一种基于灰色白化权函数的灰数灰度
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第 4 期
袁潮清等 :一种基于灰色白化权函数的灰数灰度
(1) 0 ≤ g0 ( ) ≤1 ; (2) 当 a1 = a2 , g0 ( ) = 0 , 即白数的灰度 为 0; (3) g0 ( ) 与μ( ) 成正比 ,与μ(Ω) 成反比 ; (4) g0 (Ω) = 1 ,其中 Ω为人所共知 , 无任何有 用信息. 下面就文中定义的灰度从这 4 个方面进行如下 说明 : 1) 因为
0 ≤ ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ≤1
| a2 | +| a1 |
又因为 0 ≤ S a1 a2 f e ≤ S a1 a2 dc ,即
0 ≤ S a1 a2 f e ≤1
S a1 a2 dc
所以 0 ≤ g0 ( ) ≤1. 2) 当 a1 = a2 ,
( | a2 - a1 | ) 1/ 2 = 0 | a2 | +| a1 | 所以 g0 ( ) = 0. 3) 由定义
一种基于灰色白化权函数的灰数灰度
袁潮清 , 刘思峰 3
(南京航空航天大学 经济与管理学院 , 江苏 南京 210016)
摘 要 :依据对现有几种灰数灰度的定义分析总结 ,提出了一种新的基于灰色白化权函数的灰度.
该灰度能较好地直观反映影响灰数灰度各个侧面 :灰数区间长度越接近灰数大小 ,灰度越大 ;白化
权函数与 X 轴所围成的图形面积越大 ,灰度就越大.
关键词 : 灰度 ;灰色白化权函数 ;灰色系统
中图分类号 :C 931
文献标识码 : A
A Grey Degree Based on Grey Whitening Weight Function
YUAN ChaoΟqing , L IU SiΟfeng 3
| a2 | +| a1 |
此外 ,文中定义的灰度还有如下性质 : 5) 当灰色白化权函数不变时 , 即 S a1 a2 f e/ S
a1 a2 dc 的值不变时 , | a2 | +| a1 | 越大 ,灰数的灰度 越小.
3 计算实例
可以通过灰数灰度的计算 , 来说明文中所提出 的灰数灰度定义的正确性和可行性. 选用 3 个灰数
第20067卷年第8
4期 月
Journal
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) of Jiangnan University( Natural Science
Edition)
Vol. 6
Aug.
No . 4 2007
文章编号 :1671 - 7147 (2007) 04 - 0494 - 03
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ·S a1 a2 f e (5)
| a2 | +| a1 |
S a1 a2 dc
对于只有区间 ,没有灰色白化权函数的灰数而
言 , 采 用 等 可 能 假 设 , 即 取 f ( x) = 1 , 此 时 ,
S a1 a2 f = S a1 a2 dc ,所以
灰数的背景测度 ,而是灰数取值的测度和灰数区间
的测度.
4) 背景是包含了一定信息的. 因为背景不是任
意的 ,背景的选择反映了人们的认识程度和知识水
平 ,因此 g0 (Ω) ≤1. 对于背景 , 可以把它当作白化
权函数为 f ( x) = 1 的特殊灰数加以处理. 因此其灰
度为
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ≤1
(3)
式中 ,μ( ) ,μ(Ω) 分别表示灰数取数域和背景的测
度. 但是该定义未能明确给出相应测度的计算方
法. 张岐山教授在文献 [8] 中给出了熵灰度的定
义[8] :ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g0 = H/ Hm
(4)
其中 , H , Hm 分别表示灰数的熵和最大熵. 但该定
义由于熵的计算是离散的 , 所以 , 其灰度的计算要
(2)
收稿日期 :2006 - 02 - 10 ; 修订日期 :2006 - 04 - 18. 作者简介 : 袁潮清 (1979 - ) ,男 ,安徽怀宁人 ,系统工程专业博士研究生. 3 通讯联系人 : 刘思峰 (1955 - ) ,男 ,河南平舆人 ,教授 ,博士生导师. 主要从事数量经济 、系统工程 、灰色系统等研
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 | a2 | +| a1 |
该灰数灰度在相同区间的灰数中灰度最大. 没有白 化权函数 , 说明对其只掌握了很少的信息 , 其灰度 自然就最大.
