八年级数学下册.一元二次方程的解法第4课时同步练习新版浙教版

浙教版八年级下 2.2一元二次方程的解法同步练习一．选择题1．（2021秋•衡阳期末）一元二次方程x2+3x＝0的根是（）A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3,x2＝0 D．x1＝﹣3,x2＝02．（2021秋•朝阳区期末）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．有两个不相的实数根D．没有实数根3．（2021秋•武汉期末）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程,将其化成（x+a）2＝b的形式,则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11 4．（2021秋•新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根,则k的取值范围（）A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 5．（2020秋•红谷滩区校级期末）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根,则k的最小整数值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣16．（2021•乳源县三模）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根,则下列结论正确的是（）A．当k＝时,方程的两根互为相反数B．当k＝0时,方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根,则k≠0且k≤D．若方程有实数根,则k≤7．（2020秋•岳阳期末）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根,则k的值等于（）A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣28．（2021秋•新都区期末）关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0,则下列条件中正确的是（）A．a＝0,b＝0 B．a＝0,b≠0 C．a≠0,b＝0 D．a≠0,b≠0 9．（2021•郓城县模拟）等腰三角形的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根,则该等腰三角形的周长是（）A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或2510．（2021春•上城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,其中正确的有（）个．①方程x2+5x+6＝0是倍根方程；②若pq＝2,则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程,则18m2+15mn+2n2＝0；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程,且3a+b＝0,则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题11．（2021秋•岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式,则a+b＝．12．（2021秋•邵东市期末）若方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根,则m＝．13．（2021秋•安州区期末）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根,则m的取值范围是．14．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是．15．（2021秋•衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15,则x2+y2＝．三．解答题16．（2021•香洲区校级模拟）解方程：（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；（2）x2+2x﹣2＝0．17．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．18．（2020秋•浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1,求a的值；（2）若方程有实数根,求满足条件的正整数a的值．19．（2020秋•叶县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）当k取满足条件的最大整数时,求方程的根．20．（2021秋•海陵区期末）已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣4＝0．（1）求证：不论k为何值,该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为﹣4,求k的值．21．（2021秋•南沙区期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．（1）若方程有两个实数根,求a的取值范围．（2）若x＝2是方程的一个根,求另一个根．（3）在（1）的条件下,试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1,3）,并说明理由．答案与解析一．选择题1．（2021秋•衡阳期末）一元二次方程x2+3x＝0的根是（）A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝﹣3 C．x1＝3,x2＝0 D．x1＝﹣3,x2＝0【解析】解：x2+3x＝0,x（x+3）＝0,x+3＝0或x＝0,解得：x1＝﹣3,x2＝0,故选：D．2．（2021秋•朝阳区期末）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根C．有两个不相的实数根D．没有实数根【解析】解：∵△＝22﹣4×1×3＝4﹣12＝﹣8＜0,∴一元二次方程无解．故选：D．3．（2021秋•武汉期末）用配方法解x2﹣8x+5＝0方程,将其化成（x+a）2＝b的形式,则变形正确的是（）A．（x+4）2＝11 B．（x﹣4）2＝21 C．（x﹣8）2＝11 D．（x﹣4）2＝11【解析】解：∵x2﹣8x＝﹣5,∴x2﹣8x+16＝﹣5+16,即（x﹣4）2＝11,故选：D．