北师大版初中数学九年级上册《第四章 图形的相似 7 相似三角形的性质》 公开课教案_1

LECTURE 1 相似三角形的性质与断定PART 1 成比例线段一、比例的性质〔以下比例关系均在其有意义的前提下成立〕1. 比例的根本性质：a=c⇔ad =bc b d2. 等比定理：a=c=⋯=m(b +d +⋯+n ≠ 0) ⇔a +c +⋯+m=a b d n二、成比例线段概念b +d +⋯+n b1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比。

2．成比例线段：假如线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a，b，c，a d 叫做成比例线段，记作b =c或a：b＝c：d．d3．比例中项：假设a=b，那么称b 是a，c 的比例中项.b c 4．黄金分割点：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC〔AC＞BC〕。

假设AC=BC，那么AB AC称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，即AC = 5 -1AB2注意：线段的黄金分割点有两个.三、平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段的比相等如图，假设AB//CD//EF，那么AC=BD,CE=DF,AC=BD,CE=DF. CE DF AC BD AE BF AE BF2. 推论平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段称比例。

如图，当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“A〞字型，“8〞字型，那么有BC // EF ⇔ AE=AF,AE=AF,BE=CF.EB FC AB FC AB AC例题精讲例题 1-1〔1〕假如 4x =5y 〔 y ≠ 0 〕，那么以下比例式成立的是〔 〕A. x =yB. x =5C.x =4D. x =y〔2〕3 4 5x + y + za c e 例题 1-2 = =b d f 3 3a - 2c + e= .那么 = . 5 3b - 2d + f a + b - c a - b + c - a + b + c例题 1-3= = = k .那么 k = .c b a例 1-4〔1〕以下四组线段中，不是成比例线段的是〔 〕A.a =3，b =6，c =2，d =4B.a =1，b = 2 ，c = 6 ，d = 2 3C.a =4，b =6，c =5，d =10D.a =2，b = 5 ，c = 2 3 ，d = 15 〔2〕线段 a =4，b =8，那么线段 a ，b 的比例中项为〔 〕A. ± 32 B.32 C. ± 4 2 D. 4 2〔3〕假设线段 AB=2，且点 C 是 AB 的黄金分割点，那么 BC 等于〔 〕A. 5 - 1B. 3 - 55 - 1C. 2D. 5 - 1 或 3 - 5例题 1-5 〔1〕解方程 x 2 + 3x + 2x 2- 3x + 2 2 x 2+ 3x + 1 2 x 2 - 3x + 1〔2〕解方程 3x 2 + 4 x - 13x 2- 4 x - 1 x 2+ 4 x + 1 x 2- 4 x + 1知识模型1 相似三角形根底和经典模型知识梳理相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角相似三角形的性质：例如剖析〔1〕相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

