几何表示过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线, 则三垂足共线.□一阶描述基本定义:选定 A,B,C 三点□取外接圆上任意一点 P□得到三个垂足 D,E,F□基本描述:: A,B,C 三点不共线西姆松定理它们的坐标分别为这三点构成的三角形的外接圆心及半径分别为P 点的坐标为 .全部(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3).l

托勒密定理和西姆松定理(一)

第六章西姆松定理及应用习题A1．由西姆松定理，知L ，M ，N 三点共线，注意到P ，L ，N ，B 及P ，M ，C ，L 分别四点共圆，知LPN B ∠=∠，LPM C ∠=∠．又由张角定理，有()sin sin sin B C B CPL PM PN∠+∠∠∠=+，即 sin sin sin mn A ln B lm C ⋅∠=⋅∠+⋅∠再应用正弦定理

第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）．证明如图6-1，设P 为ABC △的外接圆上任一点，从P 向三边BC ，CA ，AB 所在直线作垂线，垂足分别为L ，M ，N ．连PA ，PC ，由P ，N ，A ，M 四点共圆，有βαγβLMAPBNC图6-1PMN

平面几何中的四个重要定理梅涅劳斯（Menelaus ） 定理（梅氏线）△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 P 、Q 、R ,贝U P 、Q 、R 共线的充塞瓦（Ceva ）定理（塞瓦点）△ ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ,贝U AP 、BQ 、CR 共点的充要条件西姆松（Simson ）定理（西姆松线）从一点

西姆松(Simson)定理西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。相关的结果有：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（

平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 E

第六章西姆松定理及应用【基础知识】西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常称为西姆松线）．证明如图6-1，设P 为ABC △的外接圆上任一点，从P 向三边BC ，CA ，AB 所在直线作垂线，垂足分别为L ，M ，N ．连PA ，PC ，由P ，N ，A ，M 四点共圆，有PMN PAN PAB PCB PCL

平面几何（4）----张角定理及西姆松定理张角定理：设A ，C ，B 顺次分别是平面内一点P 所引三条射线PA ，PC ，PB 上的点，线段AC ，CB 对点P 的张角分别为,,αβ且180o αβ+sin()sin sin PC PB PAαβαβ+=+.例1． 如图，已知ABCD 为四边形，两组对边延长后得到交点E ，F ，对角线BD//EF ，AC 的

平面几何的几个重要定理(201912)

平面几何-九大定理及其证明 (3)

托勒密定理内容：指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。证明：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD∴BE/CD=AB/AC,即B E·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED.BC/ED=A

定理2

第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形，叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点，它们的连线是三条对角线．如图91-，直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边

著名数学定理15定理15-定理是由约翰·何顿·康威(JohnHortonConway ，1937-)和W.A.Schneeberger 于1993年证明的定理，内容为：如果一个二次多项式可以通过变量取整数值而表示出1~15的值(更严格的结论是只要表示出1，2，3，5，6，7，10，14，15)的话(例如a 2+b 2+c 2+d 2)，该二次多项式可以通过变

数学竞赛中几个重要定理1、梅涅劳斯定理：如果在厶ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F 且D 、E 、F:如果在厶ABC 的三边 BC 、CA 、AB 或其延长线上有点 D 、E 、F ,且满足BC?C A?A F =1，则D 、E 、F 三点共线.【例1】已知△ ABC 的重心为G , M 是BC 边的中点，过 G 作BC 边

西姆松(Simson)定理西姆松定理说明过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）定理定义：（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

平面几何 定理及其证明一、 梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=． 证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CG // AB ，所以CG CFAD FA =————

梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1

常用定理1、费马点（I）基本概念定义：在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。（II）证明我们要如何证明费马点呢：费马点证明图形(1