2018年北京高三模拟题分类汇编之立体几何大题

北京市城六区2018届高三一模文科数学试题汇编之
解析几何
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、解答题
1. 已知椭圆的两个焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点，直线
，与直线分别交于，两点．求证：点在以为直径的圆上．
2. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．
3. 已知椭圆的离心率为，长轴长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点．
4. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且直线与的斜率互为相反数，直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．
5. 已知椭圆：的一个焦点为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程与离心率；
（Ⅱ）设椭圆上不与点重合的两点，关于原点对称，直线，
分别交轴于，两点．求证：以为直径的圆被轴截得的弦长是定值．。

2018 年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A．2 17 B．2 5 C．3 D．218．如图，在平行四边形ABCM 中，AB AC 3 ，∠ACM 90 ，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB⊥DA ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P为线段BC 上一点，且2BP DQ DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．3全国1 卷理科理科第7 小题同文科第9 小题18. 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点ABCD E, F AD ,BC DF △DFC C P 的位置，且PF BF .（1）证明：平面PEF 平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.全国 2 卷理科：9．在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 1 ，AA1 3 ，则异面直线A D 与DB1 所成角的余弦值为1A．15B．56C．55D．2220．如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2 ，PA PB PC AC 4 ，O 为AC 的中点．（1）证明：PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30 ，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．全国3 卷理科3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是19．（12 分）如图，边长为 2 的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．ABCD CD M CD C D （1）证明：平面AMD⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC 体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．2018 年江苏理科：10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．15．（本小题满分14 分）在平行六面体A BCD A B C D 中，AA1 AB, AB1 B1C1．1 1 1 1求证：（1）A B∥平面A B C ；1 1（2）ABB A A BC平面平面．1 1 12018 年北京：（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（16）（本小题14 分）如图，在三棱柱ABC - A1 B1 C1 中，C C 平面ABC，D，E，F，G 分别为1 AA ，AC，1AC ，1 1BB中点，AB=BC = 5 ，AC= AA =2．1（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD -C1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．2018 年浙江：3）是3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cmA ．2 B．4 C．6 D．819．（本题满分15 分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C 均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB =BC =B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值．2018 年上海19.已知圆锥的顶点为P , 底面圆心为O, 半轻为 21. 设圆锥的母线长为 4 , 求圆锥的体积o2. 设PO 4, OA,OB 是底面半径, 且AOB 90 , M 为线段AB 的中点, 如图, 求异面直线PM 与OB 所成的角的大小。

一．1. 已知正三棱锥P ABC−的六条棱长均为6，S是ABC△及其内部的点构成的集合，设集合{5}T Q S PQ=∈，则T表示的区域的面积为（A）34π（B）π（C）2π（D）3π2. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. B. 4 C. 3+ D. 23. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+B. 6+C. 12+D. 12+4. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．45. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．26. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．107. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18. （5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．二．1. （2019文）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．2. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．3. （2020） 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．5. （2022·）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7. （2019理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．8. （14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．9. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．答案2. 二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=3. （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 3.所以PAB为直角三角形，又因为PB=2PB BC+，则PBC为直角三角形，故又因为BC PA⊥PA PB P=，平面PAB，又x轴，过A所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,AP AC BC PC ====−设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则00m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1=，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，的法向量为(22,,x n y =00BC PC ⎧⋅=⋅=，即，所以(1,0,1)n =，11,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角，所以二面角A PC B −−的大小为π系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ， 由三棱柱111ABC A B C 可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NK MK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， （2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥， 而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N =， 故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥， 所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =， 则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则4,2n AB =⨯，故1BB M MKN ≅， 111A B BB ⊥， 1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,B 故()()(0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取，则(2,2,n =−−设直线AB 与平面所成的角为42cos ,233n AB ==⨯6.7. 证明：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （0，1，1），F （，，），P（0，0，2），B（2，﹣1，0），＝（0，1，1），＝（），平面AEP的法向量＝（1，0，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角F﹣AE﹣P的余弦值为．（Ⅲ）直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上，且＝．∴G（，﹣，），∴＝（，﹣，），∵平面AEF的法向量＝（1，1，﹣1），＝﹣＝0，故直线AG在平面AEF内．8.二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），∴•=2+0﹣4=﹣2≠0， ∴与不垂直，∴FG 与平面BCD 不平行，又FG ⊄平面BCD ， ∴FG 与平面BCD 相交．9. ；．。

北京四中立体几何训练题A组1.平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a, PA为α的一条斜线，PA=2a（A∈α），B为圆O上的任意一点，则PA在α内的射影与AB所成角中的最大角的正弦值为______.2.在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，当底面ABCD满足条件_______时，有A1C⊥B1D1．3．O是正△ABC的中心，PO⊥平面ABC.若PO＝AB＝a,则PA与平面ABC所成的角为_______；P到直线BC 的距离为_______．4．如图，S是四边形ABCD所在平面外一点，为了推出AB⊥BC，还需要从下述条件中选出一些条件来．①SB⊥平面ABCD；②SC⊥CD；③CD∥AB；④CD∥平面SAB；⑤BC⊥CD；⑥CD⊥平面SBC；⑦AB⊥平面SBC；⑧SB⊥CD．比如，选⑦为条件，有⑦AB⊥BC；又如选③，⑤为条件，有（写③⑤AB⊥BC．现要求推理至少用到两条定理，推理的格式为：_________．出两个正确的推理过程）5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1与DB1、DC1、CC1所成的角分别为α、β、γ，则α+β+γ的值是________．6．下图中，不是正四面体的表面展开图的是_______．7．已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子，则碳原子与氢原子之间的键角的余弦为_______.8．在任意四面体ABCD内部的任一点P，若P到四面体的各个面BCD、ACD、ABD、ABC的距离顺次为a′、b′、c′、d′，而各顶点A、B、C、D到各个面BCD、ACD、ABD、ABC的距离顺次为a、b、c、d，则（a′／a）+（b′／b）+（c′／c）+（d′／d）为一个常数k，则k为_______．9．连接一体积为72的正四面体的两个面的重心是E、F，则线段EF的长度是__________.10．三棱锥P-ABC中，若棱PA=x，其余各棱长均为1，则x的范围是__________；三棱锥P-ABC的体积的最大值为__________．11．在长方体AC1中，已知顶点A上三条棱长分别是、、2，如果对角线ＡＣ1与过点A的相邻三个面所成的角分别是α、β、γ，那么cos２α＋cos２β＋cos２γ＝_________．12．如图，侧棱长为2 的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°.过A作截面AEF与VB、VC 分别交于E、F点，则截面△AEF的最小周长为_________．13．一个大木球放在水平的地面上，球在太阳下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处；同一时刻，一根高1米的垂直立于水平地面上的尺子的影子的长度是2米，则球的半径为_________．B组1．已知长方体的表面积为32cm２，体积为8cm３，其长、宽、高成等比数列，则长方体所有棱长之和为_________.2．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，则下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图所示时，BF·BE是定值．其中所有正确命题的序号是_______．3．表面积为Ｑ的多面体的每一个面，都外切于表面积为36π的一个球，则这个多面体的体积为_________．4．已知三棱锥A-BCD的体积为V，棱BC的长为ａ，面ABC和面DBC的面积分别为Ｓ1和Ｓ２．设面ABC和面DBC所成二面角为α，则sinα＝_____________．5．一个底面直径是32cm的圆柱形水箱装入水，然后放入一个铁球，该球被水淹没，水面升高9cm，则球的表面积是_____________．6．如图所示，屋檐的倾斜角α是_________时，雨水在屋顶停留的时间最短．7．在直角坐标系中，已知Ａ（2，3），B（－2，－3），沿ｘ轴把坐标平面折成平面角为θ的二面角AO-x-B，使∠AOB＝90°，则cosθ的值是_______．8．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AC＞BC，D、E分别是AB、BC的中点．设PA与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-AB-C的大小为γ，则α、β、γ的大小关系是____-． 9．如左图，一张正方形纸片ABCD中，有（AE／EB）＝（AF／FD）＝（CH／HB）＝（CG／GD）＝（1／2），沿BD折起，使△ABD与△BCD所成的二面角为θ.若EFGH折起后恰成正方形（如右图），则cosθ等于______．10．若一个二面角的一个面α内有一点A，它到棱的距离是它到另一个面β的距离的2倍，则这个二面角的度数是________．11．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是________．12．△ABC 的一边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，∠ABC ＝60°，△ABC 所在的平面与平面α成30°的二面角，则AB 所在的直线与平面α所成的角的正弦值是________．13．三个12cm ×12cm 的正方形都被连接两条邻边的中点的直线分为Ａ、Ｂ两片（如左图），把六片粘在一个正六边形的外围（如中图），然后折成多面体(如右图)，则此多面体的体积为_____．A1．／3 2.AC ⊥BD 3. 60°(／6)a 4. ⇒⇒①②⑤④③}AB⊥BC 或 ⇒③⑥⑦ＡＢ⊥ＢＣ 5. 195°6. ④⑥ 7. -(1／3) 8. 1 9.0＜x ＜10.（1／8）11．2 12．613．10－20. B 1.32cm 2. ①③④ 3. Q 4.（3a Ｖ）／（2Ｓ1Ｓ２）5. 576πcm ２6. 45°7. -（4／9）8. α＜β＜γ 9．0.5 10. 30°或150°11. 90° 12.（ ／4） 13. 864cm ３。

2018北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何1. （朝阳理16）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD .在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以2AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =.由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD所以//BE 平面PCD . (8)（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, DP =. 在PAD ∆中，GH DG PA DP =，所以GH =. 所以tan CG GHC GH ∠==，cos GHC ∠=. 即二面角A PD C --………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以 PA ⊥底面ABCD . 又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)AC = ，(1,1,0)CD =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =- .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为(1, 1, 0)CD =- ，(0, 2,1)PD =-，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos AB ABθ⋅===n n . 即二面角A PD C --的余弦值为6………………………………13分2. （朝阳文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC ∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD ，90PAD ∠=︒. 若12AB BC AD ==. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ，求证：BE 平面PCD .解：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………6分PA B CD QM（Ⅱ）设侧棱PD 的中点为F ，连结BE ，EF ，FC ，则EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以BC AD . 又12BC AD =，所以BC EF . 且BC EF =.所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE CF . 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………………………………13分3. （丰台理16）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC =12AD ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ， ∴ PA // 平面MBQ ． （Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………9分 另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD //∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°． ∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB PAD ．……9分（Ⅲ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， PA BCDQM∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q，P ，B，(1C -．设(,,)M x y z，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC = ，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩ …………………12分在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+ ，∴ 平面MBQ法向量为)m t =．∵二面角M -BQ -C 为30°，c o s 30n m n m ︒⋅===∴ 3t =． ……………………14分4. （丰台文16）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分C（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ．连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ∵点M 是线段PC 的中点， ∴ MN // PA ．∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分5. （门头沟理16）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O .（Ⅰ）求证：⊥PO 底面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若M 是PB 上的一点，且PB CM ⊥，求PM MB的值．（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以O 为,AC BD 的中点……………………………1分 因为,PB PD PA PC ==,所以,PO BD PO AC ⊥⊥所以⊥PO 底面 ABCD …………3分 （Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥建立如图所示空间直角坐标系 又060,2ABC PB AB ∠===得1,1OA OB OP === ……………………………4分所以(0,0,1),(0,(1,0,0),P B C D(0,1)PB =- ,(1,0,1)PC =-,1)PD =-……………………5分 设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =APDCOB有00m PC m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00x z z -=⎧⎪-=解得x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以m =……………………………8分cos ,m PB m PB m PB =cos ,7m PB ==- ……………………………9分 PB 与平面PCD…………………10分 （Ⅲ）因为点M 在PB 上,所以(0,1)PM PB λλ==-所以(0,,1)M λ-+, (1,,1)CM λ=--+因为PB CM ⊥所以 0CM PB = , 得310λλ+-= 解得14λ=所以13PMMB = ……………………………14分6. （门头沟文16）如图所示，PA 垂直矩形ABCD 所在的平面， F E 、分别为PC AB 、的中点。

