相互独立事件同时发生的概率(二)

08相互独立事件同时发生的概率11.3 相互独立事件同时发生的概率●高考大纲了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．一、知识梳理1.相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件.2.独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k.3.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：第一，相互独立也是研究两个事件的关系；第二，所研究的两个事件是在两次试验中得到的；第三，两个事件相互独立是从"一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响"来确定的.4.互斥事件与相互独立事件是有区别的：两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生.5.事件A与B的积记作A・B，A・B表示这样一个事件，即A 与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A・B满足乘法公式P（A ・B）=P（A）・P（B），还要弄清・，的区别. ・表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有・≠，但・=.二、基础训练【例1】把n个不同的球随机地放入编号为1，2，...，m 的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率.【例2】假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1－P，且各引擎是否故障是独立的，如果至少50%的引擎能正常运行，飞机就可以成功地飞行，问对于多大的P而言，4引擎飞机比2引擎的飞机更为安全？【例3】（全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。

已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.三、例题剖析【例1】（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张.甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张.（1）两人都抽到足球票的概率是多少?（2）两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少?【例2】有外形相同的球分别装在三个不同的盒子中，每个盒子中有10个球.其中第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率..【例3】（2004年福州模拟题）冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率相等.（1）求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（2）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.【例4】（2004年南京模拟题）一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算在这一时间段内，（1）恰有一套设备能正常工作的概率；2p3－2p6（2）能进行通讯的概率. 2p3－p6【例5】（江西卷）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率. 〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓〓四、同步练习 g3.1096相互独立事件同时发生的概率1.若A与B相互独立，则下面不相互独立事件有AA.A与B.A与C. 与BD. 与2.在某段时间内，甲地不下雨的概率为0.3，乙地不下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨相互无影响，则这段时间内两地都下雨的概率是DA.0.12B.0.88C.0.28D.0.423.（2004年辽宁，5）甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率是p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是BA.p1p2B.p1（1－p2）+p2（1－p1）C.1－p1p2D.1－（1－p1）（1－p2）4.将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现k+1次正面的概率，那么k的值为CA.0B.1C.2D.35.从应届高中生中选出飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一学生，则该生三项均合格的概率为（假设三项标准互不影响）CA. B. C. D.6.一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.7.某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分.已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是________.8.某单位订阅大众日报的概率为0.6，订阅齐鲁晚报的概率为0.3，则至少订阅其中一种报纸的概率为_____0.72___.9.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是________.10.（全国卷Ⅱ）)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；(Ⅱ) 本场比赛乙队以取胜的概率．11. （湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 12.（2004年湖南）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；，，（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.13.（浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．。

相互独立事件同时发生的概率【同步教育信息】一. 本周教学内容：互斥事件有一个发生的概率；相互独立事件同时发生的概率二. 本周教学重、难点：1. 重点：（1）了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。

（2）相互独立事件，独立重复试验的概率，相互独立事件的概率乘法公式。

2. 难点：（1）把复杂事件分拆成彼此互斥的简单事件，求简单事件的基本事件数。

（2）判断各事件之间是否独立。

【典型例题】[例1] 在20件产品中，有15件一级品；5件二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？解法一：基本事件总数为，从20件产品中任取3件，其中恰有1件二级品的事件为，恰有2件二级品的事件为，恰有3件二级品的事件为，则=解法二：[例2] 从10个数字0，1，2，……，9中取4个不重复的数字排四位数，能排成一个4位偶数的概率是多少？解：试验结果的总数为种情况，设所求事件为A，因为要求的是偶数，所以个位数字只能取0，2，4，6，8中的任何一个，它需要分两种情况：（1）个位数是0时，其余三位数可从1，2，……，9中选出，共有种；（2）当个位数取2，4，6，8中任何一个时，还需从其余的9个数字中任取3个，共有种。

