2021届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(理)试题(解析版)

2021年河北省衡水中学高三上学期七调考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知全集，集合，那么()U A C B ⋂=（ ）A ．B ．C ．D ．2．在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．执行如图的程序框图，那么输出的值是（ ）{}n a ()1122m m m a a a m +-⋅=≥{}n a n n T 21512m T -=m ()()2sin sin 02f x x x x πωωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π()f x 20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦SA ．2B ．C ．-1D ．1 6．在二项式的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理数都互不相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 7．在中，分别是所对边的边长，若，则的值是（ ） A ．1 BCD ．28．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:）,则该几何体的体积为（ ）A ．120B ．80C ．100D ．609．在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能10．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ． 11．已知双曲线的方程，其左、右焦点分别是，已知点坐标为12n161413512,,a b c ,,A B C 2cos sin 0cos sin A A B B+-=+a b c +5,,BC G O =5OG BC ⋅=ABCABCD 0AB BD ⋅=BD A BD C --2224AB BD +=A BCD -2π4π4π2πC 22145x y -=12,F F M，双曲线上点，满足，则（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．4 12．定义在上的函数满足，当时，，函数，若，不等式成立，则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题 13．设，则的展开式中常数项是___________． 14．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1； ③某项测量结果服从正太态布，则； ④对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 ．15．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的取值范围是 ．16．是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 ．()2,1C ()()0000,0,0P x y x y >>11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=12PMF PMF S S ∆∆-=R ()f x ()()122f x f x +=[)0,2x ∈()231212,0122,12x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩()323g x x x m =++[)[)4,2,4,2s t ∀∈-∃∈-()()0f s g t -≥m (],12-∞-(],4-∞-(],8-∞31,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()()22:341C x y -+-=()()(),0,,00A m B m m ->P 90APB ∠=︒m ()f x R ()'f x ()()()'1,02016f x f x f -<=()20151x f x e >⋅+e三、解答题17．已知数列的前项和为，向量满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）设函数，数列满足条件．①求数列的通项公式； ②设，求数列的前项和． 18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的二面角的余弦值；（3）设点是直线上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30,女20），给所有同学几何体和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况如下表（单位:人）（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5-7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6-8分钟，现甲，乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概{}n a n n S ()1,1,21,2nn a S b ⎛⎫==-⎪⎝⎭{}n a ()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭{}n b ()()1111,1n n b f b f b +==--{}n b nn nb c a =n c n n T S ABCD -ABCD SA ⊥ABCD AB AD BC 2,1,SA AB BC AD M ====SB SCD SCD SAB N CD MN SAB θsin θ率；（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为，求的分布列及数学期望． 附表及公式：20．已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程； （2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 21．已知函数． （1）求的单调区间；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值； （3）对于在区间上任意一个常数，是否存在正数，使得成立？请说明理由．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点垂直交圆于点．X X ()E X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()()ln 1f x x x =+-()f x k Z ∈()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭1x >k ()0,1a 0x ()02012f x a e x <-AB B C ABC ∠BE ,E DB BE D（1）证明：（2）设圆的半径为1，，延长交于点，求外接圆的半径． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于.(1)写出曲线和直线的普通方程；(2)若成等比数列,求的值.24．选修4-5：不等式选讲 已知函数 （1）解不等式（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．DB DC=BC =CE AB F BCF ()121f x x x =++-()4f x <()1f x a ≥+x R ∈a参考答案1．A 【详解】 试题分析：由题意，，，所以{}()|01U A C B x x ⋂=<<．故选A ．考点：集合的运算． 2．A【解析】试题分析：由题意得，所以，故选A.考点：复数的运算及复数的表示. 3．B 【解析】试题分析：因为是正项等比数列，所以，，又，所以，．故选B ． 考点：等比数列的性质． 4．A 【解析】 试题分析：，所以，，，时，，，所以．故选A ．考点：函数的周期，值域． 5．B 【解析】试题分析：本题算法主要考查循环结构，由算法知，记第次计算结果为，则有{}n a 2112m m m m a a a a +-⋅==2m a =21211221m m m m T a a a a ---==21925122m -==5m=21cos 21()sin cos 2sin(2)262x f x x x x x x ωπωωωωω-=+==-+22T ππω==1ω=1()sin(2)62f x x π=-+2[0,]3x π∈72[,]666x πππ-∈-1sin(2)[,1]62x π-∈-3()[0,]2f x ∈()sin()f x A x ωϕ=+k k S，，，，因此是周期数列，周期为3，输出结果为，故选B ．考点：程序框图，周期数列． 6．D 【解析】试题分析：展开式通项为（），由题意，．所以当时为整数，相应的项为有理数，因此题二项式展开式中共有9项，其中有3项是有理数，6项是无理数，所求概率为．故选D ． 考点：二项式定理，古典概型．【名题点睛】本题考查二项式定理与古典概型概率计算，考查等差数列的概念．首先应正确掌握二项式定理，由二项展开式通项公式得各项系数，由等差数列的定义可求得指数值，由二项展开式通项中判断有理项的个数为3,9个数全排列，其中求3个有理数互不相邻的方法数时用插入法，即把6个无理数排列，形成7个空档（含两头的），在这7个空档中选取3个排列这3个有理数可得方法数． 7．B 【解析】试题分析：由得，即，又，所以，，，所以，故选B ．考点：两角和与差的正弦公式，正弦函数的性质． 8．C 【解析】11112S ==--2111(1)2S ==--312112S ==-41112S ==--1S ={}k S 2012367022S S S ⨯+==12=1r n rrr nT C -+=2342n r r rnC x--=⋅⋅0r n ≤≤1100222222n n n C C C --⋅=⋅+⋅8n =0,4,8r =1634r-636799512A A P A ==n 2cos sin 0cos sin A AB B +-=+))244A B ππ++=sin()sin()144A B ππ++=sin(),sin()1144A B ππ+≤+≤sin()sin()144A B ππ+=+=4A B π==2C π=2a b c ==a bc+=试题分析：由已知，故选C ．考点：三视图，几何体的体积． 9．B 【解析】试题分析：设是边中点，则， ，所以，，，所以，即为钝角，三角形为钝角三角形．故选B ．考点：向量的线性表示与数量积，三角形形状的判断． 10．C 【解析】试题分析：由得，又二面角是直二面角，所以平面，从而，同理，所以的中点到四个顶点的距离相等，即为外接球球心，又，，所以球半径 ，．故选C ．考点：两平面垂直的性质，外接球与球的表面积． 11．C 【解析】 试题分析：由已知得：，所以，即在的平分线上，可证的内心在直线上，所以点是的内心，到三边的距离相等均为，所以 D BC OD BC ⊥()OG BC OD DG BC ⋅=+⋅DG BC=⋅13DA BC =⋅()()16AB AC AC AB =-+⋅-()22156AC AB =--=2230AC AB -=-AB AC =+2230AB AC AC BC >+=+222225cos 0C <C 0AB BD ⋅=AB BD ⊥A BD C --AB ⊥BCD AB BC ⊥CD AD ⊥AC O ,,,A B C D 2222AC AB BD DA=++2224AB BD =+=2AC =12AC r ==2414S ππ=⨯=11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=11121cos cos MF PF M MF F F M ∠=∠121PF M F F M ∠=∠M 12PF F ∠12PF F ∆2x =M 12PF F ∆M 1d =12PMF PMF S S ∆∆-=121122d PF d PF -，故选C ． 考点：双曲线的性质，向量数量积的定义．【名题点睛】本题考查双曲线的性质，单纯用计算方法非常难，通过向量的数形积定义，化简已知后知，即在的平分线上，此时要联想到双曲线的一个性质：双曲线的右支上任一点，是的左右焦点，则的内心在直线上，反之，直线上的任一点（点除外），一定是某个的内心（是双曲线右支上的点）．利用此结论可很快得出结论． 12．C 【解析】试题分析：由题意，当时，，当时，，所以当时，，又，因此当时，，当时，，即当时，，最小值为－8，，令，得或，由易得是极小值点，是极大值点，，，由题意，．故选C ．考点：不等式恒成立，函数的值域．【名题点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是命题中量词的理解与命题的转化，若，不等式成立，即在上，函数的最小值大于或等于的最大值．函数是三次函数，可由导数的性质求得最大值，而函数是分段函数，由分段函数的定义可在每一个区间（分为有三个区间）上的值域，然后求出并集，得值域． 13．－332 【解析】121()2PF PF =-2a ==11211121PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=121PF M F F M ∠=∠M 12PF F ∠P 22221x y a b-=12,F F 12PF F ∆x a =x a =(,0)a 12PF F ∆P 01x ≤<3122x -<≤12x ≤<2()f x -≤≤[0,2)x ∈1()[2,]2f x ∈-1(2)()2f x f x +=[2,0)∈-()[4,1]f x ∈-[4,2)x ∈-()[8,2]f x ∈-[4,2)x ∈-()[8,2]f x ∈-()f x 2'()36g x x x =+'()0g x =2x =-0x =0x =x =2-(0)g m =(4)16(0)g m m g -=-+<=168m -+≤-8m ≤[)[)4,2,4,2s t ∀∈-∃∈-()()0f s g t -≥[4,2)-()f x ()g x ()g x ()f x [4,2),[2,0),[0,2)--()f x试题分析：，的展开式的通项为，所以所求常数项为．考点：二项式定理的应用，定积分． 14．2 【解析】试题分析：从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，①错；两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，②正确；某项测量结果服从正太态布，则，③正确；对于两个分类变量和的随机变量的观测值来说，越大，判断“与有关系”的把握程度越大，④错．故只有2个正确．考点：抽样方法（系统抽样），线性相关关系，正态分布，独立性检验． 15． 【解析】试题分析：由已知以为直径的圆与圆有公共点，中点为原点，，则，解得，考点：两圆的位置关系．【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法． 16．[]4,6AB C AB 2AB m=11m m -≤≤+46m ≤≤(0,)+∞【解析】试题分析：设，则，因为，所以，即是上的增函数，又，所以的解集为，又，所以所求不等式解集为．考点：导数与单调性，解函数不等式．【名题点睛】本题考查导数的应用，解不等式的关键是构造新函数，新函数能够利用已知条件判断其单调性，利用单调性解不等式是这种类型问题的常规解法．考虑到已知条件，设，则，由此可得，得是递增的，不等式可解．17．（1）；（2）①；②． 【解析】试题分析：（1）本题通过向量平行引入数列的前项，再由求通项公式；计算时注意与计算方法的不同；（2）①由函数式给出数列的递推式，从递推式知是等差数列；②数列是由等差数列与等比数列相除得到的，其前项和是用错位相减法求得． 试题解析：（1）当时，；当时，满足上式，（2）①()20151()x x f x e g x e -⋅-='()()1'()x f x f x g x e -+=()'()1f x f x -<'()0g x >()g x R 00(0)20151(0)0f e g e --==()0g x >0x >()0()201510x g x f x e >⇔-⋅->(0,)+∞()20151xf x e >⋅+()20151()x x f x eg x e -⋅-='()()1'()xf x f xg x e -+='()0g x >()g x 2nn a =n b n =222n n n T +=-n n S n S 1a (2)n a n ≥{}n b {}n b {}n c n 2n ≥12nn n n a S S -=-=1n =112a S ==2nn a ∴=()()()111,21xn n f x f b f b +⎛⎫== ⎪--⎝⎭又是以1为首项，1为公差的等差数列，②两边同乘， 得，两式相减得：， ．考点：向量平行，由求通项，等差数列的通项公式，错位相减法求和．18．（1）证明见解析；（2（3）． 【解析】试题分析：本题考查线面平行的判断，求二面角，求直线与平面所成的角，可用线平行的判定定理，先证线线平行，得线面平行，在求二面角和直线与平面所成角的时候可以通过作角、证明、计算求出结果．由于图形中有两两垂直，因此可能以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法解决本题．证明线面平行时，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，由两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补可得二面角，由直线方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值（绝对值）等于直线与平面所成角的正弦值求线面角，设，则可表示为的函数，由函数的性质可得最大值．试题解析：（1）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为1111111122212n nn nb b b b ++--+⎛⎫∴=∴=⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭1111n n n n b b b b ++∴=+∴-={}11n b b =∴n b n ∴=121121,22222n n n n n nn b n n n c T a --===++++12231112122222n n n n n T +-=++++211111121222222n n n n n n T +++=++-=-()222n n n T n N ++∴=-∈n S n a ()max sin θ=,,AS AB AD (),22,0N x x -sin θx A ()()()()()()0,0,0,0,2,0,2,2,0,1,0,0,0,0,2,0,1,1A B C D S M ()()()0,1,1,1,0,2,1,2,0AM SD CD ∴==-=--SCD则，令，得，平面；（2）易知平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角为，易知，则 平面与平面所成的二面角的余弦值为（3）设，则，易知平面的一个法向量为当，即时，取得最大值，且．考点：用向量法证明线面平行，求二面角，求直线与平面所成的角． 19．（1）能；（2）；（3）分布列见解析，期望为． 【解析】试题分析：（1）这属于独立性检验问题，只要根据给出的公式计算可得结果；（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为，由几何概型公式可得结论；（3）由题意知随机变量的取值分别为，依次求得其概率可得分布列，数学期望． 试题解析：．（1）由表中数据，得的观测值，(),,n x y z =020200SD n x z x y CD n ⎧⋅=-=⎧⎪∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩1z =()2,1,1n =-SCD SAB ()11,0,0n =SCD SAB ϕ02πϕ<<11cos cos 331n n n n ϕϕ⋅===∴=⨯⋅∴SCD SAB 3(),22,0N x x -(),23,1MN x x =--SAB ()11,0,0n =sin θ∴===135x =53x =sin θ()max sin θ=1812,x y 5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩A x y >X 0,1,22K根据统计有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为分钟，则基本事件满足的区域为，如图所示设事件为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为由几何概型，得，即乙比甲先解答完的概率为（3）由题可知在选择做几何题的8条女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有种；恰有一人被抽到有；两人都被抽到有种．可能取值为0,1,2，，， 的分布列为所以． 考点：独立性检验，几何概型，古典概型，随机变量分布列与数学期望． 20．（1）；（2）定值，为．【解析】试题分析：第（1）小题设计求椭圆方程，属于比较简单；第（2）小题设计为探索型陈述问题，增强逻辑思维能力的考查，难度较大．联立直线l 的方程与椭圆方程，得出点P 、Q 的()250221288505.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯∴,x y 5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩A x y >∴()11112228P A ⨯⨯==⨯182828C =2615C =112612C C ⋅=221C =X ∴()15028P X ==()1231287P X ===()1228P X ==X ()012287282E x =⨯+⨯+⨯=坐标关系，利用三点共线，分别可以求出点M、N的坐标，代入并结合韦达定理化简可得结果．试题解析：（1）由题意得解得故椭圆的方程为．（2）设，，直线的方程为，由得．∴，，由，，三点共线可知，，所以；同理可得所以．因为，所以．考点：椭圆，直线与椭圆的位置关系．【思路点睛】本题以直线与椭圆的位置关系为载体，重点考查运用坐标法来研究椭圆的相关性质．在解决问题中以下几点值得我们回味与重视．（1）把直线的方程设为，这样的好处在于避免对斜率的存在与否予以分类讨论．（2）利用两个“三点共线”，可以清楚得出点M 、N 的坐标，这也是简化运算的策略之一． （3）本题最大的解题困难在于学生的字母运算能力不过关，需要多练，多领悟． 21．（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）4；（3）存在正数满足条件． 【解析】试题分析：本题考查考查导数的应用，（1）求函数的单调区间，就是求出导函数，然后解不等式（或）得单调增区间（或减区间）；（2）不等式恒成立问题，化简不等式为，为此设，求它的最小值，由最小值大于0得的范围，由，在时，，因此要分类，或，时易得单调性，时，得，问题转化为时求的最大值，最终可得结果；（3）探索性问题，假设存在，不等式转化为，为此只需找到当时，函数的最小值满足即可．试题解析：（1）易得，函数定义域为，且当时，即在区间上是增函数，当时，，即即在区间上是减函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由变形，得整理得，令，()1,0-()0,+∞0x '()f x '()0f x >'()0f x <()311f x x k x ⎛⎫-+>- ⎪⎝⎭ln 30x x x kx k +-+>()ln 3g x x x x kx k =+-+k '()ln 2g x x k =+-1x >ln 0x >2k ≤2k >2k ≤2k >22()()3k k g x g ek e --==-极小230k k e -->k ()02012f x a ex <-02001102x x a x e ++-<0x >()21102x a x h x x e+=+-<()min h x ()min 0h x <()1,-+∞()'1111xf x x x -=-=∴++()1,0x ∈-()'0fx >()f x ()1,0-()0,+∞()'0f x <()f x ()0,+∞()f x ∴()1,0-()0,+∞()311f x x k x ⎛⎫-+>-⎪⎝⎭()3ln 11x x x k x ⎛⎫--+>- ⎪⎝⎭ln 30x x x kx k +-+>()()'ln 3,ln 2g x x x x kx k g x x k =+-+∴=+-1ln 0x x >∴>若时，恒成立，即在区间上递增，由又的最大值为2．若由，由，即在上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上有最小值，为 于是转化为恒成立，求的最大值令，当时，单调递减当时，单调递增．在处取得最大值．，，的最大值为4．（3）假设存在这样的满足题意，则由 要找一个使式成立，只需找到当时，函数的最小值满足即可．，令，取在时，，在时，下面只需证明：在时，成立即可 又令 则在时为增函数． 符合条件，2k ≤()'0g x >()g x ()1,+∞()1110,120222g k k k >∴+>∴>-∴-<≤k Z k ∈∴2k >2ln 20k x k x e -+->∴>2ln 201k x k x e -+-<∴<<()g x ()21,k e -()2,k e-+∞()g x ()1,+∞()223k k g e k e --=-()2302k k e k -->>k ()()2'233x x h x x eh x e --=-∴=-2ln3x >+()()'0,h x h x <22ln3x <<+()()'0,h x h x >()h x ∴2ln3x =+1ln3232ln34<<∴<+<()()1130,2ln 333ln 30h h e=->+=+>()()234120,5150h e h e =->=-<4,k k ∴≤∴0x ()()0022000111022f x x x a a ex x e+<-⇔+-<*∴00x >()*0x >()21102x a x h x x e+=+-<()min h x ()min 0h x <()'1xh x x a e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()'10ln x h x e x a a=∴=∴=-0ln x a =-00x x <<()'0h x <0x x >()()()()()2'0min 0ln ln ln 12a h x h x h x h a a a a a >∴==-=-+-01a <<()2ln ln 102a a a a a -+-<()()()2ln ln 1,0,12a p a a a a a a =-+-∈()()()2'1ln 0,2p a a p a =>∴()0,1a ∈()()010,ln p a p x a ∴<=∴=-即存在正数满足条件．