湖南省衡阳市八中2019届高三上学期第三次月考试卷 数学(理)

2019年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数i•z=1-2i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合{x|2x＞2√2}={x|log12(x−a)＜0}，则实数a的值为（）A. 12B. 2 C. 32D. 13.若双曲线x2-ty2=3t的焦距为6，则该双曲线的离心率为（）A. √2B. √62C. √3D. √64.已知某批电子产品的尺寸服从正态分布N（1，4），从中随机取一件，其尺寸落在区间（3，5）的概率为（附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P （μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545）（）A. 0.3174B. 0.2718C. 0.1359D. 0.04565.若sin(75°+α)=√23，则cos（30°-2α）=（）A. 49B. −49C. 59D. −596.著名的“3n+1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n+1猜想，则输出的n为（）A. 5B. 6C. 7D. 87.已知正项等比数列{a n}满足a1-a2=8，a3-a4=2，若a1a2a3…a n=1，则n为（）A. 5B. 6C. 9D. 108.设两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，则(xa +1x−√2)4的展开式中x2的系数为（）A. 12B. 3C. 52D. 729.函数f（x）=|x|+ax（其中a∈R）的图象不可能是（）A. B.C. D.10.已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为4√33，则a的值为（）A. √3B. 2√33C. 2√3D. √3211.已知函数f（x）=e x-（a-1）x-1（e为自然对数的底数），若∃x0∈（0，+∞），使得f（lg x0）＞f（x0）成立，则a的取值范围为（）A. (1,2)B. (1,+∞)C. [1,+∞)D. (2,+∞)12.已知点R（1，2），曲线C：y4=（px）2（p＞0）），直线m＞0，m≠2）与曲线C交于M，N两点，若△RMN周长的最小值为2，则p的值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2，−1)，b⃗ =(λ，1)，若|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则λ=______．14.如图，茎叶图表示甲、乙两人在5次测验中的数学分数，其中有一个被污损，若乙的中位数恰好等于甲的平均数，则•的值为______15.若x，y满足约束条件{14x≤y≤4x0≤xy≤1，则z=2x+3y的最大值为______．16.已知数列{a n}满足对∀m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成立，a7=π2，函数f(x)=sin2x+4cos2x2，记y n=f（a n），则数列{y n}的前13项和为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f(x)=2cosxsin(x−π3)+t的最大值为1．（1）求t的值；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，若a=2√2，三角形△ABC的面积为√3，且f(A)=√32，求b+c的值．18. 如图，四棱锥M -ABCD 中，AB =2DC ，∠CDA =∠DAB =90°，△MCD 与△MAD 都是等边三角形，且点M 在底面ABCD 的投影为O ． （1）证明：O 为AC 的中点；（2）求二面角D -MC -B 的余弦值．19. 某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程=x；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系：鱼的重量（单位：百斤）20＜X ＜4040≤X ≤60 X ＞60 冲水机只需运行台数123若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2）…（x n ，y n ），其回归方程=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=∑x i n i=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx−2=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，=y −x −．20.已知以椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为等腰三角形，且点T(−1，√142)在椭圆上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点T作圆x2+y2=2的切线，切点分别为A、B，直线AB与x轴交于点E，过点E作直线l交椭圆C于M，N两点，点E关于y轴的对称点为Q，求△QMN面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x（ax2+x+a2）存在极大值与极小值，且在x=-1处取得极小值．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）-2x-m有两个零点，求实数m的取值范围．（参考数据：e≈2.71，√5≈2.236）22.已知直线l：{y=6−2tx=2+t(t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4ρ2+5ρ2cos2θ-36=0．（1）求曲线C的参数方程和直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点M作与l夹角为60°的直线，交l于点N，求MN的最小值．23.已知不等式2|x|-|2x-3|＞1的解集为A．（1）求A；（2）若m，n∈A，且m+n=4．证明：n2m−1+m2n−1≥8答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数i•z=1-2i，∴-i•i•z=-i（1-2i），z=-2-i，则复数z在复平面内对应的点（-2，-1）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．根据指数函数与对数函数的性质，列方程求出a的值．本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，所以a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由已知，得μ=1，σ=2，P（3＜X＜5）=P（μ+σ＜X＜μ-σ）=．故选：C．由已知可得μ=1，σ=2，再由P（3＜X＜5）=P（μ+σ＜X＜μ-σ）求解．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵，则cos（30°-2α）=-cos（150°+2α）=-[1-2sin2（75°+2α）]=-，故选：D．由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．7.【答案】C【解析】解：正项等比数列{a n}满足a1-a2=8，a3-a4=2，可得=，∴q2=，q＞0，解得q=，代入a1-a2=8，可得a1=16，a1a2a3…a n=1，可得（a1a n）n=1，所以a1a n=1，a12q n-1=1，∴=1，解得n=9．故选：C．利用已知条件求出对比以及数列的首项，通过a1a2a3…a n=1，转化求出n的表达式，求解即可．本题考查数列的递推关系式以及等比数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力．8.【答案】D【解析】解：∵两直线l1：x-2y-2=0与l2：ax+y+1=0垂直，∴•（-a）=-1，求得a=2．则==，故它的展开式中x2的系数为=，故选：D．利用两条直线垂直的性质，求得a的值，根据则=，利用通项公式求的它的展开式中x2的系数．本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：当a=0时，f（x）=|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）=x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f（x）=-x+在（-∞，0）上为减函数，故B符合，当x＜0时，且a＜0时，f（x）=-x+≥2=2，当x＞0时，且a＜0时，f（x）=x+在（0，+∞）上为增函数，故D符合，故选：C．分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是分类讨论，利用基本不等式和函数的单调性，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为a，所以体积为：，解得a=．故选：A．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．11.【答案】D【解析】解：∵lgx0＜x0；∴要满足∃x0∈（0，+∞），使f（lgx0）＞f（x0），则：函数f（x）为减函数或函数f（x）存在极值点；∵f′（x）=e x-（a-1）；x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0不恒成立，即f（x）不是减函数；∴只能f（x）存在极值点，∴f′（x）=0有解，即a-1=e x有解；∴a∈（2，+∞）；即a的取值范围为（2，+∞）．故选：D．可知lgx0＜x0，从而根据条件便可判断f（x）为减函数或存在极值点，求导数f′（x）=e x-a+1，从而可判断f（x）不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程a-1=e x有解，这样由指数函数y=e x的单调性即可得出a的取值范围．考查函数y=lgx和y=x图象的位置关系，减函数的定义，函数极值和极值点的定义，以及指数函数的单调性．12.【答案】B【解析】解：由题意得曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最小值，∴2-=2，∴p=6．故选：B．曲线C是由两抛物线y2=px和y2=-px构成，设MN与y轴交点为D，抛物线y2=-px的焦点为F，则△RMN的周长为2（MR+MD）=2（RM+MF-）≥2（RF-）=2，当M，R，F三点共线时取最小值，由此能求出p的值．本题考查利用抛物线定义对折线段和最值求解的转化，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是中档题．13.【答案】12【解析】解：；∵；∴；∴（λ+2）2=（2-λ）2+4；解得．故答案为：．可求出，根据即可得出（λ+2）2=（2-λ）2+4，解出λ即可．考查向量坐标的加法和减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法．14.【答案】6【解析】解：乙的中位数为90，设•的值为x，所以90=，解得x=6，故填：6．乙的中位数为90，设•的值为x，则90=，可得x的值．通过茎叶图考查学生对中位数和平均数理解和简单的计算问题，属于基础题．15.【答案】7【解析】解：x，y满足约束条件，的可行域如图：z=2x+3y化为y=，点直线经过可行域的A（，2）时，在取得最大值：7．故答案为：7．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键之一，考查数形结合以及计算能力．16.【答案】26【解析】解：对∀m，n∈N*，都有a m+a n=a n+m成立，可令m=1即有a n+1-a n=a1，为常数，可得数列{a n}为等差数列，函数=sin2x+2（1+cosx），由f（x）+f（π-x）=sin2x+2（1+cosx）+sin2（π-x）+2（1+cos（π-x））=4，可得f（x）的图象关于点（，2）对称，a1+a13=a2+a12=…=a6+a8=2a7=π，f（a1）+f（a13）=f（a2）+f（a12）=…=f（a6）+f（a8）=4，f（a7）=2，可得数列{y n }的前13项和为4×6+2=26． 故答案为：26．由题意可得a n+1-a n =a 1，为常数，可得数列{a n }为等差数列，求得f （x ）的图象关于点（，2）对称，运用等差数列中项性质和倒序相加求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的性质，以及函数的对称性及运用，考查数列的倒序相加求和，化简运算能力，属于中档题． 17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f(x)=2cosxsin(x −π3)+t =sin x cosx-√3cos 2x +t =12sin2x -√3×1+cos2x2+t =sin （2x -π3）+t -√32，…4分∵f （x ）的最大值为1，故t -√32=0，可得t =√32…5分（2）∵f(A)=√32，可得：sin （2x -π3）=√32，∵0＜A ＜π2，-π3＜2A −π3＜2π3， ∴2A −π3=π3，可得：A =π3，…7分由S =12bc sin A =√3，可得：bc =4，由a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，…10分 可得：8=（b +c ）2-3bc ，∴b +c =2√5…12分 【解析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f （x ）=sin （2x-）+t-，由题意t-=0，可得t 的值． （2）由题意sin （2x-）=，结合范围0，-＜2A＜，可求A 的值，由三角形的面积公式可求bc 的值，由余弦定理即可解得b+c 的值． 本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】证明：（1）证法一：连结OA ，OC ，OD ，∵MO ⊥平面ABCD ，∴MO ⊥OA ，MO ⊥OB ，MO ⊥OC ，∴∠MOA =∠MOC =∠MOD =90°，∵△MCD 与△MAD 都是等边三角形， ∴MD =MC =MA ，又MO 为公共边， ∴△MOA ≌△MAD ≌△MOD ，∴OA =OC =OD ，即O 为△ACD 的外心， ∵∠ADC =90°，∴O 为AC 的中点．证法二：设AC 的中点为O ′，连结MO ′，DO ′， ∵MA =MC ，∴MO ′⊥AC ，∵△DAC 是直角三角形，∴O ′D =O ′C ，又MD =MC ，MO ′为公共边， ∴△MO ′D ≌△MO ′C ，∴∠MO ′D =∠MO ′C =90°， ∴MO ′⊥O ′D ，∵AC ∩O ′D =O ′，∴MO ′⊥平面ABCD ， 又MO ⊥平面ABCD ，而过一点有且只有一条直线与已知平面垂直， ∴O 是AC 的中点．解：（2）以O 为坐标原点，OC ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =2，则AB =4，OM =√2，D （0，√2，0），M （0，0，√2），C （√2，0，0），B （√2，−2√2，0）， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-√2，√2），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，−√2，0），设平面DMC 的法向量m⃗⃗⃗ =（x ，y ，z ）， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2y +√2z =0m⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2y =0，令y =1，得m⃗⃗⃗ =（1，1，1）， MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（√2，0，−√2），CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-2√2，0）， 设平面MCB 的法向量n ⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√2z =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√2y =0，取x =1，得n⃗ =（1，0，1）， cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√63． 由图知二面角D -MC -B 的平面角为钝角， ∴二面角D -MC -B 的余弦值为-√63．【解析】（1）法一：连结OA ，OC ，OD ，推导出MO ⊥OA ，MO ⊥OB ，MO ⊥OC ，从而△MOA ≌△MAD ≌△MOD ，由此能证明O 为AC 的中点．法二：设AC 的中点为O′，连结MO′，DO′，推导出△MO′D ≌△MO′C ，从而∠MO′D=∠MO′C=90°，进而MO′⊥平面ABCD ，再由MO ⊥平面ABCD ，能证明O 是AC 的中点．（2）以O 为坐标原点，OC ，OD ，OM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-MC-B 的余弦值．本题考查线段中点的证明，考查二面角的平面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19.【答案】解：（1）依题意，x −=5，y −=4，∑(51x i −x −)(y i −x −)=26．∴=∑(51x i −x −)(y i −y −)∑(51x i −x −)2=313，=y −-x −=4-313×5=3713，所以=313x +3713．当x =10时，=6713＞5，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利Y =5000，安装2台时，20＜X ＜40，Y =3000，p =15；X ≥40，Y =10000，p =45． ∴E （Y ）=15×3000+45×10000=8600，安装3台时，20＜X ＜40，Y =1000，p =15，；40≤X ≤60，Y =8000，P =35；X ＞60，Y =15000，P =15．∴E （Y ）=1000×15+8000×35+15000×15=8000． ∵8600＞8000，故应提供2台增氧冲水机．【解析】（1）求出，=5，，=26．代入公式即可．x=10时，求出估计值判断即可．（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可．本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理的判断能力．属于中档题．20.【答案】解：（1）依题意可得b =c ，代入点T （-1，√142），可得1a 2+144b 2=1，又a 2=b 2+c 2，解得a =2√2，b =2， 故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．（2）∵|OT |=3√22，|TA |=√(3√22)2−(√2)2=√102，以T 为圆心，|TA |为半径的圆T 的方程为（x +1）2+（y -√142）2=52，将圆T 与圆O 的方程相减可得2x -√14y +4=0，即直线AB 的方程为2x -√14y +4=0， 故E （-2，0），Q （2，0），设l ：x =my -2，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），故△QMN 面积为S =12|EQ |（|y 1|+|y 2|）=2|y 1-y 2|=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2， 联立{x =my −2x 28+y 24=1，可得（m 2+2）y 2-4my -4=0，∴y 1+y 2=4m m 2+2，y 1y 2=−4m 2+2， ∴S =2√(4m m 2+2)2+16m 2+2=8√2⋅√m2+1m 2+2，令√m 2+1=t ，t ≥1，∴S =8√2t t 2+1=8√2t+1t≤8√22√t⋅1t=4√2，当t =1t ，即t =1时，S 取最大值为4√2， 故△QMN 面积的最大值为4√2．【解析】（1）依题意可得b=c ，代入点T （-1，），可得+=1，又a 2=b 2+c 2，解得a=2，b=2，即可求出椭圆方程，（2）先求出直线AB 的方程为2x-y+4=0，再根据韦达定理，弦长公式，可得三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查了椭圆方程的解法，两圆公共弦，三角形的面积，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=e x （ax 2+x +a 2）存在极大值与极小值，且在x =-1处取得极小值，∴f ′（x ）=e x [ax 2+（2a +1）x +a 2+1]，依题意知f ′（-1）=0，解得a =0或a =1， 当a =0时，f ′（x ）=e x （x +1），x ＜-1时，f ′（x ）＜0，x ＞-1时，f ′（x ）＞0， 此时，f （x ）只有极小值，不符合题意． 当a =1时，f ′（x ）=e x （x +1）（x +2），经检验符合题意，综上，实数a 的值为1．（2）g （x ）=e x （x 2+x +1）-2x -m ，g ′（x ）=e x （x +1）（x +2）-2， 当x ＞0时，g ′（x ）＞0，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 当x ＜0时，令h （x ）=e x （x +1）（x +2）-2， 则h ′（x ）=e x （x 2+5x +5），h ′（x ）＞0，x ＜−5−√52，x ＞−5+√52，h （x ）单调递增，h ′（x ）＜0，−5−√52＜x ＜−5+√52，h （x ）单调递减，∵h （0）=0，h （-5+√52）=2+√5e 2+√52-2＜0，x ＜0时，g ′（x ）＜0，故g （x ）在（-∞，0）上单调递减， ∵g （x ）在R 上有两个零点，∴g （0）=1-m ＜0，∴m ＞1， 此时当x ＜0时，g （-m2）＞0，∴g （x ）在（-m2，0）有一个零点， 当x ＞0时，g （x ）＞x 2+x +1-2x -m =0，令x 0=1+√4m−32，∴g （x 0）＞0，∴g （x ）在（0，x 0）有一个零点，综上，实数m 的取值范围是（1，+∞）． 【解析】（1）f′（x ）=e x [ax 2+（2a+1）x+a 2+1]，f′（-1）=0，解得a=0或a=1，当a=0时，f′（x ）=e x （x+1），f （x ）只有极小值，不符合题意．当a=1时，f′（x ）=e x （x+1）（x+2），符合题意，由此能求出实数a 的值．（2）g （x ）=e x （x 2+x+1）-2x-m ，g′（x ）=e x （x+1）（x+2）-2，当x ＞0时，g′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当x ＜0时，令h （x ）=e x （x+1）（x+2）-2，则h′（x ）=e x （x 2+5x+5），利用导数性质能求出实数m 的取值范围．本小题主要考查函数的求导法则、函数的极值点与极值的概念等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想，考查数学抽象、直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．22.【答案】解：（1）代入ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，可得9x 2+4y 2=36，即x 24+y 29=1，其参数方程为C ：{y =3sinϕx=2cosϕ，（φ为参数）， 直线l 的普通方程为2x +y -10=0．（2）设M （2cosφ，3sinφ），则M 到l 的距离d =|4cosφ+3sinφ−10|√5=|10−5sin(φ+γ)|√5，当sin （φ+γ）=1时，d 取最小值为√5，故|MN |的最小值为√5sin60°=2√153． 【解析】（1）代入ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，可得9x 2+4y 2=36，即+=1，其参数方程为C ：，（φ为参数），直线l 的普通方程为2x+y-10=0（2）设M ，求出M 到直线l 的距离，利用三角函数的性质求出最小值． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（1）解：当x ＞32时，不等式为：2x -2x +3＞1，不等式恒成立，故x ＞32；当0≤x ≤32时，不等式为：2x -3+2x ＞1，解得1＜x ≤32； 当x ＜32时，不等式为：-2x -3+2x ＞1，不等式无解， 综上，不等式的解集为（1，+∞），故A =（1，+∞）． （2）证明：∵m ，n ∈A ，∴m -1＞0，n -1＞0， ∵m +n =4，∴（m -1）+（n -1）=2， ∴2（n 2m−1+m 2n−1）=（n 2m−1+m 2n−1）[（m -1）+（n -1）]≥（√m−1⋅√m −1+√n−1⋅√n −1）2=（m +n ）2=16，∴n 2m−1+m 2n−1≥8．【解析】（1）讨论x 的范围，去掉绝对值符号解不等式； （2）不等式左边乘[（m-1）+（n-1）]，利用柯西不等式证明． 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。

