2020届中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练(含答案)

2020九下6.2黄金分割巩固训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约为(精确到1℃)()A. 21℃B. 22℃C. 23℃D. 24℃2.如图①，AB=2，点C在线段AB上，且满足ACAB =BCAC；如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为()A. 14−6√5B. 4√5−8C. 10√5−22D. 10√5−203.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅ABC. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP4.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10，那么AP的长是()A. 5√5−5B. 5−√5C. 5√5−1D. √5−125.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为()A. 6.18B. 3.82C. 6.28D. 4.826.如图，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定二、填空题8.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．9.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC的值等于______．交AC于点D，则CDAD10.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．11.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD 的长度是______．12. 如图，已知线段AB =2，作BD ⊥AB ，使BD =12AB ；连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C ，则AC 长为______．13. 点P 在线段AB 上，且BP AP =AP AB .设AB =4cm ，则BP =______cm ．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．16.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？答案和解析1.C解：根据黄金比的值得：37×√5−12≈23℃．2.C解：由ACAB =BCAC得，AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，BC=3−√52AB=3−√52×2=3−√5，因为CBDE为正方形，所以EC=BC，AE=AC−CE=AC−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，矩形AEDF的面积：AE⋅DE=(2√5−4)×(3−√5)=10√5−22．3.B解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．4.A解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB=5√5−5．5.B解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴AP=√5−12AB=√5−12×10≈6.18，∴PB=AB−PA=10−6.18=3.82(cm)．6.B解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，∴PA2=PB⋅AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，∴S1=S2．7.B解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2=AC⋅AB，又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC⋅AB，∴S1=S2．8.135解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．9.√5−12解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为√5−12，∴CDAD =CDBC=BCAC=√5−12；10.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，11.10√5−20解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，12.√5−1解：：∵AB=2，则BD=DE=12×2=1，由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB=√5−1，13.6−2√5解：∵BPAP =APAB.．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2，∴BP=4−(2√5−2)=(6−2√5)cm．14.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=12BC=2，∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=√5−12BC=2(√5−1)=2√5−2，∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8∴S△ADE=12×(4√5−8)×√5=10−4√5．16.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD⋅DM=2(3−√5)=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM;(3)点M是AD的黄金分割点.理由如下：∵AM2=AD⋅DM，∴AMAD =DMAM=√5−12，∴点M是AD的黄金分割点．第11页，共11页。

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割1第2页，共15页 C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比 D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________． 三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

