关于二元二次方程组实数解个数的判定

二元二次方程判别式法引言：二元二次方程是数学中常见的一类方程，其形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知系数，且a≠0。

解二元二次方程的一个重要方法是判别式法，通过判别式可以判断方程的根的性质，从而解出方程。

一、判别式的定义二元二次方程的判别式Δ的定义如下：Δ = b^2 - 4ac其中，b、a、c分别为二元二次方程ax^2 + bx + c = 0的系数。

二、判别式的意义判别式Δ可以告诉我们方程的根的性质，具体如下：1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。

解释：当判别式大于零时，说明方程的根为实数，且两个根不相等。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。

解释：当判别式等于零时，说明方程的根为实数，且两个根相等。

3. 当Δ < 0时，方程无实根，有两个共轭复根。

解释：当判别式小于零时，说明方程的根为复数，且两个根是共轭复数。

三、判别式的应用通过判别式Δ，我们可以解决以下问题：1. 求二元二次方程的根。

根据判别式Δ的值，可以判断方程的根的性质，进而解出方程的根。

2. 判断二元二次方程的解的个数。

根据判别式Δ的正负值可以确定方程的解的个数，从而判断方程是否有解或有几个解。

3. 分类讨论二元二次方程的解的情况。

根据判别式Δ的值的不同，可以将方程的解分为不同情况进行讨论，找出方程的解的特点。

四、案例分析下面通过一个具体的案例来说明判别式法的应用：例题：求解二元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根。

解答：根据方程的系数a、b、c，可以得到判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。

由于Δ > 0，说明方程有两个不相等的实根。

根据二次方程的求根公式x = (-b ± √Δ) / (2a)，可以计算出方程的两个根：x1 = (-(-3) + √1) / (2*1) = (3 + 1) / 2 = 4 / 2 = 2x2 = (-(-3) - √1) / (2*1) = (3 - 1) / 2 = 2 / 2 = 1所以，二元二次方程x^2 - 3x + 2 = 0的根为x1 = 2，x2 = 1。

二次函数判断根的个数公式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

一元二次方程的一般形式可以表示为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，求解方程主要是求出方程的根。

我们知道，一元二次方程的根可能有三种情况：1.有两个不相等的实数根；2.有两个相等的实数根；3.没有实数根，但有两个共轭复根。

下面我们来详细介绍一元二次方程的根的个数的判断公式和证明。

首先，要判断一元二次方程是否有实根，我们可以计算判别式Δ=b^2-4ac的值。

判别式可以判断方程的根的性质：1.如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；2.如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；3.如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复根。

接下来具体推导一下判别式的证明：首先，如果一元二次方程有实数根，设方程的两个实数根为x1和x2，则根据因式定理，可得ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)将上式展开，得到：ax^2+bx+c=ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2根据一元二次方程的系数与根的关系可得：a(x1+x2)=-bax1x2=c将上述两个等式相加得：a^2(x1+x2)^2+b^2=ab由于a≠0，所以可以将上面的等式继续化简得：(x1+x2)^2=b^2/a^2-4ac/a^2移项得：(x1+x2)^2=b^2-4ac/a^2上式右边的根为判别式Δ=b^2-4ac。

由于(x1+x2)^2≥0，所以当b^2-4ac≥0时方程有实数根。

接下来我们来证明根的情况：1.当Δ>0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=(-b+√Δ)/2ax2=(-b-√Δ)/2a即方程有两个不相等的实数根。

2.当Δ=0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=x2=-b/2a即方程有两个相等的实数根。

3.当Δ<0时根据以上推导可知，方程的两个实数根为：x1=(-b+√(-Δ)i)/2ax2=(-b-√(-Δ)i)/2a其中i为虚数单位，(-Δ)i为共轭复数。

二元二次方程组解析1. 引言二元二次方程组是指包含两个未知数和两个二次方程的方程组。

解析二元二次方程组能够帮助我们找到方程组的解，从而解决实际问题。

本文将介绍解析二元二次方程组的方法和步骤。

2. 解析二元二次方程组的一般形式解析二元二次方程组的一般形式可以表示为：\[\begin{cases}a_1x^2 + b_1xy + c_1y^2 + d_1x + e_1y + f_1 = 0 \\a_2x^2 + b_2xy + c_2y^2 + d_2x + e_2y + f_2 = 0 \\\end{cases}\]其中，\(a_1, b_1, c_1, d_1, e_1, f_1, a_2, b_2, c_2, d_2, e_2, f_2\) 是已知系数。

3. 解析二元二次方程组的求解步骤解析二元二次方程组的求解步骤如下：步骤 1: 通过消元法得到标准形式将方程组中的交叉项\(b_1xy\)和\(b_2xy\)通过适当的线性变换消掉，从而得到标准形式。

步骤 2: 求解标准形式下的方程组求解标准形式下的方程组，可以通过因式分解、配方法或完成平方等数学方法得到方程组的解。

步骤 3: 确定解析二元二次方程组的解利用步骤 2 得到的解，求解原方程组，从而得到解析二元二次方程组的解。

4. 例子以下是一个解析二元二次方程组的例子：\[\begin{cases}x^2 + 4xy + 4y^2 - 6x - 8y + 5 = 0 \\4x^2 + xy + y^2 - 20x - 12y + 15 = 0 \\\end{cases}\]解析这个方程组的步骤如下：步骤 1: 得到标准形式通过减去第一个方程的4倍和第二个方程的1倍，消去交叉项\(4xy\)和\(xy\)，得到标准形式：\[\begin{cases}x^2 + 4y^2 - 10x - 12y + 5 = 0 \\3x^2 + 4y^2 - 12x - 11y + 15 = 0 \\\end{cases}\]步骤 2: 求解标准形式方程组通过因式分解或其它方法，求解标准形式方程组，得到以下解：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]步骤 3: 确定解析方程组的解将步骤2 得到的解代入原方程组进行验证，得到以下解析结果：\[\begin{cases}x = 1, y = 1 \\x = 3, y = -1 \\\end{cases}\]这就是解析二元二次方程组的解。

初中数学二元二次方程组的解的表示方式有哪些当我们使用各种方法求解二元二次方程组之后，我们需要将解的结果表示出来。

在不同的情况下，解的表示方式也不同。

下面将介绍二元二次方程组的解的常见表示方式。

1. 唯一解：如果二元二次方程组有唯一解，那么解可以表示为一个有序数对(x, y)。

这个有序数对是两个方程的交点，它同时满足两个方程。

例如，方程组：2x^2 - 3xy + y^2 = 0x - y = 3的唯一解可以表示为(4, 1)。

2. 无解：如果二元二次方程组无解，那么解的表示方式可以是“无解”。

这种情况下，两个方程的图像不相交，不存在交点。

例如，方程组：x^2 + y^2 = 5x^2 + y^2 = -1没有解。

3. 无穷多解：如果二元二次方程组有无穷多解，那么解的表示方式可以是参数化形式。

找到一个特殊解，然后引入参数表示其他解。

这个参数可以是任意实数。

例如，方程组：x^2 + y^2 = 1x - y = 0的通解可以表示为(cosθ, sinθ)，其中θ是任意实数。

4. 部分参数化形式：有些二元二次方程组的解可以用部分参数化形式表示。

这种情况下，一个未知数可以表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中。

例如，方程组：x^2 - y^2 = 4xy = -3的解可以表示为(2, -1) 和(-2, 1)。

5. 用矩阵和向量表示：另一种表示二元二次方程组解的方法是用矩阵和向量表示。

将方程组的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。

例如，方程组：x^2 - 3xy + 2y^2 = 0x - 2y = 1可以写成矩阵形式为：[1 -2; 2 -3][x; y] = [1; 0]其中，左侧的矩阵为系数矩阵，右侧的向量为常数向量。

