【中考刷题本】2018年九年级数学中考小题刷题本04--线段与角的认识(含答案)

2019 初三中考数学复习 线段、角、相交线和平行线 专题复习练习题1. 一个角的余角是这个角的补角的13，则这个角的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．70°2. ．下列命题中，属于真命题的是( )A ．三点确定一个圆B ．圆内接四边形对角互余C ．若a 2＝b 2，则a ＝bD ．若3a ＝3b ，则a ＝b3. 如图，C ，D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，若AB ＝10 cm ，BC ＝4 cm ，则AD 的长等于( )A ．2 cmB ．3 cmC ．4 cmD ．6 cm4. 如图，直线AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 相交于点E ，F ，∠BEF 的平分线与CD 相交于点N.若∠1＝63°，则∠2＝( )A ．64°B ．63°C ．60°D ．54°5. 如图，与∠1是同旁内角的是( )A ．∠2B ．∠3C ．∠4D ．∠56. 下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若a ＝b ，则|a|＝|b|；④若x ＝0，则x 2－2x ＝0.它们的逆命题一定成立的有( )A ．①②③④B ．①④C ．②④D ．②7. 如图，AB ∥CD ，∠1＝50°，则∠2的大小是( )A ．50°B ．120°C ．130°D ．150°8. 如图，在下列条件中，不能判定直线a 与b 平行的是( )A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°9. 如图，已知∠1＝60°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( ) A．70° B．100° C．110° D．120°10. 下列命题是真命题的是( )A．必然事件发生的概率等于0.5B．5名同学二模的数学成绩是92，95，95，98，110，则他们的平均分是98分，众数是95C．射击运动员甲、乙分别射击10次且击中环数的方差分别是5和18，则乙较甲稳定D．要了解金牌获得者的兴奋剂使用情况，可采用抽样调查的方法11. 图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是____．12. 如图，已知直线a∥b，△ABC的顶点B在直线b上，∠C＝90°，∠1＝36°，则∠2的度数是____．13. 如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝____．14. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝____．15. 一个角的余角是54°38′，则这个角的补角是__________________．16. 如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，DE⊥BC，若∠1＝70°，求∠2的度数．17. 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．(1)如图①，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？(2)如图②，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，猜想∠MON与α的数量关系；(3)如图③，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想∠MON与α，β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．参考答案：1---10BDBDDDCCDB11. 对顶角相等12. 54°13. 70°14. 15°15. 144°38′16. 解：∵直线a ∥b ，∴∠1＝∠ABD ＝70°，∵BC 平分∠ABD ，∴∠EBD ＝12∠ABD ＝35°，∵DE ⊥BC ，∴∠2＝90°－∠EBD ＝55°17. 解：(1)如图①，∵∠AOB ＝90°，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝90°＋60°＝150°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠AOC ＝75°，∠NOC ＝12∠BOC ＝30°，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝45°(2)如图②，∠MON ＝12α，理由：∵∠AOB ＝α，∠BOC ＝60°，∴∠AOC ＝α＋60°，∵OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∴∠MOC ＝12∠AOC ＝12α＋30°，∠NOC ＝12∠BOC ＝30°∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝(12α＋30°)－30°＝12α (3)如图③，∠MON ＝12α，与β的大小无关．理由：∵∠AOB ＝α，∠BOC ＝β，∴∠AOC ＝α＋β. ∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，∴∠MOC ＝12∠AOC ＝12(α＋β)，∠NOC ＝12∠BOC ＝12β，∴∠MON ＝∠MOC －∠NOC ＝12(α＋β)－12β＝12α， 即∠MON ＝12α。

第二部分图形与几何第六单元线段、角、相交线与平行线第19课时线段、角、相交线(60分)一、选择题(每题10分，共30分)1．[2015·济南]如图19－1，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2的度数是(C) A．35°B．45°C．55°D．70°图19－1 图19－2 2．[2015·厦门]如图19－2，△ABC是锐角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是(B) A．线段CA的长B．线段CD的长C．线段AD的长D．线段AB的长3．[2015·河北]已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(D)二、填空题(每题10分，共30分)4．把15°30′化成度的形式，则15°30′＝__15.5__°.5．把角度化为度、分的形式，则20.5°＝20°__30__′.6．[2014·湖州]计算：50°－15°30′＝__34°30′__.(20分)7．(10分)如图19－3，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是(B)图19－3A．125°B．135°C．145°D．155°【解析】∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，又∵∠AOC＝∠BOD＝45°，∴∠COE＝∠AOE＋∠AOC＝90°＋45°＝135°，选B.8．(10分)[2015·滕州模拟]直线上有n个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入2个点．经过2次这样的操作后，直线上共有__9n－8__个点．(用含n 的代数式表示)【解析】第一次操作，共有n＋(n－1)×2＝3n－2个点，第二次操作，共有(3n－2)＋(3n－2－1)×2＝9n－8个点．(20分)9．(20分)如图19－4，∠AOE＝80°，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOB ＝15°.(1)求∠COD度数；(2)若OA表示时钟时针，OD表示分针，且OA指在3点过一点，求此时的时刻是多少？图19－4 解：(1)∵∠AOB＝15°，OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOB＝30°，∵∠AOE＝80°，∴∠COE＝∠AOE－∠AOC＝50°，∵OD平分∠COE，∴∠COD＝12∠COE＝25°；(2)设此时的时刻为3点x分，则从3点算起，分针OD转过了6x°，时针OA 转过了0.5x°，3点时，时针与分针成90°，而∠AOD＝55°，故90－6x＋0.5x＝55，解得x＝70 11.所以此时的时刻为3点7011分．。

2018年九年级数学中考小题刷题本--解直角三角形一、选择题：1.的值等于（）.A．B．C．D．2.在△ABC中,∠C=90°,∠A=50°,BC=4，则AC为( )A．4tan50°B．4tan40°C．4sin50°D．4sin40°3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，则sin∠CAD=（）A． B． C． D．4.在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,则tanA的值为( )A．B．C．D．6.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )A．0.75 B．4/3 C．0.6 D．0.87.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中错误的是( )A．sinα=cosαB．tanC=2 C．sinβ=cosβD．tanα=18.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树AB的高度，如图，老师测得大树前斜坡DE的坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端E的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为ɑ，已知sinɑ=0.6，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m.A．7.4 B．7.2 C．7 D．6.89.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD 为( )A．20米B．10 米C．15 米D．5 米10.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（）A．B．C．D．11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=8,则BC的长是（）A．B．4 C．8D．412.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时 D．30海里/小时二、填空题：13.若∠A为锐角，且tan2A+2tanA-3=0，则∠A=___________.14.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，tanB=，AC=2．线段AB的长为．15.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E为AD边上的一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上，则tan∠AFE=________．16.如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为 cm（参考数据sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，结果精确到0.1cm，可用科学计算器）．17.如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为 m（结果保留根号）18.在△ABC 中，∠A ．∠B 都是锐角，若sinA=23，cosB=21，则∠C=________. 19.如图,菱形ABCD 的边长为10cm,DE ⊥AB,sinA=，则这个菱形的面积= cm 2．20.如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．21.如图，在边长为1的正方形格点图中，B 、D 、E 为格点，则∠BAC 的正切值为 ．22.如图，∠BAC 位于6×6的方格纸中，其中A ，B ，C 均为格点，则tan ∠BAC= ．23.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF ∥MN,小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米,到达B 处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）24.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A．B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．参考答案1.答案为：D2.答案为：C.3.答案为：D4.答案为：A5.答案为：C.6.答案为：D7.答案为：D8.答案为：C9.答案为：B10.答案为：A11.答案为：D12.答案为：D13.答案为：45°14.答案为：2．15.答案为：0.75.16.答案为：14.1．17.答案为：（5+5）．18.答案为：60°.19.菱形的面积=DE•AB=6×10=60（cm2）．20.答案为：．21.答案为：0.75.22.答案为：1.5．23.解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，∴∠CAK=∠ACK=45°，∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30，∴HD=x﹣30+10=x﹣20，在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°，∴tan30°=，∴=，解得x=30+10．∴河的宽度为（30+10）米．24.答案为：2.。

2018年九年级数学中考小题刷题本--相似三角形一、选择题：1.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m2.小明在打网球时，为使球恰好能过网(网高0.8米)，且落在对方区域离网5米的位置上，已知她的击球高度是2.4米，则她应站在离网( )A．7.5米处B．8米处C．10米处D．15米处3.如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：14.如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD：DB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比是( )A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：165.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． C． D．6.如图,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移,设扫过的阴影部分的面积为S,BP为x,则S关于x的函数图象大致是（）7.如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条8.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是( )A．B．C．D．9.如图所示，点A．B、C、D在同一个圆上，弦AD、BC的延长线交于点E，则图中相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对10.已知,在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点E作EF∥BC，交AC边于点F．点D为BC上一点,连接DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为（）11.如图，三个正六边形全等，其中成位似图形关系的有（）A．4对B．1对C．2对D．3对12.如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．4 B．C．3D．2二、填空题：13.如图，∠DAE=∠BAC=90°，请补充一个条件：________________，使Rt△ABC∽Rt△ADE.14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，S：S△BOC=1：9，AD=2，则BC△AOD的长是．15.如图，身高为1.7 m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条线上．已知河BD的宽度为12 c m，BE=3 m，则树CD 的高度为________．16.《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈=10尺，1尺=10寸)，可以求出竹竿的长为________尺.17.如图,若∠B=∠C,则_________∽_________,理由是__________,且_________∽_________,理由是_________。