4．（2021秋•新抚区期末）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个实数根,则k的取值范围（）A．k≥﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【解析】解：根据题意得b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）≥0且k≠0,解得k≥﹣1且k≠0．故选：D．5．（2020秋•红谷滩区校级期末）若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根,则k的最小整数值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【解析】解：∵一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0,即（k﹣1）x2+x+3＝0无实数根,∴Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4×（k﹣1）×3＜0且k﹣1≠0,解得k＞．k最小整数＝2．故选：A．6．（2021•乳源县三模）关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根,则下列结论正确的是（）A．当k＝时,方程的两根互为相反数B．当k＝0时,方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根,则k≠0且k≤D．若方程有实数根,则k≤【解析】解：若k＝0,则此方程为﹣x+1＝0,所以方程有实数根为x＝1,则B错误；若k≠0,则此方程是一元二次方程,由于方程有实数根,∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＝﹣4k+1≥0,∴k≤且k≠0；综上所述k的取值范围是k≤．故A错误,C错误,D正确．故选：D．7．（2020秋•岳阳期末）已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长,且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根,则k的值等于（）A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣2【解析】解：①当m、n为腰时,m＝n,∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根,∴方程有两个相等的实数根,∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0,解得：k＝2；②当m和3（或n和3）是腰时,m＝3,∵三角形不是等边三角形,∴此时方程有两个不相等的实数根,∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根,∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0,解得：k＝1；所以k＝1或2,故选：C．8．（2021秋•新都区期末）关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0,则下列条件中正确的是（）A．a＝0,b＝0 B．a＝0,b≠0 C．a≠0,b＝0 D．a≠0,b≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的两根中有且只有一个根等于0,∴x1+x2＝﹣a≠0,x1x2＝b＝0,∴a≠0,b＝0．故选：C．9．（2021•郓城县模拟）等腰三角形的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+k＝0的两个实数根,则该等腰三角形的周长是（）A．14 B．14或15 C．4或6 D．24或25【解析】解：设底边为a,分为两种情况：①当腰长是4时,则a+4＝10,解得：a＝6,即此时底边为6,②底边为4,2a＝10,解得a＝5,所以该等腰三角形的周长是14．故选：A．10．（2021春•上城区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”,以下关于倍根方程的说法,其中正确的有（）个．①方程x2+5x+6＝0是倍根方程；②若pq＝2,则关于x的方程px2+4x+q＝0是倍根方程；③若（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程,则18m2+15mn+2n2＝0；④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程,且3a+b＝0,则方程ax2+bx+c＝0的一个根为1．A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：①解方程x2+5x+6＝0得：x1＝﹣2,x2＝﹣3,∴方程x2+5x+6＝0不是倍根方程,故①错误；②∵pq＝2,解方程px2+4x+q＝0得：x1＝,x2＝,∴x1≠2x2,故②错误；③∵（x﹣3）（mx+n）＝0是倍根方程,且x1＝3,x2＝﹣,∴＝﹣,或＝﹣6,∴3m+2n＝0,6m+n＝0,∴18m2+15mn+2n2＝（3m+2n）（6m+n）＝0,故③正确；④∵方程ax2+bx+c＝0是倍根方程,∴设x1＝2x2,∴x1+x2＝3,∴x2+2x2＝3,∴x2＝1,故④正确．故选：B．二．填空题11．（2021秋•岳阳县期末）用配方法将方程x2﹣2x﹣3＝0变为（x﹣a）2＝b的形式,则a+b＝5．【解析】解：方程x2﹣2x﹣3＝0,变形得：x2﹣2x＝3,配方得：x2﹣2x+1＝4,即（x﹣1）2＝4,∴a＝1,b＝4,∴a+b＝5故答案为：5．12．（2021秋•邵东市期末）若方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根,则m＝﹣1．【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣m＝0有两个相等的实数根,∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0,解得：m＝﹣1,故答案为：﹣1．13．（2021秋•安州区期末）已知关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根,则m的取值范围是m≤且m≠﹣2．【解析】解：∵关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+1＝0有实数根,∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（m+2）×1≥0且m+2≠0,解得m≤且m≠﹣2．