7 第1课时 相似三角形中特殊线段的性质知识点 对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为34，则△ABC 与△DEF 对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B ′E ′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD 和A ′D ′是它们的对应角平分线，已知AD ＝8 cm ，A ′D ′＝3 cm ，则△ABC 与△A ′B ′C ′的对应高的比为________．4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD 和B ′D ′是它们的对应中线，已知AC A ′C ′＝32，B ′D ′＝4，则BD 的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40 mm ，焦距是60 mm ，求所拍摄的2 m 外景物的宽CD .图4－7－26．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，则△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m 处种了一排树，每隔2 m 一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m 处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m ．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．[2016·安顺] 如图4－7－4，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上，若AD⊥BC，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，则EH 的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA ＝CD ，BC ＝20 cm ，BC ，EF 平行于地面AD 且到地面AD 的距离分别为40 cm ，8 cm ，为使板凳两腿底端A ，D 之间的距离为50 cm ，那么横梁EF 应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M.(1)求证：AM AD ＝HG BC ；(2)求矩形EFGH 的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m 的A 处发现敌人的一座建筑物DE ，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE 的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，∴AD A ′D ′＝BE B ′E ′.∵AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，∴43＝6B ′E ′，解得B ′E ′＝92. 3.834.6 5．解：由题意，可知△ABE ∽△DCE ， ∴0.04CD ＝0.062，解得CD ＝43. 答：所拍摄的2 m 外景物的宽CD 为43m.6．C [解析] 设△ABC ，△A ′B ′C ′，△A ″B ″C ″的一组对应边的长分别为x ，y ，z .∵△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为13，△A ′B ′C ′∽△A ″B ″C ″且相似比为43，∴x y ＝13，y z ＝43，即x ＝y 3，z ＝3y 4， ∴x z ＝49，即△ABC 与△A ″B ″C ″的相似比为49.故选C. 7．6 8．329．解：如图，过点C 作CM ∥BA ，分别交EF ，AD 于点N ，M ，过点C 作CP ⊥AD ，分别交EF ，AD 于点Q ，P .由题意，得四边形ABCM 是平行四边形， ∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm ，∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm)． 由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm ， ∴CQ ＝32 cm.∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD ，∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240， 解得NF ＝24(cm)．∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm)． 答：横梁EF 应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH 为矩形，∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC . ∵AD ⊥BC ，EF ∥GH ，∴AM ⊥HG ， ∴AM AD ＝HG BC；(证法二)∵四边形EFGH 为矩形， ∴EF ∥GH ，∴△AHG ∽△ABC ，△AHM ∽△ABD ， ∴HG BC ＝AH AB ，AM AD ＝AH AB ，∴AM AD ＝HGBC.(2)由(1)得AM AD ＝HGBC.设HE ＝x cm ，则HG ＝2x cm ， ∵AD ⊥BC ，∴DM ＝HE ，∴AM ＝AD －DM ＝AD －HE ＝(30－x )cm.可得30－x 30＝2x 40，解得x ＝12，2x ＝24.故矩形EFGH 的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，并延长交DE 于点F .∵BC ∥DE ，∴AF ⊥DE ，∠D ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AFAG，∴DE ＝AF ·BC AG ＝200×0.080.4＝40(m)． 答：敌方建筑物DE 的高度为40 m.12．解：由AB ＝1.5 m ，S △ABC ＝1.5 m 2，得BC ＝2 m. 在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m. ∵DE ∥AB ，∴Rt △CDE ∽Rt △CBA ， ∴CD CB ＝DE BA，即2－x 2＝x 1.5，解得x ＝67； 如图，在题图②中，过点B 作BH ⊥AC ，交AC 于点H ，交DE 于点P .AC ＝AB 2＋BC 2＝ 1.52＋22＝2.5(m)， BH ＝AB ·BC AC ＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE ∥AC ， ∴△BDE ∽△BAC ， ∴DE AC ＝BP BH ，即y2.5＝1.2－y 1.2，解得y ＝3037. ∵67＝3035>3037，即x >y ， ∴x 2>y 2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A ＝40°，∠B ＝60°， ∴∠ACB ＝80°，∴△ABC 不是等腰三角形． ∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝12∠ACB ＝40°，∴∠ACD ＝∠A ＝40°， ∴△ACD 是等腰三角形．∵∠BCD ＝∠A ＝40°，∠CBD ＝∠ABC ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴CD 是△ABC 的完美分割线． (2)由题意得△BCD ∽△BAC ， ∴BC BA ＝BD BC.∵AC ＝AD ＝2，BC ＝2， 设BD ＝x ，则AB ＝x ＋2，∴2x ＋2＝x 2， 解得x ＝－1±3， ∵x ＞0，∴BD ＝x ＝3－1. ∵△BCD ∽△BAC ，∴CD AC ＝BDBC. ∵AC ＝2，BC ＝2，BD ＝3－1，∴CD ＝BD ·AC BC ＝3－12×2＝6－ 2.。