新(浙江专用)高考数学二轮专题突破 专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 理

高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线专题强化练理A 级 基础通关一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：由e ＝c a ＝12，则a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4b 2. 答案：B2．(2019·天一联考)设双曲线C ：x 28－y 2m＝1的左右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与双曲线C 交于M ，N 两点，其中M 在左支上，点N 在右支上，若∠F 2MN ＝∠F 2NM ，则|MN |＝( )A ．8B ．4C ．8 2D ．4 2解析：由∠F 2MN ＝∠F 2NM ，知|F 2M |＝|F 2N |， 又|MF 2|－|MF 1|＝42，|NF 1|－|NF 2|＝4 2. 两式相加，得|NF 1|－|MF 1|＝82， 故|MN |＝|NF 1|－|MF 1|＝8 2. 答案：C3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67解析：如图所示，在△AFB 中，|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB ||BF | cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36，所以|AF |＝6，∠BFA ＝90°，设F ′为椭圆的右焦点，连接BF ′，AF ′. 根据对称性可得四边形AFBF ′是矩形．所以|BF ′|＝6，|FF ′|＝10，所以2a ＝8＋6，2c ＝10，解得a ＝7，c ＝5，所以e ＝c a ＝57.答案：B4．(2019·长郡中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若点F 2关于双曲线渐近线的对称点A 满足∠F 1AO ＝∠AOF 1(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±2xC ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：设F 2A 与渐近线y ＝b ax 交于点M ，且O ，M 分别为F 1F 2、F 2A 的中点， 故OM ∥F 1A ，则F 1A ⊥F 2A ，OA ＝OF 1＝c .又∠F 1AO ＝∠AOF 1，所以△F 1OA 为正三角形， 所以∠MOF 2＝π3，故双曲线的渐近线为y ＝±3x . 答案：A5．(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D. 5解析：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设PQ 与OF 交于点M ，连接OP ，如图所示． 则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2，由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故c a＝2，离心率e ＝ 2. 答案：A 二、填空题6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：因为双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)经过点(3，4)，则9－16b2＝1(b ＞0)，解得b ＝2，即双曲线方程为x 2－y 22＝1，因此双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . 答案：y ＝±2x7．(2019·珠海调研)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F ，且与直线l 相切，则抛物线的方程为________．解析：由已知圆心在OF 的中垂线上，故圆心到准线的距离为34p ，所以34p ＝3，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x8．(2019·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：设F 1为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以F 1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上．因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y 220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15.又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15)． 答案：(3，15) 三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差． (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得0<m <32，故k <－12.(2)解：由题意得F (1，0)．设P (x 3，y 3)，则 (x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P (1，－32)，|FP →|＝32，于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3（1－x 214）＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .②将m ＝34代入①得k ＝－1，所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ， 得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2. 由点B 在椭圆上，得94a2＋b 24b2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.答案：B12．(2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意2b ＝4，得b ＝2. 又e ＝c a ＝55，且a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解之得a ＝5，c ＝1. 所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x2＋20kx ＝0，可得x P ＝－20k4＋5k2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k24＋5k2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.。

《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第一部分专题五第二讲 椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)专题针对训练一、选择题1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y －2＝0，则a 的值是( ) A.18 B ．－18 C ．8 D ．－8解析：选B.将抛物线的方程化为标准形式x 2＝1a y ，其准线方程是y ＝－14a ＝2，得a ＝－18. 2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B.椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A 、C.又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，故选B.3．(2011年高考辽宁卷)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54 D.74解析：选C.∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.4．(2011年湖南湘西联考)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A ，B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20解析：选B.由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ，|BF 2|－|BF 1|＝2m ， 所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m .又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20，即4＋4m ＋4＝20. 所以m ＝9.5．(2011年高考山东卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：选A.∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b 2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.二、填空题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．解析：设右焦点为F (4,0)．把x ＝3代入双曲线方程得y ＝±15，即M (3，±15)． 由两点间距离公式得|MF |＝－2＋15－2＝4. 答案：47．线段AB 的长度为10，它的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点P 的轨迹方程是__________．解析：设A 、B 的坐标分别为(a,0)、(0，b )，∵|AB |＝10，∴a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2＝100.设P 的坐标为(x ，y )，由中点公式，得x ＝a 2，y ＝b2，∴a ＝2x ，b ＝2y .把a ＝2x ，b ＝2y 代入a 2＋b 2＝100，整理得x 2＋y 2＝25.即P 点的轨迹方程是x 2＋y 2＝25.答案：x 2＋y 2＝258．已知抛物线y 2＝－2px (p >0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为__________．解析：由题意F (－p2，0)，设椭圆的右焦点为M ，椭圆与抛物线的一个交点为A ，则|AF |＝p ，|FM |＝p ，∴|AM |＝2p .∴椭圆长半轴长a ＝|AF |＋|AM |2＝2＋12p ，椭圆的半焦距c ＝p 2.∴椭圆的离心率e ＝c a ＝12＋1＝2－1.答案：2－1三、解答题9．已知，抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， ∴p ＝2c .设抛物线方程为y 2＝4c ·x ，∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1. 又a 2＋b 2＝c 2＝1， ∴94a 2－61－a2＝1， ∴a 2＝14或a 2＝9(舍)．∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.10．(2011年高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c 2＋b 2＝2c . 整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2， 直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且与椭圆x 2＋y 22＝1有相同的离心率，斜率为k 的直线l 经过点M (0,1)，与椭圆C 交于不同的两点A 、B .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时，求k 的取值范围． 解：(1)∵椭圆C 的焦距为4，∴c ＝2.又∵椭圆x 2＋y 22＝1的离心率为22，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b ＝2，∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 28＋y24＝1消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k2.由(1)知椭圆C 的右焦点F 的坐标为(2,0)，∵右焦点F 在圆的内部，∴AF →·BF →<0， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2<0.即x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1<0.∴(1＋k 2)x 1x 2＋(k －2)(x 1＋x 2)＋5＝(1＋k 2)·－61＋2k 2＋(k －2)·－4k 1＋2k 2＋5＝8k －11＋2k2<0.∴k <18.经检验，当k <18时，直线l 与椭圆C 相交，∴直线l 的斜率k 的取值范围为(－∞，18)．。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆双曲线 抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A.m －1m ＋1 B.mm ＋1C.m －1mD .2mm ＋1(2)椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．【解析】 (1)设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N .在三角形ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α， 由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |， 根据抛物线的定义得：|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |， 所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在直角三角形ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.(2)设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.(3)通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2，0)，所以线段FP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n ＝152，所以k PF ＝152－0－32－（－2）＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1.在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2，因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53 (3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 22＋y 2＝1 解析：选D.设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.