(教师参考)高中数学 1.3 函数的基本性质 单调性课件 新人教A版必修2
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函数的单调性-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
这个问题.
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.
2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−
2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =
；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.
当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题.
问题导入
思考1：下图(1)是跳水运动员的重心相对于水面的高度ℎ随时间变化的函数
l
ℎ() = −4.9 2 + l4.8
+ 11的图象，图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数
’
() = ℎ () = −9.8 + 4.8的图象. =
令 ’ ()
=
2 2 −1
.
2
，
2
< 0，得0 < <
∴()在(0,
= 2
1
−
2
，
2
2
2
)上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2
2
∴函数()的单调递减区间为(0,
2
2
)，单调递增区间为( , +∞).
2
2
练习
例2.求下列函数的单调区间.
(2)() =
；
−2
’
解(2)：函数()的定义域为(−∞, 2) ∪ (2, +∞)， () =
当 = 1，或 = 4时， ’ () = 0.
O
1
4
x
试画出函数()图象的大致形状.
解：当1 < < 4时， ’ () > 0，可知()在区间(1,4)内单调递增；
当 < 1，或 > 4时， ’ () < 0，可知()在区间(−∞, 1)和(4, +∞)上都单调递减；
2
.
当 > 0时，若 ∈ (−∞, 0)，则 ’ () > 0.
若 ∈
2
(0, )，则 ’ ()
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
板书设 计
设计意图：引起学生的认知冲突，把学生的注意力从图表上转到解析式上， 让学生体会从解析式上研究函数单调性的必要性。
15
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
教河南学跨过境程E 贸设易计
问题4
y 5 4 3 2 1 O 1x12 x23 4 x
板书设 计
设计意图
用具体的例子将学生对函数的单调性的认识从函 数图表过渡到函数的解析式，使学生对单调性的认识 由感性认识上升到理性认识的高度。
体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。培养学生的观察能
设计意图
力和用运动变化的观点看问题，同时渗透了数形结合和类比的思想，加 深学生对定义Leabharlann 理解。18教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情
例1
分析
教法学法 分析
河教南学过跨程境 E设贸计易
板书设 计
设计意图：例1旨在让学生学会通过函数 图象来判断函数的单调区间及在各区间的 单调性；并加深对单调性是局部性质的理 解。
函数的单调性是学习其它数学知识的重要基础。
（1）函数单调性概念的形成；
2、单调函数、单调区间：
设计意图：引起学生的认知冲突，把学生的注意力从图表上转到解析式上，让学生体会从解析式上研究函数单调性的必要性。
观察法 学法 函的数内教的 容法单。学调性法是《普通高中课程标准实验教科书 数学必修一》人教A版第一章第三节
（1）函数单调性概念的形成；
启同发时教学 为法生导学利数用的法图教象学和作单准调备性。概念解决相关实际的问题。 2、单分调函析数、单调区间：
让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。
函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
探索点三 函数单调性的应用 【例 3】 【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧 或与其 重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范 围为(- ∞,-3].
(2) 已 知 y=f(x) 在 定 义 域 (-1,1) 上 是 减 函 数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版 一（册20优19 秀）课高件中 数学必 修第一 册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是 增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其 中 y=f(x) 在 区 间 [-5,-2],[1,3] 上 是 增 函 数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
证明 ∀x1，x2∈R，且 x2>x1， 则 x2－x1>0， ∵当 x>0 时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0， ∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)<0， ∴f(x)为减函数.
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A版选修22
第四页，共44页。
自主预习学案
第五页，共44解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过 (chāoguò)三次的多项式函数的单调区间．
第六页，共44页。
重点(zhòngdiǎn)：利用导数判断函数的单调性． 难点：探索发现函数的导数与单调性的关系．
(1)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函
数，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝
1 3
x3－
1 2
ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调
递减，在(6，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[答案(dáàn)] (1)a≤－3 (2)5≤a≤7
第二十七页，共44页。
已知函数的单调(dāndiào)性，确定参数的取值 范围 设函数f(x)＝ax－ax－2lnx. 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围． [分析] f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，即f ′(x)≥0在 (0，＋∞)上恒成立(chénglì)，分离参数转化为求函数值域或数形 结合都可以求解．
第十二页，共44页。
新知导学 3．我们注意到若f(x)＝2x，g(x)＝3x，则f ′(x)＝2、g′(x)＝3 有f ′(x)＜g′(x)，从图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x) 增长的快得多． 分析图形我们发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个 区 间 上 或 某 点 附 近 变 化 的 快 慢 (kuàimàn) 程 度 ， 导 数 绝 对 值 越 大，函数增长(f ′(x)＞0)或减少(f ′(x)＜0)的越快．
第二十八页，共44页。
[解析] 若f(x)在定义域上是增函数，则 f ′(x)≥0对x>0恒成立， ∵f ′(x)＝a＋xa2－2x＝ax2－x22x＋a，x>0， ∴ax2－2x＋a≥0恒成立， 即a≥x22＋x 1对x>0恒成立， ∵x22＋x 1＝x＋2 1x≤1，当且仅当x＝1时取等号， ∴a≥1.