故答案为：m≤且m≠﹣2．14．（2021秋•新都区期末）若关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,则另一个根是4．【解析】解：∵关于x的方程x2﹣3x+n＝0的一个根是﹣1,设另一根为a,∴﹣1+a＝3,解得：a＝4,则另一根为4．故答案为：4．15．（2021秋•衡阳期末）已知实数x、y满足（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝15,则x2+y2＝2．【解析】解：设x2+y2＝z,原方程化为（z+1）（z+3）＝15,即z2+4z﹣12＝0．解得z＝2,z＝﹣6（不符合题意,舍）,所以x2+y2＝2,故答案为：2．三．解答题16．（2021•香洲区校级模拟）解方程：（1）4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）；（2）x2+2x﹣2＝0．【解析】解：（1）∵4x（2x﹣1）＝3（2x﹣1）,∴8x2﹣10x+3＝0,∴（2x﹣1）（4x﹣3）＝0,则2x﹣1＝0或4x﹣3＝0,解得x＝或x＝；（2）∵x2+2x﹣2＝0,∴a＝1,b＝2,c＝﹣2,则△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0,∴x＝＝﹣1．17．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．【解析】解：（1）x2+10x+16＝0,（x+2）（x+8）＝0,x+2＝0或x+8＝0,∴x1＝﹣2,x2＝﹣8；（2）x（x+4）＝8x+12,x2+4x﹣8x﹣12＝0,x2﹣4x﹣12＝0,（x+2）（x﹣6）＝0,x+2＝0或x﹣6＝0,∴x1＝﹣2,x2＝6．18．（2020秋•浦北县期末）已知一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x＝﹣1,求a的值；（2）若方程有实数根,求满足条件的正整数a的值．【解析】解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1,∴a﹣3+4+3＝0,∴a＝﹣4；（2）由题意△≥0且a≠3∴16﹣12（a﹣3）≥0,解得a≤,∵a是正整数,∴a＝1或2或4．19．（2020秋•叶县期末）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）当k取满足条件的最大整数时,求方程的根．【解析】解：（1）由判别式可知：Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4（k﹣1）＞0,∴k＜5,∵k﹣1≠0,∴k＜5且k≠1,∴k的取值范围是k＜5且k≠1；（2）∵k的取值范围是k＜5且k≠1,∴k的最大整数值为4．∴3x2+4x+1＝0,解得x1＝﹣1,x2＝﹣．20．（2021秋•海陵区期末）已知关于x的方程x2+2kx+k2﹣4＝0．（1）求证：不论k为何值,该方程都有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为﹣4,求k的值．【解析】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣4）＝4k2﹣4k2+16＝16＞0,∴不论k为何值,该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：将x＝﹣4代入原方程得：16﹣8k+k2﹣4＝0,则k2﹣8k+12＝0解得k＝2或6,∴,k的值为2或6．21．（2021秋•南沙区期末）已知关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0．（1）若方程有两个实数根,求a的取值范围．（2）若x＝2是方程的一个根,求另一个根．（3）在（1）的条件下,试判断直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5能否过点A（﹣1,3）,并说明理由．【解析】解：（1）∵关于x的方程ax2﹣（2a+1）x+a﹣2＝0,有两个实数根,∴a≠0,（2a+1）2﹣4a（a﹣2）≥0,整理得：4a2+4a+1﹣4a2+8a≥0,即12a≥﹣1,解得：a≥﹣且a≠0；（2）把x＝2代入方程得：4a﹣2（2a+1）+a﹣2＝0,去括号得：4a﹣4a﹣2+a﹣2＝0,解得：a＝4；（3）把A（﹣1,3）代入直线解析式得：3＝﹣（2a﹣3）﹣a+5,去括号得：3＝﹣2a+3﹣a+5,移项合并得：3a＝5,解得：a＝,经检验：a＝满足（1）中的范围,则直线y＝（2a﹣3）x﹣a+5过点A（﹣1,3）,此时a＝．。

浙教版数学八年级下册2.1《一元二次方程》精选练习一、选择题1.下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A.2x 2+7=0 B.2x 2+2x+1=0 C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x)2+1=02.若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A.2B.－2C.0D.不等于23.若方程(a-3)x 2＋a ＋1x-2=0是关于x 的一元二次方程，则a 取值范围是( )A.a ≥-1B.a ≠3C.a ＞3D.a ≥-1且a ≠34.已知方程(m-2)x |m|＋mx-8=0是关于x 的一元二次方程，则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m ≠±25.一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A.7x 2，2x ，0B.7x 2，－2x ，无常数项C.7x 2，0，2xD.7x 2，－2x ，06.方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A.x 2－5x+5=0B.x 2+5x+5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=07.若关于x 的方程（ax+b ）(d －cx)=m(ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为（ ）A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m)8.关于x 的方程mx(x-1)=nx(x ＋1)＋2化成一般形式后为x 2-x-2=0，则m ，n 的值依次是( )A.1，0B.0，1C.-1，0D.0，-19.