分形理论1

分形和混沌的基本概念和应用在科学和数学领域中，分形和混沌是两个非常重要的概念。

它们不仅有着丰富的理论内涵，而且在实际应用中也有着广泛的用途。

本文旨在介绍分形和混沌的基本概念、性质以及其应用领域。

一、分形的基本概念和性质分形最初是由法国数学家Mandelbrot所提出的。

分形，定义简单点来说，就是在各种尺度下都表现出相似性的图形。

比如说，我们在放大树叶时，会发现树叶的分支和小结构上会有许多特征，在不断放大过程中，树叶上的分支和结构会产生类似于整个树叶的结构。

这个例子就是分形学的一个典型例子。

分形的最重要的特性是自相似性和不规则性。

自相似性是指，在分形中，任意一部分都与整个结构相似，这种相似性具有尺度不变性，即不会因为放大或缩小而改变。

不规则性是指，分形的形状十分奇特，与传统的几何图形相比，分形形状复杂多变，没有任何几何规律可循。

分形广泛用于科学研究、艺术美学、计算机图像处理等领域。

在生物学、地震学、天文学中也有广泛应用。

例如，在生物学中，许多生物组织和器官都具有分形结构，如肺组织、血管系统、神经元等。

利用分形理论可以更好地研究这些生物结构的形态和发展规律。

此外，在土地利用和城市规划领域，也可以应用分形理论来研究城市建筑的空间结构和空间分布规律。

二、混沌的基本概念和性质混沌又称为非线性动力学。

混沌指的是用微观因素推算出宏观效应的过程，该过程结果不可预测，但随着时间的推移，能够生成复杂、有规律的系统。

混沌体系可用方程式表示出来，但由于该方程式是个非线性方程式，所以其结果会随这方程式微小变化而产生巨大的差异。

混沌具有以下几个突出的性质：灵敏依赖于初始条件，长期不稳定，难以预测和控制。

混沌理论可以用于预测经济和金融领域中出现的一些紊乱现象，如股市波动。

混沌最初应用在天文学领域，例如研究太阳系中行星之间的轨道。

这些轨道不像我们所想的那样规律。

然而，混沌的发现不仅在天文学领域中应用，也在许多其它领域解决一些不规则的问题。

数学家曼德尔布罗与漂亮的分形几何学由计算机按照分形几何学的算法生成的令人叹为观止的分形图案。

如果你留意的话，在我们生活中也处处有分形图案的存在（如花椰菜的几何图形、大树与叶脉、肺部的血管以及河流与支流都构成了分形几何图案，不胜枚举）。

2012年12月26日07:33腾讯科学金炳南腾讯科学讯《美国数学会会志》(Notices of the AMS)今年连续在9月号和10月号上刊发忆述文章，回忆了美籍法国数学大师、“分形几何学之父”伯努瓦·曼德尔布罗（Benoit Mandelbrot）的奋斗历程，并高度评价他为科学发展作出了巨大贡献。

曼德尔布罗的生平与奋斗1924年11月20日，伯努瓦·曼德尔布罗出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。

父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。

由于当时局势紧张，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。

他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，只背过五以下的乘法表。

11岁时，他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎，投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆·曼德尔布罗。

战争来临时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。

曼德尔布罗做过一阵子机床维修学徒工后，巴黎解放，没有什么学术根底的他，完全靠自己的天赋和直觉，通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。

在该校学习期间，他参加过法国著名的数学团体——布尔巴基(Bourbaki)协会，但由于该协会摒弃一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法忍受而成了一位叛逆者。

那时候他已经意识到，不管给出什么解析问题，他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。

曼德尔布罗1948年获美国加州理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。

毕业后，他的职业生涯并不顺利，先是在瑞士知名心理学家让·皮亚杰（Jean Piaget）手下干了一段时间，然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。

