2019年上海市浦东新区高考数学一模试卷(解析版)

上海市2019年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·齐齐哈尔模拟) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）数列的通项公式为，当该数列的前n项和达到最小时，n等于（）A . 24B . 25C . 26D . 274. （2分） (2019高二上·浙江期中) 在中，，，则（）A . -5B . 5C . -25D . 255. （2分） (2019高一上·衢州期末) 函数的图象为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·郸城开学考) 在区间[﹣， ]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·韶关期末) 如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A . 32B . 42C . 52D . 638. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·石嘴山月考) 如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A .B .C .D .10. （2分）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数f（x）满足：①定义域为R；②∀x∈R，都有f（x+2）=f（x）；③当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣|x|+1，则方程f（x）= |x|在区间[﹣3，5]内解的个数是（）A . 5B . 6C . 7D . 812. （2分） (2020高二下·通辽期末) 曲线在点（1, ）处的切线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量 =（k，1）， =（1，0）， =（﹣2，k）．若 + ⊥ ，则k=________．14. （1分）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.15. （1分）已知四面体P- ABC的外接球的球心O在AB上，且平面ABC， ,若四面体P - ABC的体积为，则该球的表面积为________．16. （1分） (2016高一下·大庆期中) 已知函数f（n）=n2sin ），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+…+a2016的值为________三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分）在中，，，，记 .求的值域.18. （10分）(2019·南平模拟) 从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．（ⅰ）利用该正态分布，求；（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间(127．6,140）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．附：．若，则，．19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，平面PCD⊥底面ABCD，E是AB的中点，G为PA上的一点．（1）求证：平面GDE⊥平面PCD；（2）若PC∥平面DGE，求的值．20. （10分） (2016高二下·佛山期末) 已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．21. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2 ．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a∈[4，10]，x1 ，x2∈[1，2]，恒有| |≤ 成立，试求λ的取值范围．22. （10分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，0）的直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．23. （10分） (2017高二下·湘东期末) 已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+2|（1）当a=3时，求不等式f（x）≥7的解集；（2）若f（x）≤x+4的解集包含[1，2]，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

上海市浦东新区2020届高三毕业班一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6.在6(x +的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10.若函数2y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1) 15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y += 16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)2，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点. （1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 4. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149.10. [0,311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分 所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a -=，()t ,a ,a --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a --=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．与所成的角为ϕ，则222ta a t nd cos ++=⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………………3分,,,36T x k k k Z πππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分 （2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分 19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C的焦点为())12,F F ，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算)2F 到直线y x =的距离，1d ==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =((2,,0,AB E F =，t ⇒=当直线:l x t =，直线:0m y =时，t =（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，||AB == …14分 将k 替换成1k -，可得||EF = ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{ ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。

2（2019黄浦一模）. 双曲线2212y x -=的渐近线方程为2（2019奉贤一模）. 双曲线2213y x -=的一条渐近线的一个方向向量(,)d u v =u r ，则u v= 2（2019金山一模）. 抛物线24y x =的准线方程是 2（2019浦东一模）. 抛物线24y x =的焦点坐标为3（2019杨浦一模）. 已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为4（2019静安一模）. 若直线22(273)(9)30a a x a y -++-+=与x 轴平行，则a 的值是4（2019普陀一模）. 若直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点且其一个方向向量为(1,1)d =u r，则直线l 的方程为5（2019徐汇一模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是6（2019崇明一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是6（2019松江一模）. 已知双曲线标准方程为2213x y -=，则其焦点到渐近线的距离为 7（2019闵行一模）. 已知两条直线1:4230l x y +-=和2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离为7（2019崇明一模）. 圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于8（2019虹口一模）. 双曲线22143x y -=的焦点到其渐近线的距离为 8（2019奉贤一模）. 椭圆2214x y t+=上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为9（2019静安一模）. 以两条直线1:20l x y +=和2:350l x y ++=的交点为圆心，并且与直线315x y ++相切的圆的方程是12（2019徐汇一模）. 已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为 12（2019黄浦一模）. 如图，1l 、2l 是过点M 夹角为3π的两条直线，且与圆心 为O ，半径长为1的圆分别相切，设圆周上一点P 到1l 、2l的距离分别为1d 、2d ，那么122d d +的最小值为12. 若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为 12（2019奉贤一模）. 设11(,)A x y ，22(,)B x y 是曲线2224x y x y +=-的两点，则1221x y x y -的最大值是13（2019普陀一模）. 下列关于双曲线22:163x y Γ-=的判断，正确的是（ ） A. 渐近线方程为20x y ±= B. 焦点坐标为(3,0)± C. 实轴长为12 D. 顶点坐标为(6,0)±13（2019金山一模）. 已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A. 2m >或1m <-B. 2m >-C. 12m -<<D. 2m >或21m -<<-13（2019松江一模）. 过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++= C. 220x y -+= D. 210x y --=14（2019静安一模）. 已知椭圆的标准方程为222116x y m+=(0)m >，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ）A. B. C. D. 14（2019青浦一模）. 长轴长为8，以抛物线212y x =的焦点为一个焦点的椭圆的标准方程为（ ）A.2216455x y += B. 2216428x y += C. 2212516x y += D. 221167x y += 16（2019宝山一模）. 设点M 、N 均在双曲线22:143x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则12|2|MF MF MN +-u u u u r u u u u r u u u u r的最小值为（ ）A. B. 4 C. D. 以上都不对16（2019松江一模）. 对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{|(,)1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）A. 36B. 36-C. 36π+D. 36π-16（2019黄浦一模）. 如图，平面直角坐标系中，曲线（实线部分）的方程可以是（ ）A. 22(||1)(1)0x y x y ---+= B.22(1)0x y -+=C. (||1)0x y --=D. 0=18（2019闵行一模）. 已知抛物线2:2y px Γ=（0p ≠）. （1）若Γ上一点(1,)M t 到其焦点的距离为3，求Γ的方程；（2）若2p =，斜率为2的直线l 交Γ于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于点M ，O 为坐标原点，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，求点M 的坐标.18（2019普陀一模）. 已知曲线22:11612x y Γ+=的左、右顶点分别为A 、B ，设P 是曲线Γ上的任意一点.（1）当P 异于A 、B 时，记直线PA 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设点C 满足AC CB λ=u u u r u u u r（0λ>），且||PC 的最大值为7，求λ的值.20（2019宝山一模）. 已知椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点为1F 、2F .（1）求以1F 为焦点，原点为顶点的抛物线方程； （2）若椭圆Γ上点M 满足123F MF π∠=，求M 的纵坐标M y ；（3）设(0,1)N ，若椭圆Γ上存在两不同点P 、Q 满足90PNQ ∠=︒，证明直线PQ 过定点，并求该定点的坐标.20（2019黄浦一模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=. （1）若抛物线C 的焦点与Γ的焦点重合，求C 的标准方程；（2）若Γ的上顶点A 、右焦点F 及x 轴上一点M 构成直角三角形，求点M 的坐标； （3）若O 为Γ的中心，P 为Γ上一点（非Γ的顶点），过Γ的左顶点B ，作BQ ∥OP ，BQ 交y 轴于点Q ，交Γ于点N ，求证：22BN BQ OP ⋅=u u u r u u u r u u u r .20（2019奉贤一模）. 