18年高考数学二轮复习专题24数学思想方法教学案理

专题二数学思想方法概述数学思想方法既是思想也是方法,“思想〞是统领全局的总纲,“方法〞是可以具体操作的解题方法,“思想〞与“方法〞是密不可分的整体.在高考中主要考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等数学思想方法.1.函数思想就是通过建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.方程思想就是将所求的量设成未知数,根据题中的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决.2.数形结合思想就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,主要包括以下两个方面:(1)“以形助数〞,把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;(2)“以数辅形〞,把直观图形数量化,使形更加精确.3.转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种方法.其应用包括以下三个方面:(1)将复杂的问题通过变换转化为简单的问题;(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题;(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.“化整为零,各个击破,再集零为整〞的数学思想.一、函数与方程思想函数与方程思想在不等式中的应用【例1】函数f(x)是定义在R上的可导函数,且对于∀x∈R,均有f(x)>f'(x),那么有( )(A)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)>e2 018f(0)(B)e2 018f(-2 018)<f(0),f(2 018)<e2 018f(0)(C)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)>e2 018f(0)(D)e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)<e2 018f(0)解析:构造函数g(x)=,那么g'(x)==,因为对于∀x∈R,均有f(x)>f'(x),并且e x>0,所以g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减,所以g(-2 018)>g(0),g(2 018)<g(0),即>f(0),<f(0),也就是e2 018f(-2 018)>f(0),f(2 018)<e2 018f(0).应选D.【思维建模】函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解.热点训练1:(1)函数f(x)=ln x-asin x在区间,上是单调增函数,那么实数a的取值X 围为( )(A)-∞,(B)-∞,(C),(D),+∞(2)(2017·某某三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f'(x)<f(x),且f(x)·f(x+3)=-1,假设f(2 015)=-e,那么不等式f(x)<e x的解集为.解析:(1)f'(x)=-acos x,由题意得-acos x≥0在,上恒成立,即a≤在,上恒成立,设g(x)=,那么g'(x)=,因为x∈,,所以xsin x-cos x≤xcos x-cos x=(x-1)cos x<0,所以g'(x)<0,所以g(x)在,上单调递减,所以g(x)小=g=,所以a≤g(x)小=.应选B.(2)因为f(x)·f(x+3)=-1,所以f(x+3)=-,f(x+6)=-=f(x),即f(x)的周期为6,所以f(2 015)=f(-1)=-e,因为f(x)是奇函数,所以f(1)=e.构造函数g(x)=,那么g'(x)=<0,即g(x)在R上单调递减,g(1)==1,f(x)<e x⇔<1⇔g(x)<1=g(1),所以x>1.答案:(1)B (2)(1,+∞)函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)记S n为等比数列{a n2=2,S3=-6.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.解:(1)设{a n解得q=-2,a1=-2.故{a n}的通项公式为a n=(-2)n.(2)由(1)可得S n==-+(-1)n.由于S n+2+S n+1=-+(-1)n=2-+(-1)n=2S n,故S n+1,S n,S n+2成等差数列.【思维建模】数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数,可用函数与方程思想处理数列问题.涉及特殊数列(等差、等比数列),S n与a n关系问题,应用方程思想列方程(组)求解;涉及最值问题或参数X围问题,应用函数思想来解决.热点训练2:设公差不为零的等差数列{a n}的前5项和为55,且a2,,a4-9成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为S n,求证:S n<.(1)解:设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),那么⇒或(舍去).故数列{a n}的通项公式为a n=7+2(n-1),即a n=2n+5.(2)证明:由a n=2n+5,得b n===-.所以S n=b1+b2+…+b n=1-+-+…+-=1-<.函数与方程思想在立体几何、解析几何中的应用【例3】 (1)(2018·某某市调研)如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某三棱锥的三视图,那么该三棱锥的外接球的表面积为( )(A)π(B)6π(C)11π (D)12π(2)(2018·某某市武昌区调研)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1.边DC上的动点P(包含点D,C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||=||,那么·的最小值为.解析:(1)由题意,记三棱锥为S ABC,将该三棱锥S ABC放在长方体中,如下图,取线段AC的中点O1,过O1作直线垂直于平面ABC交长方体的上底面于点P,因为△ABC是直角三角形,所以外接球的球心O必在直线PO1上.连接SO,SP,OC,设OO1=x,外接球的半径为R,易得SP=,所以解得x=,R2=,所以该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=11π.应选C.(2)以点A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如下图的平面直角坐标系,设P(x,1),Q(2,y),由题意知0≤x≤2,-2≤y≤0.因为||=||,所以|x|=|y|,所以x=-y.因为=(-x,-1),=(2-x,y-1),所以·=-x(2-x)-(y-1)=x2-2x-y+1=x2-x+1=x-2+,所以当x=时,·取得最小值,为.答案:(1)C (2)【思维建模】立体几何、解析几何中的求值问题、解析几何中的位置关系问题常应用方程思想列方程(组)求解;求X围、最值等问题常选择恰当的变量建立目标函数,然后应用有关知识,求函数的最值或值域.热点训练3:(1)(2018·某某市武昌区调研)底面半径为1,高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上,那么球O的表面积为( )(A)(B)4π(C)(D)12π(2)(2018·某某市调研)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F作圆(x-a)2+y2=的切线,假设该切线恰好与C的一条渐近线垂直,那么双曲线C的离心率为.解析:(1)如图,△ABC为圆锥的轴截面,那么O为其外接球的球心,设外接球的半径为R,连接OB,OA,并延长AO交BC于点D,那么AD⊥BC,由题意知,AO=BO=R,BD=1,AD=,那么在Rt△BOD中,有R2=(-R)2+12,解得R=,所以外接球O的表面积S=4πR2=.应选C.(2)不妨取与切线垂直的渐近线方程为y=x,由题意可知该切线方程为y=-(x-c),即ax+by-ac=0.圆(x-a)2+y2=的圆心为(a,0),半径为,那么圆心到切线的距离d===,又e=,那么e2-4e+4=0,解得e=2,所以双曲线C的离心率e=2.答案:(1)C (2)2二、数形结合思想利用数形结合思想研究函数零点问题【例4】函数f(x)=假设函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点,那么实数a的取值X围为.解析:函数g(x)=f(x)-ax+a存在零点等价于方程f(x)-ax+a=0,即f(x)=a(x-1)有解等价于函数y=f(x)与y=a(x-1)的图象有交点.设直线y=a(x-1)与曲线y=f(x)在y轴右侧相切于(x0,),切线方程为y-=(x-x0),因为切线过点(1,0),所以(1-x0)=-,所以x0=2,所以a=e2.当直线y=a(x-1)过点(-2,1)时,a=-,所以a的取值X围为a≤-或a≥e2.答案:-∞,-∪[e2,+∞)【思维建模】解函数零点个数问题常应用数形结合思想转化为两个函数图象交点个数问题;解函数零点和问题,常应用数形结合思想利用图象的对称性求解.热点训练4:(1)(2017·某某某某市模拟)函数f(x)=假设函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,那么实数a的取值X围是( )(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(0,2) (D)(1,3)(2)(2018·某某市质检)M是函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和,那么M的值为( )(A)3 (B)6 (C)9 (D)12解析:(1)函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点,须y1=f(x)与y2=a|x|的图象有4个不同的交点.如下图.由图可知,当y2=-ax(x<0)与y1=-x2-5x-4(-4<x<-1)相切时,方程x2+(5-a)x+4=0有两个相等实数根,那么(5-a)2-16=0,且a-5<0,解得a=1(a=9舍去).所以当x<0时,y1=-x2-5x-4与y2=-ax的图象有3个交点,显然当1<a<2时,两函数的图象恰有4个不同交点,即函数y=f(x)-a|x|恰有4个零点.应选B.(2)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx的零点就是函数h(x)=|2x-3|与g(x)=8sin πx图象交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中,画出函数h(x)与g(x)的图象,如图,因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x=对称,两个函数的图象共有8个交点,所以函数f(x)的所有零点之和M=8×=12.应选D.利用数形结合思想解决最值问题【例5】实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根x1,x2,x1∈(0,1),x2∈(1,2).求(1)点(a,b)对应区域的面积;(2)的取值X围;(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.解:(1)由题意知函数y=f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,由此可得即即画出可行域,如图由得A(-3,1),由得B(-2,0),由得C(-1,0),所以点(a,b)对应的平面区域为△ABC的内部,△ABC的面积为S△ABC=×|BC|×h=.(2)的几何意义是点(a,b)和点(1,2)连线的斜率,设D(1,2),那么k AD=,k CD=1,由图知k AD<<k CD,即<<1,所以的取值X围为,1.(3)(a-1)2+(b-2)2表示区域内的点(a,b)与定点D(1,2)之间距离的平方因为|AD|2=17,|CD|2=8,所以8<(a-1)2+(b-2)2<17,所以(a-1)2+(b-2)2的值域为(8,17).【思维建模】在约束条件下求目标函数最值问题,应用数形结合思想,画出可行域,根据目标函数的几何意义求解,最优解一般在可行域的顶点或边界处取得,因此对于可行域为封闭型的线性规划问题,可以直接解出可行域的所有顶点坐标,然后将坐标分别代入目标函数求出相应的值,从而确定目标函数的最值.利用数形结合思想解决不等式、参数问题【例6】 (1)(2018·某某市质检)f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)单调递增,f(1)=0,假设f(x-1)>0,那么x的取值X围为( )(A){x|0<x<1或x>2} (B){x|x<0或x>2}(C){x|x<0或x>3} (D){x|x<-1或x>1}(2)当0<x≤时,4x<log a x,那么a的取值X围是( )(A)0,(B),1(C)(1,) (D)(,2)解析:(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=0,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以可作出函数f(x)的示意图,如图,那么不等式f(x-1)>0可转化为-1<x-1<0或x-1>1,解得0<x<1或x>2.应选A.(2)法一构造函数f(x)=4x和g(x)=log a x,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在0,上的图象,可知,f<g,即2<log a,那么a>,所以a的取值X围为,1.应选B.法二因为0<x≤,所以1<4x≤2,所以log a x>4x>1,所以0<a<1,排除选项C,D;取a=,x=,那么有=2,lo=1,显然4x<log a x不成立,排除选项A.应选B.