11精品-勾股定理综合性难题及答案

CBA D EF1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5AB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处〔折痕为AE 〕．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，那么EB 的长是〔 〕． A ．3 B ．4 C D ．5BCAFEDCBAB ’C ’B ′A ′C ′DC D 6．：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，假设21：：=BE AE ，那么折痕EF 的长为 。

9、如图，：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，那么EB ∶CE ＝_________．10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，假设BC ＝2，那么BC´＝_________．E题5图FBC ′ BA CD A C11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 等于〔 〕A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？13、如图，在△ABC 中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

勾股定理题目初二难题
勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，它的应用广泛且具有实用性。

下面我向大家提出一道初二难度的勾股定理题目，希望能够展示一下大家的数学能力。

题目：
小明正在建造一个长方形花坛，他想要确定花坛两侧边的长度，以确保它是一个正方形。

他已经测量了花坛两条对角线的长度，分别为12米和16米。

请问，花坛两侧边的长度各是多少米？
解题思路：
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

在这个问题中，我们可以将花坛的两条对角线看作是直角三角形的两条直角边，而花坛两侧边则是斜边。

设花坛两侧边的长度分别为x米和y米。

根据勾股定理，我们可以得到以下两个方程：
x + y = 12 (方程1)
x + y = 16 (方程2)
我们可以使用这两个方程来求解x和y的值。

首先，我们可以将方程1和方程2相减，得到：
16 - 12 = x + y - (x + y)
简化后得到：
256 - 144 = 0
这个方程显然是错误的，说明我们的假设存在问题。

实际上，无法通过已知的对角线长度来确定花坛两侧边的具体长度，因为对角线长度并不能唯一地确定一个长方形。

所以，这个问题的答案是无解。

当我们只知道一个长方形的对角线长度时，无法准确地确定其两侧边的长度。

总结：
这道题目通过勾股定理展示了对角线长度不足以唯一确定长方形的两侧边长度。

勾股定理的应用需要考虑到问题的具体条件，避免出现错误的假设。

在实际问题中，我们经常会遇到需要使用勾股定理来解决的情况，因此加深对勾股定理的理解和运用是非常重要的。

勾股定理练习题及答案问题一：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答一：根据勾股定理，斜边的平方等于两条直角边的平方和。

设斜边的长度为c，则有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25取平方根得到c = 5cm。

所以，斜边的长度为5cm。

问题二：已知直角三角形的斜边长度为10cm，一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答二：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 6^2 = 10^2a^2 + 36 = 100a^2 = 100 - 36a^2 = 64取平方根得到a = 8cm。

所以，另一条直角边的长度为8cm。

问题三：已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，另一条直角边的长度为12cm，求斜边的长度。

解答三：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 5^2 + 12^2c^2 = 25 + 144c^2 = 169取平方根得到c = 13cm。

所以，斜边的长度为13cm。

问题四：已知直角三角形的斜边长度为15cm，一条直角边的长度为9cm，求另一条直角边的长度。

解答四：设另一条直角边的长度为a。

根据勾股定理，可得：a^2 + 9^2 = 15^2a^2 + 81 = 225a^2 = 225 - 81a^2 = 144取平方根得到a = 12cm。

所以，另一条直角边的长度为12cm。

问题五：已知直角三角形的一条直角边的长度为7cm，另一条直角边的长度为24cm，求斜边的长度。

解答五：设斜边的长度为c。

根据勾股定理，可得：c^2 = 7^2 + 24^2c^2 = 49 + 576c^2 = 625取平方根得到c = 25cm。

所以，斜边的长度为25cm。

以上是五道勾股定理练习题及答案的解答过程。

通过这些练习题，我们可以加深对勾股定理的理解，熟练掌握如何在已知条件下求解三角形的边长。

勾股定理在几何学和实际应用中都有广泛的应用，是数学中的重要概念之一。

精品-勾股定理综合性难题及答案1.在三角形ABC中，角ACB为直角，以三角形的三条边为直径画出半圆。

阴影部分的面积等于三角形ABC的面积。

2.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则该三角形的周长为d+S+2d=2d+S+2d。

因此选项C为正确答案。

3.在直角三角形ABC中，角BAC为直角，AC=AB，角DAE=45度，BD=3，CE=4.求DE的长度。

4.在直角三角形ABC中，角C=90度，AC=4，BC=3.在三角形ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。

