§5.5向心加速度(第一课时)

B.向心加速度的方向保持不变
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析:向心加速度的方向沿半径指向圆心,速度方向沿圆周的切
线方向。所以,向心加速度的方向始终与速度方向垂直,且方向在不
断改变。物体做匀速圆周运动时,只具有向心加速度,加速度方向始
终指向圆心。
2
2
(2)根据 ω=2πf 及 an=ω2r 可得 an=4π2f2r;
(3)根据 v=rω 及 an=ω2r 可得 an=ωv。
r;
【例 2】
(多选)如图所示,皮带传动装置中,右边两轮连在一起共轴转动,
图中三轮半径分别为 r 1=3r,r2 =2r,r 3=4r;A、B、C 三点为三个轮边缘
上的点,皮带不打滑。向心加速度分别为 a1、a2 、a3,则下列比例关系
根据公式 v=rω,有 vb∶vc=3∶2。
根据 a=ω2r,有 ab∶ac=3∶2。
综合得到 va∶vb∶vc=3∶3∶2,ωa∶ωb∶ωc=3∶2∶2,
na∶nb∶nc=3∶2∶2,aa∶ab∶ac=9∶6∶4。
故选 D。
答案:D
思悟升华
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系,必须
示,求质点从 A 点转过 90°到达 B 点的速度变化量。
答案:4 2 m/s
方向斜向左下方,与 vB 方向成 45°角
2.设做匀速圆周运动的物体的线速度大小为 v,轨迹半径为 r。
经过一微小时间 Δt,物体从 A 点运动到 B 点。尝试用 v、r 写出向心
加速度的表达式。
答案:物体从 A 点运动到 B 点,经历的时间为 Δt,位移为 x。将 vA

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二 匀速圆周运动的加速度大小 1．大小：(1)an＝vr2；(2)an＝rω2。 2．讨论：由 an＝vr2知，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成 ___反__比___。由 an＝rω2 知，角速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径 成___正__比___。
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解析：因为 A 为双曲线的一支，说明 a 与 r 成反比，由 a＝vr2可知，A 物 体运动的线速度大小不变，故 A 正确，B 错误；而 OB 为过原点的直线， 说明 a 与 r 成正比，由 a＝ω2r 可知，B 物体运动的角速度大小不变，故 C 正确，D 错误。
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解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线方 向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，只改变线速度的方 向，不改变线速度的大小，故A、B正确；如果物体做的不是匀速圆周 运动，此时存在切向加速度，故圆周运动的向心加速度与切向加速度 的合加速度的方向不一定始终指向圆心，故C错误；物体做匀速圆周运 动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，故D正确。
内，它们通过的路程之比为2∶3，运动方向改变的角度之比为4∶3。
它们的向心加速度之比为( B )
A．2∶3
B．8∶9
C．2∶1
D．1∶2
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[解析] 两架飞机做匀速圆周运动，由于在相同的时间内它们通过的路 程之比为2∶3，所以它们的线速度之比为v1∶v2＝2∶3；由于在相同的 时间内运动方向改变的角度之比为4∶3，所以它们的角速度之比为 ω1∶ω2＝4∶3。由a＝vω可知向心加速度之比为a1∶a2＝8∶9，故选 B。