.【海淀一模】(19) （本小题14分）x 2 y 2 1 （ab 0）的离心率为 3 ，且点T(2,1)在椭圆C 上，设 已知椭圆C ：2 b 2 2 a与OT 平行的直线l 与椭圆C 订交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，两点．求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)判断OM ON 的值能否为定值，并证明你的结论． （19）（本小题 14分） 4 11 a2b 2（Ⅰ）由题意a 2b 2c 2，c 3e2a解得：a 22，b2，c6 故椭圆C 的标准方程为 x 2 y 21·······························5分8 2（Ⅱ）假定直线 TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为112(x2)，即y 2x2.y1x 2 y 218 2联立方程，得x 2 4x40，y1 2x2此时，直线 l 与椭圆C 相切，不合题意 .故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则直线TP:y1y 1 1(x2)，x 1 2直线TQ:y1y 2 1(x2)x 2 2x 12x 2 2故|OM|2，|ON|21y 11 y 2;...由直线OT:y1x ，设直线PQ:y1x t （t 0）22x 2 y 2 182x 22tx 2t 24 0联立方程，1xy t2当0时，x 1 x 22t ，x 1x 22t 24|OM||ON|4(x12x 2 2)y 11 y2 14 (x 1 2x 2 21x)1xt1 t12 12 24x 1x 2 (t 2)(x 1 x 2) 4(t1)1124 x 1x 2 2 (t1)(x 1x 2)(t1)42t 2 4 (t2)(2t) 4(t1)1(t1)(1(2t 24)2t)(t1)242···································14分方法2：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线 TP 和TQ的斜率分别为k1和k2由OT:y1x ，设直线PQ:y1x t （t 0）22x 2 y 218222联立方程，x 2tx 2t 401xy t2当0时，x 1 x 22t ，x 1x 22t 24k 1 k 2y 1 1 y 2 1x 1 2x 2 21x 1 t 1 1x 2 t 12 2 x 1 2x 2 2x 1x 2 (t2)(x 1 x 2) 4(t 1)(x 1 2)(x 22);...2t 24 (t 2)(2t) 4(t 1)(x 1 2)(x 2 2)故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故 TMN TNM故TMTN故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故|OM| |ON| 4···································14分【东城一模】(18)（本小题13分）已知椭圆C ：x 2y 21（ab0）的离心率为3，且过点A(2,0).a 2b 22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不一样于点A 的两点，且直线AM ，AN 斜率之积等于1 ，试问直4线MN 能否过定点？假如，求出该点的坐标；若不是，请说明原因．（19）（本小题14分）411a 2b 2（Ⅰ）由题意a 2b 2c 2 ，ec 3a2解得：a2 2，b2，c6故椭圆C 的标准方程为x 2 y 2 1·······························5分8 2（Ⅱ）假定直线 TP 或TQ 的斜率不存在，则 P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为y11(x2)，即y1x2 .22x 2 y 218 2联立方程，得x 24x40，y 1x 22此时，直线 l 与椭圆C 相切，不合题意 .故直线TP 和TQ 的斜率存在.;...方法1：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则直线TP:y1y11(x2)，x12直线TQ:y1y21 (x2)x22故|OM|2x12，|ON|2x22 y11y21由直线OT:y 1x，设直线PQ:y1x t（t0）22x2y218222联立方程，x2tx2t401xy t2当0时，x1x22t，x1x22t24|OM||ON|4(x12x22)y11y214(x12x221x2) 1x1t1t1 224x1x2(t2)(x1x2)4(t1) 1xx1(t1)(x x)(t1)2 41221242t24(t2)(2t)4(t1) 1(2t24)1(t1)(2t)(t1)2 42···································14分方法2：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线TP和TQ的斜率分别为k1和k2由OT:y 1x，设直线PQ:y1x t（t0）22x2y218222联立方程，x2tx2t401xy t2;..当0时，x1x22t，x1x22t24k1k2y11y21x12x221x1t11x2t122x12x22x1x2(t2)(x1x2)4(t1)(x12)(x22)2t24(t2)(2t)4(t1)(x12)(x22)故直线TP和直线TQ的斜率和为零故TMN TNM故TMTN故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2故|OM| |ON|4···································14分【西城一模】19．（本小题满分14分）已知圆O:x2y24和椭圆C:x22y24，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（P,Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与圆F的地点关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为x2y21．[1分] 42所以a24，b22，进而c2a2b22．所以a2，c2．故椭圆C的离心率e c2．[3分]a2椭圆C的左焦点F的坐标为(2,0)．[4分]（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明以下：[5分]设P(x0,y0)，此中2x02，则x022y024，[6分] ;..依题意可设Q(x 0,y 1)，则x 02y 124．[7 分]直线l的方程为y y 1x 0(x x 0)，y 1整理为 x 0xy 1y 4 0．[ 9分]所以圆F 的圆心F 到直线l的距离d| 2x 04| | 2x 2|．[11分]x 02 y 122由于|PF|2(x2)2y2(x2)21(4x2) 1x 2 22x4．[13分]0 022所以|PF|2 d 2，即|PF|d ，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]【旭日一模】19．(本小题满分 14分)222，且过点(1,已知椭圆C:x2y 2 1(a b 0)的离心率为2 )．ab22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线l 1 与椭圆C 交于A,B 两点，直线l 2 过坐标原点且与直线l 1的斜率互为相反数．若直线l 2 与椭圆交于E,F 两点且均不与点A,B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为 1，直线BF 与x 轴所成的锐角为2，判断1与2大小关系并加以证明．19．(本小题满分 14分)c2,a2解：（Ⅰ）由题意得a 2b 2 2 ,解得a 2， b1 ，c．c 11 1 1.a22b22故椭圆C 的方程为xy 2 1．..5分2（Ⅱ）1=2．证明以下：由题意可设直线 l 1的方程为yk(x 1)，直线l 2 的方程为y kx ，设点A(x 1,y 1)，;..B(x 2,y 2) ，E(x 3,y 3)， F(x 3, y 3)．要证1=2，即证直线 AE 与直线BF 的斜率之和为零，即k AE k BF 0．由于k AEkBFy 1 y 3 y 2 y 3x 1 x 3 x 2x 3k(x 1 1)kx 3k(x 2 1)kx 3x 1 x 3 x 2 x 3k[2xx(xx) 2x 2]12 12x 3)3．(x 1 x 3)(x 2yk(x1),由x 2y2得(1 2k 2 )x 24k 2 x 2k 22 0 ，1,222所以x 1x 21 4k ，x 1x 22k2 ．2k 2 1 2k 2ykx,2由 x 2得(1 2k 2)x 22，所以 22．y2 1,x 31 2k2所以2x 1x 2(x 1 2 4k 244k 24．x 2)2x 3 121 2k 21202k2kkAEkBFk[2x 1x 2 (x 1 x 2) 2x 32]0 ．(x 1 x 3)(x 2 x 3)所以1=2．..14分【丰台一模】（19）（本小题共 14分）3x 2 y 21(ab0)上，F(1,0)是椭圆的一个焦点．已知点P(1,)在椭圆C ：b 2 2a 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 对于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线 y3 截得的弦长是定值．2（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为F(1,0)，且c1．1分由于2a22(3)22(3)24，22;..所以a 2，ba 2 c 23，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以C 的方程x 2y 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4 3（Ⅱ）明：由意可知D ，E 两点与点P 不重合．因D ，E 两点对于原点称，所以D(m,n)，E( m, n)，(m1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分以MN 直径的与直y3 交于G(t,3),H(t,3)(t0)两点，所以GM GN ．222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3n直PD ：y32(x1)．2m1当x 0，y3 直PE ：y2n33 n 32 ，所以M(0, 2 m 1 2 m 1n 32 (x1)． m13)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2 n 33n当x0，y2 m 13，所以N(0,22m13)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2n33n所以GM (t,2)，m1GN(t,2)，m 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分因GMGN ，所以GMGN0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2所以GM GNt 24n 2 9 0． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分4(m 1)因m 2n 2 1，即3m 2 4n 212，4n 2 93 3m 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分43所以t23 0，所以t3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分4．2所以G(3,3)，H(3,3)，所以GH3．2 2 2 2所以以MN 直径的被直y3 3．⋯⋯⋯⋯14分截得的弦是定2【石景山一模】18．（本小共 13分）;...在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线x1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线 l:y kx b与曲线C相切于点P，与直线x1订交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E的坐标为(x,y)，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为y24x．5分y kxb4y4b0．（Ⅱ）证明：由，消去x得：ky2y24x由于直线l与抛物线相切，所以16-16kb0，即b 1．8分k所以直线l的方程为y kx 1．k令x1，得y k1．k所以Q1,k1．10分k设切点坐标P(x0,y0)，则ky024y0+40，k12解得：P( , )，11分设M(m,0)，MQMP 1m(1m)21)2m1 k2k(k=m m2k2k所以当m2m2=0，即m1时，MQMP0m-10所以MQ MP所以以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M(1,0)．13分;..。