【思维建模】利用函数的图象解决不等式问题,通常根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数(假设函数为不熟悉的形式,需要做适当的变形,转化为熟悉的函数),然后在同一坐标系中做出两个函数的图象,利用图象的位置,找到数量关系,从而解决不等式的问题.热点训练5:(1)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=那么满足f(x+1)<f(2x)的x的取值X围是( )(A)(-∞,-1] (B)(0,+∞)(C)(-1,0) (D)(-∞,0)(2)设函数f(x)=a+,g(x)=x+1,当x∈[-4,0]时,恒有f(x)≤g(x),那么实数a的取值X围为.解析:(1)法一①当即x≤-1时,f(x+1)<f(2x)即为2-(x+1)<2-2x,即-(x+1)<-2x,解得x<1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当时,不等式组无解.③当即-1<x≤0时,f(x+1)<f(2x),即1<2-2x,解得x<0.因此不等式的解集为(-1,0).④当即x>0时,f(x+1)=1,f(2x)=1,不合题意.综上,不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).应选D.法二当x≤0时,函数f(x)=2-x是减函数,那么f(x)≥f(0)=1.作出f(x)的大致图象如下图,结合图象可知,要使f(x+1)<f(2x),那么需或所以x<0,即不等式f(x+1)<f(2x)的解集为(-∞,0).应选D.(2)f(x)≤g(x),即a+≤x+1,即≤x+1-a,构造函数y=①和y=x+1-a,②①式变形得(x+2)2+y2=4(y≥0),函数①的图象为以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半个圆.由≥2且1-a>0得a≤-5.答案:(1)D (2)(-∞,-5]三、化归与转化思想特殊与一般的转化【例7】如图,四棱锥P ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,PA=PD=AB=2,那么四棱锥P ABCD的外接球的表面积为( )(A)2π(B)4π(C)12π (D)8π解析:易知AB⊥平面PAD,以平面PAD为底面,AB为侧棱,将四棱锥P ABCD补充为如下图的直三棱柱PAD EBC.直三棱柱PAD EBC的外接球就是四棱锥P ABCD的外接球,因为PA=PD=2,AD=2,所以∠APD=90°,所以△PAD外接圆的半径r=AD=,又球心到平面PAD的距离h=AB=1,所以外接球的半径为R==,所以外接球的表面积为S球=4πR2=12π.应选C.【思维建模】化一般为特殊的应用把一般问题特殊化,解答选择题、填空题常能起到事半功倍的效果,既准确又迅速.要注意恰当利用所学知识、恰当选择特殊量.热点训练6:(1)(2017·某某某某一诊)等差数列{a n}的前n项和为S n,假设a3+a5+a7=24,那么S9等于( )(A)36 (B)72 (C)144 (D)288(2)过双曲线-=1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于R,Q两点,那么·的值为( )(A)a2(B)b2(C)2ab (D)a2+b2解析:(1)法一因为{a n}是等差数列,又a3+a5+a7=3a5=24,所以a5=8.S9==9a5=72.应选B.法二不妨设等差数列{a n}的公差为0,那么由a3+a5+a7=24,得a1=a n=8,那么S9=9a1=9×8=72.应选B.(2)当直线PQ与x轴重合时,||=||=a.应选A.函数、方程、不等式之间的转化【例8】 (2018·某某市二次调研)函数f(x)=假设函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对,那么实数k的取值X围是( )(A)(-∞,0) (B)0,(C)(0,+∞) (D)(0,1)解析:依题意,函数f(x)的图象上存在关于原点对称的点,如图,可作出函数y=-ln(-x)(x<0)的图象关于原点对称的函数y=ln x(x>0)的图象,使得它与直线y=kx-1(x>0)的交点个数为2即可.当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y'=,那么解得可得切线的斜率为1,结合图象可知k∈(0,1)时,函数y=ln x的图象与直线y=kx-1有2个交点,即函数f(x)的图象上关于原点对称的点有2对.应选D.【思维建模】函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟〞,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系问题转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的X围.热点训练7:(1)(2018·某某省、某某省部分重点中学质检)函数f(x)=ln +x2,那么关于m的不等式f(m-1)-ln 3-≥0的解集为( )(A)-∞,∪,+∞(B)0,∪,2(C),+∞(D)-1,(2)(2018·某某市质检)函数f(x)对任意的x∈R都满足f(x)+f(-x)=0,f x+为偶函数,当0<x≤时,f(x)=-x,那么f(2 017)+f(2 018)=.解析:(1)由题可知f=ln 3+,所以原不等式可转化为f(m-1)≥f.易知函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=ln +x2单调递增,所以≤|m-1|<1,解得m∈0,∪,2.应选B.(2)依题意,f(-x)=-f(x),f-x+=f x+,所以f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以f(x+6)=f(x),所以f(2 017)=f(1)=-1,f(2 018)=f(2)=f+=f-+=f(1)=-1,所以f(2 017)+f(2 018)=-2.答案:(1)B (2)-2正难那么反的转化【例9】 (1)假设对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3++2x2-2x在区间(t,3)上不是单调函数,那么实数m的取值X围是( )(A)-,-5(B)-,-5(C)-∞,-∪(-5,+∞)(D)[-5,+∞)(2)(2017·某某某某一模)四个人围坐在一X圆桌旁,每个人面前都放着一枚完全相同的硬币,所有人同时抛掷自己的硬币.假设硬币正面朝上,那么这个人站起来;假设硬币正面朝下,那么这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为( )(A)(B)(C)(D)解析:(1)g'(x)=3x2+(m+4)x-2,假设g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,①g'(x)≥0在(t,3)上恒成立;②g'(x)≤0在(t,3)上恒成立.由①得3x2+(m+4)x-2≥0,即m+4≥-3x在x∈(t,3)上恒成立,所以m+4≥-3t恒成立,那么m+4≥-1,即m≥-5;由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)上恒成立,那么m+4≤-9,即m≤-.所以,函数g(x)在区间(t,3)上不为单调函数的m的取值X围为-<m<-5.应选A.(2)由题知先计算有相邻的两个人站起来的概率,四个人抛,共有24=16种不同的情况,其中有两个人同为正面且相邻需要站起来的有4种情况,三个人需要站起来有4种情况,四个人都站起来有1种情况,所以有相邻的两个人站起来的概率P==(转化为对立事件求解),故没有相邻的两人站起来的概率P=1-=.应选B.【思维建模】假设问题直接求解困难时,可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.热点训练8:(1)假设命题“∃x0∈R,使得+mx0+2m-3<0〞为假命题,那么实数m的取值X围是( )(A)[2,6] (B)[-6,-2](C)(2,6) (D)(-6,-2)(2)(2017·某某师大附中、某某一中联考)在某个微信群里一次抢红包活动中,假设所发红包的总金额为10元,被随机分配为1.49元、1.81元、2.19元、3.41元、0.62元、0.48元,共6份,供甲、乙等6人抢,那么甲、乙二人抢到的金额之和低于4元的概率是( )(A)(B)(C)(D)解析:(1)因为命题“∃x0∈R,使得+mx0+2m-3<0〞为假命题,所以命题“∀x∈R,使得x2+mx+2m-3≥0〞为真命题,所以Δ≤0,即m2-4(2m-3)≤0,所以2≤m≤6.应选A.(2)因甲、乙两人从六份红包中随机取两份的可能有3×5=15种,其中金额之和大于等于4的可能有(0.62,3.41),(1.49,3.41),(1.81,2.19),(1.81,3.41),(2.19,3.41)共五种,故甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是P==,低于4元的概率为1-=.应选C. 四、分类讨论思想由数学概念、性质、运算引起的分类讨论【例10】 (1)(2017·某某师X附属中学模拟)函数f(x)=假设f(2-a)=1,那么f(a)等于( )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2(2)(2017·某某某某二模)等比数列{a n}中,a1+a4+a7=2,a3+a6+a9=18,那么{a n}的前9项和S9=.解析:(1)①当2-a≥2,即a≤0时,22-a-2-1=1,解得a=-1,那么f(a)=f(-1)=-log2[3-(-1)]=-2;②当2-a<2即a>0时,-log2[3-(2-a)]=1,解得a=-,舍去.所以f(a)=-2.应选A.(2)由题意得q2==9,q=±3,①当q=3时,a2+a5+a8=3(a1+a4+a7)=6,S9=2+6+18=26;②当q=-3时,a2+a5+a8=-3(a1+a4+a7)=-6,S9=2-6+18=14,所以S9=14或26.答案:(1)A (2)14或26【思维建模】数学概念运算公式中常见的分类(1)由二次函数、指数函数、对数函数的定义,直线的倾斜角、向量的夹角的X围等引起分类讨论;(2)由除法运算中除数不为零,不等式两边同乘以(或除以)同一个数(或式)时的不等号等引起分类讨论;(3)由数学公式、定理、性质成立的条件等引起分类讨论.热点训练9:(1)(2018·某某省湘东五校联考)函数f(x)=g(x)=x2-2x,设a为实数,假设存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,那么实数a的取值X围为( )(A)[-1,+∞)(B)(-∞,-1]∪[3,+∞)(C)[-1,3](D)(-∞,3](2)在等比数列{a n}中,a3=4,S3=12,那么a1=.解析:(1)当-7≤x≤0时,f(x)=|x+1|∈[0,6],当e-2≤x≤e时,f(x)=ln x单调递增,得f(x)∈[-2,1],综上,f(x)∈[-2,6].假设存在实数m,使f(m)-2g(a)=0,那么有-2≤2g(a)≤6,即-1≤a2-2a≤3⇒-1≤a≤3.应选C.(2)设等比数列{a n}的公比为q,①当q=1时,a n=a1,此时S3=3a1=3a3=12,符合题意.②当q≠1时,S3=a1+a2+a3=++a3=++4=12,即2q2-q-1=0,解得q=-或q=1(舍去),所以a1===16.所以a1=16或4.答案:(1)C (2)16或4由图形位置或形状引起的分类讨论【例11】 (2017·全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,假设C上存在点M 满足∠AMB=120°,那么m的取值X围是( )(A)(0,1]∪[9,+∞) (B)(0,]∪[9,+∞)(C)(0,1]∪[4,+∞) (D)(0,]∪[4,+∞)解析:当点M为短轴的端点时,∠AMB最大;0<m<3时,A(-,0),B(,0),M(0,).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OM|≤1.≤1,所以0<m≤1.m>3时,A(0,-),B(0,),M(-,0).由题意可知∠AMO≥60°,所以|OA|≥3,|-|≥3,≥3,m≥9.应选A.【思维建模】图形位置或形状的变化中常见的分类圆锥曲线形状不确定时,常按椭圆、双曲线来分类讨论,求圆锥曲线的方程时,常按焦点的位置不同来分类讨论;相关计算中,涉及图形问题时,也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.热点训练10:双曲线的渐近线方程为y=±x,那么此双曲线的离心率为.解析:当双曲线的焦点在x轴上时,=,此时离心率为e==,当双曲线的焦点在y轴上时,=,此时离心率为e==.答案:或由变量或参数引起的分类讨论【例12】 (2018·某某市摸底)设函数f(x)=2ln x-mx2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当f(x)有极值时,假设存在x0,使得f(x0)>m-1成立,某某数m的取值X围.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2mx=,当m≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m>0时,令f'(x)>0,那么0<x<,令f'(x)<0,那么x>,所以f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.(2)由(1)知,当f(x)有极值时,m>0,且f(x)在0,上单调递增,在,+∞上单调递减.所以f(x)max=f=2ln -m·+1=-ln m,假设存在x0,使得f(x0)>m-1成立,那么f(x)max>m-1.即-ln m>m-1,ln m+m-1<0成立,令g(x)=x+ln x-1(x>0),因为g'(x)=1+>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以0<m<1.所以实数m的取值X围是(0,1).【思维建模】解含参数不等式、方程、函数问题及含参数方程中曲线类型的判定问题,常按参数的取值不同分类讨论.。