初中数学黄金分割基础训练含答案一、选择题1．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A．12.36cm B．13.6cm C．32.36cm D．7.64cm2．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C 黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是（）A．B．C．D．4．为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到0.01m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）是（）A．0.62m B．0.76m C．1.24m D．1.62m5．如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB•AB，即P A≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）A．6.18B．0.382C．0.618D．3.82二、填空题6．如图，△ABC顶角是36°的等腰三角形（底与腰的比为的三角形是黄金三角形），若△ABC、△BDC、△DEC都是黄金三角形，已知AB＝4，则DE＝_____．7．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割．已知AB＝10cm，则AC的长约为_____cm（结果精确到0.1cm）．8．黄金分割比是＝＝0.61803398…，将这个分割比用四舍五入法精确到0.001的近似数是_____．9．校团委举办“五•四手抄报比赛”．手抄报规格统一设计成：长是0.8米的黄金矩形（黄金矩形的长与宽的比是1.6：1），则宽为_____米．10．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则AC＝_____cm，DC＝_____cm．11．如图，已知线段AB，点C在AB上，且有，则的数值为_____；若AB的长度与中央电视台演播厅舞台的宽度一样长，那么节目主持人应站在_____位置最好．三、解答题12．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔的选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？（精确到1cm）参考数据：黄金分割比为，＝2.236．13．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．14．宽与长之比为：1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论．15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．（1）求∠CDB的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求弦CE的长；③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．16．若一个矩形的短边与长边的比值为（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形．（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD；（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由；（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要证明）．17．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A＝36°，∠C＝72°，∠ADB＝108°．求证：（1）AD＝BD＝BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．初中数学黄金分割基础训练含答案参考答案与试题解析选择题1．解：方法1：设书的宽为x，则有（20+x）：20＝20：x，解得x＝12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618＝12.36cm．故选：A．2．解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，解得：y≈8cm．故选：C．3．解：设AB＝1，AC＝x，根据已知条件中的比例式得，则x2＝1﹣x，x2﹣1+x＝0，x＝（负值舍去）．则比值是．故选：A．4．解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2﹣x）m．依题意，得，解得x1＝﹣1+≈1.24，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去）．经检验，x＝﹣1+是原方程的根．故选：C．5．解：根据题意得：AP≈0.618×10＝6.18，则PB＝AB﹣AP＝10﹣6.18＝3.82．故选：D．填空题6．解：根据题意可知，BC＝AB，∵△ABC顶角是36°的等腰三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝72°，又∵△BDC也是黄金三角形，∴∠CBD＝36°，BC＝BD，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝36°＝∠A，∴BD＝AD，同理可证DE＝DC，∴DE＝DC＝AC﹣AD＝AB﹣BC＝AB﹣AB＝6﹣2．故答案为：6﹣2．7．解：由题意知AC：AB＝BC：AC，∴AC：AB≈0.618，∴AC＝0.618×10cm≈6.2（结果精确到0.1cm）故答案为：6.2．8．解：0.61803398在四舍五入后，精确到0.001的近似值为0.618．9．解：设宽为x米，则，解得：x＝0.5．故本题答案为：0.5．10．解：由题意得：则AC＝BD＝AB＝80×＝40﹣40；AD＝AB﹣BD＝80﹣（40﹣40）＝120﹣40；DC＝AB﹣2AD＝80﹣160．故答案为：40﹣40，80﹣160．11．解：设AC＝x，则BC＝AB﹣x，∴x：AB＝（AB﹣x）：x，解得：AC＝x＝，∴的数值为，∴点C是线段AB的黄金分割点，故主持人应站在点C位置最好．故答案为：；C．解答题12．解：设应穿xcm高的鞋子，根据题意，得．解得x＝10cm．13．证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，∵N为BC的中点，∴NC＝BC＝a．在Rt△DNC中，．又∵NE＝ND，∴CE＝NE﹣NC＝（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．14．解：留下的矩形CDFE是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点，∴，即，∴矩形CDFE是黄金矩形．15．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，∴OA＝OC＝OE＝DE，则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，∴x+2x＝108，x＝36°．∴∠CDB＝36°．（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．∵OE＝DE，∠CDB＝36°，∴△DOE是黄金三角形；∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．∴△COE是黄金三角形；∵∠COB＝108°，∴∠COD＝72°；又∠OCD＝2x＝72°，∴∠OCD＝∠COD．∴OD＝CD，∴△COD是黄金三角形；②∵△COD是黄金三角形，∴，∵OD＝2，∴OC＝﹣1，∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，如图所示，ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．16．解：（1）如图．（2）探究：四边形EBCF是矩形，而且是黄金矩形．∵四边形AEFD是正方形，∴∠AEF＝90°∴∠BEF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°∴∠BEF＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形EBCF是矩形．【方法1】设∴∴矩形EBCF是黄金矩形．【方法2】设，∴∴矩形EBCF是黄金矩形．（3）归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是矩形，而且是黄金矩形．17．证明：（1）∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∵∠ADB＝108°，∴∠ABD＝180°﹣36°﹣108°＝36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣108°＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD＝BD＝BC．（2）∵∠DBC＝∠A＝36°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC＝CD：BC，∴BC2＝AC•DC，∵BC＝AD，∴AD2＝AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．。

初三数学黄金分割练习题讲解黄金分割是一个数学概念，指的是将一段线段分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比。

这个比例约等于1:0.618，是一个重要的数值比例。

在数学和美学中，黄金分割被广泛运用，因为人们普遍认为这种比例具有美感和谐的特点。

下面我将为大家讲解一些初三数学黄金分割的练习题。

练习题1：已知一段线段AB的长度为10cm，要求将其分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，请问较长部分的长度是多少？解答：设较短部分的长度为x，则较长部分的长度为10-x。

根据黄金分割的概念，我们可以建立等式：(10-x)/x = x/(10-x)通过交叉相乘得到：(10-x)^2 = x^2展开得到：100 - 20x + x^2 = x^2化简得到：20x = 100解得：x = 5所以，较长部分的长度为10-5=5cm。

练习题2：已知一段线段CD的长度为15cm，要求将其分割成两部分，使得整段线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，请问较长部分的长度是多少？解答：设较短部分的长度为y，则较长部分的长度为15-y。

根据黄金分割的概念，我们可以建立等式：(15-y)/y = y/(15-y)通过交叉相乘得到：(15-y)^2 = y^2展开得到：225 - 30y + y^2 = y^2化简得到：30y = 225解得：y = 7.5所以，较长部分的长度为15-7.5=7.5cm。

