2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期第4章、图形的相似单元复习教案1

第四章图形的相似本章内容主要包括：成比例线段和平行线分线段成比例；相似多边形和相似比的概念、性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质和应用；图形的位似．在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换．全等是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同．相似也是指图形间的一种相互关系，但它与全等不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换．当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况．从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓展．在后面，我们还要学习“投影与视图”和“锐角三角函数”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识．在物理中，学习力学、光学等也都要用到相似的知识．因此这一章的内容也是今后学习所必需的基础知识．另外，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识．因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作具有重要作用．在中考中，相似三角形的判定、性质及应用是必考内容．近年来，有关相似三角形的判定与性质的试题不断更新，考查分析问题与解决问题的能力．在中考中常与函数、特殊四边形的知识结合在一起，以综合题的形式出现．【本章重点】三角形相似的判定、性质以及相似三角形的实际应用．【本章难点】三角形相似的判定、性质以及运用相似知识解决实际问题．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法，如：借助全等三角形中对应角与对应边的概念，进一步理解相似三角形中对应角与对应边的概念，对照全等三角形的判定和性质理解并掌握相似三角形的判定与性质．2．体会转化思想，如：在有关面积的问题中，往往要借助线段的比、面积的比等进行转化；利用三角形相似得到比例式后求线段长，往往要转化为解方程的问题来解决．3．掌握方程思想，如：在解决数学问题时，通过设元寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程求解，在判定三角形相似后，得到比例式，从而列出方程，通过解方程解决问题，体现了方程思想．4．掌握分类讨论的思想：在判定图形相似时，若没有明确告诉对应边，则不能凭直观感觉判定相似，要分情况讨论，做到不重复不遗漏．1成比例线段2课时2平行线分线段成比例1课时3相似多边形1课时4探索三角形相似的条件4课时*5相似三角形判定定理的证明1课时6利用相似三角形测高1课时7相似三角形的性质2课时8图形的位似2课时。

图形的相似学习目标理解掌握比例的性质和相似三角形的判定方法及其性质与运用。

第一段：【短课自研课导学】学生独立、安静的完成。

模块一：自主学习（独立进行）A 5 mB 5 cmC 2 c mD 0.5 m=A=∠D，AB=4厘米，如上右图所示，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△∽第二段：【长课导学】模块二：交流研讨（小组合作讨论并展示讨论结果）模块三：巩固内化 模块五：当堂训练 班级：九( ）班 姓名： 检测内容：复习第四章图形的相似 ◆一、基础题1、若△ABC 与△A ′B ′C ′相似，∠A =55°,∠B =100°，那么∠C ′的度数是( ) A.55° B.100° C.25° D.不能确定2、把△ABC 的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A ′B ′C ′，下列结论不能成立的是( ) A.△ABC ∽△A ′B ′C ′ B.△ABC 与△A ′B ′C ′的各对应角相等 C.△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为41 D.△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为31明：上，其余两个顶、BD 交于G 、F ，求证：这两个三角形的相似比为3、若△ABC ∽△DEF ,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是( ) A.3AB=4DE B.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC ）=3（DE+EF+DF ） ◆二、发展题4、已知△ABC 的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△A BC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的形状是______，又知△A ′B ′C ′的最大边长为20 cm ，那么△A ′B ′C ′的面积为________。

5、△ABC 中，AB=12 cm ，BC=18 cm ，AC=24 cm ，若△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的周长为81 cm ，求它们的相似比及△A ′B ′C ′各边的长。

练1. 一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比. 2、比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等(如dcb a =)，那么称这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【例题】如图，一块矩形绸布的长AB = a m ，宽AD =1m ，按照图中所表示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE ADAD AB=，那么a 的值应当是多少？总结：如果a cb d=，那么ad bc =. 如果ad bc =（a,b,c,d 都不等于0），那么a cb d=. 练1.在△ABC 中，△B =90°，AB =BC =10cm ；在△DEF 中， ED =EF =12cm ，DF =8cm ，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比.练2.如图，在△ABC 中， AB = 12cm ， AE =6cm ，EC =5cm ，且AD AEDB EC=，求AD 的长.3. 比例性质如果(0)a c m b d n b d n ===+++≠，那么a c m b d n ++=+++a b【例3】在△ABC 与△DEF 中，已知34AB BC CA DE EF FD ===，且△ABC 的周长为18cm. 求△DEF 的周长.练1. 已知2(0)3a c b d b d ==+≠，求a cb d++的值.练2.如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB ，DE ，BC ，DC ，AC ，EC 的长，并计算△ABC 与△EDC 的周长比.4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.【例】如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？（2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？练1．已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图，求x的值.练2．如图，已知l1∥l2∥l3. AB=5，BC=7，EF=4，求DE的长.练3、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，且5,3AB AC AB BE EC AC ==，求ABBD.练4．）如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，且DE △BC ，EF △AB ，AD :DB =2:3，BC =20cm ，求BF 长.练5．已知：如图，若DE ∥BC ， D 在AB 上，E 在AC 上， AD : DB =2 : 3，BC =20.求：DE 的长.练6、已知：如图，四边形AEDF 为菱形，AB=12，BC=10，AC=8，求：BD 、DC 及AF 的长。

第四章图形的相似第一课时 成比例线段学习目的：1、知道线段的比的概念。

理解成比例线段的概念2、会计算两条线段的比。

3、掌握成比例线段的判定方法。

重点：线段的比与成比例线段的概念。

教学过程： 一、自主预习（一）阅读课本 ，思考并回答下列问题：1、一般地，如果选用 量得两条线段AB ，CD 的长度分别为m,n ，那么这两条线段的比就是他们长度的比，即AB ∶CD=m:n,或写成其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么。

（1）在比或∶中，是 ，是 。

⑵两条线段的 要统一 。

⑶在同一单位下线段长度的比与选用的 无关。

⑷线段的比是一个没有 的数。

（二）比例尺1、在地图上或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。

,nmCD AB =n m CD k AB k CDAB∙==或,2、比例尺为1：50000，意思为： 。

（三）成比例线段的概念1、一般地，在四条线段中，如果 等于 的比，那么这四条线段叫做成比例线段。

（举例说明）如：2、四条线段成比例，记作：其中a,d 叫比例外项，b,c 叫比例内项。

3、四条线段a,b,c,d 成比例，有顺序关系。

即a,b,c,d 成比例线段，则比例式为：a:b=c:d ；a,b, d,c 成比例线段，则比例式为：a:b=d:c4、思考：a=12,b=8,c=6,d=4成比例吗？a=12,b=8,c=15,d=10呢？三、例题解析：例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求该地图的比例尺。

例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。

求⑴，⑵ 四、巩固练习1、已知某一时刻物体高度与其影长的比值为2：7，某天同一时刻测得一栋楼的影长为30米，则这栋楼的高度为多少？BC AB ABAC2、某地图上的比例尺为1：1000，甲，乙两地的实际距离为300米，则在地图上甲、乙两地的距离为多少？3、已知线段a,d,b,c是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10，求线段d的长。

第四章 图形的相似1．第1课时 线段的比学习目标：1、了解线段的比概念。

2、会求两条线段的比，应用线段的比解决实际问题。

学习重点：理解线段的比的概念及其求解。

学习难点：求线段的比，要注意线段的长度单位一致。

学习过程：一、认识线段的比：线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ,那么就说这两条线段的比AB:CD =m:n ,或写成nmCD AB =其中,AB,CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k,那么k CDAB=,或AB=k·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比。

想一想：两条线段长度的比与采用的长度单位有没有关系？例如：数学课本长为21cm ，宽为15cm ，则长与宽的比为______________;如果把单位改为mm ，则数学课本长与宽的比为________________;如果把单位改为m ，则数学课本长与宽的比为________________.结论：两条线段长度的比与采用的长度单位_________. 【基础练习一】1、 线段a=5cm,b=50cm,则a:b=_____.2、 线段a=3cm,b=12mm,则a:b=_____.3、 已知点P 在线段AB 上，且AP:PB=2:5,则AB:PB=_____,AP:AB=___ 二、比例线段：（1）什么是比例线段？ 四条线段中，如果其中两条线段的比________另外两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（2）若a 、b 、c 、d 是比例线段，则________ 【基础练习二】1、下列四组线段中，成比例线段的是（ ） A 3cm,4cm,5cm,6cm B 4cm,8cm,3cm,5cm C 5cm,15cm,2cm,6cm D 8cm,4cm,1cm,3cm2、四条线段a 、b 、c 、d 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则线段a 的长度是多少？如果改成四条线段b 、c 、d 、a 成比例，其中b=3cm,c=2cm,d=6cm,则此时线段a 的长度是多少？三、比例的基本性质： （1）如果dcb a =,那么ad =bc （2）如果ad=bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dc b a = 【基础练习三】（1）、如果b a 452=， 则ab=____________.（2）、如果3a=7b, 则=ba____________. （3）、如果2c=15b, 则=c b ____________.（4）、如果a 2=bc, 则=ca ___________.例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a 的值应当是多少？随堂测试：1、在比例尺是1：6000000的地图上，量得南京到北京的距离是15厘米，南京到北京的实际距离是 千米。