已知抛物线2y x =上的A 、B 两点满足2OA OB ⋅=u u u r u u u r，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F . （1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；（2）抛物线上是否存在点M ，使得||||MF MO λ=（0λ>），若请说明理由； （3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积最小值时点B 的坐标.20（2019静安一模）. 设0m >，椭圆22:13x y m mΓ+=与双曲线2222:C m x y m -=的焦点相同.（1）求椭圆Γ与双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为1k 、2k 的直线1l 、2l ，分别交双曲线于点P 、Q （P 、Q 不同于右顶点），若121k k =-，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出该定值； （3）设点(0,2)T ，若对于直线:l y x b =+，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l对称，且9410TA TB <⋅<u u r u u r，求实数b 的取值范围.20（2019金山一模）. 已知椭圆C 以坐标原点为中心，焦点在y 轴上，焦距为2，且经过点(1,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）设点(,0)A a ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值()d a ； （3）在（2）的条件下，当01a <<时，设QOA V 的面积为1S （O 是坐标原点，Q 是曲线C 上横坐标为a 的点），以()d a 为边长的正方形的面积为2S ，若正数m 满足12S mS ≤，问m 是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由.20（2019青浦一模）.（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为4，渐近线方程为3y x =±，求双曲线的标准方程；（2）过（1）中双曲线上一点P 的直线分别交两条渐近线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，且P 是线段AB 的中点，求证：12x x ⋅为常数； （3）我们知道函数1y x=图像是由双曲线221x y -=的图像逆时针旋转45°得到的，函数 332y x x =+图像也是双曲线，请尝试写出双曲线332y x x=+的性质（不必证明）.20（2019浦东一模）. 已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）.（1）若(2,3)d =u r 是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若||1PA =，||5PB = ，||2PC =，||4PD =，试求双曲线Γ的方程； （3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.20（2019松江一模）. 已知曲线Γ上的任意一点到两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 的距离之和为22，直线l 交曲线Γ于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）求曲线Γ的方程；（2）若l 不过点O 且不平行于坐标轴，记线段AB 的中点为M ，求证：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若OA OB ⊥，求△AOB 面积的取值范围.20（2019徐汇一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的长轴长为1，直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于A 、B 两点. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，ON =u u u r u u u r ，求k 的值；（3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=u u u r u u u r，当4556λ≤≤时，求△OAB 的面积S 的范围.20（2019杨浦一模）. 如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A 、B ，满足PA 、PB 的中点均在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(,)P P P x y ，(,)M M M x y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线2214y x +=（0x <）上的动点，求△PAB 面积的最小值.20（2019崇明一模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），1B 、2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆左焦点，P 是椭圆上异于点1B 、2B 的点，△112B F B 是边长为4的等边三角形.（1）写出椭圆的标准方程；（2）当直线1PB 的一个方向向量是(1,1)时，求以1PB 为直径的圆的标准方程；（3）设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：△12PB B 与△12RB B 面积之比为定值.20（2019虹口一模）. 设椭圆22:12x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P 、Q .（1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程； （2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点， 求证：点Q 、R 、S 共线；（3）如图2，点T 是直线:2l x =上任意一点，设直线PT 、FT 、QT 的斜率分别为PT k 、FT k 、QT k ，求证：PT k 、FT k 、QT k 成等差数列.。

2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）. 1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝（2，3）．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝5﹣i．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为40 ．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣6 ．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划的运用，考查平移法求最值的方法，数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝﹣1 ．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期性，属于简单题．7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，且S n﹣1+a n﹣1＝2（n≥2），②①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A 在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝ 3 ．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B 上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查古典型概率的求法，注意运用直接法和排除法，考查排列组合数的求法，以及运算能力，属于基础题．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的简单性质和点与点的距离公式，极限的思想，向量的投影，属于中档题．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查对函数分析能力，根据平移对称画出符合函数的图象，采用数形结合法分析问题，以及用平面解析几何的方法进行计算，以及设而不求法的应用．本题是一道较难的中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．【点评】本题考查了直线的方向向量，空间直线的向量，属基础题．14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．【点评】本题考查圆锥的定义，考查圆锥体积的求法，是基础题．15．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．【点评】本题考查三角函数的正切公式，以及方程思想、运算能力，属于基础题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD ＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，0，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．【点评】本题考查了线面角的求法和点到平面的距离，考查了运算求解能力和转化与化归能力，空间想象能力，属于中档题．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：【点评】本题考查的知识要点：分式不等式的解法及应用，分离参数法的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sin A，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BD sin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BC sin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；（2）根据正弦定理可得，，∴sin A＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km【点评】本题主要考查了利用三角函数，正弦定理求解三角形，还考查了基本运算．20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB 的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2（斜率不存在时不满足题意），则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c表示a1+a2+…+a100．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d＝（a1+d）+d ＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m﹣q＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．【点评】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式，考查了逻辑推理能力和计算能力，关键是对新定义的理解，属难题．。

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在6x ⎛⎝的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC △中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ． 9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x -=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅，则1F P与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[,1]U[4,9]A t t t t =+++，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（ ） A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x =D ．cos y x = 14．已知,a b R ∈，则“22a b ＞”是“||||a b ＞”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以()1,0a ，()20,a 为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于()1,0y ，()2,0y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图，在正三棱锥P ABC -中，2,PA PB PC AB BC AC ====== （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）18．已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞＜，求公比q 的取值范围．19．改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年—2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份之间拟合函数6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断()()13d P d P +与()22d P 的关系．