通过以上两个练习题的讲解，我们可以看到，无论线段的长度为多少，使用黄金分割的原理进行计算都是相同的。

只需要根据已知条件设定变量，建立等式，通过方程求解，就能得到具体的结果。

黄金分割在数学中的应用不仅仅局限于线段的分割，还可以应用于图形的构造、比例的计算等等。

在几何学和美学中，黄金分割的比例被广泛运用，因为人们普遍认为这种比例具有最为美感和谐的特点。

例如，许多艺术品、建筑设计和摄影作品都遵循黄金分割的比例，以达到更好的视觉效果和审美体验。

4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.。

2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm5人们把5-12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a=5-12，b=5+12得ab=1，记S1=11+a+11+b，S2=11+a2+11+b2，⋯，S10=11+a10+11+b10，则S1+S2+⋯+S10=．6黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．如图1，我们已经学过，点C将线段AB分成两部分，如果AC：AB=BC：AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．7两千多年前，古希数学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400年一公元前347年)发现；将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即PBAP=APAB，则点P叫做线段AB的黄金分割点．如图，在△ABC中，点D是线段AC的黄金分割点，且AD< CD，AB=CD．(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)若BC=4cm，求BD的长．8以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示，(1)求AM，DM的长，(2)试说明AM2=AD·DM(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？2024年新课标中考数学二轮专题黄金分割及其应用1如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A,B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C,D之间的距离为．【答案】(805-160)cm【解析】【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为5-12，由此即可求解．【详解】解：弦AB=80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC=x，则AC=80-x，∴80-x80=5-12，解方程得，x=120-405，点D是靠近点A的黄金分割点，设AD=y，则BD=80-y，∴80-y80=5-12，解方程得，y=120-405，∴C,D之间的距离为80-x-y=80-120+405-120+405=805-160，故答案为：(805-160)cm．【点睛】本题主要考查线段成比例，掌握线段成比例，黄金分割点的定义是解题的关键．2在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．【答案】(5-1)或者-1+5【解析】根据点E是AB的黄金分割点，可得AEBE=BEAB=5-12，代入数值得出答案．∵点E是AB的黄金分割点，∴AE BE =BEAB=5-12．∵AB=2米，∴BE=(5-1)米．【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．3在设计人体雕像时，使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是()(结果精确到0.01m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236)A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m 【答案】B 【解析】设雕像的下部高为x m ，由黄金分割的定义得x 2=5-12,求解即可．设雕像的下部高为x m ，则上部长为(2-x )m ，∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雷锋雕像为2m ，∴x 2=5-12, ∴x =5-1≈1.24，即该雕像的下部设计高度约是1.24m ．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12≈0.618，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶与咽喉至肚脐的长度之比也是5-12，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是()A.165cmB.178cmC.185cmD.190cm【答案】B 【解析】设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则26x≈0.618，解得x ≈42.072，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则26+42.072y≈0.618，解得y ≈110.149，∴其身高可能是110.149÷0.618≈178(cm)。

2020中考复习——黄金分割专题训练（二）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 已知矩形ABCD 中，AB =1，在BC 上取一点E ，使BE =1，过点E 作EF ⊥AD ，F 是垂足．若点E 是线段BC 的黄金分割点(BE >EC)，则矩形ABCD 的面积(精确到0.1)为( )A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.82. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( )A. 12.36 cmB. 13.6 cmC. 32.36 cmD. 7.64 cm3. 已知线段AB =1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为( )A. √5−12B. 3−√52C. √5−12或3−√52D. 以上都不对4. 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，则下列等式中成立的是( )A. BC 2=AC ⋅ABB. AC 2=2AB ⋅BCC. AB 2=AC ⋅BCD. AC 2=BC ⋅AB5. 我们把宽与长的比值等于黄金比例√5−12的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD (AB >BC)的边AB 上取一点E ，使得BE =BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A. √22B. √5−12C. 3−√52D. √5+126.矩形的两边长分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A. a=4，b=√5+2B. a=4，b=√5−2C. a=2，b=√5+1D. a=2，b=√5−17.如图所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，BC=12AC，以点B为圆心，BC长为半径做弧，交AB于点D，再以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E，下列结论错误的是()A. BCAB =√55B. AEAC=√5−12C. ECAC=3+√52D. ACAB=2√558.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为()A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm二、填空题9.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为______cm．10.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB·BP，那么AP长为______厘米．11.已知a−ba =13，则ab的值为;已知点P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，若AB=2，则PB=.12.相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于____厘米．13.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB长为16米，一个主持人现在站在A处，则它应至少再走______米才最理想．(结果精确到0.1米)14.如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A、B两点，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，若AB=10cm，则AC≈_____cm.(结果精确到0.1)15.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，则CD=________．三、解答题16.(1)已知ab =35，求a+bb的值；(2)已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，求PA、PB的长．17.取长为2的定线段AB为边，作正方形ABCD，P为AB的中点，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上，如图所示。