.1 相似三角形的性质（1）教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.熟练应用相似三角形的性质：对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.教学难点相似三角形的性质的运用.教学方法引导启发式教具准备投影片两X第一X：（记作§.1 A）第二X：（记作§.1 B）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.Ⅱ.新课讲解1.做一做投影片（§.1 A ）钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图，图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′，CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1）B A AB '',C B BC '',C A AC''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比. （3）请你在图①中再找出一对相似三角形. （4）D C CD''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.图①［生］解：（1）B A ''=C B ''=C A ''=4（2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC'' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为3∶4.（3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′∵∠BCD =∠B ′C ′D ′∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43∵△BDC ∽△B ′D ′C ′ ∴D C CD ''= C B BC ''=432.议一议已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k. （1）如果CD 和C ′D ′是它们的对应高，那么DC CD''等于多少？ （2）如果CD 和C ′D ′是它们的对应角平分线,那么D C CD''等于多少？如果CD 和C ′D ′是它们的对应中线呢？［师］请大家互相交流后写出过程.［生甲］从刚才的做一做中可知，若△ABC ∽△A ′B ′C ′、CD 、C ′D ′是它们的对应高，那么D C CD ''=C B BC''=k . ［生乙］如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，CD 、C ′D ′分别是它们的对应角平分线，那么D C CD ''=C A AC''=k .图②∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴∠A =∠A ′,∠ACB =∠A ′C ′B ′∵CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、∠A ′C ′B ′的角平分线. ∴∠ACD =∠A ′C ′D ′ ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''=C A AC ''=k . ［生丙］如图③中，CD 、C ′D ′分别是它们的对应中线，则D C CD ''=C A AC''=k .图③∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠A =∠A ′，C A AC ''=B A AB''=k . ∵CD 、C ′D ′分别是中线∴D A AD ''=B A AB''2121=B A AB ''=k . ∴△ACD ∽△A ′C ′D ′ ∴D C CD ''=C A AC''=k . 由此可知相似三角形还有以下性质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. 3.例题讲解 投影片（§.1 B ）图④如图④所示，AD 是△ABC 的高，AD=h ,点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD,垂足为E .当SR=21BC 时，求DE 的长，如果SR =31BC 呢？解：∵SR ⊥AD,BC ⊥AD, ∴SR ∥BC .∵∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C,∴△ASR ∽△ABC （两角分别相等的两个三角形相似）. ∴BCSRAD AE =（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即BCSRAD DE AD =-.当SR=21BC 时，得，解得DE=21h 当SR=31BC 时，得31=-h DE h ，解得DE=32h Ⅲ.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？ （都是4∶5）. Ⅳ.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比. Ⅴ.课后作业 完成习题 Ⅵ.活动与探索图⑤如图⑤，AD ，A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的角平分线，且B A AB ''=D B BD ''=D A AD '' 你认为△ABC ∽△A ′B ′C ′吗？ 解：△ABC ∽△A ′B ′C ′成立.∵B A AB ''=D B BD ''=DA AD'' ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′∴∠B =∠B ′,∠BAD =∠B ′A ′D ′ ∵∠BAC =2∠BAD ,∠B ′A ′C ′=2∠B ′A ′D ′ ∴∠BAC =∠B ′A ′C ′ ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′ 板书设计§.1 相似三角形的性质（一）一、1.做一做 2.议一议 3.例题讲解 二、课堂练习 三、课时小节 四、课后作业 备课资料如图⑥，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.图⑥（1）则图中有几对相似三角形. （2）若AD =9 cm,CD =6 cm,求BD . （3）若AB =25 cm,BC =15 cm,求BD . 解：（1）∵CD ⊥AB ∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90° 在△ADC 和△ACB 中 ∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A ∴△ADC ∽△ACB 同理可知，△CDB ∽△ACB ∴△ADC ∽△CDB所以图中有三对相似三角形. （2）∵△ACD ∽△CBD ∴BD CDCD AD =即BD669=∴BD =4 （cm ） （3）∵△CBD ∽△ABC ∴BCBDBA BC =. ∴152515BD=∴BD ==9 （cm ）..2 相似三角形的性质（2）教学目标 （一）教学知识点1.相似三角形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似三角形的周长比，面积比在实际中的应用. （二）能力训练要求1.经历探索相似三角形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似三角形的性质解决实际问题训练学生的运用能力. （三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识. 教学重点1.相似三角形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似三角形的比例关系解决实际问题.教学难点相似三角形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.教具准备投影片两X第一X：（记作§.2 A）第二X：（记作§.2 B）教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］（拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）［师］同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流. ［生］因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形. 周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.［师］能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？［生］面积比与相似比的平方相等.［师］老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.Ⅱ.新课讲解1.做一做在上图中，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为43. （1）请你写出图中所有成比例的线段.（2）△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比是多少？你是怎么做的？（3）△ABC 的面积如何表示？△A ′B ′C ′的面积呢？△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比是多少？与同伴交流.∴B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=D C CD ''=D B BD ''=D A AD ''=43. （2）43='''∆∆的周长的周长C B A ABC .∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43. ∴C A C B B A ACBC AB l l C B A ABC ''+''+''++='''∆∆ =C A C B B A C A C B B A ''+''+''''+''+''434343 =43)(43=''+''+''''+''+''C A C B B A C A C B B A . （3）S △ABC =21AB ·C D. S △A ′B ′C ′=21A ′B ′·C ′D ′. ∴2)43(2121=''⋅''=''⋅''⋅='''∆∆D C CD B A AB D C B A CDAB S S C B A ABC .2.想一想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比和面积比分别是多少？ ［生］由上可知若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，那么△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为k ，面积比为k 2. 3.议一议投影片（§4.7.2 B ）.如图，四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2，相似比为k .（1）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的周长比是多少？（2）连接相应的对角线A 1C 1，A 2C 2，所得的△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似吗？ △A 1C 1D 1与△A 2C 2D 2呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设△A 1B 1C 1，△A 1C 1D 1，△A 2B 2C 2，△A 2C 2D 2的面积分别是,111C B A S ∆222222111,,D C A C B A D C A S S S ∆∆∆ 那么222111222111D C A D C A C B A C B A S S S S ∆∆∆∆=各是多少？（4）四边形A 1B 1C 1D 1与四边形A 2B 2C 2D 2的面积比是多少？ 如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？［生］解：（1）∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2.相似比为k .（2）△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2、△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比都为k . ∵四边形A 1B 1C 1D 1∽四边形A 2B 2C 2D 2 ∴2211221122112211D A DA D C D C CBC B B A B A ===∠D 1A 1B 1=∠D 2A 2B 2,∠B 1=∠B 2.∠B 1C 1D 1=∠B 2C 2D 2,∠D 1=∠D 2.在△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2中∵22112211C B C B B A B A =∠B 1=∠B 2. ∴△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴2211B A B A =k . 同理可知，△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2，且相似比为k .（3）∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,△A 1C 1D 1∽△A 2C 2D 2.22222222222222)(k S S S S k D C A C B A D C A C B A =++∆∆∆∆照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅲ.随堂练习完成P110教材随堂练习Ⅳ.课时小结本节课我们重点研究了相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.Ⅴ.课后作业板书设计。

第三章 相似的图形 第1节 成比例线段教学目标：1、结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段。

2、掌握比例的性质及其简单的应用。

3、通过现实情境、进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。

教学重点：成比例线段的定义，会求两条线段的比。

教学难点：比例的基本性质及运用，会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一。

教学过程：2个课时第一课时 比例线段一、导入新课在太阳下如何测旗杆的高度？给你一根标杆和皮尺。

（注意单位的统一）二、线段的比1、形状相同的图形2、什么叫两个数的比：如a ÷b 记作ba ； 3、两条线段的比：选用同一个长度单位量得两条线AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比就是两条线段长度的比，即AB ∶CD=m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项。

如果把n m 表示成比值k ，则CDAB=k 或AB=k ·CD 。

两条线段的比实际就是两个数的比。

4、例：P61，两个形状相同的五边形。

三、做一做：P611、分别计算线段的比。

你发现他们的比值相等吗？2、四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。

3、注意：已知a 、b 、c 、d 成比例，则只能按此顺序写成dcb a =。

例：已知1、3、2、x 成比例，求x 的值。

4、什么是比例内项与比例外项，什么是比例中项。

例：若b 是a 、c 的比例中项，则ac b cb===2c :b b :a b a 或或四、比例的基本性质 1、如果d c b a =，那么ad=bc ；反过来，如果ad=bc ，那么dcb a =。

（a 、b 、c 、d 都不等于0）2、比例内项之积等于比例外项之积。

北师大版九年级上册第四章图形的相似课程设计一、课程目标本课程旨在让学生了解图形的相似性质，掌握相似图形的判定方法，并能运用相似定理解决实际问题。

二、教学内容1. 图形的相似性质•什么是相似图形及其定义•相似图形的性质•相似三角形的判定方法2. 相似图形的应用•相似图形的比例关系•相似图形的面积比及其计算方法•利用相似定理解决实际问题三、教学重点和难点本课程的教学重点为相似图形的判定方法和应用。

在教学过程中，需要注重培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

难点在于如何运用相似定理解决实际问题，需要重点讲解对具体问题的分析和判断。

四、教学方法本课程采用教师讲授与讨论相结合的方法。

教师通过图示、实验等具体例子，引导学生理解相似图形的性质和判定方法。

同时，教师还可以通过小组讨论、合作学习等方式，激发学生的学习兴趣和积极性，提高课堂效果。

五、教学步骤第一步：导入教师通过回顾前几章的学习内容，引导学生进入本章的学习氛围。

第二步：讲授相似性质教师通过图示等方式，讲解相似图形的定义和性质。

并讲解相似三角形的判定方法。

第三步：讲授相似应用教师通过具体例子，讲解相似图形的比例关系和面积比的计算方法。

第四步：实战演练教师出示具体问题，引导学生根据相似定理进行分析和解决。

第五步：总结归纳教师将本课程的重点难点进行总结归纳，并引导学生自我评价。

六、课堂评价在本课程中，可以采用小组讨论、课堂练习、个人报告等方式进行评价。

其中，课堂练习可以通过单选题、多选题、填空题等形式，进行针对性测试。

个人报告可以通过让学生选择一个实际问题，并利用相似定理进行解决，进行评价。

七、拓展阅读1.《数学课程标准》2.《北师大版初中数学教材》3.等比数列的应用八、教学反思通过本课程的教学，发现学生在相似图形的判定方法掌握方面有些困难。

下一步，需要加强练习，提高学生的运用能力。

同时，在进行应用解题时，需要针对具体问题进行分析和判断，要求学生注重思考和实践。

第四章图形的相似*5相似三角形判定定理的证明教具多媒体课件（续表）教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾我们学习了平行四边形，还记得什么样的四边形是平行四边形嘛？它都具有哪些性质（从边、角、对角线及对称性方面展开）？学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法活动一：创设情境导入新课【课堂引入】1. （1）观察并思考，用叠合法证明这两个风筝图形相似.（2）相似三角形的判定方法有哪些？2. 回答下列问题.1. 利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣。

