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解题篇易错题归类剖析高考数学2019年1月搏生找理化■河南省沈丘县第一高级中学赵向前一、求几何体的外接球时，易忽视球的几何性质考点指南：球的问题是平面图形圆的立体化、空间化问题.圆的考点在高中侧重解析几何问题的考查，即与圆的方程有关的问题.高中圆的几何特性（几何图形的外接圆）主要体现在空间几何体的外接球的知识方面.即求解与几何体的外接球有关的问题时，需要把立体球转化为平面圆进行分析，考査层次属于有难度的问题。
捌/一个几何体，/\,的三视图如图1所示，求7弋7弋该几何体外接球的表面正视图侧视图积。
（单位:cm）解题分析：根据题意知该几何体是一个圆锥，其轴截面是边长为2cm的正三角形，则几何体及其外接球的直观图如图2所示。
由题可知轴截面AFAB为正三角形，球心O为正三角形的重心，根据三角形重心的知识，则po:ocy=2：1。
又o'为图2AB的中点，所以在RtAPAO7中，PA=2,PO f=VPA--AO'2 =箱，所以PO=攀。
因为△PAB是正三角形.PO=AO,则外接球的半径为AO=PO=竽，所以圆锥的外接球的表面积S=4n•R'=¥（cn?）。
考查意图：本题主要考查同学们的空间想象能力、空间问题平面化能力及计算能力。
虽然本题是求解外接球的表面积，但是在求解球的半径时，需要逐步进行，故对运算逻辑也是有考査的。
复习建议：由于高考是选拔性考试，考题定位“源于课木，考査分析问题与求解问题的能力"，学习中，应立足教材，对教材中的核心题型，比如求三棱锥的外接球.只有做好归纳总结，步骤细化.有了基本方法的掌握，才能在解决柱体、锥体的问题中做到熟练掌握与应用。
变式练习1:如图3,在卞四棱锥P ABCD中.面|PAB丄面ABCD,ZXPAB/x/'是等边三角形，四边形--------ABCD为矩形，边长AB=图32,AD=4,求四棱锥俯视图P ABCD的外接球的体积。
立体几何中的易错点剖析作者：吴雅琴来源：《中学课程辅导·高考版》2019年第12期立体几何是高中数學的主要知识模块，也是高考考查的重点知识之一，在求解立体几何问题时，部分同学常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.在高三复习中，如能在这些易错点上强化正误辨析意识，就能加强训练的针对性，提高复习效率.本文意在剖析立体几何的常见错误，为同学们在今后的立体几何复习中能防微杜渐起抛砖引玉之用.易错点一：概念不清导致错解例1 以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线;②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面;③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的序号是 .错解：①②错因分析：①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确;②中，若A，B，C三点共线，则点A，B，C，D，E有可能不共面，故②错误;③中，如图所示正方体的棱中，a，b共面，a，c共面，而b，c异面，故③错误;④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误.正解：①例2 设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若mα，n∥α，则m∥n;②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ;③若α∩β=n，m∥n，m∥α，则m∥β;④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中是真命题的是（填序号）.错解：①②错因分析：①m∥n或m，n异面，故①错误;易知②正确;③m∥β或mβ，故③错误;④α∥β或α与β相交，故④错误.正解：②易错点二：定义理解不清导致错解例3 已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为 .错解：平行错因分析：直线与平面的位置关系的定义理解不清，在判断时最易忽视“线在面内”.正解：平行或线在面内例4 如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，则AO与A′C′所成角的度数为 .错解：∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵OC⊥OB，AB⊥平面BB′CC′，∴OC⊥AB.又AB∩BO=B，∴OC⊥平面ABO.又OA平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC=22，AC=2，sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°或150°.即AO与A′C′所成角的度数为30°或150°.错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠OAC可能是OA，A′C′所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.正解：在Rt△AOC中，OC=22，AC=2，sin∠OAC=OCAC=12，∴∠OAC=30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.易错点三：忽视判定定理中的条件导致错解例5 在四棱锥PABCD中，AD∥BC，AB=BC=12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.