湖南省衡阳市八中2019届上学期第三次（10月）月考高三数学（理）试题时量：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z 满足2iz =,其中i 为虚数单位,则z 的虚部为 （ A ） A. 2- B. 2 C. 2i - D. 2i 2．“=6πα”是tan α=“”（ B ）条件。

A.必要不充分 B.充分不必要 C.充分必要 D. 既不充分也不必要 3.下列函数中,在区间(1,+¥)上为增函数的是( B ) A ．21x y =-+ B ．1xy x=- C ．12log (1)y x =- D ．2(1)y x =--4．已知正项数列{}n a 中，222121161,2,2(2),n n n a a a a a n a +-===+?则等于 ( D )A ．16B ．8 C．．45.若向量,3a b p 的夹角为，且2,a =1,b =则a a b 与+2的夹角为（ A ）A.6pB. 3p C. 23p D. 56p6．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为 （ A ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或 D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且7. 在函数2222sin sin cos sin cos 3322x xy x y x y x y p p ==+=+=-、（)、（2)、中，最小正周期为p 的函数的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.设函数21()log ,21x f x x =+-定义121()()(),n n S f f f n n n-=+++其中n N ?，2n ³,则n S 等于（ C ）A.(1)2n n - B.21log (1)2n n --- C. 12n - D.21log (1)2n n -+- 9.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ^.若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（ B ）A ．6B ．7C ．8D ．910.已知函数()sin()(,,f x A x A w j w j =+均为正的常数）的最小正周期为p ，当23x p=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）A.(2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-11.已知函数2()ln(1)f x a x x =+-在区间（0，1）内任取两个实数p,q,且p q ¹，不等式(1)(1)2f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ C ）A. (12,30]B.(,18]-?C. [18,)+?D.(12,18]-12．已知2()ln (01).x f x a x x a a a =+->?且若函数()1y f x t =--有三个零点，则t 的值为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2±二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 13.已知sin 2cos 0x x +=，则2sin 1x +=_____95___________. 14．《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小树也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？题意是：”有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，如果墙足够厚，n S 为前n 天两只老鼠打洞之和，则n S =______11212nn --+________尺.15．已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈,若方程()f x m =有三个不同的实根,且从小到大依次成等比数列,则m 的值为___12-__________ . 16.已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x,y ÎR,都有()()()f x y xf y yf x =+g 成立。

湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高一上学期第三次考试-数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．已知{}35A x x =-<<，{}4B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}35x x -<<B ．{}5x x >C ．{}45x x <<D ．{}34x x -<< 2．下列结论中正确的是（ ）A ．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B ．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥C ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D ．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台3．函数()()1ln 2f x x x =--的零点所在的大致区间是（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6 4．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D ¢是A B C '''V 中B C ''边上的一点，且D ¢离B '比D ¢离C '近，又//A D y '''轴，那么原ABC V 的AB 、AD 、AC 三条线段中（ ）A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AD C ．最长的是AD ，最短的是ACD ．最长的是AB ，最短的是AD5．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()22f x x x =+，则()2f -=（ ） A ．2B ．1C ．2-D ．5-6．在一个长方体1111ABCD A B C D -中，已知6AB =，5BC =，14BB =，则从点A 沿表面到点1C 的最短路程为（ ）A ．55B ．137C ．313D ．15 7．设函数()1ln 1x f x x x-=+，则函数的图像可能为（ ） A ． B ．C ．D ．8．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（ ）（容器壁的厚度忽略不计）A ．21πB ．40πC ．41πD ．84π9．已知()()2log 4log 21a a a a -<-，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()2,3 D ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10．设m ，n 是两条不同的直线α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：（1）若m α⊥，//n α，那么m n ⊥；（2）若m n ⊥，m α⊥，//n α，那么αβ⊥；（3）若//αβ，m α⊂，那么//m β；（4）若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，其中正确命题的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4）11．函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 同时满足：（1）()f x 在[],a b 内是单调函数；（2）()f x 在[],a b 上的值域为[](),0ka kb k >，则称区间[],a b 为()f x 的“k 倍值区间”.下列函数：①()ln f x x =；②()()10f x x x =>；③()()20f x x x =≥；④()()2011x f x x x =≤≤+.其中存在“3倍值区间”的有（ ） A ．①③ B ．②③C ．②④D ．①②③④ 12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．⎦B ．⎣⎦C ．2⎡⎢⎣D ．⎣ 第II 卷（非选择题)二、填空题13．求值：3log 43lg -=________. 14．已知三棱锥P ABC -中，ABC V 为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为____.15．设常数a R ∈，则方程1xx a e +⋅=的解的个数组成的集合是A =_______.16．在矩形ABCD 中，AB BC <，现将ABD V 沿矩形的对角线BD 进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直；②存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直；③存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.其中正确结论的序号是________________.三、解答题17．已知集合(){}22log 2A x y x ==--，集合{}23x B y y a -==+ （1）当1a =时，求A B U ，A B I ；（2）若A B B ⋃=，求a 的取值范围.18．如图所示，有一块矩形铁皮ABCD ，4AB =，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面.试求：（1）矩形铁皮AD 的长度；（2）做成的圆锥体的体积.19．如图三棱柱111ABC A B C -中1AA ⊥平面ABC 且12AA =，底面ABC 是边长为2的等边三角形，点D 是11A B 的中点.（1）求证：1//A C 平面1BC D ；（2）求异面直线1A C 与1BC 所成角的大小.20．某市为创建全国卫生城市，引入某公司的智能垃圾处理设备.已知每台设备每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，每月处理垃圾带来的总收益()g x 万元与每月垃圾处理量x （万吨）满足关系：()2233100,01035,10x x x g x x ⎧-+-≤≤=⎨>⎩（注：总收益=总成本+利润） （1）写出每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系； （2）该市计划引入10台这种设备，当每台每月垃圾处理量为何值时，所获利润最大？并求出最大利润.21．已知四边形ABCD 是正方形，BF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，ED FB AB ==，M 为棱AE 的中点.（1）求证：AE ⊥平面CMF ；（2）求直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值.22．已知函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有()()f x a f x +=-成立，则称此函数()f x 具有“性质()P a ”（1）判断函数247y x x =-+是否具有“()P a 性质”，若具有“()P a 性质”，则求出a 的值；若不具有“()P a 性质”，请说明理由；（2）已知函数()y f x =具有“()2P 性质”且函数()f x 在R 上的最小值为2；当1x ≤时，()f x m x =-，求函数()y f x =在区间[]0,1上的值域；（3）已知函数()y g x =既具有“()0P 性质”，又具有“()2P 性质”，且当11x -≤≤时，()g x x =，若函数()log b y g x x =-，在(]0,3x ∈恰好存在2个零点，求b 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】直接进行交集的运算即可．【详解】 因为{}35A x x =-<<，{}4B x x =>，则{}45A B x x ⋂=<<.故选:C.【点睛】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算．2．B【解析】【分析】根据题意，分析选项中的命题，判断命题是否正确即可．【详解】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A 错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面所围成的几何体是圆锥，故B 正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C 错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D 错误.故选：B.【点睛】本题考查了球、圆锥、圆柱、圆台的结构特征，属于概念问题．3．B【解析】【分析】利用零点存在性定理，只需证出：()()340f f ⋅<，即可得到结论．【详解】因为函数解析式为()()1ln 2f x x x =--，则()1303f =-<，()14ln 204f =->，所以()()340f f ⋅<，即零点所在的大致区间为()3,4.故选：B.【点睛】本题考查了函数的零点存在性定理的应用，属于基础题．4．B【解析】【分析】作出原ABC V 的平面图，利用数形结合思想，观察图形找出最短线段和最长线段，便可得出结果．【详解】由题意得到原ABC V 的平面图为：其中，AD BC ⊥，BD DC <，所以AC AB AD >>，所以ABC V 的AB 、AC 、AD 三条线段中最长的是AC ，最短的是AD .故选：B.【点睛】本题主要考查了直观图的基础知识，以及会根据斜二测画法的规则由直观图画出原来的平面图．5．D【解析】【分析】根据奇函数的定义可知，(2)(2)f f -=-，代入函数解析式即可求出来．【详解】因为()f x 是奇函数，所以()()225f f -=-=-.故选D.【点睛】本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数值，属于简单题．6．C【解析】【分析】求A 点到1C 的最短距离，由两点之间直线段最短，想到需要把长方体剪开再展开，把A 到1C 的最短距离转化为求三角形的边长问题，根据实际图形，应该有三种展法，展开后利用勾股定理求出每一种情况中1AC 的长度，比较三个值的大小后即可得到结论．【详解】将长方体展开共三种情况如下：（1）：1AC ===（2）：1AC ====；（3）：1AC ====，所以从点A 沿表面到点1C 的最短路程为.故选：C.【点睛】本题考查了点、线、面之间的距离，考查了学生的空间想象能力和思维能力以及数学转化思想方法，解答的关键是想到对长方体的三种展法，是中档题．7．D【解析】【分析】求出函数的定义域，容易判断函数为偶函数，其图象关于y 轴对称，且1()02f <，结合选项运用排除法即可得到答案．【详解】由题可知，()1ln 1x f x x x-=+定义域为：()1,1-， 因为()()11ln ln 11x x f x x x f x x x+--=-==-+，函数()f x 为偶函数，排除A ，C ； 又因为111ln 0223f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，排除B . 故选：D.【点睛】 本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，单调性，特殊点等角度运用排除法求解． 8．D【解析】【分析】根据题给的限制条件与球的对称性，分析出该几何体也是同样处于对称的状态时，其外接球最小．【详解】由题意知，当该球为底面边长分别为4、2，高为8的长方体的外接球时，球的半径取最小值，所以，该球形容器的半径的最小值为R ==，因此，该球形容器的表面积的最小值为84S π=.故选：D.【点睛】本题考查球的表面积，结合传统文化，考查实际问题的理解能力，属于创新题．9．C【解析】【分析】由对数函数的定义域可知240210a a ⎧->⎨->⎩，由此可知函数()log a f x x =为增函数，故2421a a -<-，解不等式即可．【详解】由题意知，240210a a ⎧->⎨->⎩得：2a >，即函数()log a f x x =为增函数 又因为()()2log 4log 21a a a a -<-，所以2421a a -<-得23a <<. 故选：C.【点睛】本题考查对数函数的图象及性质，利用函数单调性进行不等式求解．10．C【解析】【分析】利用空间中线线，线面，面面平行及垂直的判定定理及性质定理逐项判断即可．【详解】对于（1）如果m α⊥，//n α，根据直线与平面垂直的性质可知m n ⊥，所以（1）正确； 对于（2）如果m n ⊥，m α⊥，βn//，根据线面垂直与线面平行性质可知αβ⊥或//αβ或αβ⋂，所以（2）错误；对于（3）如果//αβ，m α⊂，根据直线与平面平行的判定可知//m β，所以（3）正确； 对于（4）设平面α、β、γ是位于正方体经过同一个顶点的三个面，则有αγ⊥且βγ⊥，但是αβ⊥，推不出//αβ，故（4）不正确.故选:C.【点睛】本题考查空间中线线，线面以及面面间的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力． 11．B【解析】【分析】根据题目所给定义，分别利用对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数的单调性，算出 ()f a 和()f b ，进行分析判断即可．【详解】对于①，函数()ln f x x =为增函数，若函数()ln f x x =存在“3倍值区间”[],a b ，则()()ln 3ln 3f a a a f b b b⎧==⎪⎨==⎪⎩，由图象可得方程ln 3x x =无解，故函数()ln f x x =不存在“3倍值区间”；对于②，函数()()10f x x x=> 为减函数，若存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩得：13ab =，0a >，0b > 例如：13a =，1b =.所以函数()()10f x x x =>存在“3倍值区间”； 对于③，若函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[],a b ，则有()()2233f a a a f b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩.所以函数函数()()20f x x x =≥存在“3倍值区间”[]0,3； 对于④，当0x =时，()0f x =.当01x <≤时，()11f x x x =+，从而可得函数()f x 在区间[]0,1上单调递增.若函数()21x f x x=+存在“3倍值区间”[],a b ，且[][],0,1a b ⊆，则有()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩，无解.所以函数()21x f x x =+不存在“3倍值区间”. 故选：B.【点睛】本题是函数新定义问题，以及对数函数、反比例函数、二次函数、双勾函数单调性和值域等，根据函数性质及题中所给条件进行一一判断是关键.12．C【解析】【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M Q ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE Q ，1AA NE =，∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，又1A N MN N =I ，∴平面1//A MN 平面AEF .P Q 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ，∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M ===同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N = 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.12AO ===Q ，11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣.故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．13．2【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质即可得出．【详解】运算如下：3log 43- 42433⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2= 故答案为：2. 【点睛】本题考查了指数幂的运算性质、根式和分数指数幂的转换以及对数的运算性质，属于基础题．14．【解析】【分析】将三棱锥外接球转化成正方体的外接球，再求解即可．【详解】如图所示：三棱锥-P ABC ，为正方体所截得的三棱锥所以三棱锥-P ABC 的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为2R ==所以外接球的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥外接球的体积求法，以及利用正方体的体对角线等于外接球的直径，同时考查了转化思想．15．{}1,2,3【解析】【分析】根据条件可知||1x x a e +=即1||x x a e +=，利用数形结合思想画出1()x e 与||x a +的图象，由交点个数即可求出答案．【详解】 由题意得：11xx x a e x a e +⋅=⇔+=，设()1x f x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象，如图所示：所以方程解的个数可能为1个或2个或3个.故答案为：{}1,2,3.【点睛】本题运用等价转换，数形结合思想可求出方程解得个数，要求学生掌握指数函数图像和含绝对值的一次函数图像的画法，注意图像的翻折．16．②【解析】如下图，若AC BD ⊥ ，已知CF BD ⊥ ，那么BD ⊥平面ACF ，则BD AF ⊥，这与BD AE ⊥矛盾，点,E F 不会重合，所以①不正确；若AB CD ⊥ ，已知中CD BC ⊥ ，则CD ⊥平面ABC ，点A 在平面BCD 内的射影落在线段BC 上，并且AC ，所以存在某个位置使AB CD ⊥；所以②成立；若AD BC ⊥，已知BC CD ⊥，所以BC ⊥平面ACD ，即BC AC ⊥ ，那AB BC >，这与已知矛盾，所以③不正确.17．（1）{}2A B x x ⋃=≥-，{}12A B x x ⋂=<<；（2）(),2-∞-【解析】【分析】（1）可求出{|22}A x x =-<…，1a =时，可求出集合B ，然后进行并集、交集的运算即可；（2）可先得出{|}B y y a =>，根据A B B ⋃=可得出A B ⊆，从而可得出a 的取值范围．【详解】解：（1）由题意可得：{}22A x x =-≤<，当1a =时，{}{}2311x B y y y y -==+=>， {}2A B x x ∴⋃=≥-，{}12A B x x ⋂=<<，（2）由（1）可得：{}22A x x =-≤<，{}B y y a => A B B =Q U 得A B ⊆2∴<-a即a 的取值范为：(),2-∞-.【点睛】本题考查了对数函数的定义域和单调性，增函数的定义，指数函数的值域，交集、并集的运算，并集和子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（1）6+；（2 【解析】【分析】（1）取半圆的圆心记作O 点，圆面的圆心记作O '，作O E AD '⊥交AD 于点E ， 求出圆锥底面半径r 和母线长l ，利用勾股定理，结合图形求出AD 的值；（2）由圆锥的母线长和底面半径求得圆锥的高，再计算圆锥的体积．【详解】解：如图所示：取半圆的圆心记作O 点，圆面的圆心记作O '，作O E AD '⊥交AD 于点E ，设圆锥底面半径为22AB r ==，圆锥母线长为4l AB ==，则：6OO l r '=+=，2EO r '==（1）在Rt OO E '∆中，由勾股定理可得：EO =426AD DO OE EA ∴=++=+=+（2）由（1）可得：圆锥的母线长4l =，底面半径2r =，则圆锥的高为：h ==∴圆锥的体积为：()213V r h π=⋅= 【点睛】本题考查了圆锥的体积和结构特征，涉及圆锥母线和底面圆半径，以及勾股定理，同时也考查学生的想象能力．19．（1）证明见解析；（2）90︒【解析】【分析】（1）可连接1CB ，设1CB 交1C B 于点O ，并连接DO ，可根据条件得出1//DO AC ，从而根据线面平行的判定定理得出1//AC 平面1BC D ；（2）根据（1）知1//DO AC ，从而得出DO 和直线1BC 的夹角便是异面直线1A C 与1BC 所成角，根据条件可以求出1DC DB =，从而可得出1DO BC ⊥，从而得出1A C 与1BC 所成角．【详解】解：连接1CB 交1C B 于点O ，连接DO（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中得：点O 为1CB 的中点，又点D 是11A B 的中点，即DO 为11B A C ∆的中位线1//DO AC ∴又1A C ⊄Q 平面1BC D ，DO ⊂平面1BC D1//AC ∴平面1BC D（2）由（1）可得：1//A C DO又1BC DO O ⋂=Q∴异面直线1A C 与1BC 所成角为直线DO 与1BC 所成的角即为：BOD ∠又1AA =Q 2AB BC CA ===由几何关系可得：DO BO ==BD =∴在BOD ∆中：222DO BO BD +=90BOD =∴∠︒即异面直线1A C 与1BC 所成角度为：90︒【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，线面平行的判定定理，异面直线所成角的求法，考查了计算能力．20．（1）()2232105,01030,10x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩；（2）8（万吨），230（万元） 【解析】【分析】（1）直接由已知结合利润=总收益-总成本可得每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系；（2）分段求出函数的最大值，则答案可求．【详解】解：（1）由题意可得：因为每月固定维护成本5万元，每处理一万吨垃圾需增加1万元维护费用，则每月成本为()5x +万元，又因为：利润=总收益-总成本，所以，每台设备每月处理垃圾获得的利润()f x 关于每月垃圾处理量x 的函数关系为：()2232105,01030,10x x x f x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）由（1）可得：当010x ≤≤时，()()22823f x x =--+当8x =时，()()max 823f x f ==；当10x >时，()30f x x =-为减函数，则()20f x < ∴当8x =时，每台设备每月处理垃圾所获利润最大最大利润为：2310230w =⨯=（万元）【点睛】本题考查函数模型的选择及其应用，以及分段函数和利用二次函数求最值．21．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）连接CE 、AC 、DB ，推出CAE ∆为等腰三角形，AE CM ⊥，//ED FB ，从而四边形BDEF 为平行四边形，进而EF DB =，推导出AE MF ⊥，AE CM ⊥，由此能证明AE ⊥平面CMF ．（2）取AD 的中点N ，连接MN 、BN ，MN 为ADE ∆的中位线，//MN DE ，由DE ⊥平面ABCD ，由此MN ⊥平面ABCD ，从而斜线BM 在平面ABCD 内的射影为BN ，直线BM 与平面ABCD 所成角为MBN ∠，能求出直线BM 与平面ABCD 所成角的正切值．【详解】解：如图所示：连接CE 、AC 、DB（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，且ED AB =EC AC ∴=即CAE ∆为等腰三角形又M Q 为棱AE 的中点，得：AE CM ⊥BF ⊥Q 平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，得：//ED FB又ED FB =，则四边形BDEF 为平行四边形EF DB ∴=又正方形ABCD ，ED FB AB ==EF AF ∴=即AEF ∆为等腰三角形AE MF ∴⊥又AE CM ⊥，CM MF M ⋂=，CM ⊂平面CMF ，MF ⊂平面CMFAE ∴⊥平面CMF（2）取AD 的中点N ，连接MN 、BNQ 点M 、N 分别为AE 、AD 的中点MN ∴为ADE ∆的中位线//MN DE ∴又DE ⊥Q 平面ABCDMN ∴⊥平面ABCDMN ∴为斜线BM 过点M 向平面ABCD 的一条垂线，垂足为点N ，则斜线BM 在平面ABCD 内的射影为BN ，直线BM 与平面ABCD 所成角为MBN ∠，设2AB a =由几何关系可得：2ED MN a ==，BN ==在Rt BNM ∆中得：tan5MN MBN BN ∠===【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查满足角线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证思想．22．（1）具有，4a =；（2）[]2,3；（3）[)3,+∞【解析】【分析】（1）假设函数具备()P a 性质，代入即可求出a 的值；（2）根据题意可知(2)()f x f x +=-，再根据函数的最小值即可求出()f x 值域； （3）由题得()()g x g x =-且(2)()g x g x +=-，作出图象，即可求出b 的取值范围．【详解】解：（1）假设247y x x =-+具有“()P a 性质”， 则()()()()224747x a x a x x +-++=---+恒成立，等式两边平方整理得，()22244a x a a x -+-=，因为等式恒成立， 所以()222440a a a ⎧-=⎨-=⎩，解得4a =；（2）Q 函数()y f x =具有“()2P 性质”则()()2f x f x +=-()()2f x f x ∴=-又Q 当1x ≤时，()f x m x =-，在(],1x ∈-∞单调递减 ∴当1x ≥时，21x -≤得：()()222f x m x x m -=--=+-，又()()2f x f x =-得当1x ≥时，()2f x x m =+-，在[)1,x ∈+∞单调递增∴函数()f x 的最小值()()min 112f x f m ==-=，得：3m =∴当[]0,1x ∈时，()3f x x =-，单调递减此时()f x 的值域为：[]2,3（3）()y g x =Q 既具有“()0P 性质”，即()()g x g x =-，则函数()y g x =为偶函数， 又()y g x =既具有“()2P 性质”，即()()()22g x g g x +=-=，且当11x -≤≤时，()g x x =作出函数()y g x =的图象如图所示：Q 函数()log b y g x x =-，在(]0,3x ∈恰好存在2个零点()g x ∴与log b y x =在(]0,3x ∈恰好有2个交点1b ∴>且log 31b ≤3b ∴≥即b 的取值范围为：[)3,+∞.【点睛】本题是新定义问题，涉及函数的单调性、奇偶性、值域相关知识，以及函数的零点问题，运用数形结合的方法是关键．。