函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键．在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。

因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。

分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论．预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题．化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．一、函数与方程思想一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．可用函数与方程思想解决的相关问题．1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：(1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；(2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：(1)解方程或解不等式；(2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；(3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；(4)构造方程或不等式求解问题．二、数形结合的数学思想数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。

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思想方法训练2 分类讨论思想能力突破训练1。

已知函数f(x)=若存在x１，ｘ2∈R，且x１≠x２，使得f(x1)=f(x２)成立，则实数a的取值范围是()Ａ。

（—∞，２）ﻩB.(-∞，４)C.［2,４]D。

(２,＋∞）2。

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是ａ,b,c,若b2＋c２-a2=bｃ,且b=a，则下列关系一定不成立的是（)A.a=cB.b=cC.2a＝cﻩＤ。

ａ2+ｂ2=c23.若ａ〉０，且a≠1,ｐ=logａ（a3+1），q=ｌｏg a（a２+1),则p,q的大小关系是(）A。

p＝qB。

ｐ<qC。

p〉qD。

当a＞1时,ｐ〉ｑ;当0<a〈1时，p<q4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为ｙ=±ｘ，则该双曲线的离心率为(）A．ﻩB．ﻩC。

ﻩD。

5。

已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N,=λ,其中λ为常数,则动点M的轨迹不可能是（)Ａ.圆ﻩB。

椭圆Ｃ.抛物线Ｄ.双曲线6．若x〉0,且ｘ≠1,则函数y=lg x+ｌoｇx１0的值域为ﻩ(）A．Ｒﻩ B.［２,+∞)C.（-∞,-2]ﻩD。

第二单元 数学思想方法高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.阿凡题1083911(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【解】 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2·(a 4＋1)， 又因为{a n }是正项等差数列，故d ≥0， 所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，(列出方程) 解得d ＝2或d ＝－1(舍去)， 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n ．(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1(n ＋1)(n ＋2)＋1(n ＋2)(n ＋3)＋…＋12n (2n ＋1)＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，(构造函数)则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立， 所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，即当n ＝1时，(b n )max ＝16，要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝16，所以实数k 的最小值为16．本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出b n 的表达式，说明要求b n ≤k 恒成立时k 的最小值，只需求b n 的最大值，从而构造函数f (x )＝2x ＋1x(x ≥1)，利用函数求解．1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2．又T 2＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π12＝π2，所以T ＝π，又2πω＝π， 所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)． 将⎝⎛⎭⎫－π12，2代入可得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝1， 故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<π，所以φ＝2π3．所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，故选B ． 答案：B2．f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________． 解析：若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3．设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3，g (x )＝3x 2－1x 3在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4． 答案：4函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y >0时，就化为不等式f (x )>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是阿凡题1083912( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0． ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x)>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A ． 【答案】 A本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围．3．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2．∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D ．答案：D4．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________．解析：集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m ＞0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1．答案：[)2－1，＋∞运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．三、分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值.阿凡题1083913 【解】 ①若∠PF 2F 1＝90°． 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝72． ②若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， ∴|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2． 综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2．(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论． (2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．5．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y 2m＝1的离心率是( )A ．32 B ． 5 C ．32或52D ．32或 5 解析：因为m 是2和8的等比中项，所以m 2＝2×8＝16，所以m ＝±4． 当m ＝4时，圆锥曲线y 24＋x 2＝1是椭圆，其离心率e ＝c a ＝32；当m ＝－4时，圆锥曲线x 2－y 24＝1是双曲线，其离心率e ＝c a ＝51＝5．综上知，选项D 正确． 答案：D6．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k ＝( )A ．－12B ．12C ．0D ．－12或0解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足．结合图形可知斜率k 的值为0或－12．答案：D7．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． 当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x ) >0，所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上：当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF与FQ 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q等于阿凡题1083915( )A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a【解析】 由x 2＝1a y (a >0)知抛物线开口向上，故过焦点F 作一条在特殊位置的直线即平行于x 轴的直线交抛物线于P 、Q ，则|PF |＝|FQ |＝12a ，即1p ＋1q＝4a ．【答案】 C本题将一般问题特殊化，即简洁又准确，事半功倍，这种解法对解选择题和填空题较为有效．8．由命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的取值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2解析：命题“存在x 0∈R ，使e|x 0－1|－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，使e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1．答案：C9．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．解析：由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.(主次转化)对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ φ(1)<0，φ(－1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1．故当x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0． 答案：⎝⎛⎭⎫－23，1 10．已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 22a 对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．解析：原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为(t 2－1)22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝(t －1)22对t ≥1恒成立， 所以(t ＋1)2a ≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4． 答案：41．转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．。

高三二轮复习之数学思想方法高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．第1讲 函数与方程思想[思想方法概述]函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．[方法探究]方法一 运用函数相关概念的本质解题在理解函数，函数的定义域、值域、性质等的本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题，常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值问题，研究函数的性质．[例1] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x ，x ≥0，(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1) B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫13，1D.⎝⎛⎭⎫0，13 思路分析 先求出a x 是减函数时a 的范围→满足－0＋3a ≥a 0时a 的范围→取交集解析 ∵函数f (x )是R 上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3a ≥a 0，解得13≤a ＜1. ∴a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，1，故选B.答案 B规律方法 解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二 用函数的性质解决问题能意识到题目考查函数的什么性质或相关问题应该用函数的什么性质来解答，考查热点有函数的单调性、奇偶性及函数图象的对称性等，常见问题是函数性质的应用．[例2] (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤01，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)思路分析 首先根据题中所给的函数解析式，将函数图象画出来，从图中可以发现若有f (x ＋1)＜f (2x )成立，一定会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，从而求得结果．解析 将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜02x ＜x ＋1，解得x ＜0，所以满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)，故选D. 答案 D规律方法 该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果．方法三 用函数的图象解决问题当一个函数比较复杂或比较抽象，而其中函数的图象又比较容易作出时，可作出函数的图象，直观解答问题，常见问题有：抽象函数问题、含参数函数问题．[例3] (2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)思路分析 函数零点个数→图象交点个数→做出函数图象→求出a 的范围 解析 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝－x ，之后上下移动， 可以发现当直线过点(0,1)时，直线与函数f (x )图象有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点， 即方程f (x )＝－x －a 有两个解， 也就是函数g (x )有两个零点， 此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C.答案 C规律方法 该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果．方法四 构造函数解题根据题设条件，构造相关函数，运用这个函数的性质解答问题，常见问题有：比较大小、解不等式等．[例4] (2018·合肥调研)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求证：当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.思路分析 构造函数g (x )＝23x 3－12x 2－ln x →求函数的最小值→问题得证解 (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}， ∵f ′(x )＝x ＋1x ，故f ′(x )＞0，∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)． (2)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，∴g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，∴g (x )在(1，＋∞)上为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝16＞0，∴当x >1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.[例5] (2018·济南模拟)定义在R 上的函数f (x )，f ′(x )是其导函数，且满足f (x )＋f ′(x )＞2，f (1)＝2＋4e，则不等式e x f (x )＞4＋2e x 的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)思路分析 构造函数令g (x )＝e x f (x )－2e x －4→利用导数判断单调性→与g (1)进行比较→解不等式 解析 令g (x )＝e x f (x )－2e x －4，g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－2e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－2]， ∵f (x )＋ f ′(x )＞2 ∴g ′(x )＞0；∴g (x )在R 上单调递增． 又f (1)＝2＋4e，∴g (1)＝e ⎝⎛⎫2＋4e －2e －4＝0 ∴x ＞1时，g (x )＞0；∴原不等式的解集为(1，＋∞)．故选B. 答案 B规律方法 解答本类问题时，关键是构造函数，有时通过条件构造，有时通过选项构造，然后运用函数的性质解题。