（1）求证：AP∥平面BEF;（2）求证：GH∥平面PAD.错解：证明（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC∥AE且BC=AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.错因分析：在第（1）问解题过程中的漏掉“FO平面BEF，AP平面BEF”，在第（2）问解题过程中的漏掉“PD平面PAD，FH平面PAD”和“AD平面PAD，OH平面PAD”缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.正解：证明（1）连接EC，∵AD∥BC，BC=12AD，E为AD的中点，∴BC∥AE且BC=AE，∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为AC的中点，又∵F是PC的中点，∴FO∥AP，又FO平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.（2）连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，∴FH∥PD，又PD平面PAD，FH平面PAD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中点，H是CD的中点，∴OH∥AD，又∵AD平面PAD，OH平面PAD，又FH∩OH=H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.例6 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面;（2）平面EFA1∥平面BCHG.错解：（1）∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1瘙綊CC1，∴四边形BB1C1C为平行四边形，所以∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面.（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形.∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.∴平面EFA1∥平面BCHG.错因分析：在第（2）问解题过程中漏掉“A1E∩EF=E”，忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两“相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.正解：（2）∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB，A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形.∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E，∴平面EFA1∥平面BCHG.易错点四：盲目地套用性质定理导致错解例7 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中點.（1）求证：直线AE⊥直线DA1;（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.错解：在平面ABCD内，过点D在平面ABCD内作平面AEH的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：（1）连结AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.（2）所示G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连结AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D=D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）。
立体几何中的易错点剖析作者：祁居攀来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2015年第12期立体几何是中学数学教学的重点内容之一，也是历届高考命题的热点.求解立体几何问题时，常因概念不清晰，理解不透彻，盲目地套用性质定理等导致错解.一、概念不清导致错解例1 判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）一点和一条直线确定一个平面；（2）经过同一点的两条直线确定一个平面；（3）首尾顺次相接的四条线段在同一平面内.错解：（1）正确.错因：忽视公理2中“不在一条直线上的三点”这个条件.（3）正确.错因：空间四边形的四条边不共面.正解：（1）不正确.如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在平面上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知有唯一一个平面.（2）正确.经过同一点的两条直线是相交直线，能确定一个平面.（3）不正确.四边形中三点可以确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，因此这四条线段不一定在同一平面内.