故选D.2．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．解析：因为右焦点到渐近线的距离为b ，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍， 所以b ＝34·2c ＝32c ， 平方得b 2＝34c 2＝c 2－a 2，即a 2＝14c 2，则c ＝2a ，则离心率e ＝c a＝2，因为双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4， 所以2a ＝4，则a ＝2， 从而b ＝16－4＝2 3. 答案：2 4 3圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2 (2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝ 2.故选C.(2)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.【答案】 (1)C (2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[对点训练]1．(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2＝60°，则此双曲线的离心率等于( )A ．23－2 B.3＋12C.3＋1D ．23＋2解析：选C.设双曲线的焦距长为2c ，因为点P 为双曲线上一点，且∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°， 所以P 在右支上，∠F 2PF 1＝90°， 即PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2c sin 60°＝3c ， |PF 2|＝2c cos 60°＝c ，所以由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， 所以e ＝c a＝23－1＝3＋1.故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ， 代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1， 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.直线与圆锥曲线 [核心提炼]1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. 考向1 位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．考向2 弦长问题[典型例题]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.【答案】 A考向3 分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P (2，53)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过M (0，1)，且与C 交于A ，B 两点，MA →＝－23MB →，求l 的方程．【解】 (1)依题意知，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（2＋2）2＋（53）2＋（2－2）2＋（53）2＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)当l 的斜率不存在时，l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，A ，B 为椭圆短轴上的两点，不符合题意．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝kx ＋1，得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－18k 9k 2＋5，x 1·x 2＝－369k 2＋5，由MA →＝－23MB →得，(x 1，y 1－1)＝－23(x 2，y 2－1)，则x 1＝－23x 2，所以13x 2＝－18k 9k 2＋5，－23x 22＝－369k 2＋5，所以(－54k 9k 2＋5)2＝549k 2＋5，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝±13x ＋1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2 PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：52．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 1专题强化训练1．(2018·高考浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2)解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.2．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB ＝－1，k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32， 由32<3，可得P 在椭圆内部， 则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l 有4条．故选C.3．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．(55，35) B ．(0，25) C ．(25，35) D ．(35，55) 解析：选 A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a >b2＋c ，b <b2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a －c ）2>14（a 2－c 2），a 2－c 2<2c⇒55<e <35.4．(2019·学军中学质检)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B.3＋22 C.3＋32D.332解析：选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12. 5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5 解析：选C.因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4，故选C.6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3 D ．2解析：选D.依题意，作图如图所示： 因为OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ， 所以△AMO 为等边三角形， 所以OA ＝OM ＝a ，在直角三角形OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C的离心率为( )A.213 B ．2 C.72D ．3 解析：选A.由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A. 8.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.因为点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，所以 |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.9．(2019·温州高考模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝8|OF |(O 为坐标原点)，则|AF ||BF |＝________．解析：由题意，|AF |＝4p ，设|BF |＝x ，由抛物线的定义，可得p －x 4p －x ＝x x ＋4p ，解得x ＝47p ，所以|AF ||BF |＝7，故答案为7.答案：710．(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →，λμ＝425(λ，μ∈R )，则双曲线的离心率e 的值是________．解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，右焦点为F (c ，0)，则点A ，B ，P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OA →，OB →，OP →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又OP →＝λOA →＋μOB →，则⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1b a＝λc a －μc a ，又λμ＝425，解得λ＝45，μ＝15，所以b a ＝4c 5a －c 5a ⇒e 2－1＝35e ⇒e ＝54. 答案：5411.(2019·台州市高考一模)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．解析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则DF ＝p ＝2，由抛物线的定义可知FB ＝BB 1，AF ＝AA 1，因为FC →＝4FB →，所以DF BB 1＝FC BC ＝43，所以FB ＝BB 1＝32.所以FC ＝4FB ＝6，所以cos ∠DFC ＝DF FC ＝13，所以cos ∠A 1AC ＝AA 1AC ＝AF AF ＋6＝13，解得AF ＝3， 所以AB ＝AF ＋BF ＝3＋32＝92.答案：9212．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)左焦点F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，C 是双曲线右支上一点，且A ，C 在x 轴的异侧，若满足|OA |＝|OF 1|＝|OC |，|CF 1|＝2|BF 1|，则双曲线的离心率为________．解析：取双曲线的右焦点F 2，连接CF 2，延长交双曲线于D ，连接AF 2，DF 1， 由|OA |＝|OF 1|＝|OC |＝|OF 2|＝c ， 可得四边形F 1AF 2C 为矩形， 设|CF 1|＝2|BF 1|＝2m ， 由对称性可得|DF 2|＝m ， |AF 1|＝4c 2－4m 2， 即有|CF 2|＝4c 2－4m 2，由双曲线的定义可得2a ＝|CF 1|－|CF 2|＝2m －4c 2－4m 2，① 在直角三角形DCF 1中，|DC |＝m ＋4c 2－4m 2，|CF 1|＝2m ，|DF 1|＝2a ＋m ， 可得(2a ＋m )2＝(2m )2＋(m ＋4c 2－4m 2)2，② 由①②可得3m ＝4a ，即m ＝4a 3， 代入①可得，2a ＝8a3－4c 2－64a 29，化简可得c 2＝179a 2，即有e ＝c a ＝173. 故答案为173. 答案：17314．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ， 又O 为线段F 1F 的中点， 所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc， |OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：2215.(2019·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值．解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)， 可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ， 又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1， 解方程可得m ＝16，n ＝13，即有椭圆方程为x 26＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0， 判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0， x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)·(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由PA ⊥PB ，即为PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，则b ＝13成立．故b 为13.16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以|PF |＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ′，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kb ′x ＋2(b ′2－1)＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2（b ′2－1）2k 2＋1>0，①x 1＋x 2＝－4kb ′2k 2＋1>0，②Δ＝8（2k 2－b ′2＋1）>0，③由PF →·QF →＝0⇒(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0得：3b ′2－1＋4kb ′＝0，④点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb ′2k 2＋1，b ′2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 方程为：y －b ′2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb ′2k 2＋1， 令y ＝0可得：A ⎝⎛⎭⎪⎫－kb ′2k 2＋1，0；令x ＝0可得 B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ′2k 2＋1，则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2|AF ||AO |＝2（1－x A ）x A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1， 由④式得：k ＝1－3b ′24b ′，则x A ＝－kb ′2k 2＋1＝6b ′4－2b ′29b ′4＋2b ′2＋1， S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b ′4＋8b ′2＋26b ′4－2b ′2＝53，得b ′2＝3. 所以b ′＝3，k ＝－233或b ′＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为：y ＝233x －3，y ＝－233x ＋ 3.17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，|MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2. ①当MN 为斜边时， 10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0， 此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意．