21．已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．t数学试卷 第5页（共14页） 数学试卷 第6页（共14页）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学答案解析1.【答案】{3,5}【解析】解：集合{1,2,3,4,5}A =，{356}B =，，，{3,5}A B ∴=．故答案为：{3,5}． 2．【答案】2【解析】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+． 故答案为：2． 3．【答案】{6,4}-【解析】解：由15x +<得515x -<+<，即64x -<<. 故答案为：{6,4}-．4．【答案】1()0)f x x -> 【解析】解：由2(0)y x x =>解得x1()0)f x x -∴=>故答案为1()0)f x x -∴=> 5．【答案】【解析】解：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴=故答案为： 6．【答案】2-【解析】解：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-．故答案为：2-． 7．【答案】15【解析】解：6x ⎛ ⎝展开式的通项为36216r rr T C x -+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15． 8．【解析】解：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =， ∴由3AC =，可得：2BC =，1cosC 4=，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯，∴解得：AB9．【答案】24【解析】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．10．【解析】解：由题意得：点坐标为a ⎫⎪⎪⎭，点坐标为a ⎛ ⎝，11||||23AQ CP a +=，当且仅当a =时，取最小值，11．【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】解：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，椭圆22142x y+=的焦点坐标为(，(，2⨯P Q数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）121F P F P ⋅，2221x y ∴-+≤，结合22142x y +=可得：2[1,2]y ∈故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：(2221222122381cos 31,223F P F Qy y y F P F Q x θ⋅-⎡⎤====-+∈--⎢⎥++⎣⎦⋅故1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故答案为：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．【答案】1或3-【解析】解：当0t >时，当[,1]a t t ∈+时，则[4,9]t t aλ∈++，当[4,9]a t t ∈++时，则[,1]t t aλ∈+，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得=1t ．当104t t +<<+时，当[,1]a t t ∈+时，则[,1]t t aλ∈+．当[4,9]a t t ∈++，则[4,9]t t aλ∈++，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解． 综上，的值为1或3-． 故答案为：1或3-．13．【答案】B【解析】解：A ，2xy =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y [0,)+∞，值域也是[0,)+∞，故B 正确C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1,1]-+，故D错故选：B 14．【答案】C【解析】解：22a b >等价，22|||a b >，得“||||a b >”，∴“22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C 15．【答案】B【解析】解：如图1，可得,,a b c 可能两两垂直； 如图2，可得,,a b c 可能两两相交；t数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）如图3，可得,,a b c 可能两两异面；故选：B 16．【答案】A【解析】解：因为111r a =-21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为12ln ln 0y y +=， 所以121y y =，则()()1212121a a --=， 即12122a a a a =+， 则12112a a +=， 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A17．【答案】解：（1）,M N 分别为,PB BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角， 在PAC △中，由2,PA PC AC ===可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠===⋅AC ∴与MN的夹角为； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心， 连接AO 并延长，交BC 于N ，则32123AN AO AN ===，．PO ∴==11333224P ABC V -∴=⨯=．18．【答案】解：（1）4133315,4a a d d d =+=+=∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+； （2）()31,lim 1n n n n q S S q →∞-=-存在，11q ∴-<<，lim n n S →∞∴存在，11q ∴-<<且0q ≠，()313lim lim11n n n n q S qq→∞→∞-∴==--， 3121q ∴<-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为3(1,0)0,4⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭．19．【答案】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.4200.1136357876.60531200001t e->+，解得50.68t >，数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．【答案】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点8(1,0),1,3F P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得103PF =， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设()1,P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-， 联立1x my =+和24y x=，可得2440y my --=，2Q y m ==+，2()||22P P Q y d P PF y -==22=-=，则存在常数a ，使得2()||d P PF a =+； （3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()132132242d P d p d P PFP F P F ⎡+⎤-=+-=⎣⎦=由()2213131628y y y y ⎡⎤-++=-⎣⎦，()()()()(22222213131313134444840y y y yy y y y y y ++-+=+-=->，则()()()1322d P d P d P +>．21．【答案】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．当120,3a d π==，集合S ⎧⎪=⎨⎪⎪⎩⎭． （2）12a π=，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合{}123,,S b b b =，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，()sin 4sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1,2k ∴= 当1k =时满足条件，此时{,1,1}S =--．③当5T =时，5n n b b +=，()sin 5sin ,52n n n n a d a a d a k π+=+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0,]d π∈，故1,2k =．当1k =时，sin ,1,sin 1010S ππ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，()sin 6sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =．当1k =时，22S =⎨⎪⎪⎩⎭，满足题意．⑤当7T =时，()7,sin 7sin sin n n n n n b b a d a a +=+==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0,]d π∈，故1,2,3k =∴∴∴数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7,7m n m -=>，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意． 综上，3,4,5,6T =．。

⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（ ） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（ ）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1） 求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角； （2） 求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1） 当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集； （2） 若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1） 求 BC 长度；2 （2） 若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1） 若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2） 当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3） 若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1） 若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2） 若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3） 若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。

上海浦东新区2019年高考预测数学（文）试卷及解析【一】填空题〔本大题总分值56分〕本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分. 1、抛物线x y 42=的焦点坐标是_____________.)0,1( 2、复数i z +=11〔其中i 是虚数单位〕，那么z =_____11i 22+ 3、123lim 32n n n n n +→∞+=- 13 .4.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为______.35、假设集合2{560}A x x x =-+≤，集合},02{Z a ax x B ∈=-=，且A B ⊆，那么a =__0或1_.6. 三个球的表面积之比是3:2:1，那么这三个球的体积之比为______1:7.在△ABC 中，假设1=b ,3=c , 32π=∠C ,那么______=∆ABCS .438.实数x 、y 满足不等式组52600x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，那么34z x y =+的最大值是_____. 209、甲、乙两位旅行者体验城市生活，从某地铁站同时搭上同一列车，分别从前方10个地铁站中随机选择一个地铁站下车，那么甲、乙两人不在同一站下车的概率是________.10910、执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，那么输出的P=____.3 11、直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围是___、1m ≤<12、数列{}*(N )n a n ∈，首项156a =，假设二次方程2110n n a x a x +--=的根α、β满足1ααββ-+=，那么数列{}n a 的前n 项和____________=n S .21423n n -+13、函数()f x 的定义域为R ，假设存在常数0m >，对任意x R ∈，有()f x m x ≤，那么称函数()f x 为F -函数.给出以下函数：①2()f x x =；②2()1x f x x =+；③()2x f x =；④()sin 2f x x =.