浙教版七年级下因式分解

第八讲 因式分解思维导图重难点分析重点分析：1.因式分解的实质是多项式的恒等变形，是将多项式转化为几个整式的积的形式，和整式乘法是互逆关系.2.提取公因式法是因式分解的基本方法，关键在于找公因式.找公因式的方法是：一看系数，二看相同的字母或因式.3.平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）；完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2是常用的两个公式，平方差公式适用于二项式，完全平方公式适用于三项式.4.因式分解的一般步骤：（1）若多项式有公因式，先提取公因式；（2）若多项式没有公因式，对于二项式，可以考虑应用平方差公式；对于三项式可以考虑应用完全平方公式或十字相乘法［x 2+（a+b ）x+ab=（x+a ）（x+b ）］；（3）当多项式不能应用公式或者项数多于三项时，也就是既没有公因式也不能用公式分解时，可以尝试用分组分解法，项数较少时可通过拆项或添项后再分组.难点分析：1.因式分解的对象是多项式.2.因式分解的两种常见错误：一是“提不净”，即有公因式没提干净；二是“分不清”，即分解不彻底，因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止.3.十字相乘法和分组分解法虽然是课本上不作要求的方法，但对于整式的变形有很大的作用，建议学会这两种方法.4.配方法、换元法、待定系数法、求根法、拆（添）项法等都是因式分解的常用方法.例题精析例1、下列从左到右的变形：①15x 2y=3x·5xy；②（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；③a 2-2a+1=（a-1）2；④3x 3-6x 2+4=3x 2（x-2）+4；⑤a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)，其中是因式分解的个数是（ ）. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨：因式分解就是把多项式分解成几个整式的积的形式，根据定义即可进行判断.①⑤分解的对象不是多项式，所以不是因式分解；②是整式的乘法；④没有完全分解成整式的乘积形式；只有③是因式分解.参考答案：B方法归纳：因式分解的几个特点：（1）“和差化积”，即等式右边是整式的乘积形式；（2）分解的对象是多项式；（3）恒等变形，即等式两边恒相等.易错误区：注意a 2-21b =(a+b 1)(a-b1)虽然是利用平方差公式将代数式分解成乘积形式，但由于分解的对象不是多项式，所以不能称为因式分解.例2、分解因式：（1）-4+x2；（2）-4x2y+4xy2-y3；（3）9（a-b）2-4（a+b）2；（4）3a2+bc-3ac-ab；（5）16x4-8x2y2+y4.思路点拨：（1）交换两个加数的位置，即可运用平方差公式；（2）提取公因式-y，即可运用完全平方公式；（3）首先运用平方差公式，再对括号内的式子进行整理即可；（4）首先要合理分组，再运用提公因式法完成因式分解；（5）先运用完全平方公式因式分解，再运用平方差公式因式分解.解题过程：（1）原式=x2-4=（x+2）（x-2）.（2）原式=-y（4x2-4xy+y2）=-y（2x-y）2.（3）原式=（3a-3b+2a+2b）（3a-3b-2a-2b）=（5a-b）（a-5b）.（4）原式=（3a2-3ac）+（bc-ab）=3a（a-c）-b（a-c）=（3a-b）（a-c）.（5）原式=（4x2-y2）2=（2x+y）2（2x-y）2.方法归纳：本题考查了用公式法、分组分解法分解因式，熟练掌握公式结构是解答本题的关键，合理分组也很重要.易错误区：第（2）题要先提取公因式，第（4）题要合理分组，第（5）题要分解彻底.例3、分解因式：x2-120x+3456.分析：由于常数项数值较大，则采用将x2-120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：原式=x2-2×60x+3600-3600+3456=（x-60）2-144=（x-60+12）（x-60-12）=（x-48）（x-72）.请按照上面的方法分解因式：x2+42x-3528.思路点拨：先把x2+42x-3528转化为x2+2×21x+441-441-3528，因为前三项符合完全平方公式，将x2+2×21x+441作为一组，然后进一步分解.解题过程：原式=x2+2×21x+441-441-3528=（x+21）2-3969=（x+21+63）（x+21-63）=（x+84）（x-42）.方法归纳：本题考查的是用分组分解法分解因式，关键是将原式转化为完全平方的形式，然后分组分解.解题时要求同学们要有构造意识和想象力.易错误区：本题主要方法是配方法，关键是将x2+42x配成完全平方式，配上的数应该是42的一半的平方，不要配成42的平方.例4、阅读下列材料并解答问题：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，即若有a，b两数满足a·b=q 且a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）.例如：分解因式x2+5x+6.解：∵2×3=6，2+3=5，∴x2+5x+6=（x+2）（x+3）.再如:分解因式x2-5x-6.解：∵-6×1=-6，-6+1=-5，∴x2-5x-6=（x-6）（x+1）.同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看.分解因式：（1）x2+7x+12；（2）x2-7x+12；（3）x2+4x-12；（4）x2-x-12.思路点拨：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两个数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）.解题过程：（1）∵3×4=12，3+4=7，∴原式=（x+3）（x+4）.（2）∵（-3）×(-4)=12,-3+(-4)=-7,∴原式=（x-3）（x-4）.（3）∵6×(-2)=-12，6+（-2）=4，∴原式=（x+6）（x-2）.（4）∵（-4）×3=-12，-4+3=-1，∴原式=（x-4）（x+3）.