2. 一是巩固所学内容，由浅入深，激发学生学习兴问题1：相似三角形的定义？问题2：相似三角形的判定方法有哪些？问题由学生口答完成，其他学生矫正．完成后教师引导学生，从而引入新课．引导性语言：通过复习，我发现你们掌握的很好．今天这节课，我们一起对三角形相似的条件进行证明．趣．二是为新课的学习做好铺垫．活动二：实践探究交流新知【探究1】两角对应相等，两三角形相似.已知：如图∠A =∠A'，∠B =∠B'，求证：△ABC ∽△A B C'''.如何证明呢？温馨提示：如何能把△A B C'''叠合到△ABC上呢？【探究2】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和A B C'''∆中，∠A =∠A ，CAACBAAB''=''.1、本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤:画图、写已知、求证、证明过程.同时通过分析问题,提高学生交流的能力求证:△ABC ∽A B C '''∆.【探究3】三 边成比例的两个三角形相似.已知:如图,在△ABC 和△A B C ''' 中,AB BC ACA B B C A C ==''''''.求证：△ABC ∽△A B C '''.和语言表达能力！2、由于学生已经有了探究1的基本方法和思路,因此,探究2处理起来应该很顺利,可以大胆放手给学生,这样更能激发学生的求知欲望,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦.活动三：开放训练体现应用【应用举例】例1 （教材例1）变式一、（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．变式二、已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 721，求AD的长.本活动的设计是相似三角形判定定理的证明过程，有一定难度．意在引导学生通过自主探究、合作交流、教师分析点评、学生完成解答．最后教师用多媒体出示解答过程，以规X学生解答过程．【拓展提升】1、利用相似求证角相等例1.已知：如图，AB BC ACAD DE AE==．求证：BAD CAE∠=∠．1.学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学2、运用相似的判定、性质计算或证明例2. 如图，是一个照相机成像的示意图．（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？例3. （2014•某某）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON 内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．2. 会运用三角形相似的条件判断两个三角形相似，并会运用三角形相似解决生活中的实际问题.什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【当堂训练】课本P107中的习题4.9中的T1、T2、T3、T4当堂检测，及时反馈学习效果.活动四：课堂总结反思【板书设计】§4.5 相似三角形判定定理的证明探究1: 探究2: 探究3:投影区学生活动区提纲挈领，重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]通过设置形状相同的图片，体现数学来源于生活，让学生理解学习过的相似三角形的判定定理，让学生在轻松愉快中自然、水到渠成的落实前面学习过的知识。

A BCE F D 第四章 图形的相似教学目标：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。

教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。

教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

概念过关（课前预习完成）四条像段a,b,c,d 中，如果它们满足关系式_______________，那么四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。

比例的基本性质：__________________________;_______________________________。

等比性质:_________________________________________________________________。

平行线分线段成比例定理：_________________________________________________。

平行线分线段成比例推论：_________________________________________________。

相似多边形定义：_________________________________________________________。

相似比的定义：___________________________________________________________。

相似三角形的判定定理一：_________________________________________________。

相似三角形的判定定理二：_________________________________________________。

相似三角形的判定定理三：_________________________________________________。

第四章图形的相似复习专题复习：一次函数与相似三角形一、学生知识状况分析在本章的学习中，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，掌握了相似三角形的性质及一定的相似三角形的判定方法，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力.在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是图形的相似的专题复习课. 函数与图形的结合，是近几年中考的热点内容之一. 一次函数的图象是一条直线，通常与坐标轴构成三角形，这就使得一次函数与相似三角形经常产生交集. 也是数学建模思想的具体体现. 解决一次函数与相似三角形综合问题，学生往往感到还是有一定的难度.本节课以此专题为重点，从简单的综合问题入手，引领学生总结解决此类问题的关键是认真审题，建立数学模型，灵活运用一次函数和相似三角形等相关知识. 为此，设置本节课的教学目标如下：知识目标：1.能根据问题中已知条件构造相似三角形基本模型，体会数学建模的优越性.2.使学生进一步体会相似三角形在解决函数问题中的重要作用.能力目标：经历分析和建模的过程，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力.情感态度价值观：培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识.教学重点：利用相似三角形对应的边角关系解决动点问题。

教学难点：综合运用三角形相似、一元二次方程等知识，进一步体会分类讨论的数学思想。

三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：共同探究，总结方法；第二环节：活学巧练，掌握方法；第三环节：合作探究，强化能力；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业.第一环节：共同探究，总结方法活动内容：函数与图形的结合已经成为近几年中考的热点内容之一.解决一次函数与相似三角形综合问题的基本思想是“挖掘或构造相似三角形的基本模型”.投影展示例题，共同探究.1. 如图，在平面直角坐标系中有两点A （4，0），B （0，2），如果点C 在OA 上（C 与A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似?本题虽然没有涉及到一次函数的问题，但是是为很好解决2题做的铺垫.在讲解过程中可逐步分解难点：①审清题意；②建立相似三角形的基本模型；③利用相似三角形的基本性质求解.2. 如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，如果点C 在x 轴上（C 与A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得由点B ，O ，C 组成的三角形与△AOB 相似?本题是在上一题的基础上对条件加以改动，有了上一题的解题经验，学生能快速的解决此问题.活动目的：本环节主要引导学生总结一次函数中的相似三角形问题的解决方法，同时让学生体会构建和寻找相似三角形基本模型的重要作用，并能总结出此类型题的解题策略， 从而能较好地利用一次函数和相似三角形的相关知识解题.活动的实际效果：初次接触函数与相似三角形的综合问题对于学生来说有一定的难度.但是题目由浅入深地引入，降低了学生对题目的理解难度.使学生在不知不觉中克服困难，初步体会到一次函数中相似三角形的分析方式和构建模型的基本方法.第二环节 活学巧练，掌握方法活动内容：投影展示题33．如图，已知直线l 的函数表达式为834+-=x y ，且l 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B 两点，动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位的速度向点A 移动，同时动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位的速度向点O 移动，设点Q ，P 移动时间为t 秒，⑴ 求A ，B 的坐标；⑵ 当t 为何值时，以点A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？课前学生已经对此题进行了独立分析，双动点问题对学生来说有一定的难度，但是部分学生已经掌握的简单的解决“动点问题”的方法.学生代表能独立完成此题解题思路的分享. 同时借助几何画板演示，让学生直观感受动点变化过程，降低了分析难度.活动目的：此题虽是一道动点问题，但是与上题的分析方式极其相似. 课前学生独立思考，旨在让学生先自我考察此类问题解决方法掌握情况. 利用几何画板将点的运动情况的直观展示，使学生在不知不觉中克服分析问题的困难.活动实际效果：从学生分析，讲解的过程来看，已基本掌握解决一次函数中的相似三角形问题的基本方法，能够达到预期的效果.第三环节：合作交流，强化能力活动内容：投影展示一道齐齐哈尔市中考压轴题4．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt △AOB 的两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，且OA ，OB 的长满足()06-OB 8-OA 2=+，∠ABO 的平分线交x 轴于点C ，过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，交y 轴于点E ．（1）求线段AB 的长；（2）求点C 的坐标；（3）求直线CE的解析式；（4）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，M，P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.以小组为单位进行合作交流，解决课前独立探究中还存在的问题.接下来进行小组汇报展示，完成此题的分析过程.活动目的：前三道问题图形比较简单，而且题目中也指明了相似，大大降低了解题难度.但是大部分中考综合性大题，看似平常，但要解决必须要借助相似三角形的有关知识.这就需要学生善于挖掘图中的相似三角形的基本模型.此题就是一道综合性题，不仅考察了勾股定理，特殊的平行四边形的相关知识，同时也考察了本节课所介绍的内容. 第4小问在题意的分析上给学生制造了一定的困难，旨在提高学生分析问题，解决问题和识图和画图的能力. 课前学生已经进行了独立思考，课上小组合作探究，旨在通过小组讨论解决自身还存在的问题，培养学生的合作意识. 小组汇报，旨在培养学生语言表达能力.活动实际效果：从小组交流过程巡视及小组汇报情况来看，学生在前面活动中已经积累了一定的经验，虽然最后一问对部分学生来说难度较大，但是在老师的提示下，可以比较顺利地分析上述问题.学生在训练过程中更加理解了利用相似三角形的相关知识解决综合性问题的重要性，积累了一定的解题经验．第四环节：收获与感悟活动内容：全体同学间进行总结交流.活动目的：鼓励学生回顾本节课知识方面有哪些收获，解题技能方面有哪些提高，还有什么疑难问题希望得到解决，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入到学生个人已有的知识体系中；通过对以上几个问题的解决，加深学生利用相似三角形解决综合性大题的意识和提高解题的能力；并且通过学生间的合作学习帮助不同层次的孩子解决实际困难，增强孩子学好数学的信心.活动实际效果：学生通过回顾本节课的学习过程，总结了用相似三角形解决综合题的方法和技巧，进一步提高自己解决问题的能力.四、课后反思本课是学生学习完图形的相似的复习课，学生在学习过程中已经进行过相似三角形的性质和判定的图形训练，但一次函数与相似三角形的结合及利用相似三角形解决综合性大题对学生而言还是有一定的难度.本课采用启发式、问题讨论式、合作学习相结合的方式,引导学生从已有的知识和经验出发，引导学生对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法；学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生的学习积极性，可以更好地根据学生的实际情况进行调整，更符合学生的认知规律.无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，更好地进行学习指导.。

图形的相似通过对相似图形的认识，培养学生美的感受，激发学习兴趣．教学重难点及解决措施教学重点：相似图形的概念和成比例线段。

教学难点：比例线段的应用。

教学过程（可续行）学案中的环节及内容教师活动学生活动设计意图创设情境，引入新课大屏幕展示生活中相似物体的图片，引导学生观察特点2、教师提出问题：同学们能归纳出下列图形的特点吗？学生观察大屏幕并体会相似图形在生活中是广泛存在的，形状和大小有所变化。

2、学生思考生活中还有很多的相似图形，并对本节课的学习充满好奇心通过生活中的图片让学生体会到数学来源于生活，也服务于生活；第一节的题目中的问题可以引起学生的学习兴趣，集中学生的注意力识标：【学习目标】1、经历形成相似的概念的过程，理解相似图形的概念；理解相似图形，并能根据相似图形的特点举出很多例子【重难点】教师引导学生阅读学习目标，并板演知识框架学生阅读学习目标，并总结本节课将要学习的新知识和重难点学习新知识之前让学生先了解本节课的知识点、重点难点，使学生心中有目标，可相似图形和全等图形的区别以积极有效的开展学习活动新知探究活动1：相似图形的概念观察哈哈镜里面的不同镜像，他们相似吗？放大镜下的图形相似吗？哪些图形是与（1）（2）相似的？引导学生思考相似图形的特征，板演相似图形的定义。

2、讲解与三角形全等定义的区别。

学生发表自己的观点：相似图形形状相同。

在大小的问题上产生问题。

3、对于全等的定义加以复习。

通过展示生活中的例子，可以让学生有直观感受和感性经验，并较易体会出相似图形和全等图形的不同，总结出经验。

新知探究活动2：探索特殊图形的相似通过对特殊三角形的观察得出结论。

学生先观察和计算然后得出结论。

通过飞特殊图形的认识，有利于本节重点知识等边三角形经过放大后，前后的图形观察他们的对应角和对应边发生了什么变化？六边形呢？2、板演相似图形的对应角和对应边的关系。