二、数形结合思想方法一 函数图象数形沟通法 模型解法函数图象数形沟通法，即通过函数图象来分析和解决函数问题的方法，对于高中数学函数贯穿始终，因此这种方法是最常用的沟通方法．破解此类题的关键点：①分析数理特征，一般解决问题时不能精确画出图象，只能通过图象的大概性质分析问题，因此需要确定能否用函数图象解决问题．②画出函数图象，画出对应的函数、转化的函数或构造函数的图象． ③数形转化，这个转化实际是借助函数图象将难以解决的数理关系明显化． ④得出结论，通过观察函数图象得出相应的结论．典例1 设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1；当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0.则函数y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8解析 ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，f (x )是最小正周期为2π的偶函数， ∴当x ∈[－3π，3π]时，0≤f (x )≤1.∵当x ∈(0，π)且x ≠π2时，⎝⎛⎭⎪⎫x －π2f ′(x )>0，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )为单调减函数；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，f (x )为单调增函数， ∵当x ∈[0，π]时，0≤f (x )≤1，定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y ＝sin x 和y ＝f (x )的草图如图，由图知y ＝f (x )－sin x 在[－3π，3π]上的零点个数为6，故选C. 答案 C思维升华 由函数图象的变换能较快画出函数图象，应该掌握平移(上下左右平移)、翻折(关于特殊直线翻折)、对称(中心对称和轴对称)等基本转化法与函数解析式的关系． 跟踪演练1 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解之和为( )A ．－7B ．－6C ．－3D ．－1答案 A解析 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2，如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象，由图知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的实数解有7个．不妨设7个解中x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7，故选A.方法二 几何意义数形沟通法 模型解法几何意义数形沟通法即在解决问题的过程中对题目中的一些代数式进行几何意义分析，将其转化为与几何结构相关的问题，通过解决几何问题达到解决代数问题的目的．此方法适用于难以直接解决的抽象问题，可利用图形使其直观化，再通过图形的性质快速解决问题．破解此类题的关键点：①分析特征，一般从图形结构、性质等方面分析代数式是否具有几何意义． ②进行转化，把要解决的代数问题转化为几何问题．③得出结论，将几何问题得出的结论回归到代数问题中，进而得出结论．典例2 如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，则yx的最大值为( ) A.12 B.33 C.32D. 3 解析 方程(x －2)2＋y 2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M (2,0)，半径为r ＝3(如图)，而y x ＝y －0x －0则表示圆M 上的点A (x ，y )与坐标原点O (0，0)的连线的斜率．所以该问题可转化为动点A 在以M (2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值．由图可知当∠OAM 在第一象限，且直线OA 与圆M 相切时，OA 的斜率最大，此时OM ＝2，AM ＝3，OA ⊥AM ，则OA ＝OM 2－AM 2＝1，tan ∠AOM ＝AMOA ＝3，故y x的最大值为3，故选D. 答案 D思维升华 解决此类问题需熟悉几何结构的代数形式，一般从构成几何图形的基本因素进行分析，主要有(1)比值——可考虑直线的斜率． (2)二元一次式——可考虑直线的截距． (3)根式分式——可考虑点到直线的距离． (4)根式——可考虑两点间的距离．跟踪演练2 设点P (x ，y )满足：301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥则y x －x y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．[－1,1]答案 B解析 作出不等式组301011x y x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＋－，－＋，，，≤≥≥≥所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2,1)，B (1,2)，令t ＝y x，f (t )＝t－1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32. 方法三 圆锥曲线数形沟通法 模型解法圆锥曲线数形沟通法是根据圆锥曲线中许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合思想，快速解决某些相应的问题．破解此类题的关键点：①画出图形，画出满足题设条件的圆锥曲线的图形，以及相应的线段、直线等．②数形求解，通过数形结合，利用圆锥曲线的定义、性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆与圆锥曲线的位置关系等进行分析与求解．③得出结论，结合题目条件进行分析，得出所要求解的结论．典例3 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)解析 点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到抛物线准线的距离，如图所示，设焦点为F ，过点P 作准线的垂线，垂足为S ，则|PF |＋|PQ |＝|PS |＋|PQ |，故当S ，P ，Q 三点共线时取得最小值，此时P ，Q 的纵坐标都是－1，设点P 的横坐标为x 0，代入y 2＝4x 得x 0＝14，故点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，故选A.答案 A思维升华 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数和形的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息进行研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．跟踪演练3 已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是其焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使△APF 的周长最小，此时点P 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12解析 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ，由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|PA |＋|AF |＝|PQ |＋|PA |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |.因为A (－2,4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12.。