黄金分割同步练习（典型题汇总）◆基础训练 一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）． A ．17 B ． C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）． A ．S 1>S 2 B ．S 1<S 2 C ．S 1=S 2 D ．S 1≥S 2 二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BCAC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ． 7．已知a b =112,a cc ba b c -+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52（2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )CBAC BA A.12 B.1211 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB ,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3.12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以AC=12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。

黄金分割中考题精选
黄金分割在中考中是一个常见的考点，以下是一些相关题目：
1. 设点 P 是线段 MN 上一点，NP > MP，若 NP^2 = MP MN，则称点P 是线段 MN 的黄金分割点。

在直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，BD > AD，若点 D 是线段 AB 的黄金分割点，给出下列说法：①AC = BD；②S△CBD = S△ADC S△ABC；③sinB = 5 - 12；
④tanA = 2。

其中正确的有（）
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①②③④
2. 舞台主持人的位置是舞台的黄金分割点，此时观众看起来最舒服。

若舞台长为20米，则主持人从舞台一侧进入，至少走多少米时，才能恰好站在舞台的黄金分割点上？
以上题目主要考查了黄金分割点的定义和性质，以及如何根据实际情况应用这些性质来解决问题。

这些题目都是一些典型的例题，可以帮助你理解和学习黄金分割的相关知识。

黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。

精品文 档九年级数学上--4.4黄金分割练习题1概念：1.黄金分割的定义在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.若设AB =1.则AC =215-≈0.618 即AC=215-AB ≈0.618 AB. 2.作一条线段的黄金分割点.已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使BD =21AB .（2）连接AD ，在DA 上截取DE =DB , （3）在AB 上截取AC =AE .则点C 为线段AB 的黄金分割点. 练习：1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。

2、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。

3、点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。

4、若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC ； (2)BC AC ⋅A C BM P N A C B A C BA C B6、已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7、 已知线段AB=2，C 点是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC= .8、 把长为10cm 的线段黄金分割后，其中较短线段长为 .9、已知线段MN ＝1，在MN 上有点A ，如果253-=AN ，求证：A 是MN 的黄金分割点．10、E 、F 为线段AB 的黄金分割点，已知AB ＝10 cm ，求EF 的长度．11、如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2，求：AC CD 的值。

最最中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D. 0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割第 2 页 共 15 页C. 如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =108°，AD 、AE 将∠BAC 三等分交边BC 于点D ，点E ，则下列结论中错误的是( )A. 点D 是线段BC 的黄金分割点B. 点E 是线段BC 的黄金分割点C. 点E 是线段CD 的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9. 据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10. 如果线段AB =10cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，那么线段BP =________cm ． 11. 如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割(BC <AC).已知AB =4 cm ，则BC 的长约为________cm.(结果精确到0.1)12. 在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62 cm ，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20 cm ，则宽约为 ________ (精确到1 cm)．15. 已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，若P 点为线段AB 上的任意一点，则P 点出现在线段AC 上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