1958年，他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。

分形几何学和分形分析的基础原理分形几何学是对自然界和人类活动中普遍存在的复杂结构进行研究的一门学科。

分形几何学的基础原理是分形性质的存在和分形维度的概念。

分形性质指的是在尺度变化下具有自相似性，即物体的部分结构与整体结构相似。

而分形维度则是用来描述分形物体复杂度的度量。

分形几何学的基本概念是由波尔曼德布罗特于20世纪70年代提出的。

他通过研究自然界中的山脉、云彩等不规则结构发现，这些结构在不同尺度下都具有相似的形态，即它们是自相似的。

波尔曼德布罗特认为，真实世界中的许多物体与几何学假设中的理想物体并不相符，而是存在着分形结构。

这一发现引发了对于自然界中不规则结构的深入研究，并为分形几何学的发展提供了基础。

分形几何学的另一个重要概念是分形维度。

传统几何学中的维度概念只适用于整数维空间中的几何体，如一维线段、二维平面和三维立体等。

然而，分形物体的形态复杂，无法用传统几何学中的维度来描述。

因此，分形几何学引入了分形维度的概念。

分形维度可以用于衡量分形物体的复杂程度，即其填充空间的能力。

分形维度的计算方法有多种，其中最常用的是盒维度和信息维度。

除了分形几何学，分形分析也是对分形性质的研究和应用。

分形分析是对数据序列或图像进行分形测度和特征提取的一种方法。

分形分析可以应用于多个领域，如信号处理、图像压缩、金融市场预测等。

分形分析的基础原理是将数据序列或图像看作是分形物体,利用分形维度等数学工具来描述和分析数据的局部和整体特征。

分形分析的一个重要应用是在信号处理领域中。

信号通常是由连续或离散的数据点组成的。

传统的信号处理方法往往采用统计建模和频域分析等方法，但是这些方法在处理复杂非线性信号时效果不佳。

分形分析的引入提供了一种新的思路。

通过计算信号的分形维度，并结合自相似性和分形原理，可以对信号进行特征提取和分类。

分形分析在信号处理中的应用不仅提高了信号处理的效果，还提供了更多的信息用于信号分析和识别。

总之，分形几何学和分形分析是一种对复杂结构进行研究和分析的数学工具和方法。

分形原理及其应用
分形是一种几何图形，它具有自相似的特性，即整体的形状和局部的形状都具
有相似性。

分形原理最早由法国数学家Mandelbrot提出，他认为自然界中的许多
现象都可以用分形来描述。

分形原理不仅在数学领域有着广泛的应用，还在生物学、物理学、经济学等领域都有着重要的意义。

在数学领域，分形可以用来描述自然界中的许多复杂现象，比如云彩的形状、
树叶的脉络、河流的分布等。

利用分形原理，我们可以更好地理解这些现象背后的规律。

而在生物学领域，分形原理也有着广泛的应用。

比如，我们可以利用分形原理来研究植物的生长规律，动物的群体分布等。

在物理学领域，分形可以用来描述许多复杂的物理现象，比如分形几何可以用来描述分形维度，分形维度可以用来描述物体的复杂程度。

除了在基础科学领域有着广泛的应用之外，分形原理还在工程技术领域有着重
要的意义。

比如，在图像处理领域，我们可以利用分形原理来进行图像的压缩和识别。

在信号处理领域，分形原理也可以用来进行信号的分析和处理。

在金融领域，分形原理可以用来描述股票价格的波动规律，从而帮助投资者进行风险管理。

总的来说，分形原理是一种非常有用的数学工具，它不仅可以用来描述自然界
中的复杂现象，还可以在工程技术领域有着广泛的应用。

随着科学技术的不断发展，相信分形原理会有更多的应用场景被发现，为人类的发展带来更多的帮助和便利。

希望本文的介绍能够让读者对分形原理有更深入的了解，并且能够在实际应用
中发挥更大的作用。

分形原理的应用领域还在不断扩大，希望大家能够关注并且深入研究，为人类的发展做出更大的贡献。

分形理论与分形几何在自然科学中的应用自然界是一个充满着奇妙和神秘的地方。

在大自然中，我们可以发现许多美丽而又复杂的形状，如树枝、云朵、山脉等等。

这些看似无规律的形态背后，隐藏着一个重要的理论——分形理论与分形几何。

分形理论由波兰数学家曼德博特尔（Benoit Mandelbrot）于20世纪70年代提出。

他发现了自然界中的许多现象都具有自相似的特点。

自相似是指一个物体的一部分与整体的形状相似，这种相似性在不同的尺度上都能得到体现。

分形理论的核心思想就是研究这种自相似性，并通过数学模型来描述和解释这些现象。

分形几何是分形理论的一个重要分支，它通过数学方法来研究自然界中的分形结构。

分形几何的研究对象包括分形曲线、分形图形和分形维度等。