使用矩阵运算可以求解这个方程组的解。

以上是关于二元二次方程组解的常见表示方式的介绍。

理解和掌握这些内容可以帮助我们更好地理解和应用二元二次方程组的知识。

二元二次方程组引言二元二次方程组是由两个包含两个未知数的二次方程组成的方程组。

解决二元二次方程组的问题可以通过求解方程的根来实现。

本文将介绍解决二元二次方程组问题的步骤和方法。

解决步骤解决二元二次方程组问题的一般步骤如下：1. 将二元二次方程组的两个方程表示为标准的二次方程形式。

2. 判断方程组的解的情况，即判断方程组的判别式。

3. 根据判别式的结果，得出方程组的解的性质。

4. 求解方程组，找到方程组的解。

方法和示例方法一：代入法代入法是解决二元二次方程组问题常用的方法之一。

步骤如下：1. 用一个方程的解代入另一个方程，得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。

2. 求解这个一元二次方程，得到一个未知数的值。

3. 将求得的未知数的值代入原方程中，解出另一个未知数的值。

示例：已知二元二次方程组为：2x^2 + 3y = 7x^2 + y^2 = 10将第一个方程表示为只包含一个未知数的一元二次方程，有：2x^2 + 3(10 - x^2) = 7化简得：2x^2 - 3x^2 = -13-x^2 = -13解这个一元二次方程得：x = ±√13将解得的x值代入原方程组的第一个方程，解出y值：2(√13)^2 + 3y = 726 + 3y = 73y = -19y = -19/3所以，方程组的解为：x = ±√13y = -19/3方法二：消元法消元法也是解决二元二次方程组问题常用的方法之一。

步骤如下：1. 将方程组中的一个方程乘以适当的常数，使得两个方程的二次项系数相等。

2. 相减得到一个只含有一个未知数的一元二次方程。

3. 求解这个一元二次方程，得到一个未知数的值。

4. 将求得的未知数的值带入任意一个方程中，解出另一个未知数的值。

示例：已知二元二次方程组为：x^2 - 2xy + y^2 = 02x^2 + 3y^2 = 25将第一个方程乘以2得：2x^2 - 4xy + 2y^2 = 0将两个方程相减得：2x^2 + 3y^2 - (2x^2 - 4xy + 2y^2) = 25 - 07y^2 + 4xy = 25将上面的一元二次方程表示为只包含一个未知数的一元二次方程，有：4x^2 - 7x + 0 = 0解这个一元二次方程得：x = 0 或 x = 7/4将解得的x值代入原方程组的第一个方程，解出y值：0^2 - 2(0)(y) + y^2 = 0y^2 = 0(7/4)^2 - 2(7/4)(y) + y^2 = 049/16 - 14/4y + y^2 = 0解出y值为：y = 0 或 y = 7/4所以，方程组的解为：x = 0, y = 0 或 x = 7/4, y = 7/4结论通过代入法或消元法，可以解决二元二次方程组问题。

二元二次方程组的解法公式法二元二次方程组是一组有两个未知数的二次方程。

解法公式法是一种使用公式求解二元二次方程组的方法。

解法步骤1. 化成标准形式：将方程组化成以下形式：```ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0```2. 计算判别式：计算判别式Δ，它由以下公式给出：```Δ = b² - 4acAC + 4BDF - B²CE - CD²```3. 根据判别式确定解的性质：Δ > 0：方程组有两个相异的实数解。

Δ = 0：方程组有两个相同的实数解。

Δ < 0：方程组无实数解，但可能有两个复数解。

4. 计算解：Δ > 0：使用以下公式计算两个解：```x = (-b ± √Δ) / (2a)y = (-B ± √Δ) / (2A)```Δ = 0：使用以下公式计算两个相同的解：```x = -b / (2a)y = -B / (2A)```5. 验证解：将解代入方程组中以验证它们是否满足方程。

例子求解以下方程组：```x² + 2xy + y² = 25x - y = 2```解：1. 化成标准形式：```x² + 2xy + y² - 25 = 0x - y - 2 = 0```2. 计算判别式：```Δ = (2)² - 4(1)(1)(-1) = 8 > 0```3. 方程组有两个相异的实数解。

4. 计算解：```x = (-2 ± √8) / 2 = -1 ± 2√2y = (-2 ± √8) / 2 = 1 ± 2√2```因此，方程组有两个解：(√2 - 1, √2 + 1) 和 (-√2 - 1, -√2 + 1)。

二元二次方程组的解法技巧二元二次方程组是高中数学中比较重要的一部分，解决二元二次方程组的问题可以帮助我们更好地理解高中数学知识，同时也有助于我们在日常生活中应用数学知识。

一、方程式二元二次方程组通常可以表示为以下形式：ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0gx^2 + hxy + iy^2 + jx + ky + l = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为实数。

二、解法技巧1. 消元法消元法是解决二元二次方程组的基本方法之一。

其思想是将方程组中的一些变量消除，得到一个只有一个未知数的一元二次方程。

例如，将方程组x^2 + y^2 = 25x + y = 7中的y消去，就得到一个只含有x的二次方程，从而可以求出x的值。

通过将得到的x值带入方程中，可以求出y的值。

2. 完全平方公式完全平方公式是解决二元二次方程组的重要方法之一。

对于一个一元二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，根据完全平方公式，可将其表示为(a x + k)^2 + p = 0，其中k和p分别为常数，根据该公式可以方便地求解一元二次方程的根。

对于二元二次方程组，我们可以尝试将其转化为一元二次方程，从而运用完全平方公式来求解。

例如，转化为一元二次方程后，方程组x^2 – y^2 = 36x^2 + y^2 = 100可表示为(x^2 + y^2) – (x^2 – y^2) = 100 – 362y^2 = 64y^2 = 32y = ±√32带入x^2 + y^2 = 100中可得出x^2 = 68，从而得出x = ±√68。