数学（理）考生注意：本试卷共21道小题，满分100分，时量120分钟，请将答案写在答题卷上．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．己知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如右图示， 若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是（ ） A ．43π B ．2πC ．38πD ．103π2. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是631，则判断框内 应填入的条件是（ ）A.4i <B.4i >C.5i <D.5i > 3．方程22(1)230a x ax +--=的两根12,x x 满足）（2121x x x -<且01>x , 则实数a 的取值范围是（ ）A.()3,1B. ()+∞+,31C. )31,23(--D. ),23(∞+- 4．已知函数21,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()0,1D ．[)0,+∞ 5．如右图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象,其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -=（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2- 6．如图，已知双曲线2213yx -=，, A C 分别是虚轴的上、下端点，B 是左顶点， F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是（ ）A ．77 B ．577 C ．714D ．57147．已知α、β是三次函数3211()2(,)32f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则21b a --的取值范围是（ ）y O12 2-ABA ．1(,1)4B ．1(,1)2C ．11(,)24-D ．1(0,)38. 方程1169x x y y+=-的曲线即为函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =，有如下结论：①()f x 在R 上单调递减；②函数()4()3F x f x x =+不存在零点；③函数()y f x =的值域是R ；④若函数()g x 和()f x 的图像关于原点对称，则函数()y g x =的图像就是方程1169y y x x+=确定的曲线。

2016年下期衡阳八中实验班高三年级第三次月考理科数学（试题卷）注意事项：1.本次考试为衡阳八中实验班高三年级第三次月考试卷，本卷共22题，满分为150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即通报老师。

考生考试时请遵守考场纪律，开考后分钟，考生禁止进入考室。

3.本卷中的选择题部分请同学们采用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题请用黑色0.5mm中性笔书写。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（共60分）一.选择题（从每题后面的四个选项中选出正确的一项，每题5分，共60分）1.已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A．M∩N=N B．M∩（∁U N）=∅C．M∪N=U D．M⊆（∁U N）2.已知i为虚数单位，（1﹣2i）•z=i3．则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.2015年高中生技能大赛中三所学校分别有3名、2名、1名学生获奖，这6名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是（）A． B． C．D．4.已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+35.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B．直线l1和l2有交点（s，t）C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合6.在中，角的对边分别为，且．若的面积为，则的最小值为（）A．24 B．12 C．6 D．47.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．23 D．248.在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则抛物线y=ax2的准线方程为（）A．y=﹣B．x=﹣C．x=﹣D．y=﹣9.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围为（）A． B． C． D．10.下图所示程序框图中，输出（）A．45 B．-55 C．-66 D．6611.若f（x）为偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=，则不等式f（x﹣1）＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣2＜x＜2}12.已知数列{a n}共有9项，其中，a1=a9=1，且对每个i∈{1，2，…，8}，均有∈{2，1，﹣ }，则数列{a n}的个数为（）A．729 B．491 C．490 D．243第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.设f（x）为一次函数，且f[f （x）]=4x+3，则f （x）的解析式．14.设是不重合的两直线，是不重合的两平面，其中正确命题的序号是．①若//，则；②若，则；③若，则//；④若，则//或15.设直线l：（m﹣1）x+（2m+1）y+3m=0（m∈R）与圆（x﹣1）2+y2=r2（r＞0）交于A，B两点，C 为圆心，当实数m变化时，△ABC面积的最大值为4，则mr2= ．16.二项式（﹣）6展开式中常数项为．三.解答题（请写出解答步骤，公式定理和文字说明，共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列{a n}中，a1=1，a2=3，其前n项和为S n，且当n≥2时，a n+1S n﹣1﹣a n S n=0．（1）求证：数列{S n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18.（本题满分12分）某技术公司新开发了两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计产品，产品为正品的概率；（2）生产一件产品，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记为生产1件产品和1件产品所得的总利润，求随机变量的分列和数学期望．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂，，，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）如图，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．已知函数．(Ⅰ)若，求函数的极值；(Ⅱ)设函数，求函数的单调区间；(Ⅲ)若存在，使得成立，求的取值范围．22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点．（1）求经过的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数），若圆与圆外切，求实数的值．2016年下期衡阳八中高三年级实验班第三次月考答案理科数学一.选择题1-5.ADCAB6-10.DADDB11-12.AB二.非选择题13.f（x）=2x+1，或f（x）=﹣2x﹣314.②④15.-4或1416.6017.解：（1）证明：当n≥2时，a n+1S n﹣1﹣a n S n=0．，∴，又由S1=1≠0，S2=4≠0，可推知对一切正整数n均有S n≠0，则数列{S n}是等比数列，公比q==4，首项为1．∴．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3×4n﹣2，又a1=S1=1，∴a n=．（4分）（2）解：当n≥2时，b n===，又．∴，则，（6分）当n≥2时，b n=，（8分）则，n=1时也成立．综上：（12分）18.（1）产品为正品的概率为．（3分）产品为正品的概率约为．（6分）（2）随机变量的所有取值为，；；；．（8分）所以，随机变量的分布列为：180 90 60 -30．（12分）19.（4分）（2）因为平面平面，且，所以平面，所以.（5分）由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以，，，，，，所以，（6分）平面的一个法向量为,设直线与平面所成的角为，所以,（10分）即直线与平面所成角的正弦值为.（12分）20.解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（5分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则）=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（9分）故（**）…（10分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（11分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（12分）方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…（12分）21.解：（Ⅰ）的定义域为．………1分当时，．………2分由，解得.当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，函数取得极小值，极小值为；……4分（Ⅱ），其定义域为．又．…………6分由可得，在上，在上，所以的递减区间为；递增区间为．…………7分（III）若在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得．即在上的最小值小于零．…8分①当，即时，由（II）可知在上单调递减．故在上的最小值为，由，可得．………9分因为．所以；………10分②当，即时，由（II）可知在上单调递减，在上单调递增．在上最小值为．………11分因为，所以．，即不满足题意，舍去．综上所述:．………12分22.解析：（5分）（2）圆（是参数）对应的普通方程为，因为圆与圆外切，所以，解得．（10分）。

衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学请注意：时量120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3.已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4.设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACA ． 30B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或-9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．12 B ．12- C ．1 D ．1- 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图, ()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m =≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F FF P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．2 D ．3 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)13、已知(1,2),(2,)a b m =-=，若a b ⊥ ，则b =14、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B ，则A = 15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x =-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：_______. ①对m Z ∀∈，有(2)0m f =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞； ③存在n Z ∈，使得(21)9n f +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T18.(本小题12分）已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3． （1）求()f x 的单调增区间和a 的值； （2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域．19.(本小题12分）如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接,AC FD ，形成如右图所示的多面体，且折叠后的A 与C （1）证明：平面AM BCDE ⊥面; （2）求三棱锥E ABC -的体积;20.(本小题12分）设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =，短轴2b =以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程．21.(本小题12分）已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （2）在(1)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭22.(本小题10分）已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.衡阳市八中2019届高三第三次月考试题文科数学命题人：吕建设 审题人：彭源 请注意：时量150分钟 满分：150分二．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合{}|(1)(4)0M x x x =--≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N ⋂中元素的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知复数1iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3. 已知双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线的渐近线方程为 A ． 430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ． 340x y ±=4. 设2,0()2,0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f -=则a =A 、2B 、1C 、-2D 、-15.《九章算术》是我国古代的数学名著，其中卷六《均输》一节中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊、所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．54钱 B ．43钱 C.32钱 D ．53钱 6.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，PA AC BC ==,则AB 与面PACB ． 30 B ． 45C ．60D ．907.已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组1222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩给定．求目标函数25z x y =+-的最大值为A ．1B ．0C ．1-D ．5-8.已知直线3y kx =+和圆226450x y x y +--+=相交于,M N 两点，若MN =,则k 的值为A.122或B.122-或-C.122-或D.122或- 9.如右图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+，则λμ+的值为A ．12B ．12-C ．1D ．1-10.设等差数列的前n 项和为n S ，已知13140,0S S ><，若10k k a a +< ，则k = A ．B ．C ．D ．11.如右图,()(),,,M M N N M x y N x y 分别是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与两条直线()12:0,:l y m A m l y m=≥≥=-的两个交点,记()M N S m x x =-,则()S m 的图象大致是A B C D12.如图已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1212,,8,F F F F P =是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点1,A APF ∆的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．．2 D ．3 选择题答案：CDABB BACAB CC填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 将答案填写在题中横线上)15、已知(1,2),(2,)a b m =-= ，若a b ⊥ ，则b =16、在锐角ABC ∆中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B =，则A =15.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，1A E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______. 16.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对(0,)x ∀∈+∞，都有()()22f x f x =，当()1,2x ∈时，()2f x x=-，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：①__②____.①对m Z ∀∈，有(2)0mf =； ②函数()f x 的值域为[0,)+∞；③存在n Z ∈，使得(21)9nf +=；三、解答题(本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，首项11a =，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a ＝a 1a 4，即(1＋d)2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d≠0，∴d＝1，可得a n ＝n. (2)由(1)得b n ＝n ＋2n，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋ (2))＝＋2n ＋1－2.18.已知函数()2sin 2cos 2f x x x x a π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的最大值为3． （1）求()f x 的单调增区间和a 的值； （2）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域． 试题解析：（Ⅰ）由已知()a x x a x x x x f +++=+++=12cos 2sin 32cos 1cos sin 32a x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=162sin 2π，令Z k k x k ∈+++≤+-,226222πππππ，得：Z k k x k ∈+≤≤+-,63ππππ，∴函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ,由函数()x f 的最大值为3，得33=+a ，0=∴a ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ， ()132sin 21642sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴πππx x x g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴πππ32,332x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,2332sin πx ， []3,31132sin 2-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx ，即()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为[]3,31-.19.如图，将边长为的正六边形沿对角线翻折，连接、，形成如图所示的多面体，且折叠后的.（1）证明：平面AM BCDE ⊥面（2）求三棱锥的体积试题解析：（１）证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC 、BE ，交点 为m ，易知，且，在多面体中，由，知，故2分又平面，故平面， ..5分（2）连接AE 、CE,则AG 为三棱锥的高，GC 为的高．在正六边形ABCDEF 中，，故， ..9分所以． 12分20.设椭圆22221(0)y x a b a b +=>>，离心率2e =短轴2b =抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为(0,1)， （1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为,O A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA OB ⊥,当线段AB 的中点在y 轴上时，求直线AB 的方程． 【详解】(1) 由得，又有，代入，解得所以椭圆方程为由抛物线的焦点为得，抛物线焦点在的参数轴，且，抛物线的方程为：(2)由题意点位于第一象限，可知直线的斜率一定存在且大于设直线方程为：，联立方程得：，可知点的横坐标，即因为，可设直线方程为：连立方程得：，从而得若线段的中点在轴上，可知，即有，且，解得从而得，直线的方程：21.已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中a R ∈）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （2）在（1）的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++⎪⎝⎭试题解析：因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦，所以()()221xf x ax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦'， 1分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时, ()xf x xe '=,当0x <时, ()0f x '<,当0x >时, ()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =． 2分 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即210{ 1102x x e x x ->⎛⎫-++> ⎪⎝⎭或210{ 1102x x e x x -<⎛⎫-++< ⎪⎝⎭， 6分 令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()()()1x h x g x e x ==-+',()1x h x e '=-， 当0x >时, ()10x h x e ='->；当0x <时, ()10x h x e ='-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=， 即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =； 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭， 所以原不等式的解集为{|01}x x x 或． 10分22.已知函数()211f x x x =-++.（1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+. 试题解析：（1）依题意，得()3,1,1{2,1, 213,,2x x f x x x x x -≤-=--<<≥ 于是得()1,3{ 33,x f x x ≤-≤⇔-≤或11,{ 223,x x -<<-≤或1,{ 233,x x ≥≤ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤时，取等号，∴[)3,M =+∞. 原不等式等价于()()22223133331t t t t t t t t t t -+-+--+-==. ∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴()()2310t t t -+≥. ∴2313t t t+≥+.。

衡阳八中2017年下期高三年级第三次月考试卷理数（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.在n元数集S={a1，a2，…a n}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X （A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为f s（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（）A．f s（4）=f s（5）B．f s（4）=f T（5）C．f s（1）+f s（4）=f T（5）+f T（8）D．f s（2）+f s（3）=f T（4）2.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（）A．B．C．D．5.已知{a n}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{a n}的前5项和S5=（）A．15 B．31 C．40 D．1216.函数的图象可由函数的图象至少向右平移（）个单位长度得到．A． B． C．D．7.设变量X，Y满足约束条件，且目标函数Z=+（1，b为正数）的最大值为1，则a+2b的最小值为（）A．3 B．6 C．4 D．3+28.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b 分别为5，2，则输出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．59.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A ．B ．C ．D ．10.已知函数f （x ）=（其中e 为自对数的底数），则y=f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.椭圆x 2+=1（0＜b ＜1）的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若△FAB 的外接圆圆心P （m ，n ）在直线y=﹣x 的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．（，1）B ．（，1）C ．（0，） D ．（0，）12.设函数f （x ）在R 上存在导函数f′（x ），对于任意的实数x ，都有f （x ）=4x 2﹣f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，0）时，f′（x ）+＜4x ，若f （m+1）≤f （﹣m ）+4m+2，则实数m 的取值范围是（ ）A.[﹣，+∞）B.[﹣，+∞）C.[﹣1，+∞）D.[﹣2，+∞）第II 卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分） 13.已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|= ．14.在二项式（1+）8的展开式中，x 3的系数为m ，则（mx+）dx= ．15.抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k= ．16.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）设函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、c成公差大于零的等差数列，求的值．18.（本题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．19.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C ： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l 与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．20.（本题满分12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．选做题请从22、23题中任选一题作答，共10分。