2018年全国各地高考数学模拟试题立体几何解答题汇编（含答案解析）1．（2018•广陵区校级四模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA ⊥平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点．（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；（Ⅱ）求证：BD⊥FG．2．（2018•黑龙江模拟）在三棱柱ABC﹣A1B l C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB1的中点，M为AC上一点，AM=AC．（I）若三棱锥A1﹣C1ME的体积为，求AA1的长；（Ⅱ）证明：CB1∥平面A1EM．3．（2018•黄州区校级三模）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E为BC的中点，现将△BAE与△DCE折起，使得平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE．（Ⅰ）求证：BC∥平面ADE；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．4．（2018•焦作四模）如图，梯形ABCD与矩形CC1D1D所在平面相互垂直，AD ∥BC，BA⊥AD，AD=4，AB=BC=CC1=1．（Ⅰ）求证：AD1∥平面BCC1；（Ⅱ）求四棱锥C1﹣ABCD的侧面积．5．（2018•南海区模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四形，AB=2AD=2，∠DAB=60°，PD=BD，且PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）若Q为PC的中点，求三棱锥A﹣PBQ的体积．6．（2018•大武口区校级三模）将棱长为a的正方体截去一半（如图1所示）得到如图2所示的几何体，点E，F分别是BC，DC的中点．（Ⅰ）证明：AF⊥平面DD1E；（Ⅱ）求点E到平面AFD1的距离．7．（2018•郴州二模）如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=2，现将△ACD沿AC折起，使D折到P的位置且P在面ABC的射影E恰好在线段AB上．（Ⅰ）证明：AP⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EBC的表面积．8．（2018•晋城二模）如图，在几何体ABCDEF中，底面CDEF是平行四边形，AB ∥CD，AB=1，CD=2，DE=2，DF=4，DB=2，DB⊥平面CDEF，CE与DF交于点O．（Ⅰ）求证：OB∥平面ACF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的表面积．9．（2018•香坊区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，C1在线段AB1上的射影为H，H是正方形AA1B1B的中心，．（1）求证：平面C1AB1⊥平面AA1B1B；（2）求二面角C﹣BC1﹣A1的余弦值．10．（2018•石嘴山一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，侧棱AA1=3，点E在BB1上，点F在CC1上，且BE=1，CF=2．（Ⅰ）证明：CE⊥平面ADF；（Ⅱ）求二面角F﹣AD﹣E的余弦值．11．（2018•肥城市模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AD⊥AB，且PB=AB=AD=3，BC=1．（Ⅰ）若点F为PD上一点且，证明：CF∥平面PAB；（Ⅱ）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM⊥PA？若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由．12．（2018•盐湖区校级模拟）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB ∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°．13．（2018•安阳一模）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）ABCD的顶点A，B，C分别在x轴，y轴，z轴上．（Ⅰ）求证：CD∥平面OAB；（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣D的余弦值．14．（2018•丰台区一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD=2BC，∠DAB=∠ABP=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：AB⊥PC；（Ⅲ）若点E在棱PD上，且CE∥平面PAB，求的值．15．（2018•马鞍山三模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=2，D，E分别为B1C1，AB中点．（1）证明：平面AA1D⊥平面EB1C1；（2）若AB⊥AC，求点B到平面EB1C1的距离．16．（2018•黄州区校级模拟）在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，AD BC，AD=AE=1，∠ABC=60°，EF AC．（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．17．（2018•黄山一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE；（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．18．（2018•九江三模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是边长为1的菱形，∠A1B1B=60°，E为A1C1的中点，AC1=B1C1=1，A1C1=BC1，A1B∩AB1=O．（Ⅰ）证明：平面AB1C1⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求二面角A﹣OE﹣C的余弦值．19．（2018•河南一模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2，BC=．PA=PB，侧面PAB⊥底面ABCD．（2）设BD与平面PAD所成的角为45°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．（2018•洛阳二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC，∠ABC=90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠PBC=90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．21．（2018•衡阳一模）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．22．（2018•安庆二模）如图所示，四棱锥B﹣AEDC中，平面AEDC⊥平面ABC，F为BC的中点，P为BD的中点，且AE∥DC，∠ACD=∠BAC=90°，DC=AC=AB=2AE．（Ⅰ）证明：EP⊥平面BCD；（Ⅱ）若DC=2，求三棱锥E﹣BDF的体积．23．（2018•朝阳一模）在如图所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2，Q是AD的中点．（1）求证：直线AE∥平面FQC；（2）求二面角A﹣FC﹣B的大小．24．（2018•厦门二模）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD，BC=2AD=2，E为CD的中点，PB⊥AE．（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD；（2）若PB=PD，且PC与平面ABCD所成角为，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．25．（2018•贵阳二模）已知如图1所示，在边长为12的正方形AA′A1A1，中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′1分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1，CC1，折叠，使得A′A1与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1，在该三棱柱底边AC上有一点M，满足AM=kMC（0＜k＜1）；请在图2中解决下列问题：（I）求证：当k=时，BM∥平面APQ；（Ⅱ）若直线BM与平面APQ所成角的正弦值为，求k的值26．（2018•烟台二模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D为AC中点，P在平面ABC 内的射影O在AC上，BC=AB=2AP，AB⊥BC，∠PAC=45°．（1）求证：AP⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．27．（2018•徐州一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．28．（2018•广西三模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AB=2，AC=CB=2，M，N分别是AB、A1C的中点．（1）求证：MN∥平面BB1C1C；（2）若平面CMN⊥平面B1MN，求直线AB与平面B1MN所成角的正弦值．29．（2018•聊城一模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD=2BC=2，AB⊥AD，AB⊥BC．（Ⅰ）证明：PC⊥BC；（Ⅱ）若直线PC与平面ABCD所成角为60°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．30．（2018•三明二模）在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AC与BD相交于点M，点N在线段AP上，AN=λAP（λ＞0），且MN∥平面PCD．（1）求实数λ的值；（2）若，∠BAD=60°，求点N到平面PCD的距离．31．（2018•淄博一模）直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且，如图所示，沿BE将△CEB翻折至△DEB，使得平面DEB⊥平面ABE．（1）当时，证明：BD⊥平面DEF；（2）是否存在λ，使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．32．（2018•西宁模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD，点E、F分别为BC、AP中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）若AD=AP=PB=AB=1，求三棱锥P﹣DEF的体积．33．（2018•铜山区模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．34．（2018•泉州一模）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，，BC=4，AD=6，E是AD上的点，．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，且A1C=4，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BE⊥平面BCDE；（Ⅱ）若P为线段BE上任一点，求直线PA1与平面A1CD所成角的正弦值的最大值．35．（2018•河南一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若PA=PD=AD=DC，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．36．（2018•全国二模）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）若AB=1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．37．（2018•静海区校级模拟）如图，等腰直角三角形AEF的斜边EF的中点为D，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面AEF，点G为DF的中点，AD=2AB=2．（1）证明：BF∥平面ACG；（2）求二面角D﹣BC﹣F的正弦值；（3）点H为直线CE上的点，且=﹣5，求直线AH和平面BCF所成角的正弦值．38．（2018•玉溪模拟）如图，平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AF∥CE，AF⊥AC，AB=AF=2，CE=1．（1）求四棱锥B﹣ACEF的体积；（2）在BF上有一点P，使得AP∥DE，求的值．39．（2018•潍坊三模）如图所示五面体ABCDEF，四边形ACFE是等腰三角形，AD∥FC，，BC⊥pmACFD，CA=CB=CF=1，AD=2CF，点G为AC的中点．（1）在AD上是否存在一点H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，说明理由；（2）求三棱锥G﹣ECD的体积．40．（2018•芜湖模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠AA1B1=45°，AC=BC，平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，E为CC1中点．（1）求证：BB1⊥AC；（2）若AA1=2，AB=，直线A1C1与平面ABB1A1所成角为45°，求平面A1B1E 与平面ABC所成锐二面角的余弦值．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．【分析】（Ⅰ）连接PE，G，F为EC和PC的中点，得到FG∥PE，利用线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）利用菱形的性质得到BD⊥AC，再由PA⊥面ABCD，得到BD⊥PA，结合线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，进一步由线面垂直的性质得到所证．【解答】证明：（Ⅰ）连接PE，G、F为EC和PC的中点，∴FG∥PE，FG⊄平面PBD，PE⊂平面PBD，∴FG∥平面PBD…（6分）（Ⅱ）∵菱形ABCD，∴BD⊥AC，又PA⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，FG⊂平面PAC，∴BD⊥FG…（14分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用和线面垂直的判定定理和性质定理的运用，关键是熟练相关的定理．2．【分析】（I）由A1A⊥AB，AC⊥AB可知AB⊥平面ACC1A1，故E到平面ACC1A1的距离等于AB，于是VV=V，根据体积列出方程解出A1A；（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，由矩形知识可知AF=，故MF∥CB1，所以CB1∥平面A1EM．【解答】解：（I）∵A1A⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴A1A⊥AB，又A1A⊥AC，A1A⊂平面ACC1A1，AC⊂平面ACC1A1，A1A∩AC=A，∴AB⊥平面ACC1A1，∵BB1∥平面ACC1A1，∴V=V====．∴A1A=．（II）连结AB1交A1E于F，连结MF，∵E是B1B的中点，∴AF=，又AM=，∴MF∥CB1，又MF⊂平面A1ME，CB1⊄平面A1ME∴CB1∥平面A1EM．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．3．【分析】（Ⅰ）过点B作BM⊥AE于M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，证明BC∥MN即可；（Ⅱ）以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，求出平面CEB的法向量，平面AEB的法向量，计算cos＜，＞即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN，如图所示；∵平面BAE⊥平面ADE，平面DCE⊥平面ADE，∴BM⊥平面ADE，CN⊥ADE，∴BM∥CN；由题意知Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BM=CN，∴四边形BCNM是平行四边形，∴BC∥MN；又BC⊄平面ADE，MN⊂平面ADE，∴BC∥平面ADE；（Ⅱ）由已知，AE、DE互相垂直，以E为原点，ED为x轴，EA为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示；则E（0，0，0），B（0，，），C（，0，），=（0，，），=（，0，），设平面CEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=﹣1，则z=1，x=1，∴=（﹣1，﹣1，1）；设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，易求得=（1，0，0）；又cos＜，＞===﹣，∴当二面角A﹣BE﹣C的平面角为锐角时，余弦值为，当二面角A﹣BE﹣C的平面角为钝角时，余弦值为﹣．【点评】本题考查了空间几何体以及空间向量的应用问题，是中档题．4．【分析】（Ⅰ）推导出DD1∥平面BCC1，AD∥平面BCC1，从而平面ADD1∥平面BCC1，由此能证明AD1∥平面BCC1．（Ⅱ）推导出CC1⊥平面ABCD，从而CC1⊥BC，CC1⊥CD，过点C作CE⊥AD交AD于点E，连接C1E，推导出AB⊥平面CC1B，BC1⊥AB，从而AD⊥平面CC1E，AD⊥C1E，由此能求出四棱锥C1﹣ABCD的侧面积．【解答】解：（Ⅰ）因为CC1∥DD1，CC1⊂平面BCC1，DD1⊄平面BCC1，所以DD1∥平面BCC1，同理可得AD∥平面BCC1，又因为AD∩DD1=D，所以平面ADD1∥平面BCC1，因为AD1⊂平面ADD1，所以AD1∥平面BCC1．（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面CC1D1D，平面ABCD∩平面CC1D1D=CD，CC1⊥CD，所以CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BC，CC1⊥CD，过点C作CE⊥AD交AD于点E，连接C1E，因为AD=4，AB=1，BC=CC1=1，由题意得：，所以，，因为CC1⊥AB，CB⊥AB，CB∩CC1=C，∴AB⊥平面CC1B，所以BC1⊥AB，，由AD⊥CC1，CE∩CC1=C，得AD⊥平面CC1E，所以AD⊥C1E，因为CE=CC1=1，所以，，所以四棱锥C1﹣ABCD的侧面积为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5．【分析】（Ⅰ）在△ABD中，由余弦定理得求得BD，可得AD2+BD2=AB2，则AD ⊥BD，再由已知得到PD⊥BC．由线面垂直的判定可得BC⊥平面PBD；（Ⅱ）由Q为PC的中点，得三棱锥A﹣PBQ的体积与三棱锥A﹣QBC的体积相等，然后利用等积法求解．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，由余弦定理得：BD2=BA2+AD2﹣2BA•AD•cos60°=3，∵AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，∵AD∥BC，∴BC⊥BD．又∵PD⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD；（Ⅱ）解：∵Q为PC的中点，∴三棱锥A﹣PBQ的体积与三棱锥A﹣QBC的体积相等，而=．∴三棱锥A﹣PBQ的体积．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．6．【分析】（Ⅰ）推导出D1D⊥AF，△ADF≌△DCE，AF⊥DE，由此能证明AF⊥平面D1DE．（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到平面AFD1的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵D1D⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，∴D1D⊥AF，∵点E，F分别是BC，D1C的中点，∴DF=CE，又∵AD=DC，∠ADF=∠DCE=90°，∴△ADF≌△DCE，∴∠AFD=∠DEC，又∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE+∠AFD=90°，∴∠DOF=180°﹣（∠CDE+∠AFD）=90°，∴AF⊥DE，又∵D1D∩DE=D，∴AF⊥平面D1DE．解：（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E （，a ，0），A （a ，0，0），F （0，，0），D 1（0，0，a ）， =（﹣，a ，0），=（﹣a ，，0），=（﹣a ，0，a ），设平面AFD 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，2，1），∴点E 到平面AFD 1的距离d===．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 7．【分析】（Ⅰ）推导出PE ⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC ⊥AP ，再由AP ⊥CP ，得AP ⊥平面PBC ，由此能证明AP ⊥PB ．（Ⅱ） 三棱锥P ﹣EBC 的表面积为S=S △PEB +S △EBC +S △PEC +S △PBC ． 【解答】证明：（Ⅰ）由题知PE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴PE ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且AB ∩PE=E ，∴BC ⊥平面PAB ，又AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，又AP⊥CP，且BC∩CP=C，∴AP⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AP⊥PB．解：（Ⅱ）在△PAB中，由（Ⅰ）得AP⊥PB，AB=4，AP=2，∴，∴BE=3∴在△EBC中，EB=3，BC=2，∴，在△PEC中，∴，∴，∴三棱锥P﹣EBC的表面积为：．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8．