自主预习学案
第五页，共44解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过 (chāoguò)三次的多项式函数的单调区间．
第六页，共44页。
重点(zhòngdiǎn)：利用导数判断函数的单调性． 难点：探索发现函数的导数与单调性的关系．
(1)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函
数，则实数a的取值范围是________．
(2)若函数f(x)＝
1 3
x3－
1 2
ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调
递减，在(6，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[答案(dáàn)] (1)a≤－3 (2)5≤a≤7
第二十七页，共44页。
已知函数的单调(dāndiào)性，确定参数的取值 范围 设函数f(x)＝ax－ax－2lnx. 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围． [分析] f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，即f ′(x)≥0在 (0，＋∞)上恒成立(chénglì)，分离参数转化为求函数值域或数形 结合都可以求解．
第十二页，共44页。
新知导学 3．我们注意到若f(x)＝2x，g(x)＝3x，则f ′(x)＝2、g′(x)＝3 有f ′(x)＜g′(x)，从图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x) 增长的快得多． 分析图形我们发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个 区 间 上 或 某 点 附 近 变 化 的 快 慢 (kuàimàn) 程 度 ， 导 数 绝 对 值 越 大，函数增长(f ′(x)＞0)或减少(f ′(x)＜0)的越快．
第二十八页，共44页。
[解析] 若f(x)在定义域上是增函数，则 f ′(x)≥0对x>0恒成立， ∵f ′(x)＝a＋xa2－2x＝ax2－x22x＋a，x>0， ∴ax2－2x＋a≥0恒成立， 即a≥x22＋x 1对x>0恒成立， ∵x22＋x 1＝x＋2 1x≤1，当且仅当x＝1时取等号， ∴a≥1.
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“ 对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的 区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有 ”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞ f(x2)．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
高中数学人教A版选修2-2课件：1.3.1函数的单调性与导数-(2月23日) (共26张PPT)
x x x x
1
,
x x x
所以 y` lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
乐学变 1（1）根据导数的定义求函数 y f (x) x3 的导数.
（2）根据第（1）题及教材上结论，得
① x'=
；② (x 2 )' =
；
③(x3)' =
；④ (x 1 )' =
数 y f x,如何求它的导数呢?
根据函数的定义,求函数y f x的导数,
就是求出当x趋近于0时, y 所趋于的那 x
个定值.
下 面 我 们 求 几 个 常 用 函数 的 导 数.
1. 函数 y f x c的导数
因为 y f x x f x
x
x
y yc
c c 0, x
所以 y` lim y lim 0 0.
（1）从图象上看，它们的导数分别 表示这些直线的斜率.
y
y 4x
y 3x y 2x
（2）这三个函数中，y=4x增加得最 快, y=2x增加得最慢.
（3） y=kx(k>0)增加的快慢与k
（即函数的导数）有关，k越大，
函数增加得越快；
y=kx(k<0)增加的快慢与|k|
O
x
（即函数的导数的绝对值）有关，
x
1 x2
.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象, 描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
探究 画出函数y 1 的图象.根据图象, 描述它的 x
变化情况,并求出曲线在点1,1 处的切线方程.