虽然上述灰数灰度的定义都存在一定的问题 , 但是这些定义都蕴涵着丰富的思想内涵. 邓聚龙教 授的式 (1) 定义表示灰度的大小由峰区的大小和 L ( x) , R ( x) 覆盖面积的大小决定. 式 (2) 中 , 刘思 峰教授的定义指出了灰区间长度及灰数的大小对 灰度的影响. 例如 , 灰数 (1 ,3) 和灰数 (99 ,101) 灰 区间的长度都是 2 , 再假设这两个灰数拥有形状完 全相同的白化权函数 , 那这两个灰色的灰度显然是 不一样的. 对于前者 , 灰区间长度和灰数大小接近 , 此时 , 灰数的取值对灰数大小的相对影响就非常 大;对于后者 , 灰区间的长度和灰数的大小不在一 个“量级”上 ,相对于均值白化数 100 ,灰数取值的相 对变动在 ±1 % 以内 , 可以说绝大多数的信息已经 被掌握. 式 (3) 定义中 , 说明在背景一定的情况下 , 灰数取数域越大 , 其灰度就越大 ; 式 (4) 定义中 , 灰 数取值的可能性越集中 , 则灰度越小. 当灰数各个 取值数的可能性相同时 , 则灰熵最大 , 灰度最大 , 此 时白化权函数变成 f ( x) = 1 ,即峰区和灰区间长度 相同 ;当灰数确定取某一个值时 , 即成白数 , 则灰熵 为 0 ,灰度最小 , 此时的白化权函数变成一个点 , 即 峰区退化成一个点.
通过对以上 4 种灰数灰度定义的分析 , 影响灰 数灰度的因素可以总结为以下两个方面 : (1) 灰数 的取值测度和区间测度大小 ; (2) 灰区间长度与灰 数是否处在一个“量级”上.
因此 ,从以上两个方面定义具有典型白化权函 数 (见图 1) 灰数的灰度. 用 | a2 - a1 | 表示灰区间长
灰数 a1 始点 b1 转折点 b2 转折点 a2 终点 灰数灰度
1 - 20
-5
5
2
20
35
45
3
20
25
45
20
0. 625
60
0. 442
60
0. 530
由表 1 可以看出 ,由于 1 的灰数区间和灰数 大小比 2 更加接近 ,所以 1 的灰度比 2 大 ; 由 于 3 的灰数取值测度比 2 大 ,所以 , 3 灰度比
定 ,反映的是其信息量的大小[1] . 邓聚龙教授将具有典型白化权函数灰数的灰
度定义[2 ] 为
g0 ( ) = 2 | b1 - b2 | + b1 + b2
max | a1 - b1 | , | a2 - b2 |
(1)
b1
b2
刘思峰教授曾给出了灰度的一种公理化定义[3Ο6] :
g0 (
)
=
l( ) ′
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ·S a1 a2 f e
| a2 | +| a1 |
S a1 a2 dc
不难看出 , g0 ( ) 与 S a1 a2 f e 成正比 ,与 S a1 a2 dc 成
反比. 但 S a1 a2 f e 和 S a1 a2 dc 不是灰数的取值域和
求灰数在区间内的可能取值是离散的.
1 一种基于灰色白化权函数的灰数 灰度定义
度 , 用 | a2 | +| a1 | 表 示 灰 数 的 大 小 , 所 以
( | a2 - a1 | ) 1/ 2 就可以反映灰区间长度和灰数大
| a2 | +| a1 |
小之间的关系 ; 用曲边梯形的面积 S a1 a2 f e 表示灰 数取值测度 , 用矩形面积 S a1 a2 dc 表示灰数区间测 度 ,其中灰数取值测度越大 , 灰度就越大 , 灰数区间 测度越大 , 灰度就越小. 因此具有典型白化权函数 的灰数 ,对其灰度作如下定义 :
495
其中 : l ( ) 为灰区间长度 ; ′ 为灰数均值白化数.
刘思峰教授在文献[1 ] 中指出了式 (1) 和式 (2)
的灰度定义 : (1) 不满足规范性 ; (2) 零心灰数的灰
度没有定义. 刘思峰教授在文献 [1 ] 中又给出了如
下的定义[1 ] :
g0 ( ) = μ( ) /μ(Ω)
图 1 典型的灰色白化权函数 f ( a1 , b1 , b2 , a2 ) Fig. 1 Typical grey whitening f unction f ( a1 , b1 , b2 , a2 )
2 灰数的灰度与灰度四公理
刘思峰教授在文献 [ 1 ] , [ 4Ο5 ]中提出了灰度四 公理 :
灰数是已知大概范围而不知其确切的数. 它是 灰色系统的基本单元. 在实际应用中 ,灰数指在某 一个区间或某个一般的数集内取值不确定的数 ,通 常用“ ”表示. 灰数可以通过人们对它的认识加以 白化. 通常 ,借助白化权函数来描述对一个灰数在 其取值范围内不同数值的“偏爱”程度. 典型的灰色 白化权函数记作 f ( a1 , b1 , b2 , a2 ) , 其中 a1 称为始 点 , a2 称为终点 , b1 , b2 称为转折点. 也就是说 ,灰色 白化权函数反映了人们在主观上掌握的该灰数的 信息 ,而灰数的灰度则是对该灰数的灰程度的测
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第 4 期
袁潮清等 :一种基于灰色白化权函数的灰数灰度
(1) 0 ≤ g0 ( ) ≤1 ; (2) 当 a1 = a2 , g0 ( ) = 0 , 即白数的灰度 为 0; (3) g0 ( ) 与μ( ) 成正比 ,与μ(Ω) 成反比 ; (4) g0 (Ω) = 1 ,其中 Ω为人所共知 , 无任何有 用信息. 下面就文中定义的灰度从这 4 个方面进行如下 说明 : 1) 因为
0 ≤ ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ≤1
| a2 | +| a1 |
又因为 0 ≤ S a1 a2 f e ≤ S a1 a2 dc ,即
0 ≤ S a1 a2 f e ≤1
S a1 a2 dc
所以 0 ≤ g0 ( ) ≤1. 2) 当 a1 = a2 ,
( | a2 - a1 | ) 1/ 2 = 0 | a2 | +| a1 | 所以 g0 ( ) = 0. 3) 由定义
一种基于灰色白化权函数的灰数灰度
袁潮清 , 刘思峰 3
(南京航空航天大学 经济与管理学院 , 江苏 南京 210016)
摘 要 :依据对现有几种灰数灰度的定义分析总结 ,提出了一种新的基于灰色白化权函数的灰度.