例2 给出下列几种说法：（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；（4）过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3错因分析：错解一：认为（1）正确，没有考虑已知点在直线上的情形；错解二：认为（2）正确，没有在空间考虑问题，还是局限于初中平面几何的思维方式；错解三：认为（3）正确，没有正理解线面平行的定义.正解：（1）当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故（1）错；（2）由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故（2）错；（3）过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故（3）错；（4）过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故（4）对.二、定义理解不清导致错解例3 四面体ABCD中如图所示，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD=AC=1，求EF的长度.错解：取AD中点O，连OE，OF，直接由条件得∠EOF=60°得EF=OE=OF=12.错因分析：没有真正理解两异面直线所成角的定义，∠EOF可能是BD，AC所成的角或其补角.在解题过程中，通过直线的平移得到角，只有锐角或直角才是两异面直线所成的角.正解：取AD中点O，连OE，OF，∵OE∥BD，OF∥AC，∴OE与OF所成的锐角或直角，即为BD，AC所成的角，而BD，AC所成的角为60°，所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=12.当∠EOF=120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，EF=2EM=2×34=32.三、忽视判定定理中的条件导致错解例4 已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：平面BDF∥平面B1D1E.错解：错解一：漏掉解题过程中的BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E.错解二：漏掉解题过程中的BF∩BD=B.错因分析：缺一不可，应用判定定理时需把条件罗列完全.错解二：忽视了面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不可，若没有两”相交”直线这个条件，不一定有面面平行，也可能相交.正解：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EGA1B1，A1B1C1D1，∴EGC1D1，四边形EGC1D1是平行四边形.∴D1EGC1，又∴BGC1F，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E，又BF平面B1D1E，D1E平面B1D1E，∴BF∥平B1D1E.又∵BD∥D1B1，同理可得BD∥平面B1D1E，又BF∩BD=B，由平面与平面平行的判定定理得：平面BDF∥平面B1D1E.四、盲目地套用性质定理导致错解例5 如图所示，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平形四边形.错解：平面A1ADD1∥平面B1BCC1，由面面平行的性质定理得D1E∥FB，同理EB∥FD1，所以四边形BED1F是平形四边形.错因分析：主要错误在于没有确定B，E，D1，F四点是否满足面面平行的性质定理的条件，盲目地套用性质定理.正解：如图所示，取D1D的中点G连接EG，GC.∵E是AA1的中点，G是D1D的中点，∴EGAD.由正方体性质知BCAD，∴EGBC，所以四边形EGCB是平形四边形，∴EBGC ①又∵G，F分别是D1D，CC1的中点，∴D1GFC，四边形是D1GCF平形四边形，∴D1FGC ②由①②得EB∥D1F. ③又平面A1ADD1∥平面B1BCC1，平面EBFD1∩平面A1ADD1=ED1，平面EBFD1∩平面B1BCC1=BF，∴ED1∥BF，④由③④得，四边形BED1F是平形四边形.例6 已知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示，求证：PA⊥平面ABC.错解：在平面ABC内任取一点D，过点D在平面ABC内作平面ABC的垂线DG，平面PAC的垂线DF.错因分析：不能说作平面的垂线，在一个平面内作另一个平面的垂线，若两个平面不垂直，则不能作出，若两个平面垂直，只需作交线的垂线即可.正解：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴DF⊥平面PAC，∵PA平面PAC，∴PA⊥DF.同理可证：PA⊥DG，DF∩DG=D，且DF平面ABC，DG平面ABC，∴PA⊥平面ABC.。