其中是F -函数的序号为 .〔答案：②④〕14、手机产业的发展催生了网络新字“孖”.某学生准备在计算机上作出其对应的图像，其中(2,2)A ，如下图.在作曲线段AB 时，该学生想把函数12,[0,2]y x x =∈的图像做适当变换，得到该段函数曲线.请写出曲线段AB 在[23]x ∈，上对应的函数解析式________.1222y x =-+）【二】选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 15、非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 〔 C 〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件A.如果02221=+z z ，那么021==z zB.如果21z z =，那么21z z ±=C.如果az ≤1，a 是正实数，那么a z a ≤≤-1 D.如果a z =1，a 是正实数，那么211a z z =⋅17、假设双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦点相同，且12a a >给出以下四个结论：①22221221a a b b -=-；②1221a b a b >；③12b b <；④2121b b a a +>+；其中所有正确的结论序号是〔〕BA.①②B,①③C.②③D.①④ 18、函数12,02()122,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，21()(())f x f f x =.那么满足方程2()f x x =的根的个数为〔〕CA 、0个B 、2个C 、4个D 、6个【三】解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤. 19、〔此题总分值12分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分. 函数x x x x f 2cos 2cos sin 2)(+=， 〔1〕求函数)(x f 的单调递增区间；〔2〕将函数)(x f y =图像向右平移4π个单位后，得到函数)(x g y =的图像，求方程1)(=x g 的解.【解答】〔1〕1)42sin(2)(++=πx x f ，由)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ得：)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-8,83ππππk k )(Z k ∈；〔2〕由，142sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ，由1)(=x g ，得42sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，82ππ+=∴k x ，)(Z k ∈.20.〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分. 如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，A D PD =，E ，F 分别是AB ，PB的中点、〔1〕求异面直线EF 与PD 所成角的大小；〔2〕当2=EF 时，求在四棱锥ABCD F -的体积. 【解答】⑴∵E ，F 分别是AB ，PB 的中点， ∴AP EF //.∴APD ∠为异面直线EF 与PD 所成的角或补角. ∵⊥PD 底面ABCD ，DA PD = ∴ADP ∆是等腰直角三角形， ∴45APD ∠=，∴异面直线EF 与PD 所成角的大小为45. ⑵解：由⑴知，APEF 21=，且2=EF ，∴22=AP . 又由题意知，PAD ∆为等腰直角三角形，∴2==AD PD . 又 点F 为PB 的中点，∴点F 到底面ABCD 的距离为121=PD .∴四棱锥ABCD F -的体积为3412231=⨯⨯⨯.21、〔本大题总分值14分〕本大题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题满5分，第3小题满5分.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l 经过点2F ，倾斜角为︒45，与椭圆交于A 、B 两点.〔1〕假设22|21=F F ｜，求椭圆方程；〔2〕对〔1〕中椭圆，求1ABF ∆的面积；〔3〕M 是椭圆上任意一点，假设存在实数μλ,，使得μλ+=，试确定μλ,的关系式.【解答】〔1〕由，可得2=c ，b a 3=，∵222c b a +=，∴3=a ，1=b ，∴1322=+y x .〔2〕设),(11y x A ，),(22y x B ，直线:l y x =- 代入椭圆方程得2430x x -+=，122x x +=，1234x x =，12||x x -=1212||||y y x x -=-=∴12S ∆=⨯=〔3〕由椭圆方程为22233x y b +=①，右焦点F 的坐标为,0)，直线AB 所在直线方程为y x =-②， 由①②得：22430x b -+=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，那么12x x +=，21234b x x =， 设(,)M x y ，由OM OA OB λμ=+得，12x x x λμ=+，12y y y λμ=+，∵点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++=，整理得：222222*********(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++=，212121212121233()()4()60x x y y x x x x x x x x b +=+=-++=③，又点,A B 在椭圆上，故2221133x y b +=④，2222233x y b +=⑤，由③④⑤式得221λμ+=.22、〔本大题总分值16分〕本大题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题满6分，第3小题满6分.记数列{}n a 的前n 项和为nS 、向量c o s s i n ,133n n a ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*(N )n ∈和,cos sin 33n n n b a ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭*(N )n ∈满足//a b . 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕求30S ；〔3〕设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项的和为n T 、 【解答】〔1〕∵//a b∴na =cos sin 33n n ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin 33n n ππ⎛⎫-⎪⎝⎭=22cos sin33n n ππ- =2cos3n π ∴2cos3n n a π=； 〔2〕数列{}1111:,,1,,,1,2222n a ----为周期为3的周期数列且()323130N .k k k a a a k *--++=∈故300S=.〔3〕2cos3n n n b na n π==、当()3n k k N *=∈时，∵()()323131132313122k k k b b b k k k --⎛⎫⎛⎫++=--+--+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=32、∴3332232n k n n T T k ===⋅=；当()31n k k N *=-∈时，3133333113122232n k k k n n T T T b k k k -++==-=-⋅=-=-⋅=-；当()32n k k N *=-∈时，()32333131331133122222n k k k k k T T T b b k k k k ---⎛⎫==--=----=-+=-⎪⎝⎭； 故()()()(),3,21,31,.21,32.2n nn k n T n k k N n k *⎧=⎪⎪+⎪=-=-∈⎨⎪⎪-=-⎪⎩23、〔本大题总分值18分〕本大题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题满6分，第3小题满8分.函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ⋅>+成立，那么称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .假设恒有)()(x f m T x f ⋅=+成立，那么称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T . 〔1〕试判断函数)1(log )(21-=x x f 是否为()∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；〔2〕函数ax x x f +-=2)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；〔3〕下面两个问题可以任选一个问题作答，问题〔Ⅰ〕6分，问题〔Ⅱ〕8分，如果你选做了两个，我们将按照问题〔Ⅰ〕给你记分.〔Ⅰ〕1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x x f 2)(=，求实数m 的取值范围.〔Ⅱ〕当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2-=，假设)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围. 【解答】〔1〕∵0)13()1()11(22<+--=---+x x x x ，即2)1()11(-<-+x x∴221)1(log )11(log 21->-+x x ，即)1(log 2)11(log 2121->-+x x即)(2)1(x f x f >+对一切()∞+∈,3x 恒成立，故)1(log )(21-=x x f 是()∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数.〔2〕由题意可知：)(2)1(x f x f >+，即)(2)1()1(22ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立，()1212--<-x x a x ，∵3x ≥ ∴1122---<x x x a ()1212---=x x ()121---=x x ， 令t x =-1，那么[)∞+∈,2t ，tt t g 2)(-=在[)∞+,2上单调递增，所以1)2()(min==g t g ，所以1<a .〔3〕问题〔Ⅰ〕∵[)1,0∈x 时，x x f 2)(=， ∴当[)2,1∈x 时，12)1()(-⋅=-=x m x mf x f ，当[)1,+∈n n x 时，)()2()1()(2n x f m x f m x mf x f n -==-=-= n x n m -⋅=2， 即[)1,+∈n n x 时，n x n m x f -⋅=2)(，*N n ∈， ∵)(x f 在[)∞+,0上单调递增， ∴0>m 且()1122----⋅≥⋅n n n n n n m m ， 即2≥m .问题〔Ⅱ〕：∵当[]4,0∈x 时，[]0,4-∈y ，且有)()4(x mf x f =+， ∴当[]4,44,x n n n Z∈+∈时，)4()4()(n x f m x mf x f n -==-= =()()[]n x n x m n 4442---，当10≤<m 时，[]0,4)(-∈x f ；当01<<-m 时，[]m x f 4,4)(--∈； 当1-=m 时，[]4,4)(-∈x f ； 当1>m 时，(]0,)(∞-∈x f ； 当1-<m 时，()+∞∞-∈,)(x f ； 综上可知：01<≤-m 或10≤<m .。

2019一模集合命题不等式专题一、解答题（宝山区一模2）集合U R =，集合{}{}30,10A x x B x x =->=+>，则U B C A =__________. 答案：(]1,3- (虹口区一模2)不等式的解集为________. 【答案】(虹口区一模3)设全集，若，则________. 【答案】（浦东新区一模1） 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________. 答案：()12,（青浦区一模1）已知集合{1,0,1,2}A =-，(,0)B =-∞，则A B =答案： {1}-（青浦区一模2）写出命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题 答案： 若a b <，则22am bm < （青浦区一模3）不等式2433(1)12()2x x x ---<的解集为 答案：(2,3)-（徐汇区一模2）已知全集U R =，集合{}2|,,0A y y x x R x ==∈≠，则U C A =_________. 答案：(],0-∞（徐汇区一模3）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_________.