已知一元二次方程x 2-4=0，则下列关于该一元二次方程的说法正确的是( )A.不是一般形式B.没有一次项系数C.常数项是4D.二次项系数是110.关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程 B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x 2=－2是一个一元二次方程 D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解11.若x=1是方程ax 2+bx+c=0的解，则（ ）A.a+b+c=1B.a －b+c=0C.a+b+c=0D.a －b －c=012.已知a ，b ，c 满足a-b ＋c=0，4a-2b ＋c=0，则关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的解的情况为( ) A.x 1=1，x 2=2 B.x 1=-1，x 2=-2C.方程的解与a ，b 的取值有关D.方程的解与a ，b ，c 的取值有关二、填空题13.如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a_________.14.关于x 的方程mx 2-3x ＋2=x 2-mx 是一元二次方程，则m 的取值范围是_________.15.方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为________，常数项为_______.16.方程5(x2－2x+1)=－32x+2的一般形式是________，其二次项是________，一次项是__________，常数项是__________.17.若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，则6m+2n=______.18.若a+b+c=0且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_______.三、解答题19.已知一个一元二次方程的二次项的系数为1，它的两个根是33和-23，求这个一元二次方程.20.已知关于x的方程(m2-9)x2＋(m＋3)x-5=0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数，一次项系数及常数项.21.把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)2x(2x＋1)=x＋3； (2)(7x-1)2=6；22.有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，一个学童教他沿着门的两个对角斜着拿竹竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？设竹竿长为x尺，请根据这一问题列出方程并化简方程，不必求解.23.现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来.参考答案1.答案为：C2.答案为：A3.答案为：D4.答案为：C5.答案为：D6.答案为：A7.答案为：D8.答案为：A9.答案为：D 10.答案为：C 11.答案为：C 12.答案为：B 13.答案为：≠1 14.答案为：m ≠1 15.答案为：0 816.答案为：5x 2－22x+3=0 5x 2－22x 317.答案为：-2 18.答案为：1；19.解：设这个一元一次方程为x 2＋bx ＋c=0，将x 1=33和x 2=-23分别代入，解方程组得b=-3，c=-18，所以这个一元二次方程是x 2-3x-18=0.20.解：(1)当m=3时，此方程是一元一次方程，其解为x=56；(2)当m ≠±3时，此方程为一元二次方程，其二次项系数，一次项系数及常数项分别为m 2-9，m ＋3，-521.解：(1)一般形式：2x 2＋(2-1)x-3=0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是2，2-1，-3(2)一般形式：49x 2-14x-5=0，二次项系数，一次项系数和常数项分别是49，-14，-522.解：设竹竿长为x 尺，根据题意，得(x-4)2＋(x-2)2=x 2，化简得x 2-12x ＋20=0 23.解：设计方案：即求出满足条件的便道及休息区的宽度.若设便道及休息区宽度为x 米，则游泳池面积为(40－2x)(30－2x)米2，便道及休息区面积为2［40x+(30－2x)x ］米2，依题意，可得方程： (40－2x)(30－2x)∶2［40x+(30－2x)x ］=3∶2 由此可求得x 的值，即可得游泳池长与宽.。

2.2一元二次方程的解法基础题1. 方程264x =的根是（ ）A .8x =B . 124,4x x ==-C . 128,8x x ==-D . 1216,16x x ==-2. 用配方法解方程2670x x +-=时，配方结果正确的是（ ）A .2(6)43x +=B . 2(3)16x -=C . 2(3)16x +=D . 2(6)43x -= 3. 方程22340x x --=的根的情况是（ ）A .有两个不相等的实数根B .有两个相等的实数根C .没有实数根D .不能确定根的情况4. 方程()2316x -=的解是_________．5. 用公式法解方程6x -11=7x 2时，a 、b 、c 的值分别是_________．6. 解方程：⑴x 2+4x －1＝0.⑵()()3222x x x -=-.提高题7. 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根，下列选项正确的是（ ）A .b 2－4ac =0B .b 2－4ac ＞0C .b 2－4ac ＜0D .b 2－4ac ≥08. 若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则m ＝_______．9. 已知关于x 的一元二次方程()()02a 2=-+++c a bx x c ，其中a 、b 、c 分别为△ABC 的三边的长. (1)如果x = -1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由.参考答案2.2一元二次方程的解法基础题1. C2.B3. A4. 1x =-1，2x =75. 7、-6、116. ⑴移项，得x 2+4x ＝1，配方，得x 2+4x +4＝1+4，即(x +2)2＝5，开方，得x +2＝±5，即x 1＝－2+5，x 2＝－2－5.⑵()()3220x x +-=，所以320x +=或20x -=，123x =-，22x =.提高题7.B 8.149. 解：（1）△ABC 是等腰三角形.理由如下：把x =-1代入原方程，得a +c -2b +a -c =0，所以a =b ，故三角形ABC 是等腰三角形.（2）△ABC 是直角三角形.理由如下：方程有两个相等实数根式，则（2b ）2-4（a +c ）（a -c ）=0，所以b 2-a 2+c 2=0，故a 2=b 2+c 2，故△ABC是直角三角形.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。

