椭圆、双曲线、抛物线复习学案(知识点+题组练习+测试)

高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（ ） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为 （ ）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于 （ ） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为 （ ） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（ ）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为 （ ）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

椭圆、双曲线、抛物线综合试题学校:___________姓名：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )2．已知焦点在x 轴上的椭圆，则a 的值为 ( ) ABD ．123．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4．椭圆2249144x y +=内的一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程A. 32120x y +-=B. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=5k 适合的条件是A ．2k <-或25k <<B ．22k -<<或5k >C ．2k <-或5k > D．25k -<<6．已知P 为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A的坐标是 （ ）(A)8 (B)(C)107 A 、0 B 、1 C 、2 D 、38（0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明9．已知P上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________;10．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率 ；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 11．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若 线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 ．12．对任意实数k ,直线y kx b =+与椭圆,则b 的取值范围是三、解答题（题型注释）13．（本小题满分12分） 抛物线22y px =的焦点与双曲线. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.14．已知1F )0,1(-、2F )0,1(为椭圆的焦点，且直线 （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求△2ABF 的面积S 的最大值，并求此时直线的方程。

《椭圆、双曲线、抛物线及其性质》复习教案一．基础知识1.定义：①椭圆：点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长(定长大于两定点间的距离)的点的轨迹。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

（2a=2c 时？？）②双曲线：M={P| ||PF 1|-|PF 2||=2a ，2a ＜|F 1F 2|}平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a 的点的轨迹。

（2a=2c时？？）③椭圆、双曲线、抛物线统一定义：点集M={P|e dPF，e 为常数，0＜e ＜1是椭圆，e ＞1时是双曲线，e=1是抛物线｝注：两个定义是解决圆锥曲线的性质问题和求圆锥曲线方程的两个有力工具，所以要对两个定义有深刻的认识。

2.标准方程与性质：①椭圆标准方程与性质：标准方程：焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0），F 2（c ，0）。

其中22bac 焦点在y 轴上，中心在原点：12222bx ay （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22bac注：1）在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b ac并且椭圆的焦点总在长轴上；2）两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠Ｂ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222by ax （a ＞b ＞0）有以下性质：1）范围：|x|≤ａ，|y|≤ｂ；2）对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；3）离心率：e=ac （焦距与长轴长之比）；4）准线方程：cax2；5）焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。

完整版)椭圆,双曲线,抛物线知识点左老师备战考高基础复资料-椭圆椭圆是平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于定长（定长大于两定点间的距离）的点的轨迹。

这两个定点叫焦点，两定点间距离为焦距。

椭圆的标准方程分为焦点在x轴和焦点在y轴的情况，分别为x^2/a^2+y^2/b^2=1和y^2/a^2+x^2/b^2=1，其中a>b>0.椭圆的范围为x≤a。

y≤b或y≤a。

x≤b，顶点坐标为(±a。

0)和(0.±b)，对称轴为x轴和y轴，对称中心为原点O(0,0)，焦点坐标为F1(c,0)和F2(-c,0)或F1(0,c)和F2(0,-c)，其中c为焦距的一半，即c^2=a^2-b^2，离心率为e=c/a，离心率越大，椭圆越扁，离心率越小，椭圆越圆。

椭圆的准线为垂直于长轴且在椭圆外的直线，两准线间的距离为2b，准线方程为x=±a^2/c或y=±b^2/c。

椭圆上的点到焦点的最大（小）距离分别为a+c和a-c，椭圆的参数方程为x=acosθ。

y=bsinθ或x=bcosθ。

y=asinθ，其中θ为参数。

利用参数方程可以简便地求解椭圆上一点到直线Ax+By+C=0的距离，距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。

注意：文章中的公式可能无法正确显示，建议查看原文。

双曲线是一种常见的曲线形式，其方程可以表示为y=±(b/x)或x=±(b/y)，其中a和b为实数。

我们可以将其转化为一元二次方程，用判别式确定其位置关系。

如果二次项系数为零，则直线与渐近线平行。

另外，如果有相交弦AB，则其弦长可以表示为AB=1+k^2(x1+x2)^2-4x1x2，通径为AB=y2-y1.抛物线是另一种常见的曲线形式，其方程可以表示为y^2=2px或x^2=2py，其中p为正实数。