考点二十四：线段、角与相交线聚焦考点☆温习理解一、线段、射线、直线1．线段根本性质在所有连结两点线中，线段最短．2．直线根本性质经过两点有一条而且只有一条直线．二、角与角计算1．角根本概念由两条有公共端点射线组成图形叫做角；如果一个角两边成一条直线，那么这个角叫做平角；等于90°角是直角；大于直角小于平角角是钝角，小于直角角是锐角．2．角计算与换算1周角＝360度，1平角＝180度，1直角＝90度，1度＝60分，1分＝60秒．3．余角、补角及其性质(1)互为补角：如果两个角和是一个平角，那么这两个角互为补角 .(2)互为余角：如果两个锐角和是一个直角，那么这两个角互为余角．(3)性质：同角或等角余角相等；同角或等角补角相等．4．角平分线(1)角平分线：从一个角顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角平分线．(2)性质：角平分线上点到角两边距离相等；角内部到角两边距离相等点在角平分线上.三、相交线1．邻补角、对顶角及其性质(1)如下图，直线a，b相交，形成四个角．图中邻补角有∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4；图中对顶角有∠1和∠3，∠2和∠4.(2)性质：邻补角互补；对顶角相等．2．垂线及其性质(1)垂线：当两条直线相交所构成四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线垂线．(2)性质：①在同一平面内，过一点有一条而且只有一条直线垂直于直线；②一般地，连结直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短．(3)直线外一点到这条直线垂线段长度，叫做点到直线距离．3．线段垂直平分线上点到这条线段两个端点距离相等．名师点睛☆典例分类考点典例一、线段与直线性质【例1】如图，经过刨平木板上两个点，能弹出一条笔直墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用数学知识是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．垂线段最短D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直【答案】A．考点：直线性质：两点确定一条直线．【点睛】此题考察了线段性质，牢记线段性质是解题关键．【举一反三】把一条弯曲公路改成直道，可以缩短路程．用几何知识解释其道理正确是( )A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边【答案】C．【解析】考点：线段性质：两点之间线段最短．考点典例二、度分秒换算．【例2】〔河北省唐山市路北区2021-2021学年期末〕计算：①33°52′+21°54′=________；②18.18°=________°________′________″．【答案】55°46′； 18； 10； 48【解析】试题解析：①原式54106'5546'==，②18.18180.18.︒=+''''︒=⨯==+0.180.186010.8100.8.'''''0.80.86048.=⨯=︒=++''18.18181048.∴'故答案为：①5546'，②18,10,48.【点睛】①根据度分秒加法：一样单位相加，满60时向上一单位进1，可得答案；②根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．【举一反三】1. 下面等式成立是〔〕A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′【答案】D【解析】试题分析：进展度、分、秒加法、减法计算，注意以60为进制．A、83.5°=83°50′，错误；B、37°12′=37.48°，错误；C、24°24′24″=24.44°，错误；D、41.25°=41°15′，正确．应选D．考点：度分秒换算．2. 2700秒=_________度．【答案】3 4【解析】试题分析：160'3600"==，所以27003 2700"()()36004==.考点：时间单位换算.3．〔重庆市秀山县2021-2021学年七年级上学期八校联考〕计算：48°39′+67°33′= ______ ．【答案】116°12′【解析】原式=48°39′+67°33′=115°72′=116°12′.即答案为：116°12′.考点典例三、角平分线性质与应用【例3】〔2021湖南省娄底〕如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB．AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，那么∠BAE度数是〔〕A. 40°B. 70°C. 80°D. 140°【答案】B【解析】试题解析：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠BAC=180°，∵∠ACD=40°，∴∠BAC=180°-40°=140°，∵AE平分∠CAB，∴∠BAE=12∠BAC=12×140°=70°，应选B．【点睛】此题考察了平行线性质和角平分线定义，比拟简单；做好此题要熟练掌握两直线平行①内错角相等，②同位角相等，③同旁内角互补；并会书写角平分线定义三种表达式：假设AP平分∠BAC，那么①∠BAP=∠PAC，②∠BAP=12∠BAC，③∠BAC=2∠BAP．【举一反三】〔山东省临沂市兰陵县2021-2021学年七年级下学期期末〕如图，AD是∠EAC平分线，AD∥BC，∠B=30°，那么∠C度数为〔〕A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C考点典例四、余角与补角【例3】〔重庆市江津区2021-2021学年联考〕∠α与∠β互余，且∠α=35°18，，那么∠β=________.【答案】54°42'【解析】∵∠α与∠β互余，∴∠α+∠β=90°，∴∠β=90°-∠α=90°-35°18′=54°42′，故答案为：54°42′.考点：互余两个角性质【点睛】此题主要考察了互为余角性质，正确记忆互为余角定义是解决问题关键．【举一反三】∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC平分线OD、OE．〔1〕如图①,当∠BOC=70°时，求∠DOE度数；〔2〕如图②，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE大小是否发生变化？假设变化，说明理由；假设不变，求∠DOE度数．【答案】〔1〕45°；〔2〕，不变，∠DOE=45°【解析】考点：角平分线性质课时作业☆能力提升一、选择题1.将一副三角尺按如图方式进展摆放，∠1、∠2不一定互补是〔〕【答案】D【解析】试题分析：根据互余、互补定义结合图形判断A中∠1与∠2互补；根据互补定义和平行线性质可得B中，∠1与∠2互补；根据直角三角形性质和四边形内角和可得C中∠1与∠2互补；根据图形可知∠1与∠2都是小于直角锐角，所有D中∠1与∠2一定不互补，应选：D.考点：互补.2. 〔2021河池第2题〕如图，点O在直线AB上，假设∠BOC，那么AOC=60∠大小是〔〕A．15060 B．120 D．90 C．【答案】C.考点：邻补角概念.3.∠AOB=60°,其角平分线为OM,∠BOC=20°，其角平分线为ON，那么∠MON大小为A．20° B．40° C．20°或40° D．10°或30°【答案】C【解析】试题分析：此题需要分两种情况进展讨论，当射线OC在∠AOB外部时，∠MON=∠BOM+∠BON=30°+10°=40°；当射线OC在∠AOB内部时，∠MON=∠BOM－∠BON=30°－10°=20°．考点：角平分线性质、角度计算4. 〔2021年河北省石家庄市裕华区中考数学模拟〕以下图形中，∠2＞∠1是〔〕A. B. 平行四边形C. D.【答案】C【解析】试题解析：A中∠1与∠2为对顶角，∴∠1=∠2；B中平行四边形对角相等，∴∠1=∠2；C中根据三角形任意一个外角大于与之不相邻任意一内角，∴∠2＞∠1．D中根据平行线性质得到∠1=∠2，应选C．5.〔重庆市江津区2021-2021学年联考〕将两块直角三角尺直角顶点重合为如图位置，假设∠AOD=110°那么∠BOC=〔〕A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C【解析】∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOC+∠BOD=90°，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°，∵∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=110°，∴∠BOC=70°，应选C.6.〔2021甘肃庆阳第6题〕将一把直尺与一块三角板如图放置，假设∠1=45°，那么∠2为〔〕A．115°B．120°C．135°D．145°【答案】C．【解析】试题解析：如图，由三角形外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，∵直尺两边互相平行，∴∠2=∠3=135°．应选C．考点：平行线性质；余角和补角．7.〔2021湖南常德第2题〕假设一个角为75°，那么它余角度数为〔〕A．285°B．105°C．75°D．15°【答案】D．【解析】试题分析：它余角=90°﹣75°=15°，应选D．考点：余角和补角．8.〔2021山东烟台第5题〕某城市几条道路位置关系如下图，CDAB//，AE与AB夹角为048，假设CF与EF长度相等，那么C度数为〔〕A．048 B．040 C．030 D．024【答案】D．【解析】试题解析：∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=12∠1=12×48°=24°．应选D．考点：等腰三角形性质；平行线性质．9.如图，OB是∠AOC角平分线，OD是∠∠AOB=40°，∠COE=60°，那么∠BOD度数为【】A．50°B．60°C．65°D．70°【答案】D．考点：1.角计算；2.角平分线定义．10. 〔2021贵州黔东南州第2题〕如图，∠ACD=120°，∠B=20°，那么∠A度数是〔〕A．120°B．90°C．100°D．30°【答案】C．【解析】试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣20°=100°，应选：C．考点：三角形外角性质．11.如图，OA是北偏东30°方向一条射线，假设射线OB与射线OA垂直，那么OB方位角是〔〕A．北偏西30°B．北偏西60°C．东偏北30°D．东偏北60°【答案】B．【解析】试题分析：根据垂直，可得∠AOB度数，根据角和差，可得答案．试题解析：∵射线OB与射线OA垂直，∴∠AOB=90°，∴∠1=90°-30°=60°，故射线OB方位角是北偏西60°，应选：B．考点：方向角．12.将直角三角尺直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成这个图中与∠α互余角共有〔〕A．4个B．3个 C．2个 D．1个【答案】C．【解析】试题分析：由互余定义、平行线性质，利用等量代换求解即可．试题解析：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余角为∠1和∠3．应选：C．考点：平行线性质；余角和补角．13.如图，a∥b，∠1=∠2，∠3=40°，那么∠4 等于〔〕A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】D．【解析】试题分析：∵a∥b，∠3=40°，∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2=∠4，∵∠1=∠2，∴∠2=12×140°=70°，∴∠4=∠2=70°．应选D．14.〔2021湖北孝感第2题〕如图，直线a b，直线c与直线,a b分别交于点,D E，射线DF⊥直线c，那么图中1∠互余角有〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【解析】试题分析：∵射线DF⊥直线c，∴∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，即与∠1互余角有∠2，∠3，又∵a∥b，∴∠3=∠5，∠2=∠4，∴与∠1互余角有∠4，∠5，∴与∠1互余角有4个，应选A．考点：1.平行线性质；2.余角15.〔2021广西百色第5题〕如图，AM为BAC∠平分线，以下等式错误是〔〕A． B．BAM CAM∠=∠ C.2BAM CAM∠=∠ D．2CAM BAC∠=∠【答案】C【解析】试题分析：∵AM为∠BAC平分线，∴12∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．应选C．考点：角平分线定义．16.〔2021江苏盐城第12题〕在“三角尺拼角〞实验中，小明同学把一副三角尺按如下图方式放置，那么∠1= °．【答案】120°.【解析】试题解析：由三角形外角性质可知，∠1=90°+30°=120°.考点：三角形外角性质；三角形内角和定理．17.〔重庆市江津区2021-2021学年七年级下学期期末〕如图，线段12AB=，点C为AB 中点，点D为BC中点，在线段AB上取点E，使，那么线段DE长为_________.【答案】1cm或5cm〔2〕如图2，当点E在点C左侧时，∵线段12AB=，点C为AB中点，∴AC=BC=6，又∵点D为BC中点，，∴CD=3，CE=2，∴DE=CD+CE=3+2=5.综上所述，DE长为1或5.点睛：题目中没有说明点E在点C哪一侧，因此必须分两种情况讨论：〔1〕点E在点C 右侧；〔2〕点E在点C左侧.18. 〔浙江省宁波市李兴贵中学2021-2021学年七年级上册期末模拟〕∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∠DOE：∠BOC=2：3，求∠DOC，∠BOC度数．【答案】∠DOC=36°，∠BOC=54°【解析】试题分析：利用平角定义结合角平分线性质得出∠BOC= 12 ∠AOC，∠DOC= 12 ∠COE，进而利用∠DOE：∠BOC=2：3求出答案．试题解析：如下图：∵∠AOE是平角，OD平分∠COE，OB平分∠AOC，∴∠BOC= ∠AOC，∠DOC= ∠COE，∴∠BOD= 〔∠AOC+∠COE〕=90°，∵∠DOE：∠BOC=2：3，∴∠DOC：∠BOC=2：3，∴∠DOC= ×90°=36°，∠BOC= ×90°=54°．。