3. 消元法和完全平方公式的结合运用有时候，解决二元二次方程组需要结合运用上述两种方法。

例如，对于方程组x^2 – 4x – 5y + 18 =0y^2 + 6x + 8y + 9 = 0我们可以先使用“合并同类项”的方法，得到：(x^2 – 4x + 4) – 5y = -2y^2 + 6x + 8y + 9 = 0进一步变形后，有：(x – 2)^2 – 5y = -2 + 4y^2 + 6x + 8y + 9 = 0(x – 2)^2 = 5y + 2将上式代入第二个式子，得到：y^2 + 6x + 8y + 9 = 05y + 2 + 6x + 8y + 9 = 0从而得出y = -1，带入x –2 = ±√7，得出x = 2 ±√7。

怎么解二元二次方程组二元二次方程组是初中数学中一个非常重要的知识点，也是高中数学的基础。

在我们的生活中，经常需要用到解二元二次方程组的知识，比如在解决数学题、物理题、化学题等等方面。

因此，解二元二次方程组是非常有用的数学知识。

一、二元二次方程组的概念和组成二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，其一般形式为：a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0，a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 0。

其中，a1、b1、c1、d1、e1、f1 和 a2、b2、c2、d2、e2、f2 是常数。

例如，以下方程组就是一个二元二次方程组：3x² + 2xy + 4y² – 5x – 3y + 7 = 0，2x² –xy + 3y² + 2x – 5y + 8 = 0。

二、二元二次方程组的解法1.消元法消元法是解决二元二次方程组的一种方法。

步骤如下：（1）通过乘数法让其中一个方程的x² 的系数等于另一个方程x² 的系数的相反数。

（2）将两个方程相加，消去x²，得到一个一元二次方程。

（3）解出该一元二次方程的根。

（4）将求出的 x 带入任意一个方程，计算出 y。

例如以下方程组：3x² + 2xy + 4y² – 5x – 3y + 7 = 0，2x² –xy + 3y² + 2x – 5y + 8 = 0。

（1）对于第一个方程，x² 的系数是 3，对第二个方程，x² 的系数是 2，因此我们可以通过乘数法，让第二个方程的x² 的系数变为 -3，即：-3(3x² + 2xy + 4y² –5x – 3y + 7 = 0)。

（2）将两个方程相加得到：-5x + xy + 7y + 7 = 0。

二元二次方程组解的个数二元二次方程组解的个数——别再被公式搞晕了！咱们都知道，数学这玩意儿有时候真的让人觉得头大，尤其是碰到二元二次方程组。

别急，今天我们就来聊聊二元二次方程组解的个数问题，给你讲清楚了，也许你会发现它并没有那么神秘。

1. 二元二次方程组简介1.1 什么是二元二次方程组？首先，咱们得搞清楚什么叫“二元二次方程组”。

这玩意儿听起来有点高深，其实说白了，就是由两个二次方程组成的方程组。

二次方程的标准形式是 (ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0)。

简单点说，就是方程里含有 (x^2) 或 (y^2) 的方程。

比如：[x^2 + y^2 = 1][2x y = 0]这就是一个二元二次方程组。

1.2 为什么要关心解的个数？搞懂解的个数，其实是想知道这个方程组有多少个交点。

比如你画出这两个方程的图像，解的个数就是这两个图形的交点个数。

想象一下，如果你用直尺画两条线，它们可能有一个交点、没有交点，甚至可能重合在一起。

这些情况的分析就是我们今天的重点。

2. 解的个数分析2.1 不同情况的分析解的个数其实跟方程组的类型有很大关系。

常见的情况有：两个方程的图形相交：这意味着方程组有两个解。

比如圆和直线交在两个点上，解就有两个。

两个方程的图形切于一点：这表示方程组有一个解。

就像一条线刚好在圆上切过一个点。

两个方程的图形重合：这种情况解的个数是无限多个。

就像你画了两个完全一样的圆，交点就是无限多了。

两个方程的图形不相交：这就是没有解的情况。

就像一条直线完全在圆的外面，哪儿也碰不上。

2.2 怎么判断解的个数这个就有点技术含量了，但别担心，我们一步步来。

关键是看两个方程的关系。

如果两个方程都是圆或者都是抛物线，画出来就容易判断了。

比如，如果两个方程都是圆，解的个数就取决于圆心的距离和半径的大小。

如果距离比两个圆的半径和还大，那两个圆就不会交。

如果刚好等于半径和，那就切于一个点。

如何求解二元二次方程组二元二次方程组是由两个未知数的二次方程组成的方程组。

求解二元二次方程组的目标是确定未知数的值，使得方程组中的每个方程都得到满足。

一般来说，可以通过以下步骤来求解二元二次方程组：步骤一：观察方程组的形式，确定解的类型要求解二元二次方程组，首先需要观察方程组的形式以确定解的类型。

在一般情况下，方程组的形式如下：ax^2 + bx + c = 0dx^2 + ex + f = 0其中a、b、c、d、e和f为已知系数，而x和y为未知数。

步骤二：应用合适的求解方法根据方程组的形式，我们可以应用以下三种方法求解二元二次方程组：1. 直接代入法当方程组中某个方程中的一个未知数可以用另一个未知数表示时，可以使用直接代入法。

通过将一个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程，从而将方程组化简为一个一元二次方程。

2. 消元法如果方程组中的某个方程中的一个未知数的系数和另一个方程中相同系数的未知数的系数相等，可以使用消元法。

通过相加或相减两个方程，将一个未知数的系数相互抵消，从而化简方程组为一个一元二次方程。

3. 配方法当方程组中的两个方程的未知数的系数无法相互抵消时，可以使用配方法。

通过将方程组中的两个方程相乘，使得两个方程的未知数的系数相等或倍数关系，从而化简为一个一元二次方程。

步骤三：求解一元二次方程将二元二次方程组化简为一个一元二次方程后，即可求解该方程。

一元二次方程可通过以下两种方法求解：1. 因式分解法将一元二次方程进行因式分解，找出方程的根。

2. 套公式法（求根公式）利用一元二次方程的求根公式，即可求解方程的根。

步骤四：验证解的可行性求得一元二次方程的根后，需要验证根是否满足原方程组中的每个方程。

将求得的根带入原方程组中，如果根能使每个方程成立，则是方程组的解；如果不能，则不是方程组的解。

根据以上四个步骤，在给定的二元二次方程组中，可以使用适当的方法来求解方程组并验证解的可行性。

小学数学点知识归纳解二元二次方程组二元二次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组，每个方程都是二次方程。

在解二元二次方程组之前，我们需要先了解一些基本知识。

一、二次方程的定义二次方程是指一个未知数的最高次数为2的代数方程。

一般的二次方程表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数，且a≠0。

二、一元二次方程的解法假设有一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过以下步骤解出x 的值：1. 判断a、b、c的值，如果a=0，方程不是二次方程；2. 计算Δ（判别式）=b^2-4ac的值；3. 如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；4. 如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；5. 如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复数根。

三、二元二次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元二次方程组的常用方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）将其中一方程两边乘以适当的数，使得两个方程的系数相等或者相差一个系数关系；（2）将所得的两个方程相减或相加，消去其中一个未知数；（3）解得另一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值带入任意一个方程，解得另一个未知数的值。