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一元二次方程班级：___＿___＿_＿_姓名:＿＿＿_____＿_＿得分：＿_＿_______一． 选择题(每小题５分，２0分)１、将方程03-22=+x x 化为()n m -x 2=的形式,m 和ｎ分别是（ ）A 、 1,3B 、—１，３C 、 1,4 Ｄ、—１，4２、用配方法解方程01-22=+x x 时，原方程应变形为( )Ａ。

()612=+x B.()61-2=xC 。

()922=+xD 。

()92-2=x3、将一元二次方程05-2-2=x x 化为()b a x 2=+的形式，则b=( ) A 、3 B 、４ C 、７ D 、１34、关于x 的一元二次方程0k 2=+x 有实数根，则（ ) A 。

k<0 Ｂ. k 〉0 Ｃ． ｋ≥0 D 。

ｋ≤0二、计算题(每小题10分，40分)1、5x 2+2x －1=0 ２、x 2+6ｘ+9＝73、()()333-x 2-=x x4、05-1)-x 22=（三、解答题(每小题10分,４0分）1.已知关于x 的一元二次方程x 2-２kx+12k 2—2=0. 求证:不论ｋ为何值,方程总有两不相等实数根.2、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解,且a b ≠,求2222a b a b --的值.３． 我们知道：对于任何实数x ,①∵2x ≥0，∴2x +1>0; ②∵2)31(-x ≥0,∴2)31(-x +21＞0.模仿上述方法解答：求证:（１）对于任何实数x ，均有:3422++x x ＞0；（2)不论x 为何实数,多项式1532--x x 的值总大于2422--x x 的值．4.关于x 的一元二次方程（ａ+c )ｘ2+２bx +（a ﹣c )＝０,其中a 、ｂ、ｃ分别为△ＡBC 三边的长．（1)如果x =﹣１是方程的根,试判断△A ＢC 的形状,并说明理由;（2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由;（3）如果△A ＢC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．ﻬ参考答案一． 选择题、1.Ｃ【解析】()41-x 2=配方得２． A【解析】()61151222=++=++x x x ，即３. D ．【解析】 配方0139322=-+⨯-x x13,313)3(,013)3(22=-=∴=-=--b a x x 即则４. D【解析】-k 2=xk -x ±=，若有实数根,则—k ≥0，k ≤0二、计算题1. 解:a =5,b =2，c ＝-1∴Δ=ｂ2-４ac =4+4×5×１=24>０∴x 1·2＝56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x２．解:整理,得:x 2＋6x +２=0∴a ＝1，b ＝6,c =2∴Δ＝b 2-4ac =３6－4×1×2＝２8>0∴x １·2=2286±-=－3±7 ∴x 1＝-3+7，x ２=-3-73、3,320)3)(23(06113936-x 22122===--=+--=x x x x x x xx4、()2102,2210251212-=+==-x x x三、解答题1、(1）Δ=2k 2＋８〉0， ∴不论k 为何值，方程总有两不相等实数根。

2.2 一元二次方程的解法一．选择题1．一元二次方程3x2﹣2x+1＝0的根的情况为（ ）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实根数C．只有一个实数根D．没有实数根2．用配方法解方程2x2+4x﹣3＝0时，配方结果正确的是（ ）A．（x+1）2＝4B．（x+1）2＝2C．（x+1）2＝D．（x+1）2＝3．一元二次方程2（x﹣2）2+7（x﹣2）+6＝0的解为（ ）A．x1＝﹣1，x2＝1B．x1＝4，x2＝C．x1＝0，x2＝D．无实数解4．若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根分别是﹣，5，则方程a（x﹣1）2+bx＝b﹣2c的两根为（ ）A．﹣，6B．﹣3，10C．﹣2，11D．﹣5，215．若一元二次方程x（kx+1）﹣x2+3＝0无实数根，则k的最小整数值是（ ）A．2B．1C．0D．﹣16．关于x的方程k2x2+（2k﹣1）x+1＝0有实数根，则下列结论正确的是（ ）A．当k＝时，方程的两根互为相反数B．当k＝0时，方程的根是x＝﹣1C．若方程有实数根，则k≠0且k≤D．若方程有实数根，则k≤7．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（ ）A．6.5B．7C．6.5或7D．88．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（ ）A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程9．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（ ）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③10．关于x的方程ax2+bx+c＝0的根为2和3，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的根（ ）A．﹣2，﹣3B．﹣6，1C．2，﹣3D．﹣1，6二．填空题11．已知2x（x+1）＝x+1，则x＝ ．12．一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是 ．13．当x满足时，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 ．14．方程（k﹣1）x2﹣x+＝0有两个实数根，则k的取值范围是 ．15．对于实数a，b，定义运算“*”，a*b＝例如4*2．因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8，若x1、x2是一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则x1*x2＝ ．16．关于x的方程a（x+m）2＝b的解是x1＝2，x2＝﹣3，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2﹣b＝0的解是 ．