2018年九年级数学中考小题刷题本--轴对称与等腰三角形一、选择题：1.等腰三角形的一个角是50°，则它一腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．40°C．25°或40°D．不能确定2.如图所示，在△ABC中，AB+BC=10，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和点E，则△BCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．无法确定3.在下列绿色食品、循环回收、节能、节水四个标志中，属于轴对称图形的是（）A B C D4.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C.三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点5.等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm6.下列说法正确的是（）A．如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形B.任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴C.平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某条直线对称D.如果△ABC和△EFG成轴对称，那么它们的面积一定相等7.下列说法：①线段AB、CD互相垂直平分，则AB是CD的对称轴，CD是AB的对称轴；②如果两条线段相等，那么这两条线段关于直线对称；③角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线．其中错误的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为( )A．36°B．60°C．72°D．108°9.如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．102°B．100°C．88°D．92°10.在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11.如图,D为BC上一点,且AB=AC=BD,则图中∠1与∠2关系是（）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180° D．3∠1-∠2=180°12.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6，在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条二、填空题：13.等腰三角形的一个角为100°，则它的两底角为．14.若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．16.如图，AE是∠BAC的角平线，AE的中垂线PF交BC的延长线于点F，若∠CAF=50°，则∠B= ．17.等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3：2两部分，则此三角形的底边长为 cm或 cm．18.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是．19.等腰三角形的一内角等于50°，则其它两个内角各为．20.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于21.如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1:∠2:∠3=28:5:3，则∠α的度数为度．22.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）.23.如图，在∠ABA中，∠B=52°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C，在1A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D，……，按此做法进行下去，A7的度数为____________度24.如图,在平面直角坐标系中,三角板的直角顶点P的坐标为(2,2),一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一直角边与y轴交于点B,三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中,当△POA为等腰三角形时,请写出所有满足条件的点B的坐标．参考答案1.答案为：C2.答案为：C3.答案为：A4.答案为：D5.答案为：C6.答案为：D7.答案为：D8.答案为：C9.答案为：D10.答案为：D11.答案为：D12.解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．13.答案为：40°、40°．14.答案为：11或13．15.答案为：2．16.答案为：50°．17.答案为：或5．18.答案为：50°．19.答案为：50°，80°或65°，65°．20.答案为：40°；21.答案为：80°．22.答案为：①②③④.23.答案为：1；24.解：∵P坐标为（2，2），∴∠AOP=45°，①如图1，若OA=PA，则∠AOP=∠OPA=45°，∴∠OAP=90°，即PA⊥x轴，∵∠APB=90°，∴PB⊥y轴，∴点B的坐标为：（0，2）；②如图2，若OP=PA，则∠AOP=∠OAP=45°，∴∠OPA=90°，∵∠BPA=90°，∴点B与点O重合，∴点B的坐标为（0，0）；③如图3，若OA=OP，则∠OPA=∠OAP==67.5°，过点P作PC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥OP于点D，则PC∥OA，∴∠OPC=∠AOP=45°，∵∠APB=90°，∴∠OPB=∠APB﹣∠OPA=22.5°，∴∠OPB=∠CPB=22.5°，∴BC=BD，设OB=a，则BD=BC=2﹣a，∵∠BOP=45°，在Rt△OBD中，BD=OB•sin45°，即2﹣a=a，解得：a=4﹣2．综上可得：点B的坐标为：（0，2），（0，0），（0，4﹣2）．故答案为：（0，2），（0，0），（0，4﹣2）．。