函数中的数学思想 【举一反三系列】【考查角度1 分类讨论思想】【例1】（2019秋•小店区校级期中）已知定义在R 上的奇函数f （x ）），当x ＞0时，f （x ））＝2x +3．（1）求f （x ））的解析式；（2）若f （a ）＜7，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）根据f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +3．即可求解x ＜0的解析，可得结论；（2）根据f （x ））的解析式，分类求解实数a 的取值范围．【答案】解：（1）由题意，f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （0）＝0． 当x ＞0时，f （x ）＝2x +3．那么：当x ＜0，则﹣x ＞0，∴f （﹣x ）＝﹣2x +3．即﹣f （x ）＝﹣2x +3．∴f （x ）＝2x ﹣3故f （x ））的解析式为：{2x +3，x ＞00，x =02x −3，x ＜0；（2）由f （a ）＜7，当a ＞0时，可得2a +3＜7，∴0＜a ＜2．当a ＝0时，可得0＜7成立．当a ＜0时，可得2a ﹣3＜7，∴a ＜0．综上可得实数a 的取值范围是（﹣∞，2）【点睛】本题考查了函数解析式的求法，以及分段函数不等式的解法，属于基础题．【练1.1】已知函数f （x ）＝x 2+a x （x ≠0）．（1）判断f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）若f （1）＝2，试判断f （x ）在[2，+∞）上的单调性．【思路分析】（1）利用函数奇偶性的定义进行判断，要对a 进行分类讨论．（2）由f （1）＝2，确定a 的值，然后利用单调性的定义进行判断和证明．【答案】解：（1）当a ＝0时，f （x ）＝x 2，f （﹣x ）＝f （x ），函数是偶函数．当a ≠0时，f （x ）＝x 2+a x （x ≠0，常数a ∈R ），取x ＝±1，得f （﹣1）+f （1）＝2≠0； f （﹣1）﹣f （1）＝﹣2a ≠0，∴f （﹣1）≠﹣f （1），f （﹣1）≠f （1）．∴函数f （x ）既不是奇函数也不是偶函数．（2）若f （1）＝2，即1+a ＝2，解得a ＝1，这时f （x ）＝x 2+1x ． 任取x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=x 12+1x 1−（x 22+1x 2） ＝（x 1﹣x 2）（x 1+x 2）+x 2−x 1x 1x 2＝（x 1﹣x 2）[（x 1+x 2）−1x 1x 2]，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，x 1+x 2＞1x1x 2，所以f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在[2，+∞）上是单调递增函数． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，要熟练掌握函数奇偶性和单调性的应用．【练1.2】（2019春•龙凤区校级月考）已知二次函数f （x ）的图象过点(−12，1)，(0，1)，且最小值为78． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）函数g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1（m ∈R ）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数m 的值．【思路分析】（Ⅰ）根据题意，分析f （x ）的对称轴，设f(x)=a(x +14)2+78(a ＞0)，将点（0，1）代入其解析式，解可得a 的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出g （x ）的解析式，分m ≤2与m ＞2两种情况讨论，结合函数的最小值求出m 的值，综合即可得答案．【答案】解：（Ⅰ）由题意得：二次函数f （x ）的图象过点(−12，1)，(0，1)，则f （x ）的对称轴为对称轴x =−14， 设f(x)=a(x +14)2+78(a ＞0)，又f （x ）的图象过点（0，1），代入得1=a 16+78，解得a ＝2，f(x)=2(x +14)2+78=2x 2+x +1， 故f （x ）＝2x 2+x +1；（Ⅱ）由已知g （x ）＝f （x ）﹣x 2﹣（1+2m ）x +1＝x 2﹣2mx +2，对称轴为直线x ＝m ，开口向上， 分两种情况：①当m ≤2时，函数g （x ）在区间[2，+∞）单调递增，g （x ）min ＝g （2）＝6﹣4m ＝﹣3，得到m =94，与m ＜2矛盾．②当m ＞2时，函数g （x ）在区间[2，m ）单调递减，在区间[m ，+∞）单调递增，从而g(x)min =g(m)=−m 2+2=−3，得到m =√5或m =−√5舍掉与m ＞2矛盾；综上所述：m =√5．【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是求出该二次函数的解析式，属于基础题．【练1.3】（2019春•浉河区校级月考）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ．（1）求函数f （x ）（x ∈R ）的解析式；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1（x ∈[1，2]），求函数g （x ）的最小值h （a ）的表达式．【思路分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．（2）求出g （x ）的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．【答案】解：（1）∵f （x ）是偶函数，∴若x ＞0，则﹣x ＜0，则当﹣x ＜0时，f （﹣x ）＝x 2﹣2x ＝f （x ），即当x ＞0时，f （x ）＝x 2﹣2x ．即f （x ）={x 2+2x ，x ≤0x 2−2x ，x ＞0．（2）当x ∈[1，2]时，g （x ）＝f （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2x ﹣2ax +1＝x 2﹣（2+2a ）x +1，对称轴为x ＝1+a ，若1+a ≤1，即a ≤0时，g （x ）在[1，2]上为增函数，则g （x ）的最小值为h （a ）＝g （1）＝﹣2a ， 若1+a ≥2，即a ≥1时，g （x ）在[1，2]上为减函数，则g （x ）的最小值为h （a ）＝g （2）＝1﹣4a ， 若1＜1+a ＜2，即0＜a ＜1时，g （x ）的最小值为h （a ）＝g （1+a ）＝﹣a 2﹣2a ，即h （a ）={−2a ，a ≤0−a 2−2a ，0＜a ＜11−4a ，a ≥1．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．【考查角度2 数形结合思想】【例2】（2019•铁岭模拟）设奇函数f （x ）的定义域为[﹣5，5]，若当x ∈[0，5]时，f （x ）的图象如图，则不等式f （x ）≤0的解集为 [﹣2，0]∪[2，5] ．【思路分析】根据奇函数关于原点对称的性质即可得到结论．【答案】解：由图象可知：当x ＞0时，f （x ）≤0解得2≤x ≤5，f （x ）≥0解得0≤x ≤2；当x ＜0时，﹣x ＞0，因为f （x ）为奇函数，所以f （x ）≤0，即﹣f （﹣x ）≤0⇒f （﹣x ）≥0⇒0≤﹣x ≤2，解得﹣2≤x ≤0．综上，不等式f （x ）≤0的解集为{x |﹣2≤x ≤0，或2≤x ≤5}．故答案为：[﹣2，0]∪[2，5]．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据奇函数的对称性是解决本题的关键．【练2.1】（2019秋•清流县校级期中）已知奇函数f （x ）在x ≥0时的图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集 （﹣2，﹣1）∪（1，2）． ．【思路分析】由f （x ）是奇函数得函数图象关于原点对称，由xf （x ）＜0可得x 与f （x ）符号相反，根据奇函数的对称性可求得结果【答案】解：∵xf （x ）＜0①当x ＞0时，f （x ）＜0，结合函数的图象可得，1＜x ＜2，（2）x ＜0时，f （x ）＞0，根据奇函数的图象关于原点对称可得，﹣2＜x ＜﹣1，∴不等式xf （x ）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故答案为：（﹣2，﹣1）∪（1，2）．【点睛】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．【练2.2】对a ，b ∈R ，记max {a ，b }={a ，a ≥bb ，a ＜b 函数f （x ）＝max {|x +1|，|x ﹣2|}（x ∈R ）的最小值是 32 ． 【思路分析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据|x +1|和|x ﹣2|的大小关系，结合新定义给出函数f （x ）的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答．【答案】解：由|x +1|≥|x ﹣2|⇒（x +1）2≥（x ﹣2）2⇒x ≥12，故f （x ）={|x +1|(x ≥12)|x −2|(x ＜12)， 其图象如右，则f min (x)=f(12)=|12+1|=32．故答案为：3．2【点睛】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．【练2.3】（2018•丰台区一模）函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【思路分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．【答案】解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，偶函数的图象特征．属于基础题．【考查角度3 转化思想】【例3】（2019春•嘉兴期末）已知函数f（x）＝x2+ax+2．（Ⅰ）当a＝3时，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【思路分析】（Ⅰ）当a＝3时，利用二次不等式求解解不等式f（x）＜0即可；（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）≥0恒成立，推出a的表达式，利用函数的单调性求解表达式的最大值，即可得到a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a＝3时，一元二次不等式x2+3x+2＜0的解为﹣2＜x＜﹣1（Ⅱ）当x∈[1，2]时，x2+ax+2≥0恒成立，即a≥−(x+2x )恒成立，令g(x)=−x−2x因g(x)=−(x+2x)，x∈[1，2]的最大值为−2√2故a≥−2√2．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及函数的单调性的应用，考查计算能力．【练3.1】（2019春•哈尔滨期中）已知函数f（x）＝x2+2x+a．（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞1的解集（2）若对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）解一元二次不等式可得；（2）对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立⇔﹣a ＜x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，然后转化为最小值可得．【答案】解：（1）a ＝2时，x 2+2x +2＞1⇒x 2+2x +1＞0⇒x ≠﹣1，故不等式f （x ）＞1的解集为{x |x ≠﹣1}（2）对于任意x ∈[1，+∞），f （x ）＞0恒成立⇔﹣a ＜x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∵x ≥1，∴y ＝（x +1）﹣1为递增函数，∴x ＝1时，函数取得最小值3，∴﹣a ＜3，∴a ＞﹣3．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，属中档题．【练3.2】已知定义在[﹣2，2]上的偶函数f （x ）满足：当x ∈[0，2]时，f(x)=−x +2√3−x ．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）＝ax ﹣2﹣a （a ＞0），若对于任意的x 1，x 2∈[﹣2，2]，都有g （x 1）＜f （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【思路分析】（1）根据题意，设x ∈[﹣2，0]，则﹣x ∈[0，2]，由函数的解析式可得f （﹣x ）的解析式，进而利用函数奇偶性的性质分析可得f （x ）的表达式，综合即可得答案；（2）根据题意，求出函数f （x ）的最小值与g （x ）的最大值，分析可得f （x ）min ＞g （x ）max ，解即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，设x ∈[﹣2，0]，则﹣x ∈[0，2]，从而f(−x)=x +2√3+x ，因为f （x ）定义x ∈[﹣2，2]在偶函数，所以f(x)=f(−x)=x +2√3+x因此，f(x)={x +2√3+x ，x ∈[−2，0)−x +2√3−x ，x ∈[0，2]（2）因为对任意x 1，x 2∈[﹣2，2]，都有g （x 1）＜f （x 2）成立，所以g （x ）max ＜f （x ）min又因为f （x ）是定义在[﹣2，2]上的偶函数．所以f （x ）在区间[﹣2，0]和区间[0，2]上的值域相同． 当x ∈[﹣2，0]时，f(x)=x +2√3+x ．设t =√3+x ，则t ∈[1，√3]函数化为y =t 2+2t −3，t ∈[1，√3]，则f （x ）min ＝0又g （x ）max ＝g （2）＝a ﹣2所以a﹣2＜0即a＜2，因此，a的取值范围为0＜a＜2．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的恒成立问题，注意将恒成立问题转化为函数的最值问题．【练3.3】（2019秋•沈阳期中）已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），当x＞0时，f（x）＜0；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）若f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＞0对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【思路分析】（1）先计算f（0），再令b＝﹣a得出f（a）＝﹣f（a），结论得证；（2）判断f（x）的单调性，根据函数性质和单调性列出恒等式求出k的范围．【答案】解：（1）令a＝b＝0可得f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，令b＝﹣a得f（0）＝f（a）+f（﹣a）＝0，∴f（a）＝﹣f（﹣a），由a的任意选可知f（x）＝﹣f（x）恒成立，∴函数f（x）在R上为奇函数．（2）设x1＜x2，则f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1），∵x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）＜0，∴f（x）是R上的减函数．∵f（﹣kx2）+f（kx﹣2）＞0对任意的x∈R恒成立，∴f（﹣kx2+kx﹣2）＞f（0）对任意的x∈R恒成立，∴﹣kx2+kx﹣2＜0对任意的x∈R恒成立，当k＝0时显然成立，当k≠0时，得{−k＜0△=k2−8k＜0，解得0＜k＜8，综上所述k的范围为[0，8]【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性判断，函数恒成立问题，属于中档题．【趁热打铁】1．（2019春•桂林期末）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，则满足不等式f（x）＞0的实数x的取值范围是（﹣2，2）．【思路分析】可以根据该函数在[0，+∞）上单调递减，f（2）＝0，是偶函数，大体画出该函数图象的草图，结合图象可列出关于x的不等式．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2）＝0，∴该函数在（﹣∞，0）上递增，且f（﹣2）＝0，∴可画出该函数的图象的草图如下：可见，当﹣2＜x＜2时，f（x）＞0．故答案为：（﹣2，2）．【点睛】抽象函数的问题常采用数形结合的方法解决问题，本题作为填空题，采用数形结合思想来解，既快捷，有准确．2．已知函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，当﹣3＜x≤0时，f（x）的函数图象如图所示，则不等式x•f（x）≥0的解集为{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．【思路分析】结合函数的性质，函数的图象，对x≤0和x≥0进行讨论，分别求出不等式的解，最后求并集．【答案】解：当x≤0时，由不等式xf（x）≥0，可得f（x）≤0，则﹣1≤x≤0，∵函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的偶函数，∴x≥0时，当0≤x≤1时，f（x）≤0，当1≤x＜3时，f（x）≥0，∴当x≥0时，由不等式xf（x）≥0，可得f（x）≥0，则1≤x＜3，∴不等式xf（x）≥0的解集为：{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．故答案为：{x|﹣1≤x≤0或1≤x＜3}．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及应用，考查运用分类法解决不等式的能力，本题属于中档题．3．如图所示，函数y＝f（x）的图象由两条射线和三条线段组成，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则正实数a的取值范围为（0，16）．【思路分析】由已知中的函数图象可得f（4a）＝a，f（﹣4a）＝﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则{4a−(−2a)＜12a−(−4a)＜1，解不等式可得正实数a的取值范围．【答案】解：由已知可得：a＞0，且f（4a）＝a，f（﹣4a）＝﹣a，若∀x∈R，f（x）＞f（x﹣1），则{4a−(−2a)＜12a−(−4a)＜1，解得a＜16，故正实数a的取值范围为：（0，16），故答案为：（0，16）【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，其中根据已知分析出不等式组，是解答的关键．4．（2019春•香坊区校级期末）已知函数f（x）＝2x2﹣kx+8．（1）若函数g（x）＝f（x）+2x是偶函数，求k的值；（2）若函数y＝f（x）在[﹣1，2]上，f（x）≥2恒成立，求k的取值范围．【思路分析】（1）利用函数的奇偶性，直接求解k的值即可．（2）利用函数恒成立，转化求解函数的最小值大于等于2，求解即可．【答案】解：（1）函数f（x）＝2x2﹣kx+8．函数g（x）＝2x2﹣kx+8+2x是偶函数，可得﹣k+2＝0，解得k＝2；（2）函数y＝2x2﹣kx+8在[﹣1，2]上，f（x）≥2恒成立，函数是二次函数，对称轴为x=k4，当k4≤−1时，必有2+k+8≥2，解得k∈[﹣8，﹣4]，当k4∈（﹣1，2]时，有：k28−k24+8≥2，解得k∈（﹣4，4√3]，当k4∈（2，+∞）时，8﹣8k+8≥2，解得k≤74，无解．综上所述，k的取值范围是：[−8，4√3]．【点睛】本题考查函数的奇偶性，二次函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和分类讨论的思想，考查运算能力，属于中档题．5．（2019春•顺德区期末）设二次函数f（x）＝x2+mx．（Ⅰ）若对任意实数m∈[0，1]，f（x）＞0恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（I）m的范围已知，要求x的范围，所以要把m当成自变量，把x当成参数来考虑；（II）f（x）是开口向上的二次函数，性质比较清楚，所以直接讨论对称轴的位置即可．【答案】（I）由题意，xm+x2＞0对于m∈[0，1]恒成立，令g（m）＝xm+x2．i．当x＜0时，g（m）在[0，1]上单调递减，所以只需要g（1）＝x+x2＞0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；ii．当x＝0时，g（m）＝0，所以不成立；iii．当x＞0时，g（m）在[0，1]上单调递增，所以只需要g（0）＝x2＞0，解得x≠0．综上x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．（II）二次函数f（x）开口向上，对称轴为x=−m2．i．当m＞6时，−m2＜−3，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递增．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，只需要f（﹣3）＝9﹣3m≤﹣4，解得m≥133，又m＞6，所以m＞6；ii．当﹣8≤m≤6时，﹣3≤−m2≤4，所以f（x）在区间[﹣3，4]上得最小值为f（−m2）．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，只需要f（−m2）=−m24≤−4，解得m≤﹣4或m≥4，又﹣8≤m≤6，所以m∈[﹣8，﹣4]∪[4，6]；＞4，所以f（x）在区间[﹣3，4]上单调递减．存在x0∈[﹣3，4]，使得f（x0）≤﹣4，iii．当m＜﹣8时，−m2只需要f（4）＝16+4m≤﹣4，解得m≤﹣5，又m＜﹣8，所以m＜﹣8．综上，m∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．【点睛】（I）一般来讲，已知范围得变量要作为自变量，要求范围得变量要作为参数；（II）分参也可以完成解答，比较两种方法，选用顺手的方法即可．6．（2019春•温州期末）设函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＞0：（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．【思路分析】（1）将m＝l，代入不等式f（x）＞0，利用一元二次不等式求解即可；（2）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围．【答案】解：函数f（x）＝mx2﹣2mx﹣3．（1）若m＝l，解不等式f（x）＝x2﹣2x﹣3，f（x）＞0：即：f（x）＝x2﹣2x﹣3＞0，即：（x﹣3）（x+1）＞0，所以：此不等式的解集为：{x|x＞3或x＜﹣1}；（2）对一切实数x，f（x）＜0恒成立，讨论含有m的不等式，当m＝0时，f（x）＝﹣3＜0，符合题意，当m≠0时，由题意：m＜0，且4m2+12m＜0，解得：﹣3＜m＜0，综上：﹣3＜m≤0；故实数m的取值范围：{m|﹣3＜m≤0}．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，一元二次不等式的解法，分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．7．（2019秋•文昌校级期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|，g（x）＝x2+2ax+1 （a为正常数），当x ＝0 时，函数f（x）＝g（x）．（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间．【思路分析】（1）由题意可得f （0）＝g （0），解方程可得a ；（2）讨论当 x ≥1时，当 x ＜1时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，即可得到所求增区间．【答案】解：（1）由题意，f （ 0 ）＝g （ 0 ），即|a |＝1 又 a ＞0，所以 a ＝1；（2）f （ x ）+g （ x ）＝|x ﹣1|+x 2+2x +1，当 x ≥1时，f （ x ）+g （ x ）＝x 2+3x ，它在[1，+∞）上单调递增；当 x ＜1时，f （ x ）+g （ x ）＝x 2+x +2，它在[−12，1 ） 上单调递增．则函数 f （ x ）+g （ x ） 的单调递增区间为[1，+∞）∪[−12，1 ）＝[−12，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．。