2019-2020中考一轮复习《图形的相似》---黄金分割训练（一）一、选择题1.点P是长度为1的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为()A. √5−12B. 3−√5 C. 3−√52D. √5−22.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为()A. 12.36cmB. 13.6cmC. 32.36cmD. 7.64cm3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为()A. 6cmB. 10cmC. 4cmD. 8cm4.如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=2，则AP的长度是()A. √5−1B. 3−√5C. √5−12D. 3−√525.下列说法不正确的是()A. 所有矩形都是相似的B. 若线段a=5cm，b=2cm，则a：b=5：2C. 若线段AB=√5cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=5−√52cmD. 四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段6.如图，矩形ABCD中，已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM>BM，AD=AM，FB=BM，EF和GM把矩形ABCD分成四个小矩形，其面积分别用S1，S2，S3，S4表示，EF与MG相交于点N，则以下结论正确的有() ①N是GM的黄金分割点; ②S1=S4; ③S2S3=√5−12．A. ① ②B. ① ③C. ③D. ① ② ③二、填空题7.线段AB=10cm，点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则BC=__________cm．8.如图，已知△ABC，AB=AC=2，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是______．9.已知线段AB长是2厘米，P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，那么AP长为______厘米．10.一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走______米才最理想．11.如图示，在五角星形中，AD=BC，C、D两点都是AB的黄金分割点，且AB=3，则CD=________．12.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．三、解答题13.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618.这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数．定义：点C在线段AB上，若满足AC2=BC⋅AB，则称点C为线段AB的黄金分割点(如图1)．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．14.如图1，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC=√5−1AB，则称线段AB2被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金“右割“点，根据图形不难发现，线段AB上另有一点D把线段AB分成两条线段AD和BD，若BD=√5−1AB，则称点D2是线段AB 的黄金“左割”点． 请根据以上材科．回答下列问题(1)如图2，若AB =8，点C 和点D 分别是线段AB 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则BC =______，DC =______．(2)若数轴上有M ，P ，Q ，N 四个点，它们分别对应的实数为m ，p ，q ，n ，且m <p <q <n ，n =3|m|，点Q 和点P 分别是线段MN 的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求pq 的值．15. 若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC 中，BA =BC ，D 在边CB 上，且DB =DA =AC ． (1)如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；(2)若M 为线段BC 上的点，过M 作直线MH ⊥AD 于H ，分别交直线AB ，AC 于点N ，E ，如图2，试写出线段BN 、CE 、CD 之间的数量关系，并加以证明．16. 如图，在△ABC 中，AB =AC =1，BC =√5−12，在AC 边上截取AD =BC ，连接BD ． (1)通过计算，判断AD 2与AC ⋅CD 的大小关系；(2)求证：△ABC∽△BDC ．17. 如图 ①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地，给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图 ②)，则直线CD 是△ABC 的黄金分割线，你认为对吗⋅为什么⋅(2)一个三角形的中线也是该三角形的黄金分割线吗⋅请说明理由;(3)研究小组在进一步探究中发现：在(1)的基础上过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF//CE ，交AC 于点F ，连结EF(如图 ③)，则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线，请你说明理由;(4)如图 ④，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF//AD ，交DC 于点F ，显然，直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边的黄金分割点．答案和解析1.C解：较短线段的长度=1−√5−12×1=3−√52，2.A解：方法1：设书的宽为x，则有(20+x)：20=20：x，解得x=12.36cm．方法2：书的宽为20×0.618=12.36cm．3.D解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：96+y160+y=0.618，解得：y≈8cm．4.A解：由于点P是线段AB的黄金分割点，AP>BP，AB=2，则AP=√5−12AB=√5−12×2=√5−1．5.A解：所有矩形对应边的比不一定相等，不一定都是相似的，A不正确，符合题意；若线段a=5cm，b=2cm，则a：b=5：2，B正确，不符合题意；线段AB=√5cm，C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC=√5−12AB=5−√52(cm)，C正确，不符合题意；四条长度依次为lcm，2cm，2cm，4cm的线段是成比例线段，D正确，不符合题意；6.A解：∵四边形ABCD是矩形，AM=AD，BM=BF，∴四边形AMGD，四边形BMNF都是正方形，∴AM=AD=MG=BC，MB=BF=MN=FN，∵点M是线段AB的黄金分割点，AM>BM，∴AM2=BM⋅AB，∴S1+S3=S3+S4，∴S1=S4，故 ②正确．