AC BC AB ==； ② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段； ④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

初中数学中的中点问题类型及其解决方案一、引言初中数学作为学生数学学习的重要阶段，对于培养学生的逻辑思维、解决问题能力和科学素养具有重要意义。

中点问题作为初中数学的核心内容，涵盖了方程式、不等式、二次函数等多个方面，对于提高学生数学成绩和实际应用能力至关重要。

本文将详细介绍初中数学中点问题的类型、解题方法与技巧、教育改革和拓展活动的影响以及学习建议与策略。

二、初中数学中点问题的类型1. 方程式：方程式是初中数学中点问题的基础，包括一元一次方程、二元一次方程等。

这类问题通常在实际生活中有着广泛的应用，如购物时的价格计算、工程中的进度控制等。

2. 不等式：不等式是初中数学中另一个重要的中点问题。

它描述了数量之间的大小关系，常用于解决实际问题中的范围和限制问题。

例如，在制定预算、安排人员等场景中，不等式可以用来确定各部分之间的数量关系。

3. 二次函数：二次函数是初中数学中的难点之一，但对于培养学生数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中的抛物线运动、经济学中的股票价格波动等。

三、解题方法与技巧1. 方程式：首先需要认真审题，找出未知量和已知量之间的关系，然后利用适当的公式或方法进行计算。

在解方程时，要注意去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤的正确运用。

2. 不等式：解题时需要注意不等式的性质和运算规则，如不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变等。

此外，还需要掌握解不等式的基本步骤，如去分母、去括号、移项、合并同类项等。

3. 二次函数：解题时需要掌握二次函数的表达式、图像和性质，利用这些知识解决实际问题。

例如，在解决最大值或最小值问题时，可以通过配方或顶点式等方法来求解；在解决实际生活中的问题时，可以根据实际情况选择适当的函数表达式进行建模和分析。

四、深化理解与培养能力教育改革和拓展活动对于深化学生对中点问题的理解、培养他们的独立思考和解决问题能力至关重要。

初中数学几何中点模式解答数学几何中点模式解答：中点模式是初中数学中一种基本的几何模式，用来描述线段中点的性质和应用。

在数学中，中点是指线段的中点，即将线段分成两个等长的部分的一点。

以下是关于中点模式的解答，从简单到复杂逐步介绍。

1.线段的中点性质：-任何线段都有且只有一个中点。

-中点将线段分成两个等长的部分。

-连接线段两端点与中点可以形成一个三角形，而且这个三角形的三条边都等长。

2.线段的中点构造：-方法一：设线段的两个端点为A和B，画出AB的中垂线，中垂线与AB的交点即为线段的中点。

-方法二：设线段的两个端点为A和B，从A和B各自向线段内侧画一条等长的线段，两线段的交点即为线段的中点。

3.实际问题中的中点模式：-在建筑物或道路设计中，使用中点模式可以确保建筑物或道路的对称性。

-在几何作图中，可以利用中点模式画出等边三角形、平行四边形等特殊图形。

-在解题过程中，可以利用中点模式简化计算，减少计算量。

4.中点模式与其他几何模式的关系：-中点模式与垂直二等分线模式：若一条线段有且只有一个中点，则该线段的垂直二等分线也只有一个，反之亦然。

-中点模式与等长线段模式：若一条线段有且只有一个中点，则该线段的两个部分等长，反之亦然。

-中点模式与等腰三角形模式：若一条线段的两端点与中点可以形成一个等腰三角形，则该线段的两端点与中点共线，反之亦然。

5.练习题解答：（1）已知AB为直径的圆O上有点C，连接AO、BO，并延长线段AO、BO分别交圆O于点D、E。

证明：AC=BC。

解答：由于AB为直径，所以O是圆O的圆心，由于OC是线段中点构造法延长得来的一般线段，因此OC=OC，又由于线段OD是线段中点构造法延长得到的，所以OD=OC，同理OE=OC，所以三角形ODB和三角形OEC是等腰三角形，所以∠CDB=∠CEB，所以∠ADB=∠AEB，因此AD=AE，所以AC=BC。

几何中点公式在咱们的数学世界里，几何中点公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多几何难题的大门。

先来说说什么是中点。

中点嘛，简单说就是把一条线段平分成两等份的那个点。

比如，你拿根铅笔在纸上画一条线段，然后从一头量到另一头，找到正中间的那个位置，那就是中点啦。

那几何中点公式到底是啥呢？它就是：若有两点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么它们所连成线段的中点坐标就是（(x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2）。