三．解答题17．用适当的方法解下列方程：（1）x2+2x﹣1＝0 （2）（3x﹣7）2＝﹣2（7﹣3x）（3）2x2﹣6x﹣1＝0 （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）218．（西湖区校级月考）用适当的方法解下列方程．（1）3x（x+3）＝2（x+3）（2）2x2﹣4x﹣3＝0（3）x2+4x+2＝0 （4）x（x﹣3）＝﹣x+3（5）2x2+4x﹣1＝0 （6）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝019．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求a的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值；（3）请为a选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．20．关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c﹣a）＝0，其中a、b、c分别是△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由；（3）已知a：b：c：＝3：4：5，求该一元二次方程的根．21．已知关于x的方程．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根；（3）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？22．阅读例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0解：（1）当x≥0时，得x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1＜0（舍去）（2）当x＜0时，得x2+x﹣2＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣2原方程的根为x1＝2，x2＝﹣2请参照例题的方法解方程x2﹣|x+1|﹣1＝023．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方；所以，（x﹣1）2+3，（x﹣2）2+2x，是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+9三种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣6x+10y+34＝0，求3x﹣2y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．答案一．选择题D．C．C．C．A．D．B．B．B．B．二．填空题11．﹣1或．12．：x2+x﹣6＝0．13．1+．14．k＜1．15．±5．16．x1＝4，x2＝﹣1．三．解答题17．解：（1）x2+2x﹣1＝0，b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8，x＝，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）（3x﹣7）2＝﹣2（7﹣3x），（3x﹣7）2﹣2（3x﹣7）＝0，（3x﹣7）（3x﹣7﹣2）＝0，3x﹣7＝0，3x﹣7﹣2＝0，x1＝，x2＝3；（3）2x2﹣6x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝44，x＝，x1＝，x2＝；（4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2，开方得：3（x﹣2）＝±2（x+1），x1＝8，x2＝0.8．18．解：（1）3x（x+3）﹣2（x+3）＝0，（x+3）（3x﹣2）＝0，x+3＝0或3x﹣2＝0，所以x1＝﹣3；x2＝；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±所以x1＝1+；x2＝1﹣；（3）x2+4x＝﹣2x2+4x+4＝2，（x+2）2＝2，x+2＝±所以x1＝﹣2+；x2＝﹣2﹣；（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3；x2＝﹣1；（5）x2+2x＝，x2+2x+1＝，（x+1）2＝，x+1＝±所以x1＝﹣1+；x2＝﹣1﹣；（6）（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，y+2+3y﹣1＝0或y+2﹣3y+1＝0，所以y1＝﹣；y2＝．19．解：（1）∵方程的一个根为x＝﹣1，∴a﹣3+4+3＝0，∴a＝﹣4．（2）由题意△≥0且a≠3，∴16﹣12（a﹣3）≥0，解得a≤，∵a是正整数，∴a＝1或2或4．（3）当a＝4时，方程为x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或1．20．解：（1）把x＝﹣1代入方程得c+a﹣2b+c﹣a＝0，则c＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）根据题意得△＝（2b）2﹣4（c+a）（c﹣a）＝0，即a2+b2＝c2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵a：b：c＝3：4：5，∴设a＝3t，b＝4t，c＝5t，∴原方程可变为：4x2+4x+1＝0，解得：x1＝x2＝﹣．21．解：（1）△＝（2k+1）2﹣4×1×4（k﹣）＝4（k﹣）2≥0，此时方程有两个实数根．综上所述，无论k取何值，此方程总有实数根．（2）若x＝1是这个方程的一个根，则1﹣（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝1，∴关于x的方程x2﹣3x+2＝0，解方程得x1＝1，x2＝2，∴方程的另一根是2；（3）当a＝4为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则△＝0．∴4（k﹣）2＝0，解得：k＝．此时原方程化为x2﹣4x+4＝0∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．此时△ABC三边为4，2，2，构不成三角形，当a＝4为腰，则b＝4为腰长，c为底，则16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，求得k＝，∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0．