抛物线的焦点是其轨迹上与一定直线距离相等的点，而准线是该直线。

抛物线关于x轴对称，焦点在对称轴上，离心率为1，顶点到准线的距离等于焦点到准线的距离。

§8.6双曲线1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)概念方法微思考1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？ 提示 离心率受到影响．∵e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，故当a >b >0时，1<e <2；当a ＝b >0时，e ＝2(亦称等轴双曲线)；当0<a <b 时，e > 2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 题组二 教材改编2．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，即bx ±ay＝0， ∴2a ＝bca 2＋b2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 3．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0. 4．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 答案 x 215－y 215＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a 2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)， 故所求方程为x 215－y 215＝1.题组三 易错自纠5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程x 23－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中错误的是( ) A ．若C 为椭圆，则1<t <3 B ．若C 为双曲线，则t >3或t <1 C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则1<t <2 答案 AD解析 若t >3，则方程可变形为y 2t －1－x 2t －3＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；若t <1，则方程可变形为x 23－t －y 21－t ＝1，它表示焦点在x 轴上的双曲线；若2<t <3，则0<3－t <t －1，故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；若1<t <2，则0<t －1<3－t ，故方程x 23－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；若t ＝2，方程x 23－t ＋y 2t －1＝1即为x 2＋y 2＝1，它表示圆，综上，选AD.6．已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为__________________． 答案 x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1解析 由题意知a ＝4，e ＝ca ＝2，∴c ＝8，∴b 2＝c 2－a 2＝64－16＝48.∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1或y 216－x 248＝1.7．P 是双曲线x 216－y 281＝1上任意一点，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，且|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________. 答案 17解析 由题意知a ＝4，b ＝9， c ＝a 2＋b 2＝97，由于|PF 1|＝9<a ＋c ＝4＋97，故点P 只能在左支上， ∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， ∴|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.双曲线的定义例1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 答案x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______．答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.本例(2)中，“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积为________． 答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x 2－y 24＝1的左焦点F 1作一条直线l 交双曲线左支于P ，Q 两点，若|PQ |＝4，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是________． 答案 12解析 由题意，得|PF 2|－|PF 1|＝2，|QF 2|－|QF 1|＝2. ∵|PF 1|＋|QF 1|＝|PQ |＝4， ∴|PF 2|＋|QF 2|－4＝4， ∴|PF 2|＋|QF 2|＝8.∴△PF 2Q 的周长是|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ |＝8＋4＝12.(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义得 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.双曲线的标准方程1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y ＝±22x ，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 22＝1 B.x 24－y 28＝1或y 24－x 28＝1 C.x 24－y 28＝1 D.x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1 答案 D解析 设双曲线方程为x 22m －y 2m ＝1(m ≠0)，又2a ＝4，∴a 2＝4， 当m >0时，2m ＝4，m ＝2； 当m <0时，－m ＝4，m ＝－4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1或y 24－x 28＝1.2．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 4．经过点P (－3,27)和点Q (－62，－7)的双曲线方程为________． 答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125，∴双曲线方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意 ①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx 2＋ny 2＝1(mn ≠0)，其中当m >0，n >0，且m ≠n 时表示椭圆；当mn <0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论． ②常见双曲线设法(i)已知a ＝b 的双曲线可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0)； (ii)已知过两点的双曲线可设为Ax 2－By 2＝1(AB >0)；(iii)已知渐近线为x m ±y n ＝0的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．双曲线的几何性质命题点1 渐近线例2 (1)已知双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m >0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 由已知，取顶点⎝⎛⎭⎫0，13，渐近线3y －mx ＝0，则顶点到渐近线的距离为132＋m 2＝15，解得m ＝4.(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是____________． 答案 y ＝±2x 解析 因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b2＝1，得b ＝2，所以该双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 命题点2 离心率例3 (1)(2019·浙江)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝ca＝ 2.(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝13，则C 的离心率为( ) A.52 B.62 C.72D ．2 答案 B解析 ∵a >b >0，∴渐近线y ＝ba x 的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝13.∴cos 2α2＝23，sin 2α2＝13，tan 2α2＝12，∴b 2a 2＝12，∴c 2－a 2a 2＝12， ∴e 2＝32，∴e ＝62.(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( ) A ．2sin 40° B ．2cos 40° C.1sin 50° D.1cos 50°答案 D解析 由题意可得－ba ＝tan 130°，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋tan 2130°＝1＋sin 2130°cos 2130° ＝1|cos 130°|＝1cos 50°.(4)(2019·全国Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 如图，由题意知，以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c24，①将x 2＋y 2＝a 2，② ①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的相交弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ |＝2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2. 由|PQ |＝|OF |，得2a 2－⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝c ， 整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2，故选A. 思维升华 求双曲线的离心率 (1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2直接求e .