分形曲线是指具有无限细节和复杂性的曲线，如科赫曲线和希尔伯特曲线。

分形图形是指具有自相似性的图形，如分形树、分形花朵等。

分形维度是对分形结构复杂性的度量，它可以用来描述一个物体的空间尺度和形态特征。

分形理论与分形几何在自然科学中有着广泛的应用。

首先，它们在地质学中发挥着重要的作用。

地球上的山脉、河流、岩石等都具有分形结构。

通过分形理论和分形几何的研究，我们可以更好地理解地壳运动、地质构造和地球演化等自然现象。

例如，分形理论可以用来解释地震的发生和传播规律，通过分析地震波的分形特征，可以预测地震的强度和发生概率，为地震灾害的防治提供依据。

其次，分形理论和分形几何在生物学中也有着重要的应用。

生物界中存在着许多分形结构，如树枝、血管、叶片等。

通过分形理论的研究，我们可以更好地理解生物体的生长、发育和进化过程。

例如，分形几何可以用来解释植物根系的分形形态，通过分析根系的分形维度，可以揭示出根系的生物力学特性和水分吸收能力，为农业生产和植物育种提供指导。

此外，分形理论和分形几何还在气象学、物理学、经济学等领域中得到了广泛的应用。

在气象学中，分形理论可以用来研究天气系统的自相似性和混沌性质，从而提高天气预报的准确性。

1、 灰度阈值法在图像中，由于云层的高反射率，因此其灰度值要明显高于其他地物。

基于这个前提，可以用灰度阈值来进行云层检测。

主要有两种方法来确定阈值：1）直方图数据法，根据先验知识来确定阈值2）图像统计法，利用统计信息来确定阈值灰度阈值法很容易实现，而且效率较高。

但是其云检测的精度不高，不能对各种情况的图像都适用，因此灰度阈值法经常作为云层检测的一个部分而使用。

2、 纹理检测法2.1 分形维数分形理论最早由takayasu 于1990年完善，分形理论认为自然界的许多物体都具有连续的纹理特征。

分形维数是分形理论中用来描述形态复杂度的一种指标。

在分形维数的计算方法可以参考zhang 在2005年提出的box-counting 维数法。

具体算法如下：1）将一幅M M ⨯的二维的灰度图像转成三维，即)),(,,(y x f y x ，其中),(y x f 为图像的灰度值。

2）用r r ⨯的格网拆分图像，在三维的)),(,,(y x f y x 中，即可以产生h r r ⨯⨯的立方体，]/[M G r h ⨯=。

其中G 为立方体内的不同灰度值的个数。

3）假设在格网),(j i 中，最小的灰度值存在于立方体k 中，最大的灰度值存在于立方体l 中。

因此可以覆盖格网内全部灰度值的最小立方体数为1),(+-=k l j i n r4）用下列公式计算可以覆盖整幅图像的立方体数：∑=j i r r j i n N ,),( 5）计算分形维数)/1log()log(lim r N D r = 分形维数指标（D ）表现物体的复杂程度，物体越复杂D 值越大。

因此在遥感图像中，由于地物包含更多的纹理信息且灰度变化频繁，因此地物的分形维数D 要大于云层的分形维数。

2.2 角二阶距角二阶矩是灰度共生矩阵像素值平方的和，也称为能量，是图像灰度分布均匀性的度量，主要用于观察影像纹理粗细和方向性特征。

从图像整体来看，角二阶矩值越大，则纹理较粗，反之则较小，因此云层的ASM 值要大于地物。

分形——谢尔宾斯基三角形普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。

比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。

在20世纪70年代末80年代初，产生了新兴的分形几何学（fractal geometry），空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。

这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。

根据物理学家李荫远院士的建议，大陆将fractal一开始就定译为“分形”，而台湾学者一般将fractal译作“碎形”。

——摘自百度百科对于初学Java的同学来说，做分形，的确是一个锻炼思维，熟悉递归算法的好方法，而在众多分形图案中，谢尔宾斯基三角形可以说是比较容易入手的，因为它不管是公式还是图案都比较简单，学会如何用java画歇尔滨斯基三角形后，再画其他图案都会简单很多；今天我们就从歇尔滨斯基三角形入手，进入分形的世界.1、用Java绘制歇尔滨斯基三角形首先要知道如何建立窗体，调取画布对象，如何画线，有一定的数学基础（了解正三角形的性质），还有——数学思维。