由于0不能放在首位（而0在首位有种），故以2，4，6，8为个位的四位偶数共有，于是能排成一个4位偶数的概率为。

[例3] 在一只袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个。

试求：（1）取得两个红球的概率；（2）取得两个绿球的概率；（3）取得两个同颜色的球的概率；（4）至少取得一个红球的概率。

解：从10个球中先后取2个，共有种不同取法。

（1）由于取得两个红球的情况有种，所以取得两个红球的概率为。

（2）取得两个绿球的概率为。

（3）由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两同色球的概率为。

相互独立事件同时发生的概率知识要点:1．对于事件A、B，如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则称这样的两个事件为相互独立事件.2．相互独立事件的概率乘法公式:设事件A、B相互独立，把A、B同时发生的事件记为（A·B），则有P（A·B）=P（A）·P（B）.上述公式可以推广如下:如果事件A1，A2，……，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积.即P(A1·A2·……·A n)=P(A1)·P(A2)·……·P(A n).3．如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率:P n(k)=P k(1-P)n-k.实际上，它就是二项展开式[(1-P)+P]n的第(k+1)项.要求：1．掌握相互独立事件的概率乘法公式，会用它计算一些事件的概率.2．掌握计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.典型题目例1.加工某种零件先后需经历三道工序，已知第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假定各道工序互不影响，问加工出来的零件的次品率为多少？解:设A1、A2、A3分别表示三道工序得到次品的事件，由题设知，它们是相互独立的事件，而加工得到次品是指以上三个工序中至少有一个工序是次品，即次品事件A=.∴P(A)=0.02×0.97×0.95+0.98×0.03×0.95+0.98×0.97×0.05+0.02×0.03×0.95+0.02×0.97×0.05+0.98×0.03×0.05+0.02×0.03×0.05=0.09693.例2．某商人购进光盘甲、乙、丙三件，每件100盒，其中每件里面都有1盒盗版光盘.这个商人从这3件光盘里面各取出1盒光盘卖给了李四，求:（1）李四恰好买到1盒盗版光盘的概率；（2）李四至少买到1盒盗版光盘的概率.解:（1）记从甲、乙、丙三件光盘里面各取出1盒光盘，得到非盗版光盘的事件分别为A、B、C，则事件·B·C、A··C、A·B·是互斥的；事件、B、C，A 、、C，A、B、彼此之间又是相互独立的.所以P(·B·C+A··C+A·B·)=P(·B·C)+P(A··C)+P( A·B·)=P()·P(B)·P(C)+P(A)·P()·P(C)+P(A)·P(B)·P()=0.01×0.99×0.99+0.99×0.01×0.99+0.99×0.99×0.01≈0.03.（2）事件A、B、C的设法同第（1）小题.因为P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)=0.99×0.99×0.99=0.993,所以1-P(A·B·C)=1-0.993≈0.03.例3．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8. 计算:(1)两人都击中目标的概率；（2）其中恰有1人击中目标的概率；（3）至少有一人击中目标的概率.分析:此题有三问，要依层次来解.解:（1）记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件:A·B，又由于事件A与B相互独立，∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.8=0.64.（2）“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中（即A·），另一种是甲未击中乙击中（即·B），根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A·与·B是互斥的，所以所求概率为:P=P( A·)+P(·B)=P(A)·P()+P()·P(B)=0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法1:“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为:P=P(A·B)+[P(A·)+P(·B)]=0.64+0.32=0.96.解法2:“两人都未击中目标”的概率是:P(·)=P()·P()=(1-0.8)×(1-0.8)=0.2×0.2=0.04.∴至少有一人击中目标的概率为:P=1-P(·)=1-0.04=0.96.点评:由（3）可见，充分利用（1）、（2）两问的结果解题很简单.但是（3）的解法2也告诉我们，即使是不会求（1）、（2），也可独立来解（3）.在考试中要特别注意这一点.例4．某种大炮击中目标的概率是0.3，最少以多少门这样的大炮同时射击一次，就可以使击中目标的概率超过95%？解:设需要n门大炮同时射击一次，才能使击中目标的概率超过95%，n门大炮都击不中目标的概率为×0.30×0.7n=0.7n.至少有一门大炮击中目标的概率为1-0.7n.根据题意，得1-0.7n>0.95，即0.7n<0.05, nlg0.7<lg0.05，n>≈8.4.答:最少以9门这样的大炮同时射击一次，就可使击中目标的概率超过95%.例5．要制造一种机器零件，甲机床的废品率是0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求:（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中恰有一件废品的概率；（3）其中至多有一件废品的概率；（4）其中没有废品的概率；（5）其中都是废品的概率.分析:应先确定所应用的每一事件的概率，以便求解.解:依题意可知:显然，这两个机床的生产应当看作是相互独立的.设A=“从甲机床抽得的一件是废品”，B=“从乙机床抽得的一件是废品”.则P(A)=0.04, P()=0.96, P(B)=0.05, P()=0.95.由题意可知，A与B，与B，A与，与都是相互独立的.（1）“至少有一件废品”=A·B +·B+A·P(A·B +·B+A·)=1-P(·）=1-P()·P()=1-0.96×0.95=0.088.（2）“恰有一件废品”=·B+A·.P(·B+A·)=P(·B)+P(A·）=P()·P(B)+P(A)·P()=0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086.（3）“至多有一件废品”=A·+·B+·P(A·+·B+·)=P(A·)+P(·B)+P(·)=P(A)·P()+P()·P(B)+P()·P()=0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998.另外的解法是:“至多有一件废品不发生”=“两件都是废品”=A·BP(A·+·B+·)=1-P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-0.04×0.05=0.998.（4）“其中无废品”=“两件都是成品”=·P(·)=P()·P()=0.96×0.95=0.912.（5）“其中全是废品”=A·BP(A·B)=P(A)·P(B)=0.04×0.05=0.002.点评:本例有很强的综合性，学习中要注意认真体会加以理解掌握之.例6．已知射手甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.问三人同时射击目标，目标被击中的概率是多少？解:设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.但应注意，A、B、C这三个事件并不是互斥的，因为目标可能同时被两人或三人击中，因此，可视目标被击中的事件的对立事件是目标未被击中，即三人都未击中目标，它可以表示为，而三人射击结果相互独立.所以P()=P()·P()·P()=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=(1-)(1-)(1-)=.所以，目标被击中的概率是1-P()=1-.。