2. 代入法代入法也是一种解二元二次方程组的方法。

我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）选取一个方程，解出其中一个未知数，得到它的值；（2）将所求的未知数值代入另一个方程，得到一个一元二次方程；（3）根据一元二次方程的解法，求出另一个未知数的值。

四、实例分析假设有以下二元二次方程组：1. -2x^2+3y^2-7=02. 4x^2+5y^2+11=0我们可以通过消元法解出该方程组的解：（1）将第一个方程两边乘以4，得到-8x^2+12y^2-28=0；（2）将所得的方程与第二个方程相减，消去x^2，得到-8x^2+12y^2-4x^2-5y^2-28+11=0；（3）整理化简，得到-12x^2+7y^2-17=0；（4）将该方程移项并因式分解，得到12x^2-7y^2+17=0；（5）将得到的方程两边除以17，得到12x^2/17-7y^2/17+1=0；（6）观察该方程，发现其形式为Ax^2+By^2+C=0，满足了一元二次方程的形式；（7）根据一元二次方程的解法，可以求出x和y的值。

初中数学二元二次方程组公式定理
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是 ax+bxy+cy+dy+ey+f=0 其中ax,bxy,cy叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。

二元二次方程组jie二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

一个二次方程是一个形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且 a ≠ 0。

二元二次方程组包含两个二次方程，每个方程都有两个变量，通常表示为x和y。

解二元二次方程组的目标是找到满足两个方程同时成立的x和y的值。

解二元二次方程组的一种常用方法是通过消元法。

首先，我们可以使用其中一个方程来消去其中一个变量。

例如，假设我们有以下方程组：a1x^2 + b1x + c1 = 0a2y^2 + b2y + c2 = 0我们可以使用第一个方程来消去x。

为此，我们可以将第一个方程乘以a2，将第二个方程乘以a1，然后将两个方程相减。

这样，我们可以消去x并得到一个只含有y的一元二次方程。

解决这个一元二次方程后，我们可以将y的值代入任何一个原始方程中，以找到相应的x的值。

这样，我们就得到了二元二次方程组的解。

除了消元法，还有其他方法可以解决二元二次方程组，如代入法和图解法。

代入法涉及将一个方程的变量替换为另一个方程中的表达式。

图解法则涉及将方程转化为图形，通过观察图形的交点来确定方程的解。

解二元二次方程组在数学和工程领域中有广泛的应用。

例如，在几何学中，二元二次方程组可以用来解决与圆和抛物线相关的问题。

在物理学中，二元二次方程组可以用来描述抛体运动或其他自由落体的问题。

在经济学中，二元二次方程组可以用来建立供求模型或预测市场变化。

二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。

通过消元法、代入法或图解法，可以解决这个方程组并找到x和y的值。

解二元二次方程组在数学和应用领域中有广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题。

21.5-21.6二元二次方程和方程组及其解法知识梳理+九大例题分析+经典同步练习知识梳理一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点：（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.22ax bxy cy dx ey f o +++++=22,,ax bxy cy ,dx ey三、二元二次方程组的解法1.代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；　③解这个一元二次方程，求得未知数的值；　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解；⑥写出原方程组的解.要点：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. (2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.典型例题例题1．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C例题2．下列方程组中，属于二元二次方程组的为（ ）A．2x yx y+=ìí-=îB．123234x yx yì+=ïïíï-=-ïîC．11xx yì+=ïí+=ïîD．324xxy=ìí=î【答案】D【解析】根据一元一次方程组的定义对A进行判断；根据整式方程组的定义对B、C进行判断；根据二元二次方程组的定义对D进行判断．解：A、两个方程都是二元一次方程，所组成的方程组为二元一次方程组，所以A 选项不正确；B、两个方程都是分式方程，所组成的方程组为分式方程组，所以B选项不正确；C、有一个方程是无理方程，所组成的方程组不是二元二次方程组，所以C选项不正确；D、有一个方程是二元二次方程，另一个是一元一次方程，所组成的方程组为二元二次方程组，所以D选项正确．例题3．已知：方程组îíì-==+)2(1)1(122x y y x ，把（2）代入（1），得到正确的方程是（ ）x 2+2（1﹣x ）=1B ．x 2+2（x ﹣1）=1C ．x 2+（1﹣x ）2=0D ．x 2+（1﹣x ）2=1【答案】D【解析】运用代入消元法解方程组即可．解：把（2）代入（1）得x 2+（1﹣x ）2=1四个答案中只有D 合题意．故选D ．例题4．二元二次方程组îíì=-=+1522y x y x 的一个解是（ ）îíì-=-=21y xB ．îíì=-=21y xC ．îíì-==21y xD ．îíì==21y x 【答案】A【解析】用代入法即可解答，把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=求解即可．解：把②化为x=1+y ，代入①得（1+y ）2+y 2=5，整理得，2y 2+2y ﹣4=0解得y 1=﹣2，y 2=1，分别代入②得当y 1=﹣2时，x 1=﹣1，当，y 2=1时，x 2=2，故原方程组的解为îíì-=-=2111y x ，îíì==1222y x ．故选A ．例题5．方程组 îíì-=--=-12122x y x y x 的实数解个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】把方程①变形成x=y+1，代入②即可求得y 的值，进而求得方程组的解，从而判断．解：îíì-=--=-）（）（2121122x y x y x 由①得：x=y+1代入方程②得：2（y+1）2﹣y 2﹣（y+1）=﹣1即：y 2+3y+2=0解得：y 1=﹣1，y 2=﹣2把y=﹣1代入①得：x=0把y=﹣2代入①得：x=﹣1则方程组的解是：îíì-==10y x ，和îíì-=-=21y x 只两个解．故选C ．例题6．方程组îíì==+022xy y x 的解是（ ）îíì==0011y x ，ïîïíì==12122y x B ．îíì==2011y x ，îíì==0122y x C ．îíì==2011y x ，îíì=-=0122y x D ．îíì-==2011y x ，îíì==0122y x 【答案】B 【解析】由①得出y=2﹣2x ③，把③代入②得出x （2﹣2x ）=0，求出x ，把x 的值分别代入③求出y 即可．解：îíì==+）（20)1(22xy y x ，由①得：y=2﹣2x ③，把③代入②得：x （2﹣2x ）=0，x=0，2﹣2x=0，解得：x 1=0，x 2=1，把x 1=0，x 2=1分别代入③得：y 1=2，y 2=0，即原方程组的解为：îíì==2011y x ，îíì==0122y x ．故选B ．例题7．方程ïîïíì+-=-++=+yx a y x y x a y x 2)(2)(22有解但无不同的解时，a=（ ）A ．1 B ．0 C ．﹣21 D ．﹣1【答案】D【解析】由题意知，原方程组有解，并且有相同的解，由一元二次方程根的判别式可以知道△=0，将原方程组转化成一元二次方程就利用△=0就可以求出a=的值．解：ïîïíì+-=-++=+)2(2)()1(2)(22y x a y x y x a y x 由①﹣②，得4xy=2x4xy ﹣2x=02x （2y ﹣1）=0∴x=0或y=21（与条件不符合，∵y=21时方程①、②不相等）∴当x=0时y 2=a+2y∴y 2﹣2y ﹣a=0∴△=（﹣2）2﹣4（﹣a ）=0∴4+4a=0∴a=﹣1．故D 答案正确．故选D ．例题8．方程组ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x 在实数范围内（ ）1.有1组解B ．有2组解C ．有4组解D ．有多于4组的解【答案】D【解析】根据题意，分析分别就a 、当x≥0、y≥0时；b 、当x≥0、y≤0时；c 、当x≤0、y≥0时；当x≤0、y≤0时四种情况，去掉决定值符号，分解因式联立方程，利用根据与系数的关系即是否符号题意，来判断方程组的解．解：a 、当x≥0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=+-=+-)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或 x=y+5 ③当x=﹣y 时，解得x=0，y=0，当x=y+5时，②③联立得y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．