静电场02

静电场的基本方程
⎯积分形式的静电场基本方程⎯微分形式的静电场基本方程0
=⋅⎰l l E d q
S
=⋅⎰S D d 0
=⨯∇E ρ=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E
D ε=
静电场的环路定理，说明电场强度的环路线积分恒等于零，即静电场是一个守恒场。

0
=⋅⎰l
l E d q
S
=⋅⎰S D d 0=⨯∇E ρ
=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E
D ε=
静电场的高斯定理，表明穿出任一闭合面的电位移矢量的通量等于该闭合面内的总自由电荷。

0
=⋅⎰l
l E d q
S
=⋅⎰S D d 0=⨯∇E ρ
=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E
D ε=
静电场环路定理的微分形式，表明电场强度的旋度处处为零，静电场是无旋场。

0
=⋅⎰l
l E d q
S
=⋅⎰S D d 0
=⨯∇E ρ=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E
D ε=
静电场高斯定理的微分形式，表明电位移矢量的散度等于自由电荷体密度，静电场是有散场。

0
=⋅⎰l
l E d q
S
=⋅⎰S D d 0
=⨯∇E ρ=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E
D ε=
静电场是无旋有散场。

0
=⋅⎰l
l E d q
S =⋅⎰S D d 0
=⨯∇E ρ
=⋅∇D 在各向同性电介质中满足构成方程：E D ε=。

(每日一练)(文末附答案)2022届高中物理静电场解题方法技巧单选题1、下列与能量有关的说法正确的是（）A．卫星绕地球做圆周运动的半径越大，动能越大B．从同种金属逸出的光电子的最大初动能随照射光波长的减小而增大C．做平抛运动的物体在任意相等时间内动能的增量相同D．在静电场中，电场线越密的地方正电荷的电势能一定越高2、据《自然》杂志2021年5月17日报道，中国科学家在稻城“拉索”基地（如图）探测到迄今为止最高能量的γ射线，能量值为1.40×1015eV，即（）A．1.40×1015V B．2.24×10−4C C．2.24×10−4W D．2.24×10−4J3、如图所示，真空中M、N处放置两等量异号电荷，a、b、c表示电场中的3条等势线，d点和e点位于等势线a上，f点位于等势线c上，df平行于MN。

已知：一带正电的试探电荷从d点移动到f点时，试探电荷的电势能增加，则以下判断正确的是（）A．M点处放置的是正电荷B．若将带正电的试探电荷沿直线由d点移动到e点，则电场力先做正功、后做负功C．d点的电势高于f点的电势D．d点的场强与f点的场强完全相同4、关于电容器的电容C、电压U和所带电荷量Q之间的关系.以下说法正确的是（）A．C由U确定B．C由Q确定C．C一定时，Q与U成正比D．C一定时，Q与U成反比5、通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，已知试探电荷q在场源电荷Q的电场中具所有电势（式中k为静电力常量，r为试探电荷与场源电荷间的距离）。

真空中有两个点电荷Q1、Q2能表达式为Er=kqQr分别固定在x坐标轴的x=0和x=6cm的位置上。

x轴上各点的电势φ随x的变化关系如图所示。

A、B是图线与x的交点，A点的x坐标是4.8cm，图线上C点的切线水平。

下列说法不正确．．．的是（）A．电荷Q1、Q2的电性相反B．电荷Q1、Q2的电荷量之比为1∶4C．B点的x坐标是8cmD．C点的x坐标是12cm6、均匀带电薄球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。

第二章静电场重点和难点电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分 形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方 程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特 性。

利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。

通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三 种方法。

至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、 各向同性与各向异性等概念。

讲解介质中静电场方程时，应强调电通密 度仅与自由电荷有关。

介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静 电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。

关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量 不符合迭加原理。

介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常 电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。

至于电容和部分电容一节可 以从简。

重要公式真空中静电场方程：qE d SE d l 0积分形式： SlEE 0微分形式：已知电荷分布求解电场强度：1(r )1，E (r )(r )；(r )d V4|rr|V 02， E (r ) V 4 (r 0 )( | r r r r ) 3 |dV qE d S 3，高斯定律S1介质中静电场方程：E d l0积分形式：D d S qS l 微分形式：DE0线性均匀各向同性介质中静电场方程：qE d SE d l0积分形式：S l微分形式：EE0静电场边界条件：1，E1t E2t。

对于两种各向同性的线性介质，则D 1tD t2122，D2n D1ns。

在两种介质形成的边界上，则D 12nnD对于两种各向同性的线性介质，则E2n1 12nE3，介质与导体的边界条件：e n E0；e n DS若导体周围是各向同性的线性介质，则SSE；n n静电场的能量：221Q1 孤立带电体的能量：WQe2C2离散带电体的能量：n1W e Qi12ii111分布电荷的能量：WVSledddSlVSl2221静电场的能量密度：DEwe2对于各向同性的线性介质，则we 12E2电场力：库仑定律：Fqq4r2 e rd We常电荷系统：Fq常数d ldWeF常电位系统：常数d l题解2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。