②列出含有a ，b ，c 的等式(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)焦点在x 轴上的双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝ba ＝c 2－a 2a ＝c 2a 2－1＝e 2－1.跟踪训练2 (1)(2019·汉中模拟)若双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的焦点到渐近线的距离是4，则m 的值是( )A ．2 B. 2 C ．1 D ．4 答案 D 解析 双曲线x 2－y 2m 2＝1(m >0)的焦点设为(c ,0)， 当双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1时，渐近线方程设为bx －ay ＝0，可得焦点到渐近线的距离 d ＝|bc |b 2＋a 2＝b ， 故由题意可得b ＝m ＝4.(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，则其离心率的取值范围是( ) A.()1，5 B.⎝⎛⎭⎫1，52 C.()5，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ 答案 C解析 已知点(1,2)是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，得1a 2－4b 2＝1，即b 2a 2＝b 2＋4， 所以e ＝ca＝1＋b 2a2＝b 2＋5>5，所以e > 5. (3)(2019·天津)已知抛物线y 2＝4x的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .将x ＝－1代入y ＝±b a x ，得y ＝±b a ，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a .由|AB |＝4|OF |可得2ba ＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5.1．(2020·衡水质检)对于实数m ，“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线，则(m －1)(m －2)<0，得1<m <2，则“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件．2．(2019·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a 等于( )A. 6 B ．4 C ．2 D.12答案 D解析 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1. ∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2. 结合a >0，解得a ＝12.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0 C.3x ±y ＝0D ．2x ±y ＝0答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又∵离心率e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ， 即3x ±y ＝0.故选C.4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0<a <2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.263 C. 3 D ．2答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2a x ，由两条渐近线夹角为π3，0<a <2，可知其中一条渐近线的倾斜角为π3，∴2a ＝3，∴a ＝63，c ＝a 2＋b 2＝263， ∴e ＝ca ＝26363＝2.5．(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为( ) A.32 B.52 C.72 D.92 答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎨⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S △＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝b a x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1 答案 AD解析 在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0， 所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1， 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1， 则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1. 综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD.8．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( ) A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1 D ．△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析 等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确； 由双曲线的方程可知|F 1F 2|＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误； 点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上， 不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 由题意知ba ＝1，∴e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|－|PF 2|＝3，则双曲线C 的焦距为________． 答案 3 5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±ba x ，一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，可得ba ＝2，即b ＝2a ，由双曲线的定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3， 可得a ＝32，b ＝3，即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352， 即焦距为2c ＝3 5.11.如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析 设F 1F 2＝2c ，连接AF 1，∵△F 2AB 是等边三角形，且F 1F 2是⊙O 的直径， ∴∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c ，2a ＝3c －c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2)，使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析 设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0，i ＝1,2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c 2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2， 故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，ca≥2，即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程都为y ＝±1a x (a >0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a >0，t >0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a 2＝λ(a >0，λ>0)， 所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ，e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1，所以e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)．15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE→＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52B.52C.1＋32D. 5答案 A解析 ∵|OF |＝c ，|OE |＝a ，OE ⊥EF ， ∴|EF |＝c 2－a 2＝b ， ∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，|OP |＝|OF |＝c ，|PF |＝2b ， 设F ′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为△PFF ′的中位线，则|PF ′|＝2|OE |＝2a ，可设P 的坐标为(m ，n )， 则有n 2＝4cm ，由抛物线的定义可得|PF ′|＝m ＋c ＝2a ， m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又|OP |＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )， 化简可得，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 由于e >1，解得e ＝5＋12. 16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________． 答案 (－2,26)解析 如图，由双曲线C 的方程可知a 2＝1，b 2＝8，∴c 2＝a 2＋b 2＝1＋8＝9， ∴c ＝3，∴左焦点E (－3,0)， 右焦点F (3,0)，∵|AF|＝32＋(66)2＝15，∴当△APF的周长最小时，|P A|＋|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，∴|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|P A|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，∴点P的坐标为(－2,26)．。

