例;求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。ppt课件

1
0 1.5
N
材料 钢 筋 砼
杆件 N P N
l
A
N N Pl EA
AD 4.74P 1.58 0.263l Ac
1 .97 Pl Ec Ac
DC DE
4.42P 1.58 0.95P 0
0.263l Ac 0.088l0.75Ac
1 .84 Pl Ec Ac
0
NN Pl EA
3 .81 Pl Ec Ac
产生位移的原因
位移发生的位置
2、虚功原理
பைடு நூலகம்
虚力原理：在给定的位移状态与虚设的力状态之间应用虚
3、虚功原理
功原理，这种虚功原理的形式称为虚力原理。
虚位移原理：在给定的力状态与虚设的位移状态之间应用
虚功原理，这种虚功原理的形式称为虚位移原理。
30.11.2019
课件
5
三、虚力原理
c1 A a
A
R1
a
——虚设力系求刚体体系位移

d dsds
R
dds dds
刚体虚功原理求位移。
应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。
d M N Q M d N d Q d
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11
二、结构位移计算的一般公式
i

d(M N Q )ds i


1 2l
cA
A
1 2l
B
C
2
l
D
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
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课件
7
例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因
例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因

15/42 8/42
4/42
第31页/共44页
3.5/42
例7． 含弹簧支座结构的位移法
求作弯矩图，
KN
EI 16
q
A EI1
KN
B
2EI
EI
C EI 4m
4m
D
6m
E
解：1）位移法变量：θB ，第3θ2C页/共44页
例7． 含弹簧支座结构的位移法
2）附加约束，作MP图，并求R1P ，R2P
2）附加约束，作MP图，并求R1P ，R2P
7.5 kNm R1P
R2P
2kN
R1P VBC
R1P= -2+7.5/4= -0.125 R2P=0
第28页/共44页
例6． 含弹簧支座结构的位移法
3)...作M1图与M2图，求rij
3i/L
B
r11
C
8i/L
4i/L r21
B点侧移1，B、C结点各转角1/4
例4． 含无限刚性杆结构的位移法
3)...作M1图与M2图，求rij
Δ=1 C
A
θ=1/2
R11 先作出ΔBV=1时的变形图，观察各杆 的杆端侧移、转角情况。 AB杆：侧移Δ= -1 ，B端转角θ=1/2 ； BC杆：侧移Δ= 1，弦转角θ=1/2 ； CD杆：无侧移，C端转角θ第=118页/2/，共44页 DE杆：无侧移，无杆端转角。
第26页/共44页
例6．
求作弯矩图。 KM
4EI L
10 KN 2 kN
B A EI
EI1
EI C
EI
解：1）由于BC杆无限 刚性，C点无侧移，B 加水平支杆后，BC杆 无弦转角。位移法变量： 4m ΔBH ，θD D

( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip

yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP

x
dx
M(x)
α
x
x0
M
y0
l M ( x) M ( x)dx
tg x M( x)dx l M图静矩 Sy tgα A x0
A y0
以上简化Mohr积分的方法
——图乘法
1. 二图同侧为＋，反之为－ ；
2. 其中一图必须是直线；
y0 须取自直线图
第26页/共52页
二.图形面积和形心
• 一次斜直线
F1
M T
N Q
变形体系的两状态:
外力与内力 （平衡）
彼此独立
位移与变形（连续协调） 互不无关
（荷载/支座移动/变温…）
变形体的虚功原理:
ds
∆
d
d
d
外虚功 =
（荷载/反力在 位移上作功）
内虚功 （内力在 变形上作功）
单位荷载求变形体系位移
ds d
Nd Qd Md Td
第10页/共52页
Rk Ck
MM EI
ds
ห้องสมุดไป่ตู้
NN EA
l
TT GIt
d
s
应用莫尔定理求位移时， 需计算下列形式积分：
M(x)M(x)dx
l
M(x)、M(x) 中，只要有一是线性（一次函数） ——以上积分即可简化：
一.方法
下设 M(x)图形是直线,
（直杆M(x)图必定是直线）
第25页/共52页
y y
O
M(x)
（M图形面积） M CA
1/l
l B
AB
AB
W
1 l
C
1 l
B
B
（力偶矩=1）
C B