数学思想渗其中，“解几”问题来体验【方法综述】大家知道，数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求.从直线与圆这部分内容看，所渗透的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想.下面举例加以说明，通过解析几何问题，体验上述思想方法的应用.【解疑释惑】（一）数形结合思想数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维．(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．例1.【数学奥林匹克高中训练题】若，则函数的最小值等于______．【答案】【解析】由配方得．左边可看作点与定点的距离的平方，约束条件表示点在直线的右上方区域．于是，问题转化为求点到区域的点之间距离的最小值，即点到直线的距离.．故由，有，即．故答案为：例2. 从点出发的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好通过点，求入射光线所在的直线方程．【答案】.点评：破解平面解析几何问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．（二）函数与方程思想1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想．例3.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：例4. 过已知点(3,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为原点)，求直线l 的方程． 【答案】【解析】设直线l 的方程为x ＋ay －3＝0(a ≠0)， 则点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0，x ＋ay －3＝0，消去y ，得x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x a 2＋x －6·3－x a ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－6a 2＋6a ＋1x ＋9a2－18a＋3＝0.所以x 1x 2＝3a 2－18a ＋9a 2＋1.①由方程组消去x ，得(3－ay )2＋y 2＋(3－ay )－6y ＋3＝0， 即(a 2＋1)y 2－(7a ＋6)y ＋15＝0. 所以y 1y 2＝15a 2＋1.② 因为OP ⊥OQ ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 由①②，得3a 2－18a ＋9a 2＋1＋15a 2＋1＝0. 整理，得a 2－6a ＋8＝0.解得a ＝2或a ＝4. 故直线l 的方程为x ＋2y －3＝0或x ＋4y －3＝0. 点评：本题由条件OP ⊥OQ ，若设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1－0x 1－0·y 2－0x 2－0＝－1.由P ，Q 在圆及直线上，借助方程，巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决． （三）分类与整合思想分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．例5. 已知直线过点P (1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________. 【答案】5x －y ＝0或x ＋y －6＝0例6.(1)已知A (1,1)，B (3,5)，C (a,7)，D (－1，b )四点在同一条直线上，求直线的斜率k 及a ，b 的值． (2)已知直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，其中M (2，－3)，N (－3，－2)，求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）k ＝2，a ＝4，b ＝－3; （2）【解析】(1)由题意可知k AB ＝＝2，k AC ＝＝，k AD ＝＝.因为A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，所以k ＝2＝＝，解得a ＝4，b ＝－3，所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.(2)如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线．当l在PN位置转到l′位置时，倾斜角增大到90°，k≥k PN＝.当l在l′位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，k≤k PM ＝－4.综上所述：k∈(－∞，－4]∪.故答案为：（1）k＝2，a＝4，b＝－3;（2）（四）转化与化归思想转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．例7.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意可知f（x），不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x），可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．例8. 求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的最大距离与最小距离．【答案】点评：圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径．凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题．【提升训练】一、选择题1．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为23，则m的值为( )A.1B.－3C.1或－3D.2【答案】C【解析】∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝ 5. 又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2 3.∴圆心C到直线的距离d＝r2－（3）2＝2，因此|1－0＋m|12＋（－1）2＝2，∴m＝1或m＝－3.2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )A.7B.6C.5D.4【答案】B3．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．故选：B．二、填空题4．已知1≤t≤2，过两点(u,2t)，(t－2，u)的直线l的斜率为2，则直线l在y轴上的截距的取值范围为________．【答案】[，2]【解析】由题意知，则.设直线与轴的交点为，则，则，故.5. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_____【答案】6. 在平面直角坐标系中，已知点在圆C：内，直线AB过点P，且与圆C交于A，B两点，若面积的最大值为5，则实数m的取值范围为______．【答案】或【解析】点在圆C：内，，解得：面积的最大值为5，，，圆心到直线AB的距离，又，，解得或，又，或，故答案为或．三、解答题7. 【2017·全国Ⅲ卷】在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】（1）【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的根，所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，又C的坐标为(0，1)，则由AC、BC的斜率x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，所以不能出现AC⊥BC的情况.令x＝0得y1＝1，y2＝－2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为1－(－2)＝3.所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.法二设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x2＝－2可知原点O在圆内.由相交弦定理可得|OD||OC|＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝2，又|OC|＝1，所以|OD|＝2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值.8.【2016·江苏卷选】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；【答案】2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.9. 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．【答案】入射光线所在直线的方程为：5x－4y＋2＝0.反射光线所在直线的方程为：4x－5y＋1＝0.【解析】由题意，设点关于直线对称点为，则，解得，即，由于反射光线经过点和，则直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即，解方程组，得，即反射点，则入射光线的所在直线的斜率为,所以入射光线所在直线的方程为，即.10. 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？【答案】见解析．【解析】所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组得所以P点的坐标为．故供水站应建在点P处．。

高中数学思想方法教案
一、教学目标
1. 知识目标：学生能够了解数学的思维方式和方法，提高数学解题的能力；
2. 能力目标：培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力；
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，增强学生解决问题的信心。

二、教学重点和难点
1. 重点：引导学生正确理解数学思维方式和方法；
2. 难点：培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