【解析】做出图象如下（图1.2-2）：
1 结合图象及导数 y' x2 发现，
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
由x1＜x2，得x1－x2＜0．
于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．
所以，
新知探究
①当k＞0时，k（x1－x2）＜0．
解： ②当k＜0时，k（x1－x2）＞0．
于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．
问题导入
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
问题3 你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？
∀x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，
根据不等式的性质7就可以得到f（x1）＜f（x2）．
新知探究
追问4 你能类似地描述f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是减函数并证明吗？
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
就有f（x1）＞f（x2）．
证明：∀x1，x2∈（－∞，0]且x1＜x2，
4
4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
证明：因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
4
谢谢大家
再见
由V1＜V2，得V2－V1＞0，
新知探究
证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，
于是f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是增函数．
所以，
新知探究
①当k＞0时，k（x1－x2）＜0．
解： ②当k＜0时，k（x1－x2）＞0．
于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
这时，f（x）＝kx＋b（k≠0）是减函数．
问题导入
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
问题3 你能用函数的观点叙述图象从左至右上升（下降）吗？
∀x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
f（x1）＝x12，f（x2）＝x22，
根据不等式的性质7就可以得到f（x1）＜f（x2）．
新知探究
追问4 你能类似地描述f（x）＝x2在区间（－∞，0]上是减函数并证明吗？
若x1，x2∈[0，＋∞）且x1＜x2，
就有f（x1）＞f（x2）．
证明：∀x1，x2∈（－∞，0]且x1＜x2，
4
4．画出反比例函数y＝ 的图象．
目标检测
（1）这个函数的定义域I是什么？
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
所以f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
证明：因为x2－x1＞0，x1x2＞0，
4
谢谢大家
再见
由V1＜V2，得V2－V1＞0，
新知探究
证明：又k＞0，所以p1－p2＞0，即p1＞p2，
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的单调性课件 新人教A版必修2
时相反．
k (3)y＝x(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上 都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调 递增． (4)若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则①在定 义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调 1 递增．②－f(x)单调递减，③f(x)单调递减(f(x)≠0)． 5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性 f(x1) 时，也可以作商f(x )与 1 比较． 2
技巧，这是处理二次函数值域问题的常用方法． 用定义证明函数的单调性时，若 f(x)是“多项式”形 式，一般作差后合并“同类项”；如果 f(x)是分式形式，作 差后通分；如果 f(x)是根式，一般作差后先分子有理化．
(1)证明 f(x)＝－x2＋4x 在(－∞，2]上为增函数． (2)证明 f(x)＝
第三步：定号．确定差 f(x1)－f(x2)的符号．当符号不 ．．． 确定时，分区间进行讨论； 第四步：下结论，根据符号作出结论． ．．． 即“取值——作差变形——定号——下结论”这四 个步骤．
本节重点：函数单调性的概念及证明．
本节难点：用定义证明函数的单调性和求函
数的单调区间．
1．函数的单调性是对某个区间而言的，
对于闭区间上的连续函数来说，只要在开 区间上单调，它在闭区间上也就单调．因 此，在考虑它的单调区间时，包括不包括 端点都可以，写单调区间时，一般写成闭 区间．但必须注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点． 2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x) 在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B 上单调递减．
*[例 4]
ax 讨论函数 f(x)＝ 2 在 x∈(－1,1)上的单调 x －1
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
O
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y
x1＜x2 O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
x1＜x2 O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2) x1＜x2 f(x1)＜f(x2)
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？ y y＝f(x) f(x1) f(x2)
函数f (x)在给定
区间上为减函数.
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增函数、减函数的概念：
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？ y y＝f(x)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
-1 O x y y y＝－x2＋2x
O
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yy
2 2y＝－2x＋2
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y y 1 x
Ox
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y f ( x1)
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y x2
f ( x1)
x1 O
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y x2
f ( x1)
x 1 O0
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1985 1990 1994 1997 年份
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y
y＝x＋1
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y＝x＋1
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-1 O x
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2 2y＝－2x＋2
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y
y＝x＋1
1
-1 O x
y y y＝－x2＋2x
O
12 x
yy
2 2y＝－2x＋2
11 x
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y y＝x＋1
1
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
O x1 x2 x
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
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1985 1990 1994 1997年份
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长沙市日平均出生人数统计表
人数(人)
450 423 359
350
250 150
209 176
1985 1990 19941997 年份
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4
长沙市耕地面积统计表
面积(万公顷)
33.96 34 32
30
32.32
30.78 29.80
28
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
O x1 x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
y＝f(x)
在给定区间上任取x1, x2
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y
y x2
f ( x1)
x1O
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y
y x2
f ( x1)
O x1
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x
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y
y x2
f ( x1)
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O x1
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y
y x2
f ( x1) x
O x1
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y x2
f ( x1) x
O x1
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y
y x2
f ( x1)
O
x1
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质——单调性
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长沙市年生产总值统计表
生产总值 (亿元)
30
33.60
20
19.71
10 4.67 7.56
1985 1990 1994 1997 年份
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2
长沙市高等学校在校学生数统计表
人数 (万人)
15
10
15.38 14.04 12.13 10.79
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增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意
两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
f(x1)
f(x2)
x1＜x2 f(x1)＜f(x2) 函数f (x)在给定
O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象？
y y＝f(x) f(x1) f(x2)
在给定区间上任取x1, x2 x1＜x2 f(x1)＞f(x2)
O
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x2 x
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如何用x与f(x)来描述上升的图象？