【分析】（Ⅰ）取CF的中点G，连接OG，AG．又点O为DF的中点，可得OG CD，利用已知可得AB OG．可得四边形ABOE为平行四边形，可得OB∥AE．再利用线面平行的判定定理即可证明结论．（Ⅱ）由CD=2，DE=2=CF，DF=4，可得CD2+DF2=DE2．于是CD⊥DF．又DB⊥平面CDEF，以FD，DC，DB所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出三棱锥B﹣DEF的表面积．【解答】证明：（Ⅰ）取CF的中点G，连接OG，AG又点O为DF的中点，∴OG CD，又AB∥CD，AB=1，CD=2，∴AB OG．∴四边形ABOE为平行四边形，∴OB∥AE．又OB⊄平面ACF，AE⊂平面ACF，∴OB∥平面ACF．（Ⅱ）解：∵CD=2，DE=2=CF，DF=4，∴CD2+DF2=DE2．∴∠CDF=90°，∴CD⊥DF．连结BF，又DB⊥平面CDEF，∴S===4，△BDF==4，==2，==2，∴三棱锥B﹣DEF的表面积：S=S△BDF+S△DEF+S△BDE+S△BDF==8+4．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．9．【分析】（1）取A1B1的中点D，连结HD、C1D推导出HD⊥A1B1，A1B1⊥C1H，C1H ⊥AB1，从而C1H⊥平面AA1B1B，由此能证明平面C1AB1⊥平面AA1B1B．（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BC1﹣A1的余弦值．【解答】证明：（1）取A1B1的中点D，连结HD、C1D∵CA=CB，∴C1D⊥A1B1，∵四边形AA1B1D是正方形，∴HD⊥A1B1，又HD∩C1D=D，∴A1B1⊥平面C1HD，∴A1B1⊥C1H，∵C1在线段AB1上的射影为H，∴C1H⊥AB1，∵AB1∩A1B1=B1，∴C1H⊥平面AA1B1B，∴平面C1AB1⊥平面AA1B1B．解：（2）如图建系：由AA1=2，得A1H=B1H=2，∴A1（2，0，0），A（0，﹣2，0），B1（0，2，0），B（﹣2，0，0），C1（0，0，），设C（x，y，z），则=（x，y，z﹣），=（﹣2，﹣2，0），由=，得x=﹣2，y=﹣2，z=，∴C（﹣2，﹣2，），平面BC1A1的法向量=（0，1，0），=（2，0，），=（0，﹣2，），平面BC1C的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣，﹣2），设二面角C﹣BC1﹣A1的平面角为θ，由图形得θ为钝角，∴cosθ=﹣=﹣，∴二面角C﹣BC1﹣A1的余弦值为﹣．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10．【分析】（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE⊥平面ADF．（Ⅱ）求出平面ADF的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角F ﹣AD﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB 为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），E（0，2，1），A（，0），D（0，1，0），F（0，0，2），=（0，2，1），=（），=（0，1，﹣2），∴=0，=0，∴CE⊥FA，CE⊥FD，又FA∩FD=F，∴CE⊥平面ADF．解：（Ⅱ）=（﹣，0，0），=（﹣，1，1），设平面ADF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1，﹣1），设二面角F﹣AD﹣E的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角F﹣AD﹣E的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】（Ⅰ）过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，证明HF∥BC，CF∥BH，然后证明CF∥平面PAD．（Ⅱ）说明BC⊥AB．PB⊥AB，PB⊥BC，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BPD的一个法向量，平面APD的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角B﹣PD﹣A的大小．（Ⅲ）假设存在点M，设，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：过点F作FH∥AD，交PA于H，连接BH，因为，所以．…．（1分）又FH∥AD，AD∥BC，所以HF∥BC．…．（2分）所以BCFH为平行四边形，所以CF∥BH．…．（3分）又BH⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，…．（4分）（一个都没写的，则这（1分）不给）所以CF∥平面PAB．…．（5分）（Ⅱ）因为梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，所以BC⊥AB．因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AB，PB⊥BC，如图，以B为原点，BC，BA，BP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…．（6分）所以C（1，0，0），D（3，3，0），A（0，3，0），P（0，0，3）．设平面BPD的一个法向量为，平面APD的一个法向量为，因为，所以，即，…．（7分）取x=1得到，…．（8分）同理可得，…．（9分）所以，…．（10分）因为二面角B﹣PD﹣A为锐角，所以二面角B﹣PD﹣A为．…．（11分）（Ⅲ）假设存在点M，设，所以，…．（12分）所以，解得，…．（13分）所以存在点M，且．…．（14分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力．12．【分析】（I）利用面面垂直的性质，可得CB⊥平面ABEF，再利用线面垂直的判定，证明AF⊥平面CBF，从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF；（II）建立空间直角坐标系，求出平面DCF的法向量和平面CBF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求得AD的长．【解答】（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴CB⊥平面ABEF，∵AF⊂平面ABEF∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF，∵AF⊂平面ADF，∴平面DAF⊥平面CBF．（Ⅱ）设EF中点为G，以O为坐标原点，OA，OG，AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系（如图）．设AD=t，则点D的坐标为（1，0，t），则C（﹣1，0，t），又A（1，0，0），B（﹣1，0，0），F（，，0），∴，，设平面DCF的法向量为=（x，y，z），则，即，可取．由（1）可知AF⊥平面CFB，取平面CFB的一个法向量为，|cos|=cos60°，即=，解得t=，因此，当AD的长为时，平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°．【点评】本题考查面面垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，求出平面的法向量是关键．13．【分析】（Ⅰ）由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，求得A，B，C的坐标，设D点的坐标为（x，y，z），则由，求得x=y=z=a，得到．结合平面OAB的一个法向量为，利用，可得CD∥平面OAB；（Ⅱ）设F为AB的中点，连接CF，DF，可得∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．然后利用余弦定理求解二面角C﹣AB﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：由AB=BC=CA，可得OA=OB=OC．设OA=a，则，A（a，0，0），B（0，a，0），C（0，0，a），设D点的坐标为（x，y，z），则由，可得（x﹣a）2+y2+z2=x2+（y﹣a）2+z2=x2+y2+（z﹣a）2=2a2，解得x=y=z=a，∴．又平面OAB的一个法向量为，∴，∴CD∥平面OAB；（Ⅱ）解：设F为AB的中点，连接CF，DF，则CF⊥AB，DF⊥AB，∠CFD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．由（Ⅰ）知，在△CFD中，，，则由余弦定理知，即二面角C﹣AB﹣D的余弦值为．【点评】本题考查利用空间向量证明直线与平面平行，考查二面角的平面角的求法，是中档题．14．【分析】（Ⅰ）由AD⊥AB．平面PAB⊥平面ABCD，可得AD⊥平面PAB．（Ⅱ）由已知得AD⊥AB，PB⊥AB，即可得AB⊥平面PBC，AB⊥PC．（Ⅲ）过E作EF∥AD交PA于F，连接BF．可得E，F，B，C四点共面，由四边形BCEF为平行四边形，【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB．……………………（1分）因为平面PAB⊥平面ABCD，……………………（2分）且平面PAB∩平面ABCD=AB，……………………（3分）所以AD⊥平面PAB．……………………（4分）（Ⅱ）证明：由已知得AD⊥AB因为AD∥BC，所以BC⊥AB．……………………（5分）又因为∠ABP=90°，所以PB⊥AB．……………………（6分）因为PB∩BC=B……………………（7分）所以AB⊥平面PBC……………………（8分）所以AB⊥PC．……………………（9分）（Ⅲ）解：过E作EF∥AD交PA于F，连接BF．……………………（10分）因为AD∥BC，所以EF∥BC．所以E，F，B，C四点共面．……………………（11分）又因为CE∥平面PAB，且CE⊂平面BCEF，且平面BCEF∩平面PAB=BF，所以CE∥BF，……………………（13分）所以四边形BCEF为平行四边形，所以EF=BC．在△PAD中，因为EF∥AD，所以，……………………（14分）即．【点评】本题考查线面垂直、线线垂直，并探索线面平行的存在性．着重考查了面面垂直的性质、线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究面面角、线面平行等知识，属于中档题．15．【分析】（1）推导出B1C1⊥AD，B1C1⊥AA1，从而B1C1⊥平面AA1D，由此能证明平面AA1D⊥平面EB1C1．（2）连接EC，设点B到平面EB1C1的距离为h，由，能求出点B到平面EB1C1的距离．【解答】证明：（1）由已知可得，B1C1⊥AD，B1C1⊥AA1，∴B1C1⊥平面AA1D，∵B1C1⊂平面EB1C1，∴平面AA1D⊥平面EB1C1．…………………………5分（2）连接EC，由已知，在Rt△AEC中，，∴在Rt△ECC1中，得EC1=3，由题可得，在Rt△EBB1中，，在Rt△A1B1C1中，，∴在△EB1C1中，根据余弦定理可得：，∴，∴………………………………9分∵C1A1⊥A1B1，C1A1⊥AA1，∴C1A1⊥平面BB1E，∵，∴，设点B到平面EB1C1的距离为h由得，解得：即点B到平面EB1C1的距离为．………………………………12分【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】（Ⅰ）证明BA⊥AE．过点A作AH⊥BC于H，AB⊥AC，推出AB⊥平面ACFE．即可证明AB⊥CF．（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面DEF的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可．【解答】（Ⅰ）证明：由题知EA⊥平面ABCD，BA⊥平面ABCD，∴BA⊥AE．过点A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB=1，在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos60°=3，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，且AC∩EA=A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF⊂平面ACFE，∴AB⊥CF．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）解：以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，∴设为平面BEF的一个法向量，则令x=1，得，同理可求平面DEF的一个法向量，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用．二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．17．【分析】（1）利用中位线定理即可得出DE∥BC，故而DE∥平面PBC；（2）连结PD，又AB⊥PD，AB⊥DE得出AB⊥平面PAB，故而AB⊥PE；（3）利用面面垂直的性质得出PD⊥平面ABC，计算PD，则V P=V P﹣ABC．﹣BCE【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．（2）连接PD，∵DE∥BC，又∠ABC=90°，∴DE⊥AB，又PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB，又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE．（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，∴PD⊥平面ABC，∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，∵E是AC的中点，∴．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18．【分析】（Ⅰ）连结OC1，推导出OC1⊥A1B，OC1⊥AB1，从而OC1⊥平面AA1B1B，由此能证明平面AB1C1⊥平面AA1B1B．（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OA1为y轴，OC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣OE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结OC1，∵A1C1=BC1，O为A1B的中点，∴OC1⊥A1B，同理得OC1⊥AB1，又A1B∩AB1=O，A1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴OC1⊥平面AA1B1B，又OC1⊂平面AB1C1，∴平面AB1C1⊥平面AA1B1B．解：（Ⅱ）∵OC1⊥平面AA1B1B，A1B⊥AB1，∴以O为原点，OA为x轴，OA1为y轴，OC1为z轴，建立空间直角坐标系，在菱形AA1B1B中，∵∠A1B1B=60°，A1B1=1，∴OB1=，又B1C1=1，∴OC1=，则A（，0，0），B（﹣，0），B1（﹣，0，0），C1（0，0，），E（0，），设=（x，y，z）为平面COE的法向量，==（），则，取x=2，得=（2，），设=（x，y，z）为平面AOE的法向量，则，取y=1，得=（0，1，﹣1），∴cos＜＞==，∴二面角A﹣OE﹣C的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．19．【分析】（1）证法一：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，以O为原点、OP为z轴，OB为y轴，如图建立空间直角坐标系，并设PO=h，求出相关的坐标，利用向量的数量积求解，推出PC⊥BD．证法二：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB ⊥平面ABCD，交线为AB，证明BD⊥PO，连接CO，设CO与BD交于M，通过计算∠BCM+∠CBM=∠CDB+∠CBM=90°，推出BD⊥CO，然后证明PC⊥BD（2）由AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，可得AD⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，交线为PA过B作BH⊥PA，垂足为H，则BH⊥平面PAD，BD 与平面PAD所成的角即为∠BDH，通过求解三角形即可得到结果．（也可用向量法求出PO：）设P（0，0，h），求出平面PAD的一个法向量，通过cos＜，BD ＞=sin45°可解得h=，求出平面BPC的一个法向量，平面DPC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证法一：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，故PO⊥平面ABCD，以O为原点、OP为z轴，OB为y轴，如图建立空间直角坐标系，并设PO=h，则P（0，0，h），B（0，1，0），C（，1，0），D（，﹣1，0）所以=（，1，﹣h），=（，﹣2，0），所以PC⊥BD…（6分）证法二：设AB中点为O，连接PO，由已知PA=PB，所以PO⊥AB，而平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，故PO⊥平面ABCD，从而BD⊥PO…①在矩形ABCD中，连接CO，设CO与BD交于M，则由CD：BC=BC：MO知△BCD∽△OBC，所以∠BCO=∠CDB，所以∠BCM+∠CBM=∠CDB+∠CBM=90°，故BD⊥CO…②由①②知BD⊥平面PCO，所以PC⊥BD．（2）解：由AD⊥AB，平面PAB⊥平面ABCD，交线为AB，可得AD⊥平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，交线为PA，过B作BH⊥PA，垂足为H，则BH⊥平面PAD，BD与平面PAD所成的角即为角BDH，所以BH=BD=，从而三角形PAB为等边三角形，PO=．…（8分）（也可用向量法求出PO：）设P（0，0，h），则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），D（，﹣1，0），可求得平面PAD的一个法向量为=（0，h，﹣1），而，由cos＜，BD＞=sin45°可解得h=，设平面BPC的一个法向量为，则，，可取=（0，，1），设平面DPC的一个法向量为，则，，可取=（，0，﹣）于是cos＜＞=﹣，…（11分）故二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣…（12分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．【分析】（1）根据已知条件，取AB的中点O，连结OD，OP，得到AB⊥OP，再利用线面垂直判定定理可得AB⊥平面POD，从而得到AB⊥PD；（2）由已知可得BC⊥平面PBA，又OD⊥平面PBA，得到OD⊥OP，由此建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点为O，连接OD，OP，∵PA=PB，∴AB⊥OP，∵OD∥BC，∠ABC=90°，∴AB⊥OD，又OD∩OP=O，∴AB⊥平面POD，从而AB⊥PD；（2）解：∵∠PBC=90°，即PB⊥BC，∴BC⊥平面PBA，∴OD⊥平面PBA，∴OD⊥OP，以O为坐标原点，OB，OD，OP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OB=1，则，∴，设是平面PDB的一个法向量，则，即，不妨设z=1，则，∴，同理可求得平面PDC的一个法向量为，∴，∵二面角B﹣PD﹣C是锐二面角，∴其余弦值为．【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力和思维能力，考查了用空间向量法求二面角的余弦值，是中档题．21．【分析】（1）连接AC，取BC中点E，连接AE，PE，推导出BC⊥AE，BC⊥PE，从而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB=PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD． (6)解：（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），设平面PBD的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），则cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22．（Ⅰ）推导出AF⊥BC，从而DC⊥平面ABC，进而AF⊥DC，AF⊥平面BCD．连【分析】结PF，则PF∥DC，则AE∥DC，得AE∥PF，AE=PF，AFPE是平行四边形，EP∥AF，由此能证明EP⊥平面BCD．（Ⅱ）推导出EP是三棱锥E﹣BDF的高．EP=AF=BC=，由此能求出三棱锥E ﹣BDF的体积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知△ABC为等腰直角三角形，而F为BC的中点，所以AF⊥BC．又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，所以DC⊥平面ABC．……（2分）而AF⊂平面ABC，所以AF⊥DC．而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．连结PF，则PF∥DC，PF=DC，…………（4分）而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，AFPE是平行四边形，因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．…………（7分）解：（Ⅱ）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．所以EP=AF=BC==．故三棱锥E﹣BDF的体积为：V===．…………（12分）【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．【分析】（1）由已知证明几何体ADF﹣BCE是三棱柱．进一步证得为直三棱柱．再根据四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，可得四边形DCEF为矩形．然后结合P是DE中点，Q是AD的中点，可得PQ∥DE，由线面平行的判定可得直线AE∥平面FQC；（2）解：由于平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥BC，可得BC⊥平面ABEF，则BC⊥BE．于是AB，BC，BE两两垂直．以BA，BC，BE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BFC与平面AFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣FC﹣B的大小．【解答】（1）证明：∵AF∥BE，AD∥BC，。