解得x＝2或4，∴c＝2，∴周长为4+4+2＝10．故这个等腰三角形的周长是10．22．解：①当x+1≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1．②当x+1＜0时，原方程化为x2+x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣1（不合题意，都舍去）．故原方程的根是x1＝2，x2＝﹣1．23．解：（1）第一种：x2﹣4x+9＝x2﹣4x+4+5＝（x﹣2）2+5；第二种：x2﹣4x+9＝x2﹣6x+9+2x＝（x﹣3）2+2x；第三种：x2﹣4x+9＝x2﹣4x+9+x2＝（x﹣3）2+x2；（2）∵x2+y2﹣6x+10y+34＝x2﹣6x+9+y2+10y+25＝（x﹣3）2+（y+5）2＝0，∴x﹣3＝0，y+5＝0，∴x＝3，y＝﹣5，∴3x﹣2y＝3×3﹣2×（﹣5）＝19；（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，即a＝1，b＝2，c＝1，∴a+b+c＝4．。

一元二次方程的解法班级：___________姓名：___________得分：__________一． 选择题（每小题3分，9分）1、方程1432=+x x 的解是（ ）A 、2653±=xB 、2653-±=x C 、2233±=x D 、2233-±=x 2、一元二次方程x 2＋x ＋3＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定3、已知一元二次方程：①x 2＋2x ＋3＝0，x 2－2x －－3＝0．下列说法正确的是( )A ．①②有实数解B ．①无实数解，②有实数解C ．①有实数解，②无实数解D ．①②都无实数解二、计算题（每小题5分，30分）（4）、x 2－2x ＝0；（5）3x 2＋4x ＝－1 （6）2x 2－4x ＋5＝0三、解答题（每小题10分，60分）1.已知关于x的一元二次方程x2-2kx+12k2-2=0. 求证:不论k为何值,方程总有两不相等实数根.2、已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，当m取最大值时，求该一元二次方程的根．3. m为任意实数，试说明关于x的方程恒有两个不相等的实数根。

4、已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0．(1)当m＝3时，判断方程的根的情况；(2)当m＝3时，求方程的根．5、解关于x的方程x2－2mx＋m2－2＝0．6、解关于x的方程(k－1)x2＋(k－2)x－2k＝0．(23 k )参考答案一． 选择题、1.B【解析】065)14(4942>=--=-=∆ac b 由公式法可知解为a b x 2∆±-=2653±-=2． C 【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b 2－4ac 的值的符号就可以了．∵a ＝1，b ＝1，c ＝3，∴△＝b 2－4ac ＝12－4×1×3＝－11＜0，∴此方程没有实数根．故选C ．3. B ．【解析】 方程①的判别式△=4-12=－8，则①没有实数解；②的判别式△=4+12=16，则②有实数解.故选B.二、计算题1. 解：2. 解：3、4、x 2－2x －2＝0， ∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝(－2)2－4X1×(－2)－12＞0，∴2222x ±±==11x =+11x =-5、原方程可化为3x 2＋4x ＋1＝0，∵a ＝3，b ＝4，c ＝1，∴b 2－4ac ＝42－4×3×1＝4＞0，6、2x 2－4x ＋5＝0，∵a ＝2，b ＝－4，c ＝5，∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×2×5＝－24＜0，∴该方程没有实数根．三、解答题1、(1)Δ=2k 2+8>0, ∴不论k 为何值,方程总有两不相等实数根.2、根据根的判别式的意义可得△＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以m 的最大值为1，此时方程为x 2＋2x ＋1＝0，然后运用公式法解方程．解：∵关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，∴△＝4－4m ≥0，∴m ≤1，∴m 的最大值为1，当m ＝1时，一元二次方程变形为x 2＋2x ＋1＝0，解得x 1＝x 2＝1．3、()[]()[]()1253755103710334142222222++=+-++=++=+---=-m m m m m m m ac b∵不论m 取任何实数，总有∴不论m 取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根4、(1)当m ＝3时，△＝b 2－4ac ＝22－4×3＝－8＜0，∴原方程无实数根.(2)当m ＝－3时，原方程变形为x 2＋2x －3＝0.∵b 2－4ac ＝4＋12＝16，2122x -±==-±， ∴x 1＝1，x 2＝－3.5、解：∵a ＝1，b ＝－2m ，c ＝m 2－2，∴()222212m b m x m a --±-±±====±⨯∴1x m =+2x m =-6、当k ＝1时，原方程为－x －2＝0，∴x ＝－2．当k ≠1时，∵a ＝k －1，b ＝k －2，c ＝－2k ，∴b 2－4ac ＝(k －2)2－4(k －1)(－2k)＝9k 2－12k ＋4＝(3k －2)2≥0，∴x =，∴11k x k =-，22x =-。

2.2 一元二次方程的解法(4)A 练就好基础 基础达标1．方程x 2－2x －2＝0的根的情况是( C )A ．有两个相等实数根B ．无实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定2．下列一元二次方程中，无实数根的方程是( B )A ．x 2－3x ＋1＝0B ．(2x －1)2＋1＝0C ．x 2－2x ＋1＝0D ．x (x ＋1)＝33．如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是( A )A ．b 2－4ac ≥0B ．b 2－4ac ≤0C ．b 2－4ac ＞0D ．b 2－4ac ＜04．一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根中较大的根是( B )A ．1＋ 5 B.1＋52C.1－52D.－1＋525．已知关于x 的一元二次方程mx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(D ) A ．m ＜－1 B ．m ＞1C ．m ＜1且m ≠0D ．m ＞－1且m ≠06．