咱们来举个例子感受一下。

比如说有个点 A 的坐标是(1, 3)，另一个点 B 的坐标是(5, 7)，那它们连线的中点坐标咋算呢？咱们就按照公式来，横坐标就是 (1 + 5) / 2 = 3，纵坐标就是 (3 + 7) / 2 = 5，所以中点坐标就是(3, 5)。

是不是还挺简单的？我还记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么难啊！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。

”我拿起笔在黑板上一步一步地演示给他看，然后让他自己动手算几个例子。

嘿，没过一会儿，他就恍然大悟，兴奋地喊着：“老师，我懂啦！”那时候我心里可别提多有成就感了。

几何中点公式在实际生活中也很有用呢！比如说，你要在地图上找两个地点的中间位置，就可以用这个公式来算一算。

又或者是在建筑设计中，要确定两个支撑点的中间点来保证结构的平衡，也能用到它。

再深入一点，在几何证明题里，中点公式有时候能成为解题的关键线索。

比如说，给你一个三角形，告诉你其中两条边的中点，让你证明一些线段的关系。

这时候，你就可以巧妙地运用中点公式和相关的几何定理来推导。

学习几何中点公式可不能死记硬背，得理解着来。

多做几道题，多动手画一画，感受一下中点的位置和坐标的关系，慢慢地你就能熟练掌握啦。

总之，几何中点公式虽然看起来简单，但用处可大着呢！只要咱们用心去学，就能用它解决好多问题，让咱们在几何的世界里畅游无阻！。

七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。

在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。

2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。

假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。

- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。

- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。

- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。

三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。

例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。

分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。

2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。

3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。

4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。

四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。

中点问题是我们初中数学中考试题考查的热点与难点，也是必考点，今天我们从一个典型的中点问题来研究解决它的不同思路：问题呈现：此题看起来简单，图形很熟悉，但细一思考，还有点难度，特别是题中所给的重要条件不是∠APE=90°，而是点P是线段DG的中点，如果你不会使用点P是线段DG的中点这个条件，你就无法解决这个问题，因此见到中点，你能想到哪些解决问题的思路？不同的思路需要作出怎样的辅助线？用到哪些知识点？下面我们就从见到中点通常会有的思路分别思考一下：方法1：构建直角三角形斜边上的中线见到中点想是否可以构造中线，特别是两种特殊三角形的中线，一是等腰三角形底边上的中线，二是直角三角形斜边上的中线，这两种中线一作出来，就会给我们带来惊喜。

上图中，想把线段DG作为直角三角形的斜边或等腰三角形的底边，可以实现吗？你想，我们延长EG交AD于点H，△DHG是不是既是直角三角形又是等腰三角形？这时连接HP,是不是就有了很多你想要的结论？同时结合我们要证PA=PE，寻找图中含PA,PB的全等三角形即可。

试着证一下△DPA≌△HPE，当然也可以证△PHA≌△PGE.方法2：构建三角形的中位线构造中位线时，我们同样要先构造以DB为边的三角形，首选构造方法还是找中点，连线。

找到线段DH的中点M，连接MP并延长，交BC于点N,用中位线的性质可证PM=EN，再由DM=MP，可得AM=PN，然后用SAS可以证得△MPA≌△NEP，就有PA=PE。

方法3：中点线段倍长图中的可倍长的中点线段有AP与EP，中点的另一侧倍长后，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得图中四边形HGED是平行四边形，就有DH平行且等于EG,则CP 为Rt△HCE的斜边上的中线，所以CP=EP,又因为直线DB是正方形ABCD的对称轴，所以CP=AP, 所以AP=EP.这种方法中，线段CP性质的充分使用成了解决问题的关键。