椭圆、双曲线、抛物线复习课（共四课时）教学基本流程:教学目标：1、复习巩固对椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质的理解.2、指导学生应用椭圆、双曲线、抛物线的定义与几何性质解决相关的问题.3、指导学生综合应用圆锥曲线的有关性质解决综合题.4、培养学生观察分析和解决问题的能力.重点与难点：1、圆锥曲线的两种定义的理解.2、圆锥曲线的几何性质的理解.3、圆锥曲线的几何性质的应用.教学准备：课件：幻灯片.教学过程:一、定义：(提问复习))2|||(|,.|)|(,:.1212121aPFPFFFFF=+距焦两个焦点间的距离叫做两个定点叫做焦点的点的轨迹叫做椭圆大于的距离的和等于常数平面内到两个定点椭圆).2||||(||,.|)|(,:.2212121aPFPFFFFF=-叫做焦距两焦点间的距离这两个定点叫做焦点的点的轨迹叫做双曲线小于于常数的距离的差的绝对值等平面上到两个定点双曲线.,,:.3叫做准线直线叫做焦点点叫做抛物线的距离相等的点的轨迹和一条定直线平面内到一个定点抛物线lFlF4.椭圆、双曲线的第二定义：平面内到一个定点和一条定直线的距离的比等于常数e,(当0<e<1时为椭圆,当e>1时为双曲线,当e=1时为抛物线)5.要求学生讨论椭圆、双曲线、抛物线各有什么特征,其定义性质各有什么异同.6.要求学生弄清椭圆,双曲线,抛物线的有关参数的意义.(例1至例3通过典例复习椭圆的有关性质与应用).,2525.122焦点和顶点的坐标的长轴和短轴的长求椭圆例=+y xac b a x y 2.62125,1,5,125:22长轴椭圆的标准方程为解∴=-===∴=+).0,1(),5,0(),62,0(,22.102±±±==顶点焦点短轴F b a若且为两焦点为椭圆上一点轴上已知椭圆的焦点在例,,,,,.22121PF PF F F P x ⊥,126和到两准线的距离分别为点P 解:如图,设椭圆的方程为,2,12222c b ya x 焦距为=+由椭圆的定义得,,12||,6||2121PF PF acPF a c PF ⊥== .45.414436,,)2(||||||22222222212221==⋅+⋅==+∴a c ac a c c F F PF PF 由此得即得.12045.20.5,2126222222=+=-==∴⨯=+y x c a b c c a 所求椭圆的方程为又要点: 理解椭圆的定义、性质、理解系数e c b a ,,,，准线，焦距之间的关系.例3. 设点P 是椭圆)(12222b a by a x >=+上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2求证:21PF F ∆的面积是2b 。

高考数学总复习 椭圆、双曲线、抛物线单元测试题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5 (2) 若焦点在x轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )Ａ Ｂ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞- D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716B 17174C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D 332(8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3 (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ， 若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补. (Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题:1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y py y y y x x k k OBOA 则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得 则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]： 因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