考点：导数与单调性，函数的极值，不等式恒成立问题，探索性问题．【名题点睛】1．导数法求函数单调区间的一般流程:求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性．2．不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，要注意的是求最大值还是求最小值，比较难的问题是求出最小值后，还要再用导数研究此值的单调性，判断其正负等等． 22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】试题分析：本题考查弦切角定理，考查圆的性质，由，而，故，再由，所以为直径，易得结论；（2）实质上垂径定理知垂直平分（设与的交点为），则，在中可得，从而可得，是是外接圆直径． 试题解析：（1）连接，交于点由弦切角定理得，，而，故 又因为，所以为直径，所以，由勾股定理可得； （2）由（1）知，，故是的中垂线，所以 设的中点为，连接，则，从而 所以，故外接圆的半径等于． 考点：弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质． 23．（1）详见解析；（2）详见解析.x 2ABE BCE ∠=∠ABE CBE ∠=∠,CBE BCE BE CE ∠=∠=DB BE ⊥DE DE BC BC DEG 2BG =Rt BOG ∆60BOG ∠=︒CF BF ⊥BC BCF ∆DE BCG ABE BCE ∠=∠ABE CBE ∠=∠,CBE BCE BE CE ∠=∠=DB BE ⊥DE 90DCE ∠=︒DB DC =,CDE BDE DB DC ∠=∠=DGBC 2BG =DE O BO 60BOG ∠=︒30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒CF BF ⊥RtBCF 2【解析】试题分析：（1）由关系式可化极坐标方程为直角坐标方程，消去参数，可化参数方程为普通方程；（2）关键是求得，题中直线的参数方程是过点的标准参数方程，点的参数具有几何意义，，因此直接把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，，再结合已知可求得．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为（2）直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，得，设点分别对应参数恰为上述方程的根则，由题设得由得则有．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，直线参数方程的应用．24．（1）；（2）． 【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式，主要是分类讨论，分类标准由绝对值的定义确定；（2）不等式对任意的恒成立，即的最小值满足，由（1）的讨论，可得．513x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{}|31a a -≤≤()1f x a ≥+x R ∈()f x ()1f x a ≥+最小值()(1)f x f =最小值试题解析：（1），当时，由，此时无解当时，由当时，由 综上，所求不等式的解集为（2）由（1）的函数解析式可以看出函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在处取得最小值，最小值为，不等式，对任意的恒成立即，解得故的取值范围为．考点：解绝对值不等式，不等式恒成立问题，函数的最值． ()31,13,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩1x ≤-3141x x -+<∴>-11x -<≤34,111x x x -+<∴>-∴-<<1x >55314133x x x -<∴<∴<<513x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x (),1-∞()1,+∞()f x 1x =()12f =()1f x a ≥+x R ∈12a ⇔+≤212a -≤+≤31a -≤≤a {}|31a a -≤≤。

河北省衡水中学2021届高三数学上学期七调考试试题 理本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前,先将自己的姓名,考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在试题卷,草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频．第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数2izi=+，若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 的虚部为（ )A ．35- B ．35 C ．45-D ．452．已知集合2{},|1xA y y x R ==+∈，()ln 6*{}B x y x x N ==-∈,，集合C A B =⋂．则集合C 的子集的个数为（ ) A ．4B ．8C ．16D ．323．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，随机变量Y 服从正态分布()1,1N ，且()10.1587P X >=，则()12P Y <<=（ )A ．0。

1587B ．0.3413C ．0。

8413D ．0.6587 4．已知正项等比数列{}na 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1S ，2S ,32S-成等差数列，则4a =（ )A ．8B ．18C ．16D ．1165．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图,正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是( ）A ．36B ．32C ．28D ．246．函数1()sin ||f x x x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[),0,]0(ππ-⋃的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的10N =．那么输出的S =( )A ．11112310++++B 111.12!3!10!++++C ．11112311++++D ．11112!3!11!++++ 8．已知点()3,2M --,抛物线24x y =,F 为抛物线的焦点,l 为抛物线的准线．P 为抛物线上一点，过P 作PQ l ⊥，点Q 为垂足，过P 作FQ的垂线1l ，1l 与l 交于点R ，则QR MR +的最小值为（ ）A ．113+B 13C 10D ．329．设实数x ，y满足不等式组40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,若z ax y =+的最大值为1，则a =（ ）A ．14-B ．14C ．2D ．2-10．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用．今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ．这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U ．其计算式子为212121111U kcqR R x x R x R x =+-⎛⎫⎪⎝-+-+⎭-，其中，kc 为静电常量,1x ，2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移．已知12121x x R x xR R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，1111x R xR R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -11．已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b -=>>0）的左，右焦点分别为1F ,2F ，过1F 的直线MN 与C 的左支交于M ,N 两点，若()21210F F F M MF +⋅=，22||2F N F M=,则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =12．若{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，()sin cos f x x x =+,()sin cos g x x x =-，()()min{,()}h x f g x x =,关于函数()h x 的以下结论： ①T π=；②对称轴方程为212k x π+=,k Z ∈; ③值域为⎡⎤⎣⎦；①在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．其中所有正确结论的序号是( ）A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量()1,2a =-，()3,4b =，若向量c 与a 共线，且c 在b 方向上c =__________．14．国际高峰论坛组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为__________． 15．设数列{}na 的前n 项和为nS ．若11a=,535S =．且11(2*11n n n S S S n n N n n n -+=+≥∈-+且），则12231011111a a a a a a +++值为__________．16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1．以顶点A 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ,B ，C所对的边分别是a ,b ，c ，且cos sin b c a B B+=．（1）求角A ；(2）若a =求ABC △的面积的最大值．18．(本小题满分12分〉）如图①,平行四边形PBCD 中，A 为PD 的中点,2PD =,PB =45P ∠=︒，连接AB ，将PAB △沿AB 折起，得到四棱锥P ABCD -，如图②，点E 在线段PA 上,若//PC 平面BDE ．（1）求证:2PE AE =；（2）若二面角P AB C --的平面角为60︒，求平面PBC 与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为27其中一条渐近线的倾斜角为θ,且tan θ=32．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ．(1）求椭圆E 的方程；(2）设点A 是椭圆E 的左顶点,P ,Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点,若直线AP 、AQ 的斜率之积为14-，问直线PQ 是否恒过定点？若恒过定点,求出该点坐标；若不恒过定点．说明理由．20．（本小题满分12分)已知函数()2ln f x xmx m x =--，其中0m >．（1）若1m =．求函数()f x 的极值;（2）设()()g x f x mx =+．若1()g x x>在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分）中国女排，曾经十度成为世界冠军．铸就了响彻中华的女排精神．女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧；顽强拼搏,同甘共苦，团结我斗,刻苦钻研，勇攀高峰．女排精神对各行各业的劳动者起到了激励，感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞．（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄"的年度主题活动，一段时间后,学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2,3，4，5…)具有线性相关关系,请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员，B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时,传给B 队员的概率为12,传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时,传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13;每当球由C 队员控制时,传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13，记na ，nb ，nc 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员，B 队员,C 队员控制的概率．（i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求()E X ； （ⅱ）若112233nn n ab c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+,2n ≥，*n N ∈． 证明：数列25,na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小．附1:回归方程y bx a =+中,斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()(())nni iiii i nniii i x y nx y x x y b xn y x x x ====-⋅-==---∑∑∑∑，a y bx =-．附2：参考数据：515180i ii x y==∑，522222211234555ii x==++++=∑．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程cos ,3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩(为φ为参数)．圆2C 的方程为()2211x y -+=，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，且取相等的长度单位建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥．（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）当002πθ<<时,若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M 、N 两点，且2ON OM =,求2MC N △的面积．23．（本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数()f x x a x b c =++-+，其中0a >，0b >，0c > (1）当1a b c ===时，求不等式()4f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为3．求证：2223b c a a b c ++≥．参考答案及解析一、选择题1．C 【解析】∵12z i=+,且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,∴22zi=-＋．则122(2)(2)342(2)(2)55zi i i i zi i i ++--===---+-+--．∴12z z 的虚部为45-．故选C ．2．C 【解析】∵集合{}21,{}1xA y y x R y y ==+∈=>，()ln 6*,}{B x y x x N ==-∈{}60,*1,2,3,4|5{},x x x N =->∈=,∴集合{}2,3,4,5C A B =⋂=，则集合C 的子集的个数为4216=．故选C ．3．B 【解析】由已知得()()10.15872P X P Y >==>，∴()()2120.8413P Y P y <=->=． 又()()110.5P Y P Y ≥=≤=∴()()()12210.3413P Y P Y P Y <<=<-≤=． 故选B ．4．A 【解析】由题意设()10n naq q -=>．由已知得21322S S S =+-,所以()221112q q q +=+++-,即220q q --=．解得2q =或1q =-（舍),所以12n na-=故3428a==．故选A ．5．D 【解析】几何体是一个正四棱柱挖去14个圆柱的几何体．正四棱柱的底面边长为2．高为3，圆柱的底面半径为2．如图：几何体的表面积为()2112332221222222444ππ⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⎫⎪⎭⨯ =⎛⎝．故选D ．6．A 【解析】根据题意，1()sin ||f x x x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-⋃,有1()sin f x x x x ⎛⎫-=--- ⎪-⎝⎭1sin ||()x x f x x⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭,即函数()f x 为奇函数，排除D ，在区间()0,1上，10x x -<，sin 0x >．则有()0f x <,在区间()1,π上，10x x ->，sin ||0x >，则有()0f x >，排除B ，C ．故选A ．7．B 【解析】框图首先给累加变量S 和循环变量k 赋值，011S =+=,112k =+=；判断10k >不成立，执行112S =+，213k =+=；判断10k >不成立,执行111223S =++⨯，314k =+=； 判断10k >不成立，执行1111223234S =+++⨯⨯⨯,415k =+=；…， 判断10k >不成立，执11112!3!10!S =++++,10111k =+=． 判断10k >成立,输出11112!3!10!S =++++． 故选B ．8．D 【解析】因为PQ l ⊥，所以PF PQ =,又1FQ l ⊥，所以QR QF =,所以QR MR FR MR FM +=+≥，当M 、R 、F 三点共线时取等号．由抛物线的方程可得()0,1F ，()3,2M --, 所以[]22(3)1(2)32MF=-+--=．故选D ．9．C 【解析】作出实数x ，y 满足不等式组，40300x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如图:可知()1,3A -，()4,0B -，()0,0O ，当03a <≤或10a -≤<时，目标函数z ax y =+经过()1,3-时，取得最大值为1， 解得2a =；当3a >时，目标函数z ax y =+经过()0,0，取得最大值为1，无解;当1a <-时，目标函数z ax y =+经过()4,0-，取得最大值为1， 解得14a =-（舍去），当0a =时，目标函数z ax y =+取得最大值为3，不符合题意． 故2a =．故选C ．10．D 【解析】根据题意，212121111U kcqR R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111kcq x x x x R R R R ⎛⎫ ⎪=+-- ⎪- ⎪+++⎝⎭222212121122222(1111 )x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+--+-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22221212112222222132 () x x x x x x x x kcq RR R R R kcq x x R R R ⎡⎤--=-++---=-⎢⎥⎣⎦．故选D ．11．B 【解析】如图所示,设线段1MF 的中点为P ．则21222F F F M F P +=,∵2121()0F F F M MF +⋅=∴2120F P FM ⋅=．∴21F P FM ⊥，∴221||||2F M F F c ==，双曲线的定义可知：12||222MFMF a c a =-=-．又22||2||4F N F M c ==，由双曲线的定义可知1224||2F N F N a c a =-=-．在等腰12MF F △中，12cos 2c aF MFc-∠=；又在2MNF △中，64MN c a =-,2222(64)4(4)cos 2(64)2c a c c NMF c a c-+-∠=-⋅，∵122cos cos F MFNMF ∠=∠，∴222(64)4(4)22(64)2c a c a c c c c a c--+-=-⋅，整理得:()()22372032cac a c a c a -+==--∵在双曲线中c a >，∴2c a =．∴224ca =，又∵222c a b =+，∴223b a =，b a =∴C的渐近线方程为b y x a=±=，故选B ．12．D 【解析】当()()f x g x ≤时，sin cos sin cos x x x x +≤-，即cos 0x ≤，所以32,222x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈; 当()()f x g x >时,sin cos sin cos x x x x +>-,即cos 0x >．所以2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++⎪⎝⎭，k Z ∈． 所以()()(){,}min h x f x g x ==3()sin cos ,2,222()sin cos ,2,222f x x x x k k g x x x x k k ππππππππ⎧⎡⎤=+∈++⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎛⎫⎪=-∈-++ ⎪⎪⎝⎭⎩k Z ∈．①当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时,()sin cos h x x x =+, 此时352,222x k k πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭， ()()()sin cos sin cos h x x x x x πππ+=+-+=-+, ()()h x h x π≠+，故①错误；②当032,222xk k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭时,x 关于212k x π+=的对称点0(21)2,222k xk k πππππ⎛⎫+-∈-++ ⎪⎝⎭，000sin c ()os h x x x =+,()[]()00021sin 2121()k x k x cox k h x πππ+-=+--+-⎡⎤⎣⎦0000()sin cos sin cos x x x x =--=+，所以()()021()h x h k x π=+-． 同理当02,222xk k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭时，()()0021()h k x x h π+-=也成立，故②正确； ③当32,222x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭时,()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，372,2444x k k πππππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，2sin 1,42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,()2sin 2,14h x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭．当2,222x k k ππππ⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，32,4244k k x πππππ⎛⎫-++ ⎪⎝-⎭∈，2sin 1,42x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()2sin 2,14h x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭．所以()f x 的值域为2,1⎡⎤-⎣⎦，故③正确；④当35,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，353,2,24422k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⊆++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 此时()sin cos 2sin 4h x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，3,42x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，易知sin y x =在3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减,所以()h x 在区间35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．故④正确, 故正确的是②③④．故选D ．二、填空题13．5 【解析】向量()1,2a =-，向量c 与a 共线,设(),2c λλ=-,由()3,4b =，所以c 在b方向上的投影为｜38cos 5||c bc b λλθ⋅-+===解得λ=(5,2c =-所以||(5)5c =-=．14．198 【解析】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类:①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有231633108C C A =种不同的提问方式;②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有21263290C C A =种不同的提问方式．综上,共有10890198+=种不同的提问方式．15．1031【解析】数列{}na 的前n 项和为nS ，且112(211nn n S S Sn n n n -+=+≥-+且*n N ∈）． 则数列nS n⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．设公差为d ．