方法归纳：本题考查用十字相乘法分解因式，是x2+（a+b）x+ab型式子的因式分解的应用，应掌握x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.易错误区：注意系数的符号，将常数项分解成两个数的积的时候要将符号考虑周全.例5、阅读下面的材料，解答下列问题：材料1：公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一种基本方法.如对于二次三项式a2+2ab+b2，可以逆用乘法公式将它分解成（a+b）2的形式，我们称a2+2ab+b2为完全平方式.但是对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）.材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1.解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=（A+1）2.再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2.上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把c2-6c+8分解因式；（2）结合材料1和材料2完成下面各题：①分解因式：（a-b）2+2（a-b）+1；②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3.思路点拨：（1）利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案；（2）①直接利用完全平方公式分解因式得出答案；②利用已知结合完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案.解题过程：（1）c2-6c+8=c2-6c+32-32+8=（c-3）2-1=（c-3+1）（c-3-1）=（c-2）（c-4）. （2）①（a-b）2+2（a-b）+1=（a-b+1）2.②设m+n=t，则t（t-4）+3=t2-4t+3=t2-4t+22-22+3=（t-2）2-1=（t-1）（t-3），∴（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）.方法归纳：本题主要考查了用公式法分解因式以及整体换元思想，熟练应用公式是解题关键. 易错误区：完全平方公式是配方的基本公式，特别注意配方是根据a2+2ab+b2来配常数，即若二次项系数是1，则常数项配一次项系数一半的平方，不是一次项系数的平方.探究提升例、分解因式：（1）4x3-31x+15；（2）x3+5x2+3x-9；（3）2a4-a3-6a2-a+2.思路点拨：（1）需把-31x拆项成-x-30x，再分组分解；（2）把x3+5x2+3x-9拆项成（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9），再提取公因式因式分解；（3）先分组分解因式，再用拆项法把因式分解彻底.解题过程：（1）原式=4x3-x-30x+15=x（2x+1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x2+x-15）=（2x-1）（2x-5）（x+3）.（2）原式=（x3-x2）+（6x2-6x）+（9x-9）=x2（x-1）+6x（x-1）+9（x-1）=(x-1)(x2+6x+9)=（x-1）（x+3）2.（3）原式=a3（2a-1）-（2a-1）（3a+2）=（2a-1）（a3-3a-2）=（2a-1）（a3+a2-a2-a-2a-2）=（2a-1）［a 2（a+1）-a （a+1）-2（a+1）］=（2a-1）（a+1）（a 2-a-2）=（a+1）2（a-2）（2a-1）.方法归纳：本题考查用公式法、分组分解法、十字相乘法、提取公因式法等方法进行因式分解，同时都应用了“拆项”、“添项”，所以难度较大.易错误区：本题是通过拆项法因式分解，拆项要围绕因式分解的基本方法进行，主要是为了出现公因式或可以应用公式，不能盲目去拆.走进重高1.【潍坊】将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（）. A.a 2-1 B.a 2+a C.a 2+a-2 D.（a+2）2-2（a+2）+12.【贺州】将m 3（x-2）+m （2-x ）分解因式的结果是 .3.【大庆】已知a+b=3，ab=2，求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值.4.先阅读第（1）题的解答过程，再解答第（2）题.（1）已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式是2x+1，求m 的值.解法一：设2x 3-x 2+m=（2x+1）（x 2+ax+b ），则2x 3-x 2+m=2x 3+（2a+1）x 2+（a+2b ）x+b.比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+m,b 0,2b a -1,12a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.21m ,21b -1,a ∴m=21.解法二：设2x 3-x 2+m=A·（2x+1）（A 为整式）.由于上式为恒等式，为方便计算取x=-21，2×-(21)3-(-21)2+m=0，故m=21.（2）已知x 4+mx 3+nx-16有因式x-1和x-2，求m ，n 的值.高分夺冠1.分解因式：（1）x4-1-4x2-4x；（2）x5+x+1；（3）a2-b2+4a+2b+3.2.因为（x+2）（x-1）=x2+x-2，所以（x2+x-2）÷（x-1）=x+2，这说明x2+x-2能被x-1整除，同时也说明多项式x2+x-2有一个因式为x-1，另外当x=1时，多项式x2+x-2的值为0.利用上述阅读材料求解：（1）已知x-2能整除x2+kx-16，求k的值；（2）已知（x+2）（x-1）能整除2x4-4x3+ax2+7x+b，试求a,b的值.无答案）4.已知x，y为正整数，并且xy+x+y=71，x2y+xy2=880，求3x2+8xy+3y2的值.。