②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|， 所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0，解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.18．(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，4)到焦点F 的距离|MF |＝54x 0.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线Γ相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l ′与抛物线Γ相交于C ，D 两点，若AC →·AD →＝0，求直线l 的方程．解：(1)因为|MF |＝x 0＋p 2＝54x 0，所以x 0＝2p .即M (2p ，4)．把M (2p ，4)代入抛物线方程得4p 2＝16，解得p ＝2. 所以抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1），消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y 1＋y 2＝4k.设AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k ，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4（k 2＋1）k2. 所以直线l ′的方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k 2，即x ＝－ky ＋2k2＋3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝－ky ＋2k 2＋3， 消元得：y 2＋4ky －4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k2＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2.所以x 3＋x 4＝4k 4＋6k 2＋4k2， 所以CD 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4＋3k 2＋2k 2，－2k . 所以|CD |＝1＋k2（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝4（k 2＋1）k 2＋2|k |，|PQ |＝2（k 2＋1）k 2＋1|k |，因为AC →·AD →＝0，所以AC ⊥AD .所以|AQ |＝12|CD |.因为AB ⊥CD ，所以|AP |2＋|PQ |2＝|AQ |2， 即14|AB |2＋|PQ |2＝14|CD |2， 所以16（k 2＋1）2k 4＋16（k 2＋1）3k 2＝16（k 2＋1）2（k 2＋2）k2， 解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

考点 考 情椭 圆 1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象，有时也考查椭圆定义的应用，尤其要熟记椭圆中参数a ，b ，c 之间的内在联系及其几何意义．2.对于双曲线的考查主要有两种形式：一是求双曲线方程；二是通过方程研究双曲线的性质，如20XX 年新课标全国卷 Ⅰ T 4,20XX 年浙江T 9.3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦点等问题上，考查方程主要有两个方面，一是用定义或待定系数法求抛物线方程；二是利用抛物线方程研究几何性质，如20XX 年新课标全国卷 Ⅱ T 11.4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，如20XX 年天津T5.双 曲 线 抛 物 线圆锥曲线的综合问题1．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x .又离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .2．(2013·浙江高考)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析：选D 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)①，点A 的坐标为(x 0，y 0)．由题意得a 2＋b 2＝3＝c 2②，则|OA |＝c ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 20＋4y 20＝4，解得x 20＝83，y 20＝13，又点A 在双曲线上，代入①得，83b 2－13a 2＝a 2b 2③，联立②③解得a ＝2，所以e ＝c a ＝62.3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：选C 由已知得抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝⎛⎭⎫p 2，－2，AM ＝⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝⎛⎭⎫8p ，4.由|MF |＝5得，⎝⎛⎭⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8.4．(2013·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p＞0)的准线分别交于A, B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3， 则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2D ．3解析：选C 因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p2相交于A⎝⎛⎭⎫－p 2，32p，B⎝⎛⎭⎫－p2，－32p，所以△AOB的面积为12×p2×3p＝3，又p＞0，所以p＝2.1．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M 标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2＝2px(p＞0) 图像几何性质离心率e＝ca＝1－b2a2(0＜e＜1)e＝ca＝1＋b2a2(e＞1)e＝1 渐近线y＝±ba x设而不求，根据韦达定理，进行整体代入．即当直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|，而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2.3．抛物线的过焦点的弦长抛物线y2＝2px(p＞0)的过焦点F⎝⎛⎭⎫p2，0的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.同样可得抛物线y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py类似的性质．热点一圆锥曲线定义及标准方程[例1](1)(2013·广东高考)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于32，则C的方程是()A.x24－y25＝1 B.x24－y25＝1C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 (2)设F 1，F 2分别为双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，过F 1引圆x 2＋y 2＝9的切线F 1P 交双曲线的右支于点P ，T 为切点，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(3)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．[自主解答] (1)由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.(2)连接PF 2、OT ，则有|MO |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12(|PF 1|－6)，|MT |＝12|PF 1|－|F 1T |＝12|PF 1|－c 2－a 2＝12|PF 1|－4，于是有|MO |－|MT |＝⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－3－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－4＝1. (3)直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离．故本题可化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 1的距离之和最小．如图所示，距离之和的最小值为焦点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d m in ＝|4－0＋6|5＝2.[答案] (1)B (2)D (3)2互动探究本例(3)中把直线l 1换成点A (2,3)，如何求点P 到点A 和直线l 2的距离之和的最小值？ 解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线焦点F (1,0)的距离．故本题可以转化为在抛物线上找一个点P ，使得|P A |＋|PF |最小，即|AF |为所求，A (2,3)，F (1,0)，|AF |＝(2－1)2＋32＝10.答案：10 ——————————规律·总结——————————————————————圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．(1)定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45解析：选C 因为c 2＝2＋2＝4，所以c ＝2,2c ＝|F 1F 2|＝4，由题意可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，由余弦定理可知cos ∠F 1PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34. 2．已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点， 且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1热点二圆锥曲线的几何性质[例2] (1)(2013·山东高考)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433(2)(2013·福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[自主解答] (1)抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2,0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2求导，得y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得，y 0＝16p .由于点M 在直线x 2＋2yp ＝1上，所以36p ＋2p ×p 6＝1，解得p ＝43＝433. (2)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] (1)D (2)3－1——————————规律·总结——————————————————————两类离心率问题(1)椭圆的离心率：e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2，ba ＝ 1－e 2； (2)双曲线的离心率：e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba＝ e 2－1.3．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴ca＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5.连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|BF |＝|AF 1|＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：57热点三直线与圆锥曲线的位置关系[例3] (1)(2013·安徽高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．(2)(2013·东城模拟)已知抛物线y 2＝2px的焦点F 与双曲线x 27－y 29＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32[自主解答] (1)法一：设直线y ＝a 与y 轴交于点M ，抛物线y ＝x 2上要存在点C ，只要以|AB |为直径的圆与抛物线y ＝x 2有交点即可，也就是使|AM |≤|MO |，即a ≤a (a >0)，所以a ≥1.法二：易知a >0，设C (m ，m 2)，由已知可令A (a ，a )，B (－a ，a )，则AC ＝(m －a ，m 2－a )，BC ＝(m ＋a ，m 2－a )，因为AC ⊥BC ，所以m 2－a ＋m 4－2am 2＋a 2＝0，可得(m 2－a )(m 2＋1－a )＝0.因为由题易知m 2≠a ，所以m 2＝a －1≥0，故a ∈[1，＋∞)．(2)由题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA ′垂直于抛物线的准线，垂足为A ′，根据抛物线定义知|AA ′|＝|AF |，所以在△AA ′K 中，|AK |＝2|AA ′|，故∠KAA ′＝45°.此时不妨认为直线AK 的倾斜角为45°，则直线AK 的方程为y ＝x ＋4，代入抛物线方程y 2＝16x 中，得y 2＝16(y －4)，即y 2－16y ＋64＝0，解得y ＝8，点A 的坐标为(4,8)，故△AFK 的面积为12×8×8＝32.[答案] (1)[1，＋∞) (2)D——————————规律·总结——————————————————————求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时，一般不是求出这两个点的坐标，而是设出这两个点的坐标，根据直线方程和曲线方程联立后所得方程的根的情况，使用根与系数的关系进行整体代入，这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相交问题的最基本方法．5．已知点A (1,0)，椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点A 作直线交椭圆C 于P ，Q 两点，AP ＝2QA ，则直线PQ 的斜率为( )A.52B.252C ．±255D ．±52解析：选D 设点P ，Q 坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则AP ＝(x 1－1，y 1)，QA ＝(1－x 2，－y 2)．因为AP ＝2QA ，所以x 1－1＝2(1－x 2)，整理得x 1＋2x 2＝3 ①.设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x －1)，代入椭圆方程，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.