2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案D（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积; （Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB = 所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,2225BC CF BF =+=222PE PE CE =-=因为()162ABCD AB DC S +==梯形 所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PEEBFCAB 1C 1A 1因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2352PE =-= 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则22345AC AB =+==,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥ 又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．EDCBAP（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CCAC⊥．因为AC BC ⊥，1CCBC C=，所以AC ⊥平面11BCC B ．因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F⊥．………5分HEBFCAB 1C 1A 1G EBFC1C 1A 1（Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =，所以EH ∥BF ，且EH BF =． 所以四边形BEHF 为平行四边形． 所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE∥平面11AC F． ………10分（Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中， 因为F 为BC 中点，所以△11B C G≌△1C CF．所以11190C CF B GC∠+∠=︒．所以11B GC F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ，因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ．因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111ACB G⊥． 因为1111ACC F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F． (14)分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，////⊥，G为AB的中AB CD EF，AB AD点．2AB=．====，4CD DA AF FE（Ⅰ）求证：//DF平面BCE；（Ⅱ）求证：平面BCF⊥平面GCE；（Ⅲ）求多面体AFEBCD的体积．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//=，CD EF，且CD EF所以四边形CDFE为平行四边形，所以//DF CE．……2分因为DF⊄平面BCE，……3分所以//DF平面BCE．……4分（Ⅱ）连接FG．因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD平面ABEF AB=，AD AB⊥，所以AD⊥平面ABEF，所以BF AD⊥．………………6分因为G为AB的中点，所以//=，EF BG，且EF BG=；//AG CD，且AG CD所以四边形AGCD和四边形BEFG均为平行四边形．所以//AD CG，所以⊥．………………7分BF CG因为EF EB=，所以四边形BEFG为菱形，所以BF EG⊥．………………8分所以BF⊥平面GCE．………………9分所以平面BCF⊥平面GCE．………………10分（Ⅲ）设BF GE O=．由（Ⅰ）得//DF平面GCE，DF CE，所以//由（Ⅱ）得//AD平面GCE，AD CG，所以//所以平面//AD F平面GCE，所以几何体AD F GCE-是三棱柱．………………11分由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ． 所以多面体AFEBCD的体积ADF GCE B GCEV V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO∆∆=⋅+⋅4833GCE S FO ∆=⋅=．………………14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD的对角线,AC DE交于点F，点E为的AB中点.将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；CFM平面PEN？若（Ⅲ）在线段,M N，使得平面//PD BC上是否分别存在点,存在，请指出点,M N的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC DE⊥；所以折叠后，,⊥⊥, DE PF DE CF又,,=⊂平面PCF，PF CF F PF CF所以DE⊥平面PCF…………………4分（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以//,DC AE DC AE=.又点E为AB的中点，所以//,DC EB DC EB=.所以四边形DEBC为平行四边形.所以//CB DE. 又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF,所以CB⊥平面PCF. 因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面. …PCF………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC的中点.如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形，所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形. 所以//FC EN .在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点， 所以//MF PE .又,EN PE ⊂平面,PEN PE EN E=,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN. …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分） 如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ；（III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF 平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD. 故BE ⊥AC. 又因为BE BD B=， 所以AC ⊥平面BDE.--------------------5分 （II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点．则OG //BE ，且12OG BE =．FEBOADCGFEBOADC由已知AF //BE ，且12AF BE=，则//AF OG 且AF OG =， 所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ，即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF 平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEF BEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.--------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】 （18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ；（Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.（18）（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥∴图（2）中，OG CF ⊥又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F∴⊥O又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D EF =∴四边形11E D OF 为菱形ADEF.O图1 图21EC1DA FOG11D F OE ∴⊥1OG OE =O11D F E OG∴⊥面…………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG⊥⊂∴⊥面，面OG FO O=11E M AGOF E M∴⊥∴面为1E -OFAG的高，12sin603E M=︒133322OFAG S =(1+2)=四1332V Sh ∴==…………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴= 又111//,OE CD CDCH C=11D CH//E OG∴面面1111D H D CH D H//E OG⊂∴面面四边形OGHC为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分1EBC1DAFOGMH。