第六章因式分解知识点回顾1、因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法：ma mb mc m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a 2 b2 (a b)(a b) ；完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2(3)十字相乘法：x2 (a b)x ab (x a)(x b)(4)分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

(5)运用求根公式法：若ax2 bx c 0(a 0)的两个根是x1、x2，则有：2ax bx c a(x x1)(x x2 )因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；(2)提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；(3)对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考虑用分组分解法考点一、因式分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

因式分解和整式乘法互为逆运算1、下列从左到右是因式分解的是( )2 2 2A. x(a-b)=ax-bxB. x -1+y =(x-1)(x+1)+y2C. x -1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2、若4a2 kab 9b2可以因式分解为(2a 3b)2，贝U k的值为______________3、已知a为正整数，试判断a2 a是奇数还是偶数？24、已知关于x的二次三项式x mx n有一个因式(x 5)，且m+n=17,试求m , n的值考点二提取公因式法提取公因式法：ma mb mc m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2 、字母是相同字母3、字母的次数- 相同字母的最低次数习题1、将多项式20a3b212a2bc分解因式，应提取的公因式是( )2 2A 、abB 4a bC 4abD 4a beb , e 均为整数，则a+b+e 等于（）A 、-12B -32C 、38D 、723、分解因式4、先分解因式，在计算求值(1) (2x 1)2 (3x 2) (2x 1)(3x 2)2 x(1 2x)(3x 2) 其中 x=1.5 (2) (a 2)(a 2 a 1) (a 2 1)(2 a) 其中 a=18AO O5、 已知多项式 x 4 2012x 2 2011x 2012有一个因式为 x 2 ax 1，另一个因式为x 2 bx 2012，求 a+b 的值6、 若ab 2 1 0，用因式分解法求 ab （a 2b 5 ab 3 b ）的值bc b c ca c a 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。