学生交流讨论对应角和对应边的关系。

3、学生小组交流，一名同学展示。

4.1成比例线段教学目标：1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比..2.知道成比例线段的定义.3.熟记比例的性质并会应用. 教学重点：会求两条线段的比； 成比例线段的定义. 比例的性质 教学难点会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一；比例的基本性质 教学方法自主探索法 教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明.［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等等.［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从线段的比开始学习. Ⅱ.新课讲解1.两条线段的比的概念［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作ba；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小.［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？ ［生］对.［师］大家同意他的观点吗？［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对.［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k ，或AB =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2.比例线段的概念四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质（1）如果dcb a =（b ,d 都不为0），那么ad =bc . 如果ad =bc （a,b,c,d 都不等于0），那么dcb a =.（2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）那么b an d b m c a =++++++例题（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和ddc +;（2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 4.想一想（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. Ⅲ.课堂练习Ⅳ.课时小结掌握比例的性质，并能灵活运用. Ⅴ.课后作业完成习题4.1及习题4.2 Ⅵ.活动与探究1.已知：dc b a ==f e=2（b +d +f ≠0）求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b e c a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb ea 55--.2.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值.4．2平行线分线段成比例一、教学目标1．知识目标：①了解平行线分线段成比例定理②会用平行线分线段成比例定理解决实际问题 2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力 二、教学过程分析1.复习提问（1）什么叫比例线段？ （2）比例的基本性质？ 2.引入新课 做一做在图3-6中，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2∥ l 3，分别交直线m ，n 与格点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.图3-6（1）计算 的值，你有什么发现？ （2）将2l 向下平移到如图3-7的位置，直线m,n 与2l 的交点分别为21,B A 你在问题（1）中发现结论还成立吗？如果将2l 平移到其它位置呢？（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？12122323B B B B A A A A 与3.分组讨论，得出结论平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.4.想一想（一）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l3上，如图2所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？（二）如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？得出结论：（推论）平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的对应线段成比例. 5. 例题学习例1如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC。