第七节 相互独立事件同时发生的概率一、基本知识概要：1.相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，那么称事件A ，B 为相互独立事件。

注： 如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的。

两个相互独立事件A 、B 同时发生的概率为：P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）；如果事件A 1，A 2，…n A 彼此独立，则P （A 1·A 2·…n A ）=P （A 1）·P （A 2）·…P （n A ）；2.事件的积：设事件A 、B 是两个事件，A 与B 同时发生的事件叫做事件的积，记作A ·B 。

（此概念可推广到有限多个的情形）3.独立重复试验（又叫贝努里试验）：在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为P n （k ），设在一次试验中事件A 发生的概率为P ，则P n （k ）=k n k k n P P C --)1(。

二、重点难点: 对相互独立事件、独立重复试验的概念的理解及公式的运用是重点与难点。

三、思维方式: 分类讨论，逆向思维（即利用P （A ）=1－P （A ））四、特别注意：1.事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB)。

特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B)2.事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.五、例题：例1.（2004年广州模拟题）某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张。

重难点创新教学方法：教案内容：人教2007修订版高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时§2.3.1相互独立事件同时发生的概率教案说明的思路：一、教材结构与内容简析：本节内容“相互独立事件同时发生的概率”是高二数学（选修2-3）第二章第3节第一课时的内容，此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，所以学好本节内容是对前面知识的深化和拓展。

通过本节学习不仅要掌握相互独立事件的定义及其同时发生的概率乘法公式和公式的应用,为后继学习独立重复试验等概率知识以及今后升入高一级院校学习相关知识奠定良好基础, 而且更重要的是让学生真正意识到集体的力量大于个人的力量,虚心求教的必要性,养成谦虚求教的良好治学态度,适时地对学生进行德育教育。