三、教学内容
1. 数学思维的基本原理和方法；
2. 数学中常用的解题思路和技巧。

四、教学方法与过程
1. 导入：通过一个生活实例或数学问题引导学生思考，激发学生解决问题的兴趣；
2. 学习：介绍数学思维的基本原理和方法，讲解数学解题的常用思路和技巧；
3. 练习：让学生进行举一反三的练习，加深对数学思维的理解；
4. 总结：引导学生总结今天所学内容，强化学习效果。

五、教学手段
1. 多媒体教学：利用PPT、视频等多媒体手段辅助教学；
2. 互动讨论：设置小组讨论、分享思考等环节，促进学生间的互动交流；
3. 练习与检测：设计针对性的练习题和难题，检验学生的学习效果。

六、教学反馈
1. 对学生进行及时的学习成绩评价和反馈；
2. 鼓励学生勇于思考、提问和探究。

七、课后作业
1. 完成相关练习题；
2. 思考数学中的思维方式和方法。

八、教学效果评估
1. 定期组织考试，检验学生的学习成果；
2. 观察学生在课堂上的表现和思考能力。

以上是一份高中数学思想方法教案范本，希望对你有所帮助。

祝教学顺利！。

高考思想方法训练于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为6，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．12D ．16解析：由题易知抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1,0)，当直线AB 垂直于x 轴时，△AOB 的面积为2，不满足题意，所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －4k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝16k 2＋16，所以△AOB 的面积为12×1×16k2＋16＝6，解得k ＝±2，所以|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝6，故选A.答案：A5．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋ln x 在其定义域上不单调，则实数a 的取值范围( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)解析：函数的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝2x 2－ax ＋ln x ，所以f ′(x )＝4x －a ＋1x＝1x(4x 2－ax ＋1)．由函数在区间(0，＋∞)上不单调可知f ′(x )＝0有两个正根，即4x 2－ax ＋1＝0有两个正根．故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝－a2－4×4×1>0，x 1＋x 2＝a 4>0，x 1x 2＝14>0，解得a >4.所以a 的取值范围为(4，＋∞)． 答案：C6．(2017·昆明市质检)(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．96 B ．64 C ．32 D ．16解析：(1＋2x )3的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 3(2x )r ＝2r C r 3x r ，(2－x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 424－k(－x )k ＝(－1)k 24－k C k 4x k，所以(1＋2x )3(2－x )4的展开式中x 的系数为20C 03·(－1)·23C 14＋2C 13·(－1)0·24C 04＝64.答案：B7．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M8．已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，总存在唯一的y ∈[－1,1]，使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤2e ，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e，e ＋1e解析：设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ；设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e yy (y ＋2)，则g (y )在[－1,0)单调递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1，存在唯一的y ∈[－1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －1e ，a ⊆[0，e]，解得1e ≤a ≤e.答案：A9．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意知，原命题等价于tan x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1.答案：110．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由约束条件作可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，解得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋2y －4＝0，解得B (2,1)．在x －y －1＝0中取y ＝0得A (1,0)． 由ax ＋y ≤4得y ≤－ax ＋4， 要使ax ＋y ≤4恒成立，则平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方， 若a ＝0，则不等式等价于y ≤4，此时满足条件， 若－a >0，即a <0，平面区域满足条件，若－a <0，即a >0时，要使平面区域在直线y ＝－ax ＋4的下方，则只要B 在直线上或直线下方即可，即2a ＋1≤4，得0<a ≤32.综上a ≤32.所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，3211．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 12．(2017·陕西八校联考)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与C 交于A ，B (A 在x 轴上方)两点．若AF →＝mFB →，则m 的值为________．解析：由题意知F (1,0)，由⎩⎨⎧y ＝3x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝13，y 1＝－233⎝ ⎛⎭⎪⎫233舍去，⎩⎨⎧x 2＝3，y 2＝23－23舍去.由A 在x 轴上方，知A (3,23)，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，则AF →＝(－2，－23)，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－233，因为AF →＝mFB →，所以m ＝3.答案：313．(2017·太原市模拟题)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，a ＝2b cos B ，b ≠c .(1)证明：A ＝2B ；(2)若a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，求A . 解析：(1)证明：∵a ＝2b cos B ，且a sin A ＝bsin B，∴sin A ＝2sin B cos B ＝sin2B ，∵0<A <π，0<B <π，∴sin A ＝sin2B >0，∴0<2B <π， ∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，则B ＝C ，b ＝c ，这与“b ≠c ”矛盾，∴A ＋2B ≠π， ∴A ＝2B .(2)∵a 2＋c 2＝b 2＋2ac sin C ，∴a 2＋c 2－b 22ac＝sin C ，由余弦定理得cos B ＝sin C ，∵0<B <π，0<C <π，∴C ＝π2－B 或C ＝π2＋B .①当C ＝π2－B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，得A ＝π2，B ＝C ＝π4，这与“b ≠c ”矛看，∴A ≠π2；②当C ＝π2＋B 时，由A ＝2B 且A ＋B ＋C ＝A ＋2B ＋π2＝2A ＋π2＝π，得A ＝π4，B ＝π8，C ＝5π8， ∴A ＝π4.14．(2017·洛阳市统考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2；(2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1， ∴a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. ∵a n ≠0，∴a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， ∴a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，∴a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数n －32，n 为偶数.15．设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x ，m >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥1时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋mx －mx.当0<x <m 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减， 当x >m 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．综上，函数f (x )的单调递增区间是[m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m ]． (2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x >0，问题等价于求函数F (x )的零点个数．F ′(x )＝－x －1x －mx，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32>0，F (4)＝－ln4<0，所以F (x )有唯一零点．当m >1时，若0<x <1或x >m ，则F ′(x )<0，若1<x <m ，则F ′(x )>0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m＋12>0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)<0， 所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．16．(2017·合肥市质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．解析：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 23c2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54，当直线l 与x 轴垂直时，|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，。

1、如果方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围．2、设函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ＋a －1，已知不等式1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．3、已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5.(1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值．4、设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．(1)若ED →＝6DF →，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值．5．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则a 、b 满足的关系式为________．6．满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________．7．设a >1，若仅有一个常数c 使得对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时，a 的取值的集合为________．8．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．9．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．11．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)设数列{b n }的通项b n ＝1a n a n ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m 恒成立，求m 的最大值．12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．13．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围；(2)求α＋β的值．14．设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．15. 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．16.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则y x的最大值为________． 17.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．18．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当K (m,0)是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系．19．设关于x 的函数y ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )＝12的a 的值，并求此时函数的最大值．20．已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值．①写出g (a )的表达式；②求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2.21.已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .22.设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值．23.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．24.设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．25．f (x )＝13x 3－x ，x 1，x 2∈[－1,1]时，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.26．已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)．27.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x ∈R |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．28.设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0，O 为坐标原点，且|PF 1→|＝3|PF 2→|，则该双曲线的离心率为________． 29.已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0<a <1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．30.是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋58a －32在闭区间[0，π2]上的最大值是1？若存在，则求出对应的a 的值；若不存在，则说明理由．。

2019-2020年高三数学二轮复习 专题二第四讲 思想方法与规范解答教案 理 思想方法1．数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想．[例1] (xx 年高考辽宁卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos (πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－，]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 根据函数y ＝f (x )的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos (πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤，则x 3＝x cos (πx )，即x 2＝ |cos πx |.同理可以得到在区间[－12，0)， (12，1]，(1，32]上的关系式都是上式， 在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．[答案] B跟踪训练已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：利用函数的单调性及数形结合思想求解．∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.答案：C2．分类讨论思想分类讨论思想是由问题的不确定性而引起的，需要按照问题的条件划分为几类，从而解决问题，在本专题中常见的分类讨论思想的运用有以下两个方面：(1)二次函数在给定区间的最值求法，注意对称轴与区间关系；(2)含参数的函数的单调性的判断，极值、最值的求法．[例2] (xx年高考课标全国卷)设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1，所以(x －k )f ′(x )＋x ＋1＝(x －k )(e x －1)＋x ＋1.故当x >0时，(x －k )f ′(x )＋x ＋1>0等价于k <x ＋1e x －1＋x (x >0)．① 令g (x )＝x ＋1e x －1＋x ， 则g ′(x )＝－x e x －1（e x －1）2＋1＝e x （e x－x －2）（e x －1）2. 由(1)知，函数h (x )＝e x －x －2在(0，＋∞)上单调递增．而h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g ′(x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x ∈(0，α)时，g ′(x )<0；当x ∈(α，＋∞)时，g ′(x )>0.所以g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g (α)． 又由g ′(α)＝0，可得e α＝α＋2，所以g (α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k <g (α)，故整数k 的最大值为2.跟踪训练(xx 年济南模拟)已知函数f (x )＝x 2e －ax ，a R.(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程；(2)讨论f (x )的单调性．解析：(1)因为当a ＝1时，f (x )＝x 2e －x ，f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝(2x －x 2)e －x ，所以f (－1)＝e ，f ′(－1)＝－3e.从而y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －e ＝－3e(x ＋1)，即y ＝－3e x －2e.(2)f ′(x )＝2x e －ax －ax 2e －ax ＝(2x －ax 2)e －ax .①当a ＝0时，若x <0，则f ′(x )<0，若x >0，则f ′(x )>0.所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a >0时，由2x －ax 2<0，解得x <0或x >2a， 由2x －ax 2>0，解得0<x <2a. 所以当a >0时，函数f (x )在区间(－∞，0)，(2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a)上为增函数． ③当a <0时，由2x －ax 2<0，解得2a<x <0， 由2x －ax 2>0，解得x <2a或x >0. 所以，当a <0时，函数f (x )在区间(－∞，2a )，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a，0)上为减函数． 综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(2a ，＋∞)上单调递减，在(0，2a )上单调递增当a <0时，f (x )在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．考情展望高考对本专题的考查主要是两个方面：一是在选择填空题中考查函数图象与性质及应用，二是在解答题中考查导数的应用，常与不等式联系，难度较大，多涉及含参数问题．名师押题【押题】 设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R.(1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．【解析】 (1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1. 由f ′(x )＝1x－1>0得0<x <1， 由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px .由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0.即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意；②当－12<p <0时，存在x ∈(1，－12p)使得ln x >0，1＋2px >0，从而g ′（x ）＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在(1，－12p )上单调递增，从而存在x 0∈(1，－12p)使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意； ③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为。