2、打开eslips，建立一个Java的工程命名自己命吧，这个随便的哈；（这是我建立的工程）//3、这个程序需要引入的包：import java.awt.Color;import java.awt.Graphics;import javax.swing.JFrame;//4、主类继承JFrame，因此Retangerate拥有所有JFrame的方法public class Retangerate extends JFrame{/*** @param args*/public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubRetangerate a = new Retangerate();a.Draw();}////5、需要创建的方法一：（绘制三角形）//在这个方法里绘出窗体，并生成画布对象public void Draw() {this.setSize(1000,700);this.setLocationRelativeTo(null);this.setDefaultCloseOperation(3);this.setVisible(true);Graphics g = this.getGraphics();//6、定义重绘方法，拖动窗口，改变窗口大小后，绘制的图片仍然留在窗体上}public void paint(Graphics g){super.paint(g);this.Show(100,600,900,600,500,30,200,235,235,10,g);//调用递归函数Show(),所涉及的参数：x1的位置，y1的位置，x2的位置，y2的位置，x3的位置，y3的位置，（以下三个属性是颜色控制，如果需要渐变色彩的话）}public void show(double x,double y,double x2,double y2,doublex3,double y3,int a,int b,int c,int count,Graphics g){int tempx = (int)x;int tempy = (int)y;int tempx2 = (int)x2;int tempy2 = (int)y2;int tempx3 = (int)x3;int tempy3 = (int)y3;if(a<0||b<0||c<0){a=355;b=155;c=35;}//计算出三点的位置g.setColor(new Color(a,b,c));g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);if(count>=2){//判断是否进行递归int xm = tempx;int ym = tempy;int xm2 = tempx2;int ym2 = tempy2;int xm3 = tempx3;int ym3 = tempy3;tempx = (xm+xm2)/2;tempy = (ym+ym2)/2;tempx2 = (xm+xm3)/2;tempy2 = (ym+ym3)/2;tempx3 = (xm3+xm2)/2;tempy3 = (ym3+ym2)/2;this.Show(xm,ym,tempx,tempy,tempx2,tempy2,a-10,b-16,c-10,count-1, g);this.Show(tempx,tempy,xm2,ym2,tempx3,tempy3,a-14,b-16,c-18,count-1,g);this.Show(xm3,ym3,tempx2,tempy2,tempx3,tempy3,a-17,b-14,c-0,count -1,g);//由于下次分形要分成三个所以要在一次Show调用自己三次g.drawLine(tempx,tempy,tempx2,tempy2);g.drawLine(tempx,tempy,tempx3,tempy3);g.drawLine(tempx2,tempy2,tempx3,tempy3);}else{return ;}}}。

动力系统理论中的混沌与分形研究动力系统理论是研究描述物体运动规律的数学理论。

其中的混沌与分形研究是动力系统理论中的重要内容。

混沌理论描述了一种看似无序但却具有确定规律的运动状态，而分形理论则描述了不规则而又自相似的几何形态。

本文将从混沌和分形的基本概念入手，介绍动力系统理论中的混沌与分形研究的应用与意义。

一、混沌的基本概念混沌，顾名思义，是一种“无秩序”的状态。

然而，在混沌现象背后却存在着确定的规律。

在动力系统理论中，混沌是指非线性系统在某一特定参数范围内产生的不可预测的运动状态。

混沌的特点表现在两个方面：灵敏依赖于初始条件和对微小扰动的放大。

这意味着微小的初始条件变化可以导致系统最终状态的巨大差异，即所谓的蝴蝶效应。

混沌在天气预报、金融市场和生物系统中的应用都存在广泛而重要的意义。

二、分形的基本概念分形，是指一种具有自相似性的几何形态。

分形意味着物体的每一部分都是整体的缩小或放大。

分形的特点是不规则性与自相似性。

在动力系统理论中，分形被广泛应用于描述复杂非线性系统的结构与形态。

分形理论的应用可见于自然界中的云朵形态、海岸线的曲折程度等。

三、混沌与分形的关系混沌与分形是动力系统理论中密切相关的两个概念。

虽然混沌和分形可以被看作是两个独立的概念，但在动力系统中它们往往相互关联。

事实上，混沌与分形更多是作为动力系统理论中的研究手段和表征方法，用于描述非线性系统的运动特征和结构特征。

混沌和分形不仅在自然科学中有重要应用，在社会科学和人文科学中也有广泛的研究价值。

四、混沌与分形的应用与意义混沌与分形在多个领域的应用与意义不可忽视。

在天气预报中，混沌理论的应用可以帮助提高预测准确度；在金融市场中，分形理论可以帮助分析市场波动性和趋势；在生物系统中，混沌理论与分形理论可以帮助理解生物系统的复杂性与变异性。

此外，在信息科学、图像处理、信号处理等领域，混沌与分形的研究也具有重要的应用意义。

总结起来，动力系统理论中的混沌与分形研究对于深入理解非线性系统的运动规律和结构特征具有重要意义。

经典的分形算法小宇宙2012-08-11 17:46:33小宇宙被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。