51(51)651S Sd -=-=，解得32d =，所以3311(1)222nS n n n =+-=-，故23122n S n n=-，故2213131(1)(1)322222nn n aS S n n n n n -=-=---+-=-， 11a =也适合此式．所以32nan =-，()131231n an n +=+-=+，所以111111(32)(31)33231n n a an n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭；则1223101111111111342831a aa a a a ⎛⎫+++=-++- ⎪⎝⎭1110133131⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．16．536π【解析】如图球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类： 一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA B B 、面ABCD 和面11AA D D上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AA B B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上， 因为23AE =11AA =，则16A AE π∠=，同理6BAF π∠=，所以6EAF π∠=，故弧EF 2336π=,而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上， 此时，小圆的圆心为B ,32FBG π∠=，所以弧FG 332π=,这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=三、解答题17．解：（1）由题意及正弦定理得sin sin sin cos sin A C A B A B +=,∵A B C π++=，∴sin si ()n C A B =＋，sin cos si n s n sin()in A B A BB A B +=++，化简得sin cos 1)0B A A --=∵sin 0B >cos 10A A --=，∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0A π<<，3A π=．(2)∵a =∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得2211222b c bc +-=，2212bc b c =+-，∴2212212bc bc bc =+-≥-（当且仅当b c =时，取等号），∴12bc ≤，∴1sin 2ABCSbc A ∆==≤∴ABC △的面积的最大值为．18．解：（1)连接AC 交BD 于F ．连接EF ,因为//PC 平面BDE ，PC ⊂平面PAC ．平面BDE ⋂平面PAC EF =，所以//EF PC ,所以AE AFPE FC=， 又因为//AD BC ，且12AD BC =．所以12AF AD FC BC ==,所以12AE PE =,故2PE AE =．（2)取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作//OG AB 交BC 于G ，由图（1)得：AB AD ⊥，AB AP ⊥，所以PAD ∠就是二面角P AB C --的平面角, 所以60PAD ∠=︒ 又因为1AD AP ==，所以PAD △为等边三角形,所以OP AD ⊥ 又AD AP A ⋂=,所以AB ⊥平面PAD ， 因为//OG AB ，所以OG ⊥平面PAD 所以OP ,OD ，OG 两两互相垂直，以OG 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则11,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,,02D ⎛⎫⎪⎝⎭,3P ⎛ ⎝⎭．131,,2PB ⎛=- ⎝⎭，(0,2,0)BC =，130,,2PD ⎛= ⎝⎭，(1,1,0)DC =．设平面PBC 的一个法向量为111,(),m x y z =,则0m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以11111302220x y z y ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1x=(3,0,2)m =．设平面PCD 的一个法向量为222,(),n x y z =则00n PD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以22221020y z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 令21x=，得1,1,3n ⎛=-- ⎝⎭，设平面PBC 与平面PCD 所成的锐二面角为θ．1cos 7||||m n m n θ⋅==．19．解：(1）双曲线22221x y a b -=的焦距2c =则c =227ab +=，①渐近线方程b y x a=±，由题知tan 2ba θ==，②由①②解得24a =，23b=，∴椭圆E的方程为22143x y +=．（2）在（1)的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+,由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：222()3484120kx kmx m ++-=+，设11(),P x y ,22(),Q x y ，则122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+,又()2,0A -，由题知12121224AP BQ y y k k x x ⋅=⋅=-++，则1212224()(0)x xy y +++=，且1x ，22x≠-，则12121224()()()4x xx x kx m kx m ⋅++++++()2212121424(4()4)k x x km x x m =++++++22222(14)(412)8(24)443434k m km km m k k+--=++++++0=, 则2220mkm k --=，∴()()20m k m k -+=，∴2m k =或m k =-．当2m k =时，直线PQ 的方程为()22y kx k k x =+=+， 此时直线PQ 过定点()2,0-，显然不适合题意， 当m k =-时，直线PQ 的方程为()1y kx k k x =-=-． 此时直线PQ 过定点()1,0．当直线PQ 的斜率不存在时，若直线PQ 过定点()1,0，P ，Q 点的坐标分别为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．满足14AP AQ kk ⋅=-． 综上，直线PQ 过定点()1,0．20．解：（1）当1m =时,()2ln f x xx x =--,,()0x ∈+∞，∴2121()21x x f x x x x--'=--=(1)(21)x x x-+=∴当()0,1x ∈时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>．函数()f x 单调递增， ∴函数()f x 的极小值为()10f =．无极大值．(2）()2ln g x xm x =-，若1()g x x>在(1,)+∞上恒成立，即21ln 0xm x x-->在()1,+∞上恒成立， 构造函数21()ln G x x m x x=--，1x >则322121()2m x mx G x x x x x -+'=-+=，令()321H x xmx =-+,1x >， ∴()26H x xm '=-，（i ）若6m ≤，可知()0H x '>恒成立，∴()H x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()13H x H m >=-，①当30m -≥．即03m <≤时，()0H x >在()1,+∞上恒成立， 即()0G x '>在()1,+∞上恒成立,∴()()10G x G >=在()1,+∞上恒成立， ∴03m ≤≤满足条件．②当30m -≤，即36m ≤≤时， ∵()130H m =-<，()21720H m =->,∴存在唯一的()01,2x ∈．使得0()0H x =，当0()1,x x ∈时，()0H x <．即()0G x '<，∴()G x 在()01,x 上单调递减，∴()()10G x G <=,这与()0G x >矛盾，（ⅱ）若6m >．由()0H x '=，可得1x=,2x =易知()H x 在⎛ ⎝上单调递减，∴()()130H x H m <=-<在⎛ ⎝上恒成立，即()0G x '<在⎛ ⎝恒成立，∴()G x 在⎛ ⎝上单调递减,∴()()10G x G <=在⎛ ⎝上恒成立，这与()0G x >矛盾．综上所求,实数m 的取值范围为(]0,3．21．解:（1）设线性回归方程为：ˆy bxa =+ 由已知可得:1234535x ++++==，6405404203002004205y ++++==，∴5152221551805342011255535i ii ii x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆ4201123756a y bx=-=+⨯=, ∴线性回归方程为：112756y x =-+,令11275610x -+<,可得7466.7112x >≈， 又x N ∈．故7x ≥．故可以预测从第7月份开始该大学体重超标人数降至10人以下．（2）（i ）X 的可能取值为0，1，2，1211(0)2326P X ==⨯⨯=，121112111211(1)2322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，1211112(2)2322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=,∴111219.()012618918E X =⨯+⨯+⨯=．（ii ）∵111123n n n b a c --=+，11123n n n c a b -=+，∴1111133n n n n n b c a b c ---+=++，∴112233n n n a b c --=+，∴1132n n n b c a --+=，∴132n n n bc a ++=， ∴113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+，∴11122122223333n n n n n n a a a a a a a a +---+=+=+==+，∵10a =，21212223233a =⨯+⨯=，∴12233n n aa ++=，即1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴25na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以25-为首项，以23-为公比的等比数列．故199200222553a ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1991992002222221553535a⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅-=-->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22．解：(1)由曲线1C 的参数方程为cos sin 3x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数), 消去参数φ，可得曲线1C 的普通方程为：22113y x +=,又cos x ρθ=，sin yρθ=． 代入可得2222cos 3sin 1ρθρθ+=，∴曲线1C 的极坐标方程为：ρ=由圆2C 的方程为()2211x y -+=，得2220x y x +-=，∴22cos 0ρρθ-=，得曲线C 2的极坐标方程:2cos ρθ=．（2)∵2ON OM =﹐∴224NMρρ=，即22214cos 4cos 3sin θθθ=+，整理得422cos 3cos 10θθ-+=,且002πθ<<，解得21cos2θ=，cos θ=，sin θ=点2C ：到l 的距离2||sin 122h OC θ=⋅=⨯=．∴2MC N △的面积为：211||()22NC MN M SNM h h ρρ=⨯⨯=⨯-⨯△112cos 24h θ⎛⎫=⨯= ⎝．23．解：（1）当1a b c ===时,不等式()4f x >化为1114x x ++-+>, 即113x x ++->．当1x ≥时，化为113x x ++->．解得32x >；当11x -<<时，化为()113x x +-->，此时无解; 当1x ≤-时，化为()()113x x -+-->．解得32x <-．综上可得，不等式()4f x >的解集为:33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）∵0a >,0b >，0c >，∴由绝对值不等式得()()()3f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=．由基本不等式得：22b a b a +≥=，22c b c b +≥=,22a c a c +≥=， 当且仅当1a b c ===时，上面三式等号成立．三式相加得：222222b c a a b c a b c a b c +++++≥++, 整理即得2223b c a a b c a b c ++≥++=．故2223b c a a b c ++≥．。

2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A ．20 B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r 36x y+=-，()34x λ=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ+++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A B C ．4D 【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。

河北省衡水中学2021届高三数学下学期七调试题 理（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合{}{}10,1A x R x B x Z x =∈+>=∈≤，则A B =（）A. {}01x x ≤≤ B. {}11x x -<≤C. {}0,1D. {}1【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A ，B ，由此利用交集定义能求出A ∩B ． 【详解】∵集合{}10A x R x =∈+>＝{}1A x x =>-，{}1B x Z x =∈≤＝{1，0，-1，-2，… }，∴{}0,1A B ⋂=． 故选C ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，注意条件x Z ∈，属于易错题．2.复数1122ii ++的虚部为（ ） A. 110 B. 110-C.310D. 310-【答案】A 【解析】 分析】 化简复数111122510i i i +=++，结合复数的概念，即可求解复数的虚部，得到答案，. 【详解】由题意，复数()()1121112212122510i i i i i i i -+=+=+++-， 所以复数1122ii ++的虚部为110.故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.有一散点图如图所示，在5个(,)x y 数据中去掉(3,10)D 后，下列说法正确的是（ ）A. 残差平方和变小B. 相关系数r变小C. 相关指数2R变小 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变弱【答案】A【解析】【分析】由散点图可知，去掉(3,10)D后，y与x的线性相关性加强，由相关系数r，相关指数2R及残差平方和与相关性的关系得出选项.【详解】∵从散点图可分析得出：只有D点偏离直线远，去掉D点，变量x与变量y的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小，故选A.【点睛】该题考查的是有关三点图的问题，涉及到的知识点有利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况，属于简单题目.4.已知双曲线22:1124x yC-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,P Q．若POQ∆为直角三角形，则PQ=（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，4OF =，∴OP =POQ 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，OP =∴6PQ ==. 故选C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.5.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A. 12E E ξξ<，12D D ξξ< B. 12E E ξξ=，12D D ξξ> C. 12E E ξξ=，12D D ξξ< D. 12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=， 故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=.()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.6.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和B. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和C. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和D. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2021，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选A．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.如图1，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N，Q分别是线段AD1，B1C，C1D1上的动点，当三棱锥Q-BMN的正视图如图2所示时，三棱锥俯视图的面积为A. 2B. 1C.32 D.52【答案】C 【解析】 【分析】判断俯视图的形状，利用三视图数据求解俯视图的面积即可．【详解】由正视图可知：M 是1AD 的中点，N 在1B 处，Q 在11C D 的中点， 俯视图如图所示：可得其面积为：1113222111122222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故选C ． 【点睛】本题主要考查三视图求解几何体的面积与体积，判断它的形状是解题的关键，属于中档题.8.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足3AOBS=，则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为( )A. 513-B. 1213-C.1213D.513【答案】C 【解析】 【分析】由AOBS，可得()sin αβ-=，结合β的范围可得3παβ-=，化简1sinsin cos 2222αααβ⎫-+=⎪⎭，利用点B 的坐标即可得解.【详解】由()1sin 24AOBSOA OB αβ=-=，得()sin 2αβ-=. 根据题意可知125B(,1313-)，所以512sin ,cos 1313ββ=-=， 可知06πβ-<<，203παβ<-<.所以3παβ-=.11112sinsin sin sin sin cos 222222636213cos ααααππππααβββ-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=+=++=+==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选C.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义及二倍角公式和诱导公式，属于中档题.9.已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A. 35,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 35,22⎛⎤⎥⎝⎦C. 725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 725,26⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】f （x ）=2sin （ωx﹣3π），作出f （x ）的函数图象如图所示：令2sin （ωx﹣3π）=﹣1得ωx﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx﹣3π=76π+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω，k∈Z，设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =322ππωω+，x B =46ππωω+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ， 即322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ．【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题． 10.已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ） A. 14,19⎛⎫⎪⎝⎭B. 14,09⎛⎫⎪⎝⎭C. 14,027⎛⎫⎪⎝⎭D. 14,127⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.【详解】设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344AB yy y y k y y x x y y --====-+-，得1243y y +=， 同理234263y y +==，31422y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214y x ==，233449y x ==，则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），则下列结论正确的个数为（ ）①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得//DM 平面1BC D ；③若1A DM 的面积为S ，则23233S ⎛∈ ⎝；④若1S 、2S 分别是1A DM 在平面1111D C B A 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S .A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】平面1A DM 与平面11A B CD 为同一平面,证明1B C ⊥平面11A B CD 即可判断①；由证明平面1//A BD 平面11B D C 判断②；连接1AD 交1A D 于点O ,当1OM AC ⊥时可得1AD OM ⊥,利用相似可得111OM OAC D AC =,进而求得1A DM 的最小面积,即可判断③；分别判断点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 、2S 的范围,进而判断④. 【详解】连接1B C ,1BC ,设平面11A B CD 与对角线1AC 交于M ,由11B C BC ⊥,1DC BC ⊥可得1B C ⊥平面11A B CD ,即1B C ⊥平面1A DM ,所以存在点M ,使得平面1A DM ⊥平面1BC D ,所以①正确；连接BD ,11B D ,由11//BD B D ,11//A D B C ,利用平面与平面平行的判定,可证得平面1//A BD 平面11B D C ,设平面1A BD 与1AC 交于M ,可得//DM 平面11B D C ,所以②正确；连接1AD 交1A D 于点O ,过O 点作1OM AC ⊥,在正方体1111ABCD A B C D -中,1AD ⊥平面11ABC D ,所以1AD OM ⊥,所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线,根据11AOM AC D ∽,所以111OM OAC D AC =,即11122623OA C D OM AC ⋅⨯===,所以1A DM 的最小面积为11116232222A DMSA D OM =⨯⨯=⨯=所以若1A DM 的面积为S ,则333S ⎡∈⎢⎣,所以③不正确； 在点M 从1AC 的中点向着点A 运动的过程中,1S 从1减少趋向于0,即1(0,1)S ∈,2S 从0增大到趋向于2,即2(0,2)S ∈,在此过程中,必存在某个点M 使得12S S ,所以④是正确的,综上可得①②④是正确的, 故选:C【点睛】本题考查面面垂直的判断,考查线面垂直的判断,考查空间中线面关系的判断,考查空间想象能力.12.已知函数2()ln 2,()ln x xe f x xe x x g x x x x-=---=+-的最小值分别为,a b ，则（ ） A. a b = B. a b <C. a b >D. ,a b 的大小关系不确定【答案】A 【解析】 【分析】分别对()f x ，()g x 求导，求出其最小值,a b ，可得其大小关系.