线段和角题型练概念：直线：一条向两端无限延伸的笔直的线，射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，线段：直线上两点和他们之间的部分叫作线段，这两个点叫线段的端点．性质：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线．2.两点确定一条直线．3.两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短．题型一：直线射线线段的性质例1.下列说法正确的是（），则P是线段AB的中点A.射线PA和射线AP是同一条射线B.若AP BPC.直线ab，cd相交于点PD.两点确定一条直线【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、如果P、A、B三点不在同一直线上，那么P不是线段AB的中点，故本选项错误；C、直线ab，cd的写法不对，故本选项错误；D、两点确定一条直线，故本选项正确；故选D．变式11.下列说法中，错误的是（）A.射线AB和射线BA是同一条射段B.经过两点只能作一条直线C.经过一点可以作无数条直线D.两点之间，线段最短【答案】A【解析】【分析】直接利用线段的性质以及直线的性质分别分析得出答案．【详解】解：A、射线AB和射线BA不是同一条射线，故此选项错误，符合题意；B、经过两点只能作一条直线，正确，不合题意；C、经过一点可以作无数条直线，正确，不合题意；D、两点之间，线段最短，正确，不合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了线段的性质以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键．题型二：直线交点个数问题n条直线相交，最多有1＋2＋3＋…＋（n﹣1）＝(1)2n n个交点，然后计算求解即可．例2.平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，最多能画（）条直线．A.3B.4C.5D.6【详解】解：如图，平面上有,,,A B C D四点，经过任意两点画一条直线，所有直线有：直线AB、直线AC、直线AD、直线BC、直线BD、直线CD，共六条，即最多能画6条直线，故选：D．变式22.如图，两条直线相交，有一个交点．三条直线相交，最多有三个交点，四条直线相交，最多有六个交点，当有10条直线相交时，最多有多少个交点（）A.60B.50C.45D.40【答案】C 【解析】【分析】根据交点个数的变化规律：n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，然后计算求解即可．【详解】解：两条直线相交，最多一个交点，三条直线相交，最多有三个交点，1+2=3=3(31)2-，四条直线相交，最多有六个交点，1+2+3=6=4(41)2-，……∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+(n﹣1)=(1)2n n-个交点，故10条直线相交，最多有1+2+3+…+9=10(101)2-=5×9=45个交点，故选：C．【点睛】本题考查了图形的变化规律探究，在相交线的基础上，着重培养学生的观察，猜想归纳的能力，掌握从特殊到一般的方法，找出变化规律是解答的关键．题型三：线段的和差当几条线段是首尾相连且位于同一直线上的线段时，线段的和差结果也是一条线段，此时可以利用延长法和截补法进行计算．例3.如图，线段AB＝5.C，D，E分别为线段AB（端点A，B除外）上顺次三个不同的点，图中所有的线段和等于26，则CE＝_____．【详解】解：由已知得：AC＋AD＋AE＋AB＋CD＋CE＋CB＋DE＋DB＋EB＝26，即（AC＋CB）＋（AD＋DB）＋（AE＋EB）＋AB＋（CD＋DE）＋CE＝AB＋AB＋AB＋AB ＋CE＋CE＝4AB＋2CE＝26，∵AB＝5，∴4×5＋2CE＝26，∴CE＝3，故答案为：3变式33.已知：如图，点,C D 在线段AB 上，点D 是AB 中点，1,123AC AB AB ==．求线段CD 长【答案】2【解析】【分析】根据中点的定义以及题意，分别求出线段AD 与线段AC 的长度，即可得出结论．【详解】∵D 为线段AB 的中点，∴AD =12AB =12×12=6，∵AC =13AB ，∴AC =13×12=4，∴CD =AD -AC =6-4=2．【点睛】本题考查线段中点相关的计算，理解中点的定义，掌握线段中的计算法则是解题关键．题型四：线段的中点和n 等分点点M 将线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点．类似的还有线段的三等分点、四等分点等．①线段的中点例4.1如图，已知AB ＝10cm ，点E 、C 、D 在线段AB 上，且AC ＝6cm ，点E 是线段AC 的中点，点D 是线段BC 的中点．（1）求BD 的长；（2）求DE 的长．【详解】解：（1）∵AB ＝10cm ，且AC ＝6cm ．∴BC ＝AB ﹣AC ＝4cm ．∵点D 是线段BC 的中点．∴BD ＝CD ＝12BC ＝2cm ．（2）∵点E 是线段AC 的中点．∴EC ＝12AC ＝3cm ．∴DE ＝EC ＋CD ＝5cm ．变式4.14.如图，C 是线段AB 上的一点，且13,5AB CB ==，M 、N 分别是AB 、CB 的中点，则线段MN 的长是_____________．【答案】4【解析】【分析】根据中点定义可得到AM =BM =12AB ，CN =BN =12CB ，再根据图形可得NM =BM -BN ，即可得到答案．【详解】解：∵M 是AB 的中点，∴AM =BM =12AB =6.5，∵N 是CB 的中点，∴CN =BN =12CB =2.5，∴MN =BM -BN =6.5-2.5=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了求两点间的距离，解题的关键是根据条件理清线段之间的关系．②线段的n 等分点例4.2若线段AB ＝12cm ，点C 是线段AB 的中点，点D 是线段AC 的三等分点，则线段BD 的长为（）A .2cm 或4cmB .8cmC .10cmD .8cm 或10cm【详解】解：∵C 是线段AB 的中点，AB ＝12cm ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12×12＝6（cm ），点D 是线段AC 的三等分点，①当AD ＝13AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ＝BC ＋23AC ＝6＋4＝10（cm ）；②当AD ＝23AC 时，如图，BD ＝BC ＋CD ′＝BC ＋13AC ＝6＋2＝8（cm ）．所以线段BD 的长为10cm 或8cm ，故选：D ．变式4.25.已知线段20AB =，14AM BM =，点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点．（1）如图，当点M 在线段AB 上时，则PQ 的长为___________．（2）当点M 在直线AB 上时，则PQ 的长为__________．【答案】(1).8(2).8或403【解析】【分析】（1）根据AB 的长度以及AM 、BM 之间的关系，可得出AM 和BM 的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ-AP 即可得出答案；（2）由（1）可得当M 在线段AB 上时PQ 的值，当M 在线段AB 外时，根据AM 和BM 的关系可得出两者的长度，再由P 、Q 分别为AM 、AB 的中点，即可得出AP 、AQ 的长，再利用PQ=AQ+AP 即可得出答案.【详解】解：（1）如图，当点M 在线段AB 上时20AB = ,14AM BM =,145AM AB ∴==,4165BM AB ==, 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,122AP AM ∴==,1102AQ AB ==,1028PQ AQ AP ∴=-=-=,故答案为：8.（2）由（1）得：当点M 在线段AB 上时，8PQ =；当点M 在线段AB 外时，如图：20AB = ,14AM BM =,132044AB BM AM BM BM BM ∴=-=-==,803BM ∴=,203AM = 点P 、Q 分别是AM 、AB 的中点,11023AP AM ∴==,1102AQ AB ==,10401033PQ AQ AP ∴=+=+=,故答案为：8，403.【点睛】本题考查线段长度的计算以及中点的应用，解题时注意“数形结合”数学思想的应用，考虑多种情况分析.题型五：角的四则运算角也是一种基本的几何图形．度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360°等分，每一份就是一度的角，记作1°；把1度的角60等分，每份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1″．例5.计算：（1）用度表示30936'''︒=________________．（2）计算901840292139'''︒-︒-︒=_______________．（结果用度、分、秒表示）【详解】解：（1）30936309.630.16''''︒=︒=︒；（2）901840292139'''︒-︒-︒＝49492139''︒-︒＝2810'︒变式56.计算：70281529'''︒+︒=_______．183627326''''''︒-︒=__________．【答案】(1).852829'''︒(2).11356'''︒【解析】【分析】根据角度运算法则求解即可，注意角度的运算中，进率为60．【详解】70281529852829''''''︒+︒=︒；183627326183562732611356'''''''''''''''︒-︒=︒-︒=︒；故答案为：852829'''︒；11356'''︒．【点睛】本题考查角度的运算，注意运算法则以及进率是解题关键．题型六：角的比较角的大小与边的长短没有关系．角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小．常用角的比较方法1、测量法：即用量角器量两个角的度数，角的度数越大，角越大．2、叠合法：移动一个角使它的顶点和一条边与另一个角的顶点和一边重合，而其余的边在重合边的同侧，通过不重合两边的位置来判断两个角的大小．例6.如图所示，如果∠AOD＞∠BOC，那么下列说法正确的是（）A.∠AOB＜∠CODB.∠AOB＞∠CODC.∠AOB＝∠CODD.∠AOB与∠COD的大小关系不能确定【详解】解：因为∠AOD与∠BOC中都包含∠BOD，所以都减去它，不等式仍成立，∵∠AOD＞∠BOC，∴∠AOD－∠BOD＞∠BOC－∠BOD，即∠AOB＞∠COD．故选B．变式67.如图，下列各式中错误的是（）A.∠AOC＝∠1＋∠2B.∠AOC＝∠AOD－∠3C.∠1＋∠2＝∠3D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2【答案】C【解析】【分析】结合图形根据角的和差关系逐项作出判断即可求解．【详解】解：A.∠AOC＝∠1＋∠2，判断正确，不合题意；B.∠AOC＝∠AOD－∠3，判断正确，不合题意；C.∠1＋∠2＝∠AOC，∠AOC与∠3不一定相等，判断错误，符合题意；D.∠AOD－∠1－∠3＝∠2判断正确，不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了根据图形确定角的和差关系，理解题意并结合图形作出判断是解题关键．题型七：三角板中的角度直角三角板一共只有两种：一种是内角为30°，60°，90°的三角板，另一种是内角为45°，45°，90°的三角板．在没有做特殊说明的情况下，默认所有三角板均符合以上特征．例7.将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45︒角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则1∠的度数为（）A .75︒B .60︒C .45︒D .85︒【详解】解：如图，由题意可得：245∠=︒，360∠=︒根据三角形的内角和为180︒可得：123180∠+∠+∠=︒∴118023180456075=︒--=︒-︒-︒=︒∠∠∠故答案选：A变式78.如图，将一副三角板的直角顶点重合，按如图所示摆放，则AOD BOC ∠+∠=______．【答案】180︒【解析】【分析】利用角的和差转化运算即可．【详解】解：∵AOD BOC∠+∠()AOB BOD COD BOD =++-∠∠∠∠AOB BOD COD BOD =∠+∠+∠-∠AOB COD =∠+∠9090180=︒+︒=︒故答案为：180︒【点睛】本题主要考查了三角板角度的计算，熟悉掌握三角板的度数是解题的关键．题型八：角平分线与角的n 等分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似的，还有角的三等分线……①角平分线例8.1如图，∠AOB ＝12∠BOD ，OC 平分∠AOD ，下列四个等式中正确的是（）①∠BOC ＝13∠AOB ；②∠DOC ＝2∠BOC ；③∠COB ＝12∠BOA ；④∠COD ＝3∠COB ．A .①②B .②③C .③④D .①④【详解】解：因为∠AOB ＝12∠BOD ，所以∠AOB ＝13∠AOD ，因为OC 平分∠AOD ，所以∠AOC ＝∠DOC ＝12∠AOD ，所以∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝12∠AOD －13∠AOD ＝16∠AOD ＝12∠AOB ，故①错误，③正确；因为∠DOC ＝12∠AOD ，∠BOC ＝16∠AOD ，所以∠DOC ＝3∠BOC 故②错误，④正确．变式8.19.如图，射线OE ，OA ，OD 均在BOC ∠内部，且0180BOC ︒<∠<︒．OE 平分BOC ∠，OD 平分AOC ∠．请从A ，B 两题中任选一题作答．我选择______．A ．若30AOC ∠=︒，130BOC ∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．B ．若AOB α∠=︒，则DOE ∠的度数为______︒．（用含α的式子表示）【答案】(1).A 或B (2).50°(3).2α︒【解析】【分析】A ：根据角平分线的定义得到∠COE ，∠COD 的度数，再利用角的和差计算结果；B ：根据角平分线的定义得到∠COE =12∠BOC ，∠COD =12∠AOC ，再利用角的和差计算结果．【详解】解：A 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOC =30°，∠BOC =130°，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12×（130°-30°）=50°；B 题：∵OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∴∠BOE =∠COE =12∠BOC ，∠AOD =∠COD =12∠AOC ，又∵∠AOB =∠BOC -∠AOC ，∴∠DOE =∠COE -∠COD=12∠BOC -12∠AOC =12（∠BOC -∠AOC ）=12∠AOB =2α︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．②角的n 等分线例8.2如图，OC 平分∠AOB ，OD 为∠BOC 内一条射线，且∠AOD ＝2∠BOD ．（1）若已知∠AOB ＝120°，试求∠COD 的度数；（2）若已知∠COD ＝18°，试求∠AOB 的度数；【详解】解：（1）∵∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠COB ＝60°，又∵∠AOD ＝2∠BOD ，∵∠AOD ＋∠BOD ＝120°，∴2∠BOD＋∠BOD＝120°，∴∠BOD＝40°，∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝60°－40°＝20°，（2）∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠COB＝1AOB 2∠，∵∠AOD＝2∠BOD，∴∠AOD＋∠BOD＝∠AOB，∴∠BOD＝1AOB 3∠，∵∠COD＝∠BOC－∠BOD＝1AOB2∠－1AOB3∠＝18°，∴∠AOB＝6×18°＝108°．变式8.210.如图，AB是一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE=13∠BOD，∠COE=72°，则∠EOB=（）A.36°B.72°C.108°D.120°【答案】B【解析】【分析】设∠DOE=x，根据题意得到∠BOE=2x，∠AOC=∠COD=72°﹣x，再根据平角为180度，得到2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，即可得到∠BOE的度数．【详解】解：如图，设∠DOE=x，∵∠DOE=13∠BOD，∴∠BOE=2x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE=72°，∴∠AOC=∠COD=72°﹣x；∴2×（72°﹣x）+3x=180°，解得x=36°，∴∠BOE=2x=2×36°=72°．故选B ．题型九：余角和补角的性质如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．等角（同角）的补角（余角）相等．例9.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，12740'∠=︒，则2∠的余角是（）A .1720'︒B .3220︒'C .3320'︒D .5820︒'【详解】解：由题意可得：∠2＋∠EAC ＝90°∴∠2的余角是∠EAC∴∠EAC ＝601602740'3220'︒-∠=︒-︒=︒故选：B ．变式911.已知∠AOB ＝50°，∠BOC 与∠AOB 互为余角，则∠AOC 的度数等于__．【答案】90°或10°【解析】【分析】根据互余的两个角的和为90°解得40BOC ∠=︒，再分两种情况讨论解题即可．【详解】解： ∠BOC 与∠AOB 互为余角，90BOC AOB ∴∠+∠=︒ ∠AOB ＝50°，90905040BOC AOB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒分两种情况讨论，如图：1190AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠=︒，22504010AOC AOB BOC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：90°或10°．【点睛】本题考查余角的性质，涉及分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．实战练12.下列语句正确的有（）（1）线段AB 就是A 、B 两点间的距离；（2）画射线10cm AB =；（3）A ，B 两点之间的所有连线中，线段AB 最短；（4）如果AB BC =，那么B 是AC 的中点．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】A 【解析】【分析】根据两点间的距离，射线的定义与性质，线段的中点的定义，对各小题分析判断即可得解．【详解】解：因为线段AB 的长度是A 、B 两点间的距离，所以（1）错误；因为射线没有长度，所以（2）错误；因为两点之间，线段最短．即A ，B 两点之间的所有连线中，最短的是A ，B 两点间的距离，所以（3）正确；因为点A 、B 、C 不一定共线，所以（4）错误．综上所述，正确的有1个．故选：A ．【点睛】本题考查的是线段、射线的定义与性质，线段的中点，两点间的距离，要求学生准确把握概念与性质是解决本题的关键．13.如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，n （n ≥2，且n 是整数）条直线相交最多能有（）A.()23n -个交点B.()36n -个交点C.()410n -个交点D.()112n n -个交点【答案】D 【解析】【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：()112n n -【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n 条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=()112n n -故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有()112n n -个交点．14.在开会前，工作人员进行会场布置在主席台上由两人拉着一条绳子然后以“准绳”为基准摆放茶杯这样做的理由是（）A.两点之间线段最短B.两点确定一条直线C.两点之间，直线最短D.过一点可以作无数条直线【答案】B 【解析】【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线可得答案．