绝密★启用前2019届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列集合中，是集合3{|2log 9}x x <的真子集的是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |x ≤0}D ．{0，1，2，3}2．在复平面内，复数()2i i -+对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄a ，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ） A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件4．设a 122=，b 134=⎰（1﹣x 2）dx ，c＝2ln 2，则（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜1＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ﹣1，则{a n }的通项公式a n ＝（ ） A ．2n ﹣1B ．2n ﹣1C ．2n ﹣1D ．2n +16．已知向量AB =u u u r （2，1），点C （﹣1，0），D （3，2），则向量AB u u u r 在CD uuu r方向上的投影为（ ） A B ．﹣C ．D ．7．若直线l 过点A （0，a ），斜率为1，圆x 2+y 2＝9上恰有3个点到l 的距离为1，则a……○………○…………订※※请※※不※※订※※线※※内※……○………○…………订A．±3 B．±C．±2 D．±8．已知命题:,2lgp x R x x∃∈->，命题2:,0q x R x∀∈>，则（）A．命题p q∨是假命题B．命题p q∧是真命题C．命题()p q∧⌝是真命题D．命题()p q∨⌝是假命题9．设α＞0，β＞0，将函数f（x）＝sinx的图象向左平移α个单位长度得到图象C1，将函数6g x cos xπ=+（）（）的图象向右平移β个单位长度得到图象C2，若C1与C2重合，则cos（α+β）＝（）A．B C．12-D．1210．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A．4πB．12C．1D．211．在正方体1111ABCD A B C D-中，E是棱1CC的中点，F是侧面11BCC B内的动点，且1A F P平面1D AE，则1A F与平面11BCC B所成角的正切值t构成的集合是（）A．|5t t禳镲镲睚镲镲铪B．|25t t禳镲镲睚镲镲铪C．{|2t t剟D．{|2t t剟12．在数列{}n a中，10a=，()()1522*,2n na a n n N n--+=+∈≥，若数列{}n b满足81()11nnb=，则数列{}n b的最大项为()第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．已知实数x 、y 满足110x x y x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+≤⎩，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_____.14．已知两个单位向量1e u r ，2e u u r ，且|12ee +u r u u r |＝1，则|12e e -u r u u r|＝_____.15．已知圆x 2+y 2＝4.过点C （13直线l 的方程_____. 16．对于函数y ＝f （x ），若存在x 0，使f （x 0）+f （﹣x 0）＝0，则称点（x 0，f （x 0））是曲线f （x ）的“优美点”•已知f （x ）22030x x x kx x ⎧+=⎨+≥⎩，＜，若曲线f （x ）存在“优美点”，则实数k 的取值范围为_____. 三、解答题17．在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且满足cos 20cos B a bC c-++=． （1）求角C 的值；（2）若2b =，AB 边上的中线CD =ABC V 的面积．18．已知函数f （x ）＝x 3﹣4x 2+5x ﹣4.（1）求曲线f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程： （2）若g （x ）＝f （x ）+k ，求g （x ）的零点个数. 19．（题文）等边△ABC 的边长为3，点D ，E 分别为AB ，AC 上的点，且满足2AE BDEC DA==（如图①），将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1﹣DE ﹣B 成直二面角，连接A 1B ，A 1C （如图②）.……线…………○…………线…………○……（1）求证：A 1D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P （不包括端点），使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出A 1P 的长，若不存在，请说明理由.20．在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，﹣3），点M 满足|MA |＝2|MO |. （1）求点M 的轨迹方程；（2）若圆C ：（x ﹣c ）2+（y ﹣c +1）2＝1，判断圆C 上是否存在符合题意的M ； （3）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是点M 轨迹上的两个动点，点P 关于点（0，1）的对称点为P 1，点P 关于直线y ＝1的对称点为P 2，如果直线QP 1，QP 2与y 轴分别交于（0，a ）和（0，b ），问（a ﹣1）•（b ﹣1）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数()ln a xf x x+=，()g x mx =． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围； （3）当1a =时，求证：当1x >时，()()11121.x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：2214y x +=，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π），半径为1的圆. （1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；（2）设M ，N 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求|MN |的取值范围. 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数 ()212f x x x =--+ （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；参考答案1．C 【解析】 【分析】可求出3{|2log 9}{|1}x x x x <=<，这样即可看出哪个选项的集合为该集合的真子集． 【详解】由题得3{|2log 9}{|1}x x x x <=<； {|1}x x ∴<的真子集为{|0}x x …．故选：C ． 【点睛】本题主要考查对数的运算、描述法的定义、指数函数的单调性，考查真子集的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2．D 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，可得复数对应坐标，从而可得答案． 【详解】()212i i i -+=-Q ，∴复数()2i i -+对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限，故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数几何意义，是基础题．解题时一定要注意应用21i =-，注意()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 3．D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“//m n ”则“//m α”成立，即充分性成立，//m αQ ，m ∴不一定平行n ，因为m 还有可能和n 异面.即“//m n ”是“//m α”的充分不必要条件， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键． 4．B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得122a ==12031(1)42b x dx =-=⎰，224c ln ln ==，据此比较可得答案．【详解】根据题意，1221a =，312100331(1)()|4432x b x dx x =-=-=⎰，2241c ln ln ==>，2=，1077210241046,10ln 27,ln 210e =<≈∴<∴<.72110<<，ln 4>. 则有1b c a <<<， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查定积分的计算，考查对数和分数指数幂的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 5．B 【解析】 【分析】求出数列的首项，把式子21n n S a =-和1121n n S a --=-相减化简即得数列的通项公式． 【详解】数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，1n =时，解得11a =，2n …时，1121n n S a --=-，可得122n n n a a a -=-，所以12n n a a -=，所以数列{}n a 为等比数列，公比为2；则{}n a 的通项公式12n n a -=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查数列的递推关系式的应用，考查数列通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 6．A 【解析】 【分析】运用向量的加减运算可得(4,2)CD =u u u r ，运用向量的数量积的坐标表示，以及向量AB u u u r 在CDuuu r 方向上的投影，即可得到所求值． 【详解】向量(2,1)AB =u u u r ，点(1,0)C -，(3,2)D ，可得(4,2)CD =u u u r，所以241210AB CD =⨯+⨯=u u u r u u u rg ，||CD =u u u r所以向量AB u u u r 在CD uuu r 方向上的投影为||AB CD CD ==u u u r u u u rg u u u r 故选：A ． 【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题． 7．D 【解析】 【分析】圆229x y +=上恰有3个点到l 的距离为1等价于圆心到直线的距离为2，再根据点到直线的距离列式可得． 【详解】圆229x y +=上恰有3个点到l 的距离为1等价于圆心到直线的距离为2， 因为直线l 的方程为：0x y a -+=，2∴，解得a =±．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 8．C 【解析】试题分析：先判断出命题p 与q 的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解：由于x=10时，x ﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p 为真命题， 令x=0，则x 2=0，故命题q 为假命题， 依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，￢q 是真命题， 进而得到命题p ∧（￢q ）是真命题，命题p ∨（￢q ）是真命题． 故答案为C ．考点：全称命题；复合命题的真假． 9．C 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换可求两图象的解析式，根据已知可得2sin()sin()3x x παβ+=-+，解得223k παβπ+=+，k Z ∈，即可求得cos()αβ+的值． 【详解】由已知可得1:sin()C y x α=+，22:cos()sin()63C y x x ππββ=-+=-+，由题意可得：2sin()sin()3x x παβ+=-+恒成立， 则：223k παπβ=-+，k Z ∈，可得：223k παβπ+=+，k Z ∈， 可得：1cos()2αβ+=-． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，考查了转化思想，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案. 【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B 【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键. 11．D 【解析】 【分析】为确定F 点位置，先找过1A 与平面1D AE 平行且与平面11B BCC 相交的平面，分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，可知平面1//A MN 平面1D AE ，故F 在线段MN 上，可知线面角为11A FB ∠，分析其正切值即可求出. 【详解】设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接,AG EG ，则G 为BC 的中点.分别取111,B B B C 的中点,M N ，连接11,,A M MN A N ，则11//A M D E ， ∵1A M Ë平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE . ∵1,A M MN 是平面1A MN 内的两条相交直线， ∴平面1//A MN 平面1D AE ，且1//A F 平面1D AE ， 可得直线1A F ⊂平面1A MN ，即点F 是线段MN 上的动点.设直线1A F 与平面11BCC B 所成角为θ，运动点F 并加以观察，可得：当点F 与点M （或N ）重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角等于11A MB Ð，此时所成角θ达到最小值，满足111tan 2A B B Mθ==； 当点F 与MN 中点重合时，1A F 与平面11BCC B 所成角达到最大值，此时111tan A B B Fθ===，∴1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合为{|2t t 剟，故选D. 【点睛】本题主要考查了面面平行的判定与性质，线面角，及线面角正切的最值问题，属于难题. 12．B 【解析】 【分析】利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，可得()181()11n n b n n -=+，进一步利用11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，建立不等式组，从而可得结果．【详解】数列{}n a 中，10a =，()1522n n a a n --+=+， 得到：121n n a a n --=-，()12211n n a a n ---=--，⋯，21221a a -=⨯-，上边()1n -个式子相加得：()()12231n a a n n -=++⋯+--，解得：21n a n =-．当1n =时，首项符合通项．故：21n a n =-．数列{}n b 满足81()11nn b =， 则()181()11n n b n n -=+， 由于11n n n n b b b b -+≥⎧⎨≥⎩，故：()()()()212221288()()111188()32()1111n n n n n n n n n n n n ---⎧+⋅≥-⋅⎪⎪⎨⎪+⋅≥++⋅⎪⎩，解得：161933n ≤≤， 由于n 是正整数， 故6n =．故选B ． 【点睛】本题主要考查递推公式求数列的通项公式、累加法的应用，数列最大项的求法，属于难题．由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加法求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如1(0,1)n n a qa p p q -=+≠≠的递推公式，可构造等比数例{}n a m +，进而得出{}n a 的通项公式. 13．（3，+∞）. 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论． 【详解】作出不等式组对应的平面区域， 要使所表示的平面区域为三角形， 则点A 必须在直线x y m +=的下方， 即A 的坐标满足不等式x y m +<， 由110x x y =⎧⎨-+=⎩，解得(1,2)A ，此时满足x y m +<，即3m >．故答案为：(3,)+∞．【点睛】本题主要考查二元一次不等式组平面区域的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14【解析】 【分析】根据12,e e u r u u r 为单位向量，对12||1e e +=u r u u r 两边平方即可求出1221e e =-u r u u r g ，从而可求出212||3e e -=u r u u r ，进而可求出12||e e -u r u u r．【详解】Q 22121e e ==u r u u r ，且12||1e e +=u r u u r；∴22212112212||2221e e e e e e e e +=++=+=u ru u r u r u r u u r u u r u r u u rg g ；∴1221e e =-u r u u rg ；∴222121122||21113e e e e e e -=-+=++=u r u u r u r u r u u r u u rg ；∴12||e e -=u r u u r．【点睛】本题主要考查单位向量的概念，考查了向量数量积的运算，以及向量长度的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．4x y ﹣7＝0. 【解析】 【分析】根据勾股定理可得圆心到直线的距离d =，故可得OC l ⊥，可得l 的斜率，再根据点斜式可得． 【详解】由题得圆心O 到直线l 的距离d ==，又||OC =，故OC l ⊥，l ∴的斜率为3-，故直线l 的方程为1)y x =-，即470x +-=．故答案为：470x +-=． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．16．k 2≤-【解析】 【分析】由题意等价于0x <时，2()2f x x x =+关于原点对称的函数在0x >时()3f x kx =+有交点，即可求解． 【详解】由题意可得，若0(x ，0())f x 是曲线()f x 的“优美点”，则0(x -，0())f x -也在曲线上，故当0x <时，2()2f x x x =+关于原点对称的函数与0x >时()3f x kx =+有交点，Q 当0x <时，22y x x =+，其关于原点对称的函数22y x x =-+，(0)x >，联立22y x x =-+与3y kx =+可得，32k x x=--+在0x >时有解，0x Q >时，322x x--+-„，2k ∴-„故答案为：(-∞，2-． 【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用对称性求解函数的解析式，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．17．⑴3C π=【解析】 【分析】()1由cos 20cos B a b Cc-++=，根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，化简可得sin 2sin cos 0A A C -=，由于sin 0A >，可求1cos 2C =，进而可求C 的值；()2由()12CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r ，结合平面向量数量积的运算可得()2213222cos604a a =++⨯⨯⨯o ，解得a 的值，根据三角形面积公式即可得结果． 【详解】()cos 210cos B a bC c-++=Q， 由正弦定理得：cos 2sin sin 0cos sin B A BC C-++=， 即()cos sin cos 2sin sin 0B C C A B ⋅+-+=，从而()sin 2sin cos 0B C A C +-=，即：sin 2sin cos 0A A C -=， 又ABC V 中，sin 0A >， 故1cos 2C =， 得3C π=.()2由()12CD CA CB =+u u u r u u u r u u u r，得：()2213222cos604a a =++⨯⨯⨯o ，从而2a = 或4(a =-舍)，故11sin 22sin6022ABC S ab C ==⨯⨯⨯=o V 【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心. 18．（1）x ﹣y ﹣4＝0（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，再求得f '（2）与f （2），利用直线方程点斜式求曲线()f x 在点(2，f （2）)处的切线方程；（2）()()g x f x k =+的零点个数，即()y f x =与yk=-的交点个数，利用导数求函数()f x的单调性与极值，作出图象，数形结合得答案．【详解】（1）∵f（x）＝x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）＝3x2﹣8x+5，∴f′（2）＝1，又f（2）＝﹣2，∴曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（﹣2）＝x﹣2，即x﹣y﹣4＝0；（2）g（x）＝f（x）+k的零点个数，即y＝f（x）与y＝﹣k的交点个数，由f′（x）＝0，可得x＝1或x5 3 =，当x∈（﹣∞，1）∪（53∞+，）时，f′（x）＞0，当x∈（1，53）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1），（53∞+，）上单调递增，在（1，53）上单调递减，∴f（x）极大值＝f（1）＝﹣2，558327 f x f==-极小值（）（）.如图所示，∴﹣k∈（﹣∞，5827-）∪（﹣2，+∞）时，有1个交点，﹣k∈（5827-，﹣2）时，有3个交点，﹣k5827=-或﹣k＝﹣2时，有2个交点.综上所述，k∈（﹣∞，2）∪（5827，+∞）时，g（x）有1个零点，k∈（2，5827）时，g（x）有3个零点，k5827=或2时，g（x）有2个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题． 19．（1）证明见解析（2）存在；A 1P 52= 【解析】 【分析】（1）计算DE ，利用勾股定理可证A 1D ⊥DE ，再根据面面垂直的性质得出1A D ⊥平面BCED ；（2）建立空间坐标系，设BP BC λ=u u u r u u u r，求出平面1A BD 的法向量，根据线面角列方程计算λ的值即可得出结论．【详解】（1）证明：由题意可知A 1D ＝1，A 1E ＝2，∠DAE ＝60°，∴DE == ∴A 1D 2+DE 2＝A 1E 2，∴A 1D ⊥DE ，∵二面角A 1﹣DE ﹣B 成直二面角，即平面A 1DE ⊥平面BDE ，平面A 1DE ∩平面BDE ＝DE ， ∴A 1D ⊥平面BCED.（2）由（1）可知DE ⊥BD ，以D 为原点，以DB ，DE ，DA 1为坐标轴建立空间坐标系D ﹣xyz ，如图所示，则D （0，0，0），B （2，0，0），A 1（0，0，1），C （12，0），则BC =u u u r（32-0），DB =u u u r （2，0，0），令BP BC λ=u u u r u u u r （0＜λ＜1），则DP DB BP =+=u u u r u u u r u u u r （232-λ，2λ，0），即P （232-λ，2λ，0），∴1A P =u u u r （232-λ，2λ，﹣1）， 由（1）知n =r（0，1，0）为平面A 1BD 的一个法向量，则cos 111n A P n A P n A P⋅==u u u r r u u u r ru u u r r ＜，＞=λ56=，即1A P =u u u r （34，4，﹣1）， ∴A 1P 52==. ∴线段BC 上存在点P 使得直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，且A 1P 52=.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，考查空间向量与线面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．20．（1）x 2+（y ﹣1）2＝4（2）存在（3）是定值，定值为4 【解析】 【分析】（1）设(,)M x y ，由||2||MA MO =代入可求M 的轨迹方程；（2）由已知可得圆心(,1)C c c -，圆C 与M 的轨迹有公共点，则13可求c 的范围；（3）设1(P x ，1)y ，可求1P ，2P ，进而可求a ，b 的表达式，即可求解.【详解】（1）设M （x ，y ），由|MA |＝2|MO |可得x 2+（y +3）2＝4（x 2+y 2） 化简可得M 的轨迹方程为x 2+（y ﹣1）2＝4 （2）由已知可得圆心C （c ，c ﹣1），若圆C 与M的轨迹有公共点，则13≤c ≤≤c ≤≤时存在满足条件的M. （3）∵P （x 1，y 1），∴P 1（﹣x 1，2﹣y 1），P 2（x 1，2﹣y 1），由题意可得，直线QP 1，QP 2的斜率一定存在且不为0，否则a 或b 不存在 ∴QP 1：y ﹣y 221212(2)()y y x x x x --=-+，∴211212()2x y x y a x x -+=+，b 211221()2x y x y y y --=- ∴（a ﹣1）⋅（b ﹣1）2112122(1)()x y x y x x -+=-+⋅（2112212()x y x y y y ----1）222221122221)()(11x y x y x x ---=-∵2211(1)4x y +-=，2222(1)4x y +-=.∴（a ﹣1）⋅（b ﹣1）222221122221()(44)x x x x x x ---==-4. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，考查直线方程的应用， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21．（1）()f x 在1(0,)ae -单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）12m e≥(3)见解析 【解析】分析：（1）求出导函数'()f x ，由'()0f x >可确定增区间，由'()0f x <可确定减区间；（2）()()f x g x ≤即为ln x mx x ≤，即2ln x m x ≥，因此只要求得2ln xx的最大值即可； （3）不等式11ln 1(1)()2(1)x x x x e x e +++⋅>+可变形为11(1)(ln 1)211x xx x e e x xe -++⋅>++，只要分别证明1(1)(ln 1)()(1)1x x p x p e x ++=⋅>+，12()(1)1x x e h x h xe -=<+，其中(1)(1)p h =，即能证明题设不等式．详解：（1）()ln a xf x x+=的定义域为()0,+∞， 且()()221ln 1ln 'a x x af x x x -+--==. 由()'01ln 0f x x a >⇒--> 1ln 10a x a x e -⇒<-⇒<<， ∴()f x 在()10,ae-单调递增，在()1,ae-+∞单调递减；（2）解：0a =，()ln xf x x=， ∴()()ln x f x g x x ≤⇔2ln x mx m x≤⇔≥， 令()2ln x u x x =，∴()312ln 'xu x x -=，由()'00u x x >⇒<<∴()u x 在(单调递增，在)+∞单调递减，∴()max12u x ue===，∴12m e ≥； （3）证明：()()11121x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于()()11ln 11211x xx x e e x xe -++⋅>++. 令()()()1ln 1x x p x x++=，则()2ln 'x x p x x -=，令()ln x x x ϕ=-则()11'1x x x xϕ-=-=， ∵1x >，∴()'0x ϕ>，∴()x ϕ在()1,+∞单调递增，()()110x ϕϕ>=>，()'0p x >，∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()()12p x p >=，∴()211p x e e >++，令()121x x e h x xe -=+，则()()()1221'1x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10x e -<，∴()'0h x <，()h x 在()1,+∞单调递减，∴当1x >时，()()211h x h e <=+， ∴()()211p x h x e e >>++，即()()11121x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点睛：（1）用导数研究函数的单调性方法是：求出导函数'()f x ，解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间．（2）用导数证明不等式()()f x g x >，一种方法是证明()()0f x g x ->，为此只要求得()()()H x f x g x =-的最小值，这个最小值大于0；另一种方法是求得()f x 的最小值min ()f x ，再求得()g x 的最大值max ()g x ，由min max ()()f x g x >得证．22．（1）2x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数）；（x +3）2+y 2＝1（2）[1，5]【解析】【分析】（1）由曲线221:14y C x +=，能求出1C 的参数方程；求出曲线2C 是圆心直角坐标为(3,0)-，半径为1的圆，由此能求出2C 的直角坐标方程；（2）设(cos ,2sin )M ϕϕ，2(3,0)C -，则222222||(cos 3)4sin 3cos 6cos 133(cos 1)16MC ϕϕϕϕϕ=++=-++=--+，由此能求出||MN 的取值范围．【详解】（1）∵曲线C 1：2214y x +=， ∴C 1的参数方程为2x cos y sin ϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数）， ∵曲线C 2是圆心极坐标为（3，π），半径为1的圆，∴曲线C 2是圆心直角坐标为（﹣3，0），半径为1的圆，∴C 2的直角坐标方程为（x +3）2+y 2＝1.（2）设M （cosφ，2sinφ），C 2（﹣3，0），∴2222||34MC cos sin ϕϕ=++=-（）3cos 2φ+6cosφ+13＝﹣3（cosφ﹣1）2+16， ∵﹣1≤cosφ≤1，∴224||16MC ≤≤，2≤|MC 2|≤4，∴1≤|MN |≤5.∴|MN |的取值范围是[1，5].【点睛】本题考查曲线的参数方程和直角坐标方程的求法，考查弦长的范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力．23．（1）1(,)(3,)3-∞-+∞U ；（2）(,3][2,)-∞-+∞U【解析】分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2）(3)3525210f x x x x +++=+++，利用绝对值的三角不等式求得25210x x +++的最小值min ，然后解不等式21min m +≥即可．详解：（1）()13,2131,223,2x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪-+≤-⎪⎪⎩， 当30x ->时，得3x >；当310x -->时，得123x -<<-；当30x -+>时，得2x ≤-， 综上可得不等式()0f x >的解集为()1,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）依题意()()min 21335m f x x +≥+++，令()()33525210g x f x x x x =+++=+++ 252105x x ≥--++=. ∴215m +≥，解得2m ≥或3m ≤-，即实数m 的取值范围是][(),32,-∞-⋃+∞. 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：（1）“能成立”：存在x 使不等式()t f x ≥成立min ()t f x ⇔≥，存在x 使不等式()t f x ≤成立max ()t f x ⇔≤；（2）“恒成立”：对任意的x 不等式()t f x ≥恒成立max ()t f x ⇔≥，对任意的x 不等式()t f x ≤恒成立min ()t f x ⇔≤．。

