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全品培优-华师九上-第22章

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第22章二次根式22．1二次根式专题一与二次根式有关的规律探究题1．将1、2、3、6按下图方式排列．若规定(m，n)表示第m排从左到右第n个数，则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是() A．1 B．2 C．2 3 D．62．观察下列各算式：①2×4×6×8＋16＝(2×8)2＋16＝16＋4＝20；②4×6×8×10＋16＝(4×10)2＋16＝40＋4＝44；③6×8×10×12＋16＝(6×12)2＋16＝72＋4＝76；④8×10×12×14＋16＝(8×14)2＋16＝112＋4＝116；…(1)根据以上规律计算：2006×2008×2010×2012＋16；(注意计算技巧哦！)(2)请你猜想2n 2n＋2)(2n＋4)(2n＋6)＋16的结果．(用含n的式子表示)3．(2011·珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2(其中a 、b 、m 、n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn .这样小明就找到了一种把部分a ＋b 2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝________，b ＝________；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：________＋________3＝(________＋________3)2；(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值．专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4．把()a －b －1a －b化成最简二次根式正确的结果是( ) A.b －a B.a －b C ．－a －b D ．－b －a5．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a 2－b 2－(a －b )2＝________.答案1．D [解析]从图示中知道，(4,2)所表示的数是 6.∵前20排共有1＋2＋3＋4＋…＋20＝210个数，∴(21,2)表示的是第210＋2＝212个数．∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现，212÷4＝53，∴(21,2)表示的数是 6.∴(4,2)与(21,2)表示的两数之积是6×6＝6. 2．解：(1)原式＝(2006×2012)2＋16＝2006×2012＋4＝4036076. (2)原式＝[]2n ×(2n ＋6)2＋16＝2n ×(2n ＋6)＋4＝4n 2＋12n ＋4.3．解：(1)∵a ＋b 3＝(m ＋n 3)2， ∴a ＋b 3＝m 2＋3n 2＋2mn 3， ∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn . 故答案为m 2＋3n 2,2mn .(2)答案不唯一，如设m ＝1，n ＝1， ∴a ＝m 2＋3n 2＝4，b ＝2mn ＝2. 故答案为4、2、1、1. (3)由题意，得：a ＝m 2＋3n 2,4＝2mn ， ∵m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或者m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13. 4．D [解析]因为a －b <0, 所以()a －b －1a －b＝－－1a －b()a －b 2＝－b －a . 5．－2b [解析]由图可知a <0，b >0，|a |＞|b |, 所以a 2－b 2－(a －b )2＝－a －b ＋a －b ＝－2b .22．2 二次根式的乘除法专题 二次根式分母有理化的应用1．若x ＝45－1，y ＝5＋1，则( )A ．x 、y 互为倒数B ．x 、y 互为相反数C ．x 、y 相等D ．x 、y 互为负倒数 2．按要求解决下列问题： (1)化简下列各式： 21＝________，82＝________，183＝________，505＝________，… (2)通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．3．计算：(1)30×32223÷2212；(2)2b ab 5÷6a b 2b a ×⎝⎛⎭⎫－32a 3b (a ，b >0)．答案1．C [解析]先将x 分母有理化，得x ＝4()5＋1()5－1()5＋1＝5＋1，这样就一目了然了．故选C.2．[解析]将二次根式进行分母有理化，通过(1)观察得出规律． 解：(1)2 42 63 10 5(2)由(1)中各式化简情况可得2n 2n ＝2n n .