【详解】解：由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是两点确定一条直线，故选：B ．【点睛】此题主要考查了直线的性质，关键是掌握两点确定一条直线．15.在锐角AOB ∠内部由O 点引出3种射线，第1种是将AOB ∠分成10等份；第2种是将AOB ∠分成12等份；第3种是将AOB ∠分成15等份，所有这些射线连同OA ､OB 可组成的角的个数是（）A.595B.406C.35D.666【答案】B 【解析】【分析】设锐角=AOB α∠，第1种中间由9条射线，每个小角为10α，第2种中间由11条射线，每个小角为12α，第3种中间由14条射线，每个小角为15α，利用AOB∠内部的三种射线与OA 形成的角相等求出重合的射线，第一种第m 被倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同，则=101215m n p =，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种,第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．【详解】设锐角=AOB α∠第1种是将AOB ∠分成10等份；中间由9条射线，每个小角为10α，第2种是将AOB ∠分成12等份；中间由11条射线，每个小角为12α，第3种是将AOB ∠分成15等份，中间由14条射线，每个小角为15α，设第1种,第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，第一种第m 倍小角为10m α，第二种n 倍小角12n α，与第三种p 倍小角15p α相同则=101215m n p=，先看三种分法中同时重合情况::10:12:15m n p =除OA ，OB 外没有重合的，再看每两种分法重合情况第1种,第2种,:5:6m n =，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，第1种,第3种，:2:3m p =，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，第2种,第3种,:4:5n p =,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，在AOB ∠中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=()12828+1=4062⨯⨯个角．故选择：B ．【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．16.下列说法中，正确的有（）①两条射线组成的图形叫角；②两点之间，直线最短；③同角（或等角）的余角相等；④连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】由角的概念判断①，由线段的性质判断②，由补角与余角的性质判断③，由两点间的距离概念判断④，从而可得答案．【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故①说法错误，不符合题意，两点之间，线段最短，故②说法错误，不符合题意；同角（或等角）的余角相等，故③说法正确，符合题意；连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故④说法正确，符合题意；故选：.B 【点睛】本题考查的是角的概念，线段的性质，补角与余角的性质，两点间的距离，掌握以上知识是解题的关键．17.如图所示，点A 、O 、E 在一条直线上，90BOD AOC ∠=∠=︒，那么下列各式中错误的是（）A.AOB COD ∠=∠B.BOC DOE ∠=∠C.AOB BOC ∠=∠D.COE BOD∠=∠【答案】C 【解析】【分析】根据角的和与差进行比较，BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠，即AOB COD ∠=∠；利用90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，选项D 正确，再减去共同角COD ∠，可得BOC DOE ∠=∠，由此得到正确选项．【详解】∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴BOD BOC AOC BOC ∠-∠=∠-∠即AOB COD ∠=∠，所以A 正确；∵90BOD AOC ∠=∠=︒∴90AOC COE BOD ∠=∠=∠=︒，所以D 正确；∴BOD COD COE COD ∠-∠=∠-∠即BOC DOE ∠=∠，所以B 正确．故选C ．【点睛】考查角的和与差的知识点，学生要掌握等量代换的方法找到相等的角，熟悉了解角的和与差是解题的关键．18.如图，90AOB ∠=︒，AOC ∠为AOB ∠外的一个锐角，且40AOC ∠=︒，射线OM 平分BOC ∠，ON 平分AOC ∠，则MON ∠的度数为（）．A.45︒B.65︒C.50︒D.25︒【答案】A【解析】【分析】根据题意，先求得∠COB 的值；OM 平分∠BOC ，ON 平分∠AOC ，则可求得∠AOM 、∠AON 的值；∠MON=∠AOM+∠AON ，计算得出结果．【详解】∵∠AOB=90°，且∠AOC=40°，∴∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+40°=130°，∵OM 平分∠BOC ，∴∠BOM=12∠BOC=65°，∴∠AOM=∠AOB-∠BOM=25°，∵ON 平分∠AOC ，∴∠AON=12∠AOC=20°，∴∠MON=∠AOM+∠AON=45°．∴∠MON 的度数是45°．故选：A ．【点睛】本题考查了余角的计算，角的计算，角平分线的定义．首先确立各角之间的关系，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化是解题的关键．19.火车往返于A 、B 两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有不同的车票______种．【答案】30．【解析】【分析】根据每条线段就有两种车票，每两点就是一条线段，可得答案．【详解】车票从左到右有：AC、AD、AE、AF、AB，CD、CE、CF、CB，DE、DF、DB，EF、EB，FB，15种从右到左有：BF、BE、BD、BC、BA，FE、FD、FC、FA，ED、EC、EA，DA、DC，CA，15种．火车往返于A、B两个城市，中途经过4个站点（共6个站点），不同的车站来往需要不同的车票，共有30种不同的车票．故答案为：30．【点睛】本题考查了线段的数法应用，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，注意：每条线段有两种车票．20.将一幅三角板的两个直角顶点重合摆放到桌面上，如图，若∠BOC＝3428'︒，则∠AOD＝____．【答案】145°32′【解析】【分析】从图中可以看出，∠AOC=90°-∠BOC，求出∠AOC，再根据∠AOD =∠AOC +∠COD 求出即可【详解】由题意得∠AOB =∠COD =90°∵∠BOC ＝3428'︒∴∠AOC =90°-∠BOC =90°-3428'︒=5532︒′∴∠AOD =∠AOC +∠COD =5532︒′+90°=145°32′故答案为145°32′【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是正确利用各个角之间的关系．21.如图，已知∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF ，则下列结论：①AD 平分BAF ∠；②AF 平分DAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分EAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠.正确的有__________．（只填序号）【答案】③⑤【解析】【分析】根据∠DAE=∠EAF ，∠BAD=∠CAF 得到AE 分别是∠DAF 和∠BAC 的角平分线，即可求解.【详解】∵∠DAE=∠EAF ，∴AE 是∠DAF 的角平分线，∵∠BAD=∠CAF∴∠BAD+∠DAE=∠CAF+∠EAF ，即∠BAE=∠CAE,∴AE 是∠BAC 的角平分线故③⑤正确，故填：③⑤.【点睛】此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是数轴角平分线的性质与判定.22.①2330︒'=_______°；②0.5°=______′=______″【答案】(1).23.5(2).30(3).1800【解析】【分析】根据160'︒=，1'60''=进行单位换算即可求解.【详解】①302330'2330'23()23.560︒=︒+=︒+︒=︒；②0.50.560'30'︒=⨯=，0.530'3060''1800''︒==⨯=，故答案为：23.5；30；1800.【点睛】本题主要考查了度分秒的单位换算，熟练掌握单位换算技巧及单位之间的进率是解决此类问题的关键.23.24.38︒=______度______分______秒.【答案】(1).24(2).22(3).48【解析】【分析】根据大单位化小单位乘以进率，其中进率为60，即可得出结果.【详解】24.38︒240.38=︒+︒2422.8'=︒+24220.8''=︒++242248'''=︒++242248'''=︒.【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，掌握其中进率为60是关键，大单位化小单位应乘以进率是核心.24.如图，已知点B 在线段AC 上，9AB =，6BC =，P 、Q 分别为线段AB 、BC 上两点，13BP AB =，13CQ BC =，则线段PQ 的长为_______．【答案】7【解析】【分析】根据已知条件算出BP 和CQ ，从而算出BQ ，再利用P A =BP +BQ 得到结果．【详解】解：∵AB =9，BP =13AB ，∴BP =3，∵BC =6，CQ =13BC ，∴CQ =2，∴BQ =BC -CQ =6-2=4，∴PQ =BP +BQ =3+4=7，故答案为：7．【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段的和差倍分关系解题是关键．25.如图，O 是直线AB 上一点，OC 为一条射线，射线OM 平分∠AOC ，若∠AOC ＝76°，则∠BOM 等于__________．【答案】142︒【解析】【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠AOC =76°，射线OM 平分∠AOC ，∴∠AOM =12∠AOC =12×76°=38°，∴∠BOM =180°-∠AOM =180°-38°=142°，故答案为：142°．【点睛】本题考查角平分线，熟知角平分线的性质是解题的关键．26.如图，点C 是线段AB 的中点，点D 在线段AB 上，且13AD AB =．（1）若4cm AD =，求线段CD 的长．（2）若3cm CD =，求线段AB 的长．【答案】（1）1.5cm ；（2）18cm【解析】【分析】（1）先求出AB 的长，再结合线段中点的定义求出AC 的长，进而即可求（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，根据线段的中点的定义，列出方程，进而即可求解．【详解】（1）∵13AD AB =，AD =4cm ，∴AB =3×4=12cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC =12AB =11262⨯=cm ，∴CD =AC -AD =6-4=2cm ；（2）设AB =x cm ，则13AD x =cm ，∵点C 是线段AB 的中点，∴AB =2（AD +CD ），即x =2（13x +3），解得：x =18，∴AB =18cm ．【点睛】本题主要考查线段的和差倍分以及一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决问题，是解题的关键．27.A ，B 两地相距a 千米，C 地在AB 的延长线上，且3BC a =千米，D 是A 、C 两地的中点．（1）求AD 长（结果用含a 的代数式表示）．（2）若90BD =千米，求a 的值．（3）甲、乙两车分别从A 、D 两地同时出发，都沿着直线AC 匀速去C 地，经4小时甲追上乙．当甲追上乙后甲马上原路返回，甲返回行驶1小时时发现甲车距D 地50千米，已知600a =千米，求乙车行驶的平均速度【答案】（1）2=3AD a 千米；（2）270a =千米；（3）乙车平均速度为50km/h 或503km/h 【解析】【分析】（1）由题意易得43AC a =千米，进而根据点D 是A 、C 的中点可求解；（2）由（1）23AD a =千米，则有2133BD a a a =-=千米，然后由BD=90千米可求（3）由题意易得22600=40033AD a ==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，进而可得1小时内甲比乙多行驶100km ，设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，然后可得甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，则可分①甲在D 地左50km ，②甲在D 地右50km ，最后列方程进行求解即可．【详解】解：（1）AB a = 千米，3BC a =千米，43AC a ∴=千米， D 是A 、C 两地的中点，1223AD AC a ∴==千米；（2）由（1）23AD a =千米，BD AB AD =- ，2133BD a a a ∴=-=千米，90BD = 千米，1=903a ∴=270a ∴（3）600a = ，22600=40033AD a ∴==⨯km ，11600=20033BC a ==⨯km ，由题甲、乙之间相距400km ，4小时后甲追上乙，∴1小时内甲比乙多行驶100km ，∴设乙速度为xkm /h ，则甲速度为（x ＋100）km /h ，由题知，甲返回行驶了1h ，∴甲距离A 为()()()41001003300x x x +-+=+km ，甲车距D 地50km ，∴甲可能在D 地左50km 或右50km ，①甲在D 地左50km ，此时甲距离A 为5040050=350AD -=-，3300350x +=，解得：503x =，②甲在D 地右50km ，此时甲距离A 为5040050=450AD +=+，3300450x +=，解得：50x =，综上所述：乙车平均速度为50km/h 或503km/h ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及线段的和差关系，熟练掌握一元一次方程的应用及线段的和差关系是解题的关键．培优练28.如图，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且120AOB ∠=︒，OF 平分BOC ∠，OE 平分AOD ∠，135EOF ∠=︒．（1）若BOF m ∠=︒，则AOE ∠=_________︒（用含m 的代数式表示）；（2）求COD ∠的度数．【答案】（1）（105-m ）；（2）45°【解析】【分析】（1）利用周角的定义，根据∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF 得出结果；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，根据角平分线的定义得到∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，求出∠BOF +∠AOE =105°，根据∠EOF 得到α+β+∠COD =150°，结合α+β=105°即可求出结果．【详解】解：（1）∵∠AOB =120°，∠EOF =135°，∠BOF =m °，∴∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF -∠BOF=360°-120°-135°-m °=（105-m ）°；（2）设∠BOF =α，∠AOE =β，∵OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD ，∴∠COF =∠BOF =α，∠DOE =∠AOE =β，∵∠EOF =∠COF +∠DOE +∠COD =150°，∠BOF +∠AOE =360°-∠AOB -∠EOF =360°-120°-135°=105°，∴α+β+∠COD =150°，α+β=105°，∴∠COD =150°-（α+β）=45°．【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．29.如图，已知80,AOB OC ∠=︒为AOB ∠所在平面内一条射线，OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠．（1）如图1，当OC 在AOB ∠内部时，则DOE ∠=_______度（直接写出结果）；（2）如图2，当OC 在AOB ∠外部时，求DOE ∠的度数；（3）如图3，射线OA 和OB 所在的直线分别为直线AM 和直线BN ，当OC 在MON ∠内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出DOE ∠的度数．【答案】（1）40︒；（2）40DOE =︒∠；（3）画图见解析，140DOE ∠=︒【解析】【分析】（1）由OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，可得11,,22DOC AOC COE BOC ∠=∠∠=∠再利用()12DOE DOC COE AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案；（2）由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再利用DOE DOC EOC ∠=∠-∠，从而可得答案；（3）如图所示，由OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，可得11,22DOC AOC EOC COB ∠=∠∠=∠再求解36080280,BOC COA ∠+∠=︒-︒=︒再利用1()2DOE DOC EOC AOC BOC ∠=∠+∠=∠+∠，从而可得答案．【详解】解：（1） OD 平分AOC ∠，OE 平分BOC ∠，11,,22DOC AOC COE BOC ∴∠=∠∠=∠()1140,22DOE DOC COE AOC BOC AOB ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒故答案为：40︒（2）OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠DOE DOC EOC∠=∠-∠ 11111()804022222DOE AOC COB AOC COB AOB ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=⨯︒=︒（3）如图所示．OD 平分,AOC OE ∠平分BOC ∠，11,22DOC AOC EOC COB ∴∠=∠∠=∠80AOB ∠=︒36080280,BOC COA ∴∠+∠=︒-︒=︒1()1402DOE DOC EOC AOC BOC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，周角的含义，掌握角平分线的含义与角的和差是解题的关键．30.如图，已知点C 在线段AB 上，点D 、E 分别在线段AC 、BC上，（1）观察发现：若D 、E 分别是线段AC 、BC 的中点，且12AB =，则DE =_______；（2）拓展探究；若2AD DC =，2BE CE =，且10AB =，求线段DE 的长；（3）数学思考：若AD kDC =，BE kCE =（k 为正数），则线段DE 与AB 的数量关系是________．【答案】（1）6；（2）103；（3）()1AB k DE =+【解析】【分析】（1）根据中点的定义，结合线段的和、差计算即可（2）利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可（3）结合（2）的求解，再利用线段之间的和、差关系倍数关系计算即可【详解】（1）D Q 、E 为线段AC ，BC 的中点11,22DC AC CE BC ∴==()12DC CE AC BC ∴+=+,DE DC CE AB AC BC=+=+ 12DE AB ∴=1211262AB DE =∴=⨯= （2）2,2AD DC BE CE== AB AD DC CE BE =+++ ，()223AB DC DC CE CE DC CE ∴=+++=+10,AB DE DC CE==+ 3310103DE ABDE DE ∴=∴=∴=（3）,AD kDC BE kCE== AB AD DC CE BE =+++ ，DE DC CE=+()()1AB kDC DC CE kCE k DC CE ∴=+++=++()1k DE AB∴+=【点睛】本题考查了线段n 等分点的有关计算，掌握线段之间和、差倍数关系是解题关键．。