二、 单位荷载法 1、定义：在所求点所在位移方向加上单位 力，将实际状态的真实位移视作虚拟平衡状态的 虚位移。应用虚功原理，通过加单位荷载求实际 位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
F K+ FRiCi= M d + FNdu + FQdv
式中， F =1 则
六．线弹性体系的特征 1）结构的变形与其作用力成正比
若单位力P1=1作用下产生
的位移δ ，则力P作用下在 K处产生的位移为Pδ
2）结构的变形或位移服从叠加原理
P1
P2
Pi
K Δ
Pn
δ K i 表示Pi=1时 在K处产生的位移。
Δ= P1 K 1 P2 K 2 Pn Kn
P
i i 1
n
Ki
6.2 变形体系的虚功原理 一、变形体的虚功原理 功：力对物体作用的累计效果的度量。 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功 ：力在自身引起的位移上所作的功 静力荷载：荷载由零逐渐以微小的增量缓慢地增加 到最终值。结构在静力加载过程中，荷载及内力始 终保持平衡。
虚功： 力在其他因素引起的位移上作的功 其特点是位移与作功的力无关，在作功的过程 中，力的大小保持不变 梁弯曲后，再在点2处加静力荷载FP2，梁产生新 的弯曲。位移△12为力FP2引起的FP1的作用点沿FP1 方向的位移。力FP1在位移△12 上作了功，为虚功， 大小为 W12=FP1△12，此时力不随位移而变化，是 常力。
单位广义力有截然相反的两种设向，计算出的 广义位移则有正负之分： 正值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相同 负值表示广义位移的方向与广义力所设的指向相反
力的虚设方法
Fp=1 C Fp=1 B C

-FP ΔP +FB ΔB=0
ΔP
FP
FAx
ΔB
FAy
ppt课件
FB
第二节
变形体虚功原理
2 虚功原理 （1）刚体系的虚功原理
刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的 虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。
（2）变形体的虚功原理
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位 移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功 We恒 等于变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi。
ppt课件
回顾
（1）质点系的虚功原理
具有理想约束的质点系，在某一位 置处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于质 点系的主动力所做虚功之和为零。也 即
FP1
FN 1
→. → Σfi δri=0
ppt课件
FP 2
m m
2
1
FN 2
（2）刚体系的虚功原理
去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。 则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 作用于刚体系的所有外力所做 虚功之和为零。
ppt课件
第一节
位移计算概述
建筑起拱
如屋架在竖向荷 载作用下，下弦 各结点产生虚线 所示位移。
将各下弦杆做得 比实际长度短些， 拼装后下弦向上 起拱。 在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。
ppt课件
第一节
位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
荷载
温度改变或 材料胀缩 支座移动或 制造误差
dWz=dWe+dWi Wz= We+ Wi
1 2 作功双方其一是虚设的； 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。 ppt课件

相对位移 △CD= △C+ △D
3. 计算位移的目的
（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。 （3）为分析超静定结构打 基础。
△ 起拱高度
除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。 结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。 返4回
B
变力 W= 1 M· ϕ 2
（d ）
返6回
P
（2）实功与虚功 实功： 力本身引起的位移上所作的功。 例如： W=
A 力在其它 虚功： 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。
△2
2
A
P1
△1
1
B P2 B
例如：
W12=P1·△2
返7回
2. 变形体的虚功原理：
A RA
P
M
q B dS
q
RB N+dN Q+dQ
Q N 力状态 A
ds B dS
dWi=Ndu+QγdS+Mdϕ Wi=
（6—2)
整个结构内力的变形虚功为
虚功方程为
W=
（6—3)
dS du
dϕ
γ γ
dS
位移状态
dS
9
返dx γ回
§6—3 位移计算的一般公式
k 1. 位移计算的一般公式 t1 K △K t2 c3 K ds 设平面杆系结构由 ds k Ｒ ３ K′ 于荷载、温度变化及支 k P1 座移动等因素引起位移 du、dϕ、γdS N MQ 、、 如图示。 Ｒ １ c2 求任一指定截面K K c1 ２ 沿任一指定方向 k—k 实际状态－位移状态 Ｒ 虚拟状态－力状态 上的位移△K 。

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
Page 10
14:26
LOGO
温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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14:26
LOGO
结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