证明如下：2n 2n ＝2n 2n n ·n ＝2n 2nn＝2n n .3．[解析]二次根式乘除的混合运算与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行． 解：(1)原式＝30×6÷10 ＝18＝32. (2)原式＝2b ab ÷6b2ab ×⎝⎛⎭⎫－3a 2ab ＝b 33×⎝⎛⎭⎫－3a2ab ＝－ab 32ab .22．3 二次根式的加减法专题一 用简便方法解决二次根式运算1．(5－3＋2)(5－3－2)．2．计算：11＋2＋12＋3＋13＋4＋14＋5＋15＋6.3.⎝⎛⎭⎫a 2n m －ab m mn ＋n m m n ÷a 2b 2nm(m >0)． 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b －ab a ＋b ÷a ab ＋b ＋bab －a －a ＋b ab(a ≠b )．专题二 整体思想在二次根式的化简求值中的应用5．已知x ＝3＋23－2，y ＝3－23＋2，求x 3－xy 2x 4y ＋2x 3y 2＋x 2y 3的值．6．当x ＝1－2时，求x x 2＋a 2－x x 2＋a 2＋2x －x 2＋a 2x 2－x x 2＋a 2＋1x 2＋a 2的值．答案1．[解析]将5－3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 解：原式＝(5－3)2－(2)2 ＝5－215＋3－2 ＝6－215.2．[解析]对每个根式都进行分母有理化解：原式＝2－1＋3－2＋4－3＋5－4＋6－5 ＝6－1.3．[解析]先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 解：原式＝⎝⎛⎭⎫a 2n m －ab m mn ＋n m m n ·1a 2b2m n＝1b 2n m ·m n －1mab mn ·m n ＋n ma 2b2m n ·m n＝1b 2－1ab ＋1a 2b 2 ＝a 2－ab ＋1a 2b 2.4. [解析]本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 解：原式＝a ＋ab ＋b －ab a ＋b ÷a a (a －b )－b b (a ＋b )－(a ＋b )(a －b )ab (a ＋b )(a －b )＝a ＋b a ＋b ÷a 2－a ab －b ab －b 2－a 2＋b 2ab (a ＋b )(a －b )＝a ＋b a ＋b ·ab (a －b )(a ＋b )－ab (a ＋b) ＝－a ＋b .5．[解析]先将已知条件化简，再将所求分式化简，最后将已知条件代入求值． 解：∵x ＝3＋23－2＝(3＋2)2＝5＋2 6. y ＝3－23＋2＝(3－2)2＝5－26， ∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1，∴x 3－xy 2x 4y ＋2x 3y 2＋x 2y 3 ＝x (x ＋y)(x －y)x 2y (x ＋y)2＝x －y xy (x ＋y) ＝461×10＝256. [点评]本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”的值．从而使求值的过程更简捷．6．[解析]注意：x 2＋a 2＝(x 2＋a 2)2，∴x 2＋a 2－x x 2＋a 2＝x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )，x 2－x x 2＋a 2＝－x (x 2＋a 2－x )． 解：原式＝x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )－2x －x 2＋a 2x (x 2＋a 2－x)＋1x 2＋a 2＝x 2－x 2＋a 2(2x －x 2＋a 2)＋x (x 2＋a 2－x )x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝x 2－2x x 2＋a 2＋(x 2＋a 2)2＋x x 2＋a 2－x 2x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝(x 2＋a 2)2－x x 2＋a 2x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )＝x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x ) ＝1x. 当x ＝1－2时，原式＝11－2＝－1－ 2. [点评]本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝x x 2＋a 2(x 2＋a 2－x )－2x －x 2＋a 2x (x 2＋a 2－x )＋1x 2＋a 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1x 2＋a 2－x －1x 2＋a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋a 2－x －1x ＋1x 2＋a 2＝1x.。