答案：（杨浦区一模1）设全集{1,2,3,4,5}U =，若集合{3,4,5}A =，则UA =21xx >-1,12⎛⎫⎪⎝⎭U R ={2,1,0,1,2}A =--{}2|log (1)B x y x ==-()U A C B ={}1,2答案： {1,2}（杨浦区一模5）若实数x 、y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是 答案： 11[,]22-（杨浦区一模11）当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2（长宁区一模1）已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =答案：}6,4,3,2,1{（长宁区一模12） 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素 答案：3（崇明区一模2）已知集合{}{}|12,1,0,1,2,3A x x B =-<<=-,则=A B ⋂ . （松江区一模1） 设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B = 答案： (1,3)(虹口区一模13)已知，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A（宝山区一模14）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“()sin arcsin x x =”的（ ）条件..A 充分非必要 .B 必要非充分 .C 充要 .D 既非充分也非必要（浦东新区一模13） “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）充分必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分非必要条件x R ∈1233x -<1x <答案： A（长宁区一模13）已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 答案：B（崇明区一模13）若b a <<0，则下列不等式恒成立的是（ ）.A ba 11> .B b a >- .C 22b a > .D 33b a < （崇明区一模14 ）“2<p ”是“关于x 的实系数方程012=++px x 有虚数根”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件（松江区一模14）若0a >，0b >，则x y a b x y a b +>+⎧⎨⋅>⋅⎩是x ay b>⎧⎨>⎩的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要三、解答题（长宁区一模17） 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<；（2）442120x x-⋅->答案：（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分2019一模函数专题一、填空题（宝山区一模4）方程()ln 9310x x +-=的根为__________. 答案：0x =（宝山区一模8）函数()y f x =与ln y x =的图像关于直线y x =-对称，则()f x =__________. 答案：()x f x e -=-（宝山区一模10）将函数y =的图像绕y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是__________. 答案：23π(虹口区一模4)设常数，若函数的反函数的图像经过点，则__________. 【答案】(虹口区一模6)函数的值域为__________.【答案】(虹口区一模12)若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________. 【答案】（浦东新区一模5）若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y f x 的图像一定经过定点____. 答案：()13,（浦东新区一模10）已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.答案：(,-∞a R ∈3()log ()f x x a =+()2,1a =88()([2,8])f x x x x=+∈y kx =2|log (2)|2|1|x y x +=--k (,0]{1}-∞（浦东新区一模12）已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. 答案：[)2,6∈-a（普陀区一模1）函数()2f x x=的定义城为 . 答案： (,0)(0,1]-∞（普陀区一模3）设11{,,1,2,3}32α∈--，若()f x x α=为偶函数，则α= . 答案： 2-（普陀区一模12）设a 为常数,记函数()1log 2axf x a x=+- （0a >且1,0a x a ≠<< ）的反函数为()1f x -，则1121f a -⎛⎫+⎪+⎝⎭111232++=212121a f f f a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案：2a（青浦区一模11）已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是（徐汇区一模9）已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()()1,2g x f x x =∈，则()g x 的反函数为_________. 答案：()[]1310,0,lg2x gx x -=-∈（徐汇区一模11）已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是_________. 答案：(]()1,34+∞，（杨浦区一模8）若函数1()ln1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-（长宁区一模6） 已知幂函数()a f x x =的图像过点2，则()f x 的定义域为 答案：),0(+∞（长宁区一模8） 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是答案：)2,1[（崇明区一模9）若函数()1log 2+-=x ax x f 的反函数的图像过点()73，-，则=a .（崇明区一模11）设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]10，上单调递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .（松江区一模3）已知函数()y f x =的图像与函数xy a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案：2（松江区一模9）若|lg(1)|0()sin 0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则()y f x =图像上关于原点O 对称的点共有 对 答案： 4（松江区一模12）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和(1)(1)4f x f x +⋅-=对任意的x ∈R 都成立，若当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[1,2]，则当[100,100]x ∈-时，函数()f x 的值域为 答案：二、选择题(虹口区一模15)已知函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A.B.C.D.【答案】B（宝山区一模15）关于函数()232f x x =-的下列判断，其中正确的是（ ） .A 函数的图像是轴对称图形 .B 函数的图像是中心对称图形 .C 函数有最大值 .D 当0x >时，()y f x =是减函数答案：A（普陀区一模16）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且()2sin 2,012log ,14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩，记()()g x f x a =-，若102a <<，则函数()g x 在区间[]-45，上零点的个数是（ ） .A 5 .B 6 .C 7 .D 8 答案：D（青浦区一模16）记号[]x 表示不超过实数x的最大整数，若2()[]30x f x =+，则(1)(2)(3)(29)(30)f f f f f +++⋅⋅⋅++的值为（ ）A. 899B. 900C. 901D. 902（徐汇区一模15）对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x -+≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”，已知函数:①sin y x =；②y = ）100100[2,2]-2()1f x ax x =-+1, 1(), 1 1 1, 1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩()()y f x g x =-a (0,)+∞(,0)(0,1)-∞1(,)(1,)2-∞-+∞(,0)(0,2)-∞.A ①、②均不是“蝶型函数” .B ①、②均是“蝶型函数”.C ①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数 .D ①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数” 答案：B（杨浦区一模16）已知函数2()2x f x m x nx =⋅++，记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ，集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（ ）A. [0,4)B. [1,4)-C. [3,5]-D. [0,7) 答案：A（杨浦区一模15）已知x x f θsin log )(=，(0,)2πθ∈，设sin cos ()2a f θθ+=，b f =，sin 2()sin cos c f θθθ=+，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A. a c b ≤≤B. b c a ≤≤C. c b a ≤≤D. a b c ≤≤ 答案：D（杨浦区一模13）下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]-上单调递减的是（ ） A. ()arcsin f x x = B. ()lg ||f x x = C. ()f x x =- D. ()cos f x x = 答案： C（长宁区一模16）某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 答案：C（崇明区一模16）函数()()，，22+-==x x x g x x f 若存在，，，，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⋯29021n x x x 使得 ()()()()()()()()，n n n n x f x g x g x g x g x f x f x f +⋯++=++⋯++--121121则n 的最大值为（ ）.A 11 .B 13 .C 14 .D 18三、解答题（宝山区一模19）某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位:度)与时间t (单位：小时，[]20,0∈t ）近似地满足函数213++-=t bt y 关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到0.1C ︒)；（2）若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于17C ︒.求大棚一天中保温时段通风最的最小值. 答案：（1）203（2）256(虹口区一模18)已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由解得，反之时， ，符合题意，故据此，，即值域为 ⑵在显然是单调增函数，，所以，故，令，则随的增大而增大， 最大值为，所求范围是16()1x f x a a+=-+(0,1)a a >≠R a ()f x ()33x t f x ⋅≥-[1,2]x ∈t (0)0f =3a =3a =16()133x f x +=-+23113131x x x -=-=++3131()()3131x x x x f x f x -----==-=-++3a =1()301()x f x f x +=>-()(1,1)f x ∈-(1,1)-32()131f x =-+[1,2]x ∈13[,]25x ∈31(33)31x xx t +≥-⋅-max31(33)31x x x t ⎡⎤+≥-⋅⎢⎥-⎣⎦31,[2,8]xm m -=∈31(33)(2)31x xx m +-⋅--24m m m m+⋅=-m 152∴15[,)2+∞（浦东新区一模19）（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．； （2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：答案：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E =    （6分） （2）03t <≤时，16()=20aH t t t++  （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨≥⎪⎩     （10分） ②39(,)1616343a a ⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩    （12分）综上，1[,)4a ∈+∞        （14分）（普陀区一模21）已知函数()2xf x =（x ∈R ），记()()()g x f x f x =--.（1）解不等式：(2)()6f x f x -≤；（2）设k 为实数，若存在实数0(1,2]x ∈，使得200(2)()1g x k g x =⋅-成立，求k 取值范围；（3）记()(22)()h x f x a f x b =++⋅+（其中a 、b 均为实数），若对于任意[0,1]x ∈，均 有1|()|2h x ≤，求a 、b 的值. 答案：（1）2(,log 3]-∞；（2）27119[,)2259；（3）12a =-，172b =.（青浦区一模19）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数()g x kx b =+使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有|()()|1f x g x -≤恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数. （1）若函数()3g x x =是函数()3mf x x x=+在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数()f x =[2,)+∞上的弱渐近函数. 答案：（1）[4,4]-；（2）略.