b 、当x≥0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=++=--)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2﹣5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y ﹣5）=0，即x=﹣y 或x=y+5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x 当x=y+5时，②③联立得 y 2﹣3y+5=0∵△=9﹣20=﹣11＜0，∴无解．c 、当x≤0、y≥0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x ïîïíì=--=++)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x+y ）=0⇒（x+y ）（x ﹣y+5）=0，即x=﹣y 或x=y ﹣5 ③当x=﹣y 时，②③联立得 y 2﹣3y=0解得 îíì==00y x 或îíì=-=33y x ，当x=y ﹣5时，②③联立得 y 2﹣5y+5=0∵△=25﹣20=5＞0，∴方程有两解．d 、当x≤0、y≤0时，ïîïíì=+-=+-0||||40||||422x y y y x x ⇒ïîïíì=-+=-+)2(04)1(0422x y y y x x 由①﹣②得 x 2﹣y 2+5（x ﹣y ）=0⇒（x ﹣y ）（x+y ﹣5）=0，即x=y 或x=﹣y+5③当x=y 时，②③联立得 y 2+3y=0解得 îíì==00y x 或îíì-==33y x （不合题意，舍去）当x=﹣y+5时，②③联立得 y 2+5y ﹣5=0∵△=25+20=45＞0，∴方程有两解．综上所述，方程有7个解．故选D ．例题9．已知，实数x ，y ，z 满足，则x 4+y 4+z 4=（ ）A ．4B ．C ．D ．以上都不对【答案】C【解析】根据已知条件先求出xy+xz+yz=，再求出xyz=，根据完全平方公式即可求解．解：∵，∴由（1）代入上式得：xy+xz+yz=（4），而x 3+y 3+z 3﹣3xyz=（x+y+z ）（x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣xz ﹣yz ），把（3）（4）代入上式得：xyz=（5），由（4）平方得：；把（5）代入上式得：，∴．故选C ．一、单选题1．下列方程中，判断中错误的是（）A ．方程20316x x x +-=+是分式方程B ．方程3210xy x ++=是二元二次方程C 20+=是无理方程D ．方程()()226x x +-=-是一元二次方程【答案】C逐一进行判断即可．A. 方程20316x x x +-=+是分式方程，正确，故该选项不符合题意； B. 方程3210xy x ++=是二元二次方程，正确，故该选项不符合题意；C.20+=是一元二次方程，错误，故该选项符合题意；D. 方程()()226x x +-=-是一元二次方程，正确，故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查方程的概念，掌握一元二次方程，分式方程，二元二次方程，无理方程的概念是解题的关键．2．下列方程组中，是二元二次方程组的是（ ）A ．12x y x y +=ìí-=îB ．22231310x y x y ì-=ïïíï+=ïîC ．21x y xy -=ìí=îD ．313x y xy y xì+=í=-î【答案】C【解析】根据二元二次方程组的定义依次判断即可.A 、是二元一次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；B 、是分式方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；C 、是二元二次方程组，故本选项符合题意；D 、是二元三次方程组，不是二元二次方程组，故本选项不符合题意；故选：C.此题考查二元二次方程组的定义，熟记定义是解题的关键.3．在方程①57x y +=；②240-+=x y ；③70+=xy ；④22191+=x y ；⑤2253370+++=x xy y x 中，是二元二次方程的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】化简后看含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程有几个即可．解：①含有两个未知数但未知数最高次数是1，是二元一次方程；②含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；③含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程；④未知数在分母中，是分式方程，不是二元二次方程；⑤含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，是二元二次方程．综上所述，有3个二元二次方程．故选：C【点睛】本题考查了对二元二次方程的定义的应用，解题的关键是掌握二元二次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是二元二次方程.4．解方程组2222129x y x xy y ì-=í++=î①②的可行方法是（ ）A ．将①式分解因式B ．将②式分解因式C ．将①②式分解因式D ．加减消元【答案】C【解析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先因式分解组中的两个二元二次方程，再解答即可．解：∵因式分解①得： ()()1x y x y +-=，因式分解②得：()29x y +=∴3x y +=或3x y +=-，将3x y +=或3x y +=-代入()()1x y x y +-=中得到13x y -=或13x y -=-，得到方程组313x y x y +=ìïí-=ïî或313x y x y +=-ìïí-=-ïî，解得：115343x y ì=ïïíï=ïî，225343x y ì=-ïïíï=-ïî故答案为：C ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是根据二元二次方程组的特点，进行因式分解．5．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，则（ ）A ．m ≥14-B ．m ＞14-C ．14-＜m ＜14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】将y=x²与y=x+m 函数联立，根据解的个数求解即可．方程组2y x y x mì=í=+î有两组不同的实数解，两个方程消去y 得，20x x m --=，需要△＞0，即1+4m ＞0，所以m ＞14-,故选B.【点睛】本题考查了二元二次方程，用到的知识点是加减消元法解方程组，根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是根据根的判别式求出m 的值．6．方程组2211x y ì=í=î的实数解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据平方根的性质，正数的平方根有两个，互为相反数即可求解.解：解21x =得1x =±，解21y =得1y =±，∴方程组的解为：11111111x x x x y y y y ===-=-ììììíííí==-==-îîîî，，，，故选D.【点睛】本题考查解二元二次方程组，二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二•一”型和“二•二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型．“二•一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二•二”型是由两个二元二次方程组成的方程．7．二元二次方程组的解是A．B．C．D．【答案】C本题可将选项中的四组答案代入检验看是否符合二元二次方程组．也可根据第一个式子，得出与的关系，代入第二个式子求解依题意得=3-∴y=（3-）=-10-2+3+10=02-3-10=0（-5）（+2）=0=5，2=-21∴方程的解为：，故选C8．已知下列四对数值不是方程的解是（）：A．B．C．D．【答案】A【解析】将各选项代入方程进行验证即可．解：A、当x=-5，y=-2时，左边=(-5)²+(-2)² =29≠13，左边≠右边，故A错误；B、当x=-2，y=3时，左边=(-2)²+3² =13，左边=右边，故B正确；C、当x=2，y=3时，左边=2²+3² =13，左边=右边，故C正确；D、当x=-3，y=2时，左边=(-3)²+2² =13，左边=右边，故D正确；【点睛】本题考查了二元二次方程的解的定义，掌握二元二次方程的解得定义是解题的关键．9．方程组20230x y x x y +=ìí++-=î的解的情况是（ ）A ．有两组相同的实数解B ．有两组不同的实数解C ．没有实数解D ．不能确定【答案】B【解析】首先运用代入法，将方程组进行变形，然后利用根的判别式即可判定.20230x y x x y +=ìí++-=î①②将①代入②，得2230x -=240423240b ac =-=+´´=△＞故方程有两组不同的实数解，故选：B.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.10．如果14x y =ìí=î 是方程组x y a xy b +=ìí=î的一组解，那么这个方程组的另一组解是（ ）A ．41x y =ìí=îB ．14x y =-ìí=-îC ．41x y =-ìí=-îD ．41x y =ìí=-î【答案】A将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î求得54a b =ìí=î，再解方程组54x y xy +=ìí=î即可得解.