九年级数学线段和角考试题（附答案）
提高测试
（一）判断题（每小题1分，共6分）
1．经过一点可以画无数条直线，经过两点可以画一条直线，经过三点可以画三条直线
………………………………………………………………………………………（）
【提示】错的是第三句话，因为三点可在一条直线上，也可不在一条直线上，当三点在一条直线上时（我们称之三点共线），经过这三点只可以画一条直线．
【答案】×．
2．两条直线如果有两个共点，那么它们就有无数个共点…………………（）
【提示】两点确定唯一的直线．
【答案】√．
3．射线AP与射线PA的共部分是线段PA……………………………………（）
【提示】线段是射线的一部分．
【答案】如图
显然这句话是正确的．
4．线段的中点到这条线段两端点的距离相等……………………………………（）
【提示】两点的距离是连结两点的线段的长度．
【答案】√．
5．有共端点的两条射线叫做角…………………………………………………（）
【提示】角是有共端点的两条射线组成的图形．
【答案】×．。

初三数学中考复习线段和角专题复习训练含答案1. 京广高铁全线通车，一列往复于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车预备印制车票( )A ．6种B ．12种C ．15种D ．30种2. 点A ，B ，C 在同一条数轴上，其中点A ，B 表示的数区分为－3，1，假定BC ＝2，那么AC 等于( )A ．3B ．2C ．3或5D ．2或63．线段AB ，画出它的中点C ，再画出BC 的中点D ，再画出AD 的中点E ，再画出AE 的中点F ，那么AF 等于AB 的( )A.14B.38C.18D.3164. 线段AB ＝10 cm ，点C 是直线AB 上一点，BC ＝4 cm ，假定M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，那么线段MN 的长度是( )A ．7 cmB ．3 cmC ．5 cm 或3 cmD ．5 cm5. 如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，假定∠AOC ＝76°，那么∠BOM 等于( )A ．38°B ．104°C ．142°D ．144°6. 学校、电影院、公园在平面图上区分用点A ，B ，C 表示，电影院在学校的正西方向，公园在学校的南偏西35°方向，那么平面图上的∠BAC 等于( )A ．115°B ．35°C ．125°D ．55°7. 一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的大小是( )A ．60°B ．75°C ．90°D ．45°8. 如图，两块直角三角板的直角顶点O 重合在一同，且OB 恰恰平分∠COD ，那么∠AOD 的度数为( )A．20°B．150°C．135°D．105°9. 平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，那么m ＋n等于( )A．16 B．18 C．29 D．2810. 如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条蜿蜒的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实践运用的数学知识是________________________．11. 如图，从甲地到乙地有四条路途，其中最短的路途是____．12. 半夜闹钟响了，正在午睡的小明睁眼一看闹钟(如下图)，这时分针与时针所成的角的度数是______度．13. 如下图，OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB＝90°，∠EOD＝80°，那么∠BOC的度数为_____________．15. 如图，C，D，E将线段AB分红四局部，且AC∶CD∶DE∶EB＝2∶3∶4∶5，M，P，Q，N区分是AC，CD，DE，BE的中点，假定MN＝a，求PQ的长．16. 如图，∠AOC＝∠BOD＝100°，且∠AOB∶∠AOD＝2∶7，试求∠BOC的大小．17. 如图，直线AB和CD相交于点O，OM平分∠BOD，∠MON是直角，∠AOC ＝50°.(1)求∠AON的度数；(2)求∠DON的余角．18. 如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10.动点P从点A 动身，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒．(1)写出数轴上点B表示的数_______，点P表示的数_______(用含t的代数式表示)(2)动点R 从点B 动身，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，假定点P ，R 同时动身，问点P 运动多少秒时追上点R?19. 如图，∠AOB ＝m °，OC 是∠AOB 内的一条射线，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC .(1)求∠EOD 的度数；(2)假定其他条件不变，OC 在∠AOB 外部绕O 点转动，那么OD ，OE 的位置能否发作变化？(3)在(2)的条件下，∠EOD 的大小能否发作变化？假设不变，央求出其度数；假设变化，央求出其度数的范围．参考答案：1---9 DDDDC CACC10. 两点确定一条直线11. A12. 13513. 70°14. 70°15. 解：PQ ＝13a 16. 解：设∠AOB ＝2x ，那么∠AOD ＝7x ，所以∠BOD ＝∠AOD －∠AOB ＝5x ＝100°，所以x ＝20°，即∠AOB ＝∠COD ＝40°，∠AOD ＝140°，所以∠BOC ＝∠AOD －∠AOB －∠COD ＝140°－40°－40°＝60°17. 解：(1)由于∠AOC ＋∠AOD ＝∠AOD ＋∠BOD ＝180°，所以∠BOD ＝∠AOC ＝50°，由OM 平分∠BOD ，可得∠BOM ＝∠DOM ＝25°，又由∠MON ＝90°，所以∠AON ＝180°－(∠MON ＋∠BOM)＝180°－(90°＋25°)＝65°(2)由∠DON ＋∠DOM ＝∠MON ＝90°知∠DOM 为∠DON 的余角，故∠DON 的余角为25°18. (1) －4 6－6t(2) 解：设点P 运动x 秒时，在点C 处追上点R ，那么AC ＝6x ，BC ＝4x ，由于AC －BC ＝AB ，所以6x －4x ＝10，解得：x ＝5，所以点P 运动5秒时追上点R19. 解：(1)(12m)°(2)OD ，OE 的位置发作变化 (3)∠EOD 的大小坚持不变为(12m)°。

2018年九年级数学中考专题复习三角形知识点三角形认识：三边关系定理：三角形内角与外角关系：多边形内角和公式：全等三角形：性质：判定方法：角平分线的性质：轴对称：点的对称：已知点P(a,b).关于x轴对称：；关于y轴对称：；关于原点对称：；垂直平分线性质：；等腰三角形性质与判定：性质：；判定：；等边三角形判定：勾股定理：勾股定理公式；勾股组数：；；；；；三角形面积公式：任意三角形面积公式：；任意直角三角形面积公式：；等腰直角三角形面积公式：；等边三角形面积公式：；课堂练习一、选择题：1、下列哪组线段的长能够组成三角形（）A.1、2、3B.2、3、4C.4、5、9D.4、4、8.2、如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则可增加的条件是（）A.∠ABE=∠DBEB.∠A=∠DC.∠E=∠CD.∠1=∠23、如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（）A.B. C. D.4、在正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形5个图形中既是轴对称又是中心对称的图形有（）A.2B. 3C.4D.55、如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )A.10B.7C.5D.4第5题图第6题图第8题图6、如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落AC边上的点E处.若∠A=25°，则∠BDC等于（）A.50°B.60°C.70°D.80°7、若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.108、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=9，DE=2，AB=5，则AC长是（）A.3B.4C.5D. 69、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A.11cm≤h≤12cmB.12cm≤h≤19cmC.12cm≤h≤13cmD.5cm≤h≤12cm第9题图第10题图第11题图10、如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )A.(3+8)cmB.10cmC.14cmD.无法确定11、如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成图形的面积S是（）A.50B.62C.65D.6812、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A.2.4B.4C.4.8D.5二、填空题:13、若点P（a+2，3）与点Q（﹣1，b+1）关于y轴对称，则a+b= .14、一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的周长是.15、如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是 .第15题图第16题图第17题图16、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF = °17、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是______.18、如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，AC=13，BD⊥AC于D，则BD= .第18题图第19题图第20题图19、如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑.再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°.∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是.三、解答题:21、如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D，BC=CE.（1）求证：AC=CD；（2）若∠ACB=30°，∠D=45°,求∠AEC的度数.22、如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF，(1)求证：AD平分∠BAC；(2)已知AC=20， BE=4，求AB的长.23、两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=900，B,C,E在同一条直线上，连结DC.（1）图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由.24、两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB=25，CD=17.保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°）角度，如图2所示.（1）利用图2证明AC=BD且AC⊥BD；（2）当BD与CD在同一直线上（如图3）时，求AC的长和α的正弦值.25、如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD.(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？课后练习一、选择题:1.13600000=1.36×10a，3590000=2.45×10b，那么(b﹣a）5=( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22.某服装店新开张,第一天销售服装a件,第二天比第一天少销售14件,第三天的销售量是第二天的2倍多10件,则这三天销售了( )件.A．3a﹣42 B．3a+42 C．4a﹣32 D．3a+323.下列计算正确的是（）A．a+a=a2B．(-2a)3=-6a3C．(a﹣1)2=a2﹣1 D．a3÷a=a24.下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）5.已知△AB1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：1①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确,②错误 B．①错误,②正确 C．①,②都错误 D．①,②都正确6.下列各题中正确的是（）7.下列等式成立的是（）8.不等式2x≤4的解集，在数轴上表示正确的是 ( )9.当锐角α>30°时，则cosα的值是（）A．大于B．小于C．大于D．小于10.下列命题中是真命题的是（）A．“面积相等的两个三角形全等”是必然条件B.“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件C.“同位角相等”这一事件是不可能事件D.“三角形三条高所在直线的交点在三角形的外部”这一事件是随机事件11.如图，在平面直角坐标系中,点P（-0.5,a）在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间,则a取值范围是（）A．2＜a＜4 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．0＜a＜212.如图，PA．PB是⊙O的切线,切点分别为A．B,若OA=2,∠P=60°,则的长为（）A．πB．πC．D．二、填空题：13.4的平方根是．14.已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4.(1)若M点位于第一象限，则其坐标为；(2)若M点位于x轴的上方，则其坐标为；(3)若M点位于y轴的右侧，则其坐标为．15.如图，等腰直角三角形ABC绕C点按顺时针旋转到△AB1C1的位置(A．C、B1在同一直线上）,∠1B=90°，如果AB=1，那么AC运动到A1C1所经过的图形的面积是 .16.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD：DB=1：2，AE=2，则AC= ．17.请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．18.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．三、解答题：19.如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．20.如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足2∠BAD=∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F.（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF=，AD=4，求BD的长.21.国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台） 2000 1600 1000售价（元/台） 2300 1800 1100若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商店购买冰箱x台．（1）商店至多可以购买冰箱多少台？（2）购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？22.如图（1）在Rt△ABC中,∠C=900,AB=5cm,BC=acm,AC=3cm,且a是方程x2-(m-1)x+m+4=0的根．（1）求a和m的值；（2）如图（2），有一个边长为0.5a的等边三角形DEF从C出发，以1cm/s的速度沿CB方向移动，至△DEF全部进入与△ABC为止，设移动时间为xs，△DEF与△ABC重叠部分面积为y，试求出y与x的函数关系式并注明x的取值范围；（3）试求出发后多久，点D在线段AB上？课堂练习参考答案1、B2、D3、B4、B5、C6、C7、C8、B9、A10、B11、A12、C13、答案为：1.14、1015、（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）.16、70 °17、5 118、；19、答案为：5.20、5021、(1)证明△ABC≌△DEC；（2）∠AEC=75；22、（1）略（2）1223、(1)证明：∵∠BAC=∠EAD=900∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE∴∠BAE=∠CAD在△ABE与△ACD中，AB=AC，∠BAE=∠CAD,AD=AE，∴△ACD≌△ABE（SAS）(2) 线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等证明：由（1）知：△ACD≌△ABE∴DC=BE，∠ACD=∠B∵∠BAC=900∴∠B+∠ACB=900∴∠ACD +∠ACB=900即∴∠BCD=900∴BE⊥CD；∴线段DC和线段BE的关系是：垂直且相等24、（1）证明：如图2中，延长BD交OA于G，交AC于E.∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠CAO=∠DBO，∵∠DBO+∠GOB=90°，∵∠OGB=∠AGE，∴∠CAO+∠AGE=90°，∴∠AEG=90°，∴BD⊥AC. （2）解：如图3中，设AC=x，∵BD、CD在同一直线上，BD⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2=AB2，∴x2+（x+17）2=252，解得x=7，∵∠ODC=∠α+∠DBO=45°,∠ABC+∠DBO=45°,∴∠α=∠ABC，∴sinα=sin∠ABC==.25、(1)证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形；(2)解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.理由如下：由题意可得△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°.又∵△COD为等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=90°.即△AOD是直角三角形；(3)解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO.∵∠AOD=190°－α，∠ADO=α－60°，∴190°－α=α－60°，∴α=125°.②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°－(∠AOD＋∠ADO)=180°－(190°－α＋α－60°)=50°，∴α－60°=50°.∴α=110°；③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°－α=50°，∴α=140°.综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.课后练习参考答案1.B2.C.3.D.4.D．5.D6.D7.C8.B.9.D10.D11.B12.C13.答案为：±2．14.答案为：（4，3)；(4，3)或(－4，3)；(4，3)或(4，－3)．15.答案为：16.答案为：6．17.答案为：y=（x﹣2）2﹣1．18.答案为：96．19.20.∵AC=BC，∴∠ CAB = ∠B.∵∠ CAB +∠B+∠C=180º，∴2∠B+∠C=180º.∴90º.∵2∠BAD=∠C，∴=90º.∴∠ADB=90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线.（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD = 90º. ∵∠ADC=90º，∴∠ADF+∠FDC=∠CD+∠FDC=90º.∴∠ADF=∠C.∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF=，∴tan∠C=tan∠ADF=.在Rt△ACD中，设AD=4x，则CD=3x.∴∴BC=5x，BD=2x.∵AD=4，∴x=1.∴BD=2.21.22.。