∵S1=S4，∴MN2=NG⋅DG=NG⋅GM，∴N是GM的黄金分割点，故 ①正确．∵S2S3=GN⋅FNAM⋅MN=GNGM，∵MNGM=√5−12，∴GNGM =2−√5+12=3−√52，故 ③错误．7.15−5√5解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC>CB，若AB=10cm，则AC=AB×√5−12=10×√5−12=(5√5−5)cm，∴BC=AB−AC=(15−5√5)cm．8.√5−1解：∵∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴DA=DB=BC，∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△DBC∽△BAC，∴BCAC =CDBC，即BC2=CD⋅AC，∴AD2=CD⋅AC，∴点D是AC的黄金分割点，∴AD=√5−12AC=√5−1，9.(√5−1)解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2=AB⋅BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP=√5−12AB=2×√5−12=(√5−1)厘米．10.30−10√5解：设一个主持人现在站在A处，则它应至少再走x米才最理想．则①若AC是BC与AB的比例中项：则ACAB =BCAC，即x：(20−x)=(√5−1)：2解得x=30−10√5；②若BC是AC与AB的比例中项：则AC BC =BCAB ，即(20−x)：x =(√5−1)：2 解得x =10√5−10．∵30−10√5<10√5−10，∴他应至少再走(30−10√5)米才最理想．11.3√5−6解：∵AD =BC ， ∴AC =BD ，∵C 、D 两点都是AB 的黄金分割点， ∴AC =BD =√5−12AB ， ∴CD =(AC +BD)−AB ，=2AC −AB ， =2×√5−12AB −AB ，=(√5−2)AB ， =(√5−2)×3， =3√5−6，12.23解：根据黄金比的值得：37×√5−12=37×0.618≈23℃．13.(1)证明：∵AB =AC =1，∴∠ABC =∠C =12(180°−∠A)=12(180°−36°)=72°，∵BD 平分∠ABC 交AC 于点D ， ∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°，∴∠BDC =180°−36°−72°=72°， ∴DA =DB ，BD =BC ， ∴AD =BD =BC ， 易得△BDC∽△ABC ，∴BC ：AC =CD ：BC ，即BC 2=CD ⋅AC ， ∴AD 2=CD ⋅AC ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点；(2)设AD =x ，则CD =AC −AD =1−x ， ∵AD 2=CD ⋅AC ，∴x 2=1−x ，解得x 1=√5−12，x 2=−√5−12，即AD 的长为√5−12．14.解：(1)∵点C和点D分别是线段AB的黄金“右割”点、黄金“左割”点，∴AC=BD=√5−12AB=√5−12×8=4√5−4，∴BC=8−(4√5−4)=12−4√5；∴DC=BD−BC=(4√5−4)−(12−4√5)=8√5−16；故答案为12−4√5；8√5−16；(2)由(1)和题意可知：PN=√5−12MN；MQ=√5−12MN∵在数轴上，m<p<q<n，n=3|m|∴PN=n−p；MQ=q−m；MN=n−m；当m≥0时，n=3m；即3m−p=√5−12(3m−m)=√5−12⋅2m=(√5−1)m∴根据被减数−差=减数：p=3m−(√5−1)m=4m−√5m 同理可求q=√5m∴pq 的值为√5m√5m=√5√5=√5)⋅√5√5⋅√5=4√5−55当m<0时，n=−3m；∴3m−p=√5−12(−3m−m)=2(1−√5)m ∴根据被减数−差=减数：p=3m−2(1−√5)m=m+2√5m同理可求q=3m−2√5m∴pq 的值为√5m3m−25m=√53−25=√5)(3+2√5)(3−25)(3+25)=−23+8√51115.解：(1)△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DB=DA，∴∠BAD=∠B，∵DA═AC，∴∠ADC=∠C=∠BAC=2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∴∠B+2∠B+2∠B=180°，∴∠B=∠DAC=36°，∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；(2)CD=BN+CE，理由如下；由(1)知，∠BAD=∠B=36°，∠CAD=36°=∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线，在△ANH和△AEH中{∠BAD=∠CAD ∠AHN=∠AHE AH=AH∴△ANH≌△AEH(ASA)，∴AN=AE，即AB−BN=AC+CE，又∵BA=BC=BD+DC，AC=AD=BD，∴BC−BN=AD+CE ∴BD+CD−BN=AD+CE，又∵AD=BD，∴CD−BN=CE，即CD=BN+CE．16.(1)解：AD 2=AC ⋅CD ，理由如下：∵AB =AC =1，AD =BC =√5−12，∴CD =AC −AD =1−√5−12=3−√52，∵AD 2=(√5−12)2=3−√52，AC ⋅CD =3−√52，∴AD 2=AC ⋅CD ；(2)由(1)知AD 2=AC ⋅CD ， ∵AD =BC ，∴BC 2=AC ⋅CD ， ∴BC AC=CD BC，又∵∠B =∠B ， ∴△ABC∽△BDC ．17.解：(1)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h ．则S △ADC =12AD ⋅h ，S △BDC =12BD ⋅h ，S △ABC =12AB ⋅h ， ∴S ΔADC S ΔABC=ADAB ，S ΔBDC S ΔADC=BDAD ．又∵点D 为边AB 的黄金分割点， ∴AD AB =BD AD，∴SΔADC S ΔABC=SΔBDC S ΔADC．故直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴s 1=s 2=12s ，即S 1S ≠S2S 1，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线； (3)∵DF//CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等， ∴S △DFC =S △DFE ，∴S △ADC =S △ADF +S △DFC =S △ADF +S △DFE =S △AEF ，S △BDC =S 四边形BEFC ．又∵S ΔADCSΔABC=SΔBDC S ΔADC， ∴SΔAEFS ΔABC．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线；(4)画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM//NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．第11页，共11页。