一■分式知识要点回顾1.因式分解几中常用方法①提取公因式法。

②乘法公式法：a2-b2二a b a-b ；a2_2ab b2二a_b 2。

③分组分解法：ma mb na nb = m a b n a b j i：a b m n。

④十字相乘法：x2・a・bx・ab=x・ax・b。

2.分式的有关概念A A .C A A 十C(1 )分式的基本性质：一=——C或—= --------- (C M0),其中A , B, C均为整式。

B B *C B B + C(2)分式的约分分式的约分依据是分式的基本性质，约去分子和分母中相同因式的最低次幕，约去分子和分母系数的最大公约数。

(3)分式的通分把两个或多个因式通分，先求出各个分式分母的最简公分母，再用分式的基本性质变形，达到通分目的。

(4)分式的运算①分式乘法法则： a c•—=ac - 。

b d bd②分式除法法则： a c / d : _ adb d bc bca c a 二c③分式的加减法：(1)同分母分式相加减：；(2)异分母分式相加减:b b ba c ad bc ad 二bc———= 十 = -------------- 。

b 一d bd bd bd3.分式方程(1)定义：只含分式或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

(2)解分式方程。

温馨提示：(1)在方程两边都乘以最简公分母时，切勿漏项；(2)验根是必要步骤。

二•巩固练习1.解下列分式方程‘ 2 小x 1 -x 2x (2)x_2 x -5x 6 x_3 2 -x , 11 -x -3 3 - x2.因式分解2 2a -6ab 12b 9b -4a x2_ 2xy「xz yz y2x2 -7x 6 x2 4x - 523x -11x 10 2x -11x 242 2x y 「3xy 2 2y -12y-282 2 2 x 4 -16xx 2「4xy _1 4y 2o12a b x-y -4ab y-x3.分式的混合运算(a 2-5a 21) 且-b . a? -a+2b‘ a 2+4ab+4 b 2a 1 a 1a —1 a -2a 1 a亠 a 2 -42 2xr. E y _ 2y打如* x2+6xy+9y £ 时卩2x-6 ,4-4x x 2(x 3)x 2 x -6 3—x其中a=1.4. 化简求值2x 2x -8/ X -2 x 4、—2十(x 3 2x xx x 1a 2「5a 6 a 2 -5a 4 a 「3 T—2 2a —16 a -4 a 41 —x 3 (2)x^ g 厂2)，其中1 x= . 25•计算2 2x -x_2x x-6X2_X_6 X2X_2的结果是6.当m为非负数时，求代数式———3有最大值还是最小值，并求出此最值。

浙教版七下第六章《因式分解》教案一、教学内容本节课选自浙教版七年级下册第六章《因式分解》的第一课时。

主要内容包括：因式分解的意义，提取公因式法，以及应用举例。

具体涉及的教材章节为6.1节。

二、教学目标1. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法进行因式分解的方法。

2. 能够运用因式分解解决一些实际问题，提高数学思维能力。

3. 培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

三、教学难点与重点教学重点：提取公因式法进行因式分解。

教学难点：理解因式分解的意义，以及如何找出多项式中的公因式。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：练习本、草稿纸、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何求解一个多项式的值。

如：计算长方形的面积和周长，引导学生将面积和周长公式中的多项式进行因式分解。

2. 知识讲解（1）因式分解的意义：将一个多项式表示成几个整式的乘积的形式。

（2）提取公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。

3. 例题讲解讲解两道例题，一道为提取公因式的简单例子，另一道为稍微复杂的多项式因式分解。

4. 随堂练习让学生独立完成两道练习题，巩固因式分解的方法。

5. 答疑解惑针对学生在练习中遇到的问题，进行解答和讲解。

六、板书设计1. 因式分解的概念及意义。

2. 提取公因式法进行因式分解的步骤。

3. 两道例题的解答过程。

4. 练习题目及答案。

七、作业设计1. 作业题目：（1）分解因式：6x^2 9x。

（2）分解因式：5a^2 + 10a。

2. 答案：（1）3x(2x 3)。

（2）5a(a + 2)。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了因式分解的基本方法，但部分学生在提取公因式时仍存在困难，需要在今后的教学中加强练习。

2. 拓展延伸：引导学生思考，除了提取公因式法，还有哪些方法可以进行因式分解？为学生学习下一节课的内容做好准备。

重点和难点解析1. 教学难点与重点的明确。