湖南衡阳八中2019届高三第三次月考（数学理）考生注意：本卷共21道小题，满分150分，时量120分钟，请将答案写在答卷纸上。

一．选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．1.已知集合2{|lg(2)},{|2,0},xA x y x xB y y x ==-==>R 是实数集，则()RC B A =A ．[0,1]B ．(0,1]C ．(,0)-∞D ．以上都不对2.已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，命题q :0,2>∈∀x R x .下面结论正确的是 A ．命题“p q ∧”是真命题 B ．命题“p q ∧⌝”是假命题 C ．命题 “p q ⌝∨”是真命题 D ．命题“q p ⌝∧⌝”是假命题3．已知向量(56)=-，a ，(65)=-，b ，则a 与b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 4．在ABC ∆中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133b c - D ．1233b c + 5．如图，函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是A ．B ．C ．D ．6．已知函数()cos 2cos(2)3f x x x π=+-，其中R x ∈，则下列结论中正确的是 A ．)(x f 是最小正周期为π的偶函数B ．)(x f 的一条对称轴是3π=xC ．)(x f 的最大值为2D ．将函数x y 2sin 3=的图象左移6π得到函数)(x f 的图象7．已知M 是ABC ∆内的一点，且23,30AB AC BAC =∠=，若,MBC MCA ∆∆和MAB ∆的面积分别为1,,2x y，则14x y +的最小值是 A ．20 B ．18 C ．16 D ．9 8．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =. '()f x 为()f x 的导函数，已知函数'()y f x =的图象如图所示．若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则22b a ++的取值范围是A ．11(,)32 B ．1(,)(3,)2-∞+∞C ．1(,3)2 D ．(,3)-∞-二．填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填在答题卡对应题号后的横线上.9．函数)62tan(π-=x y 的图象的对称中心的是 . 10．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()1a a b +=，则向量a ，b 的夹角的大小为 . 11．计算()22sin 1x dx --=⎰ ．12．如果关于x 的不等式34x x a---<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 .13．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是 海里.14．设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．15．下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 对应的数就是n ，记作()f m n =．下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号)①114f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数；③()f x 是定义域上的单调函数； ④()fx 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．三．解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(12分) 已知函数23()2)2sin ()2f x x x ππ=-+-．（1）将)(x f 化为()sin()(0,0,0)2f x A x K A πωϕωϕ=++>><<的形式，并求出)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）若13()5f x =，且)125,6(ππ∈x ，求122cos(π-x ）的值．m17．（12分）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =2(sin ,cos 2)2A n A =，且12m n =. （1）求角A 的大小；（2）若2sin (2)sin (2)sin .b B a c A c a C =-+-试判断ABC ∆的形状.18．（12分）设函数()(01)x xf x ka a a a -=->≠且是定义在R 上的奇函数． （1）若(1)0,f >求不等式2(2)(4)0f x x f x ++->的解集； （2）若223(1),()2()[1,)2x x f g x a a mf x -==+-+∞且在上的最小值为—2，求m 的值．19．（13分）如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB 的长为4.5km ，且跑道所在的直线与海岸线l 的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B 到海岸线的距离BC =。