2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

2020九下6.2黄金分割巩固训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约为(精确到1℃)()A. 21℃B. 22℃C. 23℃D. 24℃2.如图①，AB=2，点C在线段AB上，且满足ACAB =BCAC；如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为()A. 14−6√5B. 4√5−8C. 10√5−22D. 10√5−203.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅ABC. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP4.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10，那么AP的长是()A. 5√5−5B. 5−√5C. 5√5−1D. √5−125.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为()A. 6.18B. 3.82C. 6.28D. 4.826.如图，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定二、填空题8.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．9.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC的值等于______．交AC于点D，则CDAD10.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．11.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD 的长度是______．12. 如图，已知线段AB =2，作BD ⊥AB ，使BD =12AB ；连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C ，则AC 长为______．13. 点P 在线段AB 上，且BP AP =AP AB .设AB =4cm ，则BP =______cm ．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．16.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？答案和解析1.C解：根据黄金比的值得：37×√5−12≈23℃．2.C解：由ACAB =BCAC得，AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，BC=3−√52AB=3−√52×2=3−√5，因为CBDE为正方形，所以EC=BC，AE=AC−CE=AC−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，矩形AEDF的面积：AE⋅DE=(2√5−4)×(3−√5)=10√5−22．3.B解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．4.A解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB=5√5−5．5.B解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴AP=√5−12AB=√5−12×10≈6.18，∴PB=AB−PA=10−6.18=3.82(cm)．6.B解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，∴PA2=PB⋅AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，∴S1=S2．7.B解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2=AC⋅AB，又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC⋅AB，∴S1=S2．8.135解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．9.√5−12解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为√5−12，∴CDAD =CDBC=BCAC=√5−12；10.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，11.10√5−20解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，12.√5−1解：：∵AB=2，则BD=DE=12×2=1，由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB=√5−1，13.6−2√5解：∵BPAP =APAB.．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2，∴BP=4−(2√5−2)=(6−2√5)cm．14.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=12BC=2，∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=√5−12BC=2(√5−1)=2√5−2，∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8∴S△ADE=12×(4√5−8)×√5=10−4√5．16.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD⋅DM=2(3−√5)=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM;(3)点M是AD的黄金分割点.理由如下：∵AM2=AD⋅DM，∴AMAD =DMAM=√5−12，∴点M是AD的黄金分割点．11/ 11。

2020九下6.2黄金分割巩固训练班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题1.据有关实验测定，当室温与人体正常体温(37℃)的比值为黄金比时，人体感到最舒适，这个室温约为(精确到1℃)()A. 21℃B. 22℃C. 23℃D. 24℃2.如图①，AB=2，点C在线段AB上，且满足ACAB =BCAC；如图②，以图①中的AC，BC长为边建构矩形ACBF，以CB长为边建构正方形CBDE，则矩形AEDF的面积为()A. 14−6√5B. 4√5−8C. 10√5−22D. 10√5−203.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则有()A. AB2=AP⋅PBB. AP2=BP⋅ABC. BP2=AP⋅ABD. AP⋅AB=PB⋅AP4.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10，那么AP的长是()A. 5√5−5B. 5−√5C. 5√5−1D. √5−125.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么PB的长度约为()A. 6.18B. 3.82C. 6.28D. 4.826.如图，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定7.如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为()A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. 不能确定二、填空题8.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，若取黄金比为0.6，则x应为________．9.如图，等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC的值等于______．交AC于点D，则CDAD10.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站到舞台的黄金分割点P处，且AP<BP，那么报幕员应走______米报幕．11.如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果AB=10.那么CD 的长度是______．12. 如图，已知线段AB =2，作BD ⊥AB ，使BD =12AB ；连接AD ，以D 为圆心，BD 长为半径画弧交AD 于点E ，以A 为圆心，AE 长为半径画弧交AB 于点C ，则AC 长为______．13. 点P 在线段AB 上，且BP AP =AP AB .设AB =4cm ，则BP =______cm ．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）14. 如图1，我们已经学过：点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB =BC AC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S =S2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．如图2，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ，∠C 的平分线交AB 于点D ．(1)证明点D 是AB 边上的黄金分割点；(2)证明直线CD 是△ABC 的黄金分割点．15. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN =GNMG=√5−12，后人把√5−12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB= AC=3，BC=4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，求△ADE的面积．16.如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．(1)求AM，DM的长．(2)求证：AM2=AD·DM．(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？答案和解析1.C解：根据黄金比的值得：37×√5−12≈23℃．2.C解：由ACAB =BCAC得，AC=√5−12AB=√5−12×2=√5−1，BC=3−√52AB=3−√52×2=3−√5，因为CBDE为正方形，所以EC=BC，AE=AC−CE=AC−BC=(√5−1)−(3−√5)=2√5−4，矩形AEDF的面积：AE⋅DE=(2√5−4)×(3−√5)=10√5−22．3.B解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，∴AP2=BP·AB．4.A解：由于P为线段AB=10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP=√5−12AB=5√5−5．5.B解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，∴AP=√5−12AB=√5−12×10≈6.18，∴PB=AB−PA=10−6.18=3.82(cm)．6.B解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，∴PA2=PB⋅AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB⋅AB，∴S1=S2．7.B解：∵C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，∴BC2=AC⋅AB，又∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，∴S1=BC2，S2=AC⋅AB，∴S1=S2．8.135解：根据题意得，x=0.6y，∴y=53x而x+y=360°，∴x+53x=360°，∴x=135°．9.√5−12解：∵在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=36°，∴AD=BD，∴∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△ABC和△BDC都是顶角为36°的等腰三角形．∵顶角为36°的等腰三角形为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为√5−12，∴CDAD =CDBC=BCAC=√5−12；10.(15−5√5)解：∵点P为AB的黄金分割点，AP<BP，∴PB=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5(米)，∴AP=AB−PB=10−(5√5−5)=15−5√5(米)，11.10√5−20解：∵点C、D是线段AB的两个黄金分割点，∴AD=BC=√5−12AB=√5−12×10=5√5−5，∴CD=AD+CD−AB=2(5√5−5)−10=10√5−20，12.√5−1解：：∵AB=2，则BD=DE=12×2=1，由勾股定理得，AD=√AB2+BD2=√5，则AC=AE=√5−1，∴AC=√5−12AB=√5−1，13.6−2√5解：∵BPAP =APAB.．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2，∴BP=4−(2√5−2)=(6−2√5)cm．14.解：(1)点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，∴BC=DC=AD．∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC，∴BCAB =BDBC．∴ADAB =BDAD．∴D是AB边上的黄金分割点；(2)直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC=12AD⋅ℎ，S△DBC=12DB⋅ℎ，S△ABC=12AB⋅ℎ，∴S△ADCS△ABC =ADAB，S△DBCS△ADC=BDAD．∵D是AB的黄金分割点，∴ADAB =BDAD，∴S△ADCS△ABC =S△DBCS△ADC．∴CD是△ABC的黄金分割线．15.解：∵D，E为BC的两个“黄金分割”点，∴DCBC =BDDC=√5−12，BEBC=CEBE=√5−12，∴DCBC =BDDC=BEBC=CEBE，∴DC=BE，∴BD=CE，作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC，∴BH=CH=12BC=2，∴DH=HE，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√32−22=√5，∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=√5−12BC=2(√5−1)=2√5−2，∴HE=BE−BH=2√5−2−2=2√5−4，∴DE=2HE=4√5−8∴S△ADE=12×(4√5−8)×√5=10−4√5．16.(1)解：在Rt△APD中，PA=12AB=1，AD=2，∴PD=√AD2+AP2=√5，∴AM=AF=PF−PA=PD−PA=√5−1，DM=AD−AM=2−(√5−1)=3−√5;(2)证明：∵AM2=(√5−1)2=6−2√5，AD⋅DM=2(3−√5)=6−2√5，∴AM2=AD⋅DM;(3)点M是AD的黄金分割点.理由如下：∵AM2=AD⋅DM，∴AMAD =DMAM=√5−12，∴点M是AD的黄金分割点．第11页，共11页。