静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。

4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。

第十章静电场中的能量专题02：静电场中的图像问题一、选择题1.(2022上海莘庄中学期中)某电场的场强E沿x轴变化的规律如图所示(取x轴正方向为场强正方向)，一正电荷从x1移动到x2，其电势能()A.始终增大B.始终减小C.先减小后增大D.先增大后减小2.(2021江苏扬州高邮调研)在某个电场中，x轴上各点的电场强度E随坐标x变化的图线如图所示(取x轴正方向为场强正方向)，图线关于原点O中心对称，一质量为m、电荷量为q 的粒子只在电场力作用下沿x轴做直线运动，x轴上x=x1和x=-x1是粒子运动轨迹上的两点，下列说法中正确的是()A.x轴上x=x1和x=-x1两点电场强度和电势都相同B.粒子运动过程中，经过x=x1和x=-x1两点时速度一定相同C.粒子运动过程中，经过x=x1点的加速度与经过x=-x1点的加速度相同D.粒子从x=-x1点到x=x1点的运动过程中电势能先增大后减小3.(2021陕西西安一模)真空中有一半径为r0的带电金属球，以球心O为坐标原点沿某一半径方向建立x轴，x轴上各点的电势φ随x的分布如图所示，其中x1、x2、x3分别是x轴上A、B、C三点的位置坐标。

根据φ-x图像，下列说法正确的是()A.该金属球带负电B.A点的电场强度大于C点的电场强度C.B点的电场强度大小为φ2-φ3x3-x2D.电荷量为q的负电荷在B点的电势能比在C点的电势能低|q(φ2-φ3)|4.(2021重庆十八中期中)电荷量不等的两点电荷固定在x轴上坐标为-3L和3L两点处，其中坐标为-3L处的点电荷所带电荷量的绝对值为Q，两点电荷连线上各点的电势φ随x变化的关系如图所示，其中x=L处电势最低，x轴上M、N两点坐标分别为-2L和2L，则下列判断正确的是()A.两点电荷一定为异种电荷B.原点O处场强大小为kQ12L2C.正试探电荷在原点O处受到向左的电场力D.负试探电荷由M点运动到N点的过程，电势能先减小后增大5.(2022江苏扬州江都月考)O、A为某电场中一条平直电场线上的两个点，将电子从O点由静止释放，仅在电场力作用下运动到A点，其电势能随位移x变化的关系如图所示。

第十章 静电场中的能量 （A 卷）一、单选题1．（2020·全国高二专题练习）下面是某同学对电场中的一些概念及公式的理解，其中正确的是（ ） A ．根据电场强度的定义式FE q=可知，电场中某点的电场强度与试探电荷所受的电场力成正比 B ．根据电容的定义式QC U=可知，电容器的电容与其所带电荷量成正比，与两极板间的电压成反比 C ．根据真空中点电荷的场强公式2QE kr =可知，电场中某点的场强与场源电荷所带电荷量成正比 D ．根据电势差的定义式ABAB W U q=可知，如果将一个正点电荷从A 点移动到B 点，电场力做功为1J ，则A 、B 两点间的电势差为1V 【答案】C【详解】A. 电场强度由电场本身决定，与试探电荷受到的电场力和电荷量都无关，选项A 错误； B. 电容器的电容由电容器本身结构决定，与电容器所带的电荷量和两板之间的电压无关，选项B 错误； C. 公式2QE kr=是真空中点电荷产生场强的决定式，即电场中某点的场强与场源电荷所带电荷量成正比，与该点到场源电荷的距离的平方成反比，选项C 正确； D. 根据电势差的定义式ABAB W U q=可知，如果将一个电荷量为1C 的正点电荷从A 点移动到B 点，电场力做功为1J ，则A 、B 两点间的电势差为1V ，即表述中少了“电荷量为1C” 的条件，选项D 错误。

故选C 。

2．（2020·全国）如图所示，在匀强电场中有A 、B 两点，将一电荷量为q 的正电荷从A 点移到B 点，第一次沿直线AB 移动该电荷，电场力做功为1W ；第二次沿路径ACB 移动该电荷，电场力做功2W ；第三次沿曲线ADB 移动该电荷，电场力做功为3W ，则（ ）A ．123W W W >>B ．123W W W <<C ．123W W W ==D ．123W W W =>【答案】C【详解】假设A 、B 两点相距l ，直线AB 与电场线的夹角为(90)θθ︒<，根据功的定义可知，电场力做的功均为cos W qEl θ=故沿三种路径移动该电荷，电场力做功相等，故C 正确，ABD 错误。