第四章图形的相似1成比例线段1．理解和掌握两条线段的比的概念，会计算两条线段的比．2．理解和掌握成比例线段的定义和性质．3．能应用比例的性质解决相关的问题．重点掌握成比例线段的定义和性质．难点会运用比例的基本性质解决问题．一、情境导入课件出示下图，提出问题：请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？学生：这些图片都是形状相同、大小不同的图形．它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同．二、探究新知1．两条线段的比的概念教师：请同学们回忆，什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两条线段的长短？学生：两个数相除又叫两个数的比，如a÷b记作a∶b；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小．教师：由比较线段的长短就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？学生：两条线段的比就是两条线段长度的比．教师：线段a的长度为3 cm，线段b的长度为6 m，所以线段a，b的比为3∶6＝1∶2，对吗？请说明理由．学生：因为a，b的长度单位不一致，所以不对．教师：那么，应怎样定义两条线段的比，以及求线段的比时应注意什么问题呢？学生思考后举手回答，教师点评，并讲解：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD＝m∶n，或写成ABCD＝mn.其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把m n 表示成比值k ，则ABCD ＝k ，或AB ＝k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．强调：在量线段时要选用同一个长度单位． 2．比例线段的概念课件出示教材第77页图4－3，提出问题：如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB ，AD ，EF ，EH 的长度分别是多少？分别计算AB EF ，AD EH ，AB AD ，EFEH 的值，你发现了什么？学生独立完成，教师引导学生得出比例线段的概念：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质教师：如果a ，b ，c ，d 四个数成比例，即a b ＝cd ，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么a ，b ，c ，d 四个数成比例吗？学生小组讨论交流得出比例的基本性质： 如果a b ＝cd，那么ad ＝bc.如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝cd .4．等比性质 (1)课件出示：①如图，已知a b ＝cd ＝3，求a ＋b b 和c ＋d d；②如果a b ＝cd ＝k(k 为常数)，那么a ＋b b ＝c ＋d d成立吗？为什么？学生完成后给出答案，教师点评． (2)课件出示：①如果a b ＝cd ，那么a －b b ＝c －d d成立吗？为什么？②如果a b ＝c d ＝ef (b ＋d ＋f ≠0)，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b 成立吗？为什么？③如果a b ＝c d ，那么a±b b ＝c±dd 成立吗？为什么？学生分小组讨论后举手回答，教师讲评． 解：①如果a b ＝cd ，那么a －b b ＝c －d d.∵a b ＝c d ， ∴a b －1＝cd －1. ∴a －b b ＝c －dd. ②如果a b ＝c d ＝ef (b ＋d ＋f ≠0)，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b .设a b ＝c d ＝ef ＝k ， ∴a ＝bk ，c ＝dk ，e ＝fk. ∴a ＋c ＋eb ＋d ＋f ＝bk ＋dk ＋fk b ＋d ＋f ＝k （b ＋d ＋f ）b ＋d ＋f＝k ＝ab .引导学生归纳：如果a b ＝c d ＝…＝mn (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b .③如果a b ＝c d ，那么a±b b ＝c±dd .∵a b ＝c d ， ∴a b ＋1＝cd ＋1. ∴a ＋b b ＝c ＋dd. 由①得a －b b ＝c －d d ，∴a±b b ＝c±d d. 三、举例分析例1 (课件出示教材第78页例1)学生独立完成后汇报答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第80页例2)学生独立完成后汇报答案，教师点评． 四、练习巩固1．教材第79页“随堂练习”第1～3题． 2．教材第80页“随堂练习”． 五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．比例线段的概念是什么？ 3．比例的性质有哪些？六、课外作业1．教材第79页习题4.1第1，2题． 2．教材第81页习题4.2第1，2题.本节课主要学习比例线段的概念及性质．成比例线段的概念，在后续学习中需要用到，是学生后续学习的基础，也是本节课研究比例性质的一个基础性概念．对学生而言，这个概念基于图形背景中，比较直观，学生比较容易理解．比例的性质，则是后续研究相似图形性质的基础，同时也可以为分式运算提供一些便捷，而且比例性质的寻求与说理过程中，蕴含着一些基本的数学方法，可以迁移运用到后续知识的学习中，是本节课重要的教学任务．2平行线分线段成比例1．理解和掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．2．会用平行线分线段成比例解决问题．3．培养学生认识事物从一般到特殊的认知过程．重点掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论．难点灵活运用平行线分线段成比例解决问题．一、复习导入1．什么叫比例线段？学生：四条线段a，b，c，d 中，如果ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d 叫做成比例线段，简称比例线段．2．比例线段有哪些性质？学生：如果ab＝cd，那么ad ＝bc.如果ad ＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么ab＝c d.如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.二、探究新知1．平行线分线段成比例的基本事实课件出示教材第82页图4－6，图4－7及相关问题．学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．平行线分线段成比例的推论课件出示：(1)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上(如图②)所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？学生分小组讨论，教师引导学生得出平行线分线段成比例的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例．(2)如果把图①中l1, l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上(如图②)，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？学生分小组讨论，教师引导学生得出结论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例．三、举例分析例(课件出示教材第83页例题)学生独完成后给出答案，教师点评．四、练习巩固1．教材第84页“随堂练习”．2．如图，点D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．平行线分线段成比例的基本事实及其推论分别是什么？六、课外作业教材第84～85页习题4.3第1～4题．养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．3相似多边形1．了解相似多边形和相似比的定义，会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似．2．能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．重点了解相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似．难点能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．一、情境导入教师：在生活中，我们常会看到这样一些图片(课件出示下图)．观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？二、探究新知1．课件出示形状相同的正三角形ABC与正三角形A1B1C1，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1，提出问题：(1)在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生思考后给出答案，教师点评．2．课件出示形状相同的六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1，提出问题：(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生分组讨论后给出答案，教师点评，并讲解：图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．教师：回忆一下，我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？ 引导学生总结相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．例如，在上图中六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，记作六边形ABCDEF ∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，“∽”读作“相似于”．相似多边形对应边的比叫做相似比．教师强调以下几点：(1)在记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．(2)相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定两个多边形相似的方法，也是最本质、最重要的性质．(3)相似比有顺序性．例如，五边形ABCDE ∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，对应边的比为ABA 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝DE D 1E 1＝EA E 1A 1＝45.因此五边形ABCDE 与五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比k 1＝45，五边形 A 1B 1C 1D 1E 1与五边形ABCDE 的相似比k 2＝54.(4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相似图形的特殊情况． 三、举例分析例1 (1)观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？ (2)图②中的两个图形相似吗？为什么？你从中得到什么启发？引导学生得出：如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等；如果两个多边形不相似，对应边也可能成比例．但如果两个多边形不相似，那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例．例2 一块长3 m 、宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm .边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？学生思考后给出答案，教师点评并提问：如果镶的纵向边框宽7.5 cm ，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？学生分组讨论后举手回答，教师点评．四、练习巩固1．教材第87～88页“随堂练习”第1，2题．2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．相似多边形的概念是什么？3．相似比的概念是什么？六、课外作业教材第88页习题4.4第1～4题．本节课在探索相似多边形定义的过程中，我刻意地回避了“两个图形的形状相同吗”的问题，而是直接明确指出两个图形相似，然后探索相似的本质特征．因为我认为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似)，只是一种感性的认识，这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断．从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误．4探索三角形相似的条件第1课时相似三角形和判定定理11．理解相似三角形的定义，掌握相似三角形的判定定理1.2．初步掌握相似三角形判定定理1的应用．重点理解相似三角形的定义和相似三角形的判定定理1.难点相似三角形判定定理1的理解及应用．一、情境导入教师：请同学们都拿出文具盒中的三角板，观察它们与老师手中的木制三角板有什么关系？学生：它们对应角相等，对应边成比例．二、探究新知1．相似三角形的定义教师：根据上面的关系，以及相似多边形的定义，你能说出相似三角形的定义吗？引导学生得出：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．2．相似三角形的判定定理1教师：若给定两个三角形，你有什么办法来判定它们是否相似？能否类比两个三角形全等的条件，来寻找判定两个三角形相似的条件呢？如果可以，我们可以从哪些条件开始找呢？(1)教师：任意画一个△ABC，使∠ABC满足下面给定的条件之一．与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？①使∠ABC＝60°；②使∠ABC＝90°；③使∠ABC＝120°；④使∠ABC＝∠α.学生合作交流，引导得出结论：如果两个三角形只有一个角对应相等时，不能判定两个三角形相似．(2)教师：如果有两个角对应相等的两个三角形，能否判定这两个三角形相似？与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使△ABC和△A′B′C′满足下列条件之一．比较你们所画的三角形，∠C 与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？三角形相似吗？①使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于60°；②使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于90°；③使得∠A，∠A′都等于30°，∠B 和∠B′都等于120°；④使得∠A，∠A′都等于α，∠B 和∠B′都等于β.引导学生得出相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．三、举例分析例1判断下列说法是否正确．(1)所有的等腰三角形都相似；(2)所有的等腰直角三角形都相似；(3)所有的等边三角形都相似；(4)所有的直角三角形都相似；(5)有一个角是120°的两个等腰三角形相似；(6)有一个角是60°的两个等腰三角形相似；学生举手回答，教师点评．例2(课件出示教材第89页例1)学生独立完成，指名汇报，教师点评．四、练习巩固1．教材第90页“随堂练习”第1，2题．2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有()A．0个B．1个C．2个D．3个五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么是相似三角形？3．相似三角形的判定定理1的内容是什么？六、课外作业教材第90页习题4.5第1～3题．本节课是探索三角形相似的条件的第一课时——相似三角形和判定定理1，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，通过类比、观察等方式，让学生自行总结相似三角形的定义，再通过合作交流、画图等方式，让学生探讨出相似三角形的判定定理1，并且学会运用定理，培养学生分析观察能力和总结能力．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．第2课时相似三角形的判定定理2和31．掌握三角形相似的判定定理2和3.2．能利用相似三角形的判定定理2和3解决问题．重点掌握三角形相似的判定定理2和3. 难点相似三角形的判定定理2和3的应用．一、复习导入1.判定三角形相似目前有哪些方法？2．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，对角线BD ⊥DC. (1)△ABD 与△DCB 相似吗？请说明理由．(2)如果AD ＝4，BC ＝9，你能求出BD 的长吗？(学生认真读题，观察图形，运用学过的判定相似的方法以及相似性质，讨论得出结果) 分析：△ABD ∽△DCB.因为∠A ＝∠BDC ＝90°，∠ADB ＝∠DBC ，故而这两个三角形相似；由AD BD ＝BDBC，故BD ＝6.教师：现在我们已经有两种方法可以判定两个三角形相似，一种是定义，一种是判定定理1，除此之外，是否还有其他的方法来判定两个三角形相似？这一问题就是本节课我们需要研究的问题．二、探究新知1．相似三角形的判定定理2教师：我们知道，相似三角形的各边成比例，如果两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流．学生：两边成比例的两个三角形不一定相似．教师：如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 学生思考后给出答案，教师点评．教师：我们先来考虑增加一角相等的情况． 课件出示：画△ABC 和△A′B′C′，使∠A ＝∠A′，AB A′B′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠B 与∠B′(或 ∠C 与∠C′)的大小．(1) △ABC 和△A′B′C′相似吗？ (2)改变k 值的大小，再试一试．学生完成后给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．教师：想一想，如果△ABC 和△A′B′C′两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？要求学生先画出图形，教师展示学生的图形，并提出问题：由此你能得到什么结论？2．相似三角形的判定定理3教师：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 学生小组内讨论，教师巡视． 课件出示：画△ABC 和△A′B′C′，使AB A′B′，BC B′C′和ACA′C′都等于给定的值k.设法比较∠A 与∠A′的大小．(1)△ABC 和△A′B′C′相似吗？说说你的理由． (2)改变k 值的大小，再试一试．学生分小组讨论并给出答案，教师点评，引导学生得出相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似． 3．总结 教师：在这两节课中我们已经学完了三角形相似的判定方法，下面请大家总结判定三角形相似有几种方法？第一种：对应角相等，对边成比例的两个三角形相似．即定义法．第二种：两角对应相等的两个三角形相似．第三种：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 第四种：三边对应成比例的两个三角形相似．强调：从这四种方法中我们可以看出，第一种判定方法比较麻烦，需要研究三对角、三对边，而后面的几种方法最多只需要研究三对边或角，因此定义法一般不利用．如果已知条件只涉及角，就用第二种判定方法；如果既有角又有边，则可考虑用第三种方法判断；如果已知条件只涉及边，就用第四种判定方法．(教师最好用实例引导)三、举例分析例1 图①中是否有相似的三角形？图②中的两个三角形是否相似？学生思考后给出答案，教师点评． 例2 (课件出示教材第91页例2) 例3 (课件出示教材第94页例3)学生独立完成后汇报答案，教师点评． 四、练习巩固1．教材第92页“随堂练习”． 2．教材第94页“随堂练习”．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．相似三角形的判定定理2和3分别是什么？ 六、课外作业1．教材第93页习题4.6第1，3题． 2．教材第95页习题4.7第1，2题．本节课是探索三角形相似的条件的第二课时——相似三角形的判定定理2和3，是初中数学学习的重点内容之一，对学生的能力培养与训练有着重要的地位．在课堂上，让学生动手实践，合作交流，总结出相似三角形的判定定理2和3，培养学生分析观察能力和总结能力．通过讲练结合，学会运用定理，加深学生对新知的认识．在教学过程中，以学生为主体，教师引导学生自主探究，合作交流，认知新的知识，培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，提高学生的学习兴趣．第3课时 黄金分割1．理解和掌握黄金分割的定义．2．理解黄金比的含义，会找一条线段的黄金分割点． 3．会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．重点黄金分割的意义和简单应用． 难点掌握寻找黄金分割点的方法．一、情境导入课件出示与“黄金分割”有关的图片，提出问题：(1)芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？(2)为什么身材苗条的模特还要穿高跟鞋？(3)为什么世界第三高塔的上海东方明珠塔那么璀璨壮观？ 学生小组讨论后给出答案，教师点评．教师：美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在这些问题中，我们对美的认同的确是比较一致的，为什么这些图形会给人以美的感觉呢？这些美的事物是否存在内在的规律呢？和我们的数学知识有没有联系呢？这就是我们今天要研究的“黄金分割”．二、探究新知1．黄金分割的定义课件出示一个五角星：教师：在五角星图案中，大家用刻度尺分别度量线段AC ，BC 的长度，然后计算ACAB，BCAC，它们之间有什么关系？ 学生：AC AB ＝BC AC.引导学生得出：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．2．计算黄金比教师：那么AC 与AB 的比是多少呢？学生计算后给出答案，教师点评并板书具体解题过程： 由AC AB ＝BCAC，得AC 2＝AB·BC. 设AB ＝1，AC ＝x ，则BC ＝1－x. ∴x 2＝1×(1－x)， 即x 2＋x －1＝0. 解这个方程，得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(不合题意，舍去)．所以，ACAB ＝5－12≈0.618.教师：AC 与AB 的比叫做黄金比．其中ACAB ≈0.618.3．找黄金分割点的方法(1)课件出示：如图，已知线段AB ，按照如下方法作图： ①经过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝12AB.②连接DA ，在DA 上截取DE ＝DB.③在AB 上截取AC ＝AE.则点C 为线段AB 的黄金分割点．教师：能说说其中的道理吗？教师：若点C 为线段AB 的黄金分割点，则点C 分线段AB 所成的两条线段AC ，BC 间需满足AC AB ＝BCAC .下面请大家进行验证．有困难时可以互相交流．为了计算方便，可设AB＝1.学生独立完成后给出答案，教师点评．(2)教师：采用如下的方法也可以得到黄金分割点． ①如图，设AB 是已知线段． ②以AB 为边作正方形ABCD. ③取AD 的中点E ，连接EB. ④延长DA 至点F ，使EF ＝EB.⑤以线段AF 为边作正方形AFGH. ⑥点H 就是AB 的黄金分割点．教师：你能说说这种作法的道理吗？ 学生分小组讨论后给出答案，教师讲解． 解：设AB ＝1，那么在Rt △BAE 中， BE ＝AB 2＋AE 2＝12＋⎝⎛⎭⎫122＝52.EF ＝BE ＝52， AH ＝AF ＝BE －AE ＝52－12＝5－12. BH ＝AB －AH ＝1－5－12＝3－52. 因此AH AB ＝BHAH，点H 是AB 的黄金分割点．三、练习巩固当节目主持人站在舞台的黄金分割点时，观众看起来是最协调的．已知一舞台长为10 m ，节目主持人应站在距离舞台一端________处观众观看最协调．(精确到0.1 m )四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．黄金分割点与黄金比的定义分别是什么？ 3．说一说找黄金分割点的方法． 五、课外作业教材第98页习题4.8第1～3题．“黄金分割”作为《新课程标准》明确提出的内容，在进一步强化线段的比、成比例线段的基础上，注重体现数学的文化价值，有意识引导学生从文化角度把握“黄金分割”这一数学瑰宝，丰富了学生对数学发展的整体认识，对后续新课的学习有着激励作用．在教学过程中，学生要经历“观察”和“思维”两大基本层次来诱导学生认识客观世界的本质和规律．学生的求知欲被激发起来后，教师应及时将其引入理性认识的轨道．5 相似三角形判定定理的证明1．能够熟练地掌握证明相似三角形的判定定理．2．经历探索相似三角形判定定理的证明过程，培养学生的合情推理能力．重点相似三角形判定定理的证明． 难点合理添加辅助线．一、复习导入教师：相似三角形的判定定理有哪些？ 学生：两角分别相等的两个三角形相似． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 三边成比例的两个三角形相似．教师：在前面，我们探索了三角形相似的条件，今天我们将对这些定理进行证明． 二、探究新知1．证明三角形的判定定理1课件出示： 如图，在 △ABC 和△A′B′C′ 中，∠A ＝ ∠A′，∠B ＝∠B′. 求证：△ABC ∽△A′B′C′.学生思考完成后，教师板书证明过程． 证明：在 △ABC 的边 AB(或它的延长线)上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交 AC 于点E ，则∠1＝∠B ，∠2 ＝∠C ，AD AB ＝AE AC.过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F ，则 AD AB ＝CF CB . ∴AE AC ＝CF CB. ∵ DE ∥BC, DF ∥AC ，∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ DE ＝ CF. ∴AE AC ＝DE CB . ∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC. 而∠1＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠2＝∠C ， ∴△ADE ∽△ABC.∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′， ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 2．证明三角形的判定定理2 课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A ＝∠A′，AB A′B′＝ACA′C′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评． 3．证明三角形的判定定理3 课件出示：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，AB A′B′＝BC B′C′＝ACA′C′.求证：△ABC ∽△A ′B′C′.指名学生到黑板写下证明过程，教师点评．强调：证明两个三角形相似，可以通过画辅助线来帮助解决． 三、举例分析例 如图，∠ABD ＝∠C ，AD ＝2，AC ＝8，求AB 的长．学生分小组讨论后举手回答，教师点评并板书解答过程． 解：∵∠A ＝∠A ，∠ABD ＝∠C ， ∴△ABD ∽△ACB. ∴AB ：AC ＝AD ：AB. ∴AB 2＝AD·AC. ∵AD ＝2，AC ＝8， ∴AB ＝4. 四、练习巩固如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝712，求AD的长．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？ 六、课外作业教材第102页习题4.9第1～4题．本节课的内容是相似三角形判定定理的证明，是在学生对三角形之间的全等关系已有深度的认识，在学习了平行线分线段成比例、相似三角形的定义、探索相似三角形的条件等知识的基础上进行教学的．它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸．本节课要求学生了解和掌握相似三角形的判定定理，并且学会运用．课堂上，注重证明过程的书写，让学生更加规范证明过程与步骤，提高学生的综合语言能力和分析能力，培养学生分析问题的条理性．积极调动学生的学习气氛，提高学习兴趣．6 利用相似三角形测高1．在测量旗杆高度的具体问题情境中，通过构建数学模型，进一步理解相似三角形的概念．2．了解平行投影的意义和平行投影在生活中的运用，增强用数学的意识．重点综合运用相似三角形的有关知识求物体的高度． 难点从实际问题中，建立数学模型．一、复习导入教师：判定三角形相似的定理有哪些呢？学生：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．教师：今天我们要做一节活动课，任务是利用三角形相似的有关知识，测量我校操场上旗杆的高度．二、探究新知 1．分析原理教师：请同学们自学教材第103～104页的内容，小组讨论交流三种测量方法的数学原理．甲组：利用阳光下的影子． 出示下图：从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形(如图①)，即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据EA AB ＝AD BC 可得BC ＝AB·AD EA，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度．乙组：利用标杆． 出示下图：。