湖南省衡阳市第八中学2019届高三数学第三次月考试题文（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合M=x|(x-1)(x-4)≤0，N=0,1,2,3，则集合M∩N中元素的个数为A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．已知复数z=ii-1（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知双曲线C:x2a2-y216=1(a>0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为A．4x±3y=0 B．16x±9y=0 C．4x±41y=0 D．3x±4y=04．设2,0()2,0x xf xa x x⎧<=⎨+≥⎩，若[](1)2,f f-=则a=A、2B、1C、-2D、-15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，甲所得为A．54钱 B．43钱 C．32钱 D．53钱6．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC,则AB与面PAC所成角为A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．90∘7．已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组12{22xyx y≤≤≤≤给定．目标函数25z x y=+-的最大值为A．1 B．0 C．1- D．5-8．已知直线y=kx+3和圆x2+y2-6x-4y+5=0相交于M,N两点，若MN=23,则k的值为A．2或12 B．-2或-12 C．-2或12 D．2或-129．如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE AB ACλμ=+，则λμ+的值为A．12 B ．12-C．1 D．1-10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S13>0,S14<0，若ak⋅ak+1<0，则k=A．6 B．7 C．13 D．1411．如图,MxM,yM,NxN,yN分别是函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0的图象与两条直线l1:y=mA≥m≥0,l2:y=-m的两个交点,记Sm=xM-xN,则Sm的图象大致是12．如图，已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，12||8F F =，P 是双曲线右支上的一点，直线2F P 与y 轴交于点A ，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若||2PQ =，则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3二、填空题13．已知a=(1,-2),b=(2,m)，若a⊥b ，则b=__________14．在锐角ΔABC 中，角A,B 所对的边长分别为a,b ，若2asinB=3b ，则A=_______ 15．已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），E 为面底ABCD 的中心，A1E 与球相交于EF ，则EF 的长为_______.16．定义在(0,+∞)上的函数fx 满足：对∀x∈(0,+∞)，都有f2x=2fx ，当x∈(1,2]时，fx=2-x ，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对∀m∈Z ，有f(2m)=0；②函数fx 的值域为[0,+∞)； ③存在n∈Z ，使得f(2n+1)=9；三、解答题17．已知数列an 是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1,a2,a4成等比数列． (1)求数列an 的通项公式；(2)设数列bn 满足bn=an+2an ，求数列bn 的前n 项和Tn 18．已知函数fx=23sinxsinπ2-x+2cos2x+a 的最大值为3． （1）求fx 的单调增区间和a 的值；（2）把函数y=fx 的图象向右平移π4个单位得到函数y=gx 的图象，求gx 在0,π2上的值域． 19．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 翻折，连接AC 、FD ，形成如图所示的多面体，且折叠后的AC=6.（1）证明：AM⊥面BCDE （2）求三棱锥E-ABC 的体积20．设椭圆C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0，离心率e=22，短轴2b=210，抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点为0,1，（1）求椭圆和抛物线的方程；（2）设坐标原点为O ,A 为抛物线上第一象限内的点，B 为椭圆是一点，且有OA⊥OB ，当线段AB 的中点在轴上时，求直线AB 的方程．21．已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦（其中）．（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；（2）在（1）的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭． 22．已知函数fx=2x-1+x+1. （1）解不等式fx≤3；（2）记函数gx=fx+x+1的值域为M ，若t∈M ，证明： t2+1≥3t+3t2019届湖南省衡阳市第八中学高三第三次月考数学（文）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先解不等式得集合M，再根据交集定义求M∩N，最后确定元素个数.【详解】因为M=x|(x-1)(x-4)≤0=[1,4],所以M∩N=1,2,3，有3个元素，选C.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．D【解析】【分析】先化简复数z为代数形式，再确定对应的点所在象限.【详解】因为z=ii-1=i(-i-1)2=12-12i,对应的点为（12，-12），位于第四象限，选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b∈R)的实部为a、虚部为b、模为a2+b2、对应点为(a,b)、共轭为a-bi.3．A【解析】【分析】先根据焦点坐标求a，再根据双曲线方程求渐近线方程.【详解】因为焦点为(5,0)，所以a2+16=52，即a2=9，所以渐近线方程为x29-y216=0，即4x±3y=0，选A.【点睛】1.已知双曲线方程x2a2-y2b2=1求渐近线：x2a2-y2b2=0⇒y=±bax2.已知渐近线y=mx，可设双曲线标准方程m2x2-y2=λ3，双曲线焦点到渐近线距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点.4．B【解析】试题分析：1[(1)]()122f f f a-==+=，1a∴= .考点：分段函数值.5．B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,∴a=1,则a-2d=a-2×(-a6)=43a=43,故选B.6．B【解析】【分析】先证明BC⊥底面PAC，即得∠BAC为AB与面PAC所成角，再根据等腰直角三角形得结果.【详解】因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥底面PAC，因此∠BAC为AB与面PAC 所成角，因为AC=BC，所以三角形ACB为腰直角三角形，即∠BAC=45∘，从而AB与面PAC所成角为45∘，选B.【点睛】线面角的寻找，主要找射影，即需从线面垂直出发确定射影，进而确定线面角.7．A【解析】试题分析：作出不等式组12{22xyx y≤≤≤≤的可行域由图可知，C （2，2），化目标函数z=2x+y-5为y=-2x+z+5．由图可知，当直线y=-2x+z+5过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大，等于2×2+2-5=1．故选：A ．考点：线性规划． 8．C 【解析】 【分析】根据垂径定理求得圆心到直线距离，再根据圆心到直线距离公式求k.【详解】因为x2+y2-6x-4y+5=0，所以(x-3)2+(y-2)2=8， 因此圆心到直线距离为8-(|MN|2)2=8-3=5, 从而|3k-2+3|k2+1=5∴k=12或k=-2，选C. 【点睛】涉及圆中弦长问题， 一般利用垂径定理进行解决，具体就是利用半径的平方等于圆心到直线距离平方与弦长一半平方的和.9．A【解析】试题分析：()12AE AD AC =+，又AD BC AC AB ==-,所以()()1112222AE AD AC AB AC AB AC=+=-+=-+,又AE AB AC λμ=+,那么11122λμ+=-+=.故本题选A ．考点：1.平面向量的线性运算；2.平面向量的基本定理. 10．B【解析】国为an 为等差数列，S13=13a7，S14=7(a7+a8)，所以a7>0,a8<0,a7+a8<0,所以k=7.选B.11．C【解析】试题分析：根据函数的图象的对称性可知Sm=xM-xN =πω为定值，故选C. 考点：函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0的图象与性质．12．C 【解析】试题分析：如下图所示，设12,AF AF 与1APF ∆的内切圆相切于,N M ，则1112,,,AN AM PM PQ NF QF AF AF ====，所以1122NF AF AN AF AM MF =-=-=，所以12QF MF =，所以121212()()PF PF QF PQ MF PM QF PQ MF PM-=+--=+-+24PQ PM PQ =+==，所以24a =，即2a =，由1282F F c ==可得4c =，所以该双曲线的离心率2c e a ==，故应选C ．考点：1、双曲线的简单几何性质． 【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质、三角形内切圆的性质和切线长定理，考查了学生的作图能力及识图能力，属中档题． 其一般解题思路为：首先作出草图，便于分析问题，然后运用切线长定理可得出12QF MF =，进而得出12PF PF -的值，由双曲线的定义可得出a 的值，再由12||8F F =可求出c 的值，进而可求出双曲线的离心率．13．5 【解析】 【分析】先根据向量垂直得m，再根据向量模的定义求结果.【详解】因为a⊥b，所以1×2-2m=0,m=1,因此b=4+m2=5.【点睛】(1)向量平行：a//b⇒x1y2=x2y1，a//b,b≠0⇒∃λ∈R,a=λb,BA=λAC⇔OA=11+λOB+λ1+λOC(2)向量垂直：a⊥b⇔a⋅b=0⇔x1x2+y1y2=0，(3)向量加减乘：a±b=(x1±x2,y1±y2),a2=|a|2,a⋅b=|a|⋅|b|cos<a,b>14．60∘【解析】【分析】先根据正弦定理化边为角，再根据正弦值求角.【详解】因为2asinB=3b，所以2sinAsinB=3sinB,sinA=32,因为A为锐角，所以A=60∘.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.15．63【解析】【分析】先作平面图形，再根据等腰三角形性质求解.【详解】如图，OF=OE,所以EF=2OE⋅cos∠OEF=2×12⋅cos∠AA1E=11+(22)2=63.【点睛】求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．16．①②【解析】【分析】根据定义求f(2m)值、求fx的值域、解方程f2n+1=9，再根据结果进行选择.【详解】因为f2m=2f2m-1=…=2m-1f2=0,所以①对;因为当x∈(1,2]时，fx=2-x∈[0,1)，当x∈(12,1]时，fx=12(2-2x)∈[0,12)，当x∈(12k,12k-1]时，fx=12k(2-2kx)∈[0,12k)，当x∈(2k-1,2k]时，fx=2k-1(2-12k-1x)∈[0,2k-1)，因此当k→+∞时，2k-1→+∞,12k→0，从而函数fx的值域为[0,+∞)；所以②对;因为9∈(23,24)，所以由上可得f2n+1=2k-12-2n+12k-1=9,k-1≥4,即2k-2n=10，2k-1-2n-1=5∴2n-1=1,2k-1=6无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②【点睛】合理利用有关性质是破解新定义型问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用性质的一些因素，并合理利用．17．（1）an=n；（2）nn+12+2n+1-2【解析】【分析】（1）根据条件“a1,a2,a4成等比数列”列关于公差的方程，解得结果，（2）根据分组求和法，将原数列的和分为等差与等比数列的和.【详解】(1)设数列{a n}的公差为d，由已知得，a＝a1a4，即(1＋d)2＝1＋3d，解得d＝0或d＝1.又d≠0，∴d＝1，可得a n＝n.(2)由(1)得b n＝n＋2n，∴T n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n＋2n)＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝nn+12＋2n＋1－2.【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和. 分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如an=n,n为奇数2n,n为偶数），符号型（如an=(-1)nn2），周期型（如an=sinnπ3）18．（1）单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z，a=0；（2）1-3,3【解析】【分析】(1)先根据诱导公式、二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求增区间以及最大值，最后根据最大值为3求a的值；(2)根据图象变换得gx解析式，再根据正弦函数性质求值域.【详解】（1）由已知fx=23sinxcosx+1+cos2x+a=3sin2x+cos2x+1+a=2sin2x+π6+1+a，令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z得：-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z，∴函数fx的单调递增区间为-π3+kπ,π6+kπ,k∈Z,由函数fx的最大值为3，得3+a=3，∴a=0；（2）由（Ⅰ）知fx=2sin2x+π6+1，∴gx=2sin2x-π4+π6+1=2sin2x-π3+1，∵x∈0,π2，∴2x-π3∈-π3,23π，∴sin2x-π3∈-32,1，∴2sin2x-π3+1∈1-3,3，即gx在0,π2上的值域为1-3,3.【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】(1)根据翻折前后不变关系得AM⊥BE,根据计算利用勾股定理得AM⊥MC,再根据线面垂直判定定理得结论，(2)先根据等体积法得VE-ABC=VA-BCE，再根据（1）得AM为三棱锥A-BCE的高，最后利用锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为M，易知AM⊥BE，且AM=CM=3，在多面体中，由AC=6，知AM2+CM2=AC2，故AM⊥MC,又AM⊥BE,又MC∩BE=M,MC,BE⊂平面BCDE，故AM⊥平面BCDE，（2）连接AE、CE,则AM为三棱锥A-BCE的高，MC为ΔBCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE=2AF=4，故SΔBCE=12×4×3=23，所以VE-ABC=VA-BCE=13×23×3=2．【点睛】立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.20．（1）y220+x210=1 , x2=4y ;(2)72x+8y-18=0【解析】【分析】（1）根据条件列方程组解得a,b，根据抛物线焦点坐标所在位置可设抛物线方程形式，再根据焦点坐标求抛物线标准方程，（2）利用斜率设直线OA、OB方程，分别与抛物线、椭圆方程联立方程组解得A,B横坐标，再根据A,B横坐标和为0解斜率得A,B坐标，最后根据两点式求直线AB 方程.【详解】(1) 由e=22得a=2c，又有b=10，代入a2=b2+c2，解得a=25所以椭圆方程为y220+x210=1由抛物线的焦点为0,1得，抛物线焦点在y轴，且p2=1，抛物线的方程为：x2=4y(2)由题意点A 位于第一象限，可知直线OA 的斜率一定存在且大于0 设直线OA 方程为：y=kx ，k>0联立方程y=kxx2=4y 得：x2=4kx ，可知点A 的横坐标xA=4k ，即A4k,4k2 因为OA⊥OB ，可设直线OB 方程为：y=-1kx连立方程y=-1kxy220+x210=1得：x2=20k21+2k2，从而得x=±20k21+2k2 若线段AB 的中点在y 轴上，可知xB=-20k21+2k2，即B-20k21+2k2,201+2k2 有4k=20k21+2k2，且k>0，解得k=24 从而得A2,12，B-2,4直线AB 的方程：72x+8y-18=0 【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化.21．（1）0a =；（2）{|01}x x x 或．【解析】试题分析：先由极值定义()000f ae '==求出0a =，再利用导数研究函数()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭单调性，进而解出不等式试题解析：因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦， 所以()()221x f x ax a x a e ⎡⎤=+++⎣⎦'， 1分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =检验,当0a =时, ()x f x xe '=,当0x <时, ()0f x '<,当0x >时, ()0f x '>. 所以0x =为()f x 的极值点,故0a =． 2分当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭ ()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即210{1102x x e x x ->⎛⎫-++> ⎪⎝⎭或210{ 1102x x e x x -<⎛⎫-++< ⎪⎝⎭， 6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， ()()()1x h x g x e x ==-+',()1x h x e '=-，当0x >时,()10x h x e ='->；当0x <时,()10x h x e ='-<，所以()h x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增，所以()()00h x h >=，即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭； 211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭，所以原不等式的解集为{|01}x x x 或． 10分考点：函数极值，利用导数解不等式 22．（1）{x|-1≤x≤1}；（2）见解析 【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得gx 最小值，即得值域为M ，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【详解】（1）依题意，得fx=-3x,x≤-1,2-x,-1<x<123x,x≥12于是得fx≤3⇔{x≤-1,-3x≤3,或{-1<x<12,2-x≤3,或{x≥12,3x≤3, 解得-1≤x≤1.