【详解】由题意得：2'11(1)(1)()1x x x xxxe x e x x xe f x e xe x x x+--+-=+--==， 易得0,10x x >+>，设'()0f x =，可得10x xe -=，可得1xe x=，由xy e =与1y x =图像可知存在0(0,1)x ∈，使得01x e x =，可得当0(0,)x x ∈，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞，'()0f x >，可得()f x 得最小值为0()f x ，即000001()ln 21x a f x x e x x -==⋅---=-； 同理：2222'2221(1)(1)(1)()()1x x x x xe e e x x x x e x g x x x x x------+---=+-==， 设'()0g x =，可得1x =或者2x e x -=，由2x y e -=与y x =得图像可知，存在1(0,1)x ∈，使得121x ex -=，可得当1(,)x x x ∈时，'()0g x <，当1(,1)x x ∈时，'()0g x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，可得1()g x 即为()g x 得最小值，可得1112211112()ln 121x x x e b g x e x x x e---==+-=+--=-，故1a b ==-，故选：A.【点睛】本题主要考查利用导数求函数得最值，综合性大，属于难题. 二、填空题（共4题，每题5分）13.已知二项式2nx ⎛ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，则3x 的系数为__________. 【答案】240 【解析】 【分析】先由题意利用二项式系数的性质求得n 的值，可得通项公式，在通项公式中，令x 的幂指数等于3，求得r 的值，可得3x 的系数.【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为1(2)rrn r r n T C x -+⎛= ⎝，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5， 可得：12:2:5n n C C =，解得：6n =.所以1(2)rr n r r n T C x -+⎛= ⎝366262(1)r r r r C x --=-，令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为262262(1)240C --=，故选C.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有二项式系数，二项展开式的通项公式，展开式中特定项的系数，属于简单题目.14.数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(]0-∞，上函数单调递减；乙：在[)0+∞，上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称；丁：()0f 不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为____说的是错误的． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据四位同学的回答，不妨假设其中的任何三个同学回答正确，然后推出另一位同学的回答是否正确来分析，体现了反证法的思想. 【详解】如果甲、乙两个同学回答正确，因为在[)0+∞，上函数单调递增， 所以丙说：在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称是错误的，此时()0f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与四个同学中恰好有三个人说的正确矛盾，所以应该是甲、乙两个同学有一个回答错误，此时丙正确，则乙就是错误的. 故答案为乙.【点睛】本题利用函数的性质考查逻辑推理能力和反证法思想，考查数形结合思想的运用. 15.已知ABC ∆的一内角3A π=，10AB =，6AC =，O 为ABC ∆所在平面上一点，满足OA OB OC ==，设AO mAB nAC +=，则3m n +的值为__________.【答案】45【解析】 【分析】由OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心，根据向量数量积可得AO AB AO AC ⋅⋅、的值，代入AO mAB nAC =+可的m 、n 的方程组，即可求得m 、n 的值，进而求得3m n +的值．【详解】因为OA OB OC ==可知O 为三角形ABC 的外心 所以1cos 502AO AB AB AO BAO AB AB ⋅=∠=⨯= 1cos 182AO AC AC AO CAO AC AC ⋅=∠=⨯=而AO mAB nAC =+，且1cos1063032AB AC AB AC π⋅==⨯⨯= 即()()5018AO AB mAB nAC AB AO AC mAB nAC AC ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩化简得1003050303618m n m n +=⎧⎨+=⎩解得71519m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以714331595m n +=+⨯= 【点睛】本题考查了向量线性运算及向量数量积的应用，关键是找到各向量间的关系，属于难题．16.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若2A B =，则2c bb a+的取值范围为__________． 【答案】()2,4【解析】 由正弦定理可知．()sin 2sin 2sin 2sin sin cos 2sin cos sin sin sin sin sin sin A B c b C B B A B BA b aB A B A B A++=+=+=++，又2A B=，则22sin cos sin 2cos 2sin cos 2cos sin sin sin A B B B B BBB B B===，2sin 2sin 1sin sin 2cos B B A B B ==，从而2214cos 1cos c b B b a B+=-+，又2A B =，知3πA B B +=<，所以π03B <<，则1cos 12B <<，换元可令cos t B =，则2211min max 2212141|2,41|4t t c b c b t t a a t a a t ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-=+<+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本题应填()2,4．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.（1）若1a -，212a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由. 【答案】（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知求得a 2，a 4，再由-a 1，21a 2，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a ，求解p 值，验证得答案．【详解】（Ⅰ）由a 1=2，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p2a 2=，则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．由1a -，21a 2，a 4成等差数列，得a 2=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }等比数列，则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则2p=p+2，即p=2． 此时121122pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =，而21a 2a 42==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以2为首项，以2为公比的等比数列． 【点睛】本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题． 18.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A CD F --为60︒，//DE CF ，CD DE ⊥，2AD =，3DE DC ==，6CF =.（1）求证：//BF 平面ADE ； （2）G 为线段CF 上的点，当14CG CF =时，求二面角B EG D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）14. 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD 是矩形，得到//BC AD ，根据线面平行的判定定理得到//BC 平面ADE ，进而得到//CF 平面ADE ，利用面面平行的判定定理证得平面//BCF 平面ADF ，利用面面平行的性质得到//BF 平面ADE ，证得结果；（2）根据题意，证得平面CDEF ⊥平面ADE ，作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，建立空间直角坐标系O xyz -，写出相应点的坐标，利用空间向量求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是矩形，所以//BC AD ， 又因为BC ⊄平面ADE ，所以//BC 平面ADE ，因为//DE CF ，CF ⊄平面ADE ，所以//CF 平面ADE ， 又因为BCCF C =，所以平面//BCF 平面ADF ，而BF ⊂平面BCF ，所以//BF 平面ADE .（2）解：因为CD AD ⊥，CD DE ⊥，所以60ADE ∠=︒， 因为CD ⊥平面ADE ，故平面CDEF ⊥平面ADE ， 作AO DE ⊥于点O ，则AO ⊥平面CDEF ，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由2AD =，3DE =，60ADE ∠=︒，得1DO =，2EO =， 则(0,0,3)A ，(3,1,0)C -，(0,1,0)D -，(0,2,0)E ，所以3)OB OA AB OA DC =+=+=，由已知1(3,,0)2G ，所以(3,2,3)BE =--，10,,32BG ⎛= ⎝，设平面BEG 的一个法向量为(,,)m x y z =，则32301302m BE x y z m BG y z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取3x =，6y =，3z =3)m =，又平面DEG 的一个法向量为(0,0,1)n =，所以1cos ,||||4936m n m n m n ⋅<>===⋅+，即二面角B EG D --的余弦值为14.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面平行的判定和面面平行的性质，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题目.19.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程；（2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在满足条件的直线，斜率12k =-. 【解析】 【分析】（1）由题易知a 2=，因为120BF BF =，所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由此可求b ，即可得到椭圆的标准方程;（2）由（1）可得22b c =．222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y则()()1001,,,F P x c y F B c c =+=由题意得120BF BF =,即000x c y ++=，又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,联立可得41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-=，利用两点间的距离公式可得圆的半径r ．设直线的方程为：()k y x c =-．利用直线与圆相切的性质即可得出． 【详解】（1）易知a 2=，因为120BF BF =所以12BF F 为等腰三角形所以b=c ，由222a b c -=可知b 2=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（2）由已知得22b c =,222a c =设椭圆的标准方程为222212x y c c+=，P 的坐标为()00,x y因为()()1,0,0,F c B c -,所以()()1001,,,F P x c y F B c c =+= 由题意得120BF BF =,所以000x c y ++=又因为P 在椭圆上，所以22002212x y c c+=,由以上两式可得200340x cx +=因为P 不是椭圆的顶点，所以0041,33x c y c =-=，故41P ,33c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭设圆心为()11,x y ，则1122,33x c y c =-= 圆的半径r ==假设存在过2F 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为()k y x c =-r =,=即2202010k k +-=，解得12k =-±故存在满足条件的直线．【点睛】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、直线与圆相切问题、点到直线的距离公式、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人.3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局.根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图.（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立. ①按乙丙甲的先后顺序和按丙乙甲的先后顺序哪一种可使派出人员数目的数学期望更小. ②试猜想：该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小，不需要说明理由.【答案】（1）0.024a =；0.026b =；甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9；乙在1分钟内解开密码锁的频率是0.7（2）①按乙丙甲派出的顺序期望更小②先派出甲，再派乙，最后派丙 【解析】 【分析】（1）根据甲解开密码锁所需时间的中位数求得b ，根据频率求得a ，由此求得甲在1分钟内解开密码锁的频率.通过频率分布直方图求得乙在1分钟内解开密码锁的频率. （2）①分别求得两个不同顺序的方法对应的数学期望，由此求得期望更小的安排方法.②按照解锁概率大的人员排前面，期望值最小.通过计算前两位、后两位人员交换时，期望值的变化情况，来确定最优的排法.【详解】（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，∴0.0150.014550.0345b ⨯+⨯+⨯+⨯()0.0447450.5+⨯-=，解得0.026b =； ∴0.0430.032550.010100.5a ⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.024a =； ∴甲在1分钟内解开密码锁的频率是10.01100.9f =-⨯=甲；乙在1分钟内解开密码锁的频率是10.03550.02550.7f =-⨯-⨯=乙；（2）由（1）知，甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是10.9p =，20.7p =，30.5p =且各人是否解开密码锁相互独立；设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为()1E X ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为()2E X 则()121P X p ==，()()23112P X p p =-=，()()()231131p p P X =--=，()()()()21332223111E X p p p p p +-+--=232332p p p p =--+，∴()()1232323E X p p p p p =-++-， ①∴()()1232323 1.45E X p p p p p =-++-= 同理可求得()()2232333 1.65E X p p p p p =-++-= 所以按乙丙甲派出的顺序期望更小. ②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙， （下面是理由，给老师和学生参考）设按先后顺序自能完成任务的概率分别为1p ，2p ，3p ，且1p ，2p ，3p 互不相等， 根据题意知X 的取值为1，2，3；则()11P X p ==，()()1221P X p p ==-，()()()12131p P p X =--=，()()()()1221121311E X p p p p p +-+--=121232p p p p =--+，∴()()121213E p p p p p X =-++-，若交换前两个人的派出顺序，则变为()121223p p p p p -++-，由此可见，当12p p >时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁； 若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，∵交换前()()()121211123321p p p p p E p X p p =-++-=---， ∴交换后的派出顺序则期望值变为()113321p p p ---，当23p p >时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙， 这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查频率分布直方图频率、中位数有关计算，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题. 21.已知函数()()ln,02x bf x ax a b x =-+>，对任意0x >，都有()40f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ()1讨论()f x 的单调性；()2当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x在⎝⎭上单调递增.；(2) 104a << 【解析】 【分析】（1）根据()40f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得4b a =，得到()4ln 2x a f x ax x =-+，求导后，分别在0∆≤和>0∆两种情况下讨论导函数符号，得到单调性；（2）根据（1）中所求单调性，否定14a ≥的情况；在104a <<时，首先求得2x =为一个零点；再利用零点存在性定理求解出221,x a ⎛⎫ ⎪⎝⎭中存在一个零点0x ；根据()0040f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可确定另一个零点04x ，从而可知104a <<满足题意.【详解】（1）由()424ln ln 024x b a xb f x f ax x x x x ⎛⎫+=-++-+=⎪⎝⎭，得4b a = 则()4ln 2x a f x ax x =-+，()222144(0)a ax x af x a x x x x -+-'=--=>若21160a ∆=-≤时，即14a ≥时，()f x 在()0,∞+单调递减 若21160a ∆=->，即104a <<时，()24h x ax x a =-+-有两个零点零点为：10x =>，20x =>又()24h x ax x a =-+-开口向下当10x x <<时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减 当12x x x <<时，()0h x >，()0f x '>，()f x 单调递增 当2x x >时，()0h x <，()0f x '<，()f x 单调递减 综上所述，当14a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当104a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，()f x 在1122a a ⎛+ ⎪⎝⎭上单调递增（2）由（1）知当14a ≥时，()f x 单调递减，不可能有三个不同的零点；当104a <<时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递减，()f x 在()12,x x 上单调递增()22ln 2202f a a =-+=，又124x x =，有122x x <<()f x ()12,x x 上单调递增，()()120f x f <=，()()220f x f >=()4ln 2x af x ax x=-+23211ln24f a a a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭令()231ln24g a a a a =--+，()42222411221'122a a a g a a a a a-+=-++= 令()41221h a a a =-+，()3482h a a ='-单调递增由()34820h a a -'==，求得014a => 当104a <<时，()h a 单调递减，()131104642h a h ⎛⎫>=-+> ⎪⎝⎭()23211ln24f g a a a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增故()21113ln240416f g a g a ⎛⎫⎛⎫=<=-+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故210f a ⎛⎫<⎪⎝⎭，()20f x >，221x a > 由零点存在性定理知()f x 在区间221,x a ⎛⎫⎪⎝⎭有一个根，设为：0x 又()0040f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得040f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1040x x <<，04x 是()f x 的另一个零点故当104a <<时，()f x 存在三个不同的零点04x ，2，0x【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数研究函数零点的问题.解决零点个数问题的关键是能够选取合适的区间，利用零点存在性定理证得在区间内存在零点，从而使得零点个数满足题目要求；难点在于零点所在区间的选择上，属于难题.22.在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos 2sin x a ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数，0a >）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C上的一个动点，当a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 【答案】（1）（2）(0,. 【解析】 【分析】（1）将直线l 极坐标方程转化成直角坐标，设出P 点坐标，利用点到直线的距离公式及辅助角公式，根据余弦函数的性质，即可求得点P 到直线l 的距离的最大值；（2）由题意可知：t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>恒成立，利用辅助角公式，4<，即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos sin )2ρθρθ-=-,)x y -=-, ∴直线l 的方程为40x y -+=，依题意，设,2sin )P t t ， 则P 到直线l的距离d ==)6t π=+， 当26t k ππ+=，即26t k ππ=-，k Z ∈时，max d =，故点P 到直线l的距离的最大值为.（2）因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t R ∀∈，cos 2sin 40a t t -+>)40t ϕ++>（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<故a取值范围(0,.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，利用参数方程求曲线上的点到直线距离的最值，恒成立问题的转化，属于简单题目.23.已知a ，b ，c 均为正实数，求证： （1）()2()4a b ab cabc ++≥；（2）若3a b c ++=≤ 【答案】证明过程详见解析 【解析】 【分析】⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立123222a a+++≤=，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证()()24a b ab c abc++≥，可证222240a b ac ab bc abc+++-≥，需证()()2222b220a c ac a cb bc+-++-≥，即证()()220b ac a c b-+-≥，当且仅当a b c==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc++≥成立．(2)因,,a b c均为正实数，123222a a+++≤=，当且仅当12a+=时，取等号，123222b b+++≤=当且仅当12b+=时，取等号，123222c c+++≤=当且仅当12c+=时，取等号，62a b c d+++≤=≤1a b c===时，取等号．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．。