于是x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3 ②，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3③.联立①②③，解得k ＝±52.6．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(2,2)，则直线l 的方程为________．解析：由已知得抛物线的方程为y 2＝4x .当直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y －2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程联立得y 2－4⎝⎛⎭⎪⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，又因为y 1＋y 22＝2，即2k ＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .答案：y ＝x。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).核心知识回顾1.圆锥曲线的定义式(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线方程)． 2．圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 ①在椭圆中：□01a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝c a＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：□02c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝c a＝1＋b 2a2. (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□03y ＝±b ax ；焦点坐标F 1□04(－c,0)，F 2□05(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为□06y ＝±a b x ，焦点坐标F 1□07(0，－c )，F 2□08(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p >0)的焦点坐标为□09⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2，0，准线方程为□10x ＝∓p 2； ②抛物线x 2＝±2py (p >0)的焦点坐标为□11⎝⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为□12y ＝∓p 2. 3．弦长问题 (1)弦长公式设直线斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)过抛物线焦点的弦长过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝□01x 1＋x 2＋p .热点考向探究考向1 圆锥曲线的定义和标准方程例1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且FN →＝3FM →，若OM ⊥FN ，则C 的离心率为( )A ．2 B.7 C ．3 D.10 答案 B解析 设双曲线的右焦点为F ′，取MN 的中点P ，连接F ′P ，F ′M ，F ′N ，如图所示，由FN →＝3FM →，可知|MF |＝|MP |＝|NP |.又O 为FF ′的中点，可知OM ∥PF ′.∵OM ⊥FN ，∴PF ′⊥FN .∴PF ′为线段MN 的垂直平分线．∴|NF ′|＝|MF ′|.设|MF |＝t ，由双曲线定义可知|NF ′|＝3t －2a ，|MF ′|＝2a ＋t ，则3t －2a ＝2a ＋t ，解得t ＝2a .在Rt △MF ′P 中，|PF ′|＝|MF ′|2－|MP |2＝16a 2－4a 2＝23a ，∴|OM |＝12|PF ′|＝3a .在Rt △MFO 中，|MF |2＋|OM |2＝|OF |2， ∴4a 2＋3a 2＝c 2⇒e ＝7.故选B.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3x C ．y 2＝92xD ．y 2＝9x 答案 B解析 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设准线与x 轴的交点为G ，|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°.在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a,2|AE |＝|AC |，∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1. ∵BD ∥FG ，∴1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x .(3)已知F 是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若|PF |＝2|QF |，且∠PFQ ＝120°，则椭圆E 的离心率为( )A.13B.12C.33D.22 答案 C解析 解法一：设F 1是椭圆E 的右焦点，如图，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，根据椭圆的定义，|PF |＋|PF 1|＝2a ，又|PF |＝2|QF |，所以|PF 1|＝23a ，|PF |＝43a ，而|F 1F |＝2c ，在△F 1PF 中，由余弦定理，得(2c )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2－2×23a ×43a ×cos60°，得c 2a 2＝13，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝33.故选C.解法二：设F 1是椭圆E 的右焦点，连接PF 1，QF 1.根据对称性，线段FF 1与线段PQ 在点O 处互相平分，所以四边形PFQF 1是平行四边形，|FQ |＝|PF 1|，∠FPF 1＝180°－∠PFQ ＝60°，又|FP |＝2|PF 1|，所以△FPF 1是直角三角形，∠FF 1P ＝90°，不妨设|PF 1|＝1，则|FP |＝2，|FF 1|＝2c ＝|PF |2－|PF 1|2＝22－12＝3，根据椭圆的定义，2a ＝|PF |＋|PF 1|＝1＋2＝3，所以椭圆E 的离心率e ＝ca ＝33.故选C.圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．(3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题．(4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．1．(2019·某某省八所重点中学高三联考)已知曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆，曲线C 2是以O 为顶点、F 2为焦点的抛物线，A 是曲线C 1与C 2的交点，且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52，则△AF 1F 2的面积是( )A. 3 B ．2 C. 6 D ．4答案 C解析 画出图形如图所示，AD ⊥F 1D ，根据抛物线的定义可知|AF 2|＝|AD |＝52，故cos ∠F 1AD ＝57，也即cos ∠AF 1F 2＝57，在△AF 1F 2中，由余弦定理得57＝494＋|F 1F 2|2－2542×72×|F 1F 2|，解得|F 1F 2|＝2或|F 1F 2|＝3，由于∠AF 2F 1为钝角，故|AD |>|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝3舍去，故|F 1F 2|＝2.而sin ∠AF 1F 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫572＝267，所以S △AF 1F 2＝12×72×2×267＝ 6.故选C.2．(2019·某某市高三第二次调研)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF 1交椭圆于点Q ，若PF 2⊥PQ ，且|PF 2|＝|PQ |，则椭圆的离心率为( )A.6－ 3B.2－1C.3－ 2 D ．2－ 2答案 A解析 PF 2⊥PQ 且|PF 2|＝|PQ |，可得△PQF 2为等腰直角三角形，设|PF 2|＝t ，则|QF 2|＝2t ，由椭圆的定义可得|PF 1|＝2a －t,2t ＋2t ＝4a ，则t ＝2()2－2a ，在直角三角形PF 1F 2中，可得t 2＋(2a －t )2＝4c 2,4(6－42)a 2＋(12－82)a 2＝4c 2，化为c 2＝(9－62)a 2，可得e ＝c a＝6－ 3.故选A.3．P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为( )A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1答案 D解析 如图所示，设双曲线右焦点为F 2，则|PF 1|＋|PQ |＝2a ＋|PF 2|＋|PQ |，即当|PQ |＋|PF 2|最小时，|PF 1|＋|PQ |取最小值，由图知当F 2，P ，Q 三点共线时|PQ |＋|PF 2|取得最小值，即F 2到直线l 的距离d ＝1，故所求最值为2a ＋1＝22＋1.故选D.考向2 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2019·某某市高三第二次调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO 交双曲线C 左支于点M ，直线PF 2交双曲线C 右支于点N ，若|PF 1|＝2|PF 2|，且∠MF 2N ＝60°，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x答案 A解析 由题意得，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由于P ，M 关于原点对称，F 1，F 2关于原点对称，∴线段PM ，F 1F 2互相平分，四边形PF 1MF 2为平行四边形，PF 1∥MF 2，∵∠MF 2N ＝60°，∴∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝16a 2＋4a 2－2·4a ·2a ·cos60°，∴c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a .∴b a＝2，∴双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.(2)已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ |＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．2C. 3D.52答案 A解析 设|QF 1|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|PQ |＝2x ，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|QF 2|－|QF 1|＝2a ，所以|PF 2|＝3x －2a ，|QF 2|＝x ＋2a ，在Rt △QPF 2中，|QP |2＋|PF 2|2＝|QF 2|2，即(2x )2＋(3x －2a )2＝(2a ＋x )2，可得x ＝43a .在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即(3x )2＋(3x －2a )2＝(2c )2，整理可得c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选A.1．椭圆、双曲线离心率(离心率X 围)的求解方法解决此类问题的关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的X 围等．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．③利用渐近线的斜率k 求离心率e ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的斜率k 与离心率e 之间满足关系式e 2＝1＋k 2.1．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，l 在y 轴上的截距为1，若|AF 1|＝2|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则此椭圆的短轴的长为( )A ．5B ．2 5C ．10 D. 5 答案 B解析 ∵AF 2⊥x 轴，l 在y 轴上的截距为1，∴A (c,2)，又|AF 1|＝2|F 1B |，∴B (－2c ，－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋4b 2＝1，4c 2a 2＋1b 2＝1，∴16b2－1b2＝3，即b 2＝5，∴b ＝5，故选B.2．(2019·毛坦厂中学高三联考)已知F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172 B.1＋174 C.2＋52 D.2＋54答案 A解析 由题意得，F (－c,0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－ba x ，将x ＝－c 代入y ＝－b ax 得y ＝bc a ，∴bc a ＝2a ，即bc ＝2a 2，∴4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，∴e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.考向3 直线与圆锥曲线 角度1 弦中点、弦分点问题例3 (1)已知椭圆E ：x 29＋y 24＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，则l 的方程为( )A ．2x ＋9y －10＝0B ．2x －9y －10＝0C ．2x ＋9y ＋10＝0D ．2x －9y ＋10＝0答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式作差并化简整理得y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 2＝2，所以y 2－y 1x 2－x 1＝－49×x 1＋x 2y 1＋y 2＝29，直线l 的方程为y －1＝29⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x －9y ＋10＝0.经验证可知符合题意．故选D.(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线C 的离心率的最小值为________．答案 2解析 因为过右焦点F 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故点A 在双曲线的左支上，B 在双曲线的右支上，如图所示．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，即3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，故e ≥2，所以双曲线C 的离心率的最小值为2.