它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。

它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。

分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。

1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。

1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。

1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。

这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。

1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。

1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。

1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。

1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。

以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。

数学科学中的分形几何学分形几何学是一种可视化的、有关于形态相似度的研究。

在1975年前后，它引起了人们的越来越多的关注，研究者不断地寻找着新的分形体现，并且对其进行了广泛的研究。

分形几何学以1960年代末兴起的分形理论为基础，是一种重要的新分支，不仅在纯数学中产生出多种应用，而且还带有很多涉及与物理、天文、地质、气象等领域的实际问题。

分形几何学的发展历程分形几何学的历史可以追溯到19世纪的德国，当时考古学家路德维希•谷巴尔（Ludwig Schläfli）从数学角度研究了20种多面体，把多面体的外形、大小、形态的相似性进行了比较。

后来的数学家们在此基础上，又从各自的角度进行了探索与研究。

比如，俄国的莫斯科数学家亚历山大·叶赛尼亚去研究特殊的比例题，发现了分形概念的重要性。

瑞典的奥托·察克拉芙特等也作出了较为重要的贡献。

但是，分形几何学真正的开端是在1960年代，当时马赛克模型的出现，给了分形几何学一个坚实的基础，也就是分形的数学形式和公式。

然后，分形几何学从理论研究到了实验研究，在科学研究、文化艺术、自然美学等方面发挥出了巨大的作用。

分形几何学与自然美学分形几何学在科学研究领域的应用相对来说比较多，尤其是在物理、天文、地质等领域。

但是，近年来，人们越来越意识到，分形几何学在文化艺术和自然美学领域的应用也是非常广泛的。

分形几何学强调递归和自相似性，在繁杂的自然现象中找到了类似的滋生和变化规律，阐述了丰富的美学和人类价值。

自然美学是一种研究自然和人与自然关系的美学，强调生命之动的自然性、多元性、无常性。

分形的数学模型不仅为自然美学提供了丰富的表现形式，而且还帮助人们更好的理解生态学、生物医学等方向。

分形几何学的应用实例分形几何学在自然界中的表现是广泛的，比如，在地理学中，分形几何可以用来研究地衣的分布，而在气象学中，分形几何可用来计算降雨的分布规律和湍流的能量分布情况，对于理解飓风、龙卷风和干旱等自然灾害方面也具有指导意义。

浅谈分形统计吴争程福州大学管理学院统计系(350002)E-mail：wuzhengcheng618@摘 要：如果真实世界不是按标准正态分布的,那我们在正态的假设前提下所做的统计推断就可能出错。

分形描述一种更符合现实的分布，它承认现实是混乱和复杂的。

分形统计与高斯统计的不同在于如何看待不确定性。

分形认为不确定性不等于随机性，混沌系统是在随机的初始条件按照特定规则产生的，是随机性和确定性的结合，是局部随机和全局秩序。

其实高斯统计是分形混沌方法的特例。

认识分形的意义在于排除先验思想的干扰，真正认清要研究的问题和对象。

关键词：分形 混沌 统计1.什么是分形和分形统计分形（Fractal）是关于动力系统或超复杂系统的轨迹在某一空间上的维数不是整数而是分数的一种说法。

分形最早源于几何学概念，可以用来描述大多数自然形状和时间序列。

分形认为事物是不可逆的，有时间方向上的变化；分形对象具有广泛的规模变化范围；分形用分形维来描述对象是如何充满空间的，分形是可以是粗糙的，不连续的，它的维数可以是整数的也可以是分数的，它不像传统的认为物体只有整数维：一维直线、二维平面、三维立体。

分形形状在空间上显示自相似性，分形时间序列在时间上显示自相似性。

简单的说，分形是指一个对象，其部分以某种方式与整体相关，其各个组成部分是自相似的。

一切具有分形性质的形状或序列，其特点在于局部的随机性和整体全局的秩序。

分形认为不确定性不等于随机性，不确定性是以初始条件的敏感性为前提，并由此反映过程的稳定与不稳定性。

分形分布具有如下特征：（1）自相似性：只要特征指数α和偏斜度参数β保持不变，无论规模参数c如何变化均不会改变同一范围内的概率。

序列是无穷可分的，具有自相似的统计结构。

（2）跳跃性（非连续性）：分形分布的胖尾是由反馈效应导致的，在时间序列里的反馈效应在过程当中产生了跳跃。

分形过程中的大变化是从少量的大变化产生的，而不是正态分布中所暗示的大量的小变化产生。

关于分形公式与均线的综合运用一、分形公式（把无序的价格, 纳入到有序的框架）“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。

”——物理学家惠勒分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。

1973年，曼德勃罗（B.B.Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。

分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。

分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

分形几何与传统几何相比有什么特点：⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。

例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。

上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。

当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。

其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。

对分形的定义也可同样的处理。

分形一般有以下特质：在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略或任意地）自相似豪斯多夫维数会大於拓扑维数（但在空间填充曲线如希尔伯特曲线中为例外）；有著简单的递归定义。

（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。