数学（理）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，时间120分钟.Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项.1. 集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U =R ，若UM N =∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 1a ≥ C. 1a < D. 1a ≤【答案】B 【解析】 【分析】求出集合M ，N 的等价条件，结合条件UM N =∅，建立不等式关系进行求解即可．【详解】由题得1{|1},C {|}222U a a M x x N x x N x x ⎧⎫=-<<=>-∴=≤-⎨⎬⎩⎭，， 因为UM N =∅，所以1,122a a -≤-∴≥. 故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2. 若直线y kx =与双曲线22194x y-=相交，则k 的取值范围是( )A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 2,03⎛⎫-⎪⎝⎭C. 22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】联立直线和双曲线方程得到2236049x k =>-，即得k 的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得222224936,49)36,x k x k x -=∴-=（ 当2490-=k ，即23k =±时，直线和双曲线的渐近线重合， 所以直线与双曲线没有公共点.当2490k -≠，即23k ≠±时，2236049x k =>-， 解之得2233k -<<. 故选：C.【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 3. 在ABC 中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=（ ） A. 52-B.52C. 54-D.54【答案】C 【解析】 【分析】用,AB AC 表示出,AD BD ，利用数量积定义，即可容易求得结果. 【详解】如图所示，∵1()2BD AC AB =-， ∴1()2AD AC AB =+，∴AD BD ⋅=()2211()()2344AC AB AC AB -⋅+=-=﹣54. 故选：C .【点睛】本题考查利用数量积定义求数量积，属简单题.4. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A. 1n -B. 21n -C. 2n -D. n【答案】D 【解析】 【分析】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n ．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4．b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +），化为q 2=4，解得q ，可得b n ． 【详解】数列{a n }的前n 项和S n =n 2﹣n ，∴a 1=S 1=0，n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ﹣2，n=1时也成立． ∴a n =2n ﹣2．设正项等比数列{b n }的公比为q ＞0，b 2=a 3=4． b n +3b n ﹣1=4b n 2（n ≥2，n ∈N +）， ∴2211n n b qb q +-⋅=4121()n b q -，化q 2=4，解得q=2．∴b 1×2=4，解得b 1=2． ∴b n =2n ． 则log 2b n =n ． 故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在：()()n n n S f a S f n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.5. 已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B. 1- C. 1 D. 1或1-【答案】D 【解析】 【分析】由三角形ABC 为等腰直角三角形，得到圆心C 到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a 的值．【详解】∵由题意得到△ABC 为等腰直角三角形，∴圆心C （1，﹣a ）到直线ax +y ﹣1=0的距离d=rsin45°整理得：1+a 2=2，即a 2=1， 解得：a=﹣1或1， 故答案为D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等 腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6. 在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A. 2013B. 1C. 0D. 2014【答案】A 【解析】 【分析】由a 2+b 2=2014c 2，利用余弦定理可得a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c 即可得出． 【详解】∵a 2+b 2=2014c 2， ∴a 2+b 2﹣c 2=2013c 2=2abcosC ．∴()2tanA tanB tanC tanA tanB ⋅+=2sinA sinBcosA cosBsinC sinA sinB cosC cosA cosB ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭=()2sinAsinBcosC sinCsin A B +=22abcosC c =2013． 故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基 本技能方法，属于难题．7. 已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A. l m ⊥且m 与圆C 相切 B. l m 且m 与圆C 相切 C. l m ⊥且m 与圆C 相离 D. l m 且m 与圆C 相离【答案】C 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，然后与a 2+b 2＜r 2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M 为中点的弦所在的直线的斜率是﹣a b ，直线m 的斜率为ba，∴直线l ⊥m ， ∵点M （a ，b ）是圆x 2+y 2=r 2内一点，∴a 2+b 2＜r 2， ∴圆心到bx ﹣ay=r 22＞r ，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8. 若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( ) A. 24480y x y -++= B. 22220y x y +-+= C. 24480y x y +-+= D. 2210y x y --+=【答案】C 【解析】 【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a 的值，然后求 出过点C （﹣a ，a ）的圆P 与y 轴相切，就是圆心到C 的距离等于圆心到y 轴的距离，即可 求出圆心P 的轨迹方程．【详解】圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0的圆心（12a -，），因为圆x 2+y 2﹣ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线 y=x ﹣1对称，设圆心（12a -，）和（0,0）的中点为（142a -，）， 所以（142a-，）满足直线y=x ﹣1方程，解得a=2， 过点C （﹣2，2）的圆P 与y 轴相切，圆心P 的坐标为（x ，y ）x = 解得：y 2+4x ﹣4y +8=0，所以圆心P 的轨迹方程是y 2+4x ﹣4y +8=0， 故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法 ： ①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参.9. 平行四边形ABCD 中，2AB =，AD 1,?1AB AD =⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )1 1C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣ 2x +34=（x ﹣1）2﹣14，设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得 以解决．【详解】∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，AB •AD =﹣1，点M 在边CD 上，∴|AB |•|AD |•cos ∠A=﹣1， ∴cosA=﹣12，∴A=120°， 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立如图所示的坐标系，∴A （0，0），B （2，0），D （﹣12，2），设M （x ，则﹣12≤x ≤32，∴MA =（﹣x MB =（2﹣x ）， ∴MA •MB =x （x ﹣2）+34=x 2﹣2x +34=（x ﹣1）2﹣14， 设f （x ）=（x ﹣1）2﹣14，则f （x ）在[﹣12，1）上单调递减，在[1，32]上单调递增，∴f （x ）min =f （1）=﹣14，f （x ）max =f （﹣12）=2， 则MA •MB 的最大值是2， 故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A. 2,12⎤⎥⎣⎦B. 2312⎤⎥⎣⎦ C. 23,22⎣⎦ D. 3633⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,根据AF BF ⊥，得到四边形为1AF BF 为矩形，再由ABF α∠=，结合椭圆的定义得到22sin 2cos a c c αα=+，然后由1sin cos c e a αα==+求解. 【详解】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为：1F ,因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形， 所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得：22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 44πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，142πα⎡⎛⎫+∈⎢⎪⎝⎭⎣，所以12e ⎤∈⎥⎣⎦， 故选：B【点睛】方法点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． 11. 己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A.1211【答案】B 【解析】 【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率．【详解】由题意知，由对称性不妨设P 点在y 轴的右侧，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则根据则抛物线的定义，可得PN PB =，PA m PB =1PN PAm∴= 设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，设直线PA 的方程为1y kx =-，与24x y =联立，得2440x kx -+=，令216160k ∆=-=，解得1k =± 可得(2,1)P ， 又此时点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上∴双曲线的实轴21)a PA PB =-=1,1a c ∴==1e ∴=故答案选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想．12. 已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果.【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-， 即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数； 若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.Ⅱ卷二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC 的面积为32，则sin sin b cB C++的值为_______________.【答案】2 【解析】 【分析】 根据1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭解出A=3π，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a 2=b 2+c 2﹣ 2bccosA 的式子算出c=3，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案． 【详解】∵1262sin A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A ∈（0，π） ∴2A +6π=56π，可得A =3π ∵b=1，△ABC 的面积为3， ∴S =12bcsinA=3，即1312c sinA ⨯⨯⨯=，解之得c =2 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA=1+4﹣2×123cos π⨯=3∴a =3（舍负）根据正弦定理，得b c sinB sinC ++=asinA =33sinπ=2故答案为2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属 于中档题．14. 已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC 的周长是_______________.【答案】 【解析】 【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决． 【详解】平面上有四点O ，A ，B ，C ，满足OA +OB +OC =0， ∴O 是△ABC 的重心， ∵OA •OB =OB •OC ，∴OB •（OA ﹣OC ）=OB •CA =0， 即：OB ⊥CA ，同理可得：OC ⊥BA ，OA ⊥BC ， 即O 是垂心， 故△ABC 是正三角形，∵OA •OB =OB •OC =OC •OA =﹣1， 令外接圆半径R ，则：R 2cos （∠AOB ）=R 2cos （23π）=﹣1 即：R即：a sinA =3a sinπ， 即：a， 故周长：3a=， 故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题． 15. 已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.【答案】3【解析】 【分析】设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, 由余弦定理可得 4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos3π，①在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②，在双曲线中， 化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2, ∵∠F 1PF 2=3π，则∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2﹣2r 1r 2cos 3π，① 在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2﹣3r 1r 2…②， 在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12+r 1r 2…③，2212134e e +=所以， 由柯西不等式得（1+13）（221213e e +）≥（121e ）21211e e +≤所以【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题．16. 已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______． 【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n n n a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列， 12nn a n =+，即(1)2n n a n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，11,n nb b +< 综上，max 33()8n b b ==，所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=. (1)求角A 的大小；(2)若3b c a +=，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)(2)直角三角形【解析】 【分析】(1)直接化简3m n +=得1cos 2A =，60A =︒.（2）联立222122b c a bc --=①，b c +=②，化简得2b c =或2c b =，当b=2c 时，可以推理得到ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【详解】(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有 33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331coscos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =︒. (2)∵1cos 2A =，∴222122b c a bc +-=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c +=，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=+==，ABC 为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC 也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到2b c =或2c b =.18. 已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）在圆C 上是否存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在,写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由 【答案】（Ⅰ）()()22215x y -+-=. （Ⅱ）见解析. 【解析】 分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P （4，0）、且与y=2x ﹣8垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线x=2上，求得圆心C （2，1）C 的方程．（Ⅱ）假设存在两点M ，N 关于直线y=kx ﹣1对称，则y=kx ﹣1通过圆心C （2，1），求得k=1，设直线MN 为y=﹣x+b ，代入圆的方程，利用韦达定理及 OM •ON =0，求得b 的值，可得结论． 【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=. (细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分) 法二：设圆C 的方程为()()22200x x y y r -+-=，可得()222000022200,1,424x y r y x x y r r ⎧⎪+=⎪⎪⎪=-⎨-⎪⎪⎛⎫⎪-+== ⎪⎪⎝⎭⎩解得002,1,x y r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= (细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=，设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()221212230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=解得0b =或3b =这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件 (细则：未判断0∆>的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19. 各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）1p =（2）12n n a +=（3） ()1122n n T n +=-⋅+【解析】 【分析】(1)令()222n n n S pa pa p p R =+-∈中n=1即得p 的值.(2)利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(3)先求出4223nn n n S b n n =⋅=⋅+，再利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T . 【详解】解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=.(3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+， ∴231222322nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⋅()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=+++⋯+-⋅=-⨯=--⋅--()1122n n T n +=-⋅+.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.20. 已知椭圆()2222 :?10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线的距离是5. （1）求椭圆C 的方程； （2）如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.【答案】（1）221164x y +=；（2）4k =±【解析】 【分析】 （1）由离心率e =2a b =，再求出直线1:B x a A y b -=，从而得5d ==，解方程组可求出,a b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，再将直线()10y kx k =+≠与椭圆方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系可得2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，可得20M M x ky k ++=，从而可求出k 的值【详解】解：（1）因2c a =，222a c b -=，所以2a b =. 因为原点到直线1:B x a A y b -=的距离d ==，解得4a =，2b =.故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=.可知0∆>.设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2234214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+， 因为E ，F 都在以B 为圆心的圆上，且()0,2B -，所以21M My k x +⋅=-， 所以20M M x ky k ++=.即224201414k kk k k -++=++.又因为0k ≠，所以218k =.所以4k =±. 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将EF 的中点(),M M M x y 坐标用含k 的式子表示，再由E ，F 都在以B 为圆心的圆上，得20M M x ky k ++=，将点M的坐标代入可求出k 的值，考查计算能力，属于中档题21. 已知定点()0,1F ，定直线:1l y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （1）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线12,l l ，两条切线相交于点P ，求PAB ∆外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设(),M x y=1y +化简即可得结论；（Ⅱ）由题意PAB △的外接圆直径是线段AB ，设AB l ：1y kx =+，与 24x y =联立得2440x kx --=，从而得()241AB k =+，0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.试题解析：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =. 设(),M xy = 1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB = ()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2x y '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222xk =. 因为121214x x k k ==-， 所以PA PB ⊥，即PAB 为直角三角形.所以PAB 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22. 设函数()21ln 2f x x ax bx =--． （1）当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； （2）令()()212a F x f x ax bx x=+++，（03x <≤）其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【答案】（1）34-；（2）12a ≥；（3）12m =.【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导数大于0或小于0，确定函数的单调区间，进而求出函数的最大值.（2）求出()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，根据()012'=≤k F x ，列不等式，分离参数可得200max 12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，进而求出结果.（3）22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解,构造函数()22ln 2g x x m x mx =--，对函数求导，确定函数的单调区间，进而求出函数的最小值为0，进而求出m 值.【详解】（1）依题意，知()f x 的定义城为()0,∞+， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111222x x f x x x x-+-'=--=，令()0f x '=，解得1x =. 当01x <<时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值. （2）()(]ln ,0,3a F x x x x=+∈，则有()002012x a k F x x -'==≤，在(]00,3x ≤上恒成立， 所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，22000111(1)+222-+=--x x x 取得最大值12，所以12a ≥. （3）因为方程()22mf x x =有唯一实数解，所以22ln 20x m x mx --=有唯一正实数解，设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=，令()0g x '=，20x mx m --=， 因为0m >，0x >，所以10x =<（舍去），20x =>， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减；当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增；故2x x =时，()20g x '=，()g x 取最小值()2g x因为()0g x =有唯一正实数解，所以()20g x =，则()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x m x mx x mx m ⎧--=⎨--=⎩ 所以222ln +0-=m x mx m ，因为0m >，所以()222ln 10x x +-=*.设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程（*）的解为21x =，即12m +=，解得12m =. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.。