（徐汇区一模18）已知函数()22ax f x x -=+，其中a R ∈. （1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间()0+∞，上是单调减函数.答案：（1）1,2;1,20;1,02a x a x a x x =-≠->--<≤<-≥<-或 （2）1a <-（杨浦区一模19） 上海某工厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(51)x x+-元，其中110x ≤≤.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.答案：（1）[3,10]；（2）6x =，最大值为4575.（长宁区一模20）已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.答案：（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<<…………………………5分 所以12ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分（崇明区一模19）（本题满分14分，本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20％.（即：设奖励方案函数模型为()y f x =时，则公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时，①()f x 是增函数；②()75f x ≤恒成立；（3）()5xf x ≤恒成立.） （1） 判断函数()1030xf x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围. （松江区一模18）已知函数2()21x f x a =-+（常数a ∈R ） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值. 答案：解：（1）若)(x f 为奇函数，必有(0)10f a =-= 得1a =，……………………2分当1a =时，221()12121x x x f x -=-=++，2112()()2121x xx x f x f x -----===-++∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数 ………………………4分又2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，∴对任意实数a ，都有(1)(1)f f -≠∴)(x f 不可能是偶函数 ………………………6分（2）由条件可得：222()2(1)(21)32121x x x x x m f x ≤⋅=-=++-++恒成立， ……8分记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈， ………………………10分此时函数2()3g t t t=+-在[5,9]t ∈上单调递增， ………………………12分所以()g t 的最小值是12(5)5g =， ………………………13分所以125m ≤ ，即m 的最大值是125 ………………………14分2019一模三角专题一、填空题（宝山区一模1）函数()()sin 2f x x =-的最小正周期为___________. 答案：π（宝山区一模9）已知()()2,3,1,4A B ，且()1sin ,cos ,,,222AB x y x y ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则x y +=__________. 答案：62or ππ-（宝山区一模11）章老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知45b A =∠=︒,求边c 。

浦东新区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合{|03}A x x =<<，集合{|2}B x x =<，则A B =I2. 222lim 31n n n →∞=+ 3. 复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z = 4. 若关于x 、y 的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为5. 设{}n a 是等差数列，且13a =，3518a a +=，则n a =6. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 7. 如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为8. 已知集合111{2,1,,,,1,2,3}232A =---，任取k A ∈，则幂函数()k f x x =为偶函数的概 率为 （结果用数值表示）9. 在△ABC 中，边a 、b 、c 满足6a b +=，120C ∠=︒，则边c 的最小值为 10. 若函数221y ax a x =+--存在零点，则实数a 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ， 不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为 12. 如果方程组1212sin sin sin 0sin 2sin sin 2019n n x x x x x n x ++⋅⋅⋅+=⎧⎨++⋅⋅⋅+=⎩有实数解，则正整数n 的最小值是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分也非必要条件14. 已知函数1()f x -为函数()f x 的反函数，且函数(1)f x -的图像经过点(1,1)，则函数1()f x -的图像一定经过点（ ）A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1)15. 以抛物线24y x =的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）A. 2211615x y +=B. 221164x y +=C. 22143x y +=D. 2214x y +=16. 动点(,)A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰 好是12秒，已知时间0t =时，点A 的坐标是31(,)22，则动点A 的纵坐标y 关于t （单位： 秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. [0,3]B. [3,6]C. [6,9]D. [9,12]三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD AD a ==，点E 是线段SD 上任意一点.（1）求证：AC BE ⊥；（2）试确定点E 的位置，使BE 与平面ABCD 所成角的大小为30°.18. 已知函数2()2cos 3sin 2f x x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC 中，6BC BA ⋅=uu u r uu r，若函数()f x 的图像经过点(,2)B ，求△ABC 的面积.19. 某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府 大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户（*x ∈N ，9x ≤）从事水果销售工作， 经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售 的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元. （1）为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？（2）若一年后，该村平均每户的年收入为()f x （万元），问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？20. 已知曲线22:1C x y -=，过点(,0)T t 作直线l 和曲线C 交于A 、B 两点.（1）求曲线C 的焦点到它的渐近线之间的距离；（2）若0t =，点A 在第一象限，AH x ⊥轴，垂足为H ，连结BH ，求直线BH 倾斜角的取值范围；（3）过点T 作另一条直线m ，m 和曲线C 交于E 、F 两点，问是否存在实数t ，使得0AB EF ⋅=uu u r uu u r和||||AB EF =uu u r uu u r同时成立？如果存在，求出满足条件的实数t 的取值集合，如果不存在，请说明理由.21. 定义1212231(,,,)||||||n n n f a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅⋅+-（n ∈N ，3n ≥）为有限实数列{}n a 的波动强度.（1）求数列1，4，2，3的波动强度；（2）若数列a ，b ，c ，d 满足()()0a b b c -->，判断(,,,)(,,,)f a b c d f a c b d ≤是否正确，如果正确请证明，如果错误请举出反例；（3）设数列1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 是数列112+，222+，332+，⋅⋅⋅，2n n +的一个排列，求12(,,,)n f a a a ⋅⋅⋅的最大值，并说明理由.参考答案一. 填空题1. (0,2)2.233. 24. 111112⎛⎫⎪-⎝⎭5. 21n +6. 157. 2π8. 149. 33 10. 3[0,]311. (,1]-∞- 12. 90 11.111(1)n n a a n n n n +=+++，累加可得11211n a n n +=-++，∴322t a -⋅≥，即21t a ⋅≤， ∵[2,2]a ∈-，∴2211t t ⋅≤⇒≤-12. ∵2441936=，2452025=，∴从89n =开始分析，当89n =，12max (sin 2sin sin )123444504647891980n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+⨯+++⋅⋅⋅+=当90n =，12max (sin 2sin sin )123454647902025n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+= 当12sin 2sin sin 1234243044045460470n x x n x ++⋅⋅⋅+=----⋅⋅⋅--⨯-⨯-+⨯+⨯+4849902019++⋅⋅⋅+=时，min 90n =二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. D三. 解答题17．【解答】（1）证明：联结BD ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以，BD AC ⊥，……………………………………………………2分 又因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂≠平面ABCD ，所以SD AC ⊥．………………………………………………………4分由⎪⎩⎪⎨⎧=⋂⊥⊥D SD BD SD AC BD AC ⇒⊥AC 平面SBD ．………………………………………6分 又因为BE ⊂≠平面SED ，所以BE AC ⊥．……………………………………7分 （2）解法一：设t ED =，因为SD ⊥平面ABCD ，所以BE 与平面ABCD 所成角为EBD ∠．……………………………2分 在EDB Rt ∆中，由tan tan EBD ∠=30︒at 2=a t 36=⇒．……………6分所以，当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为30o ．………………7分 解法2：（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系．()000,,D ，()00,,a A ，()0,a ,a B ，()00,a ,C ．设t DE =,则)t ,,(E 00 ………………………………………………2分 则()0,a ,a AC -=，()t ,a ,a BE --=……………………………4分 因为0022=+-=⋅a a BE AC ，所以BE AC ⊥ …………………………………………………7分（2）取平面ABCD 的一个法向量为()100,,n = ……………………………8分 因为()t ,a ,a BE --=，可知直线BE 的一个方向向量为()t ,a ,a d--=．设BE 与平面ABCD 所成角为θ，由题意知=θο30．d 与n 所成的角为ϕ，则222ta a t nd n d cos ++=⋅⋅=ϕ，……………………………………10分因为21=ϕ=θcos sin ，所以，21222=++t a a t ，…………………12分 解得，a t 36=．……………………………………………………13分 当a ED 36=时，BE 与平面ABCD 所成角的大小为ο30．……………………14分18．【解答】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………………………3分,,,36T x k k k Zπππππ⎡⎤⇒=∈-+∈⎢⎥⎣⎦………………………………6分（2）302162sin 2)(πππ=⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=B B B B f …………………………10分 612BC BA ac ⋅=⇒=u u u r u u u r……………………………………………12分∴1sin 332ABC S ac B ==△………………………………………14分19．【解答】（1）经过三年，种植户的平均收入为31.8(14%)x +………………2分因而由题意31.8(1) 2.425x +≥，得341 2.5161253x x +≥⇒≥ ……………………4分由3x Z x ∈⇒≥,即至少抽出15户贫困农户从事水果销售工作. ……………………6分（2）2*5(3) 1.8(1005)(1)13466525()(180)(,9)100100255x x x x f x x x x N x -+⨯-+==-++∈≤ ……10分对称轴*16534x N =∉， …………………………………………………11分 因而当()95<=x 时，max () 2.12 2.1f x => ………………………………13分 可以达到2.1万元． ……………………………………………14分 20．