即不等式fx≤3的解集为{x|-1≤x≤1}.（2）gx=fx+x+1=2x-1+2x+2≥2x -1-2x-2=3， 当且仅当2x-12x+2≤0时，取等号，∴M=3,+∞.原不等式等价于t2-3t+1-3t=t3-3t2+t-3t=t-3t2+1t . ∵t∈M ，∴t-3≥0， t2+1>0. ∴t-3t2+1t≥0. ∴t2+1≥3t+3t .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则12i z i =-在复平面内的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.若01cos(75)3α+=，则0cos(302)α-的值为（ ） A ．429 B ．429- C ．79 D ．79- 3.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(1,1)N -的密度曲线）的点的个数大约为（ ）A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413附：若X ～2(,)N μσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.4.有下列三个结论：①命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤”；②“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件； ③命题“角α的终边在第一象限，则α为锐角”的逆否命题为真命题；其中正确结论的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线^^^y b x a =+中的4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ）16 17 18 19 y 50 34 41 31 A ．23个 B ．25个 C ．27个 D ．29个6.将()sin 2f x x =的图象右移(0)2πϕϕ<<个单位后得到()g x 的图象，若对于满足12|()()|2f x g x -=的12,x x 有12||x x -的最小值为3π，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的3N =，则输出的i 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98.棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）A ．143B ．4C ．103D ．39.双曲线:M 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为12,F F ，抛物线2:2(0)N y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A 31B 21C 31+D 21+ 10.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种11.设,M N 为抛物线2:2(0)C y px p =>上任意两点，点E 的坐标为(,0)(0)λλ-≥，若EM EN •u u u u r u u u r 的最小值为0，则λ等于（ ）A ．2pB ．pC ．2p D ．0 12.已知()||x f x x e =•，又2()()()()g x f x tf x t R =+∈，若满足()1g x =-的x 有四个，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e +-∞-B ．21(,)e e ++∞C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，||||AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，2,1AB AC ==，,E F 为BC 边的两个三等分点，则AE AF •=u u u r u u u r .14.已知(2,1),(0,0)A O ，点(,)M x y 满足12222x y x y ≤≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，则Z OA AM =•u u u r u u u u r 的最大值为 .15.已知,,,P A B C 为球O 球面上四点，其中ABC ∆为正三角形，三棱锥P ABC -的体积为4，且30APO BPO CPO ∠=∠=∠=o ，则球O 的表面积为 . 16.若函数2()ln()f x x x a =++与21()(0)2x g x x e x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分） 设函数21()(0)3f x x x=+>，数列{}n a 满足1111,()n n a a f a -==，其中*n N ∈，且2n ≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对*n N ∈，设12233411111n n n S a a a a a a a a +=++++L ，若34n t S n≥恒成立，求实数t 的取值范围.18. （本小题满分12分）某校为了解一个英语教改班的情况，举行了一次测试，将该班60位学生的英语成绩进行统计，得频率分布直方图如图，其中成绩分组区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求出该班英语成绩的众数和平均数；（2）从成绩低于80分的学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50,60)的记1绩点分，在[60,80)的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，SD ⊥面ABCD ，点,E F 分别为,AB SC 的中点.（1）求证：//EF 平面SAD ；（2）设2SD DA =，求二面角A EF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点F 重合，且点F 到直线10x y -+=2，1C 与2C 的公共弦长为26.（1）求椭圆1C 的方程及点F 的坐标；（2）过点F 的直线l 与1C 交于,A B 两点，与2C 交于,C D 两点，求11||||AB CD +的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数32()()f x x x x R =-+∈，()g x 满足'()(,0)a g x a R x x =∈>，且()g e a =，其中e 为自然对数的底数.（1）已知1()()x h x e f x -=•，求()h x 在(1,(1))h 处的切线方程；（2）设函数(),1()(),1f x x F xg x x <⎧=⎨≥⎩，O 为坐标原点，若对于()y F x =在1x ≤-时的图象上的任一点P ，在曲线()y F x =()x R ∈上，总存在一点Q ，使得0OP OQ •<u u u r u u u r ，且PQ uuu r 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，过圆O 外一点作圆O 的两条切线,EA EB ，其中,A B 为切点，BC 为圆O 的一条直径，连CA 并延长交BE 的延长线于D 点.（1）证明：BE ED =；（2）若3AD AC =，求:AE AC 的值.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，(33,)2A π，(3,)3B π，圆C 的方程为2cos ρθ=. （1）求在平面直角坐标系xoy 中圆C 的标准方程；（2）已知P 为圆C 上的动点，求ABP ∆面积的最大值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|||21|f x x x =--，记()1f x >-的解集为M .（1）求M ；（2）已知a M ∈，比较21a a -+与1a 的大小. 答案与解析 1.B 525)21(i i i Z +-=+= 2.C 31)15sin()75cos(=-︒=+︒αα 979121)15(sin 21)230cos(2=⨯-=-︒-=-︒∴αα 3.B 1,1=-=σμΘ 1359.026826.09544.0=-=∴s 1359.0=∴μ 4.B 只有①对 5.D 由39,5.17==y x 代入方程可知a=109，∴当20=x 时，29109204=+⨯-=y6.B 由图可知，6323434πφπφπππφπ=⇒=-⇒=-+7.C →=→=→=→=→=→=→=→=8416352103n i n i n i n n 8172645=→=→=→=→=→=→=i n i n i n i8.B 如图，所求几何体的体积为42=正方体V 9.B 如图，由题意可知：∴=,2pc 抛物线方程为12.4PF cx y Θ=的中点在y 轴上，c x p =∴，带入抛物线方程可得c y p 2±=，又点P 在双曲线上，12)21(22314222222+=⇒+=+=⇒=-∴e e b c a c10.C ①：甲单独一人，则12222312=⋅⋅A C C ，②：甲与另一人一起，则：12221213=⋅⋅A C C11.C 由图可知，0)(min =⋅EN EM Θ ∴图中此时的︒=∠90MEN故此时EM 与抛物线相切，且1=EM k12.A 012=++tx x 一根在)1,0(e 中间，一根在),1(+∞e ，0)1(<∴ey 即：01112<+⋅+e t e ，1112--<⋅∴e e t ，e e e e t 112+-=--<∴13.91014.1 52-+=⋅=y x AM OA Z ，如图，15222max =-+⨯=Z15.π16 令BC=a ，则a AH 33=，又AHP Δ中，︒=∠30APH Θ，a a PH =⋅=∴333，4391232321313==⨯⨯⨯=∴-a a a a V ABC P 3=⇒a 从而，3PH 3==，AH ，令球O 的半径为R ，则在O ΔAH 中可知：2)3()3(222=⇒=-+R R R ，πR πS 1642==∴球表面积16.),(e -∞ 令)0)(,(000<x y x P 为)(x g 图象上满足条件的对称点，则),-('00y x P 在)(x f 的图象上，210200-+=∴x e x y ，)ln(0200a x x y +-+=，∴方程)0,()ln(21-∞+-=-在a x e x 上有解，)21,21(21)0,(-∈--∞∈x e x 时，Θ，且函数)ln()(a x x +-=ϕ为定义域上的减函数，又当+∞→+--∞→)ln(,a x x 时，e a a <<<∴,21ln ,21)0(即只需ϕ 17.解：(1)由11()n n a f a -=可得，123n n a a --=，n *∈N ，2n ≥. 所以{}n a 是等差数列，因为11a =，所以2211(1)33n n a n +=+-⋅=，n *∈N . …4分 (2)因为213n n a +=，所以1233n n a ++=， 所以119911()(21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++. 122334*********()232323n n n n S a a a a a a a a n n +=++++=-=++L . …8分 34n t S n ≥恒成立等价于33234n t n n ≥+，即2423n t n ≤+恒成立．…9分令24()(0)23x g x x x =>+，则28(3)()0(23)x x g x x +'=>+，18.解：（1）由频率分布直方图可知：众数为85；24610855657585953030303030⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1(5526547568510958)30=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 81=∴该班学生英语成绩的平均数为81.（2）依题意，成绩在[50,60)的学生数为230(10)2300⨯⨯=， 成绩在[60,80)的学生数为4630(1010)10300300⨯⨯+⨯=， ∴成绩低于80分的学生总人数为12， ∴ξ可取的值为2,3,4，222121(2)66C P C ξ===， 1121021220(3)66C C P C ξ===， 21021245(4)66C P C ξ===， ∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望1204511()2346666663E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19.（解法一）（1）证明：如图1，取SD 的中点G ，连接,GF GA ， 因为,G F 分别是,SD SC 的中点，所以//GF DC ，且12GF DC =. 又底面ABCD 为正方形，且E 是AB 的中点，所以//AE DC ，且12AE DC =. 于是//AE GF ，且AE GF =，所以AEFG 是平行四边形，所以//EF AG . 又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，故//EF 平面SAD . （2）如图2，取,AG EF 的中点分别为,M N ，连接,,DM MN DN .因22SD DA DG ==，得DA DG =，又M 是AG 的中点，所以DM AG ⊥.又因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD AB ⊥，由底面ABCD 为正方形，可得AB AD ⊥， 而SD AD D =I ，所以AB ⊥平面SAD ，又,M N 分别为,AG EF 的中点， 则//MN AB ，所以MN ⊥平面SAD ，又AG ⊂平面SAD ，则MN AG ⊥. 由于DM MN M =I ，所以AG ⊥平面MND . 又由（1）知，//EF AG ，故EF ⊥平面MND . 因此MND ∠是二面角A EF D --的平面角.设2DA =，由22SD DA DG ==，得2,DG DM ==112MN AB ==，又MN ⊥平面SAD ，DM ⊂平面SAD ，得MN DM ⊥，所以DN =从而cos 3MN MND DN ∠==，故所求二面角A EF D --的余弦值为3. （解法二）以D 为原点，射线,,DA DC DS 分别为,,x y z 的正半轴建立空间直角坐标系， （1）设2,2AB a SD b ==，则(2,,0),(0,0,2),(0,2,0)E a a S b C a ，所以(0,,)F a b ，(2,0,),(0,2,0)EF a b DC a =-=u u u r u u u r ，于是(0,2,0)(2,0,)0EF DC a a b •=•-=u u u r u u u r.则EF DC ⊥u u u r u u u r ，又DC u u u r是平面SAD 的一个法向量，所以//EF 平面SAD .（2）设2DC =，有24SD DC ==，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,4)D A B C S ，(2,1,0),(0,1,2)E F ，则(2,1,0)DE =u u u r ，(0,1,2)DF =u u u r ，(0,1,0)AE =u u u r ，(2,0,2)EF =-u u u r，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =r ，则n DEn DF⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u r ，所以2020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取(1,2,1)n =-r . 同理可得面AEF 的一个法向量为(1,0,1)m =u r ，所以3cos ||||||26n m n m θ•===•⨯r u rr u r 故所求二面角A EF D --320. （1）∵22:2C y px =的焦点F 的坐标为(,0)2p . 由点F 到直线10x y -+=2|1|222p +=. ∵0p >，解得2p =， 又(1,0)F 为椭圆的一个焦点，∴221a b -=①∵1C 与2C的公共弦长为，1C 与2C 都关于x 轴对称，而2C 的方程为24y x =，从而1C 与2C的公共点的坐标为3(,2， ∴229614a b+=② 联立①②解得229,8a b ==，∴1C 的方程为22198x y +=，点F 的坐标为(1,0). （2）当l 过点F 且垂直于x 轴时，l 的方程为1x =，代入22198x y +=，求得83y =±， ∴16||3AB =，把1x =代入22:4C y x =求得2y =±. ∴||4CD =，此时，11317||||16416AB CD +=+=， 当l 与x 轴不垂直时，要使l 与2C 有两个交点，可设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠， 此时设11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y把直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立得22(1)198y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 化简得2222(89)189720k x k x k +-+-=，可得21221889k x x k +=+，212297289k x x k-=+，213664(1)0k ∆=⨯+>，∴||AB =2248(1)89k k +==+ 把直线l 的方程与抛物线2C 的方程联立得24(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 化简得2222(24)0k x k x k -++=，可得234224k x x k ++=，2216(1)0k ∆=+>， ∴223422244(1)||22k k CD x x k k ++=++=+=， ∴22221189||||48(1)4(1)k k AB CD k k ++=+++ 222222891221871348(1)48(1)1648(1)k k k k k k +++===-+++ ∵20k >，∴211k +>， ∴2131304848(1)k -<-<+， ∴1117(,)||||616AB CD +∈， 综上可得11||||AB CD +的取值范围是17(,]616. 21、解：（1）Q 321()()xh x x x e -=-+，321()(42)xh x x x x e-'=-+，(1)0h ∴=，(1)1h '=-。

湖南省衡阳市第八中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 2． 已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则实数的取值范围是（ ）111] A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0(3． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）A B ．12 C ．12- D ．4． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=5． 下列说法正确的是（ ）A.圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形；B.棱柱即是两个底面全等且其余各面都是矩形的多面体；C.任何一个棱台都可以补一个棱锥使他们组成一个新的棱锥；D.通过圆台侧面上的一点，有无数条母线.6． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣87． 若集合,则= ( )ABCD8． 下列给出的几个关系中：①{}{},a b ∅⊆；②(){}{},,a b a b =；③{}{},,a b b a ⊆；④{}0∅⊆,正确的有（ ）个A.个B.个C.个D.个9． 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为( )。