将14x y =ìí=î代入方程组x y a xy b +=ìí=î中得：1414a b +=ìí´=î，解得：54a b =ìí=î，则方程组变形为：54x y xy +=ìí=î，由x+y=5得：x=5-y ，将x=5-y 代入方程xy=4中可得：y 2-5y+4=0，解得y=4或y=1，将y=1代入xy=4中可得：x=4，所以方程的另一组解为：41x y =ìí=î．故选A ．【点睛】本题考查了高次方程，二元一次方程组的解法，熟记解二元一次方程的解法是解题的关键．11．方程组2220x y m y x ì-=í-=î有四组不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．14m <-B ．14m >-C ．104m -<>D ．14m >-，且0m ¹【答案】D首先运用代入法将方程组变形，然后利用根的判别式即可得解.2220x y m y x ì-=í-=î①②由②，得2x y =③将③代入①，得420y y m --=∵方程组有四组不同的实数解，∴()()224141140b ac m m =-=--´´-=+△＞且0m ¹∴14m >-，且0m ¹故选：D.【点睛】此题主要考查根据二元二次方程组的解求参数的取值范围，解题关键的利用根的判别式.12．二元二次方程组22220,4 2.x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，然后用代入消元法求解即可．2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得(x-y)(x+2y)=0，∴x-y=0或x+2y=0，∴原方程组可变为：2042x y x y -=ìí+=-î③④或22042x y x y +=ìí+=-î⑤⑥，由③得x=y ，把x=y 代入④得y 2+4y=-2，解得，∴1122x y ì=-ïí=-ïî2222x y ì=-+ïí=-ïî；由⑤得x=-2y ，把x=-2y 代入⑥得4y 2+4y+2=0，即2y 2+2y+1=0，∆=4-8=-4＜0，∴此时方程无实数根，综上可知，方程组有两组解：1122x y ì=--ïí=-ïî，2222x y ì=-+ïí=-ïî．故选B ．【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键．二、填空题13．12x y =ìí=-î_______方程组22245x y x y -=ìí-=î的解（填“是”或“不是”）．【答案】不是【解析】把12x y =ìí=-î代入原方程组的两个方程即可得到答案．解：把12x y =ìí=-î代入原方程组22245x y x y -=ìí-=î中的225x y -=中，方程左边＝221(2)143--=-=-¹右边，所以12x y =ìí=-î不是原方程组的解．故答案为：不是．【点睛】本题考查的是方程组的解的含义，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键．14．像22121x y x y ì+=-í+=î这样的二元二次方程组，是由一个________方程和一个_________方程组成，可以用________法解这个方程．【答案】二元二次二元一次 代入 【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解.由题意，得该方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，可以用代入法求解，故答案为：二元二次；二元一次；代入.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.15．已知12x y =ìí=-î是方程组x y m x y n +=ìí×=î的一个解，那么这个方程组的另一个解是__________.【答案】21x y =-ìí=î.【解析】将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，所以原方程组是12x y xy +=-ìí=-î，再解此方程组即可.解：将12x y =ìí=-î代入原方程组求得12m n =-ìí=-î，∴原方程组是12x y xy +=-ìí=-î①②，由①，得x=-y-1③，把③代入②式，化简得y 2+y-2=0，解之，得y 1= -2，y 2= 1．把y 1=-2代入x=-y-1，得x 1=1，把y 2=1代入x=-y-1，得x 2=-2．∴原方程组的解为：121212,21x x y y ==-ììíí=-=îî.故答案为：21x y =-ìí=î.【点睛】本题考查了解二元二次方程组，熟练掌握运算法则是解题的关键．16．解方程组24221x y xy +=ìí=-î①② 的解为_______________【答案】121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî【解析】由①得出x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，求出y 1 = 72 ，y 2 = - 32，分别代入③，求出x 即可．解： 24221x y xy +=ìí=-î①②由①得：x=4-2y ③，把③代入②得：2（4-2y ）y=-21，解得：y 1 =72 ，y 2 = - 32 ， 把y 1 = 72代入③得：x 1 =-3， 把y 2 =- 32代入③得：x 2 =7， 即原方程组的解是 121237,7322x x y y =-=ììïïíí==-ïïîî .【点睛】本题考查了解高次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把二元变成一元．17．解方程组224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î的解为_______________【答案】21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【解析】首先把方程②变形为y=1132x -，然后利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．解：224422032110x xy y x y x y ì-++--=í+-=î①②，由②得:y=1132x -③ 把③代入①得:x 2-4(113)2x x -+4(1132x -)2+x-2(113)2x --2=0. 整理得:4x 2-21x+27=0∴x 1=3 x 2=94. 把x=3代入③　得:y=1把x=94代入④　得:y=178. ∴原方程组的解为: 21129341178x x y y ìì=ïï=ïïíí=ïï=ïïîî【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．18．二元二次方程()()23320x y +-=有__________个解．【答案】无数【解析】根据()()23320x y +-=可得230x +=或320y -=，从而得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，确定方程有无数个解．解：∵()()23320x y +-=∴230x +=或320y -=∴32x =-或23y =，当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数，∴方程有无数个解，故答案为：无数．【点睛】本题考查了方程的因式分解解法，解题的关键是得出当32x =-时，y 可以取任意实数，当23y =，时，x 可以取任意实数．19．解方程组224915235x y x y ì-=í-=î时，采用“_________”的方法，将二元二次方程224915x y -=化为_________方程，这是一种“__________”的策略．【答案】因式分解二元一次 消元降次【解析】观察方程组，由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成，其中二元二次方程可以进行因式分解化为二元一次方程，这是采用了“消元降次”的策略.由题意，得该方程组可采用因式分解的方法，将二元二次方程224915x y -=化为二元一次方程，这是一种消元降次策略，故答案为：因式分解；二元一次；消元降次.【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.20．如果222461461,461a a b c b b c a c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î，那么a b c ++的值为_________________．【答案】32-【解析】方程组的三个方程轮循环对称，可把组中的三个方程相加，利用完全平方公式和非负数的和先求出a 、b 、c 的值，再计算a b c ++．解：222461461461a a b c b b a c c c a b ì++=+ï++=+íï++=+î①②③①+②+③，得222461461461a a b b c c b c a c a b ++++++++=+++++，整理，得2224414414410a ab bc c ++++++++=所以222(441)(441)(441)0a ab bc c ++++++++=即222(21)(21)(21)0a b c +++++=因为2(21)0a +…，2(21)0b +…，2(21)0c +…，所以210a +=，210b +=，210c +=所以12a =-，12b =-，12c =-，所以32a b c ++=-．故答案为：32-【点睛】本题考查了完全平方公式、非负数的和等知识点．观察题目，发现三个方程的特点是解决本题的关键．三、解答题21．解方程组：22449(1)6(2)x xy y x y ì++=í-=î．【答案】33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î【解析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．