卜人入州八九几市潮王学校三角形的边与角1. 如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，以下结论： ①BC DE =21；②S S COB DOE △△=21；③AB AD =OB OE ；④S S ADE ODE △△=31.其中正确的个数有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个〔第1题〕2.以下说法：①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形③有一组邻边相等的平行四边形是菱形④两边及一角对应相等的两个三角形全等⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的个数有〔〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图2，CE 是ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，假设35B ∠=，60ACE ∠=，那么A ∠=4.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD∥BC ，∠B=30°，那么∠C 的度数为〔〕A ．50°B．40°C ．30°D．20°5.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，假设CD=4，AB=15，那么△ABD 的面积是〔〕A ．15B ．30C ．45D ．606.如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B =55°，那么∠1等于A ．55°B．45° C ．35° D ．25°7.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，那么它的周长为〔〕A ．12B ．16C ．20D ．16或者208．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，那么∠D 的度数为〔〕A ．28°B．38°C．48°D．88°9如下列图，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E ，∠1=50°，那么∠2的度数为〔〕A.50°B.40°C.45°D.25°10．如图，在△ABC 中，∠A=40°，D 点是∠ABC 和∠ACB 角平分线的交点，那么∠BDC=．参考答案1.【考点】三角形中位线定理，相似三角形的断定和性质．【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可断定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可断定．【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE=21BC ，即BC DE =21；故①正确；②∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC∴△DOE∽△COB ∴S S COB DOE △△=〔BC DE 〕2=(21〕2=41, 故②错误；③∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC∴AB AD =BC DE △DOE∽△COB∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ，故③正确；④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。

线段和角的练习题一、填空题1、如图1，若AB=BC=CD那么AD= AB ， AC= AD。

2、如图2，若CB = 4 cm，DB = 7 cm，且D是AC的中点，则AC =_________________.3、如下图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=8，BC=3，则线段AD的长是4、如图4所示, ∠AOB是平角, ∠AOC=300, ∠BOD=600, OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线, ∠MON等于_______________.5、如图5，若AO⊥CO，BO⊥DO，∠BOC=150°，则∠DOC=_____，∠AOD=______.∠AOB=__ ____.二、选择题1、把一个周角n等分, 每份是18°, 则n等于 ( )A. 18B. 19C. 20D. 212、甲从A出发向北偏东45°走到点B，乙从点A出发向北偏西30°走到点C，则∠BAC等于（）Ａ 15°Ｂ 75°Ｃ 105°Ｄ 135°4、一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角等于( )A.54°B.45°C.60°D.36°5、如图所示, OB、OC是∠AOD的任意两条射线, OM平分∠AOB,ON平分∠COD.若∠MON=α,∠BOC=β,则表示∠AOD的代数式是 ( )A. 2α－βB. α－βC. α+βD. 以上都不正确三、解答题1.如图，已知C点为线段AB的中点，D点为BC的中点，AB＝16cm，求AD的长度。

2.线段AD=12cm ，线段AC=BD=8cm ，E 、F 分别是线段AB 、CD 中点，求EF 。

4、如图,∠AOD=∠BOC=90°,∠COD=42°,求∠AOC 、∠AOB 的度数.5、已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大10°，求这个角的度数．6、如图所示：点O 是直线AB 上的一点，OE 平分AOC ∠，OD 平分BOC ∠。

第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017填空7 平行线的性质由平行线的性质求角的度数2 22016填空 5 平行线的性质与角平分线利用平行线与角平分线的性质求角的度数2 22015填空 5 平行线的性质和垂线利用平行线的性质和垂线定义求角的度数2 22014填空 6 角平分线的性质利用角平分线的性质求点到直线的距离2选择17 平行线的性质先利用同位角相等判定两直线平行，再利用平行线的性质求角的度数3 5命题规律纵观青海近五年中考，此考点一般设一道题，均为选择题或填空题，题目较简单，属于中,青海五年中考真题)平行线的性质1．(2014青海中考)如图，∠1＝∠2，∠3＝30°，则∠4等于( D)A．120°B．130°C．145°D．150°(第1题图)(第2题图)2．(2015西宁中考)如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( C)A．74°12′B．74°36′C．75°12′D．75°36′3．(2017青海中考)如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝55°，则∠α的度数为__35°__．,(第3题图)),(第4题图))4．(2016青海中考)如图所示，直线AB∥CD，CA平分∠BCD，若∠1＝50°，则∠2＝__65°__．5．(2015青海中考)如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，且PM垂直于l，若∠1＝58°，则∠2＝__32°__．,中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图①，已知两条线段a和b，且a>b，在直线l上画线段AB＝a，BC＝b，则线段AC就是线段a与b的和，即AC＝__a＋b__．如图②，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图③，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM__＝MB ＝12AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形． (2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．角及角平分线3．角的分类 (1)分类分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 度数0°<α<90°α＝90°90°<α＜180°α＝180°α＝360°(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°， 1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160°，1″＝⎝ ⎛⎭⎪⎫160′. 4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：A.如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；B．同角(等角)的余角相等．(2)补角：A.如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；B．同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：A.两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；B．互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.7．内错角：∠2与__∠8__，∠3与∠5.8．同旁内角：∠3与∠8，∠2与__∠5__.9．对顶角：∠1与∠3，∠2与__∠4__，∠5与∠7，∠6与__∠8__．垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__相等__；(2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__.(2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．(2)同位角相等，两直线平行．(3)内错角相等，两直线平行．(4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．命题与定理19．命题：判断一件事情的句子叫做命题，命题由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常写成“如果……那么……”的形式．20．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题．21．假命题：题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题．22．定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，推理过程叫做证明．【方法技巧】利用平行线性质求角度：先观察要求角与已知角的位置关系，再选择合理的角度进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题中要注意平角、直角及三角形内角和、三角形内外角关系等知识的运用．,中考重难点突破)线段、角的有关概念及其性质【例1】(湘西中考)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( )A．130°B．140°C．50°D．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【答案】A1．(2017孝感中考)如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线DF⊥直线c，则图中与∠1互余的角有( A)A．4个B．3个C．2个D．1个(第1题图)(第2题图)2．(2017凉山中考)如图，AB∥CD，则下列式子一定成立的是( D)A．∠1＝∠3 B．∠2＝∠3C．∠1＝∠2＋∠3 D．∠3＝∠1＋∠23．(宜昌中考)如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( D)A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．经过两点，有且仅有一条直线D．两点之间，线段最短平行线的性质【例2】(2016西宁中考模拟)如图，直线a∥b，射线DC与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( )A．115°B．125°C．155°D．165°(例2题图)(例2题解图)【解析】如解图，过点D作c∥a，则∠1＝∠CDB＝25°.又∵a∥b，DE⊥b，∴b∥c，DE⊥c，∴∠2＝∠CDB ＋90°＝115°.【答案】A4．(2017遵义中考)把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为( D) A．45°B．30°C．20°D．15°(第4题图)(第5题图)5．(咸宁中考)如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝50°，则∠BCD的度数为( C)A．50°B．45°C．40°D．30°6．(2017襄阳中考)如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E，若∠A＝50°，则∠1的度数为( A) A．65°B．60°C．55°D．50°(第6题图)(第7题图)7．(苏州中考)如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为( C)A．58°B．42°C．32°D．28°8．(2017营口中考)如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是( B)A．75°B．85°C．60°D．65°(第8题图)(第9题图)9．(2017岳阳中考)如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是__60°__．10．(2017重庆中考)如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝42°，EF平分∠AED交AB于点F，∠AFE的度数是__69°__．,(第10题图)),(第11题图))11．(广东中考)如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝__70°__．12．(盐城中考)如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝__70__°.,(第12题图)),(第13题图))13．(连云港中考)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31__°.14．(郴州中考)如图，直线AB，CD被直线AE所截，AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝__70__°.平行线的实际应用【例3】如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点，这时，∠ABC的度数是( )A．120°B．135°C．150°D．160°【解析】首先找准方位角，并从中找出互相平行的直线．【答案】C15．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为( D)A．45°B．50°C．60°D．75°,(第15题图)),(第16题图))16．一次数学活动课上，小聪将一副三角板按如图所示方式叠放，则∠α等于( D)A．30°B．45°C．60°D．75°17．(2017枣庄中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是( A)A．15°B．22.5°C．30°D．45°。