【解答】（1）曲线C 的焦点为()()122,0,2,0F F -，渐近线方程y x =±，……2分由对称性，不妨计算()22,0F 到直线y x =的距离，2012d -==. ……4分（2） 设:(01)l y kx k =<<，11111(,),(,),(,0)A x y B x y H x --，从而1122BH y kk x ==7分 又因为点A 在第一象限，所以01k <<， ………………………8分 从而102BH k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，……………………………………………9分所以直线BH 倾斜角的取值范围是1(0,arctan )2…………………10分 （3）当直线:0l y =，直线:m x t =()()222,0,1,0,1AB E t F t =---，221=2 2.t t -⇒=±当直线:l x t =，直线:0m y =时，2t =±（根据对称性，这种不讨论不扣分）11分 不妨设():()0l y k x t k =-≠，与双曲线联立可得22222(1)2(1)0k x k tx k t -+-+=，…12分由弦长公式，2222221(1)1||1211k t k AB k k k+-+∆=+=-- …14分 将k 替换成1k -，可得222211||21k t k EF k +-+=- ……………………15分由||||AB EF =，可得2222(1)11t k t k -+=-+，解得22t =，此时2224(1)0k t k ∆=-+>成立．因此满足条件的集合为{2,2}- ……………………………………16分 21．【解答】解：（1）()1,4,2,31442236f =-+-+-=………………4分 （2）()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤是正确的…………………………………6分 解法1：()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----，a b c a b c >><<Q 或，a b a c b c ∴---=--，c d b d b c ---≤-所以()(),,,,,,0f a b c d f a c b d -≤，即()(),,,,,,f a b c d f a c b d ≤并且当b c >时，d b ≥可以取等号，当c b >时，若d b ≤可以取等号， 所以等号可以取到…………………………………………10分 解法2：不妨设a b c >>，分4种情况讨论[1] 若d a ≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………7分[2] 若a d b >≥，则()()()()()(),,,,,,0f a b c d f a c b d a b d c a c d b -=-+-----=，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴=…………………………………………8分[3] 若b d c >≥，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b d c a c b d -=-+-----=()20d b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………9分[4] 若c d >，则()()()()()(),,,,,,f a b c d f a c b d a b c d a c b d -=-+-----=()20c b -<，()(),,,,,,f a b c d f a c b d ∴<…………………………10分（3）设2ii b i =+，1i n ≤≤，{}n b 是单调递增数列.分n 是奇、偶数情况讨论 ………………………………………11分()121122,,...,n n n f a a a x a x a x a =+++L ，其中{}1,1,1n x x ∈-，{}21,...,2,0,2n x x -∈-，并且120n x x x +++=L .经过上述调整后的数列，系数21,...,n x x -不可能为0.当n 为偶数时，系数中有12n -个2和12n-个2-，1个1和1个1-. 当n 为奇数时，有两种情况（1）系数中有12n -个2和32n -个2-，2个1-.（2）系数中有12n -个2-和32n -个2，2个1.[1] n 是偶数，*2,2,n k k k N =≥∈，()()2211122k k k k k b b b b b b ++-=+++--++L L ……………………13分()()()22111k k k k k =+++---+-++⎡⎤⎣⎦L L2112222222k k k k k ++⎡⎤++---+-⎣⎦L L ()2211=21222222k k k ++⎡⎤-+---⎣⎦2223212224k k k k ++=-+--+221429232n nn =+⋅-⋅+……………………………………15分 [2] n 是奇数，*21,n k k N =+∈，因为2120k k k b b b +-+>，212122k k k k k k b b b b b b ++++∴--≥+-，可知()()21211122k k k k k b b b b b b +++-++---++≥L L ()()21321122k k k k k b b b b b b ++++++++-++L L()12,,...,n f a a a ()21324321121,,,,,,,...,,,,k k k k k k k k f b b b b b b b b b b b +++--+≤()()21211122k k k k k b b b b b b +++-≤++---++L L…………………………17分()()()()()22+1211+2+1k k k k k k =+++-+---+++⎡⎤⎣⎦L L2+12+1122222+2+2k k k k k++⎡⎤++---⎣⎦L L ()222k =-()()+2+1k k ++()222222222+32k k k ++⎡⎤+---⋅⎣⎦223122121324k k k k ++=+-+-⋅+122154213222n nn -=+⋅-⋅+…………………………………………………18分 综上，()22121max22142923,42,,...,1542132322nnn n n n n n f a a a n n n -⎧+⋅-⋅+≥⎪⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⋅-⋅+≥⎪⎩是偶数，是奇数，。

2019年上海市高考数学真题试卷（Word版，含解析）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则．2．（4分）计算．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）函数的反函数为．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．7．（5分）在的展开式中，常数项等于．8．（5分）在中，，，且，则．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为．12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则，．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，．故答案为：，．2．（4分）计算2．【解答】解：．故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为．【解答】解：由得，即故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，．故答案为：．6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：．故答案为：．7．（5分）在的展开式中，常数项等于15．【解答】解：展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为，．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，，，，结合可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即；当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错，的值域为，，故错．故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为，所以，则，即，则，设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，，则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为；（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，．．．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得，抛物线的准线方程为，可得，，；（2）证明：当时，，设，，，则，联立和，可得，，，则存在常数，使得；（3）设，，，则，由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，等差数列的公差，，故，，又，2当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2．当时，，1，满足题意．④当时，，，所以或者，，，故，2，3．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．。

2019届高三数学一模含参汇编1. [19届浦东一模10]已知函数()2||1f x x x a =+-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为 答案：(,-∞2. [19届浦东一模12]已知函数2||2416()1()22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的1[2,)x ∈+∞，都存在唯一的2(,2)x ∈-∞，满足12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为答案： [2,6)-3. [19届奉贤一模9]函数()g x 对任意的x ∈R ，有2()()g x g x x +-=，设函数2()()2x f x g x =-，且()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，若2()(2)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围为 答案： [2,1]-4. [19届闵行一模8]已知函数()|1|(1)f x x x =-+，[,]x a b ∈的值域为[0,8]，则a b +的取值范围是 答案： [2,4]5. [19届青浦一模11]已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,1]-内()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是答案： 1(0,]26. [19届徐汇一模11]已知λ∈R ，函数24()43x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩，若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是答案： (1,3](4,)+∞7. [19届杨浦一模11]当0x a <<时，不等式22112()x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为 答案： 2 8. [19届长嘉一模8]已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f x g x ≥的解集是答案： [1,2)9. [19届崇明一模9]若函数2()log 1x a f x x -=+的反函数的图像经过点(3,7)-，则a =答案：610. [19届奉贤一模3]设函数()2x y f x c ==+的图像经过点(2,5)，则()y f x =的反函数1()f x -= 答案： 2log (1)x -，1x >11. [19届虹口一模4]设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a = 答案： 812. [19届虹口一模12]若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为 答案： (,0]{1}-∞13. [19届普陀一模12]记a 为常数，记函数1()log 2a x f x a x=+-（0a >且1a ≠，0x a <<）的反函数为1()f x -，则11111232()()()()21212121a f f f f a a a a ----+++⋅⋅⋅+=++++ 答案： 2a14. [19届松江一模3]已知函数()y f x =的图像与函数x y a =(0,1)a a >≠的图像关于直线y x =对称，且点(4,2)P 在函数()y f x =的图像上，则实数a =答案： 215. [19届杨浦一模8]若函数1()ln1x f x x +=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的取值范围为答案： [1,0]-16. [19届青浦一模8]设函数()sin f x x ω=（02ω<<），将()f x 图像向左平移23π单位后所得函数图像与原函数图像的对称轴重合，则ω=答案： 32。