专题一：三角形相似【知识点】类型一、两角分别相等的两个三角形相似1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，求证：△ADE∽△ABC．【思路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．【举一反三】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥A B于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．【变式】（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=4、（2014秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键．举一反三【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=°，BC= ；（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．类型三、三边成比例的两个三角形相似5、已知：正方形的边长为1（1）如图①，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°B EADC【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定； （3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB 和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.【知识点】相似三角形的基本模型 （1）平行线型：（2）相交线型：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形.AB CD E12AABBCCDD EE12412∠B=∠D双垂直型（3）如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形.（4）一线三等角型【学霸小贴士】ABCDEAABBCC DDEE AB CDEA BCDBE ACD12证相似，比线段，添线平行成习惯；可证两对角相等，可证三边成比例；两边成比也能用，夹角相等才可行。

第三章图形的相似一、学生知识状况分析学生已经学习了平行线的知识以及图形的全等，对两个图形之间的关系有了一定的理解和认识，并且大部分学生能够熟练运用学过的知识解决问题。

本章的学习，学生通过大量的现实情景，从“相似”这个角度认识了图形的另一种关系，丰富了学生对图形的直观体验，学生已经具备了一定的分析理解能力和逻辑推理能力。

二、教学任务分析本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，是对图形全等内容的进一步拓广和发展，有一定的难度。

在本章的学习中，学生已经学习了成比例线段以及相似图形的知识，本章的内容较多，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的目标是：（一）知识与技能1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、对成比例线段、相似三角形的知识进行巩固提升。

（二）过程与方法体现研究图形问题的多种方法，培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

（三）情感与价值观要求培养学生对问题的观察、思考、交流、类比、归纳等过程，发展学生的探索精神，合作意识，增强应用数学意识，加深对数学的人文价值的理解和认识。

教学重点：1、归纳、总结本章知识，使知识成体系。

2、掌握相似三角形的知识，并能灵活运用。

教学难点：培养学生处理图形问题的思维发展水平，加强相关知识之间的联系和综合运用。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：课前准备，整理知识；第二环节：回顾交流、形成体系；第三环节：巩固提升；第四环节：课堂检测；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：课前准备，整理知识内容：学生提前把本章的知识内容进行整理，画出本章知识的思维导图。

