2011届高三新人教版文科数学总复习精品课件：等差数列

－24＋9d＞0 ， ∴ －24＋8d≤0
4．已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且 S29 an 3n－9 ＝ (n∈N*)，则 N 的值为______． bn 5n－3 T29 【解析 解析】 ∵{an}，{bn}均为等差数列， 解析
∴ S29 29a15 a15 3×15－9 36 1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . T29 29b15 b15 5×15－3 72 2
a n 2
p、q均为常数，{bn}是等差数列．
1 1 1 1．已知数列{an}中，a1＝1， ＝ ＋ ，则 a10 等于( an＋1 an 3 1 1 A. B. 5 4 1 C. D. 以上都不对 6
【解析 解析】 解析 1 1 1 1 由 a1＝1， ＝ ＋ 得 为等差数列． an＋1 an 3 an
a1＋a13 b1＋b13 a ，b7＝ ， 【解析 解析】 由等差数列的性质可知：7＝ 解析 2 2 a1＋a13 a1＋a13 ×13 2 2 a7 S13 7×13－1 9 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . b7 b1＋b13 b1＋b13 T13 5×13＋5 7 ×13 2 2
1．(2009年福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3 ＝4，则公差d等于( A．1 C．2 B. 5 3 D．3 )
已知等差数列{a 的第m项为a 公差为d 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第 n项an能否用am与d表示？ 能否用a 表示？
提示：能，an=am+(n-m)d.
3．等差中项 如果三个数a，A，b成 等差数列 ，则A叫做a和b的等差中项，且有A＝ a＋b . 2 等差数列的前n 4．等差数列的前n项和公式 n(a1＋an) n(n－1) S n＝ ＝na1＋ d. 2 2 5．等差数列的常用性质 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． (1)通项公式的推广： (n－ an＝am＋ (n－m)d (n、m∈N*)． N (2)若m＋n＝p＋q，则a ＋a ＝ ap＋aq
2．已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a，前k项的和Sk＝2 550.求 通项公式an及k的值． 【解析 解析】 方法一：由题意知 解析 a1＝a，a2＝4，a3＝3a，Sk＝2 550. 由已知得a＋3a＝2×4， ∴a1＝a＝2, 公差d＝a2－ a1＝2. ∴an＝2＋2(n－1)＝2n. k(k－1) k(k－1) 又Sk＝ka1＋ ·d，得k·2＋ ·2＝2 550， 2 2
13×(a1＋a13) 13×(a5＋a9) 13×8 ∴S13＝ ＝ ＝ ＝52. 2 2 2
【方法点评 方法点评】 利用等差数列的性质，得到a5＋a9＝a1＋a13，从而 方法点评 通过整体代入求得S13，大大简化了运算．等差数列性质的应用对于 简化解题过程的作用由此可见一斑．
3．已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和为Sn、Tn，且 Sn＝7n－1， Tn 5n＋5 a7 *)，求的 (n∈N 值． b7
1．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(p、q为常数)， (1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列； (2)求证：对任意实数p、q，数列{an＋1－an}是等差数列． 【解析 解析】 (1)设数列{an}是等差数列， 解析 则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn) ＝2pn＋p＋q，应是一个与n无关的常数， 所以有2p＝0，即p＝0，q∈R. R
＝a9＋a10＋100d＝a＋5(b－a) ＝5b－4a. 【答案 答案】 5b－4a 答案
等差数列的判定
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝ 0(n≥2)，a1＝ 1 . 2
1 (1)求证： 是等差数列； Sn
(2)求 anቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的表达式． 【思路点拨 思路点拨】 思路点拨 (1) Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0 →
(2008年浙江高考)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋ nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求： N
(1)p，q的值． (2)数列{xn}前n项和Sn的公式． 【思路点拨 思路点拨】 (1)由x1＝3与x1，x4，x5成等差数列列出方程组 思路点拨 即可求出p，q. (2)通过xn利用条件分成两个可求和的数列分别求和． 【自主探究 自主探究】 (1)由x1＝3得2p＋q＝3① 自主探究 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4， 得3＋25p＋5q＝25p＋8q② 由①②联立得p＝1，q＝1.