5．立体几何1．【2018年XX卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2．【2018年XX卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】分析:先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.详解：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为选C.点睛：先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.3．【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.学/科-网+4．【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.详解：根据圆柱的三视图以与其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.5．【2018年全国卷Ⅲ理】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.【答案】B详解：如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，，，,点M为三角形ABC的重心，，中，有，，，故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。

2018年北京高三模拟考试理科数学试题分类汇编---- 立体几何（2018年朝阳期末）5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（ B ）A. 4B.43C.3D.8. 如图1，矩形ABCD中，AD .点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =.如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是（ C ）A . ①B. ①②C. ①③D. ②③ (2018年东城期末)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A ）（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1(2018年海淀期末)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形正视图侧视图俯视图A 正（主）视图侧（左）视图主视图左视图俯视图④所有正确的说法是（ D ）（A）①（B）①②（C）②③（D）①③(2018年西城期末)13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是__36__．(2018年丰台期末)6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ A ）A．2 B．．3(2018年石景山期末)7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ B ）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈(2018年昌平期末)5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（ B ）A. 1B.C. 2D.(2018年通州期末)8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C ，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点Q 为MN 中点，则Q 点的轨迹的长度是（ B ）A．2 B ．C ．1 D13．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是___12____.(2018年房山期末)（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ B ）（A ）120 （B ）60 （C ）24 （D ）20（2018年朝阳一模）6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ D ）主视图左视图俯视图1 1 NMC 1B 1A 1CBA俯视图正视图 侧视图A ．34 B ．23 C ．12D ．13(2018年东城一模)（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为______12+(2018年海淀一模)（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是（ D ）(A) 1(B) 65(C) 43(D)32(2018年西城一模)4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（ D ）（A ）（B（C ）6 （D ）6+14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是．(2018年丰台一模)（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ A ）(A)23(B)43 (C) 2(D) 83(2018年石景山一模)5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此多面体的体积是（ A ）A.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm（2018年朝阳二模）12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 3 .14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为4 ；()S x 的最小正周期为 π ．正视图侧视图俯视图(2018年东城二模)（12）如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，若过直线BD '的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为(2018年海淀二模)（14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD ABC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为(2018年西城二模)4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是（ B ） （A ）12 （B）（C） （D）(2018年丰台二模)（14）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ；② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为3；A1MA 1MEDCBA俯视图左视图③ 存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90 ． 其中正确的命题是 ①② ．（写出所有．．正确命题的序号） (2018年昌平二模)7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（B ） A ．4 BC ． 2 D(2018年房山二模)（6）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ B ）（A ）4 （B ）22 （C ）7（D ）2 (2018年顺义二模)4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ B ）A.338 B.163 C. D.16主视图俯视图左视图解答题部分：（2018年朝阳期末） 17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ，ACBB 1C 1A 1DACBB 1C 1A 1DE所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,7⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --的余弦值为7． …………14分(2018年东城期末) （17）（本小题14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（III ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长. 证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AB =，()0,1,1AE =，则有 0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-.()0,1,1DE =-，cos ,6DE DE DE⋅===m m m . 所以直线DE 与平面ABE （Ⅲ）设ON OD λ=，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=-，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有 0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩令1v =，则()0,1,1n =.因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-. 因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅=. 解得23λ=，所以53AN =.(2018年海淀期末) （17）（本小题14分）如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2.（Ⅰ）求证：平面1A ED⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.A E DBCD图1 图217. （本小题14分）（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，BE AD ⊥故图2，1BE A E ⊥，BE DE ⊥……………..1分 因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE……………..2分所以BE ⊥平面1A DE ……………..3分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..4分（Ⅱ） 解一：取DE 中点O ，连接1OA ，ON .因为在1A DE ∆中，111A E A D DE ===，O 为DE 中点xy所以1AO DE ⊥因为平面1A DE ⊥平面BCDE平面1A DE平面BCDE DE =1AO ⊂平面1A DE 所以1AO ⊥平面BCDE 因为在正方形BCDE 中，O 、N 分别为DE 、BC 的中点，所以ON DE ⊥ 建系如图.则1(0,0,2A ，1(1,,0)2B -，1(1,,0)2C ，1(0,,0)2D ，1(0,,0)2E -.……………..5分11(1,,2A B =-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD所成角的正弦值为4……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图.则11(0,,22A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . ……………..5分xy11(1,,22A B =--uuu r11(0,,)22A D =-uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等. 理由如下:方法一：由1(0,,44M ，1(1,,0)2N，知1(1,,44MN =-uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r……………..11分因为MN ⊂平面1ACD ，……………..12分所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD ……………..11分因为MN ⊂平面MNP ，……………..12分 所以//MN 平面1ACD……………..13分故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三 方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ ……………..11分 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ， ……………..12分 所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分(2018年西城期末) 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1(0,1A，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z = (2,1,=-n ． [11分]所以 111|||cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉=n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分](2018年丰台期末)17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,AB PC 的中点，2PA AD ==，CD =（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由.17．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG . 因为,F G 分别是,PC PD 的中点， 所以FG CD ∥，且12FG CD =. 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点， 所以AE FG ∥，AE FG =. 所以AEFG 为平行四边形. 所以EF AG ∥.又因为AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥. 如图建立直角坐标系Axyz ，所以E ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D ，所以()0,1,1EF =uu u r，,2,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r . 设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =r，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r，所以0202y z x y +=⎧-=⎪⎩. 令1y =，所以1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩()1n =-r .又因为)2,2PC =-uu u r，设PC 与平面EFD 所成角为θ，所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u rr 45=. 所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ⊥， 即可证明平面PAM ⊥平面EFD . 设BC 上存在一点M，则)[](),00,2Mt t ∈，所以),0AM t =uuu r .因为2,0ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令0AM ED ⋅=u u u r u u u r ，即120t -+=，所以12t =.所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ，且14BM BC =.(2018年石景山期末) 17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC BED 平面； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF .因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分 又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分 所以//PC 平面BED . ……………4分 （Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，BADCE P又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分 取AB 中点G ，连接OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r. ……………6分 设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =，所以(2,1,1)n =r.平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r，设n r ，OG uuu r 的夹角为α，所以cos α=. ……………9分由图可知二面角A PC D --为锐角， 所以二面角A PC B --……………10分（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---u u u r ，(1,2,0)AC =-u u u r． ……12分 由0BM AC ⋅=u u u r u u u r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==． ……………14分(2018年昌平期末) 18.（本小题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上. （I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由． （I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点，所以MH // BP . 又因为 BP⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM .所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PE AC ⊥. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()1,0,0B ，(P，()0C，()D -． ………10分假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，MPE DCBAHMPEDCBA则((,,x y z λ-=-，所以()2)M λλ--，所以()2)EM λλ=--，()EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则2)030EMx y z EC y λλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n，解得02)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)x λ=-，得)),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以cos |||⋅〈〉===⋅n m n,m n |m因为二面角M EC D --的大小为60°，12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°．…………………14分(2018年通州期末) 17．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC ，AB DC ==，1122AD AA BC ===，点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC 所成角的正弦值是21，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.17. 解：（Ⅰ）连接PQ ，因为点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点， 所以1//PQ C C ，1PQ C C =. 所以四边形PQCC 1是平行四边形.QP D 1C 1B 1A 1DCB A所以1//.CQ C P因为CQ ⊄平面1PAC ，1C P ⊂平面1PAC ， 所以//CQ 平面1.PAC ……………………4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ,1//AA PQ ， 所以PQ ⊥平面ABCD .……………………5分所以以Q 为坐标原点，分别以直线QA ，QP 为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系Qxyz ，则y 轴在平面ABCD 内．所以(),,A 100，(),,P 002，(),,C -1212，(),,B 210， 所以()1,0,2PA =-，()12,1,0PC =-. ……………………7分设平面1PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩100即,.x z x y -=⎧⎨-+=⎩2020所以()2,4,1n =. ……………………8分 设平面PAD 的法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==又二面角1C AP D --为锐角， 所以二面角1C AP D --的余弦值是21……………………10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,E a 10，所以(),1,2.PE a =-设PE 与平面1PAC 所成角为θ，所以2sin cos ,21n PE θ===，解得 1.a = 所以 1.BE =……………………14分(2018年房山期末)（17）如图几何体ADM-BCN 中，ABCD 是正方形，NM //CD ，CN CD MD AD ⊥⊥,，=∠MDC o 120， 30=∠CDN ，42==MD MN .（Ⅰ）求证：CDMN AB 平面//；（Ⅱ）求证：AMD DN 平面⊥；（Ⅲ）求二面角D AM N --的余弦值.（17）解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，CD AB //； 又 MNCD 面⊂CD ，MNCD 面⊄AB ；MNCD //面AB ∴ …………………5分（Ⅱ） 四边形ABCD 是正方形⊥∴AD DC⊥AD MD ， CD D MD =，CD ，MNCD MD 平面⊂⊥∴AD MNCD 平面MNCD DN ⊂⊥∴AD DN=∠MDC o 120， 30=∠CDN90=∠∴MDN∴MD ND ⊥D MD AD = ，AMD MD AD 平面，⊂AMDDN 面⊥∴…………………10分（Ⅲ）法1：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyzD -，如图所示；由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,32,0(),0,0,2(),3,0,0(),0,0,0(N M A D ∴)0,32,0(),3,32,0(),3,0,2(=-=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⇒z y z x z y z x 23230332032 令3,3,2===y x z 则，)2,3,3(=∴n431632332||||,cos ==>=<∴DN n由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43…………………14分 法2：以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示； 由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,3,0(),0,3,4(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(N M A D C ∴)0,3,3(),3,3,3(),3,3,1(-=--=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n AM n ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+-=-+⇒z y x z y x z y x 300333033令3,1==y z 则，)1,3,0(=∴n432323||||,cos =⋅=>=<∴DN n 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43. …………………14分 （2018年朝阳一模） 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分图1EAB C DOA '图2DEO（Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ， 因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-，所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130, 20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y zλλ=， 所以000,3,x y zλλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m.即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m， 0=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分(2018年东城一模)（17）（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD ，PBC 沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.图1 图2 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥， 所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥. ……………………4分 （Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM .过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ， 所以BM ⊥平面POA .因为BM uuu r ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP uu r＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin cos BP BP BPa ×=<>==uu r uu ruu r m m,m . 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. ………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()OA =. 设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1y =-，则x =z =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3p. ……………………………14分(2018年海淀一模)（17）（本小题14分）已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中： （Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值； （Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足CM CP =λ，1233,⎡⎤λ∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围.(图1)CAEC（Ⅰ）方法1：OCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥ ········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥ ········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OCA Q设AC 的中点为O ，连接PO ，因为 在PAC ∆中，PA PC =，所以 PO AC ⊥ ········································································· 1分 设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB . 因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥. 因为 PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以 AB ⊥平面OPQ 因为 PO ⊂平面OPQ所以 PO AB ⊥ ········································································· 2分 因为 ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 法4：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 在ABC ∆中，BA BC =，O 为AC 的中点所以 BO AC ⊥， ······································································ 2分 因为 POBO O =，PO ⊂平面PAC ，BO ⊂平面ABC ，所以∠POB 为二面角P -AC -B 的平面角。