方程2x 2＋3x －2＝0中，b 2－4ac7．方程2x 2－6x －1＝0的负数根为2．8. 如果关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0(m 为常数)有两个相等的实数根，那么m ＝__1__．9．用公式法解方程：(1)x 2＋4x －1＝0；(2)5x 2－ 5x －6＝0.解：(1)∵a ＝1，b ＝4，c ＝－1，b 2－4ac ＝42－4×1×(－1)＝20>0，∴x ＝－b ±b 2－4ac2a ＝－4±202，∴x ＝－2± 5， 即x 1＝－2＋ 5，x 2＝－2－ 5.(2)∵a ＝5，b ＝－ 5，c ＝－6，b 2－4ac ＝5－4×5×(－6)＝125>0，∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝5±5510，∴x 1＝355，x 2＝－255.10．用你喜欢的方法解下列方程：(1)x 2＋3x －4＝0；(2)2x 2＋5x ＝3；(3)x (x ＋1)＝1；(4)2＋y (1－3y )＝y (y －3)．【答案】 (1)x 1＝1，x 2＝－4(2)x 1＝12，x 2＝－3(3)x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(4)y 1＝1＋32，y 2＝1－32B 更上一层楼 能力提升11．已知关于x 的方程kx 2＋(1－k )x －1＝0，下列说法中正确的是( C )A ．当k ＝0时，方程无解B ．当k ＝1时，方程有一个实数解C ．当k ＝－1时，方程有两个相等的实数解D ．当k ≠0时，方程总有两个不相等的实数解12．我们知道方程x 2－x －6＝0的解是x 1＝3，x 2＝－2，现给出另一个方程(x －1)2－(x －1)－6＝0，它的解为( C )A ．x 1＝3，x 2＝－2B ．x 1＝2，x 2＝－3C ．x 1＝4，x 2＝－1D ．x 1＝2，x 2＝－113．若a ，b ，c 为三角形三边长，则关于x 的一元二次方程14x 2＋(a －b )x ＋c 2＝0的根的情况是( B ) A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定【解析】 ∵14x 2＋(a －b )x ＋c 2＝0，∴Δ＝b 2－4ac ＝(a －b )2－4×14×c 2＝(a －b )2－c 2＝(a －b －c )(a －b ＋c )．∵a ，b ，c 为三角形三边长，∴b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ，∴a －b －c ＜0，a －b ＋c ＞0，∴(a －b －c )(a －b ＋c )＜0，即一元二次方程14x 2＋(a －b )x ＋c 2＝0无实数根．故选B.14．关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)写出一个满足条件的m 的值，并解此方程．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2－1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m ＋1)2－4×1×(m 2－1)＝4m ＋5＞0，解得m ＞－54.(2)m ＝1，此时原方程为x 2＋3x ＝0，即x (x ＋3)＝0，解得x 1＝0，x 2＝－3.(答案不唯一)C 开拓新思路 拓展创新15．判断下列给出的三个命题是否正确，并说明理由．(1)若a 2－5a ＋5＝0，则（1－a ）2＝a －1；(2)若方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根中有且只有一个根为0，则p ≠0，q ＝0；(3)若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋2＝0有实数根，则整数m 的最大值为1.解：(1)1－a ＜0，结论正确．(2)方程有一个根为0，代入后得q ＝0，若方程另一个根不为0，则p ≠0，结论正确．(3)由题意，得m －1≠0，且Δ＝4－4(m －1)×2＝12－8m ≥0，∴m ≤32且m ≠1，∴整数m 的最大值为0，∴结论不正确．16．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a＋c)×(－1)2＋2b×(－1)＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形．(2)△ABC是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．(3)x1＝0，x2＝－1.。

2.2一元二次方程的解法（4）一、选择题1. (2014 陕西省) 若x = -2 是关于x 的一元二次方程x 2-52ax +a 2=0的一个根，则a 的值为（ ）A ．1或4B ． -1或-4C ． -1或4D ．1或 -42. (2014 宁夏回族自治区) 一元二次方程2210x x --=的解是（ ）A ．121==x x Ｂ．211+=x ，212--=xＣ．211+=x ，212-=x Ｄ．211+-=x ，212--=x3. (2014 云南省) 一元二次方程220x x --=的解是A. 121,2x x ==B. 121,2x x ==-C. 121,2x x =-=-D. 121,2x x =-=4. (2014 山东省淄博市) 一元二次方程06222=-+x x 的根是（ ）A ．221==x xB ．01=x ，222-=x C ．21=x ，232-=x D ．21-=x ，232=x 二、填空题5. (2011 黑龙江省绥化市) 一元二次方程2470a a --=的解为_____________．6. (2013 山东省滨州市) 一元二次方程2x 2－3x +1=0的解为______________．7. (2013 四川省广安市) 方程2320x x -+=的根是_________________.8. (2013 浙江省温州市) 方程0122=--x x 的解是__________．9. (2014 湖南省岳阳市) 方程x 2－3x +2=0的根是 ．三、计算题10. (2011 湖北省武汉市) 解方程：2310.x x ++=11. (2012 江苏省无锡市) 解方程：2420-+=；x x参考答案一、选择题1. B2. C3. D4. C ．二、填空题5. 12a =22a =6. x 1=1，x 2=127. 12x x ==或8. 1211x x == 9. 1，2三、计算题10. 解：∵1,3, 1.a b c === ∴24941150b ac ∆=-=-⨯⨯=>∴x =∴12x x ==11. 解：∆＝244128-⨯⨯=，x ∴=122x x ∴==初中数学试卷。