(1)弦中点问题：在涉及圆锥曲线弦中点的问题中，基本的处理方法有两个：一是设出弦的端点坐标，使用“点差法”；二是设出弦所在的直线方程，利用直线方程与圆锥曲线方程联立消元后的一元二次方程，根据根与系数的关系建立弦的端点坐标与中点坐标间的关系后解决问题．(2)弦分点问题：解决与弦分点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为弦端点及弦分点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355 D.52答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12,15)，则x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b2， 则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，所以4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32，所以双曲线C 的离心率为32.故选B. 2．(2019·某某市重点中学高三联考)已知抛物线C ：y 2＝6x ，直线l 过点P (2,2)，且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为( )A.13B.54C.32D.14 答案 C解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)代入C ：y 2＝6x ，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝6x 1， ①y 22＝6x 2， ②①－②得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．因为线段MN 的中点恰好为点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，从而4(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)，即l 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝32.故选C. 角度2 弦长问题例4 (2019·某某市高三第二次诊断)已知点M 到定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切，切点N 在第四象限，直线与曲线C 交于A ，B 两点，求证：△FAB 的周长为定值．解 (1)设M (x ，y )，由题意得(x －4)2＋y 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －254＝45，∴x 225＋y 29＝1为点M 的轨迹C 的方程．(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题知k >0，m <0，∵直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝9相切， ∴|m |k 2＋1＝3，即m 2＝9(k 2＋1)，把y ＝kx ＋m 代入x 225＋y 29＝1，得(25k 2＋9)x 2＋50kmx ＋25m 2－225＝0，显然Δ>0，x 1＋x 2＝－50km 25k 2＋9，x 1x 2＝25m 2－22525k 2＋9， ∴|AB |＝ k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－50km 25k 2＋92－4×25m 2－22525k 2＋9＝120k k 2＋125k 2＋9， |FA |＋|FB |＝5－45x 1＋5－45x 2＝10－45(x 1＋x 2)＝10＋40km 25k 2＋9＝10－120k k 2＋125k 2＋9， ∴|FA |＋|FB |＋|AB |＝10， ∴△FAB 的周长为定值10.有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB 与圆锥曲线有两个交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k 为弦AB 所在直线的斜率．(2019·某某省高三第一次统一检测)已知椭圆E 的中心在原点，左焦点F 1、右焦点F 2都在x 轴上，点M 是椭圆E 上的动点，△F 1MF 2的面积的最大值为3，在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(－1,0)的两直线l 1，l 2分别与椭圆E 交于点A ，B 和点C ，D ，且l 1⊥l 2，比较12(|AB |＋|CD |)与7|AB ||CD |的大小．解 (1)根据已知设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，c ＝a 2－b 2.在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 只有一个，∴在x 轴上方使MF 1→·MF 2→＝2成立的点M 是椭圆E 的短轴的端点． 当点M 是短轴的端点时，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝3，MF 1→·MF 2→＝b 2－c 2＝2，c ＝a 2－b 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.若直线AB 的斜率为0或不存在时，|AB |＝2a ＝4且|CD |＝2b2a＝3或|CD |＝2a ＝4且|AB |＝2b2a＝3.由12(|AB |＋|CD |)＝12×(3＋4)＝84，7|AB ||CD |＝7×3×4＝84，得12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |. 若AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB ：y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，于是|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝12(k 2＋1)4k 2＋3. 同理可得|CD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋3＝12(k 2＋1)3k 2＋4.∴1|AB |＋1|CD |＝3k 2＋4＋4k 2＋312(k 2＋1)＝712. ∴12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |. 综上，12(|AB |＋|CD |)＝7|AB ||CD |.真题押题『真题模拟』1．(2019·某某高考)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 D解析 由已知易得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线l ：x ＝－1，所以|OF |＝1.又双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±b ax ，不妨设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，b a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－b a，所以|AB |＝2b a＝4|OF |＝4，所以ba＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝4a 2.又双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝c a＝ 5.故选D.2．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 B解析 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝|BF 1|＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，∴点A 是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A (0，－b )，由F 2(1,0)，AF 2→＝2F 2B →，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b 2.由点B 在椭圆上，得94a 2＋b 24b 2＝1，得a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 D解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的焦点坐标为()±2p ，0.由题意得p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.故选D.4．(2019·某某市第一中学高三下学期模拟)已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A是椭圆短轴的一个端点，若F 为过AF 的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.13B.33C.12D.32 答案 B解析 延长AF 交椭圆于点B ，设椭圆左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′.根据题意|AF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝2|FB |，所以|FB |＝a 2.根据椭圆定义|BF ′|＋|BF |＝2a ， 所以|BF ′|＝3a2.在△AFF ′中，由余弦定理得cos ∠F ′AF ＝|F ′A |2＋|FA |2－|F ′F |22|F ′A |·|FA |＝2a 2－4c22a 2. 在△AF ′B 中，由余弦定理得cos ∠F ′AB ＝|F ′A |2＋|AB |2－|BF ′|22|F ′A |·|AB |＝13，所以2a 2－4c 22a 2＝13，解得a ＝3c ，所以椭圆离心率为e ＝c a ＝33.故选B. 5．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B.322C ．2 2D ．3 2答案 A解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝22x ，不妨设点P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以它的面积为12×6×32＝324.故选A. 『金版押题』6．已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则|PQ |＋|PF |取最大值时，点P 的坐标为________．答案 (0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，|PQ |＋|PF |＝|PQ |＋2a －|PE |＝|PQ |－|PE |＋2 2.当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，|PQ |＋|PF |取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1，QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF →＝FN →，则双曲线的离心率为________．答案233解析 设右焦点F (c,0)，渐近线OM ，ON 的方程分别为y ＝b a x ，y ＝－b ax .不失一般性，设过F 的垂线为x ＝－b ay ＋c .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x ＝－ba y ＋c得y N ＝－bca1－b 2a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x ＝－b ay ＋c得y M ＝bca1＋b 2a 2.因为2M F →＝FN →，所以－2y M ＝y N ，即－2bc a 1＋b 2a 2＝－bca 1－b 2a2，易解得b 2a 2＝13，所以e ＝ 1＋b 2a2＝ 1＋13＝233.配套作业一、选择题1．(2019·某某市高三第一次模拟)已知双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，若|OA |<2，则双曲线C 的离心率的取值X 围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫1，52C.⎝⎛⎭⎪⎫52，2 D ．(1，2)答案 C 解析 双曲线C ：x 2a 2＋1－y 2＝1(a >0)中，右顶点为A (a 2＋1，0)，∴|OA |＝a 2＋1<2，∴1<a 2＋1<4，∴1>1a 2＋1>14，∵c 2＝a 2＋1＋1＝a 2＋2，∴c ＝a 2＋2，∴e ＝a 2＋2a 2＋1＝a 2＋2a 2＋1＝1＋1a 2＋1， ∴1＋14<e <1＋1，即52<e < 2.故选C. 2．若圆锥曲线C ：x 2＋my 2＝1的离心率为2，则m ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－13 D.13答案 C解析 因为圆锥曲线C 的离心率为2，故为双曲线，所以m <0，方程为x 2－y 2－1m＝1，所以a 2＝1，b 2＝－1m ，c 2＝1－1m ，e ＝2，∴1－1m ＝4，∴m ＝－13.故选C.3．(2019·德阳市高三第二次诊断)已知抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，则抛物线的方程为( )A ．x 2＝－4yB ．x 2＝－8yC ．x 2＝2yD ．x 2＝－4y 或x 2＝4y答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，抛物线x 2＝2py (p ≠0)的准线为y ＝－p2，∵抛物线x2＝2py (p ≠0)的准线与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切，∴－p2＝2，解得p ＝－4.抛物线方程为x 2＝－8y .故选B.4．(2019·某某维吾尔族自治区普通高考第二次适应性检测)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，若在椭圆上存在一点P ，使得△PF 1F 2的内心I 与重心G 满足IG ∥F 1F 2，则椭圆的离心率为( )A.22 B.23 C.13 D.12答案 D解析 设P (x 0，y 0)，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则△PF 1F 2的重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 03，y 03.因为IG ∥F 1F 2，所以△PF 1F 2的内心I 的纵坐标为y 03.即△PF 1F 2的内切圆半径为|y 0|3.由△PF 1F 2的面积S ＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)r ，S ＝12|F 1F 2||y 0|及椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得12(2a ＋2c )|y 0|3＝12×2c |y 0|，解得e ＝12.故选D.5．过双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的左焦点的直线交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB |＝6，这样的直线可以作2条，则b 的取值X 围是( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(0，6]D ．