ʏ袁华立体几何中的概念多㊁定理多,且图形复杂,解题时需要有较强的空间想象能力,稍不注意,就会出错㊂下面就解题中的典型易错题进行举例剖析㊂易错点1:在直线与平面平行中,忽视直线是否在平面内的情况例1若直线l与平面α内的一条直线平行,则l和α的位置关系是()㊂A.l⊂αB.lʊαC.l⊂α或lʊαD.l和α相交错解:应选A㊂错因分析:若平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行㊂错解忽视了 平面外 这个重要条件㊂题中的直线l 与平面α内的一条直线平行,也可能lʊα㊂正解:直线l与平面α内的一条直线平行,当l⊄α时,由线面平行的判定定理知,lʊα,也有可能l⊂α,这时lʊα㊂应选C㊂动手实战1:下列结论错误的个数是()㊂①若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行;②若直线aʊ平面α,Pɪα,则过点P且平行于直线a 的直线有无数条;③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行;④如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面㊂A.0B.1C.3D.2提示:若一条直线和平面内的一条直线平行,当该直线也在平面内时,那么这条直线和这个平面不平行,①错误㊂若直线aʊ平面α,Pɪα,则过点P且平行于直线a的直线只有一条,②错误㊂一个平面内的两条直线平行于另一个平面,当这两条直线平行时,这两个平面平行或相交,③错误㊂如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,④正确㊂应选C㊂易错点2:错误认为无数等于所有例2下列命题正确的是()㊂A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C.各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥错解:应选A㊂错因分析:一条直线与平面内的无数条直线垂直,这里的 无数条直线 不等于 所有直线 ㊂正解:对于A,一条直线与平面内的任意直线垂直,则这条直线与平面垂直,而无数条直线可以是一组平行直线,A不正确㊂对于B,由平行公理知,过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行,B不正确㊂对于C,因为各面都是正三角形的四面体是正四面体,而正四面体的外接球球心和内切球球心重合,所以C正确㊂对于D,在三棱锥P-A B C 中,A B=B C=C A=P A=2,P B=P C=3,显然三棱锥P-A B C的侧面都是等腰三角形,而三棱锥P-A B C不是正三棱锥,D不正确㊂应选C㊂动手实战2:下列命题中正确的个数是()㊂①若直线a上有无数个点不在平面α内,则aʊα;②若直线aʊ平面α,则直线a与平面α内的任意一条直线都平行;③若直线aʊ直线b,直线bʊ平面α,则直线aʊ平面α;13易错题归类剖析高一数学2023年4月Copyright©博看网. All Rights Reserved.④若直线a ʊ平面α,则直线a 与平面α内的任意一条直线都没有公共点㊂A.0B .1C .2D .3提示:对于①,若直线a 上有无数个点不在平面α内,则直线a 可能与平面α相交,也可能与平面α平行,①错误㊂对于②,当直线a ʊ平面α时,直线a 与平面α内的直线平行或异面,②错误㊂对于③,当直线a ʊ直线b ,直线b ʊ平面α,则直线a ʊ平面α,或直线a 在平面α内,③错误㊂对于④,当直线a ʊ平面α时,则直线a 与平面α无公共点,所以直线a 与平面α内的任意一条直线都没有公共点,④正确㊂应选B ㊂易错点3:忽视异面直线所成角的范围例3 如图1,在直三棱柱A B C -A 'B 'C '中,A C =B C =A A ',øA C B =120ʎ,E 为B B '的中点,则异面直线C E 与C 'A 所成角的余弦值是()㊂ 图1A.-105B .105C .-1010D .1010错解:直三棱柱A B C -A 'B 'C '向上方补形为直三棱柱A B C -A ᵡB ᵡC ᵡ,其中A ',B ',C '分别为各棱的中点,取B 'B ᵡ的中点D ',可知C E ʊC 'D ',则异面直线C E 与C 'A 所成角即为C 'D '与C 'A 所成角㊂设C B =2,则C 'D '=5,C 'A =22,A D '=21㊂在әA C 'D '中,由余弦定理得c o søA C 'D '=8+5-212ˑ22ˑ5=-105㊂应选A ㊂错因分析:上述解法忽视了异面直线所成角的范围为0,π2㊂显然,两条异面直线所成角的余弦值一定是正数㊂正解:直三棱柱A B C -A 'B 'C '向上方补形为直三棱柱A B C -A ᵡB ᵡC ᵡ,其中A ',B ',C '分别为各棱的中点,取B 'B ᵡ的中点D ',可知C E ʊC 'D ',则异面直线C E 与C 'A 所成角就是C 'D '与C 'A 所成角,即øA C 'D '㊂设C B =2,则C 'D '=5,C 'A =22,A D '=21㊂在әA C 'D '中,由余弦定理得c o søA C 'D '=8+5-212ˑ22ˑ5=-105,故异面直线C E 与C 'A 所成角的余弦值为105㊂应选B ㊂动手实战3:如图2,空间四边形A B C D中,A B ㊁B C ㊁C D 的中点分别是P ㊁Q ㊁R ,且 图2P Q =3,Q R =5,P R=7,那么异面直线A C 和B D 所成的角是( )㊂A.30ʎB .60ʎC .120ʎD .150ʎ提示:由题意得P Q ʊA C ,Q R ʊB D ,所以异面直线A C 和B D 所成的角即为øP Q R(或其补角)㊂在әP Q R 中,由余弦定理得c o søP Q R =P Q 2+Q R 2-P R 22P Q ㊃Q R =-12,所以øP Q R =120ʎ,所以异面直线A C 和B D 所成的角为60ʎ㊂应选B ㊂设α,β为两个不同的平面,则αʊβ的充要条件是( )㊂A .α内有无数条直线与β平行B .α,β垂直于同一平面C .α,β平行于同一条直线D .α内的任何直线都与β平行提示:α内有无数条直线与β平行,这时α与β可能相交,A 错误㊂α,β垂直于同一平面,这时α与β可能相交,B 错误㊂α,β平行于同一条直线,这时α与β可能相交,C 错误㊂若α内的任何直线都与β平行,则αʊβ,D 正确㊂应选D ㊂作者单位:重庆市开州中学(责任编辑 郭正华)23 易错题归类剖析 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