要求画出两种不同的拼接方法，并标明拼接的直角三角形的三边长。

5.在直角三角形ABC中，角C=90度，点O为三条角平分线的交点，OD垂直于BC，OE垂直于AC，OF垂直于AB，且BC=8cm，CA=6cm。

求点O到三边AB、AC和BC的距离。

6.在三角形ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点。

则有AB-AP^2=PB×PC。

7.在一棵树的高度为B处有两只猴子，一只猴子从B爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只猴子从B爬到树顶D后直接跃到A处。

如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高10米。

8.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45度角，作业时调整为60度角。

则梯子的顶端沿墙面升高了2m。

9.在直角三角形ABC中，角C=90度，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE垂直于DF。

则有AE^2+BF^2=EF^2.10.在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE=4.则有AF垂直于FE。

11.已知△ABC中，a^2+b^2+c^2=10a+24b+26c-338.需要进一步计算才能判定△XXX的形状。

12.已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4，需要判断三角形的形状。

13.如图，一个长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm。

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 23．为了计算方便，要熟记几组勾股数： ①3、4、5；②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17； ⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是： （1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。

③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫⎝⎛K 是一组勾股数。

④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段5a分析一：5a ＝25a ＝224a a + ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

精心整理精心整理 1如图：圆柱的高为10cm ，底面半径为2cm.在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2如图：长方体的高为3cm ，底面是边长为2cm 的正方形.现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米?3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图：小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ，当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处，折痕为AE ，想一想，此时EC 有多长？5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 点重合，则EB 的长是（）A 。

3B 。

4C 。

√5D 。

56、已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ，求AC 的长。

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为。

8、如图，在矩形ABCD 中，AB=6，将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C ’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF 的长为。

9、如图，已知，点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ：CE 是多少？10、如图，AD 是△ABC 的中线，角ADC=45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ’的位置，若BC=2，则BC ’=_________。

′。

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CB AD E F1、已知，如图：在平面直角坐标系中,O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A(10，0）、C （0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为 ____________．2.如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片 宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？• 3、如图,EF 为正方形ABCD 的对角线,将∠A 沿DK 折叠，使它的顶点A 落在EF 上的G 点,则∠DKG=_______．4、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的高是( ）厘米A 、2×(）10B 、2×（）9C 、2×（）10D 、2×（）95。

在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8,则△ABC 的面积为_____________．6。

如图，直线l 上有三个正方形a ，b,c ，若a ，c 的面积分别为5和11,则b 的面积为___________。

7.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于多少?8.如图Rt△ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为多少？9、如图所示,在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点,然后再沿北偏22212323西30°方向走了500m到达目的地C点。

典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1）題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2）解題思器；可利用勾脸定理直接求出各边长，再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中，Af=l, AE=2,根据勾股定理，得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=（鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专：*1.勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实，同样是S6"不一罡就等于餌，疋不一罡就昱斜辺，KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形）到懺 y =沖十沪）的过程，而直角三角形的判定是一①从嗦（一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件）到偲个三角形是直角三角形）的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性，遊免漏辭.初例玉如圏，有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于（、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析，本题着查勾股定理的应用刎：）解龜思路；車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的，因为貝知遒一条边卫0的长，由题意可知，AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2＞黄泱，则在Rt A ABO中，由勾股定理可得^=^（^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl）2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。

1如图：圆柱的高为１0 cm，底面半径为 2 ｃｍ.在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与Ａ点相对的B点处,需要爬行的最短路程是多少?2如图：长方体的高为 3 cm,底面是边长为２cｍ的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米?的正方体纸箱的Ｂ’点沿纸箱爬到D点，那么它所行３、一只蚂蚁从棱长为1的最短路线的长是___＿____＿____。

4、如图：小红用一张长方形纸片ABＣＤ进行折纸,已知该纸片宽ＡB为8ｃ为10cm,当小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处,折痕ｍ，长ＢC为A想一想,此时EC有多长?Ｅ,５、如图:将一个边长分别为４、8的长方形纸片AB ＣD 折叠，使点C 与A 点重合,则E Ｂ的长是( )A 。

3B 。

４C 。

√５D 。

5ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ６、已知：如图，在△ABC 中,∠Ｃ=90°,∠Ｂ=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D,垂足为E ，B Ｄ=４ｃm,求ＡC 的长。

７、如图,有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=８，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠,使其落在斜边 ＡＢ 上,且与 AE 重合，则 CD 的长为。