5.5向⼼加速度教案（最新整理）第五章第5节· 向⼼加速度 ·教案主备⼈⾦林军审核⼈陈浩集体备课教案⼆次备课【教学⽬标】1．理解速度变化量及向⼼加速度的概念，2．知道向⼼加速度和线速度、⾓速度的关系．3．能够运⽤向⼼加速度公式求解有关问题．【教学重难点】1．理解匀速圆周运动中加速度的产⽣原因，掌握向⼼加速度的确定⽅法和计算公式．2．向⼼加速度⽅向的确定过程和向⼼加速度公式的推导与应⽤．【课时安排】1课时第⼀课时（新课）【课时⽬标】1．理解速度变化量及向⼼加速度的概念，2．知道向⼼加速度和线速度、⾓速度的关系．3．能够运⽤向⼼加速度公式求解有关问题．【教学过程】⼀、引⼊课题温故：1．加速度是表⽰____________的物理量，它等于____________________________的⽐值．在直线运动中，v 0表⽰初速度，v 表⽰末速度，则速度的变化量Δv ＝__________，加速度公式a ＝______________，其⽅向与速度变化量⽅向________．2．在直线运动中，取初速度v 0⽅向为正⽅向，如果速度增⼤，末速度v ⼤于初速度v 0，则Δv ＝v －v 0____0(填“>”或“<”)，其⽅向与初速度⽅向______；如果速度减⼩，Δv ＝v －v 0____0，其⽅向与初速度⽅向______．3．在曲线运动中，当合外⼒的⽅向与初速度⽅向成锐⾓时，物体速度将______，同时速度⽅向__________．当合外⼒的⽅向与初速度⽅向成钝⾓时，物体速度将______，同时速度⽅向__________.⼆、课前预习新知：4．做匀速圆周运动的物体，加速度的⽅向指向圆⼼，这个加速度称为向⼼加速度．5．向⼼加速度的⼤⼩的表达式：a n ＝＝rω2.v 2r6．向⼼加速度的⽅向始终与线速度⽅向________，只改变速度______，不改变速度的______；7．向⼼加速度的⽅向始终指向圆⼼，⽅向时刻改变，是⼀个变加速度，所以匀速圆周运动不是__________运动，⽽是____________运动；8．向⼼加速度与圆周运动的半径r 的关系：根据a n ＝＝rω2v 2r可知，在v ⼀定时，a n 与r 成________；在ω⼀定时，a n 与r 成________．三、新课教学（⼀）课堂研讨问题探究⼀、圆周运动的实例分析1．实例分析(1)地球绕太阳做近似的匀速圆周运动，地球受到太阳的⼒是万有引⼒，⽅向由地球中⼼指向太阳中⼼．(2)光滑桌⾯上⼀个⼩球由于细线的牵引，绕桌⾯上的图钉做匀速圆周运动，⼩球受到的⼒有________、____________、细线的拉⼒，其中______和________在竖直⽅向上平衡，细线的拉⼒总是指向______．2．结论猜测⼀切做匀速圆周运动的物体的合外⼒和加速度均指向______问题探究⼆、探究向⼼加速度的⽅向和⼤⼩[问题情境]　请同学们阅读教材中“做⼀做”栏⽬中的内容，并回答下列问题：(1)在A 、B 两点画速度⽮量v A 和v B 时，要注意什么？(2)将v A 的起点移到B 点时要注意什么？(3)如何画出质点由A 点运动到B 点时速度的变化量Δv?(4)Δv/Δt 表⽰的意义是什么？　(5)请同学们按照书中“做⼀做”栏⽬中的提⽰，推导出向⼼加速度⼤⼩的表达式？问题探究三、甲同学认为由公式a n ＝知向⼼加速度a n 与运动半径r 成反⽐；v 2r⽽⼄同学认为由公式a n ＝ω2r 知向⼼加速度a n 与运动半径r 成正⽐，他们两⼈谁的观点正确？说⼀说你的观点．（⼆）例题探究1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．匀速圆周运动就是匀速运动B ．匀速圆周运动的加速度是恒定不变的C ．做匀速圆周运动的物体处于平衡状态D ．匀速圆周运动是⼀种变加速运动2．做匀速圆周运动的物体，它的加速度⼤⼩必定与( )A ．线速度的平⽅成正⽐B ．⾓速度的平⽅成正⽐C ．运动半径成正⽐D ．线速度和⾓速度的乘积成正⽐3.在地球表⾯处取这样⼏个点：北极点A 、⾚道上⼀点B 、AB 弧的中点C 、过C 点的纬线上取⼀点D ，如图所⽰，则( )A ．B 、C 、D 三点的⾓速度相同B ．C 、D 两点的线速度⼤⼩相等C ．B 、C 两点的向⼼加速度⼤⼩相等D ．C 、D 两点的向⼼加速度⼤⼩相等4.⼩⾦属球质量为m ，⽤长L 的轻悬线固定于O 点，在O 点的正下⽅处钉有⼀颗钉⼦P ，把悬线沿⽔平⽅向拉直，如图所⽰，若⽆L2初速度释放⼩球，当悬线碰到钉⼦后的瞬间(设线没有断)( )A ．⼩球的⾓速度突然增⼤B ．⼩球的线速度突然减⼩到零C ．⼩球的向⼼加速度突然增⼤D ．⼩球的线速度突然增⼤5．⼀物体以4 m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为 2 s ，则物体在运动过程中的任⼀时刻，速度变化率的⼤⼩为( )A ．2 m/s 2B ．4 m/s 2C ．0D ．4π m/s 26．由于地球⾃转，⽐较位于⾚道上的物体1与位于北纬60°的物体2，则( )A ．它们的⾓速度之⽐ω1∶ω2＝2∶1B．它们的线速度之⽐v1∶v2＝2∶1C．它们的向⼼加速度之⽐a1∶a2＝2∶1D．它们的向⼼加速度之⽐a1∶a2＝4∶17．如图所⽰为两级⽪带传动装置，转动时⽪带均不打滑，中间两个轮⼦是固定在⼀起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的⼀半，则轮1边缘的a 点和轮4边缘的c点相⽐( )A．线速度之⽐为1∶4B．⾓速度之⽐为4∶1C．向⼼加速度之⽐为8∶1D．向⼼加速度之⽐为1∶88．⼀轿车以30 m/s的速率沿半径为60 m 的圆形跑道⾏驶．在轿车从A运动到B的过程中，轿车和圆⼼的连线转过的⾓度为90°，求：(1)此过程中轿车的位移⼤⼩；(2)此过程中轿车通过的路程；(3)轿车运动的向⼼加速度⼤⼩．让我们运⽤所学知识来⼀展⾝⼿吧。