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1. 已知集合()(),32,A B =−∞=+∞、，则=B A ________. 2. 已知C z ∈且满足i z=−51，求=z ________. 3. 已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b 的夹角为________. 4. 已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________.5. 已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =−的最小值为________.6. 已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =−，则=)23(f ________.7. 若x y R +∈、，且123y x +=，则yx的最大值为________. 8. 已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.9. 过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ−，则λ=______.10. 某三位数密码锁，每位数字在90−数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______.11. 已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=−y x 上，则1lim n n n P P +→∞=_______.12. 已知()()21,01f x a x a x =−>>−，若0a a =，()f x 与x 轴交点为A ，()f x 为曲线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q （P 异于A ）使得AP AQ ⊥且AP AQ =，则0a =__________.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直线方程02=+−c y x 的一个方向向量d 可以是（ ）A. )1,2(−B. )1,2(C. )2,1(−D. )2,1(14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知R ∈ω，函数()()()26sin f x x x ω=−⋅，存在常数R a ∈，使得()f x a +为偶函数，则ω可能的值为（ ）A.2π B. 3π C. 4π D. 5π16. 已知)tan(tan tan βαβα+=⋅.①存在α在第一象限，角β在第三象限； ②存在α在第二象限，角β在第四象限；A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题满分14分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，M 为1BB 上一点，已知2BM =，4AD =，3CD =，15AA =.（1）求直线1AC 与平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面1A MC 的距离.18.（本题满分14分）已知()11f x ax x =++)(R a ∈. （1）当1a =时，求不等式()()11f x f x +<+的解集； （2）若[]1,2x ∈时，()f x 有零点，求a 的范围.19.（本题满分14分）如图，A B C −−为海岸线，AB 为线段，BC 为四分之一圆弧，39.2BD km =，22BDC ∠=，68CBD ∠=，58BDA ∠=.（1）求BC 长度；（2）若40AB km =，求D 到海岸线A B C −−的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分16分）已知椭圆22184x y +=，12,F F 为左、右焦点，直线l 过2F 交椭圆于A 、B 两点. （1）若AB 垂直于x 轴时，求AB ；（2）当190F AB ∠=时，A 在x 轴上方时，求,A B 的坐标；（3）若直线1AF 交y 轴于M ，直线1BF 交y 轴于N ，是否存在直线l ，使MN F AB F S S 11△△=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分）数列{}n a 有100项，1a a =，对任意[]2,100n ∈，存在[],1,1n i a a d i n =+∈−，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P .（1）若11a =，求4a 可能的值；（2）若{}n a 不为等差数列，求证：{}n a 中存在满足性质P ；（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为C ，使用,,a d c 表示12100a a a +++.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分） 1.已知集合()(),32,A B =−∞=+∞、，则=B A ________. 【思路分析】然后根据交集定义得结果． 【解析】：根据交集概念，得出：)3,2(.【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.已知C z ∈且满足i z=−51，求=z ________. 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】：i z +=51，i i i i i z 261265)5)(5(551−=−+−=+=. 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础． 3.已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b 的夹角为________.【思路分析】根据夹角运算公式b a =θcos 求解．【解析】：52552cos =⋅==θ. 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础． 4.已知二项式()521x +，则展开式中含2x 项的系数为________.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含2x 项的的项，再求系数．【解析】：r r rr r r r x C x C T −−−+⋅⋅=⋅⋅=55555121)2(令25=−r ，则3=r ，2x 系数为402235=⋅C . 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．5.已知x 、y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求23z x y =−的最小值为________.【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当0=x ，2=y 时，6min −=z .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.已知函数()f x 周期为1，且当01x <≤，()2log f x x =−，则=)23(f ________. 【思路分析】直接利用函数周期为1，将转23到已知范围01x <≤内，代入函数解析式即可． 【解析】：121log )21()23(2=−==f f . 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7.若x y R +∈、，且123y x +=，则yx的最大值为________. 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有yx的式子求解【解析】：法一：y x y x 212213⋅≥+=，∴892232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤x y ； 法二：由y x 231−=，y y y y x y 32)23(2+−=⋅−=（230<<y ），求二次最值89max =⎪⎭⎫⎝⎛x y .【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎩⎨⎧≥=+=+−−)2(2211n a S a S n n n n 得：121−=n n a a （2≥n ）∴ {}n a 为等比数列，且11=a ，21=q ，∴ 1631211])21(1[155=−−⋅=S . 9.过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A B 、，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，OM OA λ=+()2OB λ−，则λ=______.【思路分析】根据等式建立坐标方程求解 【解析】：依题意求得：)2,1(A ，)2,1(−B ，设M 坐标),(y x M有：)4,22()2,1()2()2,1(),(−=−⋅−+=λλλy x ，代入x y 42=有：)22(416−⋅=λ 即：3=λ.【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10某三位数密码锁，每位数字在90−数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_______. 【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.【解析】：法一：100271031923110=⋅⋅=C C C P （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） 法二：100271013310110=+−=P C P （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11.已知数列{}n a 满足1n n a a +<（*∈N n ），(),n n P n a 在双曲线12622=−yx 上，则1lim n n n P P +→∞=_______.【思路分析】利用点在曲线上得到1n n P P +关于n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由12822=−na n 得：)16(22−=n a n ，∴))16(2,(2−n n P n ，))16)1((2,1(21−+++n n P n ，利用两点间距离公式求解极限。

上海市浦东新区达标名校2019年高考三月质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．42．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．123．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ） A ．223 B ．23 C 362D 23或624．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}1,0,1-C ．{}1,0-D ．{}0,15．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭6．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–207．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( )A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)28．已知i 是虚数单位，则复数24(1)i =-（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-9．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为3c ，则双曲线的渐近线方程为（） A ．3y x =±B ．2y x =±C ．y x =±D ．2y x =±10．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．若复数z 满足3(1)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．1322i -+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3π1633B ．4π1633C ．33π3D ．43π33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市浦东新区达标名校2019年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．83B ．163C ．43D ．82．若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12a e e λ=-，且3a =，则实数λ=（ ）A ．－1B ．2C ．0或－1D ．2或－13．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．设0.08log 0.04a =，0.3log 0.2b =，0.040.3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．c b a >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2B ．2C 10D ．106．已知复数z 满足0z z -=，且9z z ⋅=，则z =（ ）7．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．810C ．24D ．1638．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC 中，“30B ︒>”是“3cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中假命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞10．过抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，(1,2)Q ，若111||||4AB CD +=，则||||PF PQ +的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．1512．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．7二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。