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【培优提高训练】华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析(教师用))

【培优提高训练】华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析(教师用))

【培优提高训练】华师大版九年级数学上册第22章一元二次方程典型例题解析一、解答题1.已知关于x的方程a(1−x2)+2bx+c(1+x2)=0有两个相等的实数根,试证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

【答案】证明：a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0去括号，整理为一般形式为：（c-a）x2+2bx+a+c=0，∵关于x的一元二次方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根。

∴△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，∴b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2。

∴以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

【考点】根的判别式【解析】【解答】先把方程变为一般式：（c-a）x2+2bx+a+c=0，由方程有两个相等的实数根，得到△=0，即△=（2b）2-4（c-a）（a+c）=4（b2+c2-a2）=0，则有b2+c2-a2=0，即b2+c2=a2，根据勾股定理的逆定理可以证明以a、b、c为三边的三角形是直角三角形。

【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和勾股定理的逆定理等知识。

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根。

2.在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．【答案】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣x）（20﹣x）=540，解得：x1=2，x2=50（不合题意，舍去），答：道路的宽是2m．【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】根据题意使草坪的面积为540m2和矩形面积公式，得到等式，求出道路的宽的值；注意要符合实际情况.3.如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2 √3cm2？【答案】解：设经过xs △PCQ 的面积是2 √3 cm 2 ， 由题意得12 （6﹣x ）× √32 x=2 √3 解得：x 1=2，x 2=4，答：经过2s 或4s △PCQ 的面积是2 √3 cm 2 ．【考点】一元二次方程的应用【解析】【分析】设经过xs △PCQ 的面积是2√3cm 2 ，由三角形的面积=12底×高=12×CP ×CP 边上的高=2√3；列方程即可求解。

华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程 含答案

华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程 含答案

华师大版九年级上册数学第22章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、用配方法解方程x2﹣2x﹣2＝0，原方程应变形为( )A.( x+1) 2＝3B.( x﹣1) 2＝3C.( x+1) 2＝1D.( x﹣1) 2＝12、目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A.438（1+x）2=389B.389（1+x）2=438C.389（1+2x）2=438 D.438（1+2x）2=3893、一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.9B.12C.13D.9或124、用配方法解一元二次方程时，可配方得（）A. B. C. D.5、某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A. B. C.D.6、用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（）A.20B.40C.100D.1207、下列关于x的一元二次方程有实数根的是( )A.x 2+2=0B.2x 2+x+1=0C.x 2-x+3=0D.x 2-2x-1=08、下列关于x的方程中，一定有实数解的是（）A. =-1B. =xC. +mx﹣1=0D. =9、设x1， x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x1+x2的值是（）A.5B.﹣5C.3D.﹣310、设a，b为整数，方程的一根是，则的值为（）A.2B.0C.-2D.-111、一元二次方程的常数项是（）A.﹣4B.﹣3C.1D.212、已知关于x的一元二次方程x²－kx－4＝0的一个根为2，则另一根是（）A.4B.1C.－2D.213、一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.不能确定14、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A.6B.5C.4D.315、已知☉O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2-4x-12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定二、填空题(共10题，共计30分)16、商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数k（0≤k≤1）确定实际销售价格为c＝a+k（b﹣a），这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k 恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于________．17、某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，那么根据题意可列关于x的方程是________18、已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两根分别为-1和2，则=________．19、已知方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为________．20、若0是关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4=0的一个根，则k=________．21、若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.22、如果代数式3x2﹣6的值为21，那么x的值为________．23、如果方程的两个根分别是和，那么________．24、某厂工业废气年排放量为450万立方米，为了改善上海市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是________．25、关于x的方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有实数根，则偶数m的最大值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：x2+10x+9＝0.27、某市为落实房地产调控政策，加快了廉租房的建设力度．第一年投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，累计连续三年共投资9.5亿元人民币建设廉租房.设每年投资的增长率均为．(1)求每年投资的增长率；(2)若每年建设成本不变，求第三年建设了多少万平方米廉租房．28、现有九张背面一模一样的扑g牌，正面分别为：红桃A、红桃2、红桃3、红桃4、黑桃A、黑桃2、黑桃3、黑桃4、黑桃5．（1）现将这九张扑g牌混合均匀后背面朝上放置，若从中摸出一张，求正面写有数字3的概率是多少？（2）现将这九张扑g牌分成红桃和黑桃两部分后背面朝上放置，并将红桃正面数字记作m，黑桃正面数字记作n，若从黑桃和红桃中各任意摸一张，求关于x 的方程mx2+3x+=0有实根的概率．（用列表法或画树形图法解，A代表数字1）29、已知、是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，求的值.30、将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的容积是400cm3，求原铁皮的边长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、B4、B5、D6、D7、A8、C9、B10、C11、A12、C13、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、30、。