方法4：构建梯形中位线梯形中位线虽然教材中没有出现，但我们有平行线分线段成比例定理，但我们得到PK 是线段CE的垂直平分线，问题一下是不是变简单了。

- 1 - 中点专题（讲义）一、知识点睛1.中位线：①三角形的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；②三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；③梯形的中位线：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线；④梯形中位线定理：梯形的中位线平行于上下底且等于上下底和的一半；⑤四边形中的中点2.遇到中点常见的五种思路：1、遇到等腰三角形底边的中点，考虑三线合一；2、遇到直角三角形斜边的中点，考虑斜边的中线等于斜边的一半；3、遇到三角形一边上的中线，考虑倍长中线；4、遇到平行线所截线段的中点，考虑类倍长中线；5、多个中点，考虑（或构造）中位线．二、精讲精练1.如图，点D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，若△DEF 的周长为10cm ，则△ABC 的周长为_______. GF E C BA D E A F GC BDCBAD CBAODC BAE CG FADBCG FE AHD B HG F E D CBA E DCBAG FEDCB A- 2 - 第4题图第3题图BA F D CEA EDCB45°2. 如图，已知四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，下边结论成立的是（立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小的长逐渐减小C ．线段EF 的长保持不变D ．线段EF 的长不能确定的长不能确定3. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =45°，AE ⊥BC 于点E ，AE =AD =2cm ，则这个梯形的中位线长为______. 4. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 是中位线，AD =a ，EF =b ，则BC 的长是________.5. 若梯形中位线长为高的2倍，面积是18cm 2，则这个梯形的高等于（，则这个梯形的高等于（） A ．62cm B ．6cm C ．32cm D ．3cm 6. 如图，DE 是△ABC 的中位线，M ，N 分别是BD ，CE 的中点，MN =6，则BC =_______．7. 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．如图，四边形EFGH 为中点四边形，当AC =BD 时，四边形EFGH 是_______形；当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是________形；当四边形EFGH 是正方形时，AC 与BD 满足的关系是____________．由此可见，中点四边形的形状与外围四边形的对角线有关．边形的对角线有关．8. 如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点，若∠ACB ＝66°，∠CAD ＝20°，则∠EFG =________. 9. 如图，△ABD 中，C 是BD 边上一点，∠BAC =90°，∠CAD =45°，且BC =CD ，求证：AB=2AC ．第2题图第1题图CDP EFR BAC F AD BEABCD FEGAB C D第11题图第10题图CBDEFP A B ANCM 第7题图第6题图AF G D E CBHBM ED CAN- 3 - 10. 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，且AB =10，BC =15，MN =3，则△ABC 的周长等于（的周长等于（ ） A ．38 B ．39 C ．40 D ．41 11. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC 为（为（ ）A ．35° B ．45°C ．55°D ．65°12. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°，则∠B =___________．13. 四边形ABCD 中，AD =BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ，BC 的延长线分别与EF 的延长线交于H ，G ，则∠AHE ∠BGE （填“＞”或“＝”或“＜”）14. 如图，以△ABC 的边AB ，AC 为斜边向外作Rt △ABD和Rt △ACE ，且使∠ABD =∠ACE =α，M 是BC 的中点，的中点，求证：DM =ME ．【精讲精练】 1．20cm 2．C 3．4cm 4．2b -a 5．D 6．8 7．菱形；矩形，AC ⊥BD 且AC =BD 8．23° 9．思路点拨：①取AB 中点；②取AD 中点；③倍长AC 10．D 11．C 12．72° 13．“=” 14．思路点拨：取AB 中点P ，AC 中点Q ，证明△PDM ≌QMEBC E DFA BCDEAMBE A FDCGH。

中点是几何学中一个基本概念，它在许多数学和几何问题中都有重要的应用。

在本文中，我们将探讨中点的定义、性质和一些常见的应用。

一、中点的定义中点是指一条线段的两个端点之间的中间位置点。

在一条线段AB上，记中点为M，则AM=MB。

简而言之，中点就是将一条线段分成两个相等部分的点。

二、中点的性质 1. 中点分割线段中点将一条线段分割成两个相等的部分。

这意味着，如果AM=MB，则M是线段AB的中点；反之亦然，如果M是线段AB的中点，则AM=MB。

2.中点和线段长度的关系线段的长度等于两个端点之间的距离。

如果线段AB的长度为d，则AM=MB=d/2。

也就是说，线段长度的一半就是线段中点到任一端点的距离。

3.中点构成的线段平行于原线段如果线段AB的中点为M，构造线段MC，使得MC与AB重合，那么MC与AB平行。

这是因为中点将线段分成两个相等的部分，所以MC和AB有相同的长度和方向，因此它们平行。

三、中点的应用 1. 平行线的构造中点的概念常用于线段平行线的构造中。

给定线段AB和一点C，在点C处通过线段AB的中点M，可作出平行于线段AB的线段MC。

2.三角形的性质中点在研究三角形的性质时也起到关键作用。

例如，在等腰三角形中，中点是底边的中点；在等边三角形中，中点是边的中点。

3.证明几何定理中点的概念在证明几何定理时也经常被使用。

例如，证明平行线与三角形内一条边的中点连线构成平行线。

四、中点的推广除了线段，中点的概念还可以推广到其他几何图形中。

例如，三角形的重心是三条中线的交点，即三角形三个顶点构成的线段的中点。

总结：中点是几何学中一个基本的概念，它具有许多重要的性质和应用。

通过了解中点的定义、性质和应用，我们能够更好地理解和应用几何学中的一些基本概念和定理。

无论是在解决几何问题还是在证明几何定理时，中点都扮演着重要的角色。

因此，对中点的认识和理解是进行几何学学习的基石之一。