该灰度能较好地直观反映影响灰数灰度各个侧面 :灰数区间长度越接近灰数大小 ,灰度越大 ;白化
权函数与 X 轴所围成的图形面积越大 ,灰度就越大.
关键词 : 灰度 ;灰色白化权函数 ;灰色系统
中图分类号 :C 931
文献标识码 : A
A Grey Degree Based on Grey Whitening Weight Function
YUAN ChaoΟqing , L IU SiΟfeng 3
| a2 | +| a1 |
此外 ,文中定义的灰度还有如下性质 : 5) 当灰色白化权函数不变时 , 即 S a1 a2 f e/ S
a1 a2 dc 的值不变时 , | a2 | +| a1 | 越大 ,灰数的灰度 越小.
3 计算实例
可以通过灰数灰度的计算 , 来说明文中所提出 的灰数灰度定义的正确性和可行性. 选用 3 个灰数
第20067卷年第8
4期 月
Journal
江 南 大 学 学 报 (自 然 科 学 版) of Jiangnan University( Natural Science
Edition)
Vol. 6
Aug.
No . 4 2007
文章编号 :1671 - 7147 (2007) 04 - 0494 - 03
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ·S a1 a2 f e (5)
| a2 | +| a1 |
S a1 a2 dc
对于只有区间 ,没有灰色白化权函数的灰数而
言 , 采 用 等 可 能 假 设 , 即 取 f ( x) = 1 , 此 时 ,
S a1 a2 f = S a1 a2 dc ,所以
灰数的背景测度 ,而是灰数取值的测度和灰数区间
的测度.
4) 背景是包含了一定信息的. 因为背景不是任
意的 ,背景的选择反映了人们的认识程度和知识水
平 ,因此 g0 (Ω) ≤1. 对于背景 , 可以把它当作白化
权函数为 f ( x) = 1 的特殊灰数加以处理. 因此其灰
度为
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ≤1
(3)
式中 ,μ( ) ,μ(Ω) 分别表示灰数取数域和背景的测
度. 但是该定义未能明确给出相应测度的计算方
法. 张岐山教授在文献 [8] 中给出了熵灰度的定
义[8] :ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
g0 = H/ Hm
(4)
其中 , H , Hm 分别表示灰数的熵和最大熵. 但该定
义由于熵的计算是离散的 , 所以 , 其灰度的计算要
(2)
收稿日期 :2006 - 02 - 10 ; 修订日期 :2006 - 04 - 18. 作者简介 : 袁潮清 (1979 - ) ,男 ,安徽怀宁人 ,系统工程专业博士研究生. 3 通讯联系人 : 刘思峰 (1955 - ) ,男 ,河南平舆人 ,教授 ,博士生导师. 主要从事数量经济 、系统工程 、灰色系统等研
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 | a2 | +| a1 |
该灰数灰度在相同区间的灰数中灰度最大. 没有白 化权函数 , 说明对其只掌握了很少的信息 , 其灰度 自然就最大.