【答案 1 答案】 答案 2
5．已知等差数列{an}中，a9＋a10＝a，a19＋a20＝b， 则a59＋a60＝______. 【解析 解析】 ∵a19＋a20＝a9＋10d＋a10＋10d 解析 ＝a9＋a10＋20d，
b－a ∴20d＝b－a，∴d＝ ， 20 而a59＋a60＝a9＋50d＋a10＋50d
3．(2009年全国Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则 S9 9 ＝______. (a1＋a9) S5 S9 2 9×2a5 9 a5 9 ＝ ＝ × ＝ ×5＝9 ∴填9. 【解析 解析】 ∵ S ＝ 5 解析 5×2a3 5 a3 5 5 (a1＋a5) 【答案 答案】 9 2 答案 4．(2009年宁夏海南高考)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1 ＋am＋1－am2＝0，S2m－1＝38，则m＝______. 【解析 解析】 显然am－1＋am＋1－am2＝0⇒2am＝am2⇒am＝2； 解析 S2m－1＝38⇒ (2m－1)[2a1＋(2m－2)d] ＝(2m－1)am＝38 2 ⇒m＝10. 【答案 答案】 10 答案
m n
，
特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝ 2ap .
(3)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为 kd . (4)数列Sm，S2m－Sm， S3m－S2m ，…也是等差数列． (2n－ (5)S2n－1＝(2n－1)an .
n S奇 (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝ d, S ＝ n 偶 2 a ＋1 2 S奇 n＋1 若n为奇数，则S奇－S偶＝ a中 (中间项)， ＝n－1. S偶 (7)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是 等差数列 ，其中c、
(2)因为an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn) ＝2pn＋p＋q，an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q， 所以(an＋2－an＋1)－(an＋1－an) ＝[2p(n＋1)＋p＋q]－(2pn＋p＋q)＝2p(常数)， 所以，数列{an＋1－an}是等差数列．
等差数列的基本运算
1．等差数列的定义 如果一个数列从 第2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差 数列的公差 ，通常用d表示，其符号语言为： an－an－1＝d (n≥2， d为常数)． 2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则其通项公式为 (n－ an＝a1＋(n－1)d. .
)
1 1 1 1 2 ∴ ＝ ＋(n－1)· ＝ n＋ ， an a1 3 3 3 ∴ 1 10 2 1 ＝ ＋ ＝4，∴a10＝ . 4 a10 3 3
【答案】 B 答案】
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为 30，则其公差为( A．5 B．4 C．3 D．2 【解析 解析】 方法一：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30① 解析 S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15② ①－②＝15＝5d，∴d＝3.
整理得k2＋k－2 550＝0， 解得k1＝50，k2＝－51(舍去)， 所以an＝2n，k＝50. 方法二：由方法一得a1＝a＝2，d＝2， ∴an＝2＋2(n－1)＝2n， n(2＋2n) 2 ∴Sn＝ n(a1＋an) ＝ ＝n ＋n， 2 2 又∵Sk＝2 550，∴k2＋k＝2 550，得k2＋k－2 550＝0. ∴解得k＝50(k＝－51舍去)．∴an＝2n，k＝50.
1 1 与 的关系 → 结论 Sn Sn－1 1 (2) 由 的关系式 → Sn的关系式 → an Sn
【自主探究 自主探究】 (1)等式两边同除以Sn·Sn－1得， 自主探究
1 1 1 － ＋2＝0，即 － ＝2(n≥2)， Sn－1 Sn Sn Sn－1 1 1 1 ∴ 是以 ＝ ＝2 为首项，以 2 为公差的等差数列． S 1 a1 Sn 1 1 (2)由(1)知 ＝ ＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n， S n S1 1 ∴Sn＝ ， 2n 1 ， 当 n≥2 时，an＝－2Sn·Sn－1＝－ 2n(n－1)
10 方法二：∵n＝10，∴S偶－S奇＝ d＝5d＝15， 2 ∴d＝3.
)
【答案 答案】 C 答案
3．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的 取值范围是( ) 8 A．d＞ B．d＜3 8 3 C. ≤d＜3 D. 8 ＜d≤3 3 3 【解析 解析】 依题意 a10＞0 解析 ， 8 a9≤0， 解得 ＜d≤3. 3 【答案 答案】 D 答案
等差数列的性质
(2009年海口调研)在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9) ＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝______. 【思路点拨 思路点拨】 利用等差数列的性质a5＋a9＝a1＋a13再由前n项 思路点拨 和公式可求解． 【自主探究 自主探究】 ∵log2 (a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8. 自主探究
3(a1＋4)＝6 2 【解析 解析】 由 解析 a1＋2d＝4 【答案 答案】 C 答案
则a2＋a4＋a9＝______.
，解得d＝2.
2．(2009年全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72， 【解析 解析】 设公差为d，依题意得S9＝ 9(a1＋a9) ＝9a5＝72， 解析 2 a5＝8，a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝24. 【答案 答案】 24 答案