Q0l1.2G qxA dx0.G 6qA 2l
M

lqx3 dxql4 02EI 8EI
l qx 0.6q2l A
Q01.2G
dx A
GA
q
B
L
Q 4.8 EI
M
GA2l
E 2(1) 8
G
3
I h2 A 12
M Q 4.8GEA 2Il1.06(h 7 l)2
2F Pd(22)6.8F aphic Multiplication Method
一 图乘法应用条件与计算公式
梁和刚架在荷载作用下的位移计算式



MMPd EI
s
当结构的各杆段符合下列条件时：
（1）杆轴为直线； （2）各段EI＝常数； （3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作
形相乘法的计算位移的方法，简称为图乘法
根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各点：
（1）必须符合上述三个条件
（2）纵距 y 0只能取自直线图形
（3）A与 y 0 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负号
常用的几种图形的面积和形心
2l/3
l/3
a
b
A
形心
l
h
h
形心
A
（l+a)/3
(l+b)/3
第四章 结构位移计算
§4.1 概述
一 结构的位移
在荷载、温度改变、支座移动等外因作用下，结构上各点 各截面发生移动、转动，这些移动和转动统称为结构位移
A △Ay
A △A
A′ A′
△Ax
θA
△A A A′

位移法应用： •圆轴扭转横截面切应力推导； •直梁弯曲横截面正应力推导。
例题
求图示桁架各杆的轴力，EiAi，li 与 i 均为已知
1. 问题分析 变形 li 可用位移 u 与 v 表示 轴力 FNi 也可用位 移 u 与 v 表示 由平衡条件确定 u 与 v 力法解－n-2个未知量；位移法解－2个基本未知量
转角 θ= 0
仅存在反对称性内力 －剪力 FS
而M=0，FN= 0 横向挠度 f = 0
§4 平面刚架空间受力分析
平面刚架空间受力及其特点 平面静不定刚架空间受力分析
平面刚架空间受力及其特点 平面刚架空间受力
平面刚架－轴线位于同一平面的刚架 空间受力－外载荷均垂直于刚架的轴线平面
变形与受力的特点
1. 问题分析
n-1度静不定, n大时力法 求解不便
确定后, li 与FNi 亦确定 2. 以 为基本未知量求解
三 方
li ai
FNi
n
Ei Ai li
ai
面 M A 0， FNiai Fa 0
i 1
n
i 1
Ei Ai li
ai2
Fa
0
n Fal FNi
Ei Aiai2
i 1
第十四讲
第十四章 静不定问题分析
§1 引言 §2 用力法分析静不定问题 §3 对称与反对称静不定问题分析 上讲回顾 §4 平面刚架空间受力分析
第十八章 杆与杆系分析的计算机方法
§1 位移法概念
对称面上受力与变形特点——特点
对 称 承 载
反 对 称 承 载
仅存在对称性内力－ 弯矩M与轴力FN，
而剪力 FS ＝ 0 轴向位移 Δ= 0
2Me GI p

1 A y0 EI
o

Mi = x tgα
y0 y0 = x0 tgα
Mi图 x
应用图乘法计算的注意点： ⑴ y0 与A 的取值： y0 一定取自直线图形，对应取A 图形的形心处。 A 则取 自另一个图形，且取A 的图形的形心位置是已知的。 ⑵ 若 y0 与A 在杆轴或基线的同一侧，则乘积A y0 取正号；若 y0 与A 不在杆轴 或基线的同一侧，则乘积A y0 取负号。
2、几种常见图形的面积和形心的位置
h
2l/3 三角形A = hl/2 l/3
顶点 FQ=0 h
l/2
l/2
标准二次抛物线A = 2hl/3 顶点 FQ=0
h h
顶点 FQ=0 3l/4 l/4
5l/8
3l/8
标准二次抛物线A = hl/3
标准二次抛物线A = 2hl/3
例：试求图示刚度为 EI 的简支梁 B 端截面的角位移。 解：⑴ 画出两种状态的弯矩图。 ⑵ 图乘计算 B ：
l 2ac 2bd ad bc 6
式中同侧为正，异侧为负
3、应用图乘法时的几个具体问题
⑴ 如果两个图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形。
⑵ 如果EI 分段为常数或取 y0 的图形为折线时，应分段图乘再叠加。 ⑶ 如果图形比较复杂，则可将其分解为几个简单图形，分项图乘计算后
再进行叠加。
MP
A B C D
A2
b
A1
A B
A2
C
A3
D
a
A1
y2 l/3 l/3
M1
d
M
y1
y2
y3
c l/3
y1
y1