专题六解析几何
第二讲椭圆、双曲线、抛物线
1．椭圆的定义．
平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件．
(1)到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a.
(2)2a＞|F1F2|.
1．双曲线的定义．
平面内动点的轨迹是双曲线必须满足的两个条件：(1)到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.
(2)2a＜|F1F2|.
3.等轴双曲线． 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x 2－y 2
＝λ(λ≠0)，离心率e
y ＝±x ．
1．抛物线的定义．
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
若二元方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，或曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，则必须满足以下两个条件：
1．曲线上点的坐标都是二元方程f (x ，y )＝0的解(纯粹性)．
2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点(完备性)．
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“³”)．
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(³)
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．(√)
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(√)
(4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距相同．(√) (5)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(³)。

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业专题14 椭圆、双曲线、抛物线（学）学一学------基础知识结论1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质X围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2学一学------方法规律技巧1．一点提醒 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|．2．两个防X 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率越大，椭圆就越扁；离心率越小，椭圆就越圆；二是注意椭圆方程的焦点位置是在x 轴上还是y 轴上，当a ＞b ＞0时，方程x2a2＋y2b2＝1的焦点在x 轴上；当b ＞a ＞0时，方程x2a2＋y2b2＝1的焦点在y 轴上.3．双曲线的定义平面内动点P 与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a ＜2c)，则点P 的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距． 4．双曲线的标准方程和几何性质学一学------方法规律技巧1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F1F2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支．2．二个防X 一是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，而双曲线y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ⎝⎛⎭⎫即x ＝±b a y ，应注意其区别与联系； 二是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．5．抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．6．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px (p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离续表性质顶点O(0,0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0F⎝⎛⎭⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎫0，p2F⎝⎛⎭⎫0，－p2离心率e＝1准线方程x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下学一学------方法规律技巧1．一点提醒抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．2．两个防X 一是求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程； 二是求抛物线的焦点坐标时，首先要把抛物线方程化为标准方程.例1 (1)设F1，F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F1P 的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．5(2)求过点(3，－5)，且与椭圆y225＋x29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．例2. (1)(2013·某某卷)设F1，F2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C 的离心率为________．(2)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )． A ．3x±4y ＝0 B ．3x±5y ＝0 C ．4x±3y ＝0 D ．5x ＋4y ＝0例3. (2014·某某一模)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3。

椭圆、双曲线、抛物线复习学案（知识点+题组练习+测试）椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案一、知识点总结： 1、三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。

动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。

椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离_____等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以_______为焦点的椭圆。

注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为________。

若0?2a?F1F2时，点P的轨迹________。

双曲线：在平面内到两个定点F1，F2距离___________等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以________为焦点的双曲线．注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为_______________。

若2a?F1F2时，点P的轨迹________。

若2a?0时，点P的轨迹是_________________．另外，定义中的_________必不可少.抛物线：平面内到定点F与到定直线l距离_______的点的轨迹。

（其中F?l）注意：若F?l，则P点的轨迹为______________________________。

2、三种圆锥曲线的标准方程：x2y2椭圆：2?2?1(a?b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?b?0)，焦点在y轴上． a2b2（谁的_______________，焦点就在谁的轴上。

）x2y2双曲线：2?2?1(a?0，b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?0，b?0),焦点在y轴上． a2b2(谁的______________，焦点就在谁的轴上。