概率论是研究随机现象规律性的学科，应用广泛，已渗透到社会生活的方方面面，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学发展提供理论依据。

本节仅限于两个事件相互独立时，研究它们的积事件的概率。

要求学生掌握相互独立事件的概念和计算，为学习后继课程打下基础。

概率这门学科要求对基本概念、基本性质和方法的理解比较强，本节在确定教学目标时，要结合概率知识的特点，教学时，一要使学生理解基本概念和计算方法，二要通过实例体会将复杂事件转化为和或积事件的思考方法。

基本概念搞清楚了，常规计算掌握了，这节课的教学目标就基本达到了。

二．学情分析：认知分析：高二学生此前学生已学了“等可能事件”、“互斥事件发生的概率”，已经具备具备一定数学基底，有学习本节内容的基础，教学应从设疑入手，引导其探索，提出解决问题的方法，重在进一步培养其分析问题、解决问题的能力和创新意识。

能力分析：学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养。

情感分析：多数学生对数学学习有兴趣，能够积极参与研究，但在合作交流方面，有待加强。

数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是携学生探究和思考，传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生传授正难则反数学方法。

第3课时 相互独立事件同时发生的概率1．事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率 ，这样的两个事件叫独立事件．2．设A ，B 是两个事件，则A ·B 表示这样一个事件：它的发生，表示事件A ，B ，类似地可以定义事件A 1·A 2·……A n .3．两个相互独立事件A ，B 同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B) ＝ 一般地，如果事件12n A ,A ,,A 相互独立，那么：P(A 1·A 2……A n )＝ .4．n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是1k k n k n n P (k )C P (P )-=-．A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统1N 、2N ，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统1N 正常工作，当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有1个正常工作时系统2N 正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率依次为0.8、0.9、0.9，分别求系统1N 、2N 正常工作时的概率．解：分别记元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，由已知条件080090090P(A ).,P(B ).,P(C ).===(Ⅰ)因为事件A 、B 、C 是相互独立的，所以，系统1N 正常工作的概率10800900900648P P(A B C )P(A )P(B )P(C )....=∙∙=∙∙=⨯⨯= 故系统1N 正常工作的概率为0.648. (Ⅱ)系统2N 正常工作的概率()()()()()()21111090010P P(A )P B C P A P B P C ,P B P B ..,⎡⎤⎡⎤=∙-∙=∙-∙⎣⎦⎣⎦=-=-=()()[]21109001008010100100800990792P C P C ..,P .......=-=-=∴=⨯-⨯=⨯= 故系统正常工作的概率为0.792．变式训练1. 有甲、乙两地生产某种产品，甲地的合格率为90%，乙地的合格率为92%，从两地生产的产品中各抽取1 件，都抽到合格品的概率等于 （ ）A ．112%B ．9.2%C ．82.8%D ．0.8%解：C例2. 箱内有大小相同的20个红球，80个黑球，从中任意取出1个，记录它的颜色后再放回箱内，进行搅拌后再任意取出1个，记录它的颜色后又放回，假设三次都是这样抽取，试回答下列问题：①求事件A ：“第一次取出黑球，第二次取出红球，第三次取出黑球”的概率；②求事件B ：“三次中恰有一次取出红球”的概率.解：（① 12516；② 12548 变式训练2：从甲袋中摸出一个红球的概率是31，从乙袋中摸出1 个红球的概率是21，从两袋中各摸出1个球，则32等于 （ ）A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰好有1个红球的概率解：C例3. 两台雷达独立工作，在一段时间内，甲雷达发现飞行目标的概率是0.9，乙雷达发现目标的概率是0.85，计算在这一段时间内，下列各事件的概率：（1）甲、乙两雷达均未发现目标；（2）至少有一台雷达发现目标；（3）至多有一台雷达发现目标解：①0.015; ②0.985; ③0.235变式训练3：甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率为12，甲、乙、丙三人都做对的概率是124，甲、乙、丙三人全做错的概率是14． （1）求乙、丙两人各自做对这道题的概率；（2）求甲、乙、丙三人中恰有一人做对这一道题的概率．解： ①31,41或41,31；②2411 例4. 有三种产品，合格率分别为0. 90，0.95和0.95，各取一件进行检验．（1）求恰有一件不合格的概率；（2）求至少有两件不合格的概率．（精确到0.01）解:设三种产品各取一件，抽到的合格产品的事件分别为A 、B 和C (Ⅰ)因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为()()()()()()()()()()()()0.900.950.050.900.050.950.100.950.950.176P A B C P A B C P A B C P A P B P C P A P B P C P A P B P C ∙∙+∙∙+∙∙=∙∙+∙∙+∙∙=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 答：恰有一件不合格的概率为0.176.(Ⅱ)解法一：至少有两件不合格的概率为()()()()220.900.0520.100.950.050.100.050.012P A B C P A B C P A B C P A B C∙∙+∙∙+∙∙+∙∙=⨯+⨯⨯⨯+⨯=答：至少有两件不合格的概率为0.012.解法二：三件都合格的概率为： ()()()()20.900.950.812P A B C P A P B P C ∙∙=∙∙=⨯=由(Ⅰ)可知恰好有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 ()()10.17610.8120.1760.012P A B C -⎡∙∙+⎤=-+=⎣⎦答：至少有两件不合格的概率为0.012. 变式训练4. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为41，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为92.①分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；②从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.651．当且仅当事件A 与事件B 互相独立时，才有()()()P AB P A P B =∙ ，故首先要搞清两个事件的独立性．2．独立重复试验在概率论中占有相当重要地地位，这种试验的结果只有两种，我们主要研究在n 次独立重复试验中某事件发生k 次的概率：()()1n k k k n n P k C P P -=-，其中P 是1 次试验中某事件发生的概率，其实()1n k k k n C P P --正好是二项式()1n P P ⎡-+⎤⎣⎦的展开式中的第k+1项，很自然地联想起二项式定理．。