华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程 含答案

华师大版九年级上册数学第22章 一元二次方程 含答案

华师大版九年级上册数学第22章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、教师节期间，某校数学组教师向本组其他教师各发一条祝福短信.据统计，全组共发了240条祝福短信，如果设全组共有名教师，依题意，可列出的方程是（）A.x(x+1)=240B.x(x-1)=240C.2x(x+1)=240D. x(x-1)=2402、若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是( )A. B. 且 C. D.3、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）A.100（1+x）2=81B.100（1﹣x）2=81C.100（1﹣x%）2=81 D.100x 2=814、一元二次方程的一个根是，则另一个根是（）A.-3B.-1C.2D.35、下列方程中，是一元二次方程的是（）A. B. C. D.xy-3=56、如果，则x的值为（）A.±1B.±2C.0或2D.0或-27、方程x2﹣2（x+2）（x﹣4）=10化为一般形式为（）A.x 2﹣4x﹣6=0B.x 2+2x+14=0C.x 2+2x﹣14=0D.x 2﹣2x+14=08、直线y＝kx+4与函数y＝的图象有且只有一个公共点，则k的值为（）A.2B.﹣2C.﹣1D.±29、下列方程：⑴﹣x2+2=0；（2）2x2﹣3x=0；（3）﹣3x2=0；（4）x2+ =0；（5）+5x=0；（6）2x2﹣1=2（x﹣2）（x+1）+5x中一元二次方程有（）A.2个B.3个C.4个D.5个10、，则（）A.4B.2C.4或－2D.4或211、方程2x（x+6）=5（x+6）的解为（）A.x=﹣6B.x=C.x1=﹣6，x2= D.x1=6，x2=﹣12、关于x的方程x2+kx+k=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A.4B.0C.0，4D.0，-413、用配方法解一元二次方程x2-4x-9=0，可变形为( )A.(x-2) 2=9B.(x-2) 2=13C.(x+2) 2=9D.(x+2) 2=1314、目前，支付宝平台入驻了不少的理财公司，推出了一些理财产品.李阿姨用10000元本金购买了一款理财产品，到期后自动续期，两期结束后共收回本息10926元设此款理财产品每期的平均收益率为x，则根据题意可得方程（）A. B. C.D.15、方程3x（x-4）=4（x-4）的根为（）A.x=B.x=4C.x1= ，x2=4 D.全体实数二、填空题(共10题，共计30分)16、如图,在长为40m、宽为22m的矩形地面内,修筑两条同样宽且互相垂直的道路（阴影部分）,余下的铺上草坪,要使草坪的面积达到760m2，如果设道路的宽为xm,则可列方程为：________.17、一个三角形的两边长分别为4cm和7cm，第三边长是一元二次方程x2﹣10x+21=0的实数根，则三角形的周长是________cm．18、方程的根为________ ．19、若m、n是一元二次方程x2+3x﹣2021＝0的两个实数根，则2m+2n+mn的值为________.20、某种品牌的手机经过十一、十二月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x，根据题意列出的方程是________．21、设x1、x2是方程x2﹣x﹣2017＝0的两实数根，则x12+x1x2+x2﹣2＝________．22、若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为________（写出一个即可）．23、关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值是________．24、已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________.25、一元二次方程2x2﹣4x+1＝0________实数根（填“有”或“无”）三、解答题(共5题，共计25分)26、解方程：．27、解方程：x2﹣6x﹣1=0．28、如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A1B1C1D1．试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原来正方形面积的，请说明理由．（写出证明及计算过程）29、张先生前年在美美家园住宅小区订购了一套住房，图纸如图所示。