2021 2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三(上)一调数学试卷(理科)(解析版2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）0.92．（5分后）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c的大小关系就是c （）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b3．（5分后）未知a＞1，a．0＜x＜1b．1＜x＜0，则f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）c．2＜x＜0d．2＜x＜14．（5分）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0与x轴所围站图形的面积为（）5．（5分）曲线a．4b．2c．1d．36．（5分）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴7．（5分后）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）a．f（x）=x3b．f（x）=+xc．f（x）=3xd．f（x）=3+x38．（5分后）设f（x）就是奇函数，对任一的实数x、y，存有f（x+y）=f（x）+f （y），当x＞0时，f（x）＜0，则f（x）在区间[a，b]上（）a．有最大值f（a）b．有最小值f（a）c．有最大值d．存有最小值9．（5分）已知函教f（x）=asin（ωx+φ）（a＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜a）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递增区间是（）a．[6kπ，6kπ+3]，k∈zb．[6k3，6k]，k∈zc．[6k，6k+3]，k∈zd．[6kπ3，6kπ]，k∈z1页10．（5分）若不等式lg≥（x1）lg3对任意x∈（∞，1）恒成立，则a的取值范围就是（）a．（∞，0]b．[1，+∞）c．[0，+∞）d．（∞，1]11．（5分后）设f（x）就是定义在r上的函数，其Auron函数为f′（x），若f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2021，则xx不等式ef（x）＞e+2021（其中e为自然对数的底数）的边值问题为（）a．（2021，+∞）b．（∞，0）∪（2021，+∞）c．（∞，0）∪（0，+∞）d．（0，+∞）12．（5分后）设立函数f（x）=sin，若存有f（x）的极值点x0满足用户x0+[f（x0）]＜m，则m的值域222范围就是（）a．（∞，6）∪（6，+∞）b．（∞，4）∪（4，+∞）c．（∞，2）∪（2，+∞）d．（∞，1）∪（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分后）若非零向量，满足用户|+|=||=2||，则向量与+的夹角为．14．（5分后）设立函数y=f（x）在r上加定义，对于任一取值的正数p，定义函数2，则称函数fp（x）为f（x）的“p界函数”，若给定函数f（x）=x2x1，p=2，则下列结论不成立的是：．①fp[f（0）]=f[fp（0）]；②fp[f（1）]=f[fp（1）]；③fp[fp （2）]=f[f（2）]；④fp[fp（3）]=f[f（3）]．15．（5分后）未知f（x）就是定义在r上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2x+|，若函数y=f（x）a在区间[3，4]上加10个零点（互不相同），则实数a的值域范围就是．16．（5分后）未知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，a=2且（2+b）（sinasinb）=（cb）sinc，则△abc面积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2217．（10分）已知a∈r，命题p：“?x∈[1，2]，xa≥0”，命题q：“?x∈r，x+2ax+2a=0”．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，谋实数a的值域范围．18．（12分后）在△abc中，内角a，b，c面元的边分别为a，b，c，未知sinc+sin （ba）=sin2a，a≠．2（ⅰ）求角a的取值范围；（ⅱ）若a=1，△abc的面积s=x，c为钝角，求角a的大小．19．（12分后）未知函数f（x）=e+ax1（e为自然对数的底数）．（ⅰ）当a=1时，谋过点（1，f（1））处的切线与坐标轴围起的三角形的面积；2（ⅱ）若f（x）≥x在（0，1）上恒设立，谋实数a的值域范围．20．（12分）已知函数f（x）满足2f（x+2）f（x）=0，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx+ax当x∈（4，2）时，f（x）的最大值为4．（ⅰ）求实数a的值；2页，（ⅱ）设b≠0，函数，x∈（1，2）．若对任意的x1∈（1，2），总存在x2∈（1，2），并使f（x1）g（x2）=0，谋实数b的值域范围．21．（12分后）未知函数f（x）=x+3+ax+b，g（x）=x+3+lnx+b，（a，b为常数）．（ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，5），求b的值；（ⅱ）设立函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）x=xf′（x）存有唯一求解，谋实数b的值域范围；（ⅲ）令f（x）=f（x）g（x），若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．22．（12分后）未知函数，（ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并推论与否存有极值；（ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；（ⅲ）证明：（n∈n+，n≥2）．3页2021-2021学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.21．（5分后）（2021?重庆三模）子集a={x|lnx≥0}，b={x|x＜16}，则a∩b=（）a．（1，4）b．[1，4）c．[1，+∞）d．[e，4）【分析】求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出两集合的交集即可．【解答】解：由a中lnx≥0=ln1，得到x≥1，即a=[1，+∞）；由b中的不等式解得：4＜x＜4，即b=（4，4），则a∩b=[1，4）．故选：b．【评测】此题考查了关连及其运算，熟练掌握关连的定义就是求解本题的关键．2．（5分）（2021?东城区二模）设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.1，则a，b，c 的大小关系是c（）a．a＜b＜cb．a＜c＜bc．b＜a＜cd．c＜a＜b【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．0.9【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.1＞1，∴b＜a＜c．故选：c．【评测】本题考查了指数与对数函数的单调性，属基础题．3．（5分）（2021?南昌校级二模）已知a＞1，，则f（x）＜1设立的一个充份不必要条件就是0.9（）a．0＜x＜1b．1＜x＜0c．2＜x＜0d．2＜x＜1【分析】谋出来不等式的边值问题即为不等式设立的充要条件；据当子集a?子集b且b?a时，a就是b的充份不必要条件．【解答】解：f（x）＜1成立的充要条件是∵a＞12∴x+2x＜0∴2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是1＜x＜0故选项为b【评测】本题考查不等式的边值问题就是不等式的充要条件；据子集之间的关系推论条件关系．4．（5分）（2021春?玉溪校级期末）已知函数22，则f（f（f（1）））的值等同于（）a．π1b．π+1c．πd．0【分析】根据分段函数的定义域，算出f（1）的值，再根据分段函数的定义域展开代入解；4页【答疑】求解：函数2，f（1）=π+1＞0，∴f（f（1））=0，可得f（0）=π，∴f（f（f（1）））=π，故选c；【评测】此题主要考查函数值的解，就是一道基础题；5．（5分）（2021春?进贤县校级月考）曲线a．4b．2c．1d．3上的积分可求出答案．上的积分，与x轴所围站图形的面积为（）【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0≤x≤【解答】解：面积等于cosx的绝对值在0≤x≤即s==3=3=3，故选：d．【评测】本题主要考查余弦函数的图象和用定分数谋面积的问题．属于基础题6．（5分）（2021?开封模拟）函数y=sin（2x）的图象与函数y=cos（x）的图象（）a．存有相同的对称轴但并无相同的对称中心b．存有相同的对称中心但并无相同的对称轴c．既有相同的对称轴也存有相同的对称中心d．既并无相同的对称中心也并无相同的对称轴【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解．【解答】解：由2xz．由x=kπ，k∈z，解得函数y=cos（x）的对称轴为：x=kπ，k∈z．=k，k∈z，解得函数y=sin（2x）的对称轴为：x=+，k∈k=0时，二者存有相同的对称轴．由2x由x=kπ，k∈z，可解得函数y=sin（2x=k）的对称中心为：（）的对称中心为：（kπ+，0），k∈z．，0），k∈z．，k∈z，可解得函数y=cos（x故2函数没相同的对称中心．故选：a．【评测】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属基本知识的考查．7．（5分后）（2021?厦门演示）未知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能将就是（）5页。

河北省衡水中学2021届高三数学上学期七调考试试题 文本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，123z i =+，则2113z z =（ ） A ．112i -B ．131255i -+ C ．512i -+D ．512i --2．已知集合{}M a =，{40}N x ax =-=∣，若MN N =，则实数a 的值是（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．0，2或2-3．已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．14．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所作的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ） A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势5．函数()1cos xf x x=-的部分图象大致是（ ）ABCD6．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372cm π的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．8cmD ．9cm7．将函数()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．12πB ．4π C ．38π D ．34π 8．2020年初开始，在非洲、印度、巴基斯坦等地，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，短短几个月，蝗虫数量便增长了8000倍，从而引发了蝗灾，世界各地防治蝗虫形势非常严竣！假定在不采取防治措施的情况下，蝗虫的日增长率为5%，按此日增长率计算，现有100只沙漠蝗虫，若经过t 天后，其数量超过了62.610⨯只，但不超过72.610⨯只，则t 的值可能为（参考数据： lg 2.60.415≈，lg1.050.0212≈，lg 26 1.415≈，lg0.05 1.301≈-）（ ）A ．190B ．200C ．220D ．2709．已知c 是双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的半焦距，离心率为e ，则1b e c+的最大值是（ ）A ．2B C D ．210．已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，cac=．若ABC 的外接，则b c +的取值范围为（ ）A ．(2,4]B ．4]C ．4]D ．(2,6)11．已知点F ，A 分别为椭圆2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左焦点左顶点，过原点O 的直线l 交C 于P ，Q 两点，直线QF 交AP 于点B ，且2QA QP QB +=，若||PF 的最小值为4，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22198x y += B ．2212516x y += C ．2213632x y += D ．2214936x y += 12．已知函数()221()1e xm x f x +=-，()22()(2)1g x m x =++．若()()e ()ex x g x x f x ϕ=⋅-有唯一的零点，则m 的值不可能为（ ） A ．2B ．3C ．3-D ．4-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(2,1)a =，(1,3)b =，()c a b λλ=-∈R ，若2c a b ⋅=，则λ=________．14．若实数x ，y 满足不等式组23841x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数y z x =的最大值为________．15．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出3种，则恰好选中“三方”或“三药”的概率是________． 16．已知平面四边形ABCD中，AB AD ==120BAD ∠=︒，BCD 是等边三角形，现将BCD 沿BD 折起到BPD ，使得P 点在平面ABD 上的射影恰为ABD 的外心，则三棱锥P-ABD 外接球的表面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）大学生是国家的未来，代表着国家可持续发展的实力能够促进国家综合实力的提高．据统计，2016年至2020年我国高校毕业生人数y （单位：万人）的数据如下表：根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性的强弱；（1）已知0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）．（2）若y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ25.7yx a =+，试预测2022年我国高校毕业生的人数（结果取整数）．参考公式和数据：()()niix x y y r --=∑()52110i i x x =-=∑，()5216733.2i i y y =-=∑，259.5≈，()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足213S a =，且23464a a a =．（1）求n a 及n S ；（2）记()22(1)log nn n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，60BAD ∠=︒．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若2AD =，三棱锥A-BDP 的体积为1，求线段PB 的长度． 20．（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)E y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 两点．（1）若60BFD ∠=︒，BFD 的面积为433，求p 的值及圆F 的方程； （2）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x m x x m =--∈R ．（1）若()f x 在定义域内为增函数，求m 的取值范围； （2）设0m >，当0x >时，若()1f x x ≥-，求m 的值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，，曲线C 的参数方程为222x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θα=（0απ≤<，ρ∈R ）（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若||||3OA OB +=l 的直角坐标方程．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =+．（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值．参考答案及解标月考卷一、选择题 1．D【解析】由题意得223z i =-，则2211313(23)13(23)51223(23)(23)z i i i z i i i --===--++-．故选D ．2．D【解析】因为MN N =，所以N M ⊆，当N =∅时，0a =，符合题意；当N ≠∅时，4{40}N xax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭∣， 则4a a=，解得2a =±， 综上，实数a 的值是0或2或2-．故选D ．3．D【解析】根据题意，得tan 2α=，所以21tan 221tan tan2a αα-==．故选D ． 4．C【解析】由图可知，设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误．故选C ．5．A【解析】由于()1cos xf x x=-，则1cos 0x -≠，即2x k π≠，k ∈Z ，可知()f x 的定义域为{2,}x x k k π≠∈Z ∣，则0x ≠，故排除C ， 而()()1cos()1cos x xf x f x x x---===----，所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B ， 又因为当x π=时，()01cos 2f ππππ==>-，故排除D ．故选A ．6．B【解析】细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为6，设高为h ，则21167233V Sh h ππ==⨯⨯=，即6h =．故选B ． 7．C【解析】()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位长度，得到224y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，又图象关于y 轴对称，故242k ππϕπ-=+，解得328k ππϕ=+，k ∈Z ， 当0k =时，ϕ取得最小正值为38π． 故选C ．8．C【解析】由已知可得67100(10.05) 2.610100(10.05) 2.610t t ⎧+>⨯⎨+≤⨯⎩， 两边取对数得lg1.05lg 2.64lg1.05lg 2.65t t >+⎧⎨≤+⎩，所以lg 2.640.4154208.25lg1.050.0212t ++>≈≈，且lg 2.650.4155255.4lg1.050.0212t ++≤≈≈，对照各选项，只有C 符合．故选C ．9．B【解析】因为c是双曲线2222:1x yCa b-=（0a>，0b>）的半焦距，所以c=则1b a be c c++====≤=当且仅当a b=时，等号成立．故选B．10．Cac=，sinsinAC=，sin(sin)C A B B=+，)sin sin cosB A B A A B+=，sin sin sinA B A B=．sin0B ≠，sinA A=．即tan A=(0,)Aπ∈，3Aπ∴=．又ABC是锐角三角形，2232BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎩∴⎪，解得62Bππ<<，2sin sinsin3ab c B BAπ⎡⎤⎛⎫∴+=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2sin sin4sin36B B Bππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦．62B ππ<<，2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin ,162B π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(23,4]b c ∴+∈．故选C ．11．C【解析】如图，连接OB ，AQ ，则OB 是PAQ 的中位线，||||1||||2OB OF AQ FA ∴==，即12c a c =-， 3a c ∴=，又||PF 的最小值为a c -，4a c -=， 6a ∴=，2c =，22232b a c =-=． 故椭圆C 的标准方程为2213632x y +=．故选C ． 12．B【解析】()221()1e xm x f x +=-，()22()(2)1g x m x =++．()()e ()e x xg x x f x ϕ=⋅-只有一个零点， ()()222(2)121e 0e x xm x m x ++∴+--=只有一个实数根，即22211(2)210xx x x m m e e ⎛⎫+++-⋅+= ⎪⎝⎭只有一个实数根．令21e x x t +=，则()()()22221e 1e (1)0e e x x x x x x x t '+-+--='=≤， ∴函数21ex x t +=在R 上单调递减，且x →+∞时，0t →，∴只需关于t 的方程2(2)210(*)m t mt +-+=有且只有一个正实根．①当2m =时，方程（*）为24410t t -+=， 解得12t =，符合题意： ②当3m =时，方程（*）为25610t t -+=， 解得15t =或1t =，不符合题意； ③当3m =-时，方程（*）为2610t t --=，得3t =±30+>，符合题意． ④当4m =-时，方程（*）为22810t t --=，得42t ±=，只有402+>，符合题意． 故选B ．二、填空题 13．1-【解析】因为(2,13)c a b λλλ=-=--，所以2(2)(13)55c a λλλ⋅=-+-=-， 于是得225513λ-=+，所以1λ=-．14．3【解析】根据约束条件画出可行域，如下图，可得(4,0)A ，(1,3)B ，(1,2)C -．yz x=的几何意义是过可行域内点(,)P x y 与(0,0)O 的直线OP 的斜率， 显然，当点P 与点B 重合时，z 取得最大值，故z 的最大值为3．15．110【解析】分别记金花清感颗粒，连花清癌胶囊血必净注射液为a ，b ，c ，清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方为d ，e ，f ，则从“三药三方”中随机选出3种的所有可能结果有：(,,)a b c ，(,,)a b d ，(,,)a b e ，(,,)a b f ，(,,)a c d ，(,,)a c e ，(,,)a c f ，(,,)a d e ，(,,)a d f ，(,,)a e f ，(,,)b c d ，(,,)b c e ，(,,)b c f ，(,,)b d e ，(,,)b d f ，(,,)b e f ，(,,)c d e ，(,,)c d f ，(,,)c e f ，(,,)d e f 共20种，其中恰好选中“三方”或“三药”的所有可能结果有(,,)d e f ，(,,)a b c ，共2种， 故所求的概率为212010P ==． 