8、如图，在矩形ABC Ｄ中,ＡB=6，将矩形AB ＣD 折叠，使点 B 与点 Ｄ 重合,C 落在Ｃ’处，若A Ｅ：BE=1：2，则折痕EF 的长为。

9、如图,已知,点 E 是正方形 ABC Ｄ 的 ＢC 边上的点,现将△ DCE 沿折痕 DE 向上翻折,使 ＤＣ 落在对角线DB 上，则 ＥB ：C Ｅ是多少?１0、如图,ＡD是△ ABＣ的中线,角ＡＤC=45o，把△ＡDＣ沿ＡD 对折，点 C 落在C’的位置,若ＢC＝2,则 BC’=____＿＿___。

′。

CBA D EF1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）． A ．3 B ．4 C 5 D ．5BCAFEDCBAB ’C ’B ′A ′C ′DC A B E D6．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，BD=4cm ．求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。

9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．E题5图FBC ′ BA CD A C11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）cm cm cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？13、如图，在△ABC 中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ，点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。

第一章勾股定理（难度题）1、如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的(B)A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上C．北偏东55°的方向上D．无法确定2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．【解】∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．3、（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺．【解】如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．4、如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）A、25B、23C、25+2D、23+25、如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG=_______．6、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________7、如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=，AD AE =，AB AC =．给出下列结论：①BD CE =；②45ABD ECB ∠+∠=；③BD CE ⊥；④22222BE AD AB CD =+（）﹣．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A 作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（C）A．B．C．D．【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，∴BD==5，∵AE⊥BD，∴△ABD的面积=AB•AD=BD•AE，∴AE==，∴BE==，由翻折变换的性质得：EF=BE=，∴DF=BD﹣BE﹣EF=5﹣﹣=．故选：C．9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=135°．其中正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2 【解】：由题意可求得DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2）2=x2+42，解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，∴②正确；∵GC=GF，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴③正确；∵S△EGC=GC•CE=×3×4=6，S△AFE=AF•EF=×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE，∴④正确；在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED=540°﹣90°﹣90°﹣90°=270°，即2∠AGB+2∠AED=270°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴⑤正确；∴正确的有五个，故选：A．10、如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________. 解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，则AM=DN，BM=CN∵∠PMA=∠PMB=90°， ∴PA 2-PM 2=AM 2，PB 2-PM 2=BM 2.∴PA 2-PB 2=AM 2-BM 2.同理，PD 2-PC 2=DN 2-CN 2.∴PA 2-PB 2=PD 2-PC 2.又PA=1，PB=5，PC=7， ∴PD 2=PA 2-PB 2＋PC 2=12-52＋72，PD=511、如图, 已知正方形ABCD 的边长为2,△ BPC 是等边三角形,则PD 的长是( D )A ．347- B ．32- C ．23- D ．348-12、如图，在△ABC 中，AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，点B 是CD 延长线上一点，连接AB .若AB ＝20，求△ABD 的面积．【解】：在△ADC 中，∵AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，∴AC 2＋DC 2＝122＋92＝152＝AD 2，∴△ADC 是直角三角形．在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∵AB ＝20，∴BC ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝16－9＝7，∴S △ABD ＝12BD ×AC ＝12×7×12＝42.13、如图，∠xoy =60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2，它到oy 的距离MB 为11，求OM 的长。

勾股定理难题精选勾股定理一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）A 、6厘米B 、8厘米 C、厘米 D 、厘米2、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为( )A. 48 cm 2B. 36 cm 2C. 24 cm 2D.12 cm 23、Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）A 、121B 、120C 、132D 、不能确定解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边由勾股定理知：，即：112＋b 2 = c 2所以（b+c ）（c －b ）=121因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。

又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。

所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。

4、如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1013801360222a b c +=5、△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或3310、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 、450a 元B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元11．已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm2B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm212．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里8、直角三角形的一条直角边长为12，另外两条边长均为自然数，则其周长可以为（ ）A ．36B ．28C ．56D ．不能确定9、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）A ．底与边不相等的等腰三角形B 、等边三角形C 、钝角三角形D 、直角三角形10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么的值为（ ）．A ．13 B ．19 C ．25 D ．169二、填空题15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

勾股定理复习1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d （C ）2d （D ）d2．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。

3.△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22b a +与2c 的关系，并证明你的结论.4．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？课堂练习：1、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是（ ）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm2 如图，已知：，，于P. 求证：.3 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米（卡车宽度一半）在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。