全品培优-华师九上-第22章

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第22章 一元二次方程22．1 一元二次方程22．2 一元二次方程的解法专题一 一元二次方程根的判别式与三角形形状1．已知a 、b 、c 是三角形ABC 的三边长，且方程(c －b )x 2＋2(b －a )x ＋a －b ＝0有两个相等的实数根，那么这个三角形的形状如何？2．设a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，且方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0.(1)求证：△ABC 为等边三角形；(2)若a 、b 为方程x 2＋mx －3m ＝0的两根，求m 的值．3． 已知：a 、b 、c 为△ABC 的三边长，当m >0时，关于x 的方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )axm 2 ＝0有两个相等的实数根．求证：△ABC 为直角三角形．专题二 一元二次方程根的判别式与韦达定理的综合运用4．已知关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0. (1)求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设x 1、x 2是方程的两根，且x 21－2kx 1＋2x 1x 2＝5，求k 的值．5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－4＝0的两个实数根．(1)求证：不论m 取何值时，方程总有实数根；(2)若x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8，求m 的值．6．已知关于x 的方程x 2－(m －2)x －m 24＝0. (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异的实数根；(2)若这个方程的两个实数根x 1、x 2满足||x 1＝||x 2＋2，求m 的值及相应的x 1、x 2.答案1．解：(2b －2a )2－4(a －b )(c －b )＝0，4a 2－4ab －4ac ＋4bc ＝0，(a －b )(a －c )＝0，∴a ＝b 或a ＝c ，∴△ABC 是等腰三角形．2．解：(1)证明：方程x 2＋2bx ＋2c －a ＝0有两个相等的实数根，∴(2b )2－4×(2c －a )＝0，即a ＋b ＝2c .方程3cx ＋2b ＝2a 的根为0，则2b ＝2a ，a ＝b ，∴2a ＝2c ，a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，故△ABC 为等边三角形．(2)∵a 、b 相等，∴x 2＋mx －3m ＝0有两个相等的实根，∴m 2＋4×1×3m ＝0，解得m 1＝0，m 2＝－12.∵a 、b 为正数，∴m 1＝0(不合题意，合去)，故m ＝－12.3．证明：整理原方程c (x 2＋m )＋b (x 2－m )－2max ＝0.得cx 2＋cm ＋bx 2－bm －2max ＝0，(c ＋b )x 2－2max ＋cm －bm ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴(－2ma )2－4(c ＋b )(cm －bm )＝0，4ma 2－4(c 2m －bcm ＋bcm －b 2m )＝0，ma 2－c 2m ＋b 2m ＝0，∴m (a 2＋b 2－c 2)＝0.又∵m >0，∴a 2＋b 2－c 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2.又∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴△ABC 为直角三角形．4．[解析] (2)中给出的条件是一个方程两根的非对称式，要求k 的值，需设法建立起关于k的方程，直接利用根与系数的关系比较困难，而此时利用方程根的定义，就可找到突破口．解：(1)略(2)∵x 1是方程x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的一个根， ∴x 21－2kx 1＋12k 2－2＝0， ∴x 21－2kx 1＝2－12k 2.