黄金分割同步练习（典型题汇总）1．点C是线段AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，若AB＝5cm，则AC＝_____，BC=____.2．若点C是线段AB上一点，AB＝1，AC＝215-，则AC：BC＝______.3．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列结论：①AB2＝AP·PB，②AP2＝PB·AB，③BP2＝AP·AB，④AP：AB＝PB：AP，其正确的是______（填序号）．4．据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C）的黄金比值时,人体感到最舒适．这个气温约为_______ o C (精确到1 o C)．5、已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=215-AB C.BM=215-AB D.AM≈0.618AB6、若点C在线段AB上，且AB＝1．AC＝215-．请说明点C是否是线段AB的黄金分割点．7、如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，215-=BCAB≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.CBA 参考答案1、cm cm 25515,2555--． 2、2:)51(+． 3、②④4、23 o C ．5、C ．6、因为BCAC =215-，而21542524)15)(53(15532152151-=-=+-=--=---=ACBC ，AC BC AB AC =，故点C 是线段AB 的黄金分割点．7、矩形ABFE 是黄金矩形 由于BCAB =215-，设AB =(5－1)k ，BC =2k ，所以FC =CD =AB ，BF =BC －FC =BC －AB =2k －(5－1)k =(3－5)k ， 所以215)15()53(-=--=kk AB BF ，所以矩形ABFE 是黄金矩形.黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比;D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC 的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BCAC; D.不能确定3.一条线段的黄金分割点有( )CBAC BA A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 4.黄金分割比是( )D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.12,126.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB =12,那么ACCB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流. 四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D CBA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1.AC BCAB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP==12,AP=12×AB=12×2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点 3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB,因为AB=1,所以所以AC-BC=12-32-六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得ACAB =12,BD AB=12因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以因此七、C 、D 是线段AB 的黄金分割点.。

黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△AB C的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在R t△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。