(0，6)答案 D解析 因为双曲线过焦点的弦中与轴垂直的弦是最短的弦，且过一个焦点只能作一条，所以过左焦点的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，|AB |＝6，且可作两条，则要求2b2a<6，a＝2，即b 2<6，又b >0，故b 的取值X 围为(0，6)，故选D.6．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为26，则|AB |＝( )A ．24B ．8C ．12D ．16答案 A解析 由题意可知斜率k 存在，设直线斜率为k ，即y ＝k (x －1)，与y 2＝4x 联立，得k 2x2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.∵O 到AB 的距离d ＝|k |1＋k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k 2＋4k 2，∴26＝12·|k |1＋k2·4k 2＋4k 2，∴k 2＝15，∴|AB |＝45＋415＝24.故选A. 7．已知双曲线x 23－y 2＝1的右焦点是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线y ＝kx ＋m 与抛物线相交于A ，B 两个不同的点，点M (2,2)是AB 的中点，则△AOB (O 为坐标原点)的面积是( )A ．4 3B ．313 C.14 D ．2 3答案 D解析 ∵双曲线右焦点为(2,0)， ∴抛物线焦点为(2,0)，∴y 2＝8x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝8x 1， ①y 22＝8x 2， ②①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2. ∴直线AB 斜率为2，又过点M (2,2)，∴直线AB 方程为y ＝2x －2.将直线AB 方程与y 2＝8x 联立得x 2－4x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，∴|AB |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×16－4＝215.又∵O 到AB 的距离d ＝25＝255.∴S △AOB ＝12×215×255＝2 3.故选D. 8．(2019·南开中学高三第三次教学质量检测)如图，抛物线C 1：y 2＝4x ，圆C 2：(x －1)2＋y 2＝1，过C 1的焦点F 的直线从上至下依次交C 1，C 2于点A ，B ，C ，D .若|FD |＝|AB |，O 为坐标原点，则OF →·DA →＝( )A ．－2B ．1C ．4D ．2 3答案 B解析 由题可设A (a 2,2a )，D (d 2,2d )，其中a >0，d ＜0.又焦点F (1,0)，所以|FD |＝1＋d 2，|FA |＝1＋a 2，所以|AB |＝|FA |－|FB |＝a 2，由题得1＋d 2＝a 2，所以a 2－d 2＝1.所以OF →·DA →＝(1,0)·(a 2－d 2,2a －2d )＝a 2－d 2＝1，所以OF →·DA →＝1.故选B.二、填空题9．(2019·某某市长郡中学高三上学期第一次适应性考试)已知抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与y 轴交于点D ，过点F 作直线交抛物线E 于A ，B 两点，若AB ⊥AD 且|BF |＝|AF |＋4，则p 的值为________．答案 2解析 当k 不存在时，直线与抛物线不会交于两点．当k 存在时(如图)，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.则有x 21＝2py 1，x 22＝2py 2， 联立直线与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，整理得x 2－2pkx －p 2＝0，所以x 1x 2＝－p 2，x 1＋x 2＝2pk ，所以y 1y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫kx 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋p 2＝p 24，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，p2－y 1，AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－x 1，－p 2－y 1又AB ⊥AD ，所以－x 1(－x 1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2－y 1＝0，整理得x 21＋y 21＝p 24，即2py 1＋y 21＝p 24，解得y 1＝5－22p . 因为y 1y 2＝p 24，所以y 2＝5＋22p ， 又|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，代入|BF |＝|AF |＋4得，y 2＋p 2＝y 1＋p2＋4.解得p ＝2.10．已知椭圆x 216＋y 24＝1上的两点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，则弦AB 的中点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫2，12解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x 0，y 0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y224＝1，两式相减得2x 0(x 1－x 2)16＋2y 0(y 1－y 2)4＝0，因为点A ，B 关于直线2x －2y －3＝0对称，所以k AB＝y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 08－y 02＝0，即x 0＝4y 0.又点M (x 0，y 0)在直线2x －2y －3＝0上，所以x 0＝2，y 0＝12，即弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，12.三、解答题11．(2019·某某省高三第一次高考诊断)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆C 的方程；(2)与x 轴不垂直的直线l 经过N (0，2)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值X 围．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋14b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝32，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1整理可得(1＋4k 2)x 2＋82kx＋4＝0，Δ＝(82k )2－16(1＋4k 2)>0，解得k >12或k <－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又x 1＋x 2＝－82k 1＋4k 2，x 1·x 2＝41＋4k2，∴y 1y 2＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2，∵坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，∴OA →·OB →<0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝(1＋k 2)·41＋4k 2＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－82k 1＋4k 2＋2<0，解得k <－62或k >62. 故直线l 斜率的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－62∪⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞. 12．(2019·某某三校普通高等学校招生全国统一模拟考试)如图，已知抛物线L ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点M (5,0)的动直线l 与抛物线L 交于A ，B 两点，直线AF 交抛物线L 于另一点C ，|AC |的最小值为4.(1)求抛物线L 的方程；(2)记△ABC ，△AFM 的面积分别为S 1，S 2，求S 1·S 2的最小值． 解 (1)由已知及抛物线的几何性质可得|AC |min ＝2p ＝4， ∴p ＝2，∴抛物线L 的方程为y 2＝4x .(2)如图，设直线AB ：x ＝ty ＋5， 直线AC ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋5，y 2＝4x ，整理得y 2－4ty －20＝0，∴y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－20，同理可得y 1y 3＝－4，从而C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21，－4y 1，点C 到AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋4t y 1－51＋t2＝11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4， |AB |＝1＋t 2|y 1－y 2|＝1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1，∴S 1＝12·11＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪16y 21＋4·1＋t 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4y 21＋1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋20y 1＝2|y 1|·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21＋1(y 21＋20)．又S 2＝12×4×|y 1|＝2|y 1|，∴S 1·S 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 21＋1(y 21＋20)＝4⎝⎛⎭⎪⎫y 21＋80y 21＋24≥4×(85＋24)＝96＋32 5.当且仅当y 21＝45，即A (5，±245)时，S 1·S 2有最小值96＋32 5.13．(2019·某某省顶级名校高三联合质量测评)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆O 上运动，若△PAB 面积的最大值为23，椭圆O 的离心率为12.(1)求椭圆O 的标准方程；(2)过B 点作圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2(0<r <2)的两条切线，分别与椭圆O 交于两点C ，D (异于点B )，当r 变化时，直线CD 是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解 (1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △PAB 最大，此时S △PAB ＝12×2ab ＝ab ＝23，所以⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝23，c a ＝12，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆O 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点B (2,0)与圆E 相切的直线方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0， 因为直线与圆E ：x 2＋(y －2)2＝r 2相切， 所以d ＝|－2－2k |k 2＋1＝r ，即得(4－r 2)k 2＋8k ＋4－r 2＝0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 2＝1， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －2)，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 21)x 2－16k 21x ＋16k 21－12＝0，∴2x 1＝16k 21－123＋4k 21，即x 1＝8k 21－63＋4k 21，∴y 1＝－12k 13＋4k 21，同理x 2＝8k 22－63＋4k 22＝8－6k 214＋3k 21，y 2＝－12k 23＋4k 22＝－12k 14＋3k 21.∴k CD ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12k 14＋3k 21－－12k 13＋4k 218－6k 214＋3k 21－8k 21－63＋4k 21＝k 14(k 21＋1)， 所以直线CD 的方程为y ＋12k 13＋4k 21＝k 14(k 21＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8k 21－63＋4k 21.整理得y ＝k 14(k 21＋1)x －7k 12(k 21＋1)＝k 14(k 21＋1)(x －14)，所以直线CD 恒过定点(14,0)．14．(2019·日照市高三联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)上在第一象限内的点H (1，t )到焦点F 的距离为2.(1)若M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，过点M ，H 的直线与该抛物线相交于另一点N ，求|NF |的值； (2)设A ，B 是抛物线E 上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝94(其中O 为坐标原点)．①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点Q 的坐标；②过点Q 作AB 的垂线与该抛物线交于G ，D 两点，求四边形AGBD 面积的最小值． 解 (1)∵点H (1，t )在抛物线E 上，∴1＋p2＝2，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，所以当x ＝1时，t ＝2或t ＝－2(舍去)，∴直线MH 的方程为y ＝85x ＋25，联立y 2＝4x 可得，x N ＝116，|NF |＝x N ＋p 2＝1＋116＝1716.(2)①证明：设直线AB ：x ＝my ＋t ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2，联立抛物线方程可得y 2－4my－4t ＝0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，由OA →·OB →＝94得，(y 1y 2)216＋y 1y 2＝94，解得y 1y 2＝－18或y 1y 2＝2(舍去)，即－4t ＝－18，可得t ＝92，所以直线AB 过定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，0. ②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1|＝1＋m 2·16m 2＋72 同理得，|GD |＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 4－y 3|＝1＋1m2·72＋16m2.