又∵x 1、x 2是x 2－2kx ＋12k 2－2＝0的两个根， 由根与系数的关系得：x 1·x 2＝12k 2－2， ∴2－12k 2＋2⎝⎛⎭⎫12k 2－2＝5， ∴k 2＝14，∴k ＝±14.5．[解析](2)中同样给出的条件是一个方程两根的非对称式，仍需建立起关于k 的方程．解：方法一：类似上题的解法，可以解得：m ＝±1.方法二：利用一元二次方程的求根公式，可以求出两个根为：m ＋2和m －2，把它们分别代人x 21＋2mx 1＋4mx 2＝3m 2＋8中，可以得到一个关于m 的的方程：m 2－1＝0，∴m ＝±1.6．[解析](2)中给出的是带有绝对值的两根关系式，不太容易着手．如何建立关于m 的方程呢？解：(1)略(2)由||x 1＝||x 2＋2得||x 1－||x 2＝2，两边平方得x 21＋x 22－2||x 1·||x 2＝4，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2－2||x 1·||x 2＝4.∵x 1·x 2＝－m 24≤0， ∴||x 1·||x 2＝||x 1·x 2＝m 24， ∴m 2－4m ＝0，∴m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，两根为0和－2；当m ＝4时，两根为1＋5和1－ 5.22．3实践与探索专题一元二次方程在方案设计中的应用1．有100米长的篱笆材料，想围成一个矩形露天仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵长为50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米，宽10米的矩形仓库，但面积只有400平方米，不合要求，现请你设计矩形仓库的长和宽，使它符合要求．2．顾客李某于今年“五·一”期间到电器商场购买空调，与营业员有如下的一段对话：顾客李某：“A品牌的空调去年“国庆”期间价格还挺高，这次便宜多了，一次降价幅度就达到19%，是不是质量有问题？”营业员：“不是一次降价，这是第二次降价，今年春节期间已经降了一次价，两次降价的幅度相同．我们所销售的空调质量都是很好的，尤其是A品牌系列空调的质量是一流的”．顾客李某：“我们单位的同事也想买A品牌的空调，有优惠政策吗？”营业员：“有，请看《购买品牌系列空调的优惠办法》”．以上对话和A品牌系列空调销售的优惠办法，请你回答下列问题：(1)求A品牌系列空调平均每次降价的百分率？( 2)请你为顾客李某决策，选择哪种优惠更合算，并说明为什么？答案1．[解析]由于符合要求的设计方案不唯一，可以有多个设计．方案一：设计为矩形(长和宽均用材料)；方案二：设计为正方形；方案三：利用旧墙的一部分；方案四：利用整个旧墙(50米)．解：(1)如果设矩形的宽为x米，则用于长的材料为(50－x)米，这时面积为S＝x(50－x)，当S＝600时，x(50－x)＝60，整理得x2－50x＋600＝0，解得x1＝20，x2＝30.(2)根据在周长相等的条件下，正方形的面积大于长方形的面积，所以可设计所正方形仓库，它的边长为x米．则4x＝100，x＝25，这时面积达625平方米，符合要求．(3)如果利用场地的旧墙，取矩形的长与旧墙平行，设与墙垂直的边长为x米，则另一边长为(100－2x)米．∵旧墙长50米，∴100－2x≤50，即x≥25米．若S＝600平方米，则x(100－2x)＝600，整理得x2－50x＋300＝0，解得x1＝25＋513，x2＝25－513.∴利用旧墙，可取矩形垂直于旧墙的边长为25＋513米(或约43米)，另一边长约14米时，符合要求．(4)如果充分利用旧墙，即矩形一边长是50米旧墙时，用100米材料围成矩形仓库，则矩形另一边长为25米，这时矩形面积为S＝50×25＝1250(平方米)，即面积可达到1250平方米，符合设计要求．2．解：(1)设A品牌系列空调平均每次降价的百分率为x，原价为a，根据题意，得a(1－x)2＝a(1－19%)，解得x1＝1.9(不合题意，舍去)，x2＝0.1＝10%.(2)若顾客李某现在要买的A品牌系列空调的某一型号的价格为每台x元，按照优惠方案一每台需支付y1元，按照优惠方案二每台需支付y2元，则y1＝0.95x＋90，y2＝0.98x，当y1＞y2时，x＜3000(元)，此时应选方案二；当y1＝y2时，x＝3000(元)，此时选两种方案都一样；当y1＜y2时，x＞3000(元)，此时应选方案一．答：(1)A品牌系列空调平均每次降价的百分率为10%；(2)当A品牌系列空调某一型号的价格小于3000元/台时，应选方案二；当A品牌系列空调某一型号的价格为3000元/台时，两种方案都可以选；当A品牌系列空调某一型号的价格大于3000元/台时，应选方案一．。