目的：学生通过对本章的知识进行整理，进一步理解和掌握本章的知识体系。

第四章图形的相似1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实.2.了解相似多边形和相似比.3.探索并理解三角形相似的条件和性质.4.了解相似三角形判定定理的证明.5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小.6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用.在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.在探索问题、合作交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识.基于《标准》的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,明确对应角、对应边的概念,继而给出相似多边形、相似比的概念,接着通过若干具体活动进一步巩固对相似多边形概念的理解.第4节“探索三角形相似的条件”,根据相似多边形的定义,顺势引出相似三角形的概念,接着,类比三角形全等条件的探索,展现三角形相似条件的探索,明确给出相似三角形的三个判定定理,另外,本节借助相似三角形,介绍了黄金分割、黄金比及其计算过程.考虑到相似三角形判定定理的证明是《标准》规定的选学内容,教科书在得出三角形相似的条件之后,设计了第5节“相似三角形判定定理的证明”,将相似三角形判定定理的证明单独成节,是为了方便教师在教学中根据学情灵活安排.在相似三角形判定定理之后,设计了一节活动课,即第6节“利用相似三角形测高”,介绍了利用相似三角形测量旗杆高度的几种方法.第7节“相似三角形的性质”,研究相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比与相似比的关系,以及周长比、面积比与相似比的关系.第8节“图形的位似”,介绍位似图形的概念,利用位似图形将一个图形放大或缩小,研究多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系.【重点】1.成比例线段的性质.2.相似三角形的判定和性质.3.相似形知识在生活中的应用.【难点】1.比例的性质.2.相似多边形的判定.1.数学教学是数学活动的教学,因此建议设置丰富的问题情境,展现知识的发生、发展过程.因此,本章在研究的过程中应注重知识内容与研究方法上的联系与区别,应关注“对应”关系的确定(对应边的关系、对应角的关系等),注重基本模型的识别与应用.2.应注重站在系统的高度,突显类比的方法,梳理相关知识,帮助学生建立知识体系;重视渗透研究几何图形的基本问题和方法,进一步把握“特殊与一般”的关系,进一步明确“性质定理与判定定理”的互逆关系,进一步发展学生合情推理与演绎推理的能力.3.注重数学思想的教学,关注对证明思路的启发,学会数学的思考,提倡证明方法的多样性;关注数学教学的生活意义与模型价值,培养学生应用意识,提倡采用数学实践活动的方式让学生用数学,感受数学的应用价值.1成比例线段2课时2平行线分线段成比例1课时3相似多边形1课时4探索三角形相似的条件4课时*5相似三角形判定定理的证明1课时6利用相似三角形测高1课时7相似三角形的性质2课时8图形的位似2课时1成比例线段通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念,理解并掌握比例的性质.通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系.学会与他人合作交流,通过有关比的计算,让学生懂得数学的作用,从而增强学生学习数学的信心.【重点】线段的比和成比例线段,以及比例线段的基本性质.【难点】比例线段的基本性质的运用.第课时1.了解线段的比和成比例线段的概念.2.理解比例线段的基本性质.通过生活情境理解相关概念.增强学生对数学知识来源于生活的认识.【重点】成比例线段的概念.【难点】比例线段的基本性质.【教师准备】课堂教学用的投影图片.【学生准备】测量长度的直尺,放大镜等.导入一:出示如图所示的两面大小不同的国旗,让学生比较这两面国旗有什么不同.[设计意图]以接近学生生活实际的国旗为背景,对学生进行爱国主义教育,同时提出国旗中蕴含着数学知识,激发学生的学习积极性,从而自然引入本节课内容.导入二:埃及法老阿美西斯想要测量金字塔的实际高度,可是没有一个埃及人能测出来.古希腊学者泰勒斯对法老阿美西斯说:“我只需找一个特殊的时刻,就能测出金字塔的高度.”泰勒斯在金字塔前竖立一根1 m长的木棒,他不断测量木棒的影长,当木棒的影子的长正好是1 m时,特殊时刻来了,如图所示,设金字塔的塔基宽为2b m,在塔外的影长为a m,落在塔内的影长恰为塔基宽的一半,这意味着金字塔的影长为a+b,因为木棒的高度与影长的比为1∶1,所以在同一时间同一地点的金字塔的高度与影长之比也应为1∶1,所以金字塔的高度为(a+b)m.(1)学生测量两面国旗对角线的长度后,教师总结:描述两面国旗大小之间的关系,我们可以借助于两条线段的比来说明.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成ABCD =mn.其中线段AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项,如果把mn 表示成比值k,那么ABCD=k,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比.如图所示,五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同,AB=5 cm,A'B'=3 cm,AB∶A'B'=5∶3,53就是线段AB和线段A'B'的比,这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.(2)问题思考:AB∶A'B'=5∶3,这时线段A'B'与线段AB的比是多少呢?[知识拓展] (1)求线段的比时,线段的长度单位要统一.(2)线段的比没有单位,所以线段的比与所采用的长度单位无关. (3)两条线段的比有先后顺序,前项和后项不能颠倒.如图所示,设小方格的边长为1,四边形ABCD 与四边形EFGH 的顶点都在格点上.(1)AB ,AD ,EF ,EH 的长度分别是多少? (2)AB EF ,AD EH ,AB AD ,EFEH的值相等吗? 【总结】 四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即a b=c d,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段.【思考】 上图中还有哪些线段是比例线段? [知识拓展] 在理解比例线段时,应注意三点:(1)比例线段是特指四条线段之间的关系,两条线段不能是比例线段,三条线段中的任意一条线段都不能重复使用时,三条线段也不能是比例线段,而五条或五条以上的线段中,只能判断其中的某四条线段能否是成比例线段.(2)成比例线段是有顺序的.即若a ,b ,c ,d 是成比例线段,则a ∶b =c ∶d ,而不能写成a ∶b =d ∶c.(3)为了讨论问题方便,我们再给出两个相关的定义:①比例的内项与外项:如果四条线段a ,b ,c ,d 是比例线段,那么把线段b ,c 叫做比例内项,把线段a ,d 叫做比例外项.②第四比例项:如果四条线段a ,b ,c ,d 是成比例线段,那么线段d 叫做线段a ,b ,c 的第四比例项.下列四组线段中,是成比例线段的是 ( )A.5 cm,6 cm,7 cm,8 cmB.3 cm,6 cm,2 cm,5 cmC.2 cm,4 cm,6 cm,8 cmD.12 cm,8 cm,15 cm,10 cm〔解析〕 ∵56≠78,∴不是成比例线段,故选项A 错误;∵36≠25,∴不是成比例线段,故选项B 错误;∵24≠68,∴不是成比例线段,故选项C 错误;∵128=1510,∴是成比例线段,故选项D 正确.故选D .思路二【活动1】 建立比例线段的概念.【投影图片】 如图所示,AB =50,BC =25,A'B'=20,B'C'=10,求证AB BC=A 'B 'B 'C '.证明:∵ABBC =5025=2,A'B'B'C'=2010=2,∴AB BC =A'B'B'C'.引导学生分析得出四条线段AB,BC,A'B',B'C'是成比例线段.(1)题目的已知中共有几条线段?分别是哪几条?(2)其中的线段AB,BC的比是多少?线段A'B',B'C'的比是多少?其中线段AB与BC的比与线段A'B'与B'C'的比有何关系?(3)我们称AB,BC,A'B',B'C'这四条线段是成比例线段,简称比例线段.(4)请同学们根据这个例子想一想,什么样的四条线段叫做成比例线段?(5)学生叙述,教师板书比例线段的定义:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.【活动2】熟悉比例线段的概念.(1)定义告诉我们判定四条线段是成比例线段的方法:(其中的一个比例式)ab =cd⇒a,b,c,d四条线段成比例;(2)定义告诉我们若已知四条线段成比例,则一定有比例式:a,b,c,d四条线段成比例⇒ab =cd(唯一的一个比例式).与比例线段有关的概念:(1)项、内项、外项、第四比例项.a,b,c,d叫做组成比例的项,b,c叫做比例内项,a,d叫做比例外项,d叫做a,b,c的第四比例项.(2)比例中项.若作为比例内项的是两条相同的线段,即ab =bc或a∶b=b∶c,那么线段b叫做线段a,c的比例中项.三、探索比例线段的基本性质计算下列比例式的两个内项的积与两个外项的积.(1)45=1215;(2)√2∶√3=√6∶3.通过计算,同学们发现了什么规律?【学生活动】两个内项的积与两个外项的积相等.【教师活动】我们把上面成比例的四个数用字母表示,即ab =cd,用什么方法来说明两个内项的积与两个外项的积相等?【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨“如果ab =cd,那么ad=bc”.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:(1)等式ab =cd两边同时乘bd.(2)设ab =cd=k,则a=bk,c=dk,因此ad=(bk)d=b(dk)=bc.【教师活动】我们又如何把乘积的形式化成比例的形式?【学生活动】学生共同回答“等式两边同时除以bd”.【教师活动】我们把以上两个方面综合起来,就是比例线段的基本性质.比例线段的基本性质:如果ab =cd,那么ad=bc;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么ab=cd.[设计意图]从特殊情况出发,使学生对比例线段的基本性质有一个直观的认识,再让学生以一般的形式探索和推导,让全体学生充分参与,一步一步得出比例线段的基本性质,体现了“从特殊到一般”的教学思想.【教师活动】根据上面的方法你能由ab =cd推导出下列比例式吗?(1)ac =bd;(2)db=ca;(3)ba=dc;(4)cd=ab;(5)bd=ac;(6)ca=db;(7)dc=ba.(教材例1)一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照如图所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即AEAD =ADAB,那么a的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=13a m,AD=1 m.由AEAD =ADAB,得13a1=1a,即13a2=1,∴a2=3.开平方,得a=√3(a=-√3舍去).【问题思考】如果换成ADAE =ABAD,那么a的值应当是多少?1.在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称.在a∶b=c∶d中,a,d叫做比例,b,c叫做比例.如果四条线段a,b,c,d是成比例线段,那么线段d叫做线段a,b,c的.答案:c与d的比比例线段外项内项第四比例项2.如果选用量得两条线段AB,CD的长度分别是m,n,那么就说这两条线段的比AB∶CD=m∶n,其中,线段AB,CD分别叫做这个线段比的和.答案:同一个长度单位前项后项3.如果ab =cd,那么;如果ad=bc(a,b,c,d都不为0),那么.答案:ad=bc ab =cd第1课时1.两条线段的比2.成比例线段3.比例线段的基本性质一、教材作业【必做题】教材第79页习题4.1的1,2题.【选做题】教材第79页习题4.1的3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法中错误的是()A.线段的比就是指它们的长度之比B.只要两条线段的长度采用同一单位,那么两条线段的比与所采用的单位无关C.求两条线段的比,一定要用同一单位,如果单位不同,应先化成同一单位,再求它们的比D.两条线段的比与两个数的比一样有正有负2.一根旗杆长6 m,在正午的阳光下,其影长为80 cm,则旗杆的长与它的影子的长度之比为( ) A.340B.4030C.215D.1523.下列四组线段中,成比例的是 ( ) A.a =3,b =6,c =2,d =5 B.a =1,b =√2,c =√6,d =√5 C.a =4,b =8,c =5,d =10 D.a =2,b =√5,c =√15,d =2√24.一条线段的长度是另一条线段长度的23,则这两条线段的比为 . 5.四条线段a ,b ,c ,d 成比例,且a =14 cm,b =16 cm,c =13 cm,则d = . 【能力提升】6.下列各组线段中,能成比例的是 ( ) A.3,6,7,9 B.2,5,6,8 C.3,6,9,18 D.1,2,3,47.已知线段a ,b ,c ,d 是比例线段,其中a =6 cm,b =4 cm,c =12 cm,求线段d 的长. 【拓展探究】8.已知三个数,a =1,b =2,c =√3,请你再添一个数d ,使它们能构成比例式,写出这个比例式.(至少写两个) 【答案与解析】 1.D 2.D 3.C 4.23或325.1047 6.C(解析:由比例的基本性质可知,若四条线段成比例,则必有两条线段长度之积等于另两条线段长度之积,所以判断时只需看最小数与最大数之积是否等于另两数之积便可作出判断.如3×9≠6×7,2×8≠5×6,3×18=6×9,1×4≠2×3,故选C .)7.解:因为a ,b ,c ,d 是比例线段,所以a ∶b =c ∶d ,即d =bc a=4×126=8,所以线段d 的长为8 cm .8.解:如:d =2√3或23√3,比例式为ab =cd 或ac =db.答案不唯一.