答案：CD
典型练习：



5、如图所示,长为L的悬线固定在O点,在O 点正下方处有一钉子C,把悬线另一端的小球m拉 到跟悬点在同一水平面上无初速度释放,小球到 悬点正下方时悬线碰到钉子.则小球的 A.线速度突然增大 B.角速度突然增大 O C.向心加速度突然增大 m L D.悬线拉力突然增大 2
典型练习：
6、如图所示,定滑轮的半径r=2 cm,绕在滑 轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放, 测得重物以加速度a=2 m/s2做匀加速运动.在重 物由静止下落1 m的瞬间,滑轮边缘上的点的角 速度ω=_____ rad/s,向心加速度a=_____ m/s2.
答案：100
200
典型练习：
2、如图所示皮带转动轮，大轮直径是小轮直 径的２倍，A是大轮边缘上一点，B是小轮边 缘上一点，C是大轮上一点，C到圆心O1的距 离等于小轮半径。转动时皮带不打滑，则A、 B、C三点的角速度之比ωA： ωB： 1:２:1 ，向心加速度大小之比aA：aB： ωC=________ aC=________ 。 ２ :４ :1
第五节 向心加速度
曲线运动
变速运动
受力
加速度
思考:地球和小球受力吗？受什么力？合力沿什么方向？
小球在光滑水平面绕图钉做匀速圆周运动
合力为拉力，沿绳子指向图钉 这个合力便产生一个指向圆心的加速度，我们称为向心加速度 向心加速度方向：始终指向圆心（时刻变化）
引力，指向太阳
另一角度看向心加速度的方向
加速度的定义式是什么？a
7、如图所示,一质量为m的砂袋用长为l的 绳子拴住悬挂在O点,被拳击运动员水平击中后, 荡起的最大高度是h.求砂袋刚被击中后的瞬间, 砂袋的向心加速度是多大? O

5.5向心加速度学案一．向心加速度概念1.阅读教材P20的思考与讨论：地球绕太阳做匀速圆周运动。

地球受到什么力的作用？这个力可能沿什么方向？光滑桌面上的小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动，小球受到几个力的作用？这几个力的合力沿什么方向？2.匀速圆周运动的线速度方向沿 方向，随着物体的运动，速度方向时刻在变化，所以匀速圆周运动是 运动，做匀速圆周运动的物体所受的合力指向 ，所以物体的加速度也指向 。

3.向心加速度定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向 ，这个加速度叫向心加速度。

4.物理意义：向心加速度只改变速度的 （填大小或方向），不改变速度的 （填大小或方向）。

二．向心加速度大小表达式1.速度变化量：加速度定义式： ，在公式中△v 表示 ，速度的变化量是指物体速度的增量，它等于物体的 减去物体的 。

速度的变化量是 ，有大小，也有 。

当物体沿着一条直线运动，速度增加时，如图甲，速度变化量的方向与物体的速度方向 ，如图乙，速度减小时，速度变化量的方向与物体的速度方向 ，.当物体的始末速度不在一条直线上时，如图丙所示的方法求速度的变化量，用由的末端指向 的末端的有向线段表示。