解：224496x xy y x y ì++=í-=î①②，由方程①可得x +2y ＝﹣3或x +2y ＝3，则方程组可变为236x y x y +=-ìí-=î或236x y x y +=ìí-=î，解得33x y =ìí=-î或51x y =ìí=-î．【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．22．解方程组：222220560x y x xy y ì+=í-+=î．【答案】1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî【解析】由22560x xy y -+=得()()230x y x y --=，从而得到20x y -=或30x y -=，即2x y =或3x y =；再将2x y =或3x y =分别代入到2220x y +=，通过求解即可得到答案．由22560x xy y -+=得：()()230x y x y --=∴20x y -=或30x y -=∴2x y =或3x y=将2x y =代入2220x y +=，得：22420y y +=∴2y =±∴1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î将3x y =代入2220x y +=，得：22920y y +=∴y =∴33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî∴方程组的解是：1142x y =ìí=î，2242x y =-ìí=-î，33x y ì=ïí=ïî，44x y ì=ïí=ïî．【点睛】本题考查了二元二次方程、因式分解、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解、二元二次方程的性质，从而完成求解．23．解方程组：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②【答案】11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î【解析】解①，用含y 的代数式表示x ，然后代入②求出y ，再求出方程组的解．解：2220326x xy x xy y ì+=í-+=î①②，由①，得()0x x y +=，所以0x =或x y =-．把0x =代入②，得226y =，解得y =．把x y =-代入②，得222326y y y ++=，整理，得21y =，所以1y =±．所以1x =-或1．故原方程组的解为：11x y ìïí=ïî22x y =ìïí=ïî，3311x y =-ìí=î，4411x y =ìí=-î．【点睛】本题考查了高次方程组的解法．变形①用代入法把二元二次方程组转化为一元二次方程，是解决本题的关键．24．2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î【答案】112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î【解析】根据二元二次方程组的解法进行求解即可．解：2222560112x xy y x x y y ì-+=í++-=î①②，由①得：23x y x y=ìí=î，当x=2y 时，代入②可得：25920y y --=，解得：121,25y y =-=，∴122,45x x =-=；当x=3y 时，代入②可得：210820y y --=，解得：341,15y y =-=，∴343,35x x =-=，综上所述：方程组的解为112515x y ì=-ïïíï=-ïî，2242x y =ìí=î，333515x y ì=-ïïíï=-ïî，4431x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查二元二次方程方程组的解法，熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．25．解方程组：22312230x y x xy y +=ìí--=î【答案】1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【解析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．解：22312230x y x xy y +=ìí--=î①②由②得()()30x y x y -+=30x y -=或0x y +=原方程组可化为31230x y x y +=ìí-=î；3120x y x y +=ìí+=î解得1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î所以原方程组的解是1162x y =ìí=î；2266x y =-ìí=î【点睛】本题考查高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．26．解下列方程（组）（1）33(2019)(2018)1x x -+-=；（2）22222293,19293,19293.192x y xy z yz x z ì=ï+ïï=í+ïï=ï+î【答案】（1）2019或2018；（2）111(,,)333或(0,0,0)【解析】（1）运用换元法的思想令2019,2018m x n x =-=-，联立方程组可得m 和n 的等式，再利用完全平方公式的变形即可得出答案；（2）根据条件易得x=0,y=0,z=0时方程成立，当,,x y z 不为0时，把三个方程相加222111(1)(1)(1)0333x y z-+-+-=，然后根据平方数的非负性可得三个式子分别为零，即可求出结果．解：（1）令2019,2018m x n x =-=-;则3311m n m n +=ìí+=î;∴222()31-+=+-=m mn n m n mn ;∴0mn =即0m =或n=0;∴2019x =或2018；（2）易知(,,)(0,0,0)x y z = 为一组解;若,,x y z 不为0;则222121,93121,93121.93x y yz zx ì+=ïïï+=íïï+=ïî相加得222111(1)(1)(1)0333x y z -+-+-=;∴111(,,)(,,333x y z =;综上：111(,,)(,,333x y z =或()0,0,0.【点睛】本题主要考查方程的解法，灵活利用换元法、乘法公式变形及分类讨论思想是解题的重要环节．27．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ì+=í-+=î（2）217,11 1.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î 【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）112512x y ì=ïïíï=ïî【解析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î再分别解这两个方程组可得答案．（2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案．解：（1）因为222220560x y x xy y ì+=í-+=î把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ì+=í-=î或222030x y x y ì+=í-=î因为222020x y x y ì+=í-=î把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =ìí=î 或42x y =-ìí=-î同理解222030x y x y ì+=í-=î得方程组的解是x y ì=ïí=ïî或x y ì=ïí=ïî所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ìììì===-=-ïïïïíííí==-==ïïïïîîîî（2）因为217,111.x y x y x y x yì-=ï+-ïíï+=-ï+-î①②所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入②得：13x y -=-，所以1213x y x y ì+=ïïíï-=-ïî，解得：112512x y ì=ïïíï=ïî 经检验112512x y ì=ïïíï=ïî是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ì=ïïíï=ïî【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．28．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？【答案】（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【解析】（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租用乙种货车(n)1-辆，根据总费用=每辆车所需费用´租用该种车的辆数，即可得出关于m，n的二元二次方程组，解之即可得出结论．解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，依题意，得：2313 5628 x yx y+=ìí+=î，解得：23 xy=ìí=î．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b \=-．a Q ，b 均为非负整数，b \为偶数，\当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．\共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =ìí-=î，解得：1008m n =ìí=î，1.4140m \=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．。