勾股定理难题作为中学数学中常见的工具定理之一，勾股定理在几何分析和数学证明中都发挥了重要的作用。

然而，虽然该定理简单易懂，但也存在一些难题需要深入思考和探究。

难题一：勾股定理证明勾股定理是一个重要的几何定理，其基本内容在高中数学教学中被广泛的传授，它表达的是一个直角三角形斜边的平方等于两个直角边的平方之和。

但是，在实际应用问题中，我们对勾股定理的理解往往仅仅满足于表面层次，而对于定理的证明，我们往往感到十分困难。

在数学中，证明是一项非常重要的任务。

如果可以证明某个定理，那么可以证明这个定理是真实有效的。

在勾股定理的证明中，我们需要运用的基本知识有数学分析，三角函数，纯数学运算等，其中还包括几何知识和直观图像等。

难题二：勾股定理的正确应用除了勾股定理本身的证明难题，正确应用勾股定理也是一个难题。

由于勾股定理的广泛应用，我们应该了解何时应该使用它，以及如何正确应用该定理。

在实际问题中，如果错误地应用勾股定理，将会导致问题解决的错误结果。

以一个典型例子来说，如果我们需要求一个飞机飞行的航迹，经常会遇到需要求解三角形的三个角度以及长度的问题，此时勾股定理就能够发挥作用，但是，如果我们将三角形直接代入公式计算，而没有首先检查它是否确实是一个具有直角的三角形，就会发生计算错误。

这就需要我们在应用时要仔细思考，避免使用不恰当的的定理和方法。

难题三：勾股定理的综合运用勾股定理的应用不仅仅局限于计算直角三角形的三个边长和三个角度等问题，还可以应用到平面分析、建筑设计和机械制造等范畴中。

在实际的工作中，我们需要将勾股定理与其他的工程和技术原理相结合使用，以便更好地解决问题。

例如，在建筑设计中，我们需要计算一个建筑物的倾斜角度，就需要有一定的勾股定理知识，以便能够应用该定理进行计算。

此外，还有汽车设计与制造、航空工程、电子科技等领域均需要使用勾股定理。

勾股定理虽然看似简单，但在实际运用中却有着诸多的难题。

我们希望大家能够在学习中注重探究定理的原理，深刻理解其本质；在实际应用中，注重思考，确保定理的正确应用，以达到最优的解决问题的效果。

勾股定理综合应用（习题）例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，AD =12，CD =13，求四边形ABCD的面积．解：如图，连接AC ，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，由勾股定理，得AB 2+BC 2=AC 2，∴32+42=AC 2．∴AC =5．在△ACD 中，AC =5，AD =12，CD =13，∵52+122=132，∴AC 2+AD 2=CD 2．∴△ACD 是直角三角形，且∠CAD =90°．112211125342224ACD ABCABCD S S S AD AC AB BC =-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=△△四边形∴．巩固练习1.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cm．A．35B．40C．50D．452.男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里踩高跷的人，两人约定一比高低．戴维直立肩高1m，他投飞盘很有力，但需要在13m内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地13m，他的鼻子是他唯一的弱点．戴维要通过击中对方的鼻子获胜，需离戈里的最远距离为（）A．7m B．8m C．6m D．5m3.11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标．则这条鱼出现的地方与较高的棕榈树之间的距离为__________．4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则这条小巷的宽度为__________．5.如图，有两只猴子在一棵树CD上高5m的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树10m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高有多少米？6.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，2017年第21号台风“兰恩”的中心从A点以速度为20千米/小时，沿AB方向移动，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B 的距离分别为AC=300km，BC=400km，又已知AB=500km，请问海港C受台风影响吗？若受到影响，台风影响该海港的时间有多长？若不会受到影响，请说明理由．7.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离为____________．8.如图，△ABC中，AB=15，BC=13，过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，若BD=12，则CE=_________．9.在Rt△ABC中，a，b为直角边，c为斜边．若a+b=21，c=15，则△ABC的面积是（）A．25B．54C．63D．无法确定10.如图，一块四边形菜地ABCD，已知∠B=90°，AB=9m，BC=12m，AD=8m，CD=17m．求这块菜地的面积．11.据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处．你能说说其中的道理吗？思考小结1.观察图中的3个图案，设△ABC的三边长分别为a，b，c，请根据三角形的形状，猜测a2，b2，c2满足的条件．（1）如果△ABC是直角三角形，则a2+b2______c2；（2）如果△ABC是锐角三角形，则a2+b2______c2；（3）如果△ABC是钝角三角形，则a2+b2______c2．【参考答案】巩固练习1.D2.D3.20肘尺4. 2.2m5.树高7.5米6.会受到影响；时间长为7小时7.36 58.5659.B10.这块菜地的面积为114m211.此三角形是直角三角形，理由略 思考小结1.（1）=（2）>（3）<。