虽然上述灰数灰度的定义都存在一定的问题 , 但是这些定义都蕴涵着丰富的思想内涵. 邓聚龙教 授的式 (1) 定义表示灰度的大小由峰区的大小和 L ( x) , R ( x) 覆盖面积的大小决定. 式 (2) 中 , 刘思 峰教授的定义指出了灰区间长度及灰数的大小对 灰度的影响. 例如 , 灰数 (1 ,3) 和灰数 (99 ,101) 灰 区间的长度都是 2 , 再假设这两个灰数拥有形状完 全相同的白化权函数 , 那这两个灰色的灰度显然是 不一样的. 对于前者 , 灰区间长度和灰数大小接近 , 此时 , 灰数的取值对灰数大小的相对影响就非常 大;对于后者 , 灰区间的长度和灰数的大小不在一 个“量级”上 ,相对于均值白化数 100 ,灰数取值的相 对变动在 ±1 % 以内 , 可以说绝大多数的信息已经 被掌握. 式 (3) 定义中 , 说明在背景一定的情况下 , 灰数取数域越大 , 其灰度就越大 ; 式 (4) 定义中 , 灰 数取值的可能性越集中 , 则灰度越小. 当灰数各个 取值数的可能性相同时 , 则灰熵最大 , 灰度最大 , 此 时白化权函数变成 f ( x) = 1 ,即峰区和灰区间长度 相同 ;当灰数确定取某一个值时 , 即成白数 , 则灰熵 为 0 ,灰度最小 , 此时的白化权函数变成一个点 , 即 峰区退化成一个点.
通过对以上 4 种灰数灰度定义的分析 , 影响灰 数灰度的因素可以总结为以下两个方面 : (1) 灰数 的取值测度和区间测度大小 ; (2) 灰区间长度与灰 数是否处在一个“量级”上.
因此 ,从以上两个方面定义具有典型白化权函 数 (见图 1) 灰数的灰度. 用 | a2 - a1 | 表示灰区间长
灰数 a1 始点 b1 转折点 b2 转折点 a2 终点 灰数灰度
1 - 20
-5
5
2
20
35
45
3
20
25
45
20
0. 625
60
0. 442
60
0. 530
由表 1 可以看出 ,由于 1 的灰数区间和灰数 大小比 2 更加接近 ,所以 1 的灰度比 2 大 ; 由 于 3 的灰数取值测度比 2 大 ,所以 , 3 灰度比
定 ,反映的是其信息量的大小[1] . 邓聚龙教授将具有典型白化权函数灰数的灰
度定义[2 ] 为
g0 ( ) = 2 | b1 - b2 | + b1 + b2
max | a1 - b1 | , | a2 - b2 |
(1)
b1
b2
刘思峰教授曾给出了灰度的一种公理化定义[3Ο6] :
g0 (
)
=
l( ) ′
g0 ( ) = ( | a2 - a1 | ) 1/ 2 ·S a1 a2 f e
| a2 | +| a1 |
S a1 a2 dc
不难看出 , g0 ( ) 与 S a1 a2 f e 成正比 ,与 S a1 a2 dc 成
反比. 但 S a1 a2 f e 和 S a1 a2 dc 不是灰数的取值域和
求灰数在区间内的可能取值是离散的.
1 一种基于灰色白化权函数的灰数 灰度定义
度 , 用 | a2 | +| a1 | 表 示 灰 数 的 大 小 , 所 以
( | a2 - a1 | ) 1/ 2 就可以反映灰区间长度和灰数大
| a2 | +| a1 |
小之间的关系 ; 用曲边梯形的面积 S a1 a2 f e 表示灰 数取值测度 , 用矩形面积 S a1 a2 dc 表示灰数区间测 度 ,其中灰数取值测度越大 , 灰度就越大 , 灰数区间 测度越大 , 灰度就越小. 因此具有典型白化权函数 的灰数 ,对其灰度作如下定义 :
495
其中 : l ( ) 为灰区间长度 ; ′ 为灰数均值白化数.
刘思峰教授在文献[1 ] 中指出了式 (1) 和式 (2)
的灰度定义 : (1) 不满足规范性 ; (2) 零心灰数的灰
度没有定义. 刘思峰教授在文献 [1 ] 中又给出了如
下的定义[1 ] :
g0 ( ) = μ( ) /μ(Ω)
图 1 典型的灰色白化权函数 f ( a1 , b1 , b2 , a2 ) Fig. 1 Typical grey whitening f unction f ( a1 , b1 , b2 , a2 )
2 灰数的灰度与灰度四公理
刘思峰教授在文献 [ 1 ] , [ 4Ο5 ]中提出了灰度四 公理 :
灰数是已知大概范围而不知其确切的数. 它是 灰色系统的基本单元. 在实际应用中 ,灰数指在某 一个区间或某个一般的数集内取值不确定的数 ,通 常用“ ”表示. 灰数可以通过人们对它的认识加以 白化. 通常 ,借助白化权函数来描述对一个灰数在 其取值范围内不同数值的“偏爱”程度. 典型的灰色 白化权函数记作 f ( a1 , b1 , b2 , a2 ) , 其中 a1 称为始 点 , a2 称为终点 , b1 , b2 称为转折点. 也就是说 ,灰色 白化权函数反映了人们在主观上掌握的该灰数的 信息 ,而灰数的灰度则是对该灰数的灰程度的测