②直线的表示方法：如图 “直线I ”.记作“直线AB ”或“直线BA ” ;I 记作*性n —m 詡点n 定一条直観 I鞭斥方it| Mt 卜一M 性质 4 两点之间、红段最短 I -_ I IL—— 一 —_ _T 蟻我的中点| -』线駁的倒独及比较 __________________ 一宦丈一：射线 ---- - -------------- 」一—［襄币方法一技法透析i •与直线、射线、线段有关的知识⑴直线： ①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无 限延伸的.③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线.⑵射线：① 射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点•射线向一方无 限延伸.考点图解 线段与角+两点的却离-*|连播两虫间线股的检度州这两点的护离*■甬平井蛾*方惊驚•性质 -------- W 冏甫（或專如）的余甬帕尋»定丈-性质HMfn ＜或等痢）的补角押尊*i 宦文直线*线段*射线•----- ■ --- ------------------ ----------②射线的表示方法：如图* 甘记作“射线AB ”；I记作射线I，注意必须把表示端点的字母写在前面.(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸.②线段的表示方法：如图•记求“线段AB ”或“线段BA ”或“线段a”.③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短•即两点之间，线段最短.⑷直线、射线、线段的区别与联系.①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分.②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸.②“连接AB ”的意义就是画出以A、B为端点的线段.③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延I IJ if -长. 延长BA是指按由B向A的方向延长.(也可说反向延长AB)⑹线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小.(7) 画一条线段等于已知线段，女口：已知线段a,画一条线段AB = a,有两种画法：①先画射线AC ,再在射线AC上截取AB = a.②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可.(8) 线段的中点及等分点的概念①如图①点0把线段1 然有A0 = 0B = -AB2 (或AB = 2A0 = 20B)②如图②点0i, 02把线段AB分成相等的三条线段A0i = 0i02= 02B,则点0i, 02叫做1线段AB 的三等分点，显然有：A0i = 0i02= 02B =一AB(或AB = 3A0 ,= 30I02= 302B) 3③如图③，点0仆02, 03把线段AB分成相等的四条线段，则点0i, 02, 03叫做线段1AB 的四等分点，显然有：A01 = 0102= 0203= 03B =—AB(或AB = 4A01= 40102= 402034=403B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 2.与角有关的知识(1) 角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形, 线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形.(2) 角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间.如图①，记作/ A0B (或/ B0A );②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作/ 0;③可以用一个小写希腊字母(如a伙丫等)表示，如图②/ B0C记作/ a；④用一个阿拉伯数字表示如图②/又可以看成是一条射①AOC记作/ 1.(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角.②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角.③直角：等于90°的角叫直角.④锐角：小于直角的角叫锐角.⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角.(4) 角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°= 60', 1' = 60".②借助三角尺和量角器画角.(5) 角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：/ A0C =/ A0B + Z B0C，/ A0B = / A0C -Z B0C②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若Z 1 = Z 2，则0C是Z A0B的平分线，此AB分成相等的两条线段，A0与0B，点0叫线段AB的中点，显1时有/ 1 = / 2 = / AOB (或/ AOB = 2 / 1 = 2/ 2).2同理，还有角的三等分线、四等分线等.(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°,那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180° , 那么这两个角互为补角.②性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角•具体表示时•是南(或北)在先，再说偏东(或偏西)3•钟表上有关角的问题(1) 钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°;(2) 秒针每分钟转过360°,分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°.(3) 时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______________ 个，最多为_________ 个.【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论.①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1 + 5 =6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为 1 + 4 + 5=10个，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1 + 2+ 3+ 4+ 5= 丄卫一5= 15(个)2【规范解答】分别填1个，15个.(1) 本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多1为1 + 2+ 3+^+( n+ 1)= - n (n —1)个交点；2(2) 一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平1面分成一(n + 1) n+ 1个互不重叠的部分.2(3) —般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为( n—1)1+ (n —2)+…+ 2+ 1= ?n (n —1)条；共有2n条不同的射线.【同类拓展】1•如图' * * ,数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？令小则别为AC.EB 的中点.A MC= y AC- 考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2: 3: 4: 5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN = 42,求PQ的长.【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长.【规范解答】令AC=2X,则CD=3z<DE=4x.EB-5.r.Jt 别为AUEB 的中点匸皿=非0X M N =MC -F CD+ /)E+E.V= 42 A 3x + 4TT= 42H 又几Q分别为CD.DE的中点PD—-J-CD— -|-jr~6,DQ—4-DE"*2J™8」• PQ= FD+ 0Q= 6 + B=14【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化•本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题.【同类拓展】 2 •已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a+ b + c= 7cm，求a、b、c的长..4 考点3角的个数及角的度数的计算-.例3 如图已知0A、OC是/ AOD内部的两条射线，0M 平分/ AOB , ON 平分/ COD .⑴若/ AOD = 70°,/ MON = 50° 求/ BOC 的大小；(2)若/ AOD = a；/ MON = 3,求/ BOC的大小(用含a B的式子表示).利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出/ AOD , / MON与/ BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含 a 3的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小.【规范解答】< I)AOD = Z AOM 卜Z MON + Z NOD, Z AOD = 70* 厶MON = 50* :* ZAOM +【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数 化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条 件，适当转换.(2) —般地，同一平面内，在平角/ AOB 的内部引以O 为端点的(n — 1)条射线，则_ , , 1图中共有：n +( n — 1) + ( n — 2)+…+ 3+ 2+ 1 = n (n + 1)个小于平角的角.2 【同类拓展】3.如图，/ AOB = 100° , OM 平分/ AOC ,ON 平分/ BOC ，则/ MON = _________ .考点4钟表上有关的角度问题 例4时钟在下午4点至5点的什么时刻：分针和时针成一条直线？ (3)分针和时针成45° 【切题技巧】4点整时针已转过4大格， 1120°,若设所需时间为 x 分钟，则有6x — x2分针之间的角度为1200+ 180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于 120°—45°(时针在前)或120 ° + 45 ° (分针在前)时，两针成 45°角.【规范解答】设斫需时间在卜午I 点神后-r 分钟*则］ a(Dfij —yx —120,M x*21 T7＜分钟hyx= 12O+lSO t JU x»54 A ＜分神“《3)分两种悄况讨论［①淄时针在分针冊面 灯时，有牡1*丁=］加一 45M—F3亓4钟卄②当时卄左分汁JSlftl 卅时用肚一如一120十45・"=30(分押八答：F 午4点21晋分钟时.分钟和时针"下平4点54鲁分钟时.(1)分针和时针重合？角？每大格30 °,这时可看成时针在分针前面的值等于1200时，两针就重合；当时针与z NOD=ZA<^-^MUX 1 = 70*-SO' = 20D . x OM 平分/AOS,ON ^ZCOUAZAtJM 边 ^MOB, ZD()N = ZCOV :* ^MOB + Z CON - ZAOM + Z NOD =狩只 N MON 乂ZBfXW+ZBOC+ZODAr A Z B(X?= /MON- Z tiOM-^.CON= 50*- 20*=30*, (对设VOM 平分Z ：A ｛出.ON 平 <^ZCOD.A/MOB=ZA0M- yZACM +Z£X )N-yZCW=ZCON,AZAOM+ZWN=y (Z^OB+ZaOP>代+ ^—力乂戸一工化工=2旷仪即乙昭：=2旷i时针与分针成一条直 线，下午4点13活分帥我4点帥分钟时，分针和时升成吒佈【借题发挥】 钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格,60小格，每个大格为30。

中考数学总复习《线段问题》专项检测卷（附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________构造2、3倍线段问题类型一利用等腰直角三角形构造含2倍关系的线段问题如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，过点A作AD⊥BC于点D.结论：BC＝2AC＝2AB；AB＝AC＝2AD＝2BD＝2D C.看到线段间含2倍关系或已知条件含45°角，等腰直角三角形判断线段数量关系时，考虑运用等腰直角三角形性质进行求解．练习1已知边长为4的正方形ABCD与边长为a(1＜a＜4)的正方形CFEG的顶点C重合．(1)如图①，若点E在对角线AC上，则AE与BF的数量关系为________；(2)如图②，若∠BCF＝α(0＜α＜30°)，请问此时上述结论是否还成立？如成立，写出推理过程，如不成立，说明理由．练习1题图类型二 利用30°角的直角三角形构造含3倍关系的线段问题如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝30°.结论：AB ＝12AC ；BC ＝32AC ；BC ＝3A B. 看到线段间含3、33或已知条件含30°，60°角，直角三角形判断线段数量关系时，考虑运用含30°角的直角三角形性质进行求解．练习2 如图，已知△ABC 和△DCE 中，AB ＝AC ，DC ＝DE ，BF ＝EF ，点B ，C ，E 都在同一直线上，且△ABC 和△DCE 在该直线同侧．若∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°.求证：AF ＝3DF .练习2题图参考答案练习1 解：(1)AE ＝2BF ；【解法提示】∵四边形ABCD 和四边形CFEG 都是正方形∴∠B ＝∠CFE ＝90°，∠FCE ＝∠BCA ＝45°，CE ＝2CF∴AB ∥EF ∴AE BF ＝CE CF＝2 ∴AE ＝2BF ；(2)上述结论还成立，理由如下： 如解图，连接CE练习1题解图∵∠FCE ＝∠BCA ＝45°∴∠BCF ＝∠ACE ＝45°－∠ACF ＝α在Rt △CEF 和Rt △CBA 中CE ＝2CF ，CA ＝2CB∴CE CF ＝CA CB ＝2 ∴△ACE ∽△BCF∴AE BF ＝AC CB ＝2 ∴AE ＝2BF .练习2 证明：如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，过点D 作DJ ⊥EC 于点J .练习2题解图∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°∴△ABC 是等边三角形∴BH ＝CH ，AH ＝3BH∵DC ＝DE ，∠CDE ＝120°∴CJ ＝JE ，∠DEC ＝∠DCE ＝30°∴JE ＝3DJ∵BF ＝FE∴HJ ＝BF ＝EF∴BH ＝FJ ，HF ＝JE∴AH ＝3FJ ，FH ＝3DJ∴AH FJ ＝HF DJ ＝3 ∵∠AHF ＝∠FJD ＝90°∴△AHF∽△FJD∴AFDF＝AHFJ＝3∴AF＝3DF.。