中考数学易错题系列之立体几何在中考数学中，立体几何是一个较为重要的考点，也是学生容易出错的地方。
本文将针对中考数学中的立体几何易错题进行分析和解答，帮助学生加深对该知识点的理解。
一、立体几何的基本概念立体几何是研究空间图形的形状、结构和性质的数学分支。
在中考中，我们常见的立体图形有立方体、长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体等。
理解这些图形的基本概念对于解决立体几何题目非常重要。
1. 立方体（Cube）：所有的边长相等，六个面都是正方形。
2. 长方体（Cuboid）：所有的边长不相等，六个面都是矩形。
3. 正方体（Square Pyramid）：底面是正方形，侧面是由底面上的顶点引出的三角形。
4. 圆柱体（Cylinder）：底面是圆形，侧面是由底面上的每一点引出的射线。
5. 圆锥体（Cone）：底面是圆形，侧面是由底面上的每一点引出的直线段与顶点相连形成的曲面。
6. 球体（Sphere）：所有点到圆心的距离都相等。
二、立体几何易错题解析与解答1. 在一个立方体中，对角线之间的夹角是多少度？答：立方体的对角线为立方体的空间对角线，经过对角线的两个顶点和立方体中心。
根据立方体的对称性可知，任意两条对角线夹角为90度。
2. 在一个长方体中，当六个面都给出时，求长方体的体积。
答：长方体的体积可以通过长度、宽度和高度的乘积来计算。
当六个面都给出时，我们可以找到长方体的三个边长，分别为a、b和c。
则长方体的体积V为V = a * b * c。
3. 圆柱体的体积公式是什么？答：圆柱体的体积可以通过底面积和高来计算。
圆柱的底面为圆形，半径为r，高度为h。
则圆柱体的体积V为V = π * r² * h。
4. 球体的表面积公式是什么？答：球体的表面积可以通过半径来计算。
球的半径为r，则球体的表面积S为S = 4 * π * r²。
5. 在一个圆锥体中，当给出底面半径和高时，求圆锥体的体积。
答：圆锥体的体积可以通过底面积和高来计算。
高考数学易错知识点：立体几何立体几何由三部分组成，一是空间几何体，二是空间点、直线、平面的位置关系，三是立体几何中的向量方法.高考在命制立体几何试题中，整理了高考数学易错知识点：立体几何，供参考。
对这三个部分的要求和考查方式是不同的.在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断、考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题，试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题;在空间点、直线、平面的位置关系部分，主要以解答题的方法进行考查，考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问;对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.线面关系中三类平行的共同点是无公共点三类垂直的共同点是成角90.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行;线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.直线与平面所成角的范围是;两异面直线所成角的范围是.一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角(直角)情况即可.立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法，特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为时，其所成角的大小应为.特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量与所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形.三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等(充要条件);内心：三侧面与底面所成的二面角相等(充要条件);垂心：相对的棱垂直(充要条件)或三侧棱两两垂直(充分条件)..关注正棱锥中的几个直角三角形：(1)高、斜高、底面边心距组成的直角三角形;(2)侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形;(3)底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.(4)高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.三、易错点点睛2.(1)正方体ABCDA1 B1 C1 D1中，p、q、r、分别是AB、AD、B1 C1的中点。
2025年高考数学立体几何全方位剖析在高考数学中，立体几何一直是一个重要且具有挑战性的板块。
对于即将参加 2025 年高考的同学们来说，深入理解和掌握立体几何的知识与解题技巧至关重要。
接下来，让我们对其进行全方位的剖析。
一、立体几何在高考中的地位和考查趋势立体几何在高考数学中占据着相当重要的地位。
它不仅能够考查同学们的空间想象能力、逻辑推理能力，还能检验对数学基本概念和定理的掌握程度。
近年来，高考中对立体几何的考查呈现出一些明显的趋势。
首先，题目更加注重与实际生活的联系，通过构建真实的场景，如建筑设计、包装问题等，来考查同学们运用立体几何知识解决实际问题的能力。
其次，对空间向量的运用要求逐渐提高，利用空间向量解决角度和距离问题成为常见考点。