2.向心加速度公式推导如图甲，A v 、B v 是时间间隔t ∆前后的速度，为了求出二者之差A B v v v -=∆，我们移动A v ，把它们的起点放在一起（图乙、图丙）。

由于只有t ∆很小的时候tv ∆∆才表示物体的加速度，所以实际上A 、B 两点相距很近（图丁）。

找出三角形中几个量的关系就能求得v ∆。

推导过程如下：v A 、v B 、△v 组成的矢量三角形与几何三角形ΔABO 相似丙r v AB v =∆∴tAB r v t v a n ∆⋅=∆∆=∴ 当t ∆很小很小时，ωωv r rv v r v a n ===⋅=∴223.规律：三．思考请完成教材P22的思考与讨论四．练习1.A 、B 两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，他们通过的路程之比是4：3，运动方向改变的角度之比是3：2，他们的向心加速度之比是多少？2.一部机器由电动机带动，机器上的皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍（如图），皮带与两轮之间不发生滑动。

【素养训练】
4．(2021·东营检测)家用台式计算机上的硬磁盘的磁道如图6.3-6
所示，O点为磁道的圆心，A、B两点位于不同的磁道上，
盘绕O点匀速转动时，A、B两点的向心加速度
()
A．大小相等，方向相同
图6.3-6
B．大小相等，方向不同
C．大小不等，方向相同
D．大据向心加速度公式an＝ω2r，两点转动半径 不同，故向心加速度大小不同，方向指向圆心，故方向也不同，故D正确。 答案：D
(2)在变速圆周运动中，物体的加速度不一定等于向心加速度，加速度方向不 一定指向圆心，向心加速度方向指向圆心。
【重难释解】 1．物理意义 向心加速度描述线速度变化的快慢： (1)只表示线速度的方向变化的快慢； (2)不表示线速度大小变化的快慢。 2．方向 向心加速度的方向总是沿着圆周运动的半径指向圆心，始终与物体运动方向 垂直，向心加速度的方向时刻改变。
[答案] ABC
向心加速度公式的应用技巧 向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量 不变时分析另外两个物理量之间的关系。在比较转动物体上做圆周运动的各点的 向心加速度的大小时，应按以下步骤进行： (1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同。 (2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心 加速度与半径成正比。
6．如图6.3-7所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是
固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，
且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比
()
图6.3-7 A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8

v1 平移到 B 点，从 v1 的末端作Δv 至 v2 的
图 5－5－2
末端，则Δv 即为速度的变化量。
[关键一点] 不管是直线运动还是曲线运动，速度
的变化量Δv都是从初速度v1的末端指向末速度v2的末端 的有向线段。
2．向心加速度 (1)匀速圆周运动物体的受力和加速度。
图5－5－3
(2)定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指
径的一半，则轮1边缘的a点与轮4边缘的c点相比
()
图5－5－7
A．线速度之比为1∶4 B．角速度之比为4∶1 C．向心加速度之比为8∶1 D．向心加速度之比为1∶8
[思路点拨] 根据传动装置的特点，确定各点的线 速度和角速度关系，再根据 an＝vr2，或 an＝ω2r 比较加 速度大小。
[解析] 由题意知 2va＝2v3＝v2＝vc，其中 v2、v3 为轮 2 和
图5－5－6
[名师点睛] 上述向心加速度的表达式中，an 均与两个物理量有关，在讨论与其中某一个量的关 系时，要注意另一个量是否发生变化。
2．如图5－5－7所示为两级皮带传动装置，转动时皮带
均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2
的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半
向心加速度
1．速度的变化量 (1)定义： 运动物体在一段时间内末速度与初速度之差，即Δv ＝ v2－v1 。速度的变化量是矢量，既有大小，又有方向。 (2)大小计算： ①同一直线上的速度的变化量。
图5－5－1
②不在同一直线上的速度的变化量：
当 v1 和 v2 不在同一直线上时，如图 5－5 －2 所示，物体做曲线运动。作图时将初速度
向 圆心 ，这个加速度叫做向心加速度。 v2