16．9π【解析】因为BCD 是等边三角形，所以60BCD ∠=︒，因为120BAD ∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以ABD 的外心也是BCD 的外心，记为H ， 取BD 的中点E ，则A ，E ，H ，C 共线，连接PE ，取PBD 的外心G ，则G 点在线段PE 上，且2PG GE =， 过点G 作平面PBD 的垂线交PH 于点O ， 则O 是三棱锥P-ABD 外接球的球心，且PGO PHE ∽，所以PO PGPE PH=，因为BD =22PE ==，223PG =⨯=2EH EG ==，2PH ==，所以3222PG PE PO PH⋅===，即32R =， 所以外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．三、解答题17．解：（1）由题得18x =，817.6y =．所以()()51(2)(52.6)(1)(22.6)16.4256.4257iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯=∑．所以()()5iix x y y r --=∑=2570.99259.5=≈． 因为0.990.75>，所以y 与x 线性相关性很强．（2）因为ˆˆ817.625.718355ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程是ˆ25.7355yx =+． 当22x =时，ˆ25.722355920.4920y=⨯+=≈， 即2022年我国高校毕业生的人数约为920万．18．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．由213S a =，得211(1)3S a q a =+=，① 由23464a a a =，得2314a a q ==，② 由①②解得11a =，2q =，1112n n a a q-''-∴==，122112nn n S -==--． （2）由（1）可得()()221222(1)log (1)log 2(1)(1)nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=-⋅-，设1n c n =-，则()2(1)nn n b c =-⋅，21234212n n n T b b b b b b -=++++⋯++()()()()()()2222221234212n n c c c c c c -⎡⎤⎡⎤=-++-++⋯+-+⎣⎦⎣⎦()()()()()()12123434212212n n n n c c c c c c c c c c c c --=-+++-+++⋯+-++1234212n n c c c c c c -=++++⋯++22(021)22n n n n +-==-．19．解：（1）取AD 的中点M ，连接PM ，BM ．PA PD =，PM AD ∴⊥．∴四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，ABD ∴是正三角形，BM AD ∴⊥，又PM BM M =，AD ∴⊥平面PMB ，又PB ⊂平面PMB ，AD PB ∴⊥．（2）平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又PM AD ⊥，PM ∴⊥平面ABCD ，在正三角形ABD 中，2AD =，122sin 6032ABDS∴=⨯⨯⨯︒=． 由题意可知，113A BDP P ABD ABD V V S PM --==⋅=，1313PM ∴=．3PM ∴= PM ⊥平面ABCD ，MB ⊂平面ABCD ， PM MB ∴⊥，BM AD ⊥，MB =PB ∴==20．解：（1）焦点到准线l 的距离为p ，又||||BF FD =，60BFD ∠=︒，BFD ∴为正三角形，||BF ∴=，2p B ⎛- ⎝，21||sin 6023BFDSBF ∴=︒=2p ∴=， ∴圆F 的方程为2216(1)3x y -+=． （2）若A 、F 、B 三点共线，则||||||AF BF DF ==，2BDA π∴∠=，1||||||2AD AF AB ∴==，6DBA π∴∠=， ∴直线AB 的倾斜角为3π．设直线:2pl x =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立222022p x y y p y px⎧=+⎪⇒-=⎨⎪=⎩，12122121(1)y y y y y p y λλ⎧+==-⋅⎪⇒⎨⎪⋅=-=-⋅⎩， 24(1)3λλ-∴=，231030λλ∴-+=， 3λ∴=或13λ=．又||||AF BF p =>，12p x >， 01λ∴<<，13λ∴=． 21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．22()21m x x mf x x x x--=--='，若()f x 在定义域内为增函数，则220x x m --≥在(0,)+∞上恒成立， 即22m x x ≤-在(0,)+∞上恒成立，而22112248x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以18m ≤-．即m 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．（2）2()1ln 1f x x x m x ≥-⇔-≥．令2()ln g x x m x =-，则22()2m x mg x x x x=='--．因为0m >，令()0g x '>，解得x >，即()g x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，令()0g x '<，解得0x <<即()g x 在⎛ ⎝上单调递减，所以min ()2m g x g m ==- 要使()1g x ≥在定义域内恒成立，即min ()ln 12m g x g m ===-≥， 即ln 10222m m m--≥， 令()ln 1h a a a a =--（其中2m a =），1()1ln ln h a a a a a ⎛⎫=-⨯+=- ⎪'⎝⎭．当(0,1)a ∈时，()0h a '>， 当(1,)a ∈+∞时，()0h a '<，所以max ()(1)0h a h ==，所以()(1)h a h ≤， 要使ln 10a a a --≥， 只能取1a =，即22m a ==， 综上所述，m 的值为2．22．解：（1）由曲线C的参数方程2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），得曲线C 的普通方程为22(2)2x y -+=， 得22420x y x +-+=，即曲线C 的极坐标方程为24cos 20ρρθ-+=． （2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，得24cos 20ρρα-+=， 设()1,A ρα，()2,B ρα，2Δ16cos 80α=->，21cos 2α>， 又124cos a ρρ+=，1220ρρ=>，所以12|||||4cos |OA OB a ρρ+=+==，即cos α=，因为0a π≤<， 所以6πα=或56π，所以直线的直角坐标方程为y x =． 23．解：（1）由已知不等式()|2|f x x x +>-，得|2||1|x x x -<++，当2x ≥时，不等式为21x x x -<++， 解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++， 解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--， 解得3x >，此时无解．综上原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()(3)|1||2|123f x f x x x x x +-=++-≥+-+=∣∣，所以2223a b c ++=，又222222222b b a bc a c ++=+++≥，则2ab bc +≤，当且仅当2222b ac ==时等号成立，所以ab bc +．。

绝密★启用前河北衡水中学2021届高三调研试题数学全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x2－4x－12≤0}，B＝{x|4x－4>0}，则A∩B＝A.{x|1<x≤2}B.{x|x≥－2}C.{x|1<x≤6}D.{x|x≥－6}2.已知复数z＝1ii，则z＝A.12＋12i B.12－12i C.－12＋12i D.－12－12i3.某年1月25日至2月12日某旅游景区A及其里面的特色景点a累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是A.1月29日景区A累计参观人次中特色景点a占比超过了1 3B.2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9700人次C.2月6日至2月8日景区A 累计参观人次的增长率大于特色景点a 累计参观人次的增长率D.2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日到2月8日的增长率4.“3sin 2α－sin αcos α－2＝0”是“tan α＝2”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.函数()22sin x 1f x x -=的部分图象是6.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，则AE ＝A.31AD AF 42+B.11AD AF 22+C.13AD AF 24+D.1AD AF 2+ 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为A.37B.47C.314D.11148.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，P 为双曲线右支上一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为3 3 C.3123＋1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2020届高三数学上学期七调考试试题 理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =，则M N ⋃的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】{2}MN =，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2MN =，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2.已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】 转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3.设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A. 2-B.12C. 4-D.14【答案】A 【解析】 【分析】 先计算1416f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4.设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ） A. 20 B. 30C. 44D. 88【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】{}n a 为等比数列，∴2621016aa a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C.【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题. 5.设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n β⊥B. 若αβ⊥，//n α，则n β⊥C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6.如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）63633ππ-+63633ππ++2323π+D.63633π+【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解.【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=+3=22228S ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总，63+363==2S S Sπππ---=阴影总半圆，∴6363863+3633SPSππππ--===+阴影总.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x xωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x=的解析式可以为（）A.72sin56y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B.72sin106y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.752sin106y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭D.752sin56y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】分析】由图可得()()0100ff⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解.【详解】由图像可知()()0100ff⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin12cos0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=.又图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Zππωπ+=∈，∴()615k k Zω=-+∈，当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题. 8.已知向量()1,3b =，向量a 在b 方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥，则实数λ的值为（ ） A.13B. 13-C.23D. 3【答案】A 【解析】 【分析】设(),a x y =6=-，()4x λ+=-，整体代换即可得解. 【详解】设(),a x y =，a 在b 方向上的投影为6-，∴36a b x b⋅+==-即12x =-.又 ()a b b λ+⊥，∴()0a b b λ+⋅=即130x y λ++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9.已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A.3C. 2D.3或2 【答案】C 【解析】 【分析】转化条件得3b a =，再利用222a be a+=即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 603ba==， ∴双曲线离心率2222a b e a+==. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】B 【解析】 【分析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可． 【详解】结合题意，绘制图形结合题意可知OE 是三角形1BDD 中位线，题目计算距离最短，即求OE 与1BD 两平行线的距离，111,3,2DD BD BD ===，所以距离d ，结合三角形面积计算公式可得1111222S BD DD BD d =⋅⋅=⋅⋅，解得6d =，故选B ． 【点睛】本道题考查了直线与平面平行的判定，难度较大．11.已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||23AB =，则||PA PB +的最大值为（ ）A. 32B. 82C. 52D. 822+【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，将||PA PB +转化为点P 到弦AB 的中点D 的距离的两倍，利用图形即可得解.【详解】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r，易知直线1:310l mx y m --+=恒过点()3,1，直线2:310l x my m +--=恒过()1,3，且12l l ⊥，∴点P 的轨迹为22(2)(2)2x y -+-=，圆心为()2,2，半径为2，若点D 为弦AB 的中点,位置关系如图：∴2PA PB PD +=.连接CD，由||AB =易知2431CD.∴maxmax11PDPC CD =+==，∴max max||22PA PB PD+==.故选：D.【点睛】本题考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系以及向量的线性运算，考查了转化化归思想和数形结合的思想，属于难题. 12.已知不等式3ln 1ln x x m x n -++（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则33n m -+的最大值为（ ）A. 2ln2-B. ln 2-C. ln21-D. ln 22-【答案】B 【解析】 【分析】转化条件得()3ln 1x m x n -+-，求出()()3ln f x x m x =-+的最小值后即可得()()()33ln 31m m m n +-++≥-，可得()321ln 333n m m m -≤-+-++，最后求出()()21ln 0g x x x x=-->的最大值即可得解. 【详解】由题意得()3ln 1x m x n -+-恒成立， 令()()3ln f x x m x =-+，则()()()30x m f x x x-+'=>， 若30m +<，()0f x '>，()f x 单调递增，当0x +→时()f x →-∞，不合题意； 若30m +>，当()0,3x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()3,x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 最小值为()3f m +.∴()()()()333ln 31f m m m m n +=+-++≥-，∴()()()()()33ln 32321ln 33333m m m n m m m m m +-++--≤=-+->-+++， 令()()21ln 0g x x x x =-->，则()()221220x g x x x x x-+'=-+=>， 当()0,2x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴()()2ln 2g x g ≤=-， ∴()21ln 3ln 23m m -+-≤-+即33n m -+的最大值为ln 2-.故选：B.【点睛】本题考查了导数的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化化归的思想，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知1tan 2α=，则2cos sin 2αα+的结果为____. 【答案】85【解析】 【分析】转化条件得2sin cos αα=，22cos sin 22cos ααα+=，求出2cos α后即可得解. 【详解】1tan 2α=，∴sin 1cos 2αα=即2sin cos αα=， ∴22221sin cos cos cos 14αααα+=+=即24cos 5α=，∴2228cos sin 2cos 2sin cos 2cos 5αααααα+=+⋅==.故答案为：85. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.14.设样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，则122019,,,y y y 的方差为_______【答案】20. 【解析】 【分析】利用方差的性质直接求解即可. 【详解】因为样本数据122019,,,x x x 的方差是5，若213(1,2,,2019)i i y x i =-=，所以122019,,,y y y 的方差为25220⨯=.故答案为：20【点睛】本题考查了方差的性质，属于基础题.15.某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有6个节目的节目单，要求歌曲A 和舞蹈A 相邻，且歌曲A 要排在舞蹈A 的前面；歌曲B 和舞蹈B 不相邻，且歌曲B 和舞蹈B 均不排在最后，则这6个节目的排法有____种. 【答案】36 【解析】 【分析】先用捆绑法把歌曲A 和舞蹈A 看成一个整体，再和其他两个节目全排列，最后把歌曲B 和舞蹈B 插空即可得解.【详解】把歌曲A 排在舞蹈A 前面后把两个节目看成一个整体，再和其他两个节目全排列，有33A 种排法，再用歌曲B 和舞蹈B 插空且均不排在最后，有23A 种排法.所以共有323336A A ⋅=种排法. 故答案为：36.【点睛】本题考查了排列组合应用，属于基础题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π 【解析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解.【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=. 在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ， 易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅= ∴227OC GC GO =+∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π 【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 三、解答題（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分. 17.已知向量3cos,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2sin ,cos 22x x n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设函1()2f x m n =+⋅.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1()2f A =. （1）求A 的大小；（2）若3a =，2cos()cos 4sin B C A C -+=，求c 的大小.【答案】（1）3A π=（2）3c =【分析】（1）转化条件得()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1()2f A =即可得解；（2）转化条件得sin 2sin B C =，利用正弦定理可得2b c =，利用余弦定理即可得解. 【详解】根据题意得21131cos 1()3sin cos cos sin 2222222x x x x f x m n x +=+⋅=-+=-+ 31sin cos sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. （1）因为1()sin 62f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且0A π<<，所以3A π= （2）因为2cos()cos 4sin B C A C -+=.所以()2cos()cos 4sin B C B C C --+=，所以22sin sin 4sin B CC ⋅=.因为sin 0C ≠，所以sin 2sin B C =. 根据正弦定理得2b c =.又由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即22219442c c c =+-⨯，解得3c =. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算、三角恒等变换和解三角形的应用，属于中档题. 18.如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除点,A B 外的一个动点，DC 垂直于O 所在的平面，垂足为C ，//DC EB ，且1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 为半圆弧的中点时，求二面角D AE B --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）26- 【解析】 【分析】（1）先证明BC ⊥平面ACD ，再证明//BC DE 后即可得DE ⊥平面ACD ，即可得证； （2）建立空间坐标系后分别求出平面DAE 的一个法向量1n 和平面ABE 的一个法向量2n ，求出12cos ,n n 后即可得解.【详解】（1）证明：因为AB 是半圆O 的直径，所BC AC ⊥. 因为DC 垂直于O 所在的平面，BC O ⊂，所以DC BC ⊥，所以BC ⊥平面ACD . 因为//DC EB ，且1DC EB ==， 所以四边形BCDE 为平行四边形. 所以//BC DE ，所以DE ⊥平面ACD ，因为DE ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ACD .（2）由题意，22AC BC ==，CA 、CB 、CD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,1)D ，(0,2,1)E ，(22,0,0)A ，(0,2,0)B ，所以(22,22,0)AB =-，(0,0,1)BE =，2,0)DE =，(22,0,1)DA =-.设平面DAE 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则110,0,n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111220,220,x z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令11x =，则1(1,0,22)n =.