答案 C
)
题型一 数列的图像 【例1】 在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性.
解 (1)列表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像： (1,-7)， (2,-12)， (3,-15)， (4,-16)， (5,-15)， (6,-12)， (7,-7)， (8,0)， (9,9)，…，图像如图所示.
又 n∈N＋， ∴n＝9 或 n＝10.∴该数列中有最大项，为第 9、10 项，且 a9
109 1010 ＝a10＝10×11 ＝ 119 .
【迁移 1】
10n 将例题中的“an＝(n＋1)11 ” 换为“an＝－2n2＋9n
1.2 数列的函数特性
学习目标
1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数 ，了解数
列的图像表示法 ( 重点 ) ； 2. 理解数列的单调性的概念及其判断 ( 难 点).
预习教材 P6－8，完成下列问题：
知识点一 数列的函数性质
数列可以看成以正整数集 N ＋( 或它的有限子集 _______________) 为定 {1，2，…，n} 义域的函数an＝f(n)，当自变量按照__________ 的顺序依次取值时所 从小到大 对应的一列函数值.
【训练 2】 已知数列{an}的通项公式为 单调性.
1n an＝2 ，所以
1n an＝2 ，判断此数列的
解
法一
因为
1n＋1 1n an＋1－an＝2 －2 ＝
1n＋1 －2 <0，
所以数列{an}是递减数列. 1x 法二 因为函数 f(x)＝2 在 R 上单调递减，所以数列{an} 是递减数列.
(2) 当1≤n≤4(n∈N＋) 时，数列{an}为递减数列；当n>4(n∈N ＋) 时，数
列{an}为递增数列.
规律方法
数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置
序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可 以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1， 2，3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点 ，这些点的个数可以是有 限的，也可以是无限的.
【预习评价】
(正确的打“√”，错误的打“×”)
2 3 4 5 n (1)数列3，4，5，6，…的通项公式是 an＝ .( × ) n＋1 (2)数列的图像是一群孤立的点.( √ ) (3)数列 1，－1，1，－1，…与数列－1，1，—1，1，…是同 一数列.( × )
知识点二
数列的增减性
在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是______ 数列；若an＋1<an，则{an} 递增
为______数列；若 an＋1＝an，则{an}为________. 常数列 递减
【预习评价】 1.已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A.递增数列
C.摆动数列 答案 A
B.递减数列D.常数列2.下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( 1 1 1 A.1，2，3，4，… B.－1，2，－3，4，… 1 1 1 C.－1，－2，－4，－8，… D.1， 2， 3，…， n
n＋1 n ＋1 ∴an＋1＝ ＝ . 3（n＋1）＋1 3n＋4 法一 n＋1 n an＋1－an＝ － 3n＋4 3n＋1
（n＋1）（3n＋1）－n（3n＋4） ＝ （3n＋4）（3n＋1） 1 ＝ ， （3n＋4）（3n＋1） ∵n∈N＋，∴an＋1－an>0，即
n an＋1>an，∴数列 3n＋1为递增数列.
【例 3】
已知数列{an}的通项
10n an＝(n＋1)11 (n∈N＋)，试问数
列{an}有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若 没有，说明理由.
解
设
an－1≤an， an 为最大项，则 即 an≥an＋1
10n－1 10n ， ≤ （ n ＋ 1 ） n× 11 11 解得 9≤n≤10. 10n 10n＋1 （n＋1） ≥（n＋2） ， 11 11
2 【训练 1】 已知数列{an}的通项公式为 an＝ ，画出它的 2n－9 图像，并判断增、减性.
解 图像如图所示 ，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，
6，…}上也是递减的.
题型二 判断数列的增减性
【例 2】
解
n ∵an＝ ， 3n＋1
n 判断数列 3n＋1的增减性.
法二
∵n∈N＋，∴an>0. n＋1 an＋1 3n＋4 （n＋1）（3n＋1） 3n2＋4n＋1 1 ∵ a ＝ n ＝ ＝ ＝1＋ 2 >1 ， 2 （ 3 n ＋ 4 ） n 3 n ＋ 4 n 3 n ＋ 4 n n 3n＋1 ∴an＋1>an， n ∴数列 3n＋1为递增数列. x 法三 令 f(x)＝ (x≥1)，则 3x＋1
(2) 若已知数列的通项公式 an ＝ f(n) ，则常用作差比较法或作商比较法
比较an＋1与an的大小； (作商时，要注意an<0还是an>0；对通项是多项式的数列常作差进行因式 分解，对通项含有根式的数列，常进行分子或分母有理化) (3)通过考察函数y＝f(x)(x≥1)的单调性来判定数列的增减性.
1 1 3x＋1－1 1 1 － f(x)＝3 ＝ ， 3 3 x ＋ 1 3 x ＋ 1
∴函数 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， n ∴数列 3n＋1是递增数列.
规律方法
数列增减性的判断方法
(1)如果知道数列的图像，可直接从图像是上升还是下降来判断数列的 增减性；