本课时的知识要点是强调线段对应成比例,这一点在教学的过程中得到了有效的贯彻.在理解比例线段的基础上,由特殊上升到一般,接着探讨了比例线段的基本性质.理解比的意义和比例线段,是灵活运用比例线段的基本性质的前提.在知识的讲解和例题、习题的讲练过程中,都渗透着对这个问题的处理.比例线段的比不是固定不变的.比例线段强调的是比例的大小,随着比的顺序的变化,比值也会随之变化,这一点在教学中没有特别地强调.这一点不强调,不利于学生今后理解图形的相似比.以国旗的长和宽为例,强调长和宽是一对比例线段,它们的比值是不变的.以一面国旗来讲,这里强调的是长和宽的比.从两面国旗的角度看,小国旗和大国旗的长和宽是四条对应成比例的线段.随堂练习(教材第79页)1.提示:在地图上,图上长度与实际长度的比叫比例尺.如:用同一张洗出的不同尺寸的两张照片上对应线段的比相同,按照图纸严格建造的楼房的窗户的长与宽与图纸上相应的长与宽的比相同等.2.解:长线段∶短线段=5∶1.3.解:因为a,b,c,d是成比例线段,所以a∶b=c∶d,即3∶2=6∶d,所以d=4(cm).习题4.1(教材第79页)1.解:因为在ΔABC中,∠B=90°,AB=BC=10 cm,所以AC=10√2cm.因为ED=EF=12 cm,DF=8 cm,所以AB EF =1012=56,ACDF=10√28=5√24.2.解:∵ADDB =AEEC,∴AD12-AD=65.解得AD=7211.∴AD的长为7211cm.3.解:由题意可知ADAE =ABAD,∵AE=12AB,∴AD12AB=ABAD,即AB2=2AD2,∴AB2AD2=2,∴ABAD=√2,即原来矩形的长边与短边的比是√2∶1.关于成比例线段应注意以下两点:(1)线段的比是指两条线段长度之间的比的关系,而成比例线段是指四条线段长度之间的比的关系.(2)线段的比有顺序性,四条线段成比例也有顺序性.如ab =cd是线段a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d成比例.通常成比例的四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b的单位一致,c,d的单位一致也可以,为什么?解:例如:a=30 cm,b=50 cm,c=3 m,d=5 m,我们可以把四条线段的长度单位都化成厘米,即a=30cm,b=50 cm,c=300 cm,d=500 cm,则ab =3050=35,cd=300500=35,因此ab=cd;我们也可以求出ab=3050=35,cd=35,所以ab =cd.第课时理解等比的性质.通过具体数字和证明领会等比性质.鼓励和培养学生的探索精神.【重点】等比的性质.【难点】等比性质的变形及灵活运用.【教师准备】等比性质的推导过程和课堂小结的投影图片.【学生准备】复习比例线段和比例的性质.导入一:小明给小刚提出一个很有意思的问题.他说:“数学来源于生活.因此,数学中的许多定理都可以用生活中的常识来解释,请你利用一个生活常识来解释:若ab =cd=…=mn(b+d+…+n≠0),则a+c+…+mb+d+…+n=ab.”小刚想了想说:“若有含糖a kg的糖水b kg,含糖c kg的糖水d kg,含糖e kg的糖水f kg……它们的浓度相等,把这些糖水混合到一起后,浓度不变,表示方法为:a+c+e+…b+d+f+…=ab.”小刚所举的例子有什么数学根据呢?导入二:如图所示,已知ABEF =BCFG=CDGH=DAHE=2,你能求出AB+BC+CD+DAEF+FG+GH+HE的值吗?【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:因为ABEF =BCFG=CDGH=DAHE=2,所以AB=2EF,BC=2FG,CD=2GH,DA=2HE.所以AB+BC+CD+DAEF+FG+GH+HE =2EF+2FG+2GH+2HEEF+FG+GH+HE=2.【猜想】用数字验证:12=24=48=816,1+2+4+82+4+8+16=1530=12,故成立.【教师活动】用数字验证的结论可靠吗?【学生活动】学生独立思考1分钟后,分组交流探讨.【教师活动】教师巡视指导,特别关注学生此时是否积极参与.【学生活动】各组汇报交流讨论的结果,教师板书出现的解决方案,由学生说明其理由.学生可能出现的解决方案:设ab =cd=…=mn=k,∴a=bk,c=dk,…,m=nk.∴a+c+…+m b+d+…+n =bk+dk+…+nkb+d+…+n=k(b+d+…+n)b+d+…+n=k=ab.【结论】等比性质:如果ab =cd=…=mn(b+d+…+n≠0),那么a+c+…+mb+d+…+n=ab.(教材例2)在ΔABC与ΔDEF中,已知ABDE =BCEF=CAFD=34,且ΔABC的周长为18 cm,求ΔDEF的周长.解:∵ABDE =BCEF=CAFD=34,∴AB+BC+CA DE+EF+FD =ABDE=34.∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD), 即DE+EF+FD=43(AB+BC+CA).又∵ΔABC的周长为18 cm,即AB +BC +CA =18 cm,∴DE +EF +FD =43(AB +BC +CA )=43×18=24(cm), 即ΔDEF 的周长为24 cm . 【思考】 (1)AB+BC DE+EF =34吗? (2)BC+CA EF+FD=34吗?(3)如果AB +BC =10 cm,DE +EF 等于多少?[设计意图] 学到的知识要会应用升华,通过学生练习,使学生掌握运用比例的基本性质、等比性质来求值和说理的方法;通过归纳学生的各种解题方法,达到一题多解的目的,培养学生多角度的开放性思维能力. [知识拓展] (1)将比例式转化为乘积式是有规律的,并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘积都等于另外两个字母的乘积,这个规律是:比例的外项乘积等于内项乘积.(2)用等比性质时,要注意b +d +…+n ≠0这个条件.(3)比例的其他性质: 合比性质:如果a b=c d,那么a±b b =c±dd . 更比性质:如果a b =c d ,那么a c =b d 或c a=d b. 反比性质:如果a b=c d ,那么b a=d c.1.已知2a =3b ,则a b= . 答案:322.若3x-5y =0,则y x= . 答案:353.若ab =cd=34(b+d≠0),则a+cb+d的值为.答案:344.已知ab =cd=ef=57,则a+2c+3eb+2d+3f=.答案:575.在ΔABC和ΔADE中,ADAB =AEAC=DEBC=712,且ΔABC的周长为36 cm,则ΔADE的周长为.答案:21 cm第2课时1.等比性质2.等比性质的证明一、教材作业【必做题】教材第81页习题4.2的1,2题.【选做题】教材第81页习题4.2的3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知ab =52,那么下列等式中不一定正确的是()A.2a=5bB.a5=b2C.a+b=7D.a+bb =722.若a-bb =23,则ab等于()A.13B.23C.43D.533.若ab =35,则a+bb的值是()A.25B.38C.58D.854.已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶2,斜边长为4√5cm,那么这个三角形的面积是()A.32 cm2B.16 cm2C.8 cm2D.4 cm25.若2x-5y=0,则y∶x=,x+yy=.6.已知ab =cd=ef=35,b+d+f=50,那么a+c+e=.7.如果ab =cd=ef=45,那么a+c-eb+d-f=.【能力提升】8.如果ab =cd成立,那么下列各式一定成立的是()A.ac =dbB.ba=cdC.a+1b =c+1dD.a+2bb=c+2dd9.若a-bb =47,则ab=.10.若xy =32,则x+yx-y=.11.已知x2=y3=z4,求x+y+zx+y-z.【拓展探究】12.设a,b,c是ΔABC的三条边,且a-bb =b-cc=c-aa,判断ΔABC为何种三角形,并说明理由.【答案与解析】1.C2.D3.D4.B5.2∶5726.307.458.D9.11710.511.解法1:由x2=y3=z4,得x+y+z2+3+4=x2,x+y-z2+3-4=x2,所以x+y+z9=x+y-z1,即x+y+zx+y-z=9.解法2:设x2=y3=z4=k,则x=2k,y=3k,z=4k,显然k≠0,否则x=y=z=0,分式x+y+zx+y-z 无意义.所以x+y+zx+y-z=2k+3k+4k2k+3k-4k=9.12.解:ΔABC为等边三角形.理由如下:设a,b,c是ΔABC的三条边,∴a+b+c≠0.∵a-bb =b-cc=c-aa,∴a-bb=b-cc=c-a a =a-b+b-c+c-aa+b+c=0,∴a=b=c,∴ΔABC为等边三角形.等比的性质及其变形是本课时的知识难点,为了突破这个难点,必须让学生领会等比性质的推导过程.在推导等比性质的过程中,放手让学生用自己的方法去证明和推导等比性质,加上老师恰到好处的提示和点拨,使学生深刻领会等比性质的推导过程.等比性质的变形是在课堂练习和习题当中体现的内容,是学生课后探究尝试的内容,在本课时的教学过程中,过早地交代和涉及了相关的知识,加大了本课时的课时容量,也会给学生造成知识掌握上的困难.在引导学生探究等比性质的时候,应该遵循从特殊到一般的认识规律,先让学生选择具体的数字或者任意的线段长度进行尝试,有了一定的感性认识之后,最终探索等比性质的一般形式,并适时强调等比性质成立的条件.随堂练习(教材第80页)解:由于ab =cd=23(b+d≠0),因此根据等比性质得a+cb+d=ab=23.习题4.2(教材第81页)1.解:由于ab =cd=ef=23且b+d+f≠0,因此根据等比性质得a+c+eb+d+f=ab=23.2.解:AB=2√5,DE=√5,BC=2√10,DC=√10,AC=2√13,EC=√13.CΔABC∶CΔEDC=(2√5+2√10+2√13)∶(√5+√10+√13)=2∶1.3.解:正确.设ab =cd=k,则a=bk,c=dk,所以a+bb=bk+bb=k+1,c+dd=dk+dd=k+1,所以a+bb=c+dd.同理,a-bb=c-dd.(1)有关比例的证明题.已知a b =a -c c -b ,求证1a +1b =2c .〔解析〕 这是一道有关比例的证明题,利用比例的基本性质证明. 证明:因为a b=a -cc -b,所以a (c-b )=b (a-c ),即ac-ab =ab-bc ,所以ac +bc =2ab , 两边同时除以abc ,得1a+1b=2c.[解题策略] 解此题时,要注意a ≠0,b ≠0,c ≠0这个隐含条件,所以在等式两边可以同时除以abc. (2)用代换思想解比例问题.若c ≠0,3a =5b +2c ,32a +12b =4c ,求a ∶b ∶c.〔解析〕 上面两个等式可看成方程,两个方程中有三个未知数,无法直接求解,应把其中一个字母看成已知数,用含有这个字母的式子表示另两个字母.解:由题意得{3a =5b +2c ,32a +12b =4c ,解得{a =73b ,c =b , 所以a ∶b ∶c =73b ∶b ∶b =7∶3∶3.(2014·牡丹江中考)若x ∶y =1∶3,2y =3z ,则2x+yz -y的值是 ( )A.-5B.-103C.103D.5〔解析〕 ∵x ∶y =1∶3,∴设x =k ,y =3k ,∵2y =3z ,∴z =2k ,∴2x+y z -y=2k+3k2k -3k=-5.故选A .若2a =3b =4c ,且abc ≠0,则a+bc -2b 的值是 ( )A.2B.-2C.3D.-3〔解析〕 设2a =3b =4c =12k (k ≠0),则a =6k ,b =4k ,c =3k ,所以a+b c -2b=6k+4k 3k -2×4k=10k-5k=-2.故选B .2 平行线分线段成比例1.理解平行线分线段成比例基本事实及其推论,初步熟悉平行线分线段成比例的应用.2.通过有关比的计算,激发学生学习数学、探索问题的兴趣,培养学生进行一定的问题研究的能力.通过教学,培养学生的观察、分析、概括能力,了解特殊与一般的辩证关系.学会与他人合作交流.【重点】理解平行线分线段成比例基本事实及其推论.【难点】成比例的线段中对应线段的确认.【教师准备】教材图4-6,图4-7的投影图片.【学生准备】复习两条线段的比、比例线段的概念及比例的性质,并预习新课内容.导入一:如图(1)所示,梯子是施工过程中经常使用的工具,因为它的实用性和稳定性都很好,所以梯子的应用非常广泛,大到施工工地,小到日常家居,都能看到梯子的身影.如图(2)所示的梯子在生产过程中因为工作失误导致“左右不对称”,不过AB=BC=…,AD∥BE∥CF∥…,这些都符合要求,那么DE和EF相等吗?导入二:我们已经学习了成比例线段,请同学们回忆一下,什么叫成比例线段?能不能举几个例子说一说?这里给出四条线段,我们需要计算才能知道它们成不成比例,这节课我们将要学习不用计算,就知道它们成不成比例的方法,你们想知道是什么吗?出示教材图4-6.在图4-6中,小方格的边长均为1,直线l1∥l2∥l3,分别交直线m,n于点A1,A2,A3,B1,B2,B3.问题1计算线段A1A2,A2A3,B1B2,B2B3的长度.问题2A1A2 A2A3等于B1B2B2B3吗?问题3A1A2 A1A3等于B1B2B1B3吗?问题4将l2向下平移到如图4-7所示的位置,直线m,n与l2的交点分别为A2,B2,你在问题1,2,3中发现的结论还成立吗?如果将l2平移到其他位置呢?问题5在平面上任意作三条平行线,用它们截两条直线,截得的线段成比例吗?(问题提示:经过计算,在图4-6中,A1A2=√2,A2A3=4√2,B1B2=√5,B2B3=4√5,利用此数据可得问题2,问题3中的两条线段的比均相等.对于问题4的探索,可同样采取前3个问题的办法)[设计意图]学生对于理解“平行线分线段成比例”这一基本事实有一定的困难,这里的体验活动正好让他们对这一基本事实有一个直观理解.利用直观的操作培养学生大胆猜测、从实践中得出结论的能力,充分体现了教师为主导,学生为主体的教学原则.基本事实的总结:【文字叙述】两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.【符号表述】如图所示,直线l1,l2,l3截直线a,b,且l1∥l2∥l3,则ABBC =DEEF.[知识拓展](1)理解“对应”的含义:对应线段成比例,是指所得的对应位置的线段成比例,如左上左下=右上右下,左上右上=左下右下,左上左全=右上右全,左下左全=右下右全.(2)平行线分线段成比例定理与平行直线和被截两直线的交点位置无关.如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是()。