再者，综合性更强，常常将立体几何与函数、不等式等知识相结合，增加了题目的难度和复杂性。
二、立体几何的基本概念和定理1、点、线、面的位置关系点是构成空间几何体的基本元素，线是由无数个点组成，面则是由线所围成。
其中，线线、线面、面面的平行与垂直关系是重点。
2、棱柱、棱锥、棱台棱柱具有两个平行且全等的底面，侧面是平行四边形。
棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面。
棱台则是由棱锥截去一部分得到，上下底面平行且相似。
3、圆柱、圆锥、圆台圆柱以矩形的一边所在直线为轴旋转而成，圆锥以直角三角形的一条直角边为轴旋转而成，圆台是由圆锥截去一部分得到。
4、球球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合，其表面积和体积公式需要牢记。
三、立体几何中的空间向量空间向量为解决立体几何中的角度和距离问题提供了一种有力的工具。
1、向量的坐标表示建立合适的空间直角坐标系，确定点的坐标，从而表示出向量的坐标。
2、线线角通过向量的点积公式计算两直线方向向量的夹角余弦值，进而得到线线角。
3、线面角找出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出线面角。
4、面面角计算两个平面的法向量夹角，再根据二面角的大小与法向量夹角的关系求出面面角。
解题篇易错题归类剖析高考数学2020年12月申w昴错氯剖橋■浙江省湖州市菱湖中学吴凯立体几何是高中数学重要内容之一，高实线，看不见的棱要画成虚线，因此，我们在考常考题型有三视图、线面位置关系的证明与判断、空间角的计算、动态问题、翻折问题看三视图时一定要看清楚虚实线$易错点2——混淆了三视图中长度的真等，其主要考查同学们的空间思维能力和逻正意义辑推理能力，有时一些角度和距离问题也可以用空间向量来解决，较多问题属于基础题,难度适中$同学们在复习过程中会因认知受限，容易出现错解，本文对立体几何中的易错问题归类剖析，以助同学们解题时能乘风破浪，所向披靡。
易错点1——忽视了三视图中的虛线!!若一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为W-l^+<-l->1正视图侧视图何体的三视图如图4所示（正视图为等腰三角形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形），则该几何体的最短棱长为_____，最长棱长为_____$错解：最短棱为2；最长棱长为22$!2已知某几/2V2</2正视图侧视图俯视图图4)$A.2B.—62C.1D.—俯视图'图1错解：A或B或C$错因剖析：根据俯视图是一个梯形，误以为底面是一个四边形，忽视俯视图中虚线的存在，就认为该几何体是一个四棱锥，如图2,此时体积V—11s^ABCD*$C—1-1（1+图22)•1•2=1,错选C。
正解：该几何体是一个斜三棱锥（如图3）,其底面是一个三角形（△A BD'，俯视图中的虚线在本题中起到了至关重要的作用，它代表着底部的一条棱，故体积V——S△ABD*图-112$C=——•2•1•2—百。
故选D。
点睛：在三视图中，规定看得见的棱画成错因剖析：将正视图和侧视图中的2当作了底面边长，实际上，正视图中的2指的是OA和OC的长，侧视图中的2指的是OB和OD的长$正解：根据二视图画出其直观图，该几何体是一个四棱锥（如图5）,通过计算，易知最短棱$D及底面边长均为2,最长棱为$B=23$B点睛：三视图中的线段长并不能简单地认为就是棱的实际长度，当棱平行于所视方向时，看到的只是一个点，当棱斜对所视方向时，看到的长度小于实际长度，只有当棱垂直所视方向时,它代表的才是实际长度$易错点-——无法判断翻折问题中角度的大小变化!#如图6,在矩形ABCD中，AB—4,AD—3,E为边AD上的一点,DE=1,现将A ABE沿直图6线BE折成W BE,使得点A'在平面24解题篇易错题归类剖析LLL L理高考数学2020年12月L工L丿BCDE上的射影在四边形BCDE内(不含边界'设二面角A-BE-C的大小为9,直线ABAC与平面BCDE成的角分别为a$,则('A*$*a*9B*$*9*aC.a*9*$D.a*$*9错解：A或B或C$错因剖析：翻折前后，对于长度、角度及相互的位置关系是否发生变化不能准确判断，尤其是线面角、二面角的大小就更加难于辨别正解：如图7所示，在矩形ABCD中，过A作A2丄BE于点O,将(ABE沿直线BE折成(ABE,则点A'在平面图7BCDE内的射影C在线段02上，设A'到平面BCDE上的距离为「则A (DAP)(CBP,所以而h=A，O,由线面角、二面角的定义得Ah9=oo,h h@玄口a—o—，如门$—o C°结合题目条件易知O'O*O'B,O'O* O'C,所以tan9最大，即9最大，当O'与O重h h h 合时，(tm a)max=，(@9$)m9=OC，因为0—h*0C，所以(@9a)max*(@9$'9，则@9a* @9$，所以a*$,所以a*$*9$故选D$点睛:在判断空间角度大小的时候，由角度的正切值可以知道，在高一样的条件下，角度的大小等价于考虑射影的长短，射影越短而角度越大$易错点4—未能将空间问题-平面化"!$如图8,已知平面a丄$,1$=l A^B是直线l上的两点C.D是平面$内的两点，且DA丄lCB丄lAD=3,图8 AB—6,CB=6,P是平面a上的一动点，且直线PD PC与平面a所成角相等，则二面角P-BC-D的余弦值的最小值是() A-//b//1C2D1错解：A或B或D$错因剖析：本题综合性较强，条件多且复杂，难度大，要求考生具备扎实的基础知识和逻辑推理能力，尤其是在“过动点P形成的两条直线与平面a所成角相等”这个问题上需要合理的等价转化，得到PB—2PA的数量关系，进一步获得动点$的轨迹，最后通过数形结合找到结论所处的临界位置获得答案。