)抛物线：y?2px,y??2px,（其中p?0），焦点在x轴上；22x2?2py,x2??2py, （其中p?0），焦点在y轴上。

椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案考点一：圆锥曲线标准方程1.以22412x y -＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________________2.与双曲线22221x y -=有公共焦点,离心率互为倒数的椭圆方程为__________________3.方程22135x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________________ 方程22123x y m m+=+-表示双曲线，则m 的取值范围是________________ 4.经过点M (3,－2),N (－23,1)的椭圆的标准方程是 .5.与双曲线22153x y -=有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为__________________ 6.过点(2,4)P -的抛物线的标准方程为7.已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则抛物线方程为_________考点二：圆锥曲线定义在解题中的运用1.椭圆221625400x y +=的焦点为12F F ，，直线AB 过1F ，则2ABF ∆的周长为 过双曲线221169x y -=左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为 2.动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点3.椭圆221259x y +=上的一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，则ON 等于4.设椭圆12622=+y x 和双曲线1322=-y x 的公共焦点为21,F F ，P 是两曲线的一个公共点，则cos 21PF F ∠的值等于（ ）A.41； B.31； C.91 ； D.53 5.P 为双曲线22221x y a b -=上一点,1F 为一个焦点,以1PF 为直径的圆与圆222a y x =+的位置关系为 ( ) A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 无公共点或相交考点三：椭圆双曲线三量之关系1.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 2.若抛物线2y mx =的焦点与椭圆22126x y +=的上焦点重合，则m = 3.椭圆22214x y m +=与双曲线22212x y m -=有相同的焦点,则m 等于____________4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，2c 为焦距，10,a b c +==，则椭圆方程为 5.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是（ ）A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关考点四：椭圆双曲线的离心率1.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为________2.若椭圆22189x y k +=+的离心率e =21，则k 的值等于 . 3.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1.F 2F ，12120F MF ∠=︒，则双曲线的离心率为4.双曲线2214x y k+=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围为5.2的两段，则离心率为_________6.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点为1.F 2F ，PQ 是经过1.F 且垂直于x 轴的弦．若290PF Q ∠=，则双曲线的离心率为_________7．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，若直线2y x =与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为 .8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A.( 1,2) B.(1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)9.设F 1(－c , 0), F 2(c , 0)是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的两个焦点，P 是以|F 1F 2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率为（ ）A. 316 B. 23 C. 22 D. 32考点五：焦点三角形1.设21,F F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F , 则21F PF ∆的面积为 点P 的坐标是2.椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 考点六：动点轨迹问题1.已知圆22:(1)25C x y ++=，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与CQ 的交点为M ，求点M 的轨迹方程2.已知圆22:(4)100A x y ++=，圆内一定点(4,0)B ，动圆圆P 过点B 且与圆A 相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程3.已知动圆C 和定圆()221:41C x y +-=外切而和定圆()222:49C x y ++=外切，求动圆圆心C 的轨迹方程4.点(,)M x y 与定点(1,0)F 的距离比它到y 轴的距离大1, 则动点M 的轨迹方程为5.ABC ∆中，12,BC AB AC =和边上中线和为30，求ABC ∆重心G 的轨迹方程6.P 在以21,F F 为焦点的椭圆14322=+y x 上运动, 则21F PF ∆重心G 的轨迹方程是7. 已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；考点七：圆锥曲线中的最值问题1.椭圆221169x y +=上点到直线70x y --=的最大，最小距离分别为（ ）A ．B ． D 2.已知P 为抛物线22y x =上的点,当P 到直线4y x =+距离最短时点P 的坐标是（ ） A.(0,0) B.1(1,)2 C.1(,1)2 D.11(,)223.抛物线22x y =上与(0,2)M 距离最近的点的坐标为4.已知P 为椭圆192522=+y x 上任一点，F 为椭圆的左焦点，(2,1)A 为椭圆内一点，则||||PA PF +的最大值为 5.已知点P 是抛物线24y x =上的动点，焦点为F ，点A 的坐标是(6,3)A ，则||||PA PF +的最小值是 考点八：直线与圆锥曲线位置关系1. 过点(0, 2)与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有 条2.过点(0,2)A 可作 条直线与双曲线2214y x -=有且只有一个公共点，过点(1,0)B 可作 条 3.直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于不同两点,则k 的取值范围是4.过双曲线02222=--y x 的右焦点作直线l 交曲线于,A B 两点,若4=AB 则这样的直线有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条 5．若直线1+=kx y （R k ∈）与焦点在x 轴上的椭圆2217x y a+=总有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10≤<a B ．70<<a C ．71<≤a D ．71≤<a6.设直线:220l x y ++=与椭圆2214y x +=的交点为,A B ，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）A.1 B.2 C.3D.4考点九：直线与圆锥曲线相交弦长 1.已知斜率为1的直线过椭圆的2214x y +=右焦点交椭圆于,A B ，则AB = 2.已知抛物线22(0)y px p =>的过焦点的弦为AB ，5AB =，3A B x x +=，则p =3.若倾角为4π的直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线相交于M 、N 两点，则MN 长为 考点十：联立方程消元利用韦达定理 1.过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于,P Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为,p q 则qp 11+等于 ( ) A. a 2 B.a 21 C. a 4 D. a 42.已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =，若椭圆与直线10x y ++=交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥(O 为坐标原点)，求椭圆的方程.考点十一：点差法1.点(8,1)P 平分双曲线2244x y -=的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______2.在抛物线216y x =内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________ 3.过椭圆22194x y +=内一点(2,0)M 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 4.过点(2,0)M -的直线l 与椭圆1222=+y x 交于12,P P ，线段12P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k （01≠k ），直线OP 的斜率为2k ，则12k k ⋅的值为5.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，弦AB 的中点C 与椭圆中心的连线OC 的斜率为2（1）求n m的值；（2）若AB =，求椭圆方程。