第四讲 思想方法与规范解答（一）思想方法1．数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想．[例1] (___高考辽宁卷)设函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos (πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [解析] 根据函数y ＝f (x )的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos (πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos (πx )，即x 2＝ |cos πx |.同理可以得到在区间[－12，0)， (12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．[答案] B跟踪训练已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④解析：利用函数的单调性及数形结合思想求解．∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.答案：C2．分类讨论思想分类讨论思想是由问题的不确定性而引起的，需要按照问题的条件划分为几类，从而解决问题，在本专题中常见的分类讨论思想的运用有以下两个方面：(1)二次函数在给定区间的最值求法，注意对称轴与区间关系；(2)含参数的函数的单调性的判断，极值、最值的求法．[例2](___高考课标全国卷)设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．[解析](1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.所以，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．(2)由于a＝1，所以(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(e x－1)＋x＋1.故当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等价于k<x＋1e x－1＋x(x>0)．①令g(x)＝x＋1e x－1＋x，则g′(x)＝－x e x－1（e x－1）2＋1＝e x（e x－x－2）（e x－1）2.由(1)知，函数h(x)＝e x－x－2在(0，＋∞)上单调递增．而h(1)<0，h(2)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点，故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈(1，2)．当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(xg(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0，可得eα＝α＋2，所以g(α)＝α＋1∈(2，3)．由于①式等价于k<g(α)，故整数k的最大值为2.跟踪训练(___济南模拟)已知函数f(x)＝x2e－ax，a R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性．解析：(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3e x－2e.(2)f′(x)＝2x e－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①当a＝0时，若x<0，则f′(x)<0，若x>0，则f′(x)>0.所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a >0时，由2x －ax 2<0，解得x <0或x >2a ， 由2x －ax 2>0，解得0<x <2a .所以当a >0时，函数f (x )在区间(－∞，0)，(2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a )上为增函数．③当a <0时，由2x －ax 2<0，解得2a <x <0， 由2x －ax 2>0，解得x <2a 或x >0.所以，当a <0时，函数f (x )在区间(－∞，2a )，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a ，0)上为减函数．综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(－∞，0)，(2a ，＋∞)上单调递减，在(0，2a )上单调递增当a <0时，f (x )在(2a ，0)上单调递减，在(－∞，2a )，(0，＋∞)上单调递增．考情展望高考对本专题的考查主要是两个方面：一是在选择填空题中考查函数图象与性质及应用，二是在解答题中考查导数的应用，常与不等式联系，难度较大，多涉及含参数问题．名师押题【押题】 设函数f (x )＝ln x －p (x －1)，p ∈R. (1)当p ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)，对任意x ≥1都有g (x )≤0成立，求p 的取值范围．【解析】 (1)当p ＝1时，f (x )＝ln x －x ＋1，其定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x－1.由f ′(x )＝1x －1>0得0<x <1， 由f ′(x )<0得x >1.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)由函数g (x )＝xf (x )＋p (2x 2－x －1)＝x ln x ＋p (x 2－1)(x >0)，得g ′(x )＝ln x ＋1＋2px . 由(1)知，当p ＝1时，f (x )≤f (1)＝0，即不等式ln x ≤x －1成立．①当p ≤－12时，g ′(x )＝ln x ＋1＋2px ≤(x －1)＋1＋2px ＝(1＋2p )x ≤0. 即函数g (x )在[1，＋∞)上单调递减，从而g (x )≤g (1)＝0，满足题意；②当－12<p <0时，存在x ∈(1，－12p )使得ln x >0，1＋2px >0，从而g ′（x ）＝ln x ＋1＋2px >0，即函数g (x )在(1，－12p )上单调递增，从而存在x 0∈(1，－12p )使得g (x 0)>g (1)＝0，不满足题意；③当p ≥0时，由x ≥1知g (x )＝x ln x ＋p (x 2－1)≥0恒成立，此时不满足题意．综上所述，实数p 的取值范围为1(,].2-∞-第二讲 空间中的平行与垂直研热点（聚焦突破）类型一 空间线线、线面位置关系1．线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.2．线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .3．线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α. 4．线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α a ∥b .[例1] (___高考山东卷)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . (1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角FBDC 的余弦值．[解析] (1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD 平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)解法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直．以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图(1)所示的空间直角坐标系．不妨设CB ＝1，则C (0，0，0)，B (0，1，0)，D (32，－12，0)，F (0，0，1)．(1)因此BD →＝(32，－32，0)，BF →＝(0，－1，1)． 设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0， 所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1，1)．由于CF →＝(0，0，1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F -BD -C 的余弦值为55.解法二 如图(2)，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ， 由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以FC ⊥BD .由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ， 所以BD ⊥平面FCG ， 故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F -BD -C 的平面角．(2)在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°， 因此CG ＝12CB .又CB ＝CF ， 所以CF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55，因此二面角F -BD -C 的余弦值为55.跟踪训练(___济南摸底)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC1、AB、BC的中点．且CC1＝2AC.(1)求证：CN∥平面AMB1；(2)求证：B1M⊥平面AMG.证明：(1)设线段AB1的中点为P，连接NP、MP，∵CM∥12AA1，NP∥12AA1，∴CM∥NP，∴四边形CNPM是平行四边形，∴CN∥MP，∵CN⊄平面AMB1，MP⊂平面AMB1，∴CN∥平面AMB1.(2)∵CC 1⊥平面ABC ， ∴平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面CC 1B 1B ，∴B 1M ⊥AG . ∵CC 1⊥平面ABC ，平面A 1B 1C 1∥平面ABC ， ∴CC 1⊥AC ，CC 1⊥B 1C 1， 设AC ＝2a ，则CC 1＝22a ， 在Rt △MCA 中，AM ＝ CM 2＋AC 2＝6a ，在Rt △B 1C 1M 中，B 1M ＝B 1C 21＋C 1M 2＝6a .∵BB 1∥CC 1，∴BB 1⊥平面ABC ，∴BB 1⊥AB ， ∴AB 1＝B 1B 2＋AB 2＝C 1C 2＋AB 2＝23a ，注意到AM 2＋B 1M 2＝AB 21，∴B 1M ⊥AM ， 类型二 空间面面位置关系1．面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.2．面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l α⊥β. 3．面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝A ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β. 4．面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒α∥b . 5．面面平行的证明还有其它方法(1),,,a b a b A c d c d B a c b d αβαβ⊂=⎫⎪⊂=⇒⎬⎪⎭且且∥∥∥(2),a a ααββ⊥⊥⇒∥[例2](___高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[证明](1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.跟踪训练(___大同模拟)如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥，点M是棱BC的中点，DM＝3 2.(1)求证：平面ABC⊥平面MDO；(2)求三棱锥M-ABD的体积．解析：(1)证明：由题意得OM＝OD＝3，因为DM＝32，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM.又因为四边形ABCD为菱形，所以OD⊥AC.因为OM∩AC＝O，所以OD⊥平面ABC，因为OD 平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO.(2)三棱锥M-ABD的体积等于三棱锥D-ABM的体积．由(1)知，OD⊥平面ABC，所以OD为三棱锥D-ABM的高．又△ABM的面积为12BA×BM×sin 120°＝12×6×3×32＝932，所以M-ABD的体积等于13×S△ABM ×OD＝932.类型三折叠中的位置关系将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称之为平面图形翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化、有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．[例3](___高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直[解析]找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC >AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.[答案] B跟踪训练如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD＝AE.(1)求证：BC∥平面DAE；(2)求四棱锥DAEFB的体积．解析：(1)证明：∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E.∴平面CBF∥平面DAE，又BC⊂平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝ 3.∴DH⊥平面AEFB.四棱锥D-AEFB的体积V＝13×3×2×2＝43 3.析典题（预测高考）高考真题【真题】(___高考陕西卷)(1)如图所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．【解析】(1)证明：证法一如图(1)，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)．因为a⊥b，所以a·b＝0.又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0.故a·c＝0，从而a⊥c.证法二如图(2)，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.因为PO⊥π，aπ，所以直线PO⊥a.又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，所以a⊥平面P AO.又c平面P AO，所以a⊥c.(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b . 逆命题为真命题．【名师点睛】 本题实际上考查了三垂线定理逆定理的证明，命题创意新颖，改变了多数高考命题以空间几何体为载体考查线面位置关系的证明．着重考查推理论证能力． 考情展望 名师押题【押题】 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； (2)证明：A 1C ⊥平面AB 1C 1；(3)若D 是棱CC 1的中点，E 是棱AB 的中点，判断DE 是否平行于平面AB 1C 1，并证明你的结论．【解析】 (1)几何体的直观图如图所示，四边形BB 1C 1C 是矩形，BB 1＝CC 1＝3，BC ＝B 1C 1＝1，四边形AA 1C 1C 是边长为3的正方形，且平面AA 1C 1C 垂直于底面BB 1C 1C ，故该几何体是直三棱柱，其体积 V ＝S △ABC ·BB 1＝12×1×3×3＝32.(2)证明：由(1)知平面AA 1C 1C ⊥平面BB 1C 1C 且B 1C 1⊥CC 1，所以B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，所以B 1C 1⊥A 1C .因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1，而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.(3)DE∥平面AB1C1，证明如下：如图，取BB1的中点F，连接EF，DF，DE.因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1，DF∥B1C1.又AB1 ⊂平面AB1C1，EF ⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.同理，DF∥平面AB1C1，又EF∩DF＝F，则平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.。