则四边形AGBD 的面积S ＝12|AB |·|GD |＝121＋m 2·16m 2＋72·1＋1m 2·72＋16m2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤85＋18⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝418μ2＋121μ＋170是关于μ在μ∈[2，＋∞)上的增函数，故当μ＝2时，S min ＝88.当且仅当m ＝±1时取到最小值88.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：70分钟)一、选择题1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12B.32C ．1 D. 3 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y＝0，故所求距离为|3±0|32＋±12＝32.选B. 答案 B2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1 ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a2＝12， ③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案 D3．(2015·某某卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )．A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2b a＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7.②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D4．已知双曲线C 与椭圆x 216＋y 212＝1有共同的焦点F 1，F 2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P 到右焦点F 2的距离为4，则PF 2的中点M 到坐标原点O 的距离等于( )．A ．3B ．4C ．2D ．1解析 由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c ＝16－12＝2，故椭圆的离心率e 1＝24＝12，则双曲线的离心率e 2＝1e 1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c ＝2.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a ＝c e 2＝22＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.因为点P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 2|＝4，所以|PF 1|＝6.因为坐标原点O 为F 1F 2的中点，M 为PF 2的中点． 所以|MO |＝12|PF 1|＝3.答案 A5．(2015·某某一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )．A.5＋12 B.2＋1 C.3＋1 D.2 2＋12解析 依题意，得F (p,0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p,2p )．又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c2c 2－a2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，∴e ＝2＋1. 答案 B6．(2014·某某卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )．A.43B.53C.94D ．3 解析 不妨设P 为双曲线右支上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ，又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝53，故选B. 答案 B7．(2015·某某卷)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )．A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1 解析 由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x Bx A，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |－1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A. 答案 A 二、填空题8．(2015·某某卷)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.解析 由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.答案 2 29．(2015·卷)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ， ∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33. 答案3310．(2015·某某卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析 不妨设F (c,0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案511．椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆T 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 解析 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c ＝3－1. 答案3－112．(2013·某某卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线l 的斜率等于________． 解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，y 2＝4x ，得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2＋2)＝4k，故x 0＝2－k 2k 2，y 0＝2k.由x 0－12＋y 0－02＝2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4. 所以k ＝±1. 答案 ±1 三、解答题13．(2015·某某卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝2＋22＋2－22＝23，即c ＝3，即c ＝3， 从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a ca 2－2b 2， y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b4c2.＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |， 知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝2－22＋2－12＝9－62＝6－ 3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)， 所以c ＝1.将点P (0,1)代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得1b2＝1，即b ＝1.所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理，得2k 2－m 2＋1＝0，①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m 消y ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0.∵直线l 与抛物线C 2相切， ∴Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理，得km ＝1，②联立①、②，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2，∴l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 15．(2015·某某卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝23k 2＋11＋k2|k |1＋2k2. 因为PC ＝2AB ，所以23k 2＋11＋k 2|k |1＋2k 2＝421＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2021·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．32．(2022·课标全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52C ．3D ．2 3．(2021·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．4．(2022·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特殊是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等热点一 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4，则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)(2021·杭州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点坐标为(2,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 26＝1 B.x 26－y 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.x 23－y 2＝1 思维升华 (1)精确 把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简洁几何性质，留意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)(2022·大纲全国)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)(2021·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－(b a )2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca ＝1＋(b a)2.2．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .留意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2021·杭州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是依据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1 D.⎣⎡⎭⎫33，1 (2)(2021·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)热点三 直线与圆锥曲线推断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，依据图象推断公共点个数． 例3 (2021·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 跟踪演练3(1)(2021·四川)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．23C ．6D ．43(2)(2021·浙江杭州二中月考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝11．已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上有两点A ，B ，若直线l 的方程为x ＋2y －2＝0，且AB ⊥l ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为( )A.14B.12C.22D.322．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．提示：完成作业 专题五 第2讲二轮专题强化练专题五第2讲 椭圆、双曲线、抛物线A 组 专题通关1．已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|＋|BF 2|的最大值为10，则m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D.32．(2021·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 3．(2021·课标全国Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D.24．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y5．(2022·课标全国Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.946．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________．7．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.8．(2021·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 9．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．10．(2021·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx＋12对称． (1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．B 组 力气提高11．(2022·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34D.4312．(2021·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是[－34c 2，－12c 2]，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)13．已知抛物线y 2＝4x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为________．14．已知椭圆C 的长轴左、右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°.