1．双曲线222x y -=的焦距为（ ）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（ ）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（ ） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （ ） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线 的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（ ） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（ ）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-， 、()20， ，并且过点(233， ，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==， 双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2． 【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8． 【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得： 令，得到 故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0， 则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。

“椭圆、双曲线、抛物线”双基过关检测一、选择题1．以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P（1，m)到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（)A．y＝4x2B．y＝8x2C．y2＝4x D．y2＝8x解析：选D 设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋错误!＝3，即p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x。

2．(2017·济南第一中学检测）抛物线y＝4x2的焦点坐标是（)A.错误!B．（1,0)C.错误!D．（0，1)解析：选C 抛物线的标准方程为x2＝错误!y，则p＝错误!，所以焦点坐标是错误!。

3．(2017·贵州七校联考）已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是( ）A．4 B．－1 4C。

14D．－4解析:选B 由双曲线的方程知a＝1，b＝错误!,又b＝2a，所以错误!＝2，解得m＝－错误!,故选B。

4．已知椭圆错误!＋错误!＝1(m＞0)的左焦点为F1（－4,0）,则m＝（）A．2 B．3C．4 D．9解析：选B 由左焦点为F1（－4,0）知c＝4.又a＝5,∴25－m2＝16，解得m＝3或－3。

又m＞0，故m＝3。

5．(2016·甘肃张掖一诊）过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1），Q（x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则｜PQ｜＝( ) A．9 B．8C．7 D．6解析:选B 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF｜＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8。

故选B。

6．已知椭圆C:错误!＋错误!＝1（a>b>0）的左、右焦点为F1，F2，离心率为错误!,过F2的直线l交C于A，B两点,若△AF1B的周长为4错误!，则C的方程为（)A。

错误!＋错误!＝1 B.错误!＋y2＝1C。

错误!＋错误!＝1 D。

错误!＋错误!＝1解析：选A 由椭圆的性质知｜AF1|＋|AF2|＝2a，｜BF1|＋|BF2|＝2a，又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋｜AF2|＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4错误!,∴a＝3。

专题五：解析几何第二讲 椭圆、双曲线、抛物线（含轨迹问题）【最新考纲透析】 1．圆锥曲线（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质。

（4）了解圆锥曲线的简单应用。

（5）理解数形结合的思想。

2．曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

【核心要点突破】要点考向1：圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程考情聚焦：1．圆锥曲线的定义、几何性质及标准方程是每年必考内容，虽然大纲降低了对双曲线的要求，但在选择题中仍然考查双曲线。

2．可单独考查，也可与向量、数列、不等式等其他知识结合起来考查。

3．既可以以小题的形式考查（属中、低档题），也可以以解答题形式考查（属于中、高档题）。

考向链接：1．已知圆锥曲线上一点及焦点，首先要考虑使用圆锥曲线的定义求解。

2．求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法。

3．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定的等量关系，然后把b 用a 、c 代换，求的值。

4．在双曲线中由于，故双曲线的渐近线与离心率密切相关。

例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆E 经过点()2,3A ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上，离心率12e =。

(1)求椭圆E 的方程； (2)求12F AF ∠的角平分线所在直线l 的方程；(3)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力．【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线l 的斜率或直线l 上的一个点的坐标，进而求得直线l 的方程；（3）先假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。