aa 【 最名 新校 版课 本堂 说】课获稿奖高P中PT物-高理中人物教理版《人向教 心版加《速向 度心加》速课 度件完》美PPT名教师研pp课t 件课（件最（ 新优版选本） ）推荐
: ab
: ac
: ad
4:1: 2: 4
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教学拓展分学析习
Teaching Analysis
推导向心加速度公式
VA VA
∆V
θ
VB
加速度方向与∆v方向一致，∆V沿 着圆周的半径，因此物体做匀速 圆周运动时的加速度指向圆心
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θ
Or
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半径比广州随地球自转的半径小，两地随地球自转的角速度相 同，因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小，D 项正确， C 项错误．本题的答案为 B、D 项．
【点评】 因为地球自转时，地面上的一切物体都在垂直于 地轴的平面内绕地轴做匀速圆周运动，它们的转动中心(圆心)都 在地轴上，而不是地球球心．
小金属球质量为 m，用长 L 的轻 悬线固定于 O 点，在 O 点的正下方L2处钉有 一颗钉子 P，把悬线沿水平方向拉直，如图所示，若无初速度释 放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)( )
三、变速圆周运动的加速度 变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分 量： 1．切向加速度：改变线速度大小． 2．向心加速度：改变线速度方向，计算公式与匀速圆周运 动的公式相同．
四、考点鸟瞰
考点鸟瞰 规律一：对向心加速度概念的理解 规律二：对向心加速度关系式的理解 规律三：向心加速度的有关计算
【答案】 D 【解析】 靠传送带传动的轮子边缘上的点具有相同的线速 度大小，故 A、C 两点的线速度大小相等，即：vA：vC＝1∶1； C 的半径是 A 的半径的 3 倍，根据 v＝rω，知 ωA：ωC＝3∶1.B 与 C 属于同轴转动，所以 ωB＝ωC. A 项，根据周期与角速度的关系：T＝2ωπ 所以：TTAC＝ωωCA＝13 ωB＝ωC，则 TB＝TC 所以：A、B、C 三点的周期之比 1∶3∶3.故 A 项错误；
如图是磁带录音机的磁带盒的示意 图，A、B 为缠绕磁带的两个轮子边缘上的点， 两轮的半径均为 r，在放音结束时，磁带全部绕到了 B 轮上，磁 带的外缘半径 R＝3r，C 为磁带外缘上的一点，现在进行倒带．此 时下列说法正确的是( )
A．A、B、C 三点的周期之比 3∶1∶3 B．A、B、C 三点的线速度之比 3∶3∶1 C．A、B、C 三点的角速度之比 1∶3∶3 D．A、B、C 三点的向心加速度之比 aA∶aB∶aC 等于 9∶1∶3

5.5向心加速度课堂讲解：一．向心力及向心加速度引入：物体在做圆周运动时，需要有指向圆心的力以保证物体围绕圆心做圆周运动，这个指向圆心的力仅改变物体的运动方向而不改变物体运动速度的大小，我们把这个力叫做向心力，由向心力产生的加速度叫向心加速度。

二．向心加速度1.向心加速度方向始终指向圆心，但每时每刻都在发生变化，所向心加速度是一个不断变化的量。

2.向心加速度方向总指向圆心，始终与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，向心加速度的大小表示速度方向改变的快慢。

3.匀速圆周运动中的物体，因为速度大小不变，所以匀速圆周运动物体的向心加速度就是物体的加速度，其向心力就是物体所受的合力。

三．向心加速度的大小（通过匀速圆周运动证明）四．向心加速度与切向加速度物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体运动的加速度，物体做非匀速圆周运动时，其速度大小和方向都在改变，所以此时合力并不指向圆心，加速度也不指向圆心，此时可将加速度分解为一个沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其指向圆心方向的分量就是向心加速度（由物体所受合力沿圆心向方向的分力产生，即由向心力产生），且向心加速度仍满足：，而沿着切向方向的加速度是用来改变速度大小的，叫做切向加速度（由物体所受合力沿切向方向的分力产生）。

五．向心加速度与半径r 的关系1.应用向心加速度公式a n ==ω2r 时应注意:(1)在线速度v 一定的情况下,方可认为物体的向心加速度a n 与半径r 成反比。

22n v a R R ω==22n v a R R ω==(2)在角速度ω一定的情况下,可认为向心加速度a n 与半径r 成正比。

(3)因为向心加速度的每个公式都涉及三个物理量的变化关系,所以必须在某一物理量不变时,才可以判断另外两个物理量之间的关系。

2.在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时,应先确定各点是线速度相同还是角速度相同,然后再选用相应的向心加速度公式进行比较。