同学用书答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验1．B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3， ∴|PF 2|－|PF 1|＝6， ∴|PF 2|＝9，故选B.]2．C [∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|， ∴|PQ ||PF |＝34. 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′， 设l 与x 轴的交点为A ， 则|AF |＝4，∴|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，∴|QQ ′|＝3，依据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.] 3.22解析 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bc x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc，|OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a ，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a .由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ＝y 0x 0－c，依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·bc＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc 2a 2，又∵(x 0，y 0)在椭圆上， ∴c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝ca ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 4．x 2＋32y 2＝1解析 设点B 的坐标为(x 0，y 0)． ∵x 2＋y 2b 2＝1， ∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，∴A (1－b 2，b 2)．∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)．∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y2b2＝1，得b 2＝23.∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.热点分类突破 例1 (1)C (2)C解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7， 所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又由于cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，故可知ba ＝3，又∵焦点坐标为(2,0)，∴c ＝a 2＋b 2＝2，解得a ＝1，b ＝ 3. ∴双曲线方程为x 2－y 23＝1.跟踪演练1 (1)A (2)D 解析 (1)由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3， 代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2， 故C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，②联立①②解得a 2＝4，b 2＝3， 所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.例2 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图， 易得直线BC 的斜率为ab ，cos ∠CF 1F 2＝bc，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2| 可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1| ＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x . 跟踪演练2 (1)D (2)A解析 (1)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y2， 当kQF 2存在时，则kF 1P ＝cya 2＋c 2， kQF 2＝cyb 2－2c 2，由kF 1P ·kQF 2＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0， 但留意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当kQF 2不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.(2)由题作出图象如图所示． 由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得 B ⎝⎛⎭⎫c ，b2a ， C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a (c －a )，∴k CD ＝a (a －c )b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a (a －c )，∴k BD ＝－a (a －c )b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a (a －c )b 2(x －c )，即y ＝－a (a －c )b 2x ＋ac (a －c )b 2＋b 2a，l CD ：y ＋b 2a＝a (a －c )b 2(x －c )， 即y ＝a (a －c )b 2x －ac (a －c )b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2(a －c ).∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2(a －c ).∴b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ，∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2， ∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.例3 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2， 又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 |AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而|PC |＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).由于|PC |＝2|AB |，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1. 跟踪演练3 (1)D (2)D 解析 (1)由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得： y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.高考押题精练1．C [由条件可知直线l 的斜率为－22，又AB ⊥l ，可知直线AB 的斜率为2，故a b ＝2，故a 2b 2＝2，由此可知a >b >0，则椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的焦距为2c ，则a 2a 2－c 2＝2，解得椭圆的离心率为c a ＝22.]2．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.由于椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ， 得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，明显Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)， 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.二轮专题强化练答案精析第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．A [已知椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)中，a 2＝9，b 2＝m .|AF 2|＋|BF 2|＝4a －|AB |≤10，∴|AB |≥2，|AB |min ＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3.]2．C [由于所求双曲线的右焦点为F 2(5,0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选C.]由双曲线的3．D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°， ∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e＝c a＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 4．D [∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝⎛⎭⎫0，p2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .] 5．D [由已知得焦点坐标为F (34，0)，因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)，即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝y A ＋y B2－4y A y B＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0，故x A ＋x B ＝212.依据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋－432＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94.]6．7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为 |PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 7.2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故答案为 2.8.32解析 由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a 2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ， ∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32. 9．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)， 由于c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3， 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM →＝2MB →，得x 1＝－2x 2，又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.10．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.由于直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )， 所以S (t )＝12|AB |·d＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 11．D [抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)，①由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.由于切点在第一象限， 所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为43.]12．B [设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1， 即m 2＝a 2(1＋n 2b 2)， 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 则PF 1→＝(－c －m ，－n )， PF 2→＝(c －m ，－n )，则PF 1→·PF 2→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2(1＋n 2b 2)－c 2＋n 2 ＝n 2(1＋a 2b2)＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)．则PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－c 2，由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2， 即12c ≤a ≤22c ， 则2≤e ≤2，故选B.] 13．2解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 由题意知，双曲线的左焦点坐标为(－1,0)， 即c ＝1，且A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a )，由于△AOB 的面积为32，所以12×2×b 2a ×1＝32，即b 2a ＝32， 所以，1－a 2a ＝32，解得a ＝12，∴e ＝c a ＝112＝2.14．(1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)， 由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .① 由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，又Q (－x 1，－y 1)，M (x 1,0)．由Q ，M ，N 三点共线，知k QM ＝k QN ， 所以y 12x 1＝y 2＋y 1x 2＋x 1.③又k PQ k PN ＋1＝y 1x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1.④把③代入④，得k PQ k PN ＋1＝2y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21.⑤由于点P ，N 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，⑥把⑥代入⑤， 得k PQ k PN ＋1＝2－2x 22－x 21＝0， 即k PQ k PN ＝－1， 所以∠QPN ＝90°.。