学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤学习技巧：掌握解二元二次方程组的完整步骤在数学学习中，解二元二次方程组是一个重要的内容。

掌握解决这种类型方程组的技巧，不仅能提升数学能力，还能应用于实际问题的解决。

本文将介绍解二元二次方程组的完整步骤，帮助读者准确掌握这一知识点。

一、方程组的定义和形式二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，通常形式如下：{ a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0{ a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1, b1, c1, d1, e1, f1, a2, b2, c2, d2, e2, f2是已知数或系数，x 和y是未知数。

二、解二元二次方程组的步骤在解二元二次方程组前，我们首先需要了解以下步骤：步骤1：判断方程组类型根据方程组的系数判断方程组类型，可能有三种情况：1. 如果两个方程的系数都不为0，则为普通二元二次方程组；2. 如果一个方程系数全为0，另一个方程的系数不全为0，则为次齐次方程组；3. 如果两个方程的系数都为0，则不构成方程组。

步骤2：化简方程组对方程组进行化简，通过消元或其他方法将方程组转化为更简单的形式。

例如，通过消去某些变量或消去平方项，减小方程组的复杂度。

步骤3：代入法求解通过代入法，即将其中一个方程的解代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。

代入法是解二元二次方程组最常用的方法之一。

步骤4：直接消元法求解对方程组进行直接消元，通过加减、乘除等运算将方程组转化为只含一个未知数的方程，然后解决该方程从而求得其他未知数的值。

步骤5：使用数学软件或计算器在实际应用中，可以借助数学软件或计算器来解决二元二次方程组。

通过输入方程的系数，运行相应的函数或命令，即可得到方程组的解。

三、实例演示以下是一个实例，演示了解二元二次方程组的完整步骤：例题：{ 2x^2 - xy + y^2 = 13{ 3x^2 + xy + 2y^2 = 19解答步骤：步骤1：判断方程组类型。

高中数学解二元二次方程组的方法及相关题目解析高中数学中，二元二次方程组是一个重要的知识点。

解二元二次方程组需要运用一些特定的方法和技巧，本文将详细介绍解二元二次方程组的方法，并通过相关题目的解析来说明考点和解题技巧。

一、解二元二次方程组的方法解二元二次方程组的一种常用方法是“代入法”。

具体步骤如下：1. 将其中一个方程中的一个变量表示为另一个变量的函数，然后代入另一个方程中，得到一个关于另一个变量的一元二次方程；2. 解这个一元二次方程，得到一个变量的值；3. 将这个变量的值代入到另一个方程中，解得另一个变量的值；4. 将两个变量的值代入到任意一个方程中，验证是否满足。

除了代入法，还有其他方法如消元法、配方法等，但代入法是最常用的方法之一。

二、相关题目解析下面通过几个具体的题目来解析二元二次方程组的解题方法和考点。

题目一：解方程组\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\x + y = 7\end{cases}\]解析：首先，我们可以将第二个方程改写为 $x = 7 - y$，然后代入第一个方程得到 $(7 - y)^2 + y^2 = 25$，展开后得到 $2y^2 - 14y + 24 = 0$。

解这个一元二次方程得到 $y_1 = 2$ 和 $y_2 = 6$，然后代入 $x = 7 - y$ 得到 $x_1 = 5$ 和 $x_2 = 1$。

最后，将这两组解代入到原方程组中验证，发现都满足。

题目二：解方程组\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 10 \\xy = 3\end{cases}\]解析：我们可以通过代入法解这个方程组。

首先，将第二个方程改写为 $y = \frac{3}{x}$，然后代入第一个方程得到 $x^2 + \left(\frac{3}{x}\right)^2 = 10$，整理后得到 $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$。

解这个一元四次方程比较困难，但我们可以通过观察发现 $x = 1$ 是一个解。

二次函数判断根的个数公式二次函数的判断根的个数主要通过判别式（Δ）来确定，Δ的值越大表示根的个数越多。

二次函数的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。

Δ的公式为Δ=b^2-4ac。

根据Δ的值可以判断二次函数的根的个数：1. 当Δ>0时，即b^2-4ac>0，二次函数有两个不相等的实数根。

2. 当Δ=0时，即b^2-4ac=0，二次函数有两个相等的实数根。

3. 当Δ<0时，即b^2-4ac<0，二次函数没有实数根，有两个共轭复数根，其中实部为-x₀=-b/2a，虚部为y₀=√(-Δ)/2a。

接下来我们来详细解释一下如何利用判别式判断二次函数的根的个数。

1. 当Δ>0时，即b^2-4ac>0，二次函数有两个不相等的实数根。

若Δ>0，则有两种情况：（1）当a>0时，开口向上的抛物线与x轴有两个交点，即与x轴相交于两点，根的个数为2图示如下：^.----------，‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾（2）当a<0时，开口向下的抛物线与x轴有两个交点，即与x轴相交于两点，根的个数为2图示如下：----------，‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾2. 当Δ=0时，即b^2-4ac=0，二次函数有两个相等的实数根。

若Δ=0，则有两种情况：（1）当a>0时，开口向上的抛物线与x轴有一个交点，即与x轴相切于一点，根的个数为1图示如下：^----------，‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾（2）当a<0时，开口向下的抛物线与x轴有一个交点，即与x轴相切于一点，根的个数为1图示如下：----------，‾‾‾‾‾‾‾‾3. 当Δ<0时，即b^2-4ac<0，二次函数没有实数根，有两个共轭复数根，其中实部为-x₀=-b/2a，虚部为y₀=√(-Δ)/2a。

数学解方程知识点大全总结一、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

一般形式为：ax+b=0，其中a≠0，a为系数，b为常数。

2. 一元一次方程的解法(1) 直接相减法对于方程ax+b=0，可以通过将b移到等号的另一侧，再将a约分来求得未知数的值。

(2) 换元法当遇到系数a较大或不便化简的情况时，可以通过引入新的未知数来简化方程的解法。

(3) 代入法可以通过将一个已知的值代入方程中来求解未知数的值。

(4) 图形法通过画出方程对应的直线图形，在图上找到方程的解。

(5) 相等系数法当两个或多个未知数满足同一个方程时，可以将其系数都等式化，然后联立求解。

3. 一元一次方程的实际应用一元一次方程可以应用在日常生活中的各种问题当中，例如物品的购买、运输时间的计算、工程建设的规划等等，都可以通过建立一元一次方程来进行求解。

4. 一元一次方程的解的判定一元一次方程存在唯一解的条件是系数a不为零。

当a=0时，如果b=0，方程有无穷多解；如果b≠0，方程无解。

二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二的方程。

一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a≠0，a、b、c分别为系数。

2. 一元二次方程的解法(1) 因式分解法可以通过将一元二次方程进行因式分解，得到两个一元一次方程，再分别求解，得到方程的解。

(2) 完全平方公式当一元二次方程为完全平方公式的形式时，可以直接应用完全平方公式进行求解。

(3) 公式法通过一元二次方程的求根公式(即二次方程的根公式)进行求解。

(4) 完全平方差公式当一元二次方程为完全平方差公式的形式时，可以直接应用完全平方差公式进行求解。

3. 一元二次方程的实际应用一元二次方程可以应用在各种实际问题当中，例如抛物线运动的轨迹、图形的面积计算、物质的变化规律等，都可以通过建立一元二次方程来进行求解。