俯视图左视图2018年北京各区二模理科数学分类汇编---立体几何1.（昌平）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是 B A ．4 BC ． 2 D2.（昌平）如图1，在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D BE ⊥，如图2．（I ）求证：1A E ⊥平面BCDE ； （II ）求二面角1E A D B --的余弦值；（III ）在线段BD 上是否存在点P ，使平面1A EP ⊥平面1A BD ？若存在，求出BPBD的值；若不存在，说明理由．证明：（I ）因为DE AB ⊥，所以BE DE ⊥．又因为1BE A D ⊥，1DE A D D =,所以BE ⊥平面1A DE ． 因为1A E ⊂平面1A DE ， 所以1A E BE ⊥． 主视图ABCD图1A 1BCDE图2又因为1A E DE ⊥,BEDE E =,所以1A E ⊥平面BCDE ．--------------------5分 （II ）因为1A E ⊥平面BCDE ，BE DE ⊥，所以以E 为原点，分别以EB ，ED ，EA 1为D ，x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，1(0,0,1)A ．所以1(1,0,1)BA =-,(BD =-． 设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，由100BA x z BD x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n，得x z x =⎧⎪⎨=⎪⎩令1y =，得=n ．因为BE ⊥平面1A DE ，所以平面1A DE 的法向量(1,0,0)EB =uu r，所以3cos ,77EB EB EB⋅===⋅n n n ．因为所求二面角为锐角，所以二面角1E A D B --的余弦值为7． -------------------10分 （III ）假设在线段BD 上存在一点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ．设(,,)P x y z，(01)BP BD λλ=≤≤，则(1,,)(x y z λ-=-． 所以(1,0)P λ-．所以1(0,0,1)EA =，(1,0)EP λ=-． 设平面1A EP 的法向量(,,)x y z =m ，由10(1)0EA z EP x y λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ，得0(1)z x y λ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x =，得,1,0)λ=-m ．因为平面1A EP ⊥平面1A BD ， 所以310λλ⋅=+-=m n ，解得[]10,14λ=∈， 所以在线段BD 上存在点P ，使得平面1A EP ⊥平面1A BD ，且14BP BD =． --------------------14分3. （朝阳）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥底面和三个侧面中，直角三角形个数是___．34.（朝阳）如图，已知四面体ABCD 的棱AB //平面α，且AB =，其余的棱长均为1．四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α的上方．如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为 ；()S x 的最小正周期为 ．π5.（朝阳）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ．△PBC 是等腰三角形，且3PB PC ==；在梯形ABCD 中，ABDC ，AD DC ⊥，5,4,3AB AD DC ===．（Ⅰ）求证：//AB 面PDC ； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值；（Ⅲ）在线段AP 上是否存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ？请说明理由．正视图侧视图俯视图 A证明：（Ⅰ）因为AB DC ，又因为AB PDC ⊄平面，DC PDC ⊂平面， 所以//AB 平面PDC ． ……3分（Ⅱ）取BC 中点F ，在PBC △中，因为PB PC =，所以PF BC ⊥.又易知5,AC AB ==所以AF BC ⊥.又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC 平面=ABCD BC ，所以PF ⊥平面ABCD ．所以PF AF ⊥．以F 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． 在梯形ABCD 中，因为ABDC ，AD DC ⊥，4,3AD DC ==，5AB =，所以BC =，AF =又因为3PB =，所以2PF =．于是有(0,0,2),(0,P A B C ．所以FA =，(AB =-，2)PB =-．因为AF ⊥平面PBC，所以FA =是平面PBC 的一个法向量． 设平面PBA 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,AB PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即0,20.z ⎧-+=⎪-=所以2,2.y x z =⎧⎪= 令2y =，则=m ．所以cos ,FA <>=m ． 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --． ……9分 （Ⅲ）因为5,3AB DC ==，且(AB =-，所以35CD AB =-．所以25AD AB BC CD AB BC =++=+2((0,(5=-+-=． 设平面ADP 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则0,0,AD AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即11110,20.y z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩所以11112,.x y z =-⎧⎪= 令12x =，则(2,=-n ．假设线段AP 上存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ，且设([0,1])AH AP λλ=∈．所以((,0,2)AH AP λλλ==-=-．所以(,0,2)),)BH BA AH λλλ=+=+-=-． 因为BH ⊥平面ADP ，所以//BH n ．=λ不存在． 所以假设不成立，故线段AP 上不存在点H ，使得BH ⊥平面ADP ．……14分 6.（东城）如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，若过直线BD '的 平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为___________.27.（东城）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC BCDE 平面⊥,22AB AC CD BE ====,//BE CD ，CD CB ⊥,AB AC ⊥.（Ⅰ）求证：ACD 平面⊥平面ABC ；（Ⅱ）若O 为BC 中点，P 为线段CD 上一点，//OP 平面ADE ，求CPCD的值； （Ⅲ）求二面角A DE B --的的大小;（Ⅰ）证明：如图1，因为平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC平面BCDE CB =，CD ⊂平面BCDE ，CD CB ⊥，所以CD ⊥平面ABC .因为CD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABC .………………4分（Ⅱ）如图2，取CD 中点F ，连接EF ，因为//OP 平面ADE ，OP ⊂平面BCDE ，平面ADE平面BCDE DE =，所以//OP DE.所以CPO FDE ??.因为//BE CF ，BE CF =， 所以//EF BC . 所以PCODFE ??.所以COP FED ∆∆.所以CP CO FD FE ==12. 因为F 为CD 的中点， 所以14CP CD =. ……………………………9分 （Ⅲ）连接OA ，由（Ⅰ）知CD ⊥平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC所以,CD OA CD OB ⊥⊥，因为AB AC =，点O 为BC 中点，所以OA OB ⊥. 作//OM CD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥. 如图3建立空间坐标坐标系O xyz -. 因为22AB AC CD BE ====所以(()),,A D E， ()()2,2,2,2,1,AD AE =--=因为OA OB ⊥，OA OM ⊥，OB OM O =，所以OA ⊥平面BCDE .平面BCDE 的法向量(0,0,1)=n .设平面ADE 的法向量(),,x y z =m ，则有 0,0.AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,0.y y ⎧+=⎪+= 令1x =，则y =3z =，即()=m.cos ,2⋅===n m n m n m 由题知二面角A DE B --为锐角， 所以二面角A DE B --的大小为4π. ……………………………14分8. （房山）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为 B（A ）4 （B ）22 （C ）7 （D ）29.（房山）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2. （Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ； （Ⅱ）求二面角1E OG F --的大小；（Ⅲ）在线段1CD 上是否存在点H ，使得//BH 平面1E OG ？如果存在，求出11D HD C的值；如果不存在，请说明理由.（Ⅰ）证:图（1）中OG CF ⊥ ∴图（2）中，OG CF ⊥俯视图左视图F 图21EC1DAF OG又面11CD E F ABCF ⊥面，11CD E FABCF=CF 面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F ∴⊥O 又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D E F =∴四边形11E D OF 为菱形11D F OE ∴⊥1OG OE =O 11D F E OG ∴⊥面 …………5分（Ⅱ）取OF 的中点M ，连接M E 1,MA ,以点M 为坐标原点，建立空间直角坐标系M-xyz 如图所示.1,0),F(0,1,0)E -1(3,0,0),(0,1OG OE ∴==-设面1OE G的法向量为n1000{{{00x n OG y n OE y =⋅==∴⇒⇒=⋅=-=，令1,z =则y =(0,3,1)n ∴=设面FOG 的法向量为m ，则(0,0,1)m =1cos ,2||||m n m n m n ⋅∴<>==∴二面角1E OG F --的大小为3π…………10分 （Ⅲ）假设存在，设(x,y,z)H ，11,[0,1]D HD Cλλ=∈ 11D H DC λ∴=1D11(x,y 2,z 3),(0,1,D H DC ∴=--=00{2{2(0,2(x xy y H BHz zλλλλ==∴-=∴=+∴+∴==-=000BH n⋅=+==矛盾∴不存在…………14分10. （丰台）如图，在矩形ABCD中，4AB=，2AD=，E为边AB的中点．将△ADE沿DE翻折，得到四棱锥1A DEBC-．设线段1A C的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM∥平面1A DE；②三棱锥1C A DE-体积的最大值为3；③存在某个位置，使DE与1A C所成的角为90︒．其中正确的命题是．（写出所有．．正确命题的序号）①②11. （丰台）如图所示，在三棱柱111ABC A B C-中，D是AC中点，1A D⊥平面ABC，平面1BB D与棱11AC交于点E，1=AA AC，=AB BC．（Ⅰ）求证：1B B DE∥；（Ⅱ）求证：1AA BD⊥；（Ⅲ）若1B C与平面11A ABB所成角的正弦值为7，求ACBD的值．（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABC A B C-中，侧面11A ABB为平行四边形，所以11B B A A∥．又因为1B B⊄平面11A ACC，1A A⊂平面11A ACC，所以1B B∥平面11A ACC．…………………2分因为1B B⊂平面1BB D，且平面1BB D平面11A ACC DE=，A1MEDCBAEDA1C1B1CAB所以 1B B DE ∥． …………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC 中，因为 =AB BC ，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系D xyz -． …………………5分 设=BD a ，=AD b ，在△1AA D 中 1=2AA AD ，190A DA ∠=︒， 所以1AD ，所以 (0,0,0)D ，(0,,0)A b -1)A ，(,0,0)B a ．所以 1(0,)AA b =，(,0,0)DB a =． …………………7分所以 10000AA DB a b ⋅=⨯+⨯⨯=，所以 1AA BD ⊥． …………………9分（Ⅲ）解：因为 (0,)E b ， 所以 1(,)DB DE DB a b =+=，即1(,)B a b ．因为 (0,,0)C b ，所以 1()CB a =． …………………10分 设平面11ABB A 的法向量为 =(,,)n x y z ，因为 100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00by ax by ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令 =z a ，则y =，x =，所以 (3,,)n b a =． …………………12分 因为 111|||cos ,|||||3n CB n CB n CB b ⋅<>==所以7，即 422441390a a b b -+=， 所以 =a b 或23a b =，即=2ACBD或4=3AC BD ． …………………14分 12.（海淀）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC △的面积的最小值为__________．A113. （海淀）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC ⊥AC ，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点． （1）证明：11AC B C ⊥．（2）证明：DE ∥平面11AA B B ．（3）求DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值．（1）因为1AB ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， 所以1AB AC ⊥．因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ⊂平面11AB C ， 所以AC ⊥平面11AB C ． 因为11B C ⊂平面11AB C ，所以11AC B C ⊥． ·················································································· 4分 （2）取11A B 的中点M ，连接MA 、ME ． 因为E 、M 分别是11B C 、11A B 的中点， 所以ME ∥11A C ，且1112ME AC =．在三棱柱111ABC A B C -中，11AD AC ∥，且1112AD AC =， 所以M E AD ∥，且ME AD =， 所以四边形ADEM 是平行四边形， 所以DE AM ∥．又AM ⊂平面11AA B B ，DE ⊄平面11AA B B ， ········ 所以DE ∥平面1AA BB ．······································ 9分 （3）在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C ∥， 因为11AC B C ⊥，所以AC BC ⊥． 在平面1ACB 内，过点C 作1Cz AB ∥， 因为，1AB ⊥平面ABC ，1A CED C B A A 1B 1C 1MC 1B 1A 1ABCDE 1所以，Cz ⊥平面ABC ．建立空间直角坐标系C xyz -，如图．则(0,0,0)C ，(2,0,0)B ，1(0,2,2)B ，1(2,2,2)C -，(0,1,0)D ，(1,2,2)E -． (1,1,2)DE =-，(2,0,0)CB =，设平面11BB C C 的法向量为(,,)n x y z =， 则100n CB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x y z =⎧⎨+=⎩，得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)n =-． 设直线DE 与平面11BB C C 所成的角为θ， 则sincos ,||||DE n DE n DE n θ⋅=<>=⋅， 所以直线DE 与平面11BB C C ． ···································· 14分 14.（顺义）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．AB ．163C ．D ．16【答案】B由三视图在长方体中作出三棱锥的直观图，如图所示，则该三棱锥的体积1116442323V =⨯⨯⨯⨯=，故选B ．俯视图DCB A15. （顺义）已知直线a ，b ，m ,其中a ，b 在平面α内，则“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当a b ∥时，“m a ⊥，m b ⊥”不能推出“m α⊥”，充分性不成立， 反之，若“m α⊥”，则由线面垂直的定义可知“m a ⊥，m b ⊥”， 故“m a ⊥，m b ⊥”是“m α⊥”的必要而不充分条件， 故选B ．16.（顺义）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长和底面边长均为1，D 是BC 的中点．（1）求证：1A B ∥平面1ADC ．（2）求1A A 与平面1ADC 所成角的正弦值．（3）试问线段11A B 上是否存在点E ，使CE ⊥平面1ADC ？若存在，求111A EA B 的值，若不存在，说明理由． 解：（1）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD ，∵1A C 交1AC 于点O ，∴O 是1A C 的中点，又∵D 是BC 的中点，∴OD 是1A BC 的一条中位线，∴1A B OD ∥， 又∵OD ⊂平面1ADC ， ∴1A B ∥平面1ADC ．（2）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴， 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，D CBAC 1B 1A 1则()0,0,0D，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,0,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在平面1ADC 中，10,,0DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,12DC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设(),,m x y z =为平面1ADC 的一个法向量，则有100m DA m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0102y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m =，又10,A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()10,0,1A A =-，设1A A 与平面1ADC 所成角为θ， 则1115sin cos ,m A A m A A m AAθ⋅=<>==⋅，∴1A A 与平面1ADC ． （3）假设点E 在线段11A B 上，使CE⊥平面1ADC ，不妨设111A E A B λ=（01λ≤≤）， ∵10,A⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1112A B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1111=,02A EA B λλ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴12E λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴1122CE λ→⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 在平面1ADC中，0,DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，112AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴0CE DA ⋅=①， 10CE AC ⋅=②，由①可解得1λ=， 又②可解得0λ=，①与②矛盾，所以这样的点E 不存在．yA A17.（西城）某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的侧面积是 B（A ）12（B ）（C ）（D ）18.（西城）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求二面角C BF A --的余弦值；（Ⅲ）线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．解：（Ⅰ）因为 //CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以 //DF CE ． …… 2分因为 DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以 //DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）在平面ABEF 内，过A 作Az AB ⊥．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =， 又 Az ⊂平面ABEF ，Az AB ⊥， 所以 Az ⊥平面ABCD ，所以 AD AB ⊥，AD Az ⊥，Az AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -． ……………… 5分由题意得，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(2,2,0)C ，E ，F ．所以 (2,2,0)BC −−→=-，(0,BF −−→=-． 设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,BC BF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即220,30.x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则1x =，z ==n ． ……………… 7分 平面ABF 的一个法向量为 (1,0,0)=v ， ……………… 8分 则cos ,||||⋅〈〉=n v n v n v 所以 二面角C BF A --． ………………10分 （Ⅲ）线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： ………………11分解法一：设平面ACE 的法向量为111(,,)x y z =m ，则 0,0,AC AE −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩m m即1111220,30.x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩令11y =，则11x =-，1z =(1,1,=-m ． ………………13分因为 0⋅≠m n ，所以 平面ACE 与平面BCF 不可能垂直，从而线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ． ………………14分 解法二：线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下： …………11分 假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ， 设 CG CE λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈．设 222(,,)G x y z，则有222(2,2,)(2,)x y z λλ--=-， 所以 222x λ=-，22y λ=+，2z =，从而(22,2,)G λλ-+，所以(22,2)AG λλ−−→=-+． ………………13分 因为 AG ⊥平面BCF ，所以 //AG n ． 所以有22211λλ-+==，因为上述方程组无解，所以假设不成立．所以线段CE上不存在点G，使得AG 平面BCF．………………14分。

精品解析：北京市2018年高考数学最新联考试题分类大汇编（8）立体几何试题解析一、选择题：（3）(北京市东城区2018年1月高三考试文科）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）32a （B ） 36a （C ） 312a （D ）318a【答案】C【解析】该几何体为底面是直角边为a的等腰直角三角形，高为a 的直三棱柱，其体积为12a a a ⨯⨯⨯=32a 。