独立事件的计算公式推广一、独立事件的定义。

1. 基本定义（人教版）- 如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

例如，掷一枚骰子，事件A=“第一次掷出1点”，事件B=“第二次掷出2点”，这两个事件就是相互独立事件，因为第一次掷骰子的结果不会影响第二次掷骰子的结果。

二、独立事件的基本计算公式。

1. 两个独立事件同时发生的概率。

- 若A与B是两个相互独立事件，则A与B同时发生的概率P(AB)=P(A)×P(B)。

- 例如，已知事件A发生的概率P(A) = 0.6，事件B发生的概率P(B)=0.4，且A、B相互独立，那么A和B同时发生的概率P(AB)=0.6×0.4 = 0.24。

三、独立事件计算公式的推广。

1. 三个相互独立事件同时发生的概率。

- 设A、B、C为三个相互独立事件，则A、B、C同时发生的概率P(ABC)=P(A)× P(B)× P(C)。

- 例如，有三个事件A、B、C，P(A)=(1)/(2)，P(B)=(1)/(3)，P(C)=(1)/(4)，且它们相互独立，那么P(ABC)=(1)/(2)×(1)/(3)×(1)/(4)=(1)/(24)。

2. n个相互独立事件同时发生的概率。

- 对于n个相互独立事件A_1,A_2,·s,A_n，它们同时发生的概率P(A_1A_2·s A_n)=P(A_1)× P(A_2)×·s× P(A_n)。

- 例如，有n = 5个相互独立事件A_1、A_2、A_3、A_4、A_5，其概率分别为P(A_1)=0.1，P(A_2)=0.2，P(A_3)=0.3，P(A_4)=0.4，P(A_5)=0.5，则P(A_1A_2A_3A_4A_5)=0.1×0.2×0.3×0.4×0.5 = 0.0012。