设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则220,0,n BE nAB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,22220,z x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩则2(1,1,0)n =， 则1212122cos ,92n n n n n n ⋅===⋅. 因为二面角D AE B --是钝角，所以二面角D AE B --的余弦值为26-. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定与空间向量的应用，考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年是中国改革开放的第40周年，为了充分认识新形势下改革开放的时代性，某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查，将他们的年龄分成6段：[)[)[)20,30,30,40,,70,80,⋯，并绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从年龄在[)[)[)20,30,30,40,40,50内的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示年龄在[)30,40内的人数，求X 的分布列和数学期望；（2）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()()0,1,2,,20P X k k ==⋯.当()P X k =最大时，求k 的值.【答案】（1）分布列见解析；34；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的方法判断出年龄在[)[)[)20,3030,4040,50，，内的人数，可得X 的可能取值为0，1，2，结合组合知识，利用古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望；（2）设年龄在[)30,50内的人数为Y ，则()20,0.35Y B ~，设()()1P Y k t P Y k ===-,可得若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=；若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=，从而可得结果. 【详解】（1）按分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在[)20,30内的人数为0.005810.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)30,40内的人数为0.010820.0050.0100.025⨯=++人， 年龄在[)40,50内的人数为0.025850.0050.0100.025⨯=++人. 所以X 的可能取值为0，1，2，所以()3062385014C C P X C ===， ()21623815128C C P X C ===， ()1262383228C C P X C ===， 所以X 的分布列为515330121428284EX =⨯+⨯+⨯=. （2）设在抽取的20名市民中，年龄在[)30,50内的人数为Y ，Y 服从二项分布.由频率分布直方图可知，年龄在[)30,50内的频率为()0.0100.025100.35+⨯=， 所以()20,0.35Y B ~，所以()()()20200.3510.35k kkP Y k C -==- ()0,1,2,,20k =.设()()1P Y k t P Y k ====-()()()()20201211200.3510.350.3510.35kk kk kk C C-----=-()()7211,2,,2013k k k-=，若1t >，则7.35k <，()()1P Y k P Y k =-<=； 若1t <，则7.35k >，()()1P Y k P Y k =->=.所以当7k =时，()P Y k =最大，即当()P Y k =最大时，7k =.【点睛】本题主要考查分层抽样的定义、直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.已知椭圆22162x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 交椭圆于P Q 、两点(直线l 与坐标轴不垂直)，若PQ 的中点为N ，O 为坐标原点，直线ON 交直线3x =于M . (Ⅰ)求证：MF PQ ⊥；(Ⅱ)求PQ MF的最大值.【答案】（1）见解析； （2【解析】 【分析】(Ⅰ) 联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=.设P 点的坐标为(),ppx y ，Q 点的坐标为(),qqx y ,再计算出ON 的斜率为13ONkk=-，MF 的斜率为1MF k k=-，即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直. (Ⅱ)先求出()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+()()()4222222222221442112424313131p q k k k kx x k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=-=⎢⎥+++⎣⎦，再求I max ，即得PQ MF的最大值.【详解】(Ⅰ)联立()221,622,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222231121260k x k x k +-+-=. 设P 点的坐标为(),p p x y ，Q 点的坐标为(),q q x y ，则221231p q k x x k +=+，2212631p q k x x k -=+. 于是有()24431p q p q ky y k x x k k -+=+-=+.因为PQ 的中点为N ，所以22262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.因此ON 的斜率为13ON k k =-. 因为直线ON 交直线3x =于M ，所以13,M k ⎛⎫-⎪⎝⎭.故MF 的斜率为1MFk k=-， 即得1MF PQ k k ⋅=-.因此MF 与PQ 垂直，2MFQ π∠=.(Ⅱ)设()()2222211p q p q x x k x x PQ I MF k-+-⎛⎫== ⎪⎝⎭+ ()()22224p q p q p q k x x k x x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦ ()()42222222221442112424313131k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-=⎢⎥+++⎣⎦. 令231u k =+，则()()222121611116119833223416u u I u u u u ⎡⎤-+⎛⎫⎛⎫==---=---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 由于2311u k ＞=+，故101u≤＜. 因此I 3max =(当4u =时取到最大值，也即1k =±). 综上所述，PQMF. 【点睛】（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和直线的位置关系，考查椭圆中的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化计算能力.(2)解答第2问的关键有两点，其一是求出()2222212431PQ k I k MF k +⎛⎫== ⎪⎝⎭+，其二是求函数的最大值. 21.已知函数()2()4x f x x x e -=+-.（1）若不等式()f x m 在区间[1,3]上有解，求实数m 的取值范围；（2）已知函数()()F x f x ax =-，a R ∈，若0x 是()F x 的极大值点，求()0F x 的取值范围. 【答案】（1）2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）转化条件得min ()f x m ，利用导数求出()f x 在区间[1,3]上的最小值即可； （2）求导得()2()5x Fx x x e a '-=-++-，由极大值可得可知014x -<<且()02005x a x x e -=-++，则()(0300044)x F x x x e -=--，利用导数求出()3()44x h x x x e -=--在014x -<<的值域即可得解.【详解】（1）若不等式()f x m 在[1,3]x ∈上有解，则min ()f x m .因为()2()4x f x x x e -=+-， 所以()2()5x f x x x e '-=-++.令22121()524g x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，[1,3]x ∈，则易知()g x 在[1,3]x ∈上单调递减，且(1)50g =>，(3)10g =-<.故存在1(1,3)x ∈，使得()f x 在区间)1[1,x 上单调递增，在区间1(,3]x 上单调递减.所以，当[1,3]x ∈时，min 2()min{(1),(3)}f x f f e==-， 故实数m 的取值范围为2,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （2）由题意知()2()()4x F x f x ax x x e ax -=-=+--，所以，()2()5x Fx x x e a '-=-++-.记()2()5x G x xx e -=-++，则()(1)(4)xG x x x e'-=+-，所以，()G x 仅在在区间(1,4)-上单调递减. 若0x 是()F x 的极大值点，则014x -<<， 且()02005x a xx e -=-++，所以，()()()023000000444x x F x x x eax x x e -----=+-=记()3()44x h x xx e -=--，则()(1)(4)xh x xe x x '-=-+⋅-.所以，()h x 在区间(1,0)-上单调递减，在区间(0,4)上单调递增，易知(0)4h =-，(1)h e -=-，444(4)h e =， 所以，当(1,4)x ∈-时，4444()h x e -<， 所以，()04444F x e -≤<， 即()0F x 的取值范围为4444,e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的应用和存在问题的解决方法，考查了转化划归思想和计算能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.【答案】（1）12,13⎛ ⎝⎭；（2【解析】试题分析：（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{2x ty =+=代入曲线C 的普通方程2214xy +=，得21356480++=t t ，由韦达定理和中点坐标公式求得12028213t t t +==-，代入直线的参数方程可得点M 的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数t 的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得22127cos 4sin αα=+，求得tan α的值即得斜率. 试题解析：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为1t ，2t ．将曲线C 的参数方程化为普通方程2214x y +=．（1）当3πα=时，设点M 对应参数为0t ．直线l方程为122{x ty =+=（t 为参数）．代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480++=t t ，则12028213t t t +==-， 所以，点M的坐标为12,13⎛ ⎝⎭．（2）将2cos {sin x t y t αα=+=代入2214x y +=，得()()222cos4sin 4cos 120t t αααα++++=，因为122212cos 4sin t t ααPA ⋅PB ==+，27OP =，所以22127cos 4sin αα=+． 得25tan 16α=．由于()32cos cos 0ααα∆=->，故tan α=所以直线l考点：直线的参数方程与椭圆参数方程及其在研究直线与椭圆位置关系中的应用.23.已知函数()|2||1|()f x x m x m R =+--∈.（1）若2m =-，解不等式()5f x ；（2）若()|5|f x m x +，求m 的最小值.【答案】（1）5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭（2）12 【解析】【分析】（1）转化条件得3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，分类讨论即可得解；（2）转化条件得|2||5||1|x mx x +++-恒成立，令|2|()|5||1|x g x x x +=++-，分类讨论求出()g x 最大值即可得解 【详解】（1）当2m =-时，3,1()4,213,2x x f x x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩，()5f x 可转化为135x x ≥⎧⎨≥⎩或2145x x -<<⎧⎨-≥⎩或235x x ≤-⎧⎨-≥⎩， 所以不等式的解集为5(,1],3⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.（2）根据题意，x R ∀∈，|2||1||5|x m x m x +--+， 即x R ∀∈，|2||5||1|x m x x +++-. 记不等式右边函数为()g x ，根据题意()()[)1,(,5][1,)21()2,(5,2)612,2,16x g x x x x x ⎧∈-∞-⋃+∞⎪⎪⎪=-+∈--⎨⎪⎪+∈-⎪⎩于是()g x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因此实数m 的最小值为12. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和恒成立问题的解决，考查了转化划归思想和分类讨论思想，属于中档题.。

2021〜2022学年度上学期高三班级七调考试 理数试卷 命题人:李桂省本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知全集 U=R ，集合 A={X y=log 2 (-x 2+2x)}，B={ Y y=1+3 }，那么A ∩C U B = ( )A. {X 0＜ x ＜1}B. {X X ＜ 0 }C. {x x ＞ 2 }D. {x 1＜x ＜2}2.在复平面内，复数Z 满足Z （1 + I )= |1+√3I |，则z 的共轭数对应的点 ( ) A .第一象限B .其次象限C .第三象限D .第四象限3.在各项均为正数的等比数列{A N }中，若a m+1 • a m-1 = 2a m (m(m ≥2)，数列{A N }的前N 项积为T N ，若T 2m-1—1=512,则M 的值为（ ） A.4 B. 5C. 6D.74.已知函数f(x) = sin ωx+ 3sin(ωx +2π)(ω＞0) 的最小正周期为π，则f(x)在区间[0, 32π]上的值域为 （ ）A. [0, 23] B. [-21,23] C. [-21,1] D. [-23,21]5.执行如图的程序框图，那么输出S 的值是A. 2B. 21C. -1D. 16.在二项式（√x + 423x• ）n的开放式中，前三项的系数成等差数列，把开放式中全部的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C. 31 D. 125 7.在△ ABC 中，A ，B , C 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，若cos A + sin A- B A sin cos 2+=0,则cba +的值是A. 1B. 2√2C. 3√3D. 28.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示 (单位:cm)，则该几何体的体积为( )A. 120 cm 3B. 80 cm 3C. 100 cm 3D. 60 cm3 9.在△ ABC 中，BC=5，G ，O 分别为AABC 的重心和外心，且OG → •BC→=5，则△ABC 的外形是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.上述三种状况都有可能10.平行四边形ABCD 中，AB ·BD = 0，沿BD 将四边形折起成直二面角A — BD — C ，且 2AB 2+|BD |2=4，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积为（ ）A .2π B . 4πC .4πD .2π11.已知双曲线C 的方程为42x 一42y= 1 , 其左、右焦点分别是F 1、F 2 ,已知点M 坐标为（2，1)，双曲线C 上点 P(x 0,y 0 ) (x 0 ＞0，y 0＞0)满足 111PF MF PF ⋅=FF MF F F 22111•12112F F MF F F ⋅，则S △PMF 1 - S △PMF 2 =( )A -1 B. 1 C. 2 D. 412.定义在 R 上的函数 f (X )满足 f (x + 2) =21f (X )，当 x ∈ [0,2)时，f (x )= ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤---21,210,221|23|12x x x x , 函数G （x)=x 2+3x 2+m , 若∀s ∈ [ - 4，-2)，∃t ∈ [ - 4，-2)，不等式F (S )—G (T )≥0成立，则实数M 的取值范围是 （ ） A. (∞-，-12] B. (∞- ，-4] C. (∞- ，8] D .( ∞- ，231] 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设a = x0 (sin x —1 + 2cos 22π)dx ，则(a-x 1)6• (x 2+2 )的开放式中常数项是( )14.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检 测，这样的抽样是分层抽样,②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的确定值越接近于1,③某项测量结果ξ听从正态分布N (1，a 2),P(ξ≤5)=0.81，则P ξ ≤ 3) =0.19,④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，推断“X 与Y 有关系” 的把握程度越大。

2020届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,}M x =，{1,2}N =，若{2}M N =I ，则M N ⋃的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】先求出集合M ，再求出M N ⋃，即可得解. 【详解】Q {2}M N =I ，∴2M ∈即{0,2}M =，∴{}0,1,2M N =U ，∴M N ⋃子集个数为328=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的运算和子集的概念，属于基础题. 2．已知复数121iz i-=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】转化条件得1322iz =--，即可得解. 【详解】 由题()()()()121121311122i i i iz i i i ---===--++-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念和运算，属于基础题.3．设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2-B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】先计算1416f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用奇函数的性质()()44f f -=-即可得解. 【详解】 由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了复合函数函数值的求法和函数奇偶性的应用，属于基础题.4．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和若21a =，1016a =，且66a b =，则11S =（ ）A ．20B ．30C ．44D ．88【答案】C【解析】利用等差数列的性质可求出6a ，再利用11611S a =即可得解. 【详解】Q {}n a 为等比数列，∴2621016a a a =⋅=且4620a a q =⋅>，∴664b a ==，又 {}n b 为等差数列，∴1111161111442a a S a +=⨯==. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差、等比数列性质的应用以及等差数列的求和，属于基础题.5．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n β⊥ B ．若αβ⊥，//n α，则n β⊥ C ．若//m α，//m β，则//αβD ．若m α⊥，m β⊥，n α⊥，则n β⊥ 【答案】D【解析】根据线面、面面关系的性质和判定逐一判断即可. 【详解】若αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故A 错误；若αβ⊥，//n α，则n 与β可能相交、平行或n β⊂，故B 错误； 若//m α，//m β，则α与β可能平行也可能相交，故C 错误； 若m α⊥，m β⊥，则//αβ，又 n α⊥，则n β⊥，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了线面、面面位置关系的性质和判定，属于基础题.6．如图是数学界研究的弓月形的一种，,,AC CD DB 是以AB 为直径的圆的内接正六边形的三条邻边，四个半圆的直径分别是,,,AB AC CD DB ，在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A 63633ππ-+B 63633ππ++C 2323π+D 632633ππ-+【答案】A【解析】由题意分别算出阴影部分的面积和总面积后即可得解. 【详解】不妨设六边形的边长为1，由题意得21+231163+3=222S ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭总63+363==828S S S πππ--=阴影总半圆， ∴6363863+3633S P S ππππ--===+阴影总故选：A. 【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题.7．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ ）A ．72sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．72sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．752sin 106y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．752sin 56y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图可得()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即可求出ϕ，图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即可求出ω，即可得解. 【详解】由图像可知()()0100f f ⎧=⎪⎨<'⎪⎩即2sin 12cos 0ϕωϕ=⎧⎨<⎩，Q 0>ω，0ϕπ<<，∴56πϕ=. 又 图像过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭即552sin()066ππω+=，∴()5566k k Z ππωπ+=∈， ∴()615k k Z ω=-+∈， 当2k =时，75ω=.则75()2sin 56f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数()sin y A ωx φ=+解析式的确定和导数的应用，属于中档题.8．已知向量(3b =r ，向量a r 在b r方向上的投影为6-，若()a b b λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．13B ．13-C ．23D ．3【答案】A【解析】设(),a x y =r ，36x y+=-，()34x λ+=-，整体代换即可得解.【详解】设(),a x y =r，Q a r 在b r方向上的投影为6-，∴62a b x b ⋅+==-r rr 即12x =-.又 ()a b b λ+⊥r r r，∴()0a b b λ+⋅=r r r 即130x y λ++=，∴()4x λ=-即124λ-=-，解得13λ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于中档题.9．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b -=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A ．B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为1DD 的中点，M 为直线1BD 上一点，N 为平面AEC 内一点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．6 B ．66C ．3 D ．36【答案】B【解析】本道题结合直线与平面平行判定，证明距离最短即为计算1BD 与OE 的距离，计算，即可。