7．(北京市西城区2018年1月高三期末考试理科)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）43【答案】D正 （ 主 ） 视图俯视图侧 （ 左 ） 视图【解析】将三视图还原直观图，可知是一个底面为正方形（其对角线长为2），高为2的四棱锥，其体积为11142222.3323ABCD V S =⨯=⨯⨯⨯⨯=正方形A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则m //nC ．βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥D ．βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //【答案】C 体的体积为 . 32（9）(北京市东城区2018年4月高考一模文科)已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 . 4310. (2018年4月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .32正视图 侧视图F EDB A PC三、解答题：（17）(北京市东城区2018年1月高三考试文科）（本小题共14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点.（Ⅰ）求证：EF BD ⊥；（Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD ，并说明理由.【命题分析】本题考查线线垂直和线面探索性问题等综合问题。

考查学生的空间想象能力。

证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.本题第一问利用方法二进行证明；探求某证明（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又四边形ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，A AC PA = ， 所以BD ⊥平面PAC , 又EF ⊂平面PAC ,所以EF BD ⊥. (7)分PBD . ………………14分(16) （2018年4月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所成角PQ PB 的值．(16)（本小题满分14分）………………………………………5分PDCBA所以(BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(BD =-.………………………………………12分17. (2018年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，2AB=，=1EF，BC，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；CAFE BMD（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. （17）（本小题满分13分）（Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得CPD ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB CD ⊥.又因为CD BD ⊥，所以CD ⊥平面EBD . ………………………8分 在Rt CPD ∆中，tan =CDCPD DP∠.17．(北京市西城区2018年4月高三第一次模拟文)（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设EDFC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥， 所以 ⊥NE 平面ECDF ， ……5分所以 FC NE ⊥． …………6分9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………11分所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ……………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分 （17）(北京市东城区2018年4月高考一模理科)（本小题共13分）图1 图2 （17）（共13分）（Ⅰ）证明：取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形.又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. …………2分 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥.…………3分 所以1A E B ∠为二面角1A E FB --的平面角.图1又二面角1A EF B --为直二面角，所以1A E BE ⊥. …………5分 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP . …………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B，0)F .在图１中，连结DP . 因为12CF CP FA PB ==， 所以PF ∥BE ，且12PF BE DE ==. 所以四边形EFPD 为平行四边形. 所以EF ∥DP ，且EF DP =.故点P 的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B =-，(1BP =-，1(0,0,1)EA =. …………8分不妨设平面1A BP 的法向量(,,)x y z =n ，则10,0.A B BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,0.x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y =(3,6)=n . …………10分 所以cos 〈1EA 〉n,11||||14EA EA ⋅===⨯n n . …………12分 故直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小为3π. …………13分 （17）(北京市东城区2018年4月高考一模文科)（本小题共14分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使平面1A EF ⊥平面EFB ，连结1A B ，1A P .（如图2）（Ⅰ）若Q 为1A B 中点，求证：PQ ∥平面1A EF ； （Ⅱ）求证：1A E ⊥EP .图1 图2（17）（共14分）证明：（Ⅰ）取1A E 中点M ，连结,QM MF ．在△1A BE 中，,Q M 分别为11,A B A E 的中点，所以QM ∥BE ，且12QM BE =． 因为12CF CP FA PB ==， 所以PF ∥BE ,且12PF BE =， 所以QM ∥PF ，且QM PF =．所以四边形PQMF 为平行四边形．所以PQ ∥FM ． …………5分 又因为FM ⊂平面1A EF ，且PQ ⊄平面1A EF ，所以PQ ∥平面1A EF ． …………7分（Ⅱ） 取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形.又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥.所以在图2中有1A E EF ⊥. …………9分因为平面1A EF ⊥平面EFB ，平面1A EF 平面EFB EF =，所以1A E ⊥平面BEF . …………12分又EP ⊂平面BEF ，所以1A E ⊥EP . …………14分17. (2018年3月北京市丰台区高三一模文科)（本小题共14分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA =PD ，∠BAD =60º，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBE ；（Ⅱ）若Q 是PC 的中点，求证：PA // 平面BDQ ；（Ⅲ）若V P-BCDE =2V Q - ABCD ，试求CP CQ的值． 17．证明：（Ⅰ）因为 E 是AD 的中点， PA =PD ， 所以 AD ⊥PE． ……………………1分因为 底面ABCD 是菱形，∠BAD =60º，所以 AB =BD ，又因为E 是AD 的中点，所以 AD ⊥BE ． (2)分因为 PE ∩BE =E ， (3)分所以 AD ⊥平面PBE ． (4)分（Ⅱ）连接AC 交BD 于点O ，连结OQ ．……………………5分因为O 是AC 中点， Q 是PC 的中点，所以OQ 为△PAC 中位线．所以OQ //因为 12h CP h CQ=， 所以 83CP CQ =． ……………………14分 17. (2018年4月北京市房山区高三一模理科（本小题共14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明；(III)求二面角1M AB B --的余弦值.17．（本小题共14分）(I) 证明：∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，∴C B BN 1⊥ …………………………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B ………………………2分⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 …………………3分又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………………………………4分（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………………………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,,则HG 为B AB 1∆的中位线∴GH ∥1BB ，121BB GH =…………………6分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形∴1CC ∥1BB ，11BB CC =∵M 为1CC 的中点，(III) ∵ 直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥又平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =， ∴11cos ,BC n <>=1111B C nB C n ⋅⋅=31， ……………………13分 设二面角1M AB B --的平面角为θ，且θ为锐角∴111cos cos ,3B C n θ=-=． ……………………14分。

专题10 立体几何1.【2009高考北京文第7题】若正四棱柱1111ABCD A BC D 的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC 到底面ABCD 的距离为 ( ) A ．3B ． 1C ． 2D ．3【答案】D2. 【2010高考北京文第5题】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )【答案】C 【解析】试题分析：由几何体的正视图、侧视图，并结合题意可知，选C 项．3. 【2010高考北京文第8题】如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P —EFQ 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关 【答案】C4. 【2012高考北京文第7题】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )A ．2865+B ．3065+C ．56125+．60125+ 【答案】B 【解析】试题分析：根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝12×(2＋3)×4＋1 2×4×5＋12×4×(2＋3)＋12541530652⨯⨯-=+．5. 【2013高考北京文第8题】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有( )．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示．则D(0,0,0)，D1(0,0，a)，C1(0，a，a)，C(0，a,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，A(a,0,0)，A 1(a,0，a )，|1PC |＝|1PA |＝222414999a a a a ++=， |PC |＝|PA |＝2224116999a a a a ++=， |1PB |＝22211469993a a a a ++=， 故共有4个不同取值，故选B.6. 【2011高考北京文第5题】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(A)32 (B)16+162 (C)48 (D)16322+【答案】B【解析】由三视图可知，几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为22，表面积2142244161622⨯⨯⨯+=+，故选B. 7. 【2006高考北京文第7题】设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点.在下列命题中,不正确．．．的是（ ）A.若AC 与BD 共面,则AD 与BC 共面B.若AC 与BD 是异面直线,则AD 与BC 是异面直线C.若A B =AC ,DB =DC ,则AD =BCD.若AB =AC ,DB =DC ,则AD ⊥BC【答案】C故AD 与BC 是异面直线.选项D,如图所示,取BC 中点M ,由AB =AC ,DB =DC ,得AM ⊥BC ,DM ⊥BC . 又AM ∩DM =M ,∴BC ⊥面AMD .∴BC ⊥AD .选项C,无法推断.8. 【2007高考北京文第7题】平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 【答案】D【考点】线线平行于线面平行的判定定理和性质，异面直线的概念，充分条件的判断9. 【2005高考北京文第7题】在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是( )（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PA E（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC【答案】C【解析】由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B 正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．10.【2017高考北京文数第6题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60 （B）30（C）20 （D）10【答案】D【考点】三视图，几何体的体积【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面三角形的外面，否则中间的那条线就不会是虚线.11. 【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．2．3．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：【考点定位】三视图.12. 【2013高考北京文第10题】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为__________．【答案】3【解析】13. 【2016高考北京文数】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3 . 2【解析】试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为3.2考点：三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.14. 【2014高考北京文第11题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.侧（左）视图正（主）视图11122【答案】22考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力.15．【2006高考北京文第17题】如图,ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱. (1)求证:BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)若二面角C 1-BD -C 的大小为60°,求异面直线BC 1与AC 所成角的大小.【答案】解法一:(1)证明:∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱, ∴CC 1⊥平面ABCD .∴BD ⊥CC 1. ∵ABCD 是正方形,∴BD ⊥AC .又∵AC 、CC 1 平面ACC 1A 1,且AC ∩CC 1=C , ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.∵A 1C 1∥AC ,∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成的角. 设BC =A ,则CO =22A ,CC 1=CO ·T A n60°=26A ,A 1B =BC 1=210A ,A 1C 1=2A , 在△A 1BC 1中,由余弦定理得cos ∠A 1C 1B =11121212112BC C A B A BC C A ⋅-+=55,∴∠A 1C 1B =arccos55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的大小为arccos55. 解法二:(1)证明:建立空间直角坐标系D —xyz ,如图.设AD =A ,DD 1=B ,则有D(0,0,0),A (A ,0,0),B (A ,A ,0),C (0,A ,0),C 1(0,A ,B ), ∴BD =(-A ,-A ,0),AC =(-A ,A ,0),1CC =(0,0,B ). ∴BD ·AC =0,BD ·1CC =0.∴BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1. 又∵AC 、CC 1⊂平面ACC 1A 1,且AC ∩CC 1=C , ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.∵tan ∠C 1OC =3221==a b OCCC ,∴B =26A .∵AC =(-A ,A ,0),1BC =(-A ,0,B ), ∴cos 〈AC ,1BC 〉=11BC AC BC AC ⋅=55. ∴异面直线BC 1与AC 所成角的大小为arccos55. 16. 【2009高考北京文第16题】（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.（Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面； （Ⅱ）当2PD AB =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点， ∴OE//PD，12OE PD =，又∵PD ABCD ⊥底面， ∴OE⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ， 在Rt △AOE 中，122OE PD AB AO ===， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒.【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -， 设,,AB a PD h ==则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==， ∴0,0AC DP AC DB ⋅=⋅=， ∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC PDB ⊥平面.（Ⅱ）当PD =且E 为PB的中点时，()11,,22P E a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设AC∩BD=O，连接OE ， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角，∵112,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴2cos EA EO AEO EA EO⋅∠==⋅， ∴45AOE ︒∠=，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45︒. 17. 【2008高考北京文第16题】（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小．解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，．AC B PAP BP =，PD AB ∴⊥．AC BC =，CD AB ∴⊥．PD CD D =，AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，36BE AB ==， ABE P ACBDP6sin3BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为6arcsin 3． 解法二： （Ⅰ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂平面ABC ，PC AB ∴⊥．取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，3cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===．∴二面角B AP C --的大小为3． 18. 【2010高考北京文第17题】（13分） 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB 2CE ＝EF ＝1.ABPz x y E(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.【答案】证明：(1)设AC与BD交于点G.(2)连结FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.19. 【2012高考北京文第16题】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB 的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．图1图2(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．所以平面DEQ即为平面DEP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP．从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．20. 【2013高考北京文第17题】(本小题共14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，由(1)知PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 所以CD ⊥平面PAD .所以CD ⊥PD . 因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 所以PD ∥EF .所以CD ⊥EF . 所以CD ⊥平面BEF . 所以平面BEF ⊥平面PCD .21. 【2014高考北京文第17题】（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，12AA AC ==，E 、F 分别为11AC 、BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.C 1B 1A 1FE CBA【答案】3（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11AC 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11AC ，且AC=11AC ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ， 所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ⊂平面ABE ， 1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以AB=223AC BC -=，所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=⋅=1131232⨯⨯⨯⨯=33. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．22. 【2011高考北京文第17题】（本小题共14分） 如图，在四面体PABC 中，,,PC AB PA BC ⊥⊥点,,,D E F G 分别是棱,,,AP AC BC PB 的中点。